Relation between Torque and Angular acceleration and it's Application Questions in Hindi

(B) घूर्णी गति के लिए गतिज समीकरण का उपयोग करते हुए: $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$,जहाँ $\theta = 2\pi n$.
पहले $36$ चक्करों के लिए,कोणीय वेग आधा हो जाता है: $\left(\frac{\omega_0}{2}\right)^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi \times 36)$.
$\frac{\omega_0^2}{4} = \omega_0^2 - 144\pi\alpha \implies 144\pi\alpha = \frac{3}{4}\omega_0^2 \implies \alpha = \frac{3\omega_0^2}{576\pi}$.
अब,मान लीजिए कि रुकने तक कुल चक्करों की संख्या $n'$ है।
$0 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi n')$ का उपयोग करने पर,हमें $n' = \frac{\omega_0^2}{4\pi\alpha}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ का मान रखने पर: $n' = \frac{\omega_0^2}{4\pi} \times \frac{576\pi}{3\omega_0^2} = \frac{576}{12} = 48$ चक्कर।
आवश्यक अतिरिक्त चक्कर $n' - 36 = 48 - 36 = 12$ चक्कर हैं।

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $0\ rad/s$ है और अंतिम कोणीय वेग $\omega = 540\ r.p.m.$ है।
सबसे पहले,गति को $r.p.m.$ से $r.p.s.$ में बदलें: $n = \frac{540}{60} = 9\ r.p.s.$
$rad/s$ में अंतिम कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2\pi \times 9 = 18\pi\ rad/s$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha$ सूत्र $\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\alpha = \frac{18\pi\ rad/s}{6\ s} = 3\pi\ rad/s^2$.

(D) मान लीजिए कि छड़ का द्रव्यमान $M$ है और इसकी लंबाई $l$ है।
छड़ का भार $W = Mg$ है।
प्रारंभ में,संतुलन के लिए,प्रत्येक व्यक्ति द्वारा लगाया गया बल $F$ है,$F + F = Mg$,इसलिए $F = \frac{Mg}{2} = \frac{W}{2}$।
जब एक व्यक्ति छड़ को छोड़ देता है,तो छड़ अपने द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले भार के कारण उत्पन्न टॉर्क के कारण दूसरे सिरे (मान लीजिए $A$) के परितः घूमने लगती है।
सिरे $A$ के परितः टॉर्क $\tau = Mg \frac{l}{2}$ है।
सिरे $A$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{Ml^2}{3}$ है।
$\tau = I\alpha$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $Mg \frac{l}{2} = \left( \frac{Ml^2}{3} \right) \alpha$।
कोणीय त्वरण के लिए हल करने पर,$\alpha = \frac{3g}{2l}$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $a = \frac{l}{2} \alpha = \frac{l}{2} \left( \frac{3g}{2l} \right) = \frac{3g}{4}$ है।
द्रव्यमान केंद्र के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर,$Mg - F' = Ma$,जहाँ $F'$ शेष व्यक्ति द्वारा लगाया गया नया बल है।
$F' = Mg - Ma = Mg - M \left( \frac{3g}{4} \right) = Mg \left( 1 - \frac{3}{4} \right) = \frac{Mg}{4} = \frac{W}{4}$।

(A) कीलक (pivot) के परितः छड़ पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ के कारण होता है,जो कीलक से $l/2$ की दूरी पर है।
जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो कीलक से भार की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी $(l/2) \sin \theta$ होती है।
इसलिए,टॉर्क $\tau = Mg \cdot (l/2) \sin \theta$ है।
एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः $M$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एकसमान छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{Ml^2}{3}$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$Mg \frac{l}{2} \sin \theta = \left( \frac{Ml^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{Mg (l/2) \sin \theta}{Ml^2 / 3} = \frac{3g \sin \theta}{2l}$.

(A) किसी वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
गतिज ऊर्जा को प्रारंभिक मान के समान होने के लिए,कोणीय वेग का परिमाण प्रारंभिक कोणीय वेग के समान होना चाहिए,अर्थात $|\omega| = |\omega_0| = 20 \ rad/s$।
चूंकि टॉर्क एक निरंतर मंदन प्रदान करता है,इसलिए $t$ समय पर कोणीय वेग $\omega = \omega_0 - \alpha t$ द्वारा दिया जाता है।
हम चाहते हैं कि अंतिम कोणीय वेग $\omega = -20 \ rad/s$ हो (क्योंकि यह मंदित हो रहा है और हमें समान गतिज ऊर्जा चाहिए)।
मान रखने पर: $-20 = 20 - 2t$।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $2t = 40$।
अतः,$t = 20 \ s$।

(C) घूर्णन करते इंजन द्वारा उत्पन्न शक्ति $P$ को सूत्र $P = \tau \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $\omega$ कोणीय वेग ($rad/s$ में) है।
दिया गया है: शक्ति $P = 100 \ kW = 100 \times 10^3 \ W$.
कोणीय गति $n = 1800 \ rev/min = \frac{1800}{60} \ rev/s = 30 \ rev/s$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 30 = 60\pi \ rad/s$.
सूत्र $\tau = \frac{P}{\omega}$ का उपयोग करने पर:
$\tau = \frac{100 \times 10^3}{60\pi} = \frac{100000}{188.496} \approx 530.5 \ N-m$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $\tau \approx 531 \ N-m$ प्राप्त होता है।

(C) टॉर्क $\tau$ को $\tau = r \times F$ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि बल $F$ और घूर्णन अक्ष से बल की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी $r$ दोनों स्थितियों में समान है,इसलिए टॉर्क $\tau$ दोनों $(a)$ और $(b)$ के लिए समान है।
$\tau = I \alpha$ संबंध का उपयोग करते हुए,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है,हमें $\alpha = \frac{\tau}{I}$ प्राप्त होता है।
चूंकि टॉर्क $\tau$ स्थिर है,इसलिए कोणीय त्वरण $\alpha$ जड़त्व आघूर्ण $I$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\alpha \propto \frac{1}{I})$।
स्थिति $(b)$ में,घूर्णन अक्ष स्थिति $(a)$ की तुलना में द्रव्यमान केंद्र के अधिक करीब है,जिसके परिणामस्वरूप जड़त्व आघूर्ण $I$ कम होता है। इसलिए,स्थिति $(b)$ में कोणीय त्वरण $\alpha$ अधिक होगा।

(B) कोणीय वेग $\omega$ को स्थिर रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$,कोणीय संवेग $L$ के परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है।
$L = I\omega$। चूंकि $\omega$ स्थिर है,$\tau = \frac{dL}{dt} = \omega \frac{dI}{dt}$।
समय $t$ पर निकाय (छड़ + कीड़ा) का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{\text{rod}} + I_{\text{insect}}$ है।
$I_{\text{insect}} = m r^2$,जहाँ $r = vt$ समय $t$ पर $O$ से कीड़े की दूरी है।
अतः,$I(t) = I_{\text{rod}} + m(vt)^2 = I_{\text{rod}} + mv^2t^2$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dI}{dt} = 2mv^2t$ प्राप्त होता है।
इसलिए,टॉर्क $\tau = \omega (2mv^2t) = (2m\omega v^2)t$ है।
यह दर्शाता है कि $0 \le t \le T$ के लिए $\tau$,$t$ के सीधे आनुपातिक है।
$t = T$ पर,कीड़ा रुक जाता है,इसलिए $\frac{dI}{dt} = 0$,और टॉर्क शून्य हो जाता है।
इस प्रकार,ग्राफ को $0 \le t \le T$ के लिए मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए और उसके बाद शून्य हो जाना चाहिए। यह ग्राफ $B$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(A) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ और कोणीय संवेग $\vec{L}$ के बीच का संबंध घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$.
नियत बल आघूर्ण के लिए,इसका परिमाण $|\vec{\tau}| = \frac{\Delta L}{\Delta t}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = A_0$,अंतिम कोणीय संवेग $L_2 = 4A_0$ और समयांतराल $\Delta t = 4 \ s$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $|\vec{\tau}| = \frac{4A_0 - A_0}{4} = \frac{3A_0}{4}$.

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 1.2 \; kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = 1500 \; J$,और कोणीय त्वरण $\alpha = 25 \; rad/s^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
मान रखने पर: $1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$.
$1500 = 0.6 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$.
अतः,अंतिम कोणीय वेग $\omega = \sqrt{2500} = 50 \; rad/s$.
घूर्णन के गतिज समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$50 = 0 + 25 \times t$.
$t = \frac{50}{25} = 2 \; s$.

(C) छड़ का भार उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी $A$ से $l/2$ की दूरी पर है। यह भार बिंदु $A$ के परितः एक टॉर्क उत्पन्न करता है।
टॉर्क $\tau$ इस प्रकार है:
$\tau = mg \times \frac{l}{2}$
घूर्णन गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार:
$\tau = I\alpha$
दिए गए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{3}$ और टॉर्क का मान रखने पर:
$mg \times \frac{l}{2} = \left(\frac{ml^2}{3}\right) \alpha$
कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{mg \times l/2}{ml^2/3} = \frac{mg \times l}{2} \times \frac{3}{ml^2} = \frac{3g}{2l}$

(D) पहिये पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क $\tau$ व्यक्तिगत बलों द्वारा उत्पन्न टॉर्क का योग है। वामावर्त दिशा को धनात्मक लेने पर:
$\tau = (5 \ N \times r_2) + (10 \ N \times r_2) - (15 \ N \times r_1)$
यहाँ $r_1 = 10 \ cm = 0.1 \ m$ और $r_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$,तथा $I = 1500 \ kg \cdot m^2$ दिया गया है।
$\tau = (5 + 10) \times 0.2 - (15 \times 0.1)$
$\tau = (15 \times 0.2) - 1.5 = 3.0 - 1.5 = 1.5 \ N \cdot m$
संबंध $\tau = I\alpha$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1.5}{1500} = \frac{1.5}{1.5 \times 10^3} = 10^{-3} \ rad/s^2$.

(D) ठोस डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
यहाँ $M = 16 \ kg$ और $R = \frac{0.5}{2} = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$ है।
अतः,$I = \frac{1}{2} \times 16 \times (\frac{1}{4})^2 = 8 \times \frac{1}{16} = 0.5 \ kg \cdot m^2$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 120 \ rpm = \frac{120 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 4\pi \ rad/s$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{4\pi - 0}{8} = \frac{\pi}{2} \ rad/s^2$ प्राप्त होता है।
आवश्यक टॉर्क $\tau = I\alpha$ है।
$\tau = 0.5 \times \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \ N \cdot m$।

(C) बल आघूर्ण $(\tau)$,जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय त्वरण $(\alpha)$ के बीच का संबंध $\tau = I \alpha$ है।
दिया गया है:
टॉर्क $\tau = 10^5 \ N \cdot m$
द्रव्यमान $m = 10 \ kg$
घूर्णन त्रिज्या $K = 50 \ m$
जड़त्व आघूर्ण $I = mK^2 = 10 \times (50)^2 = 10 \times 2500 = 25000 \ kg \cdot m^2$।
अब,इन मानों को टॉर्क के समीकरण में रखने पर:
$10^5 = 25000 \times \alpha$
$\alpha = \frac{100000}{25000} = 4 \ rad/s^2$.

(A) कोणीय स्थिति $\theta (t) = 2t^3 - 6t^2$ द्वारा दी गई है।
कोणीय वेग $\omega$,कोणीय स्थिति का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = 6t^2 - 12t$.
कोणीय त्वरण $\alpha$,कोणीय वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 12t - 12$.
घूर्णन गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,बलाघूर्ण $\tau = I\alpha$ होता है। बलाघूर्ण के शून्य होने के लिए,कोणीय त्वरण $\alpha$ शून्य होना चाहिए (यह मानते हुए कि जड़त्व आघूर्ण $I \neq 0$ है)।
$\alpha = 0$ रखने पर:
$12t - 12 = 0$
$12t = 12$
$t = 1 \text{ s}$.

(D) दरवाजा खोलने के लिए आवश्यक टॉर्क स्थिर रहता है।
टॉर्क $\tau = r_1 F_1 = r_2 F_2$,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से दूरी है और $F$ लगाया गया बल है।
दिया गया है: $r_1 = 1.6 \ m$,$F_1 = 1 \ N$,$r_2 = 0.4 \ m$.
मान रखने पर:
$1.6 \times 1 = 0.4 \times F_2$
$F_2 = \frac{1.6}{0.4} = 4 \ N$.
अतः,आवश्यक बल $4 \ N$ है।

(A) दिया गया है: टॉर्क $\tau = 30 \ Nm$,जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \ kg \ m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \ rad/s$,समय $t = 10 \ s$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,हम कोणीय त्वरण ज्ञात करते हैं:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{30}{2} = 15 \ rad/s^2$.
अब,घूर्णन गति के लिए गतिज समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
मान रखने पर:
$\theta = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 15 \times (10)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \times 15 \times 100 = 750 \ rad$.

(B) कब्जे (hinge) के परितः छड़ पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = F \times r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 5L/6$ कब्जे से दूरी है।
दिया गया है $F = Mg/2$,इसलिए टॉर्क $\tau = (Mg/2) \times (5L/6) = 5MgL/12$ है।
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = ML^2/3$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप $\tau = I\alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$5MgL/12 = (ML^2/3) \times \alpha$
$\alpha = (5MgL/12) \times (3/ML^2)$
$\alpha = 5g/4L$.

(A) दिया गया है:
टॉर्क $(\tau)$ = $1000 \ N-m$
जड़त्व आघूर्ण $(I)$ = $200 \ kg-m^2$
समय $(t)$ = $3 \ s$
प्रारंभिक कोणीय वेग $(\omega_0)$ = $0 \ rad/s$
चरण $1$: कोणीय त्वरण $(\alpha)$ की गणना:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1000}{200} = 5 \ rad/s^2$
चरण $2$: अंतिम कोणीय वेग $(\omega)$ की गणना:
घूर्णन गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\omega = \omega_0 + \alpha t$
$\omega = 0 + (5 \times 3) = 15 \ rad/s$

(A) जब डोरी को काटा जाता है,तो छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले भार के कारण बिंदु $O$ के परितः एक टॉर्क उत्पन्न होता है,जो छड़ में कोणीय त्वरण पैदा करता है।
टॉर्क $\tau = I\alpha$,जहाँ $I$ बिंदु $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
छड़ का भार $mg$ उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो $O$ से $\frac{L}{2}$ की दूरी पर है।
अतः,टॉर्क $\tau = mg \times \frac{L}{2}$
बिंदु $O$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ होता है।
टॉर्क को बराबर करने पर: $mg \left( \frac{L}{2} \right) = \left( \frac{mL^2}{3} \right) \alpha$
$\frac{g}{2} = \frac{L\alpha}{3}$
$\alpha = \frac{3g}{2L}$

(C) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \ kg \ m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 60 \ rpm = \frac{60 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 2\pi \ rad/s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \ rad/s$,समय $t = 1 \ minute = 60 \ s$.
घूर्णन गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
चूंकि पहिया स्थिर हो जाता है,$0 = 2\pi + \alpha(60)$,जिससे कोणीय त्वरण $\alpha = -\frac{2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30} \ rad/s^2$ प्राप्त होता है।
आवश्यक टॉर्क का परिमाण $\tau = |I\alpha| = 2 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \ Nm$ है।

(B) दिया गया है:
बल आघूर्ण $\tau = 400 \ Nm$
जड़त्व आघूर्ण $I = 100 \ kg \ m^2$
समय $t = 4 \ s$
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \ rad \ s^{-1}$
बल आघूर्ण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
$\tau = I \alpha$
$400 = 100 \times \alpha$
$\alpha = 4 \ rad \ s^{-2}$
घूर्णन गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\omega = \omega_0 + \alpha t$
$\omega = 0 + (4 \times 4)$
$\omega = 16 \ rad \ s^{-1}$

(C) दिया गया है: शक्ति $P = 200 \ hp$ और कोणीय गति $\omega = 6000 \ rpm$।
सबसे पहले,शक्ति को वाट में बदलें: $P = 200 \times 746 \ W = 1.492 \times 10^5 \ W$।
इसके बाद,कोणीय गति को रेडियन प्रति सेकंड में बदलें: $\omega = 6000 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = 200\pi \ rad/s \approx 628.32 \ rad/s$।
शक्ति,टॉर्क $(\tau)$ और कोणीय वेग के बीच का संबंध $P = \tau \omega$ है।
अतः,$\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{1.492 \times 10^5}{628.32} \approx 237.5 \ N \cdot m$।

(C) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 200 \ kg \cdot m^2$,बल आघूर्ण $\tau = 1000 \ N \cdot m$,समय $t = 3 \ s$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \ rad/s$.
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,हम कोणीय त्वरण $\alpha$ ज्ञात करते हैं:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1000}{200} = 5 \ rad/s^2$.
अब,घूर्णी गति के प्रथम समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करते हुए:
$\omega = 0 + (5 \times 3) = 15 \ rad/s$.
अतः,$3 \ s$ के बाद कोणीय वेग $15 \ rad/s$ होगा।

(B) पिन $B$ को हटाने के बाद की स्थिति चित्र में दिखाई गई है। मान लीजिए लंबाई $l = 0.2 \ m$ और चौड़ाई $b = 0.15 \ m$ है।
जब पिन $B$ को हटा दिया जाता है,तो प्लेट बिंदु $A$ के परितः घूमना शुरू कर देती है।
द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $\tau$ इस प्रकार है:
$\tau = mg \left( \frac{l}{2} \right)$
संबंध $\tau = I_A \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $I_A$ बिंदु $A$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_A \alpha = mg \left( \frac{l}{2} \right) \quad \dots(i)$
एक आयताकार प्लेट का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{M}{12}(l^2 + b^2)$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_A = I_{CM} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र से बिंदु $A$ तक की दूरी है:
$d^2 = \left( \frac{l}{2} \right)^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2 = \frac{0.2^2}{4} + \frac{0.15^2}{4} = \frac{0.04 + 0.0225}{4} = \frac{0.0625}{4} = 0.015625 \ m^2$
$I_A = \frac{20}{12}(0.2^2 + 0.15^2) + 20(0.015625) = \frac{20}{12}(0.0625) + 0.3125 = 0.104167 + 0.3125 = 0.416667 \ kg \cdot m^2$
अब,समीकरण $(i)$ में मान रखने पर:
$0.416667 \alpha = 20 \times 10 \times \left( \frac{0.2}{2} \right)$
$0.416667 \alpha = 20 \times 1 = 20$
$\alpha = \frac{20}{0.416667} = 48 \ rad/s^2$.

(B) दिया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 3 \times 10^2 \ kg \ m^2$,मंदक बल आघूर्ण $\tau = 6.9 \times 10^2 \ N \ m$,प्रारंभिक कोणीय चाल $\omega_0 = 4.6 \ rad \ s^{-1}$,अंतिम कोणीय चाल $\omega = 0 \ rad \ s^{-1}$।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,कोणीय त्वरण $\alpha$ प्राप्त होता है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{6.9 \times 10^2}{3 \times 10^2} = 2.3 \ rad \ s^{-2}$।
चूंकि यह एक मंदक बल आघूर्ण है,इसलिए $\alpha = -2.3 \ rad \ s^{-2}$ होगा।
गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करने पर:
$0 = 4.6 + (-2.3)t$
$2.3t = 4.6$
$t = \frac{4.6}{2.3} = 2 \ s$।
अतः,पहिया $2 \ s$ में रुक जाएगा।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.4 \ m$,कोणीय त्वरण $\alpha = 8 \ rad \ s^{-2}$,द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$।
भार द्वारा उत्पन्न टॉर्क $\tau = mgr$ द्वारा दिया जाता है।
साथ ही,टॉर्क का जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ के साथ संबंध $\tau = I\alpha$ होता है।
टॉर्क के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$I\alpha = mgr$
$I \times 8 = 4 \times 10 \times 0.4$
$I \times 8 = 16$
$I = \frac{16}{8} = 2 \ kg \ m^2$.

(B) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 720 \ rpm = \frac{720}{60} \ rps = 12 \ rps$.
रेडियन प्रति सेकंड में बदलने पर: $\omega_0 = 2\pi \times 12 = 24\pi \ rad/s$.
चूंकि पहिया विराम अवस्था में आता है,अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$.
समीकरण $\omega = \omega_0 - \alpha t$ का उपयोग करने पर,जहाँ $t = 8 \ s$:
$0 = 24\pi - \alpha(8) \implies \alpha = \frac{24\pi}{8} = 3\pi \ rad/s^2$.
टॉर्क $\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\tau = \left(\frac{24}{\pi}\right) \times (3\pi) = 72 \ Nm$.

(D) दिया गया कोणीय त्वरण: $\alpha = 3t - t^2$।
चूंकि $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$,इसलिए $d\omega = (3t - t^2) dt$।
$t = 0$ से $t = 2 \ s$ (जब त्वरण शून्य हो जाता है) तक समाकलन करने पर:
$\omega = \int_{0}^{2} (3t - t^2) dt = [\frac{3t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_{0}^{2}$।
$\omega = (\frac{3(4)}{2} - \frac{8}{3}) = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18 - 8}{3} = \frac{10}{3} \ rad/s$।
$t > 2 \ s$ के लिए कोणीय त्वरण शून्य है,इसलिए $t \ge 2 \ s$ के लिए कोणीय वेग $\frac{10}{3} \ rad/s$ पर स्थिर रहता है।
अतः,$6 \ s$ के बाद कोणीय वेग $\frac{10}{3} \ rad/s$ होगा।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 240 \ rpm = \frac{240 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$.
कोणीय मंदन $\alpha = \pi \ rad/s^2$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 0 \ rad/s$.
समीकरण $\omega_2 = \omega_1 - \alpha t$ का उपयोग करने पर:
$0 = 8\pi - \pi t \implies t = 8 \ s$.
समीकरण $\omega_2^2 = \omega_1^2 - 2\alpha \theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (8\pi)^2 - 2(\pi)\theta \implies 64\pi^2 = 2\pi\theta \implies \theta = 32\pi \ rad$.
चक्करों की संख्या $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{32\pi}{2\pi} = 16 \ \text{चक्कर}$.

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \ kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 60 \ rpm = \frac{60 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 2\pi \ rad/s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$,समय $t = 1 \ minute = 60 \ s$.
घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega = \omega_0 - \alpha t$.
$0 = 2\pi - \alpha(60) \implies \alpha = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} \ rad/s^2$.
आवश्यक बल आघूर्ण $\tau = I\alpha$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\tau = 2 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \ N \cdot m$.

(C) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 60 \ rpm = \frac{60 \times 2\pi}{60} = 2\pi \ rad \ s^{-1}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0 \ rad \ s^{-1}$.
लिया गया समय $t = 1 \ minute = 60 \ s$.
जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \ kg \ m^2$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30} \ rad \ s^{-2}$.
आवश्यक टॉर्क $\tau = I\alpha = 2 \times \left( -\frac{\pi}{30} \right) = -\frac{\pi}{15} \ Nm$.
अतः,आवश्यक टॉर्क का परिमाण $\frac{\pi}{15} \ Nm$ है।

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 10 \text{ rev/s} = 10 \times 2\pi \text{ rad/s} = 20\pi \text{ rad/s} \approx 62.8 \text{ rad/s}$.
कोणीय त्वरण $\alpha = 5 \text{ rad/s}^2$.
समय $t = 2 \text{ s}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = \omega_0 + \alpha t = 20\pi + (5)(2) = 62.8 + 10 = 72.8 \text{ rad/s}$.
कोणीय विस्थापन $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = (20\pi)(2) + \frac{1}{2}(5)(2)^2 = 40\pi + 10 = 125.6 + 10 = 135.6 \text{ rad}$.
चक्करों की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{135.6}{2 \times 3.14} = \frac{135.6}{6.28} \approx 21.59 \text{ चक्कर}$.

(D) टॉर्क $\tau$ का सूत्र $\tau = F r \sin \theta = I \alpha$ है।
यहाँ,चार द्रव्यमानों का जड़त्व आघूर्ण $I = 4 \times (m r^2) = 4 \times (2 \times (1/4)^2) = 4 \times (2 \times 1/16) = 0.5 \ kg \cdot m^2$ है।
$F = 24 \ N$ बल द्वारा $r = 1/2 \ m$ की दूरी पर और $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर लगाया गया टॉर्क $\tau = F r \sin 30^{\circ} = 24 \times (1/2) \times (1/2) = 6 \ N \cdot m$ है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,$6 = 0.5 \times \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 6 / 0.5 = 12 \ rad/s^2$ है।

(B) मध्य बिंदु पर लगाया गया टॉर्क $\tau$ दोनों अक्षों के लिए समान है। टॉर्क और कोणीय त्वरण $\alpha$ के बीच संबंध $\tau = I\alpha$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) है।
चूंकि $\tau$ स्थिर है,$\alpha = \frac{\tau}{I}$ होगा। अतः,जिस अक्ष के लिए जड़त्व आघूर्ण कम होगा,उसका कोणीय त्वरण अधिक होगा।
जड़त्व आघूर्ण $I = \sum mr^2$ द्वारा दिया जाता है। अक्ष $11'$ और $22'$ के सापेक्ष द्रव्यमान वितरण की तुलना करने पर,द्रव्यमान अक्ष $22'$ की तुलना में अक्ष $11'$ से अधिक दूरी पर वितरित है।
इसलिए,$I_{11'} > I_{22'}$.
चूंकि $\alpha$,$I$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए अक्ष $22'$ पर कोणीय त्वरण अधिक होगा क्योंकि $I_{22'} < I_{11'}$।

(D) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 0.20 \ kg \cdot m^2$,त्रिज्या $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,बल $F = 20 \ N$,समय $t = 5 \ s$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$.
पहिये पर लगने वाला टॉर्क $\tau = F \times r$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tau = 20 \ N \times 0.2 \ m = 4 \ N \cdot m$.
हम जानते हैं कि टॉर्क और कोणीय त्वरण $\alpha$ के बीच का संबंध $\tau = I \alpha$ है।
इसलिए,$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{4 \ N \cdot m}{0.20 \ kg \cdot m^2} = 20 \ rad/s^2$.
घूर्णन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
मान रखने पर: $\omega = 0 + (20 \ rad/s^2) \times (5 \ s) = 100 \ rad/s$.

(B) बलाघूर्ण $\tau = I\alpha$ और $\tau = RF$ होता है।
अतः,$I\alpha = RF \Rightarrow \alpha = \frac{RF}{I}$.
यहाँ $R = 0.1 \ m$,$I = 10^{-3} \ kg \ m^2$ और $F = (0.5t + 0.3t^2) \ N$ है।
$\alpha = \frac{0.1 \times (0.5t + 0.3t^2)}{10^{-3}}$.
$t = 3 \ s$ रखने पर:
$\alpha = \frac{0.1 \times (0.5(3) + 0.3(3)^2)}{10^{-3}}$
$\alpha = \frac{0.1 \times (1.5 + 2.7)}{10^{-3}}$
$\alpha = \frac{0.1 \times 4.2}{10^{-3}} = \frac{0.42}{10^{-3}} = 420 \ rad \ s^{-2}$.

(C) बिंदु $A$ के परितः आघूर्ण $\tau$,छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के कारण होता है,जो $A$ से $l/2$ की दूरी पर है।
$\tau = mg \times \frac{l}{2} = \frac{mgl}{2}$
आघूर्ण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध का उपयोग करते हुए,$\tau = I\alpha$,जहाँ $I$,$A$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
दिया गया है कि $I = \frac{ml^2}{3}$,इसलिए:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{mgl/2}{ml^2/3} = \frac{mgl}{2} \times \frac{3}{ml^2} = \frac{3g}{2l}$

(A) दिया गया है: $\theta(t) = 2t^3 - 6t^2$.
सबसे पहले,$\theta$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके कोणीय वेग $\omega$ ज्ञात करें: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 6t^2 - 12t$.
इसके बाद,$\omega$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके कोणीय त्वरण $\alpha$ ज्ञात करें: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 12t - 12$.
टॉर्क $\tau$ संबंध $\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
टॉर्क के शून्य होने के लिए,कोणीय त्वरण $\alpha$ शून्य होना चाहिए (यह मानते हुए कि $I \neq 0$)।
$\alpha = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $12t - 12 = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = 1 \ s$ प्राप्त होता है।

(D) जब डोरी को काट दिया जाता है,तो छड़ अपने भार के कारण उत्पन्न टॉर्क के कारण कब्जेदार बिंदु $P$ के परितः घूर्णन करेगी।
माना $\alpha$ छड़ का प्रारंभिक कोणीय त्वरण है।
बिंदु $P$ के परितः टॉर्क $\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ छड़ के एक सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$I = \frac{ML^2}{3} \quad ...(i)$
साथ ही,द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के कारण टॉर्क ($P$ से $L/2$ दूरी पर):
$\tau = Mg \times \frac{L}{2} \quad ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{ML^2}{3} \alpha = Mg \frac{L}{2}$
$\alpha = \frac{MgL}{2} \times \frac{3}{ML^2}$
$\alpha = \frac{3g}{2L}$

(D) दिया गया है: बेलन का द्रव्यमान, $M = 50\, kg$. बेलन की त्रिज्या, $R = 0.5\, m$. कोणीय त्वरण, $\alpha = 2\, \text{rev } s^{-2}$.
कोणीय त्वरण को $SI$ इकाइयों में बदलने पर: $\alpha = 2 \times 2\pi\, \text{rad } s^{-2} = 4\pi\, \text{rad } s^{-2}$.
डोरी में तनाव $T$ द्वारा उत्पन्न बल आघूर्ण $\tau = T \times R$ है।
अपने केंद्रीय अक्ष के परितः ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है।
संबंध $\tau = I\alpha$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $TR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$.
तनाव $T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{1}{2}MR\alpha$.
मान रखने पर: $T = \frac{1}{2} \times 50 \times 0.5 \times 4\pi = 50\pi$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर, $T = 50 \times 3.14 = 157\, N$.

(B) दिया गया है:
वाहन की गति,$v = 54 \,km h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \,m s^{-1} = 15 \,m s^{-1}$।
पहिये की त्रिज्या,$R = 0.45 \,m$।
पहिये का जड़त्व आघूर्ण,$I = 3 \,kg m^2$।
वाहन को रोकने में लगा समय,$t = 15 \,s$।
पहिये की प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_i = \frac{v}{R} = \frac{15 \,m s^{-1}}{0.45 \,m} = \frac{1500}{45} \,rad s^{-1} = \frac{100}{3} \,rad s^{-1}$ है।
अंतिम कोणीय गति $\omega_f = 0$ है (क्योंकि वाहन विराम अवस्था में आ जाता है)।
पहिये का कोणीय मंदन $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - \frac{100}{3}}{15} = -\frac{100}{45} \,rad s^{-2}$ है।
औसत बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = I |\alpha| = 3 \,kg m^2 \times \frac{100}{45} \,rad s^{-2} = \frac{300}{45} \,N m = \frac{20}{3} \,N m \approx 6.66 \,kg m^2 s^{-2}$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3\, kg$,त्रिज्या $r = 40\, cm = 0.4\, m$,बल $F = 30\, N$.
एक खोखले बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = mr^2$ द्वारा दिया जाता है।
$I = 3\, kg \times (0.4\, m)^2 = 3 \times 0.16 = 0.48\, kg\cdot m^2$.
बल द्वारा उत्पन्न बलाघूर्ण $(\tau)$ $\tau = rF$ है।
$\tau = 0.4\, m \times 30\, N = 12\, N\cdot m$.
संबंध $\tau = I\alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{12\, N\cdot m}{0.48\, kg\cdot m^2}$.
$\alpha = \frac{1200}{48} = 25\, rad/s^2$.

(B) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
यहाँ $K = 750 \, J$ और $I = 2.4 \, kg \cdot m^2$ दिया गया है,अतः:
$750 = \frac{1}{2} \times 2.4 \times \omega^2$
$750 = 1.2 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{750}{1.2} = 625$
$\omega = \sqrt{625} = 25 \, rad/s$।
कोणीय गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\omega_0 = 0$ (विराम अवस्था से शुरू करने पर):
$25 = 0 + 5 \times t$
$t = \frac{25}{5} = 5 \, s$।

(D) दिया गया है: बल आघूर्ण $\tau = 1000 \; Nm$,जड़त्व आघूर्ण $I = 200 \; kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,समय $t = 3 \; s$।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करके,हम कोणीय त्वरण $\alpha$ ज्ञात करते हैं:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1000}{200} = 5 \; rad/s^2$।
अब,घूर्णन गति के प्रथम समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करते हुए:
$\omega = 0 + (5 \; rad/s^2) \times (3 \; s) = 15 \; rad/s$।
अतः,$3 \; s$ के बाद कोणीय वेग $15 \; rad/s$ होगा।

(A) दिया गया है: अंतिम कोणीय वेग $\omega = 540 \, r.p.m. = \frac{540 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 18\pi \, rad/s$।
लिया गया समय $t = 6 \, s$।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \, rad/s$।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$।
$\alpha = \frac{18\pi - 0}{6} = 3\pi \, rad/s^2$।

(C) दिया गया है: बल-आघूर्ण $\tau = 50 \ N \cdot m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \ rad/s$,कोणीय विस्थापन $\theta = 200 \ rad$,और समय $t = 5 \ s$.
घूर्णी गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
चूंकि पहिया स्थिर अवस्था से शुरू होता है,$\omega_0 = 0$.
मान रखने पर: $200 = 0 \cdot (5) + \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot (5)^2$.
$200 = \frac{25}{2} \alpha$.
$\alpha = \frac{200 \cdot 2}{25} = 8 \cdot 2 = 16 \ rad/s^2$.

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_i = 900 \text{ rpm} = \frac{900 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 30\pi \text{ rad/s}$.
अंतिम कोणीय वेग,$\omega_f = 0 \text{ rad/s}$ (चूंकि यह विरामावस्था में आ जाता है)।
लिया गया समय,$t = 1 \text{ मिनट} = 60 \text{ s}$.
घूर्णी गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega_f = \omega_i + \alpha t$.
मान रखने पर: $0 = 30\pi + \alpha(60)$.
$\alpha = -\frac{30\pi}{60} = -\frac{\pi}{2} \text{ rad/s}^2$.
कोणीय मंदन कोणीय त्वरण का परिमाण है,जो $\frac{\pi}{2} \text{ rad/s}^2$ है।