आकृति में M द्रव्यमान और L आधार वाली एक समद्व | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है,ऊँचाई $h$ आधार $L$ को समद्विभाजित करती है। अतः,त्रिभुज

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{ML^2}{24}$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए त्रिभुज की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है,ऊँचाई $h$ आधार $L$ को समद्विभाजित करती है। अतः,त्रिभुज $L/2$ आधार और $h$ ऊँचाई वाले दो समकोण त्रिभुजों से बना है। ज्यामिति से,$h = L/2$ है।शीर्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पतली पट्टी लें। इस पट्टी की लंबाई $l(y)$ को समरूप त्रिभुजों के नियम से ज्ञात किया जा सकता है: $l(y)/y = L/h = L/(L/2) = 2$। अतः,$l(y) = 2y$ है।त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} 	imes L 	imes h = \frac{1}{2} 	imes L 	imes \frac{L}{2} = \frac{L^2}{4}$ है।प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{A} = \frac{4M}{L^2}$ है।पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma 	imes l(y) 	imes dy = \frac{4M}{L^2} 	imes 2y 	imes dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ है।$y$-अक्ष के परितः इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI_y = \frac{dm 	imes l(y)^2}{12} = \frac{1}{12} 	imes \left( \frac{8M}{L^2} y dy ight) 	imes (2y)^2 = \frac{1}{12} 	imes \frac{8M}{L^2} y dy 	imes 4y^2 = \frac{8M}{3L^2} y^3 dy$ है।$y=0$ से $y=h=L/2$ तक समाकलन करने पर:$I_y = \int_0^{L/2} \frac{8M}{3L^2} y^3 dy = \frac{8M}{3L^2} \left[ \frac{y^4}{4} ight]_0^{L/2} = \frac{8M}{3L^2} 	imes \frac{1}{4} 	imes \left( \frac{L}{2} ight)^4 = \frac{2M}{3L^2} 	imes \frac{L^4}{16} = \frac{ML^2}{24}$।

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