Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Hindi

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार तार (रिंग) का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = MR^2$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$,जहाँ $I_x$ और $I_y$ व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
चूंकि रिंग सममित है,इसलिए $I_x = I_y = I_{diameter}$ होता है।
अतः,$I_z = 2I_{diameter}$।
$I_z$ का मान रखने पर,हमें $MR^2 = 2I_{diameter}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$ है।

(B) $m$ द्रव्यमान और $\ell$ लंबाई की एक छड़ के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m\ell^2}{12}$ होता है।
चूंकि दोनों छड़ें उनके केंद्रों पर जुड़ी हुई हैं और एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए सामान्य केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण दोनों छड़ों के जड़त्व आघूर्ण का योग होगा।
$I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{m\ell^2}{12} + \frac{m\ell^2}{12}$.
$I_{total} = \frac{2m\ell^2}{12} = \frac{m\ell^2}{6}$.

(C) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक समान छल्ले का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = Mr^2$ होता है।
यह मानते हुए कि छल्ले एक ही पदार्थ से बने हैं और उनकी मोटाई समान है,द्रव्यमान $M$ परिधि के समानुपाती होता है,इसलिए $M \propto R$।
मान लीजिए पहले छल्ले का द्रव्यमान $M_1$ और त्रिज्या $R_1 = R$ है,और दूसरे छल्ले का द्रव्यमान $M_2$ और त्रिज्या $R_2 = nR$ है।
अतः $M_1 = kR$ और $M_2 = k(nR) = nkR$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \frac{(kR)(R^2)}{(nkR)(nR)^2} = \frac{kR^3}{n^3 k R^3} = \frac{1}{n^3}$।
दिया गया है कि $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$,इसलिए $\frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$।
अतः $n^3 = 8$,जिसका अर्थ है कि $n = 2$।

(A) $M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण समान वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ होता है।
चूंकि डिस्क समान है,द्रव्यमान क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। डिस्क के एक चौथाई भाग का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का एक चौथाई होता है।
इसलिए,पूर्ण डिस्क का द्रव्यमान $M_{total} = 4M$ होगा।
दिए गए अक्ष के परितः पूर्ण डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{full} = \frac{1}{2} (4M) R^2 = 2 M R^2$ है।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण एक दृढ़ पिंड के भागों के लिए योगात्मक गुण का पालन करता है,इसलिए एक चौथाई डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $(I_{quarter})$ उसी अक्ष के परितः पूर्ण डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का एक चौथाई होगा।
$I_{quarter} = \frac{1}{4} I_{full} = \frac{1}{4} (2 M R^2) = \frac{1}{2} M R^2$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{3}$ होता है।
दिए गए निकाय के लिए:
$1$. $x$-अक्ष पर स्थित छड़ $xz$-तल में है। $z$-अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_x = \frac{ML^2}{3}$ है।
$2$. $y$-अक्ष पर स्थित छड़ $yz$-तल में है। $z$-अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_y = \frac{ML^2}{3}$ है।
$3$. $z$-अक्ष पर स्थित छड़ स्वयं घूर्णन अक्ष पर स्थित है। चूंकि छड़ पतली है,इसलिए $z$-अक्ष से प्रत्येक द्रव्यमान तत्व की दूरी शून्य है। अतः,$z$-अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_z = 0$ है।
$z$-अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_x + I_y + I_z = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2ML^2}{3}$ होगा।

(B) एक ठोस बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष (अनुदैर्ध्य अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$I = \frac{1}{2} M R^2$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(M)$ = $20 \ kg$
त्रिज्या $(R)$ = $0.2 \ m$
लंबाई $(L)$ = $1 \ m$ (नोट: ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण लंबाई पर निर्भर नहीं करता है)।
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.2)^2$
$I = 10 \times 0.04$
$I = 0.4 \ kg \cdot m^2$

(B) छड़ को केंद्र से मोड़ा गया है,इसलिए प्रत्येक आधे भाग का द्रव्यमान $m = M/2$ और लंबाई $l = L/2$ है।
घूर्णन अक्ष मोड़ने वाले बिंदु $O$ से गुजरती है और मुड़ी हुई छड़ के तल के लंबवत है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली छड़ के लिए उसके एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} ml^2$ होता है।
यहाँ,हमारे पास ऐसी दो छड़ें हैं,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $M/2$ और लंबाई $L/2$ है,जो सामान्य सिरे $O$ के परितः घूम रही हैं।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total}$ दोनों आधे भागों के जड़त्व आघूर्ण का योग है:
$I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{3} (M/2) (L/2)^2 + \frac{1}{3} (M/2) (L/2)^2$
$I_{total} = 2 \times \left[ \frac{1}{3} \cdot \frac{M}{2} \cdot \frac{L^2}{4} \right]$
$I_{total} = 2 \times \left[ \frac{ML^2}{24} \right] = \frac{ML^2}{12}$.

(A) $M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ होता है।
एक समान डिस्क के लिए,द्रव्यमान उसके क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। एक चौथाई डिस्क का क्षेत्रफल पूरी डिस्क के क्षेत्रफल का $1/4$ होता है। यदि चौथाई डिस्क का द्रव्यमान $M$ है,तो पूरी डिस्क का द्रव्यमान $4M$ होगा।
चौथाई डिस्क का उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण उसके घटक कणों के जड़त्व आघूर्ण का योग है। चूंकि घूर्णन अक्ष मूल डिस्क के केंद्र से गुजरता है,इसलिए चौथाई डिस्क के प्रत्येक द्रव्यमान तत्व $dm$ की अक्ष से दूरी वही रहती है जो पूरी डिस्क में होती है।
इस प्रकार,चौथाई डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चौथाई डिस्क पूरी डिस्क का एक हिस्सा है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $4M$ द्रव्यमान वाली पूरी डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का $1/4$ होगा।
$I = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times (4M) \times R^2) = \frac{1}{2} M R^2$.

(B) डिस्क के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{disc} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
चूंकि चार बिंदु द्रव्यमान $m$ परिधि पर रखे गए हैं,इसलिए प्रत्येक द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से $R$ दूरी पर है।
प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I_{point} = mR^2$ होता है।
चूंकि ऐसे चार बिंदु द्रव्यमान हैं,इसलिए उनका कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total\,points} = 4 \times mR^2 = 4mR^2$ होगा।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण डिस्क और चार बिंदु द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्ण का योग है:
$I = I_{disc} + I_{total\,points} = \frac{1}{2}MR^2 + 4mR^2$.

(A) किसी अक्ष के परितः बिंदु द्रव्यमानों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ अक्ष से $i$-वें द्रव्यमान की लंबवत दूरी है।
$x$-अक्ष के लिए,$(x, y, z)$ बिंदु की लंबवत दूरी $r = \sqrt{y^2 + z^2}$ है।
$1$. $m_1 = 1 \text{ kg}$ द्रव्यमान $(0,0,0)$ पर: $r_1 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$. अतः,$I_1 = 1(0)^2 = 0$.
$2$. $m_2 = 2 \text{ kg}$ द्रव्यमान $(2,0,0)$ पर: $r_2 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$. अतः,$I_2 = 2(0)^2 = 0$.
$3$. $m_3 = 3 \text{ kg}$ द्रव्यमान $(0,3,0)$ पर: $r_3 = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$. अतः,$I_3 = 3(3)^2 = 27$.
$4$. $m_4 = 4 \text{ kg}$ द्रव्यमान $(-2,-2,0)$ पर: $r_4 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$. अतः,$I_4 = 4(2)^2 = 16$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 0 + 0 + 27 + 16 = 43 \text{ kg m}^2$.

(B) छड़ को उसके मध्य बिंदु $A$ पर दो खंडों में मोड़ा जाता है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $L/2$ और द्रव्यमान $M/2$ है।
प्रत्येक खंड $l = L/2$ लंबाई और $m = M/2$ द्रव्यमान की एक छड़ के रूप में कार्य करता है जो अपने एक सिरे के परितः घूर्णन कर रही है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की छड़ के लिए उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रत्येक खंड के लिए,$m = M/2$ और $l = L/2$ है।
अतः,एक खंड के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{(M/2)(L/2)^2}{3} = \frac{(M/2)(L^2/4)}{3} = \frac{ML^2}{24}$ होगा।
चूंकि ऐसे दो खंड हैं,इसलिए $A$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_1 + I_1 = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$ होगा।

(B) अक्ष $AX$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण व्यक्तिगत कणों के उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्णों का योग है।
$I_{AX} = I_A + I_B + I_C$
कण $A$ अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसकी दूरी $r_A = 0$ है,अतः $I_A = m(0)^2 = 0$.
कण $B$ अक्ष से $\ell$ की दूरी पर है,इसलिए $I_B = m\ell^2$.
कण $C$ अक्ष $AX$ से $\ell/2$ की लंबवत दूरी पर है,इसलिए $I_C = m(\ell/2)^2 = m\ell^2/4$.
अतः,$I_{AX} = 0 + m\ell^2 + m\ell^2/4 = \frac{5}{4}m\ell^2$.

(A) यह निकाय तीन छड़ों $A$,$B$ और $C$ से बना है। छड़ $B$ घूर्णन अक्ष के रूप में कार्य करती है।
$1$. छड़ $B$ के लिए: चूंकि घूर्णन अक्ष इसके अनुदैर्ध्य केंद्र से होकर गुजरती है,इसलिए इस अक्ष के परितः छड़ $B$ का जड़त्व आघूर्ण $I_B = 0$ होगा (छड़ को एक पतली रेखा मानते हुए)।
$2$. छड़ $A$ और $C$ के लिए: घूर्णन अक्ष छड़ $B$ के केंद्र से होकर गुजरती है। चूंकि छड़ $A$ और $C$ छड़ $B$ के लंबवत हैं और इसके सिरों पर जुड़ी हुई हैं,इसलिए घूर्णन अक्ष छड़ $A$ और $C$ के केंद्र से उनकी लंबाई के लंबवत गुजरती है।
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{M L^2}{12}$ होता है।
चूंकि ऐसी दो छड़ें ($A$ और $C$) हैं,इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण होगा:
$I_{total} = I_A + I_B + I_C$
$I_{total} = \frac{M L^2}{12} + 0 + \frac{M L^2}{12}$
$I_{total} = \frac{2 M L^2}{12} = \frac{M L^2}{6}$

(D) माना प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m = 5 \ kg$ है और छड़ की लंबाई $L = 1 \ m$ है।
स्थिति $1$: $A$ से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष।
जड़त्व आघूर्ण $I_1$ इस प्रकार है:
$I_1 = m_A \cdot (0)^2 + m_B \cdot (L)^2 = 0 + m \cdot (1)^2 = m$
स्थिति $2$: छड़ के केंद्र से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष।
जड़त्व आघूर्ण $I_2$ इस प्रकार है:
$I_2 = m_A \cdot (L/2)^2 + m_B \cdot (L/2)^2 = m \cdot (0.5)^2 + m \cdot (0.5)^2 = 0.25m + 0.25m = 0.5m = m/2$
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात:
$I_1 / I_2 = m / (m/2) = 2 / 1$
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(A) $M'$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}M'r^2$ होता है।
चूंकि अर्धवृत्ताकार डिस्क पूर्ण डिस्क का आधा हिस्सा है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M = \frac{M'}{2}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $M' = 2M$ है।
अब $M' = 2M$ को जड़त्व आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$I = \frac{1}{2}(2M)r^2 = Mr^2$.
अतः,अर्धवृत्ताकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $Mr^2$ है।

(B) एक छल्ले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ द्रव्यमानों का अनुपात $M_1 : M_2 = 1 : 2$ और व्यासों का अनुपात $D_1 : D_2 = 2 : 1$ दिया गया है।
चूंकि त्रिज्याओं का अनुपात $R_1 : R_2$ व्यासों के अनुपात के समान होता है,इसलिए $R_1 : R_2 = 2 : 1$ होगा।
जड़त्व आघूर्णों का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \left( \frac{M_1}{M_2} \right) \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(B) $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $L$ लंबाई वाले बेलन का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र है:
$I = M \left( \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
चूंकि व्यास $D$ है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{D}{2}$ होगी।
सूत्र में $R$ का मान रखने पर:
$I = M \left[ \frac{L^2}{12} + \frac{(D/2)^2}{4} \right]$
$I = M \left[ \frac{L^2}{12} + \frac{D^2/4}{4} \right]$
$I = M \left[ \frac{L^2}{12} + \frac{D^2}{16} \right]$

(C) एक छल्ले का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
दिया गया है कि जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ है और व्यासों का अनुपात $\frac{D_1}{D_2} = \frac{4}{1}$ है।
चूंकि व्यासों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{4}{1}$ है।
सूत्र $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{M_1}{M_2} = \frac{I_1}{I_2} \times \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{4}{1} \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$.

(B) किसी अक्ष के परितः कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
$Y$-अक्ष के लिए,बिंदु $(x, y)$ की लंबवत दूरी $|x|$ है।
चारों द्रव्यमानों के निर्देशांक $(a, 0)$,$(0, a)$,$(-a, 0)$ और $(0, 2a)$ हैं।
$Y$-अक्ष से लंबवत दूरियाँ $x_1 = a$,$x_2 = 0$,$x_3 = -a$,और $x_4 = 0$ हैं।
अतः,$I_y = m(a)^2 + m(0)^2 + m(-a)^2 + m(0)^2$.
$I_y = ma^2 + 0 + ma^2 + 0 = 2ma^2$.

(C) माना समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B$ और $C$ हैं। माना घूर्णन अक्ष भुजा $AB$ से होकर गुजरती है।
कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ अक्ष से $i$-वें द्रव्यमान की लंबवत दूरी है।
$1$. शीर्ष $A$ और $B$ पर स्थित दो द्रव्यमान घूर्णन अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए उनकी लंबवत दूरियाँ $r_1 = 0$ और $r_2 = 0$ हैं।
$2$. शीर्ष $C$ पर स्थित तीसरा द्रव्यमान भुजा $AB$ से $h$ लंबवत दूरी पर है। $\ell$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में,ऊँचाई $h = \ell \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\ell$ होती है।
$3$. निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = m(0)^2 + m(0)^2 + m(h)^2 = m\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\ell\right)^2 = m\left(\frac{3}{4}\ell^2\right) = \frac{3}{4}m\ell^2$ होगा।

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_B = \frac{2}{3} MR^2$ होता है।
चूंकि दोनों गोलों के लिए द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ समान हैं,इसलिए हम गुणांकों की तुलना करते हैं:
$\frac{I_A}{I_B} = \frac{\frac{2}{5} MR^2}{\frac{2}{3} MR^2} = \frac{3}{5} = 0.6$.
चूंकि $0.6 < 1$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $I_A < I_B$।

(A) वर्ग के केंद्र से $m$ द्रव्यमान के प्रत्येक कण की दूरी $r = \frac{\text{विकर्ण}}{2} = \frac{\ell\sqrt{2}}{2} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum mr^2 = 4 \times m \times \left(\frac{\ell}{\sqrt{2}}\right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$I = 4 \times m \times \frac{\ell^2}{2} = 2m\ell^2$.
घूर्णन त्रिज्या $K$ को $I = MK^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $M$ निकाय का कुल द्रव्यमान है $(M = 4m)$।
$4mK^2 = 2m\ell^2$.
$K^2 = \frac{2m\ell^2}{4m} = \frac{\ell^2}{2}$.
$K = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$.

(B) तार की लंबाई $\ell = \pi r$ है,जिसका अर्थ है $r = \frac{\ell}{\pi}$।
अर्धवृत्ताकार तार का उसके व्यास $(XX')$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}Mr^2$ होता है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$I_{XX'} = \frac{1}{2} M \left( \frac{\ell}{\pi} \right)^2 = \frac{M\ell^2}{2\pi^2}$।

(A) कणों के निकाय का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
यहाँ,अक्ष $100 \ cm$ के निशान से गुजरती है।
$1 \ kg$ द्रव्यमान ($20 \ cm$ पर) की $100 \ cm$ के निशान से दूरी $r_1 = |100 \ cm - 20 \ cm| = 80 \ cm = 0.8 \ m$ है।
$4 \ kg$ द्रव्यमान ($70 \ cm$ पर) की $100 \ cm$ के निशान से दूरी $r_2 = |100 \ cm - 70 \ cm| = 30 \ cm = 0.3 \ m$ है।
अतः,कुल जड़त्व आघूर्ण:
$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2$
$I = 1 \ kg \times (0.8 \ m)^2 + 4 \ kg \times (0.3 \ m)^2$
$I = 1 \times 0.64 + 4 \times 0.09$
$I = 0.64 + 0.36 = 1 \ kg \ m^2$.

(A) किसी अक्ष के परितः कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
$x$-अक्ष के लिए,$(x, y, z)$ बिंदु की लंबवत दूरी $r = \sqrt{y^2 + z^2}$ होती है।
$1$. द्रव्यमान $m_1 = 1 \ kg$ के लिए $(0, 0, 0)$ पर: $r_1 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$. अतः,$I_1 = 1 \times 0^2 = 0 \ kg-m^2$.
$2$. द्रव्यमान $m_2 = 2 \ kg$ के लिए $(2, 0, 0)$ पर: $r_2 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$. अतः,$I_2 = 2 \times 0^2 = 0 \ kg-m^2$.
$3$. द्रव्यमान $m_3 = 3 \ kg$ के लिए $(0, 3, 0)$ पर: $r_3 = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 \ m$. अतः,$I_3 = 3 \times (3)^2 = 27 \ kg-m^2$.
$4$. द्रव्यमान $m_4 = 4 \ kg$ के लिए $(-2, -2, 0)$ पर: $r_4 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 \ m$. अतः,$I_4 = 4 \times (-2)^2 = 4 \times 4 = 16 \ kg-m^2$.
$x$-अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 0 + 0 + 27 + 16 = 43 \ kg-m^2$ है।

(C) एक छड़ $AB$ का उसके केंद्र $P$ से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_C = \frac{1}{12}ML^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,वर्ग के केंद्र $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः छड़ $AB$ का जड़त्व आघूर्ण:
$I = I_C + Md^2 = \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1+3}{12}ML^2 = \frac{4}{12}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2$.
चूंकि ऐसी चार छड़ें हैं,इसलिए केंद्र $O$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I'$ होगा:
$I' = 4 \times I = 4 \times \left(\frac{1}{3}ML^2\right) = \frac{4}{3}ML^2$.

(A) किसी निकाय का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
घूर्णन अक्ष $m_1$ से गुजरने वाली ऊँचाई है।
$1$. द्रव्यमान $m_1$ के लिए: कण अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसकी लंबवत दूरी $r_1 = 0$ है।
$2$. द्रव्यमान $m_2$ के लिए: अक्ष से लंबवत दूरी $r_2 = a \cos(60^\circ) = \frac{a}{2}$ है।
$3$. द्रव्यमान $m_3$ के लिए: अक्ष से लंबवत दूरी $r_3 = a \cos(60^\circ) = \frac{a}{2}$ है।
अब,कुल जड़त्व आघूर्ण की गणना करते हुए:
$I = m_1(0)^2 + m_2 \left( \frac{a}{2} \right)^2 + m_3 \left( \frac{a}{2} \right)^2$
$I = 0 + m_2 \frac{a^2}{4} + m_3 \frac{a^2}{4}$
$I = (m_2 + m_3) \frac{a^2}{4}$

(B) कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
$x$-अक्ष के लिए,दूरी $r_x = \sqrt{y^2 + z^2}$ है।
$I_x = 5(0^2+0^2) + 2(0^2+0^2) + 3(3^2+0^2) + 4((-2)^2+0^2) = 0 + 0 + 27 + 16 = 43$ इकाई।
$y$-अक्ष के लिए,दूरी $r_y = \sqrt{x^2 + z^2}$ है।
$I_y = 5(0^2+0^2) + 2(2^2+0^2) + 3(0^2+0^2) + 4((-2)^2+0^2) = 0 + 8 + 0 + 16 = 24$ इकाई।
$z$-अक्ष के लिए,दूरी $r_z = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
$I_z = 5(0^2+0^2) + 2(2^2+0^2) + 3(0^2+3^2) + 4((-2)^2+(-2)^2) = 0 + 8 + 27 + 4(4+4) = 35 + 32 = 67$ इकाई।
अतः,जड़त्व आघूर्ण $43, 24, 67$ इकाई हैं।

(D) छड़ को मध्य बिंदु $O$ पर $90^{\circ}$ के कोण पर मोड़ा गया है। यह छड़ को दो भागों $OA$ और $OB$ में विभाजित करता है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $l = L/2$ और द्रव्यमान $m = M/2$ है।
घूर्णन अक्ष बिंदु $O$ से गुजरती है और मुड़ी हुई छड़ के तल के लंबवत है। $l$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान वाली छड़ के लिए,उसके एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} ml^2$ होता है।
भाग $OA$ के लिए,$O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_A = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L^2}{4} \right) = \frac{ML^2}{24}$.
इसी प्रकार,भाग $OB$ के लिए,$O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_B = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{ML^2}{24}$.
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण दोनों भागों के जड़त्व आघूर्ण का योग है:
$I = I_A + I_B = \frac{ML^2}{24} + \frac{ML^2}{24} = \frac{2ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$.

(C) चित्र से,घूर्णन अक्ष $AX$ से तीनों कणों की लंबवत दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$r_A = 0$
$r_B = l$
$r_C = l \sin 30^\circ = \frac{l}{2}$
अतः,$AX$ अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ निम्न होगा:
$I = m r_A^2 + m r_B^2 + m r_C^2$
$I = m(0)^2 + m(l)^2 + m\left(\frac{l}{2}\right)^2$
$I = 0 + ml^2 + \frac{ml^2}{4}$
$I = \frac{5}{4}ml^2$

(D) डिस्क $X$ का द्रव्यमान $M_X = (\pi R^2 t) \rho$ है,जहाँ $\rho$ लोहे का घनत्व है।
डिस्क $Y$ का द्रव्यमान $M_Y = (\pi (4R)^2 (t/4)) \rho = (4 \pi R^2 t) \rho = 4 M_X$ है।
वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
डिस्क $X$ के लिए: $I_X = \frac{1}{2} M_X R^2$.
डिस्क $Y$ के लिए: $I_Y = \frac{1}{2} M_Y (4R)^2 = \frac{1}{2} (4 M_X) (16 R^2) = 64 (\frac{1}{2} M_X R^2) = 64 I_X$.
अतः,$I_Y = 64 I_X$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके तल में स्थित और उसे स्पर्श करने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{5}{4}MR^2$ होता है।
चूंकि $I = MK^2$,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $K_1 = \sqrt{\frac{I_1}{M}} = \sqrt{\frac{5}{4}}R = \frac{\sqrt{5}}{2}R$ होगी।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार वलय (रिंग) के लिए,उसके तल में स्थित और उसे स्पर्श करने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{3}{2}MR^2$ होता है।
घूर्णन त्रिज्या $K_2 = \sqrt{\frac{I_2}{M}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$ होगी।
अतः,घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\sqrt{5}/2}{\sqrt{3/2}} = \sqrt{\frac{5}{4} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $r_1$ और $r_2$ द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ से क्रमशः $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमानों की दूरियाँ हैं।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$m_1 r_1 = m_2 r_2$ और $r_1 + r_2 = r$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $r_1 = \frac{m_2 r}{m_1 + m_2}$ और $r_2 = \frac{m_1 r}{m_1 + m_2}$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2$ द्वारा दिया जाता है।
$r_1$ और $r_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I = m_1 \left( \frac{m_2 r}{m_1 + m_2} \right)^2 + m_2 \left( \frac{m_1 r}{m_1 + m_2} \right)^2$
$I = m_1 \frac{m_2^2 r^2}{(m_1 + m_2)^2} + m_2 \frac{m_1^2 r^2}{(m_1 + m_2)^2}$
$I = \frac{m_1 m_2 r^2 (m_2 + m_1)}{(m_1 + m_2)^2}$
$I = \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) r^2$.

(A) किसी अक्ष के परितः कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
यहाँ,घूर्णन अक्ष $XX'$ अक्ष ($x$-अक्ष) है।
$x$-अक्ष से $(x, y)$ बिंदु की लंबवत दूरी $|y|$ होती है।
$1$. $(0, 3)$ पर स्थित $4 \ kg$ द्रव्यमान के लिए,दूरी $r_1 = |3| = 3 \ m$.
$I_1 = 4 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36 \ kg \cdot m^2$.
$2$. $(0, -2)$ पर स्थित $2 \ kg$ द्रव्यमान के लिए,दूरी $r_2 = |-2| = 2 \ m$.
$I_2 = 2 \times (2)^2 = 2 \times 4 = 8 \ kg \cdot m^2$.
$3$. $(0, -4)$ पर स्थित $3 \ kg$ द्रव्यमान के लिए,दूरी $r_3 = |-4| = 4 \ m$.
$I_3 = 3 \times (4)^2 = 3 \times 16 = 48 \ kg \cdot m^2$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = 36 + 8 + 48 = 92 \ kg \cdot m^2$ है।

(B) घूर्णन अक्ष $XX'$ $100 \ cm$ $(1 \ m)$ पर स्थित है।
$4 \ kg$ द्रव्यमान $70 \ cm$ $(0.7 \ m)$ पर स्थित है। अक्ष से इसकी दूरी $r_1 = 100 \ cm - 70 \ cm = 30 \ cm = 0.3 \ m$ है।
$1 \ kg$ द्रव्यमान $20 \ cm$ $(0.2 \ m)$ पर स्थित है। अक्ष से इसकी दूरी $r_2 = 100 \ cm - 20 \ cm = 80 \ cm = 0.8 \ m$ है।
जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र $I = \sum m_i r_i^2$ है।
$I = (4 \ kg) \times (0.3 \ m)^2 + (1 \ kg) \times (0.8 \ m)^2$.
$I = 4 \times 0.09 + 1 \times 0.64$.
$I = 0.36 + 0.64 = 1 \ kg \cdot m^2$.

(D) मान लीजिए कि चार गोले $a$ भुजा वाले वर्ग के कोनों $A, B, C$ और $D$ पर रखे गए हैं। हमें भुजा $AD$ के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
$A$ और $D$ पर स्थित गोलों के लिए,अक्ष $AD$ उनके केंद्रों से होकर गुजरती है। एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
अतः,$I_A = I_D = \frac{2}{5}MR^2$.
$B$ और $C$ पर स्थित गोलों के लिए,अक्ष $AD$ से उनके केंद्रों की दूरी $a$ है। समांतर अक्ष प्रमेय $I = I_{cm} + Md^2$ का उपयोग करने पर:
$I_B = I_C = \frac{2}{5}MR^2 + Ma^2$.
अक्ष $AD$ के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण:
$I_{AD} = I_A + I_D + I_B + I_C$
$I_{AD} = \frac{2}{5}MR^2 + \frac{2}{5}MR^2 + (\frac{2}{5}MR^2 + Ma^2) + (\frac{2}{5}MR^2 + Ma^2)$
$I_{AD} = 4(\frac{2}{5}MR^2) + 2Ma^2$
$I_{AD} = \frac{8}{5}MR^2 + 2Ma^2 = 2[\frac{4}{5}MR^2 + Ma^2]$.

(A) दिया गया है: त्रिज्या $R = 10 \ cm$,मोटाई $x = 5 \ mm = 0.5 \ cm$,घनत्व $\rho = 8 \ g/cc$.
डिस्क का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2 x) \rho$.
मान रखने पर: $M = \pi \times (10)^2 \times 0.5 \times 8 = \pi \times 100 \times 4 = 400\pi \ g$.
$\pi \approx 3.14$ लेने पर,$M = 400 \times 3.14 = 1256 \ g$.
वृत्ताकार डिस्क के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
$I = \frac{1}{2} \times (400\pi) \times (10)^2 = 200\pi \times 100 = 20000\pi \ g \ cm^2$.
$I = 20000 \times 3.14 = 62800 \ g \ cm^2 = 6.28 \times 10^4 \ g \ cm^2$.

(A) डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
चूंकि दोनों डिस्क के लिए द्रव्यमान $M$ और मोटाई $t$ समान है,इसलिए $M = \rho V = \rho (\pi R^2 t)$ होगा।
चूंकि $M$ और $t$ स्थिर हैं,इसलिए $\rho R^2 = \text{स्थिरांक}$ होगा,जिसका अर्थ है $R^2 \propto \frac{1}{\rho}$।
अतः,त्रिज्याओं के वर्ग का अनुपात $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{d_2}{d_1}$ होगा।
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M R_1^2}{\frac{1}{2} M R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ है।
घनत्व के संबंध को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{I_1}{I_2} = \frac{d_2}{d_1} = \frac{8.9}{7.2}$ प्राप्त होता है।

(D) छड़ को उसके मध्य बिंदु पर दो हिस्सों में मोड़ा जाता है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $l = L/2$ और द्रव्यमान $m = M/2$ है।
प्रत्येक आधा हिस्सा $L/2$ लंबाई और $M/2$ द्रव्यमान वाली एक पतली छड़ के रूप में कार्य करता है जो उसके एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूमती है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली एक पतली छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3}ml^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m = M/2$ और $l = L/2$ है।
अतः,मुड़ने वाले बिंदु $O$ के परितः एक आधे हिस्से का जड़त्व आघूर्ण $I_{half} = \frac{1}{3} \times (M/2) \times (L/2)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{M}{2} \times \frac{L^2}{4} = \frac{ML^2}{24}$ है।
चूंकि दोनों आधे हिस्से समान हैं और $O$ से गुजरने वाली समान अक्ष के परितः घूमते हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_{half} + I_{half} = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$ होगा।

(A) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I_{disc} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है। घूर्णन त्रिज्या $(k)$ को $I = Mk^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है। अतः,$k_{disc} = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$।
एक वृत्ताकार वलय (रिंग) का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I_{ring} = MR^2$ होता है। अतः,$k_{ring} = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{R^2} = R$।
डिस्क और वलय की घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{k_{disc}}{k_{ring}} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(C) मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र से $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमानों की दूरियाँ क्रमशः $l_1$ और $l_2$ हैं।
दिया गया है कि छड़ की कुल लंबाई $l$ है,इसलिए $l_1 + l_2 = l$ है।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$m_1 l_1 = m_2 l_2$ होता है।
$l_2 = l - l_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m_1 l_1 = m_2 (l - l_1)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $l_1 = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2}$ मिलता है।
इसी प्रकार,$l_2 = \frac{m_1 l}{m_1 + m_2}$ है।
द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2$ द्वारा दिया जाता है।
$l_1$ और $l_2$ के मान रखने पर:
$I = m_1 \left( \frac{m_2 l}{m_1 + m_2} \right)^2 + m_2 \left( \frac{m_1 l}{m_1 + m_2} \right)^2$
$I = \frac{m_1 m_2^2 l^2 + m_2 m_1^2 l^2}{(m_1 + m_2)^2}$
$I = \frac{m_1 m_2 l^2 (m_2 + m_1)}{(m_1 + m_2)^2}$
$I = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} l^2$.

(B) चूँकि चकती का द्रव्यमान नगण्य है,इसलिए निकाय का जड़त्व आघूर्ण केवल परिधि से जुड़े पाँच कणों द्वारा निर्धारित होगा।
प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m = 2 \ kg$ है और यह घूर्णन अक्ष से $r = 0.1 \ m$ की दूरी पर है।
कणों के निकाय के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि सभी $5$ कण केन्द्र से समान दूरी $r$ पर हैं,इसलिए $I = 5 \times m \times r^2$ होगा।
मान रखने पर: $I = 5 \times 2 \times (0.1)^2 = 10 \times 0.01 = 0.1 \ kg \cdot m^2$।

(B) वलय (ring) का जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
चूँकि वलय समान धातु और समान मोटाई की हैं,उनका द्रव्यमान $M$ उनकी परिधि के समानुपाती होगा,अर्थात $M \propto R$।
अतः,जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2 \propto R \cdot R^2 = R^3$ होगा।
अब,अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = (\frac{R_1}{R_2})^3 = (\frac{0.2}{0.6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = MR^2$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$ होता है।
चूंकि वलय सममित है,इसलिए किसी भी व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है,अतः $I_x = I_y = I_d$ लेने पर।
इस प्रकार,$I_z = 2I_d$,जिसका अर्थ है कि $MR^2 = 2I_d$।
अतः,व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{2}MR^2$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वृत्ताकार वलय का उसके केंद्र से होकर जाने वाले और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
चूंकि एक अर्धवृत्ताकार वलय एक पूर्ण वलय का आधा हिस्सा है,हम इसे कणों के एक ऐसे निकाय के रूप में मान सकते हैं जहाँ प्रत्येक कण केंद्र से $R$ दूरी पर स्थित है।
जड़त्व आघूर्ण को $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अर्धवृत्ताकार वलय के लिए,प्रत्येक द्रव्यमान अवयव $dm$ केंद्र से $R$ दूरी पर है।
इसलिए,$I = \int r^2 dm = \int R^2 dm = R^2 \int dm = MR^2$।
अतः,अर्धवृत्ताकार वलय का उसके केंद्र से होकर जाने वाले और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $MR^2$ होता है।

(B) किसी पिंड का किसी अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है। कुल द्रव्यमान नियत होने पर जड़त्व आघूर्ण को अधिकतम करने के लिए, द्रव्यमान को घूर्णन अक्ष से यथासंभव दूर वितरित किया जाना चाहिए। चूंकि लोहे का घनत्व $(\rho \approx 7870 \ kg/m^3)$ एल्यूमीनियम के घनत्व $(\rho \approx 2700 \ kg/m^3)$ से काफी अधिक होता है, इसलिए अधिक घनत्व वाले पदार्थ (लोहे) को बाहरी किनारे पर रखने से केंद्र में रखने की तुलना में जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है। अतः, आंतरिक भाग एल्यूमीनियम का और बाहरी भाग लोहे का होना चाहिए।

(D) किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $m_i$ $i$-वें कण का द्रव्यमान है और $r_i$ घूर्णन अक्ष से उसकी लंबवत दूरी है।
$1$. यह पिंड के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर करता है।
$2$. यह घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण $(r_i)$ पर निर्भर करता है।
$3$. यह घूर्णन अक्ष की स्थिति और अभिविन्यास पर निर्भर करता है।
चूंकि दिए गए सभी कारक जड़त्व आघूर्ण को प्रभावित करते हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) एक दृढ़ पिंड के जड़त्व आघूर्ण $(I)$ को $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m_i$ $i$-वें कण का द्रव्यमान है और $r_i$ घूर्णन अक्ष से उसकी लंबवत दूरी है।
इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि जड़त्व आघूर्ण वस्तु के द्रव्यमान,अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण और घूर्णन अक्ष की स्थिति/अभिविन्यास पर निर्भर करता है।
यह वस्तु की गति की अवस्था,जैसे कि उसके कोणीय वेग $(ω)$ या कोणीय त्वरण $(α)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली एक पतली छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = Ml^2/12$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी है।
एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के लिए,दूरी $d = l/2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = Ml^2/12 + M(l/2)^2$.
$I = Ml^2/12 + Ml^2/4$.
$I = (Ml^2 + 3Ml^2)/12 = 4Ml^2/12 = Ml^2/3$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ सूत्र $I = MK^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $K$ घूर्णन त्रिज्या है।
दिया गया है: $M = 10 \ kg$ और $I = 160 \ kg \ m^2$।
सूत्र में मान रखने पर:
$160 = 10 \times K^2$
$K^2 = \frac{160}{10} = 16$
$K = \sqrt{16} = 4 \ m$।
अतः,घूर्णन त्रिज्या $4 \ m$ है।