2l लंबाई और m द्रव्यमान वाली एक समान छड़ की उ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि छड़ $x$-अक्ष के अनुदिश है और इसका केंद्र मूल बिंदु पर है। छड़ का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{m}{2l}$ है।केंद्र से $x$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{m l^2}{3} \sin^2 \alpha$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि छड़ $x$-अक्ष के अनुदिश है और इसका केंद्र मूल बिंदु पर है। छड़ का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{m}{2l}$ है।केंद्र से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = \frac{m}{2l} dx$ है।इस अवयव की अक्ष $xx'$ से लंबवत दूरी $r = x \sin \alpha$ है।अक्ष $xx'$ के परितः इस अवयव का जड़त्व आघूर्ण $dI = (dm) r^2 = \left(\frac{m}{2l} dx\right) (x \sin \alpha)^2$ है।इसका $x = -l$ से $x = +l$ तक समाकलन करने पर:$I = \int_{-l}^{l} \frac{m}{2l} x^2 \sin^2 \alpha dx = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \int_{-l}^{l} x^2 dx$.$I = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-l}^{l} = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{l^3}{3} - \frac{(-l)^3}{3} \right) = \frac{m \sin^2 \alpha}{2l} \left( \frac{2l^3}{3} \right) = \frac{1}{3} m l^2 \sin^2 \alpha$.

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