Energy of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(B) सरल आवर्त गति में एक कण की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
पिंड माध्य स्थिति से शुरू होता है,इसलिए विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ और वेग $v = A \omega \cos(\omega t)$ है।
कुल ऊर्जा $(TE)$ $\frac{1}{2} k A^2$ है।
हमें दिया गया है कि $KE = 75 \% \text{ of } TE = \frac{3}{4} TE$.
अतः,$\frac{1}{2} k (A \cos(\omega t))^2 = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} k A^2)$.
$\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$.
$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\omega t = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{T}{12}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: माध्य स्थिति में गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $= 16 \ J$,आयाम $(A)$ $= 25 \ cm = 0.25 \ m$,द्रव्यमान $(m)$ $= 5.12 \ kg$.
सरल आवर्त गति में माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा कण की कुल ऊर्जा $(E)$ के बराबर होती है।
कुल ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
मान रखने पर: $16 = \frac{1}{2} \times 5.12 \times \omega^2 \times (0.25)^2$.
$\omega^2$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{16 \times 2}{5.12 \times 0.0625} = \frac{32}{0.32} = 100$.
अतः,$\omega = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
दोलन का आवर्तकाल $(T)$ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर: $T = \frac{2 \pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ s$.

(D) $S.H.M.$ में एक कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
यह दिया गया है कि ऊर्जा आधी स्थितिज और आधी गतिज है, इसलिए $K.E. = P.E.$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$.
इसे सरल करने पर, $A^2 - x^2 = x^2$, जिसका अर्थ है $A^2 = 2x^2$.
इसलिए, $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
आयाम $A = 4 \,cm$ दिया गया है, इसलिए $x = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \,cm$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $K.E. = P.E. + 25\% \text{ of } P.E.$
$K.E. = P.E. + 0.25 P.E. = 1.25 P.E. = \frac{5}{4} P.E.$
हम जानते हैं कि $S.H.M.$ के लिए,$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ और $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ होता है।
इन मानों को दी गई शर्त में रखने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{5}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 x^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{5}{4} x^2$
$A^2 = x^2 + \frac{5}{4} x^2 = \frac{9}{4} x^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $A = \frac{3}{2} x$।
यहाँ $A = 3 \,cm$ दिया गया है,इसलिए $3 = \frac{3}{2} x$।
अतः,$x = 2 \,cm$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $S.H.M.$ में एक पिंड की स्थितिज ऊर्जा $E_P = \frac{1}{2} Kx^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ बल नियतांक है।
विस्थापन $x$ के लिए,$E_1 = \frac{1}{2} Kx^2 \Rightarrow x = \sqrt{\frac{2E_1}{K}}$।
विस्थापन $y$ के लिए,$E_2 = \frac{1}{2} Ky^2 \Rightarrow y = \sqrt{\frac{2E_2}{K}}$।
विस्थापन $(x+y)$ पर स्थितिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} K(x+y)^2$ है।
$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} K \left( \sqrt{\frac{2E_1}{K}} + \sqrt{\frac{2E_2}{K}} \right)^2$
$E = \frac{1}{2} K \left( \sqrt{\frac{2}{K}} \right)^2 (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
$E = \frac{1}{2} K \cdot \frac{2}{K} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
$E = (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$।

(D) $S.H.M.$ में एक कण की कुल ऊर्जा $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} kA^2$ होती है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $K.E. = 50 \%$ $T.E.$,जिसका अर्थ है $K.E. = \frac{1}{2} T.E.$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} kA^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{1}{2} A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \frac{A}{\sqrt{2}}$
माध्य स्थिति से शुरू होने वाले कण के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\frac{2\pi t}{T})$ है।
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ और $T = 4 \ s$ रखने पर:
$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\frac{2\pi t}{4})$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi t}{2})$
$\frac{\pi t}{2} = \frac{\pi}{4}$
$t = 0.5 \ s$.

(D) $S$.$H$.$M$. कर रहे एक पिंड की विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $P = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = m \omega^2$ है।
दिया है,$P_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies \sqrt{P_1} = x \sqrt{\frac{k}{2}}$ ---$(1)$
और $P_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies \sqrt{P_2} = y \sqrt{\frac{k}{2}}$ ---$(2)$
मान लीजिए कि विस्थापन $(x+y)$ पर स्थितिज ऊर्जा $P$ है। तब,
$P = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{P} = (x+y) \sqrt{\frac{k}{2}}$
$\sqrt{P} = x \sqrt{\frac{k}{2}} + y \sqrt{\frac{k}{2}}$
इस व्यंजक में समीकरण $(1)$ और $(2)$ का मान रखने पर:
$\sqrt{P} = \sqrt{P_1} + \sqrt{P_2}$

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक पिंड की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ आयाम है।
किसी भी विस्थापन $y$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ होती है।
गतिज ऊर्जा $K$ कुल ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अंतर है: $K = E - U$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$K = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$.
दिया गया है कि विस्थापन $y = \frac{a}{2}$,इसे गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - (\frac{a}{2})^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - \frac{a^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3a^2}{4})$.
चूंकि $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$,हम लिख सकते हैं कि $K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2) = \frac{3E}{4}$.

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
$t = \frac{T}{12}$ समय पर,विस्थापन $x = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}\right) = A \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{A}{2}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}m\omega^2A^2$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2 - \frac{A^2}{4}\right) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(\frac{3A^2}{4}\right) = \frac{3}{8}m\omega^2A^2$ है।
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{U}{K} = \frac{\frac{1}{8}m\omega^2A^2}{\frac{3}{8}m\omega^2A^2} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,अनुपात $1: 3$ है।

(B) गतिज ऊर्जा माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर अधिकतम होती है।
स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों ($x = +A$ या $x = -A$) पर अधिकतम होती है।
माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक पिंड का विस्थापन आयाम $A$ के बराबर होता है।
अतः,विस्थापन $\pm A$ है।

(C) दिया गया है: आयाम $A = 0.06 \,m$,गतिज ऊर्जा $K.E. = 10 \,J$,स्थितिज ऊर्जा $P.E. = 8 \,J$।
कुल ऊर्जा $T.E. = K.E. + P.E. = 10 \,J + 8 \,J = 18 \,J$।
स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2} kx^2$ है और कुल ऊर्जा $T.E. = \frac{1}{2} kA^2$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{P.E.}{T.E.} = \frac{\frac{1}{2} kx^2}{\frac{1}{2} kA^2} = \frac{x^2}{A^2}$।
मान रखने पर: $\frac{8}{18} = \frac{x^2}{(0.06)^2}$।
$\frac{4}{9} = \frac{x^2}{(0.06)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{2}{3} = \frac{x}{0.06}$।
$x = \frac{2}{3} \times 0.06 = 2 \times 0.02 = 0.04 \,m$।

(B) सरल आवर्त गति में एक पिंड की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} kA^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} kx^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा का एक-चौथाई है:
$U = \frac{1}{4} E$
$U$ और $E$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} kA^2)$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2} k$ को हटाने पर:
$x^2 = \frac{A^2}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \pm \frac{A}{2}$
अतः,माध्य स्थिति से $\frac{A}{2}$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा का एक-चौथाई होती है।

(A) $S.H.M.$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दिया गया है $U_{1} = \frac{1}{2} k x_{1}^{2}$,इसलिए $\sqrt{U_{1}} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1}|$.
दिया गया है $U_{2} = \frac{1}{2} k x_{2}^{2}$,इसलिए $\sqrt{U_{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{2}|$.
विस्थापन $x = x_{1} + x_{2}$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k (x_{1} + x_{2})^{2}$ होगी।
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{U} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1} + x_{2}|$.
यदि $x_{1}$ और $x_{2}$ समान चिह्न के हैं,तो $\sqrt{U} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1}| + \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{2}| = \sqrt{U_{1}} + \sqrt{U_{2}}$.
अतः,$\sqrt{U} = \sqrt{U_{1}} + \sqrt{U_{2}}$.

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण की कुल ऊर्जा $(E)$ उसकी स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
कुल ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ होती है।
साथ ही,बल नियतांक $k = m \omega^{2}$ होता है।
$k$ के व्यंजक में $\omega$ का मान रखने पर,हमें $k = m \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^{2} = \frac{4 \pi^{2} m}{T^{2}}$ प्राप्त होता है।
अब,कुल ऊर्जा के सूत्र में $k$ का मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{4 \pi^{2} m}{T^{2}} \right) A^{2}$।
इसे सरल करने पर,हमें $E = \frac{2 \pi^{2} m A^{2}}{T^{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: विस्थापन $= x$,स्थितिज ऊर्जा $(P.E.) = E$,प्रत्यानयन बल $= F$।
$S.H.M.$ में एक कण के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
स्थितिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है।
बल समीकरण से,हमारे पास $k = -\frac{F}{x}$ है।
$k$ के इस मान को स्थितिज ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \left(-\frac{F}{x}\right) x^2$
$E = -\frac{1}{2} Fx$
$2$ से गुणा करने पर:
$2E = -Fx$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2E + Fx = 0$
$F$ से भाग देने पर:
$\frac{2E}{F} + x = 0$।

(D) सरल आवर्त गति में एक वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $P = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दिया गया है कि $P_{1} = \frac{1}{2} k x_{1}^2$ और $P_{2} = \frac{1}{2} k x_{2}^2$.
हमें विस्थापन $(x_{1} + x_{2})$ पर स्थितिज ऊर्जा $P$ ज्ञात करनी है:
$P = \frac{1}{2} k (x_{1} + x_{2})^2$
$P = \frac{1}{2} k (x_{1}^2 + x_{2}^2 + 2 x_{1} x_{2})$
$P = \frac{1}{2} k x_{1}^2 + \frac{1}{2} k x_{2}^2 + 2 \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x_{1}^2} \right) \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x_{2}^2} \right)$
$P = P_{1} + P_{2} + 2 \sqrt{P_{1} P_{2}}$.

(A) दिया गया है,आवर्तकाल $T = 6 \ s$ है। गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है और कुल ऊर्जा $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
हमें दिया गया है कि $K.E. = 50\% \text{ of } T.E.$,इसलिए $K.E. = \frac{1}{2} T.E.$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$.
इसे सरल करने पर $A^2 - x^2 = \frac{A^2}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{A^2}{2}$ या $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
चूंकि कण माध्य स्थिति से शुरू होता है,विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ रखने पर,हमें मिलता है $\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\frac{2\pi}{T} t)$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{2\pi}{6} t) = \sin(\frac{\pi}{3} t)$.
चूंकि $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} t$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{3}{4} = 0.75 \ s$.

(A) एक सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:
$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
जहाँ:
$m$ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले पिंड का द्रव्यमान है,
$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,
$A$ दोलन का आयाम है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कुल ऊर्जा $E$,आयाम के वर्ग $(A^2)$ के सीधे समानुपाती होती है।
अतः,$E \propto A^2$।

(B) $S.H.M.$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
चूंकि दिए गए $S.H.M.$ के लिए $k$ और $A$ दोनों नियत रहते हैं,इसलिए कुल ऊर्जा $E$ समय के साथ स्थिर रहती है।
अतः,कुल ऊर्जा आवर्ती रूप से परिवर्तित नहीं होती है,जबकि विस्थापन,वेग और त्वरण समय के साथ दोलन करते हैं।

(B) दोलन करते कण (सरल आवर्त गति) की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -k x$ है।
स्थितिज ऊर्जा के समीकरण से,हम लिख सकते हैं:
$2 U = k x^{2}$
समीकरण में $k = -\frac{F}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 U = -\left( \frac{F}{x} \right) x^{2}$
$2 U = -F x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 U}{F} = -x$
अतः:
$\frac{2 U}{F} + x = 0$

(B) $SHM$ कर रहे कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$ द्वारा दी जाती है।
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $y = 0$ होता है।
अतः,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K_{mean} = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$ है।
$y = A / 2$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A / 2)^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} / 4) = \frac{1}{8} m \omega^{2} A^{2}$ है।
माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा और $y = A / 2$ पर स्थितिज ऊर्जा का अनुपात लेने पर:
$\frac{K_{mean}}{U} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}}{\frac{1}{8} m \omega^{2} A^{2}} = \frac{1/2}{1/8} = \frac{8}{2} = 4$.
इस प्रकार,अनुपात $4: 1$ है।

(A) विस्थापन $y$ पर एक सरल आवर्त दोलक की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ है।
दोलक की कुल ऊर्जा $E$ का मान $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ होता है,जहाँ $A$ आयाम है।
जब कण अपने अंतिम बिंदु से आधी दूरी पर होता है,तो विस्थापन $y$ आयाम का आधा होता है,अर्थात $y = \frac{A}{2}$।
इस मान को स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{A}{2})^2$
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{A^2}{4})$
$U = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$
चूंकि $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$U = \frac{1}{4} E$.

(C) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,किसी भी स्थिति $x$ पर उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग होती है।
$E = K + U = 1 \ J + 0.6 \ J = 1.6 \ J$.
सरल आवर्त गति में कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
हम जानते हैं कि $k = m \omega^2$,जहाँ $\omega = 2 \pi f$.
दिया गया है $f = \frac{25}{\pi} \ Hz$,इसलिए $\omega = 2 \pi (\frac{25}{\pi}) = 50 \ rad/s$.
अतः,$k = 0.2 \times (50)^2 = 0.2 \times 2500 = 500 \ N/m$.
वैकल्पिक रूप से,हम कुल ऊर्जा के सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $A$ आयाम है।
$1.6 = \frac{1}{2} \times 500 \times A^2$.
$1.6 = 250 \times A^2$.
$A^2 = \frac{1.6}{250} = \frac{16}{2500} = 0.0064$.
$A = \sqrt{0.0064} = 0.08 \ m$.

(A) दिया गया है: विस्थापन $Y = A \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \ cm = 0.2\sqrt{3} \ m$.
आयाम $A = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - Y^2)$.
मान रखने पर: $200 = \frac{1}{2} k((0.4)^2 - (0.2\sqrt{3})^2)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.16 - 0.12)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.04)$.
$200 = k(0.02)$.
$k = \frac{200}{0.02} = 10000 \ N/m = 1 \times 10^4 \ N/m$.
$1 \times 10^x \ N/m$ से तुलना करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(C) स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ द्वारा और गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा,गतिज ऊर्जा की $8$ गुनी है:
$U = 8K$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = 8 \times \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$x^2 = 8(A^2 - x^2)$
$x^2 = 8A^2 - 8x^2$
$9x^2 = 8A^2$
$x^2 = \frac{8A^2}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \frac{\sqrt{8} A}{3} = \frac{2\sqrt{2} A}{3}$

(B) संतुलन स्थिति से शुरू होने वाले कण का विस्थापन $x = a \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $t = \frac{T}{12}$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,इसलिए विस्थापन $x = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{a}{2}$ होगा।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $\frac{1}{2}k(a^2 - x^2)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $\frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - x^2}{x^2}$ है।
$x = \frac{a}{2}$ का मान रखने पर,$\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - (a/2)^2}{(a/2)^2} = \frac{a^2 - a^2/4}{a^2/4} = \frac{3a^2/4}{a^2/4} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(D) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जो दर्शाता है कि आवर्तकाल आयाम $A$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,आवर्तकाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
$S.H.M.$ में एक कण की कुल ऊर्जा $E$ सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $E \propto A^2$,यदि आयाम $A$ को कम किया जाता है,तो कुल ऊर्जा $E$ भी कम हो जाएगी।
अतः,आवर्तकाल स्थिर रहता है जबकि कुल ऊर्जा कम हो जाती है।

(B) दिया गया है: $m = 0.4 \,kg$, $f = \frac{16}{\pi} \,Hz$, $K.E. = 2 \,J$, $P.E. = 1.2 \,J$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{16}{\pi} = 32 \,rad/s$.
कुल ऊर्जा $T.E. = K.E. + P.E. = 2 + 1.2 = 3.2 \,J$.
$S.H.M.$ में कुल ऊर्जा का सूत्र $T.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
मान रखने पर: $3.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (32)^2 \times A^2$.
$3.2 = 0.2 \times 1024 \times A^2$.
$3.2 = 204.8 \times A^2$.
$A^2 = \frac{3.2}{204.8} = \frac{32}{2048} = \frac{1}{64}$.
$A = \sqrt{\frac{1}{64}} = 0.125 \,m$.

(D) $S.H.M.$ में एक कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
किसी विस्थापन $x$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ होती है।
गतिज ऊर्जा $K = E - U = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ होती है।
दिया गया है कि $K = \frac{3E}{4}$,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = E - \frac{3E}{4} = \frac{E}{4}$ होगी।
$U$ और $E$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$।
सरल करने पर,हमें $x^2 = \frac{A^2}{4}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$x = \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) $SHM$ में,गतिज ऊर्जा $K(x)$ और स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$K(x) = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$
$U(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
बिंदु $x = x_0$ पर,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा बराबर हैं,अर्थात $K(x_0) = U(x_0)$।
$\frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x_0^2) = \frac{1}{2}m\omega^2x_0^2$
$A^2 - x_0^2 = x_0^2$
$A^2 = 2x_0^2$
$x_0^2 = \frac{A^2}{2}$
$|x_0| = \frac{A}{\sqrt{2}}$

(A) $SHM$ कर रहे कण की गतिज ऊर्जा $(KE)$ इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$
यहाँ दूरी $y = \frac{A}{2}$ दी गई है,जहाँ $A$ आयाम है:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - (\frac{A}{2})^{2}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - \frac{A^{2}}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})$
$SHM$ कर रहे कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ इस प्रकार है:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$
$y = \frac{A}{2}$ रखने पर:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A^{2}}{4})$
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})}{\frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A^{2}}{4})} = \frac{3/4}{1/4} = 3$
अतः,अनुपात $3:1$ है।

(A) सरल आवर्त गति में विस्थापन $x$ पर कण की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
यहाँ दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ है,जहाँ $A$ आयाम है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{8} k A^2$ होगी।
कण की कुल ऊर्जा $(E)$ $E = \frac{1}{2} k A^2$ होती है।
गतिज ऊर्जा $(K)$ का मान $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{8} k A^2 = \frac{3}{8} k A^2$ होगा।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{\frac{3}{8} k A^2}{\frac{1}{8} k A^2} = \frac{3}{1}$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(B) दिया गया है: आवर्तकाल $T = 3 \,s$, विस्थापन $x = 0.6 \,A$ (जहाँ $A$ आयाम है)।
सरल आवर्त गति में कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
कण की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2} = \left(\frac{A}{x}\right)^2 - 1$ है।
$x = 0.6 \,A = \frac{6}{10} \,A = \frac{3}{5} \,A$ रखने पर, हमें $\frac{A}{x} = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुपात $\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{25 - 9}{9} = \frac{16}{9}$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,आवर्तकाल $T = \frac{\pi}{2} \ s$,विस्थापन $x = 0.2 \ m$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4 \ rad/s$।
सरल आवर्त गति करने वाले कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $k = m\omega^2$,इसलिए $U = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2$ होगा।
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times 1 \times (4)^2 \times (0.2)^2$।
$U = \frac{1}{2} \times 16 \times 0.04 = 8 \times 0.04 = 0.32 \ J$।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक पिंड के लिए,$d$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k d^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E$ है:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
$E = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k y^2 + 2 \left( \frac{1}{2} k x y \right)$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{\left( \frac{1}{2} k x^2 \right) \left( \frac{1}{2} k y^2 \right)}$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{E_1 E_2}$
$E = (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ है।
विस्थापन समीकरण $x = 8 \cos \left(50 t + \frac{\pi}{12}\right) \text{ m}$ है।
इसे मानक सरल आवर्त गति समीकरण $x = A \cos(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A = 8 \text{ m}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 50 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
कण का अधिकतम वेग $v_{\max} = A \omega = 8 \times 50 = 400 \text{ m/s}$ है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3} \text{ kg}) \times (400 \text{ m/s})^2$.
$(K.E.)_{\max} = 10^{-3} \times 160000 = 160 \text{ J}$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3 \,kg$, आयाम $A = \frac{2}{\pi} \,m$, माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K_{max} = 6 \,J$।
माध्य स्थिति पर, गतिज ऊर्जा सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा के बराबर होती है: $K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = 6 \,J$।
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{2} m (\frac{2\pi}{T})^2 A^2 = 6$।
$\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{4\pi^2}{T^2} \times (\frac{2}{\pi})^2 = 6$।
$\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{4\pi^2}{T^2} \times \frac{4}{\pi^2} = 6$।
$6 \times \frac{4}{T^2} = 6$।
$T^2 = 4$, जिससे $T = 2 \,s$ प्राप्त होता है।

(D) गति का समीकरण $x=3 \sin \left(6 t+\frac{\pi}{6}\right)$ है,जहाँ आयाम $A=3 \ m$ है।
समय $t=0$ पर,विस्थापन $x=3 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5 \ m$ है।
स्थितिज ऊर्जा $V = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{V}{K} = \frac{\frac{1}{2} k x^2}{\frac{1}{2} k (A^2 - x^2)} = \frac{x^2}{A^2 - x^2}$ है।
मान $x=1.5$ और $A=3$ रखने पर:
$\frac{V}{K} = \frac{(1.5)^2}{3^2 - (1.5)^2} = \frac{2.25}{9 - 2.25} = \frac{2.25}{6.75} = \frac{1}{3}$.
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(C) $S.H.M.$ कर रहे पिंड की $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दिया गया है:
$U_x = \frac{1}{2} k x^2 = 9 \ J$ --- $(1)$
$U_y = \frac{1}{2} k y^2 = 16 \ J$ --- $(2)$
हमें $(x+y)$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा ज्ञात करनी है,जो $U_{(x+y)} = \frac{1}{2} k (x+y)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर:
$U_{(x+y)} = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy) = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k y^2 + 2 \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x^2} \right) \left( \sqrt{\frac{1}{2} k y^2} \right)$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$U_{(x+y)} = 9 + 16 + 2 \times \sqrt{9} \times \sqrt{16}$
$U_{(x+y)} = 25 + 2 \times 3 \times 4$
$U_{(x+y)} = 25 + 24 = 49 \ J$.

(C) $SHM$ कर रहे कण का आयाम $A = 10 \ cm$ है।
कण का तात्कालिक विस्थापन $x = 6 \ cm$ है।
कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
कण की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2}$ है।
मान रखने पर,$\frac{K}{U} = \frac{10^2 - 6^2}{6^2} = \frac{100 - 36}{36} = \frac{64}{36}$ प्राप्त होता है।
भिन्न को सरल करने पर,$\frac{K}{U} = \frac{16}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $16: 9$ है।

(B) $S.H.M$ में,गतिज ऊर्जा $(K.E)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E)$ इस प्रकार दी जाती हैं:
$K.E = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$
$P.E = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
जहाँ $a$ आयाम है और $y$ विस्थापन है।
$K.E = P.E$ के लिए:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
$a^2 - y^2 = y^2$
$a^2 = 2y^2$
$y = \pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
अतः,कथन $(A)$ सही है।
कारण $(R)$ के संबंध में,$S.H.M$ में कण की स्थितिज ऊर्जा वास्तव में आवर्ती होती है और चरम विस्थापन $(y = \pm a)$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करती है। हालाँकि,यह कथन यह नहीं समझाता है कि $y = a/\sqrt{2}$ पर गतिज और स्थितिज ऊर्जा समान क्यों हैं। इसलिए,दोनों सही हैं,लेकिन $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
स्थितिज ऊर्जा को अधिकतम होने के लिए,विस्थापन $x$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
सरल आवर्त गति में,माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन आयाम $A$ के बराबर होता है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों पर अधिकतम होती है,जो $x = \pm A$ है।

(C) दिया गया है,दोलन का आयाम,$a = 6 \text{ cm}$।
मान लीजिए विस्थापन $x \text{ cm}$ है।
जब गतिज ऊर्जा $(K)$ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बराबर होती है,तो $K = U$ होता है।
सरल आवर्त दोलक की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ द्वारा दी जाती है।
दोनों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
$a^2 - x^2 = x^2$
$2x^2 = a^2$
$x^2 = \frac{a^2}{2}$
$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$
$a = 6 \text{ cm}$ रखने पर:
$x = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \text{ cm}$।

(B) सरल आवर्त गति में विस्थापन $y$ पर पिंड की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ है।
पिंड की कुल ऊर्जा $(E)$ $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा की एक-चौथाई है:
$U = \frac{1}{4} E$
$U$ और $E$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \right)$
दोनों पक्षों से समान पदों $\frac{1}{2} m \omega^2$ को हटाने पर:
$y^2 = \frac{A^2}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$y = \pm \frac{A}{2}$
अतः,माध्य स्थिति से $A/2$ के विस्थापन पर,स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा की एक-चौथाई होती है।

(A) सरल आवर्त गति करने वाले एक पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$K = \frac{1}{2} m v^2$
जहाँ $v$ पिंड का वेग है।
यदि विस्थापन $y = a \sin \omega t$ है,तो वेग होगा:
$v = \frac{dy}{dt} = a \omega \cos \omega t$
इस मान को गतिज ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{1}{2} m (a \omega \cos \omega t)^2 = \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 \cos^2 \omega t$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K = \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 \left( \frac{1 + \cos 2\omega t}{2} \right) = \frac{1}{4} m a^2 \omega^2 (1 + \cos 2\omega t)$
यह व्यंजक दर्शाता है कि गतिज ऊर्जा $K$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है और सरल आवर्त गति की आवृत्ति से दोगुनी आवृत्ति (अर्थात $2\omega$) के साथ बदलती है। विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ इस आवर्ती परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है,जहाँ $K$,$0$ और अधिकतम मान के बीच $T/2$ के आवर्तकाल के साथ दोलन करता है।

(A) दिया गया है: कुल ऊर्जा $E = 9 \,J$, माध्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा $U_{mean} = 5 \,J$, द्रव्यमान $m = 2 \,kg$, आयाम $A = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$।
$SHM$ की कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है। माध्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा $U_{mean} = 5 \,J$ है।
अतः, माध्य स्थिति पर अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - U_{mean} = 9 \,J - 5 \,J = 4 \,J$ होगी।
$SHM$ में, अधिकतम गतिज ऊर्जा चरम स्थिति पर अधिकतम स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है, जो $\frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए, $\frac{1}{2} k A^2 = 4 \,J$।
$A = 10^{-2} \,m$ रखने पर:
$\frac{1}{2} k (10^{-2})^2 = 4 \implies \frac{1}{2} k (10^{-4}) = 4 \implies k = 8 \times 10^4 \,N/m$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
मान रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{8 \times 10^4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4 \times 10^4}} = 2 \pi \times \frac{1}{2 \times 10^2} = \frac{\pi}{100} \,s$।

(D) दिया गया है,$y=5 \sin \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right)$.
$y=A \sin (\omega t+\phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \,rad/s$ प्राप्त होती है।
कण का द्रव्यमान $m = 2 \,g = 2 \times 10^{-3} \,kg$ है।
कण का वेग $v = \frac{dy}{dt} = 5 \times 4 \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right) \,m/s$ है।
$t = \frac{T}{4}$ पर,जहाँ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \,s$,इसलिए $t = \frac{\pi}{8} \,s$ है।
वेग समीकरण में $t = \frac{\pi}{8}$ रखने पर:
$v = 20 \cos \left(4 \times \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\cos(150^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $v = 20 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -10\sqrt{3} \,m/s$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3}) \times (-10\sqrt{3})^2$.
$K = 10^{-3} \times 100 \times 3 = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \,J$.

(C) सरल आवर्त गति में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $x = A \sin(\omega t)$ है।
कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है।
हमें दिया गया है कि $U = \frac{1}{2} E$ है।
मान रखने पर,$\frac{1}{2} k (A \sin(\omega t))^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sin^2(\omega t) = \frac{1}{2}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\omega t = \frac{\pi}{4}$।
आवर्तकाल $T = 8 \ s$ दिया गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ है।
समीकरण में $\omega$ का मान रखने पर: $(\frac{\pi}{4}) t = \frac{\pi}{4}$।
इसलिए,$t = 1 \ s$।

(A) सरल आवर्त गति में एक कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है,$A$ आयाम है और $x$ विस्थापन है।
दिया गया है: $x = 3 \ cm = 0.03 \ m$,$A = 5 \ cm = 0.05 \ m$,और $K = 4 \ mJ = 4 \times 10^{-3} \ J$.
मान रखने पर: $4 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} k((0.05)^2 - (0.03)^2)$.
$4 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} k(0.0025 - 0.0009) = \frac{1}{2} k(0.0016) = 0.0008 k$.
$k = \frac{4 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{-4}} = 5 \ N/m$.
कण पर कार्य करने वाला अधिकतम बल $F_{max} = kA$ है।
$F_{max} = 5 \times 0.05 = 0.25 \ N$.