Energy of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(A) मान लीजिए $U$ स्थितिज ऊर्जा है और $K$ $SHM$ में एक पिंड की गतिज ऊर्जा है।
दिया गया है कि $U = 3K$ है।
$SHM$ में स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है और गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $x$ विस्थापन है।
इन मानों को दी गई शर्त में रखने पर:
$\frac{1}{2} k x^2 = 3 \times \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$
$x^2 = 3(A^2 - x^2)$
$x^2 = 3A^2 - 3x^2$
$4x^2 = 3A^2$
$x^2 = \frac{3}{4} A^2$
$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} A$

(A) $SHM$ में प्रत्यानयन बल (restoring force) $F = kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = 1$ इकाई पर,बल $F = b$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b = k(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k = b$ है।
$SHM$ कर रहे पिंड की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{max})$ का सूत्र $KE_{max} = \frac{1}{2} k a^2$ है,जहाँ $a$ आयाम है।
सूत्र में $k = b$ रखने पर,हमें $KE_{max} = \frac{1}{2} b a^2$ प्राप्त होता है।

(A) $SHM$ कर रहे एक पिंड के लिए अधिकतम प्रत्यानयन बल $F = kA$ होता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
दिया गया है,$\alpha = kA$ --- $(1)$
$SHM$ कर रहे पिंड की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kA^2$ होती है।
दिया गया है,$\beta = \frac{1}{2}kA^2$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\frac{1}{2}kA^2}{kA}$
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{A}{2}$
अतः,आयाम $A$ का मान है:
$A = \frac{2\beta}{\alpha}$

(C) $SHM$ कर रहे पिंड की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
चूँकि $E \propto A^2$,यदि आयाम $A$ को दोगुना $(A' = 2A)$ कर दिया जाए,तो नई ऊर्जा $E'$ होगी:
$E' = \frac{1}{2} k (2A)^2 = 4 \times (\frac{1}{2} k A^2) = 4E$.
अतः,ऊर्जा मूल ऊर्जा की चार गुनी हो जाएगी।

(A) दिया गया है,आयाम $A = \sqrt{5} \ cm$ है।
मान लीजिए विस्थापन $x$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ और स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ होती है।
अनुपात $\frac{K}{U} = 4$ दिया गया है।
व्यंजक रखने पर,$\frac{\frac{1}{2} k(A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} k x^2} = 4$.
$\frac{A^2 - x^2}{x^2} = 4$.
$A^2 - x^2 = 4x^2$.
$A^2 = 5x^2$.
$x^2 = \frac{A^2}{5}$.
चूंकि $A = \sqrt{5} \ cm$,इसलिए $A^2 = 5 \ cm^2$ है।
$x^2 = \frac{5}{5} = 1 \ cm^2$.
अतः,$x = \pm 1 \ cm$.

(A) $Simple \text{ } Harmonic \text{ } Oscillator$ की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kA^2$ होती है।
विस्थापन $y$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}ky^2$ होती है।
गतिज ऊर्जा $K = E - U = \frac{1}{2}k(A^2 - y^2)$ होती है।
$(a)$ $y = \frac{A}{\sqrt{2}}$ के लिए:
$K = \frac{1}{2}k(A^2 - \frac{A^2}{2}) = \frac{1}{2}k(\frac{A^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}kA^2) = \frac{E}{2}$। अतः, $(a) - (iii)$।
$(b)$ $y = \frac{\sqrt{3}A}{2}$ के लिए:
$K = \frac{1}{2}k(A^2 - \frac{3A^2}{4}) = \frac{1}{2}k(\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}kA^2) = \frac{E}{4}$। अतः, $(b) - (ii)$।
इसलिए, सही मिलान $(a-iii, b-ii)$ है।

$(A)$ $SHO$ कर रहे एक पिंड के लिए, कुल ऊर्जा $(E)$, गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग होती है:
$E = K + U$
यहाँ $E = 100\,J$ दिया गया है।
$(a)$ के लिए, $K = 10\,J$:
$U = E - K = 100\,J - 10\,J = 90\,J$।
यह $(ii)$ से मेल खाता है।
$(b)$ के लिए, $K = 60\,J$:
$U = E - K = 100\,J - 60\,J = 40\,J$।
यह $(i)$ से मेल खाता है।
अतः, सही मिलान $(a-ii, b-i)$ है।

(A) एक सरल आवर्त दोलक के लिए,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $x$ विस्थापन है। यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ आयाम है। यह एक उल्टा परवलय है।
कुल ऊर्जा $(E)$ $PE$ और $KE$ का योग है,जो $E = U + K = \frac{1}{2} k A^2$ है। यह विस्थापन $x$ से स्वतंत्र रूप से स्थिर रहती है।
x-अक्ष पर विस्थापन $x$ और y-अक्ष पर ऊर्जा वाले ग्राफ पर:
$1$. $PE$ वक्र एक परवलय $U = \frac{1}{2} k x^2$ है।
$2$. $KE$ वक्र एक उल्टा परवलय $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ है।
$3$. कुल ऊर्जा $E$,$y = \frac{1}{2} k A^2$ पर एक क्षैतिज सीधी रेखा है।

(B) मान लीजिए कि दोलक का आयाम $A$ है और समय $t$ पर विस्थापन $x$ है।
सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ द्वारा दी जाती है।
विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा अधिकतम ऊर्जा की आधी है,इसलिए $U = \frac{1}{2} E$ है।
$U$ और $E$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^{2})$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर,$x^{2} = \frac{A^{2}}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
$\pm$ चिह्न यह दर्शाता है कि दोलक माध्य स्थिति के दोनों ओर इस विस्थापन पर हो सकता है।

(C) सरल आवर्त दोलक की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m \omega^{2}(A^{2} - x^{2})$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$ है।
$KE = PE$ रखने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^{2}(A^{2} - x^{2}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$.
दोनों पक्षों से उभयनिष्ठ पदों $\frac{1}{2} m \omega^{2}$ को हटाने पर:
$A^{2} - x^{2} = x^{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2x^{2} = A^{2}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x^{2} = \frac{A^{2}}{2}$.
अतः,$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$.

(D) सरल आवर्त गति में एक कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ को $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $U = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t))$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि स्थितिज ऊर्जा $U$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है और विस्थापन की तुलना में दोगुनी आवृत्ति के साथ बदलती है।
$t = 0$ पर,$x = 0$,इसलिए $U = 0$ है।
चरम स्थितियों पर,$x = \pm A$,इसलिए $U$ अधिकतम होता है।
विकल्पों को देखने पर,चित्र $D$ एक ऐसा आलेख दर्शाता है जहाँ $t = 0$ पर $U$ शून्य है,चरम स्थितियों पर अधिकतम तक पहुँचता है,और इसकी आवृत्ति विस्थापन आलेख की तुलना में दोगुनी है। अतः,चित्र $D$ सही निरूपण है।

(A) $S.H.M.$ में,कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E = K.E. + P.E.)$ किसी भी समय स्थिर रहती है,जो कथन $(c)$ को मान्य करता है।
एक पूर्ण आवर्तकाल $T$ पर औसत गतिज ऊर्जा $\langle K.E. \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi) dt = \frac{1}{4} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
एक पूर्ण आवर्तकाल $T$ पर औसत स्थितिज ऊर्जा $\langle P.E. \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi) dt = \frac{1}{4} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि एक आवर्तकाल के दौरान $\langle K.E. \rangle = \langle P.E. \rangle$ होता है,इसलिए कथन $(d)$ सही है।
कथन $(b)$ गलत है क्योंकि औसत ऊर्जा केवल एक पूर्ण आवर्तकाल या उसके अर्ध-पूर्णांक गुणकों पर ही बराबर होती है,न कि 'किसी भी' दिए गए समयांतराल पर।
इसलिए,कथन $(c)$ और $(d)$ सही हैं।

(C) $n$ आवृत्ति वाली सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए विस्थापन समीकरण इस प्रकार है:
$x = A \sin(\omega t) = A \sin(2 \pi n t)$
पिंड की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(2 \pi n t)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2 \theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$U = \frac{1}{2} k A^2 \left[ \frac{1 - \cos(2 \cdot 2 \pi n t)}{2} \right] = \frac{1}{4} k A^2 [1 - \cos(4 \pi n t)]$
अतः,स्थितिज ऊर्जा की आवृत्ति कोसाइन पद में $2 \pi t$ का गुणांक है,जो $2n$ है।

(C) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ द्वारा दी जाती है।
किसी भी स्थिति $x$ पर,गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - x^{2})$ होती है।
कण माध्य स्थिति $(x = 0)$ और चरम स्थिति $(x = A)$ के बीच में है,इसलिए $x = \frac{A}{2}$ होगा।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $x = \frac{A}{2}$ रखने पर:
$K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - (\frac{A}{2})^{2})$
$K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - \frac{A^{2}}{4})$
$K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})$
$K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2})$
चूंकि $E = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ है,इसलिए $K = \frac{3}{4} E$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल यांत्रिक ऊर्जा का $3/4$ भाग गतिज ऊर्जा के रूप में होता है।

(C) $SHM$ में एक कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ द्वारा दी जाती है।
विस्थापन $y$ पर कण की गतिज ऊर्जा $(K)$,$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $K = \frac{3E}{4}$,इसलिए हम $K$ और $E$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2) = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \right)$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{1}{2} m \omega^2$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 - y^2 = \frac{3}{4} a^2$.
$y^2$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 = a^2 - \frac{3}{4} a^2 = \frac{1}{4} a^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{a}{2}$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5\, \text{kg}$,आयाम $A = 5\, \text{cm} = 0.05\, \text{m}$,आवर्तकाल $T = 0.2\, \text{s}$।
सबसे पहले,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र का उपयोग करके बल नियतांक $k$ की गणना करें:
$0.2 = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{k}}$
$0.1 = \pi \sqrt{\frac{0.5}{k}}$
$0.01 = \pi^2 \left(\frac{0.5}{k}\right)$
$k = \frac{0.5 \pi^2}{0.01} = 50 \pi^2 \approx 493.5\, \text{N/m}$।
अब,माध्य स्थिति से शुरू करते हुए $t = \frac{T}{4}$ पर विस्थापन $x$ ज्ञात करें $(\phi = 0)$:
$x = A \sin(\omega t) = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4}\right) = A \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = A = 0.05\, \text{m}$।
अब,स्थितिज ऊर्जा $PE$ की गणना करें:
$PE = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times (50 \pi^2) \times (0.05)^2$
$PE = 25 \pi^2 \times 0.0025 = 0.0625 \pi^2 \approx 0.617\, \text{J}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.625\, \text{J}$ है।

(D) प्रारंभिक आयाम $A = 10 \, cm$ है। $SHM$ की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ है।
स्थिति $x = 5 \, cm$ पर,वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega \sqrt{10^2 - 5^2} = \omega \sqrt{75}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\omega^2 = \frac{k}{m}$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{k}{m}} \sqrt{75}$ है।
जब वेग को तीन गुना किया जाता है,तो नया वेग $v' = 3v = 3 \sqrt{\frac{75k}{m}}$ हो जाता है।
$x = 5 \, cm$ पर स्थितिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है: $U = \frac{1}{2} k (5)^2 = 12.5 k$।
नई कुल ऊर्जा $E'$,$x=5$ पर स्थितिज ऊर्जा और नई गतिज ऊर्जा $K'$ का योग है:
$E' = \frac{1}{2} k (5)^2 + \frac{1}{2} m (3v)^2 = 12.5 k + \frac{1}{2} m \left( 9 \cdot \frac{75k}{m} \right) = 12.5 k + 337.5 k = 350 k$।
चूंकि $E' = \frac{1}{2} k A'^2$,इसलिए $\frac{1}{2} k A'^2 = 350 k \implies A'^2 = 700$।
अतः,$A' = \sqrt{700} \, cm$,जिसका अर्थ है कि $x = 700$।

(D) $S.H.M.$ कर रहे कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
चूँकि दिए गए $S.H.M.$ के लिए $k$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ समय के साथ नहीं बदलती है और स्थिर रहती है।
एक स्थिर मान दोलन नहीं करता है,जिसका अर्थ है कि इसका आवर्तकाल अनंत $(T = \infty)$ है।
प्रश्न में $\frac{T^{\prime}}{T}$ का अनुपात पूछा गया है,जहाँ $T^{\prime}$ $S.H.M.$ का आवर्तकाल है और $T$ कुल यांत्रिक ऊर्जा का आवर्तकाल है।
चूँकि कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर है,इसकी आवृत्ति $0$ है,जिसका अर्थ है कि इसका आवर्तकाल $T$ अनंत है।
इसलिए,$\frac{T^{\prime}}{T} = \frac{T^{\prime}}{\infty} = 0$.

(D) अमंदित सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
चूंकि किसी दिए गए $S.H.M.$ के लिए $k$ और $A$ नियत हैं,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ समय के साथ नियत रहती है।
एक नियत मान दोलन नहीं करता है,जिसका अर्थ है कि इसकी दोलन आवृत्ति $0$ है।
चूंकि आवर्तकाल $T'$ आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है $(T' = 1/f)$,इसलिए $f = 0$ के लिए,आवर्तकाल $T'$ अनंत होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $S.H.M.$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = m \omega^2$ है।
दिया गया है $E_1 = 90 \,J$ और $A_1 = 6 \,cm = 0.06 \,m$.
$90 = \frac{1}{2} k (0.06)^2 \implies k = \frac{180}{0.0036} = 50000 \,N/m$.
जब कण $x = 4 \,cm = 0.04 \,m$ पर होता है,तो उसे रोक दिया जाता है। इस बिंदु पर,इसका वेग शून्य हो जाता है,इसलिए गति का नया आयाम $A_2$ उस क्षण पर विस्थापन के बराबर हो जाता है,अर्थात $A_2 = 4 \,cm = 0.04 \,m$.
कंपन की नई ऊर्जा $E_2$ को $E_2 = \frac{1}{2} k A_2^2$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$E_2 = \frac{1}{2} \times 50000 \times (0.04)^2$.
$E_2 = 25000 \times 0.0016 = 40 \,J$.

(C) एक सरल आवर्त दोलक की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दी गई स्थितिज ऊर्जा $U$ के लिए,विस्थापन $x$ का मान $x = \sqrt{\frac{2U}{k}}$ होता है,जिसका अर्थ है $x \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
चूंकि सभी दोलकों के लिए द्रव्यमान $m$ समान है,इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$।
दोनों संबंधों की तुलना करने पर,$U$ के नियत मान के लिए हमें $T \propto x$ प्राप्त होता है।
चित्र से,अधिकतम विस्थापन (आयाम) $x$ दोलक $C$ के लिए सबसे अधिक है।
इसलिए,दोलन का आवर्तकाल $C$ के लिए सबसे अधिक है।

(A) दोलन का आवर्तकाल $T = 8 \,s$ दिया गया है।
सरल आवर्त गति में,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ होता है।
स्थितिज ऊर्जा माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर न्यूनतम $(U_{min} = 0)$ होती है।
स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों $(x = \pm A)$ पर अधिकतम $(U_{max} = \frac{1}{2} k A^2)$ होती है।
कण माध्य स्थिति $(x = 0)$ से चरम स्थिति $(x = A)$ तक पहुँचने में $\Delta t = \frac{T}{4}$ का समय लेता है।
$T = 8 \,s$ का मान रखने पर:
$\Delta t = \frac{8 \,s}{4} = 2 \,s$.
अतः,न्यूनतम $PE$ प्राप्त करने के $2 \,s$ बाद अधिकतम $PE$ प्राप्त होगी।

(B) $S.H.M.$ कर रहे कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
किसी दिए गए निकाय के लिए $k = m \omega^2$ स्थिर रहता है,इसलिए ऊर्जा आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है: $E \propto A^2$.
यहाँ $E_1 = 90 \,J$ और $A_1 = 6 \,cm$ दिया गया है।
जब ऊर्जा बदलकर $E_2 = 40 \,J$ हो जाती है,तो नया आयाम $A_2$ मान लीजिए।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2}$.
मान रखने पर: $\frac{90}{40} = \frac{6^2}{A_2^2}$.
$\frac{9}{4} = \frac{36}{A_2^2}$.
$A_2^2 = \frac{36 \times 4}{9} = 4 \times 4 = 16$.
$A_2 = \sqrt{16} = 4 \,cm$.

(D) दिया गया है:
बल नियतांक $k = 6 \times 10^5 \, N/m$
आयाम $A = 4 \, cm = 4 \times 10^{-2} \, m$
कुल ऊर्जा $E = 600 \, J$
एक रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर में,जब विस्थापन अधिकतम होता है (चरम स्थितियों पर),तो अधिकतम स्थितिज ऊर्जा प्रणाली की कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$U_{max} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^5) \times (4 \times 10^{-2})^2 = 3 \times 10^5 \times 16 \times 10^{-4} = 480 \, J$.
चूंकि कुल ऊर्जा $E = 600 \, J$ है और अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $480 \, J$ है,इसका मतलब है कि संतुलन स्थिति पर न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $E - U_{max} = 600 \, J - 480 \, J = 120 \, J$ है।
साथ ही,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$,कुल ऊर्जा $E$ में से न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $U_{min}$ को घटाने पर प्राप्त होती है।
$K_{max} = E - U_{min} = 600 \, J - 120 \, J = 480 \, J$.
अतः,सभी कथन $A$,$B$,और $C$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ होती है,जहाँ $A$ आयाम है।
चरम स्थिति पर,कला (phase) $\phi = 0$ (या $\pi$) है। विस्थापन $x = A \cos(\omega t)$ लें।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ के कला विस्थापन के बाद,विस्थापन $x = A \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{A}{2}$ हो जाता है।
इस स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2) = \frac{E}{4}$ है।
इस स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K = E - U = E - \frac{E}{4} = \frac{3E}{4}$ होगी।
चूँकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $\frac{p^2}{2m} = \frac{3E}{4}$ होगा।
संवेग $p$ के लिए हल करने पर,$p^2 = \frac{6mE}{4} = \frac{3mE}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = \sqrt{\frac{3mE}{2}}$।

(A) $S.H.M.$ कर रहे कण की माध्य स्थिति से $y$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} k y^2$
जहाँ $k = m \omega^2$ बल नियतांक है।
यदि विस्थापन $y$ को $(x - a)$ के रूप में व्यक्त किया जाए, जहाँ $x$ स्थिति है और $a$ माध्य स्थिति है, तो स्थितिज ऊर्जा होगी:
$U_x = \frac{1}{2} k (x - a)^2$
अतः, विकल्प $A$ $S.H.M.$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा को दर्शाता है।

(D) विस्थापन $x = A \sin \omega t$ द्वारा दिया गया है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2 \omega t$ है।
स्थितिज ऊर्जा-समय वक्र की ढाल $\frac{dU}{dt}$ है।
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} k A^2 \sin^2 \omega t) = \frac{1}{2} k A^2 (2 \sin \omega t \cos \omega t) \cdot \omega = \frac{1}{2} k A^2 \omega \sin(2 \omega t)$.
ढाल को अधिकतम होने के लिए,$\sin(2 \omega t)$ को अधिकतम होना चाहिए,अर्थात $\sin(2 \omega t) = 1$.
यह तब होता है जब $2 \omega t = \frac{\pi}{2}$.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 (\frac{2 \pi}{T}) t = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4 \pi t}{T} = \frac{\pi}{2} \implies t = \frac{T}{8}$.
इसे $t = \frac{T}{\beta}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\beta = 8$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल ऊर्जा उसकी अधिकतम स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है,जो $E = \frac{1}{2} k A^2 = 25 \ J$ द्वारा दी जाती है।
किसी भी विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
$x = A / 2$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k (A / 2)^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2) = \frac{1}{4} \times 25 \ J = 6.25 \ J$ है।
किसी भी स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K = E - U$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$K = 25 \ J - 6.25 \ J = 18.75 \ J$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $(KE)$,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ से $25\%$ अधिक है:
$KE = PE + 0.25 PE = 1.25 PE = \frac{5}{4} PE$
हम जानते हैं कि $SHM$ में गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक हैं:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
इन मानों को दी गई शर्त में रखने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{5}{4} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right)$
दोनों पक्षों से सामान्य पद $\frac{1}{2} m \omega^2$ को हटाने पर:
$A^2 - x^2 = \frac{5}{4} x^2$
$A^2 = x^2 + \frac{5}{4} x^2 = \frac{9}{4} x^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \frac{2}{3} A$
यहाँ आयाम $A = 3\,cm$ दिया गया है:
$x = \frac{2}{3} \times 3\,cm = 2\,cm$
अतः,विस्थापन $2\,cm$ है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक कण के लिए,विस्थापन $(x)$ के फलन के रूप में गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $A$ आयाम है।
$1$. माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है: $KE_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$।
$2$. चरम स्थिति ($x = A$ या $x = -A$) पर,गतिज ऊर्जा शून्य होती है: $KE = 0$।
$3$. समीकरण $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ विस्थापन $x$ के सापेक्ष एक नीचे की ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,वह ग्राफ जो $x = 0$ पर अधिकतम $KE$ और $x = A$ पर शून्य $KE$ दर्शाता है और परवलयाकार है,वह विकल्प $(D)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) $SHM$ में एक कण की विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2} kx^2$ है।
विस्थापन $x$ पर कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ है,जहाँ $A$ आयाम है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ है।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में $x$ का मान रखने पर: $P.E. = \frac{1}{2} k(\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{2} k(\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{8} kA^2$.
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $x$ का मान रखने पर: $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - (\frac{A}{2})^2) = \frac{1}{2} k(A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} k(\frac{3A^2}{4}) = \frac{3}{8} kA^2$.
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{P.E.}{K.E.} = \frac{\frac{1}{8} kA^2}{\frac{3}{8} kA^2} = \frac{1}{3}$ है।

(D) $SHM$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा $(TE)$ स्थिर होती है,जो $TE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$,$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ द्वारा दी जाती है।
कुल ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच का अंतर गतिज ऊर्जा $(KE)$ है:
$KE = TE - PE$
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
यह समीकरण नीचे की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है,जिसका शीर्ष $x = 0$ पर है और मूल बिंदु $x = \pm A$ पर हैं। यह ग्राफ $D$ में दिखाए गए आकार से मेल खाता है।

(C) विस्थापन $y = A \cos(30^{\circ})$ के रूप में दिया गया है।
दिया गया आयाम $A = 40 \, cm = 0.4 \, m$ है।
दिए गए समय पर,विस्थापन $y = 40 \cos(30^{\circ}) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \, cm = 0.2\sqrt{3} \, m$ है।
सरल आवर्त दोलक की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - y^2)$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $200 = \frac{1}{2} k((0.4)^2 - (0.2\sqrt{3})^2)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.16 - 0.12)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.04)$.
$200 = k(0.02)$.
$k = \frac{200}{0.02} = 10000 = 1.0 \times 10^4 \, Nm^{-1}$.
इसे $1.0 \times 10^x \, Nm^{-1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(C) $SHM$ में माध्य स्थिति से $x$ दूरी पर एक कण की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
उसी स्थिति पर कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$KE = PE$:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{1}{2} m \omega^2$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^2 - x^2 = x^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$A^2 = 2x^2$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x^2 = \frac{A^2}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$।

(D) एक सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा $E$ को $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
$y = \frac{A}{3}$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = \frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} k (\frac{A}{3})^2 = \frac{1}{2} k \frac{A^2}{9} = \frac{E}{9}$ होता है।
गतिज ऊर्जा $KE$ कुल ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अंतर है: $KE = E - U = E - \frac{E}{9} = \frac{8E}{9}$।
कुल ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E}{KE} = \frac{E}{\frac{8E}{9}} = \frac{9}{8}$ है।
इसे दिए गए अनुपात $\frac{x}{8}$ से तुलना करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त दोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(T.E.)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$T.E. = \frac{1}{2} k A^2$
जहाँ $k$ स्प्रिंग का बल नियतांक है और $A$ दोलन का आयाम है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कुल ऊर्जा केवल बल नियतांक $k$ और आयाम $A$ पर निर्भर करती है।
यह दोलन करने वाले कण के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करती है।
चूंकि आयाम $A$ समान रहता है और बल नियतांक $k$ (जो स्प्रिंग के गुणों पर निर्भर करता है) अपरिवर्तित रहता है,इसलिए निकाय की कुल ऊर्जा $E$ ही रहेगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) सरल आवर्त गति में एक वस्तु की कुल ऊर्जा $(E)$, उसकी गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का योग होती है।
$E = K.E. + P.E. = 0.5 \,J + 0.4 \,J = 0.9 \,J$.
कुल ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, और $A$ आयाम है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times (\frac{25}{\pi}) = 50 \,rad/s$.
मान रखने पर: $0.9 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (50)^2 \times A^2$.
$0.9 = 0.1 \times 2500 \times A^2$.
$0.9 = 250 \times A^2$.
$A^2 = \frac{0.9}{250} = 0.0036 \,m^2$.
$A = \sqrt{0.0036} = 0.06 \,m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $A = 0.06 \times 100 = 6 \,cm$.

(A) सरल आवर्त गति के लिए,फेज स्पेस $(p-x)$ में प्रक्षेप पथ का समीकरण $\frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{2E/m\omega^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जो एक दीर्घवृत्त $\frac{p^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1$ को दर्शाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $b$ अधिकतम संवेग $p_{max} = m\omega a$ है।
पहले ऑसिलेटर के लिए:
$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$ और $b = m \omega_1 a$. अतः,$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1}$.
दूसरे ऑसिलेटर के लिए:
$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$ और प्रक्षेप पथ एक वृत्त है,इसलिए $p_{max} = x_{max} \Rightarrow m \omega_2 R = R \Rightarrow m \omega_2 = 1$.
$m \omega_2 = 1$ को $\frac{a}{b}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$ (विकल्प $B$ सही है)।
साथ ही,$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$. पहले ऑसिलेटर के लिए,$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$. दूसरे के लिए,$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$. चूँकि $m \omega_2 = 1$,$E_2 = \frac{1}{2} \omega_2 R^2$.
दिया गया है कि $\frac{a}{R} = n$,तो $a = nR$.
$\frac{a}{b} = n^2$ से,$b = \frac{a}{n^2} = \frac{nR}{n^2} = \frac{R}{n}$.
चूँकि $b = m \omega_1 a$,$\frac{R}{n} = m \omega_1 (nR) \Rightarrow m \omega_1 = \frac{1}{n^2}$.
अब,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2}{\omega_1} = \frac{1}{2} m \omega_1 a^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{n^2}) (nR)^2 = \frac{1}{2} R^2$.
और $\frac{E_2}{\omega_2} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2}{\omega_2} = \frac{1}{2} m \omega_2 R^2 = \frac{1}{2} (1) R^2 = \frac{1}{2} R^2$.
अतः,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$ (विकल्प $D$ सही है)।

(A) दिया गया है $x(t) = x_0 \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x(t) = x_0 \left(\frac{1 - \cos t}{2}\right) = \frac{x_0}{2} - \frac{x_0}{2} \cos t$.
चूंकि $x_0 = 1 \text{ m}$ है,$x(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos t$.
यह $x = \frac{1}{2} \text{ m}$ की माध्य स्थिति के परितः $A = \frac{1}{2} \text{ m}$ आयाम के साथ सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \sin t$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{1}{4} \sin^2 t\right) = \frac{m}{8} \sin^2 t$.
$x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cos t$ से,हमें $\cos^2 t = 4(x - \frac{1}{2})^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$,हमें $K = \frac{m}{8} [1 - 4(x - \frac{1}{2})^2]$ प्राप्त होता है।
यह $x$ के सापेक्ष नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का समीकरण है,जो $x = 0$ और $x = 1$ पर शून्य है,और $x = \frac{1}{2}$ पर अधिकतम है। अतः,ग्राफ $(A)$ सही है।

(B) साम्यावस्था से शुरू होने वाले कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t = \frac{T}{6}$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $x = A \sin(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{6}) = A \sin(\frac{\pi}{3}) = A \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}k(A^2 - \frac{3A^2}{4}) = \frac{1}{2}k(\frac{A^2}{4})$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{3A^2}{4})$ है।
अतः,अनुपात $\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2}k(A^2/4)}{\frac{1}{2}k(3A^2/4)} = \frac{1}{3}$ है।

(A) कुल यांत्रिक ऊर्जा $(TE)$ $TE = U_0 + \frac{1}{2} k A^2 = 300 \ J$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $U_0$ माध्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा है।
दिया गया है $U_0 = 100 \ J$,इसलिए $\frac{1}{2} k A^2 = 300 - 100 = 200 \ J$ है।
हार्मोनिक ऑसिलेटर की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ पर,गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} k(A^2 - (\frac{A}{\sqrt{2}})^2) = \frac{1}{2} k(A^2 - \frac{A^2}{2}) = \frac{1}{2} k(\frac{A^2}{2}) = \frac{1}{4} k A^2$ होगी।
चूंकि $\frac{1}{2} k A^2 = 200 \ J$,इसलिए $\frac{1}{4} k A^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} k A^2) = \frac{1}{2} \times 200 = 100 \ J$ है।

(D) $S.H.M.$ करने वाले कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण मूल बिंदु से शुरू होता है ($t=0$ पर $x=0$),इसका विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ है।
इसका वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ है।
दिया गया है कि $K = 75\% \ E = \frac{3}{4} E$,इसलिए:
$\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m A^2 \omega^2)$.
$\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ रखने पर,$(\frac{2 \pi}{T}) t = \frac{\pi}{6}$.
$t = \frac{T}{12}$.
यहाँ $T = 2 \ s$ दिया गया है,इसलिए $t = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \ s$.

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,कुल ऊर्जा $(E)$ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ का योग होती है।
$E = U + K$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m v^2$
संबंधों $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ और $k = m \omega^2$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m (\omega^2 (A^2 - x^2))$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{2} k x^2$
$E = \frac{1}{2} k A^2$
अतः,कुल ऊर्जा केवल बल नियतांक $(k)$ और आयाम $(A)$ पर निर्भर करती है।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
यहाँ $x = \frac{A}{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - (\frac{A}{2})^2)$
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3 A^2}{4}) = \frac{3}{8} m \omega^2 A^2$
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,इस मान को रखने पर:
$K.E. = \frac{3}{8} m (\frac{2 \pi}{T})^2 A^2$
$K.E. = \frac{3}{8} m (\frac{4 \pi^2}{T^2}) A^2$
$K.E. = \frac{3 m \pi^2 A^2}{2 T^2}$

(C) $S.H.M.$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है।
विस्थापन $x$ पर गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ है।
$x$ का मान गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2} A)^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{3}{4} A^2) = \frac{1}{2} k (\frac{1}{4} A^2) = \frac{1}{8} k A^2$.
प्रश्न के अनुसार,$E = n \times K$.
$E$ और $K$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{1}{2} k A^2 = n \times (\frac{1}{8} k A^2)$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2} k A^2$ से विभाजित करने पर:
$1 = n \times \frac{1}{4}$.
अतः,$n = 4$.

(B) कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
आधे आयाम पर,विस्थापन $x = A/2$ है।
$S.H.M.$ में कण की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
$x = A/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U = \frac{1}{2} k (A/2)^2 = \frac{1}{8} k A^2$ प्राप्त होता है।
कण की कुल ऊर्जा $(E)$ $E = \frac{1}{2} k A^2$ है।
गतिज ऊर्जा $(K)$ $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{8} k A^2 = \frac{3}{8} k A^2$ है।
अब,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $K/U = (\frac{3}{8} k A^2) / (\frac{1}{8} k A^2) = 3/1$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(D) $S.H.M.$ कर रहे कण की $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $(U_{max})$ चरम स्थितियों पर होती है जहाँ $x = \pm A$,इसलिए $U_{max} = \frac{1}{2} k A^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा उसके अधिकतम मान की आधी है: $U = \frac{1}{2} U_{max}$।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$।
समीकरण को सरल करने पर: $x^2 = \frac{1}{2} A^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$।
अतः,विस्थापन $\pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ है।

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega = 2\pi/T$ कोणीय आवृत्ति है।
$t = T/6$ पर,विस्थापन $x = A \sin((2\pi/T) \cdot (T/6)) = A \sin(\pi/3) = A \sqrt{3}/2$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (A \sqrt{3}/2)^2 = \frac{3}{8} k A^2$ है।
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ है।
गतिज ऊर्जा $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{3}{8} k A^2 = \frac{1}{8} k A^2$ है।
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $U/K = (3/8 k A^2) / (1/8 k A^2) = 3/1$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(D) सरल आवर्त गति में एक पिंड की $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E_x = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम लिख सकते हैं कि $x = \sqrt{\frac{2 E_x}{k}}$।
इसी प्रकार,$y$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E_y = \frac{1}{2} ky^2$ है,जो हमें $y = \sqrt{\frac{2 E_y}{k}}$ देती है।
$(x+y)$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E_0 = \frac{1}{2} k(x+y)^2$ द्वारा दी जाती है।
इस व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $E_0 = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy)$ प्राप्त होता है।
$x^2$,$y^2$ और $xy$ के मान रखने पर:
$E_0 = \frac{1}{2} k \left( \frac{2 E_x}{k} + \frac{2 E_y}{k} + 2 \sqrt{\frac{2 E_x}{k}} \sqrt{\frac{2 E_y}{k}} \right)$।
$E_0 = \frac{1}{2} k \left( \frac{2 E_x}{k} + \frac{2 E_y}{k} + \frac{4 \sqrt{E_x E_y}}{k} \right)$।
$E_0 = E_x + E_y + 2 \sqrt{E_x E_y}$।

(A) साम्यावस्था से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $t = \frac{T}{12}$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,इसलिए विस्थापन $x = A \sin(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}) = A \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{A}{2}$ होगा।
स्थितिज ऊर्जा ($P$.$E$.) का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
$x = \frac{A}{2}$ रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{8} m \omega^2 A^2$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा ($K$.$E$.) का सूत्र $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
$x = \frac{A}{2}$ रखने पर,हमें $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3A^2}{4}) = \frac{3}{8} m \omega^2 A^2$ प्राप्त होता है।
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{U}{K} = \frac{\frac{1}{8} m \omega^2 A^2}{\frac{3}{8} m \omega^2 A^2} = \frac{1}{3}$ है।