Energy of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(D) दिया गया है:
आयाम $A = 0.01 \, m = 10^{-2} \, m$
बल नियतांक $k = 2 \times 10^6 \, N/m$
कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_T = 160 \, J$
एक रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} k A^2$
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (10^{-2})^2$
$(K.E.)_{\max} = 10^6 \times 10^{-4} = 100 \, J$
एक रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर में,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_T$ अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)_{\max}$ के बराबर होती है (जब चरम स्थितियों पर गतिज ऊर्जा शून्य होती है)।
यहाँ $E_T = 160 \, J$ है,इसलिए अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $160 \, J$ होगी।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(B) मूल बिंदु से शुरू होने वाले पिंड का विस्थापन $SHM$ में $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ है।
कुल ऊर्जा $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$ है।
दिया गया है कि $K.E. = 75\% \text{ of } T.E. = 0.75 \ T.E.$
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = 0.75 \times \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$.
$\cos^2(\omega t) = 0.75 = \frac{3}{4}$.
वर्गमूल लेने पर,$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसका अर्थ है कि $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$ और $T = 2 \ s$,इसलिए $\omega = \frac{2\pi}{2} = \pi \ rad/s$.
$\omega$ का मान रखने पर: $\pi t = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$t = \frac{1}{6} \ s$.

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण की तात्क्षणिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v_{inst}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \cos^2(\omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है।
संतुलन स्थिति पर विस्थापन $x = 0$ है,इसलिए $x = a \sin(\omega t)$ के अनुसार $\omega t = 0$ होता है। चरम स्थिति पर $x = a$ होता है,इसलिए $\omega t = \pi/2$ होता है।
एक अंतराल के दौरान औसत गतिज ऊर्जा $\langle K \rangle = \frac{1}{T'} \int_0^{T'} K dt$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $T'$ संतुलन से चरम स्थिति तक जाने में लगा समय है $(T' = T/4 = 1/(4v))$।
$\langle K \rangle = \frac{1}{T/4} \int_0^{T/4} \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \cos^2(\omega t) dt$
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\langle K \rangle = \frac{4}{T} \cdot \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \int_0^{T/4} \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} dt$
$\langle K \rangle = \frac{m \omega^2 a^2}{T} [t + \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}]_0^{T/4}$
चूंकि $\omega = 2\pi v$ और $T = 1/v$ है,इसलिए $t = T/4$ पर $2\omega t = \pi$ होता है।
$\langle K \rangle = \frac{m \omega^2 a^2}{T} [T/4] = \frac{m \omega^2 a^2}{4} = \frac{m (2\pi v)^2 a^2}{4} = \pi^2 m a^2 v^2$.

(D) एक सरल आवर्त दोलक के लिए,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ को $PE = \frac{1}{2} k d^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $d$ विस्थापन है। यह मूल बिंदु $(0,0)$ पर शीर्ष के साथ ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ को $KE = \frac{1}{2} k (A^2 - d^2)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है। यह नीचे की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है,जिसका अधिकतम मान माध्य स्थिति $(d=0)$ पर होता है और चरम स्थितियों $(d = \pm A)$ पर शून्य होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ $PE$ को मूल बिंदु से शुरू होने वाले ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय के रूप में और $KE$ को मूल बिंदु पर अधिकतम मान वाले नीचे की ओर खुलने वाले परवलय के रूप में दिखाता है,वह विकल्प $D$ में है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए,विस्थापन $y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dy}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (A \omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t)$.
सर्वसमिका $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$KE = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 + \cos(2\omega t))$.
$t = 0$ पर,$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$,जो अधिकतम मान है।
$t = \frac{T}{4}$ पर,$\omega t = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $KE = 0$ है।
$t = \frac{T}{2}$ पर,$\omega t = \pi$,इसलिए $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ (अधिकतम) है।
गतिज ऊर्जा विस्थापन की तुलना में दोगुनी आवृत्ति के साथ दोलन करती है,और यह $t = 0$ पर अधिकतम मान से शुरू होती है और $t = \frac{T}{4}$ पर शून्य हो जाती है।

(A) ब्लॉक के संपर्क न खोने की शर्त $a_{max} \leq g$ है।
$\omega^2 A \leq g$
$\omega \leq \sqrt{\frac{g}{A}}$
न्यूनतम समय अवधि $T$ के लिए,हम $\omega = \sqrt{\frac{g}{A}}$ लेते हैं।
$T = 2\pi \sqrt{\frac{A}{g}}$
यहाँ $A = 1 \ cm = 0.01 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.01}{10}} = 2\pi \sqrt{0.001} \approx 0.2 \ s$.
समय अंतराल $t = 0$ से $t = 0.05 \ s$,$t = 0$ से $t = T/4$ के अनुरूप है।
समय अवधि के एक चौथाई भाग के लिए औसत स्थितिज ऊर्जा $\langle U \rangle$ इस प्रकार है:
$\langle U \rangle = \frac{1}{T/4} \int_{0}^{T/4} \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \ dt$
चूंकि $x = A \sin(\omega t)$,$U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$.
$\langle U \rangle = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/4} \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t) \ dt = \frac{2 m \omega^2 A^2}{T} \int_{0}^{T/4} \sin^2(\omega t) \ dt$
$\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\langle U \rangle = \frac{m \omega^2 A^2}{T} [t - \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}]_{0}^{T/4} = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 = \frac{1}{4} k A^2$
$m = 1 \ kg$ (माना गया),$\omega^2 = g/A = 1000 \ rad^2/s^2$ रखने पर:
$\langle U \rangle = \frac{1}{4} \times 1 \times 1000 \times (0.01)^2 = 0.025 \ J$.

(C) $SHM$ में एक कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ है।
एक आवर्तकाल $T$ पर औसत गतिज ऊर्जा $\langle KE \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T KE \, dt$ द्वारा दी जाती है।
$KE$ का मान रखने पर: $\langle KE \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) \, dt$.
$\cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\langle KE \rangle = \frac{m A^2 \omega^2}{2T} \int_0^T \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} \, dt$.
चूंकि पूर्ण आवर्तकाल $T$ पर $\cos(2\omega t)$ का समाकलन $0$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\langle KE \rangle = \frac{m A^2 \omega^2}{4T} \int_0^T 1 \, dt = \frac{m A^2 \omega^2}{4T} \times T = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$.

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए,गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2$ और स्थितिज ऊर्जा $PE = \frac{1}{2}kx^2$ होती है।
दिया गया है कि $KE = pv^2$,इसलिए $\frac{1}{2}m = p$,जिसका अर्थ है $m = 2p$.
दिया गया है कि $PE = qx^2$,इसलिए $\frac{1}{2}k = q$,जिसका अर्थ है $k = 2q$.
सरल आवर्त गति का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$m$ और $k$ के मान रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{2p}{2q}} = 2\pi \sqrt{\frac{p}{q}}$ प्राप्त होता है।

(C) $S.H.M.$ में कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$ होती है।
स्थिति $x = \frac{\sqrt{3}}{2}A$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2(\frac{3}{4}A^2) = \frac{3}{8}m\omega^2A^2$ है।
इस स्थिति पर प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = E - U = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 - \frac{3}{8}m\omega^2A^2 = \frac{1}{8}m\omega^2A^2$ है।
आवेगी बल के कारण गतिज ऊर्जा में $\Delta K = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$ की वृद्धि होती है।
इस स्थिति पर नई गतिज ऊर्जा $K' = K + \Delta K = \frac{1}{8}m\omega^2A^2 + \frac{4}{8}m\omega^2A^2 = \frac{5}{8}m\omega^2A^2$ है।
चूंकि स्थिति $x$ समान है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U$ अपरिवर्तित रहती है।
नई कुल ऊर्जा $E' = K' + U = \frac{5}{8}m\omega^2A^2 + \frac{3}{8}m\omega^2A^2 = m\omega^2A^2$ है।
चूंकि $E' = \frac{1}{2}m\omega^2(A')^2$,इसलिए $\frac{1}{2}m\omega^2(A')^2 = m\omega^2A^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A')^2 = 2A^2$,जिससे $A' = \sqrt{2}A$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,किसी भी स्थिति $x$ पर उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के योग के बराबर होती है।
$E = K + U = 0.5 \ J + 0.4 \ J = 0.9 \ J$.
दोलक की कुल ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $A$ आयाम है।
दी गई आवृत्ति $f = \frac{25}{\pi} \ Hz$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{25}{\pi} \right) = 50 \ rad/s$.
ऊर्जा समीकरण में मान रखने पर:
$0.9 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (50)^2 \times A^2$
$0.9 = 0.1 \times 2500 \times A^2$
$0.9 = 250 \times A^2$
$A^2 = \frac{0.9}{250} = 0.0036$
$A = \sqrt{0.0036} = 0.06 \ m$.

(A) मान लीजिए कि प्रारंभिक आयाम $A$ है। सरल आवर्त गति में कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ होती है।
माध्य स्थिति पर,स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है और गतिज ऊर्जा $E$ होती है। अतः,प्राप्त अतिरिक्त ऊर्जा $E$ है।
चरम स्थिति पर,प्रारंभिक ऊर्जा $E$ (पूरी तरह से स्थितिज) है। अतिरिक्त ऊर्जा $E$ प्राप्त करने के बाद,नई कुल ऊर्जा $E' = E + E = 2E$ हो जाती है।
चूंकि $E = \frac{1}{2} k A^2$,इसलिए $E' = \frac{1}{2} k (A')^2 = 2 \times (\frac{1}{2} k A^2)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $(A')^2 = 2A^2$,इसलिए नया आयाम $A' = \sqrt{2} A$ होगा।
सरल आवर्त गति का आवर्तकाल केवल द्रव्यमान और बल नियतांक पर निर्भर करता है $(T = 2\pi \sqrt{m/k})$,इसलिए यह अपरिवर्तित रहता है।

(D) एक रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,बल नियतांक $k = 2 \times 10^6\, N/m$ और आयाम $A = 0.01\, m$ दिया गया है।
अधिकतम विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा की गणना करने पर:
$U_{\max} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (0.01)^2$
$U_{\max} = 10^6 \times 0.0001 = 100\, J$.
एक आदर्श रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा हमेशा शून्य होती है,इसलिए विकल्प $D$ सही है।

(A) $S.H.M.$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ प्रत्यानयन बल नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
दिए गए ग्राफ से,चरम स्थिति $x = 2 \ m$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = 24 \ J$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$24 = \frac{1}{2} \times k \times (2)^2$
$24 = \frac{1}{2} \times k \times 4$
$24 = 2k$
$k = \frac{24}{2} = 12 \ N/m$.
अतः,प्रत्यानयन बल नियतांक का मान $12 \ N/m$ है।

(A) एक रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(TE)$ का सूत्र $TE = PE_{max} = \frac{1}{2} k A^2 + C_0$ है,जहाँ $C_0$ स्थितिज ऊर्जा का नियत भाग है।
यहाँ $k = 2 \times 10^6\,N/m$,$A = 0.01\,m$,और $TE = 160\,J$ दिया गया है।
चरम स्थिति $(x = A)$ पर स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है,जो कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
$PE_{max} = \frac{1}{2} k A^2 + C_0 = 160\,J$.
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा घटक की गणना करने पर: $\frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (0.01)^2 = 10^6 \times 10^{-4} = 100\,J$.
अतः,$100\,J + C_0 = 160\,J$,जिससे $C_0 = 60\,J$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा संतुलन स्थिति $(x = 0)$ पर होती है,जहाँ $PE_{min} = \frac{1}{2} k(0)^2 + C_0 = C_0 = 60\,J$.
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों $(x = \pm A)$ पर होती है,जहाँ $PE_{max} = \frac{1}{2} k A^2 + C_0 = 100\,J + 60\,J = 160\,J$.
इस प्रकार,अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $160\,J$ है।

(C) $SHM$ निष्पादित कर रहे एक कण के लिए,विस्थापन $y$ पर गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$ द्वारा दी जाती है।
विस्थापन $y$ पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $KE = PE$,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{1}{2} m \omega^{2}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{2} - y^{2} = y^{2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$A^{2} = 2y^{2}$.
$y$ के लिए हल करने पर:
$y^{2} = \frac{A^{2}}{2} \Rightarrow y = \frac{A}{\sqrt{2}}$.

(A) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
किसी भी विस्थापन $x$ पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ होता है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{A}{2}$,इसलिए हम इस मान को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखते हैं:
$K.E. = \frac{1}{2} k \left( A^2 - (\frac{A}{2})^2 \right)$
$K.E. = \frac{1}{2} k \left( A^2 - \frac{A^2}{4} \right)$
$K.E. = \frac{1}{2} k \left( \frac{3A^2}{4} \right)$
$K.E. = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} k A^2 \right)$
चूंकि $E = \frac{1}{2} k A^2$,इसलिए $K.E. = \frac{3}{4} E$.

(C) सरल आवर्त गति करने वाले पिंड की $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$E_1 = \frac{1}{2} kx^2$ --- $(i)$
$E_2 = \frac{1}{2} ky^2$ --- $(ii)$
हमें $(x + y)$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E$ ज्ञात करनी है:
$E = \frac{1}{2} k(x + y)^2$
$E = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} kx^2 + \frac{1}{2} ky^2 + kxy$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से मान रखने पर:
$E = E_1 + E_2 + kxy$
चूंकि $\sqrt{E_1} = \sqrt{\frac{1}{2} k} x$ और $\sqrt{E_2} = \sqrt{\frac{1}{2} k} y$,इसलिए:
$2\sqrt{E_1 E_2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} k x^2 \cdot \frac{1}{2} k y^2} = 2 \cdot \frac{1}{2} kxy = kxy$
अतः,$E = E_1 + E_2 + 2\sqrt{E_1 E_2}$.

(C) एक सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा $(E)$,उसकी स्थितिज ऊर्जा $(U)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ के योग के बराबर होती है।
माध्य स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा $U_{0} = 2\,J$ दी गई है।
कुल ऊर्जा $E = U_{0} + K_{max} = U_{0} + \frac{1}{2}kA^2$ होती है।
एक चक्र के दौरान औसत गतिज ऊर्जा $\langle K \rangle = \frac{1}{4}kA^2 = 4\,J$ दी गई है।
इसलिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2}kA^2 = 2 \times \langle K \rangle = 2 \times 4\,J = 8\,J$ होगी।
अतः,कुल ऊर्जा $E = U_{0} + K_{max} = 2\,J + 8\,J = 10\,J$ होगी।

(A) $SHM$ में,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $K.E.$ और स्थितिज ऊर्जा $P.E.$ का योग होती है।
$E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2$।
$x = A \sin(\omega t + \phi)$ और $v = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t + \phi) + \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k = m \omega^2$,व्यंजक सरल होकर $E = \frac{1}{2} k A^2 (\cos^2(\omega t + \phi) + \sin^2(\omega t + \phi))$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$E = \frac{1}{2} k A^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k$ (बल नियतांक) और $A$ (आयाम) स्थिर हैं,इसलिए पूरी गति के दौरान कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।

(D) सरल आवर्त गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ है,जहाँ $y$ संतुलन स्थिति $O$ से विस्थापन है।
संतुलन स्थिति $O$ पर,विस्थापन $y = 0$ है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $PE = 0$ होती है।
चरम बिंदुओं $X_1$ और $X_2$ पर,विस्थापन $y$ आयाम $A$ के बराबर होता है (अर्थात $y = \pm A$)।
इस प्रकार,दोनों चरम बिंदुओं पर स्थितिज ऊर्जा $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है,जो कि अधिकतम मान है।
संबंध $PE \propto y^2$ ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है,जिसका शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा बनाम विस्थापन का ग्राफ एक परवलय है,जो विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल ऊर्जा $E$,उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग होती है।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा बराबर हैं,अर्थात $K = U$।
चूंकि कुल ऊर्जा $E = K + U$ है,इसलिए $E = 2U$ या $E = 2K$ होगा।
विस्थापन $y$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ होती है।
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ होती है।
$U = \frac{1}{2} E$ रखने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2)$
$y^2 = \frac{a^2}{2}$
$y = \frac{a}{\sqrt{2}}$

(C) $SHM$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
$SHM$ में एक कण की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
दिया गया है कि $PE = KE$,इसलिए:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$x^2 = A^2 - x^2$
$2x^2 = A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2}$
$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$
अतः,कण की स्थिति $\frac{A}{\sqrt{2}}$ होगी।

(D) विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $\omega = \frac{\pi}{90} \ rad/s$ है।
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{\cos^2(\omega t)}{\sin^2(\omega t)} = \cot^2(\omega t)$ है।
$t = 210 \ s$ पर,कला $\omega t = \frac{\pi}{90} \times 210 = \frac{21\pi}{9} = \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\frac{K}{U} = \cot^2\left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \cot^2\left( \frac{\pi}{3} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{1}{3}$।

(C) $SHM$ में एक कण का विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है। चित्र से,$t = 0$ पर,$x$ अपने अधिकतम धनात्मक मान पर है,इसलिए $x(t) = A \cos(\omega t)$ है।
$SHM$ में कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $PE = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
$PE$ समीकरण में $x(t) = A \cos(\omega t)$ रखने पर:
$PE = \frac{1}{2} k (A \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$PE = \frac{1}{2} k A^2 \left( \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} \right) = \frac{1}{4} k A^2 (1 + \cos(2\omega t))$.
$t = 0$ पर,$PE = \frac{1}{2} k A^2$,जो कि अधिकतम मान है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$\cos(2\omega t)$ घटता है,इसलिए जब $2\omega t = \pi/2$ (या $t = \pi/4\omega$) होता है,तो $PE$ घटकर $0$ हो जाता है,और फिर जब $2\omega t = \pi$ (या $t = \pi/2\omega$) होता है,तो यह वापस अधिकतम मान पर आ जाता है।
यह व्यवहार विकल्प $C$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(B) मान लीजिए $SHM$ में ब्लॉक का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ है।
ब्लॉक का वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ है।
वेग का आवर्तकाल वह समय है जो वेग को अपने मान को दोहराने में लगता है, जो $T_1 = \frac{2\pi}{\omega} = T$ है।
ब्लॉक की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(A\omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2 \cos^2(\omega t)$ है।
सर्वसमिका $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर, हमें $K = \frac{1}{4}mA^2\omega^2 (1 + \cos(2\omega t))$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $2\omega$ की आवृत्ति के साथ बदलती है। इसलिए, गतिज ऊर्जा के परिवर्तन का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega} = \frac{T}{2}$ है।
अतः, $T_1 = 2T_2$ है।

(C) एक सरल आवर्त दोलक के लिए,विस्थापन $d$ को $d = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ को $PE = \frac{1}{2} k d^2$ द्वारा दिया जाता है,जो मूल बिंदु $(0,0)$ पर शीर्ष वाले ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ को $KE = E - PE = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{2} k d^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ कुल ऊर्जा है। यह एक उल्टे परवलय (नीचे की ओर खुलने वाला परवलय) को दर्शाता है जिसका अधिकतम मान $d = 0$ पर और शून्य मान $d = \pm A$ पर होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ में दिया गया ग्राफ $KE$ को उल्टे परवलय के रूप में और $PE$ को ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय के रूप में सही ढंग से दर्शाता है।

(A) सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ होती है।
किसी भी समय $t$ पर गतिज ऊर्जा $KE = E \cos^2(\omega t)$ द्वारा दी जाती है (चूंकि पिंड माध्य स्थिति से शुरू होता है,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$,इसलिए वेग $v = A \omega \cos(\omega t)$)।
दिया गया है कि $KE = 75\% \text{ of } E$,इसलिए $KE = \frac{3}{4} E$।
$KE$ का व्यंजक रखने पर:
$E \cos^2(\omega t) = \frac{3}{4} E$
$\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$
$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\omega t = \frac{\pi}{6}$।
आवर्तकाल $T = 2\,s$ दिया गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad/s}$।
$\omega$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\pi t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{1}{6}\,s$।

(A) $SHM$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा $(E)$ $E = \frac{1}{2} kA^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
$x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $U = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा की आधी है:
$U = \frac{1}{2} E$
$U$ और $E$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} kA^2 \right)$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2} k$ को हटाने पर:
$x^2 = \frac{1}{2} A^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$

(A) $T$ आवर्तकाल के साथ $S.H.M.$ करने वाले कण के लिए,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार हैं:
$K = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$
$U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$K - U = \frac{1}{2} k A^2 (\cos^2(\omega t) - \sin^2(\omega t)) = \frac{1}{2} k A^2 \cos(2\omega t)$
चूंकि अंतर की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है,इसलिए नया आवर्तकाल $T'$ होगा:
$T' = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{T}{2}$
यहाँ $T = 4\; sec$ दिया गया है,इसलिए $T' = \frac{4}{2} = 2\; sec$।

(D) सरल आवर्त गति कर रहे पिंड की $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दिया गया है $E_1 = \frac{1}{2} kx^2$ और $E_2 = \frac{1}{2} ky^2$।
हमें $(x + y)$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E$ ज्ञात करनी है:
$E = \frac{1}{2} k(x + y)^2$
$E = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} kx^2 + \frac{1}{2} ky^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} kxy$
चूंकि $E_1 = \frac{1}{2} kx^2$ और $E_2 = \frac{1}{2} ky^2$,इसलिए $x = \sqrt{\frac{2E_1}{k}}$ और $y = \sqrt{\frac{2E_2}{k}}$ होगा।
इन मानों को $E$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = E_1 + E_2 + 2 \cdot \frac{1}{2} k \left( \sqrt{\frac{2E_1}{k}} \right) \left( \sqrt{\frac{2E_2}{k}} \right)$
$E = E_1 + E_2 + k \left( \frac{2}{k} \sqrt{E_1 E_2} \right)$
$E = E_1 + E_2 + 2\sqrt{E_1 E_2}$

(B) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ है,जहाँ $a$ आयाम है।
किसी भी विस्थापन $(x)$ पर गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2)$ है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{a}{2}$,इस मान को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - (\frac{a}{2})^2)$
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - \frac{a^2}{4})$
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3a^2}{4})$
$K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2)$
चूंकि $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$,इसलिए $K = \frac{3}{4} E$ है।
अतः,कुल ऊर्जा का गतिज ऊर्जा के रूप में भाग $3/4$ है।

(C) $SHM$ में $x$ विस्थापन पर कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार हैं:
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
दिया गया है कि $K = \frac{1}{n} U$,इसलिए:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{n} (\frac{1}{2} m \omega^2 x^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{x^2}{n}$
$A^2 = x^2 + \frac{x^2}{n} = x^2 (1 + \frac{1}{n})$
$A^2 = x^2 (\frac{n+1}{n})$
$x^2 = A^2 (\frac{n}{n+1})$
$x = \sqrt{\frac{n}{n+1}} A$

(C) सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा $(TE)$ स्थिर होती है और इसे $TE = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $(KE)$ कुल ऊर्जा $(TE)$ का $75 \%$ है,इसलिए $KE = 0.75 \ TE$.
चूँकि $TE = KE + PE$,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $PE = TE - KE = TE - 0.75 \ TE = 0.25 \ TE$ होगी।
$PE$ और $TE$ के व्यंजक रखने पर: $\frac{1}{2} k x^2 = 0.25 \times (\frac{1}{2} k A^2)$.
इसे सरल करने पर $x^2 = 0.25 \ A^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{A}{2}$.
मूल बिंदु से शुरू होने वाले पिंड के लिए ($t=0$ पर $x=0$),विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
$x = \frac{A}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{A}{2} = A \sin(\omega t) \Rightarrow \sin(\omega t) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ रखने पर,हमें $(\frac{2\pi}{T}) t = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
$T = 2 \ s$ दिया गया है,इसलिए $(\frac{2\pi}{2}) t = \frac{\pi}{6} \Rightarrow \pi t = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{6} \ s$.

(N/A) कण की कुल ऊर्जा,$E = 1 \; J$.
बल नियतांक,$k = 0.5 \; N m^{-1}$.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $V(x)$ का योग है:
$E = K + V(x)$
$E = K + \frac{1}{2} k x^{2}$
टर्निंग पॉइंट्स (मोड़ के बिंदुओं) पर,कण क्षण भर के लिए स्थिर हो जाता है,जिसका अर्थ है कि उसका वेग शून्य है,और परिणामस्वरूप,उसकी गतिज ऊर्जा $K$ शून्य है।
इसलिए,टर्निंग पॉइंट्स पर,कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा होती है:
$E = V(x)$
$1 = \frac{1}{2} k x^{2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times x^{2}$
$1 = 0.25 \times x^{2}$
$x^{2} = \frac{1}{0.25} = 4$
$x = \pm 2 \; m$.
अतः,कण को $x = \pm 2 \; m$ पर पहुँचने पर 'वापस मुड़ना' होगा।

(N/A) $SHM$ कर रहे कण का विस्थापन $x = A \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
कण का वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos \omega t$ है।
गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} M A^2 \omega^2 \cos^2 \omega t$ है।
स्थितिज ऊर्जा $E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t$ है।
$T$ अवधि पर औसत गतिज ऊर्जा $\langle E_k \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_k dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} M A^2 \omega^2 \cos^2 \omega t dt$ है।
$\cos^2 \omega t = \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\langle E_k \rangle = \frac{M A^2 \omega^2}{2T} \int_0^T \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2} dt = \frac{M A^2 \omega^2}{4T} [t + \frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_0^T = \frac{1}{4} M A^2 \omega^2 \dots (i)$ प्राप्त होता है।
$T$ अवधि पर औसत स्थितिज ऊर्जा $\langle E_p \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_p dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t dt$ है।
$\sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\langle E_p \rangle = \frac{M \omega^2 A^2}{2T} \int_0^T \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2} dt = \frac{M \omega^2 A^2}{4T} [t - \frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_0^T = \frac{1}{4} M A^2 \omega^2 \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $\langle E_k \rangle = \langle E_p \rangle$।

(N/A) स्प्रिंग से जुड़े एक ब्लॉक के लिए,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ स्थिर रहती है और इसे $E = \frac{1}{2} k x_{m}^{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x_{m}$ आयाम है।
किसी भी विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $V(x) = \frac{1}{2} k x^{2}$ द्वारा दी जाती है।
किसी भी विस्थापन $x$ पर गतिज ऊर्जा $K(x) = E - V(x) = \frac{1}{2} k (x_{m}^{2} - x^{2})$ द्वारा दी जाती है।
साम्यावस्था $(x = 0)$ पर,स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है और गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,$K_{max} = \frac{1}{2} k x_{m}^{2}$।
चरम स्थितियों $(x = \pm x_{m})$ पर,गतिज ऊर्जा शून्य होती है और स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है,$V_{max} = \frac{1}{2} k x_{m}^{2}$।

विस्थापन $(x)$	गतिज ऊर्जा $(K)$	स्थितिज ऊर्जा $(V)$	कुल ऊर्जा $(E)$
$x_{m}$	$0$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$
$0$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$	$0$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$
$-x_{m}$	$0$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$

(C) कंपन गति एक आवर्ती गति है जिसमें एक कण अपनी माध्य स्थिति के चारों ओर दोलन करता है।
इस गति के दौरान,कण अपने वेग के कारण गतिज ऊर्जा और माध्य स्थिति से विस्थापन के कारण स्थितिज ऊर्जा रखता है।
इसलिए,कंपन गति में गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच निरंतर आदान-प्रदान होता है,जिसका अर्थ है कि इसमें दोनों प्रकार की ऊर्जा होती है।

(N/A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में एक कण का विस्थापन $x = A \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. गतिज ऊर्जा $(K)$:
वेग $v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ है।
$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(-A\omega \sin(\omega t + \phi))^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$.
चूंकि $k = m\omega^2$,इसलिए $K = \frac{1}{2}kA^2 \sin^2(\omega t + \phi)$.
$2$. स्थितिज ऊर्जा $(U)$:
प्रत्यानयन बल $F = -kx$ है। इस बल के विरुद्ध $dx$ विस्थापन के लिए किया गया कार्य $dU = -F dx = kx dx$ है।
$0$ से $x$ तक समाकलन करने पर,$U = \int_0^x kx dx = \frac{1}{2}kx^2$.
$x = A \cos(\omega t + \phi)$ रखने पर,$U = \frac{1}{2}kA^2 \cos^2(\omega t + \phi)$.
$3$. कुल ऊर्जा $(E)$:
$E = K + U = \frac{1}{2}kA^2 \sin^2(\omega t + \phi) + \frac{1}{2}kA^2 \cos^2(\omega t + \phi)$.
$E = \frac{1}{2}kA^2 (\sin^2(\omega t + \phi) + \cos^2(\omega t + \phi)) = \frac{1}{2}kA^2$.

(N/A) $SHM$ करने वाले कण के लिए,विस्थापन $x$ के फलन के रूप में गतिज ऊर्जा $K(x)$,स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ और कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ इस प्रकार हैं:
गतिज ऊर्जा: $K(x) = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$
स्थितिज ऊर्जा: $U(x) = \frac{1}{2} k x^2$
यांत्रिक ऊर्जा: $E = K(x) + U(x) = \frac{1}{2} k A^2$
जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।

विस्थापन $(x)$	गतिज ऊर्जा $(K)$	स्थितिज ऊर्जा $(U)$	यांत्रिक ऊर्जा $(E)$
$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$
$\pm A/2$	$\frac{3}{8} k A^2$	$\frac{1}{8} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$
$\pm A/\sqrt{2}$	$\frac{1}{4} k A^2$	$\frac{1}{4} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$
$\pm A$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$

ग्राफ से पता चलता है कि स्थितिज ऊर्जा ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है,गतिज ऊर्जा नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है और यांत्रिक ऊर्जा एक स्थिर क्षैतिज रेखा है।

(N/A) $SHM$ में कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा $K(t)$ इस प्रकार है:
$K(t) = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$
स्थितिज ऊर्जा $U(t)$ इस प्रकार है:
$U(t) = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$
कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ है:
$E = K(t) + U(t) = \frac{1}{2} k A^2 (\cos^2(\omega t + \phi) + \sin^2(\omega t + \phi)) = \frac{1}{2} k A^2$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ समय के साथ स्थिर रहती है।

समय $(t)$	गतिज ऊर्जा $(K)$	स्थितिज ऊर्जा $(U)$	कुल ऊर्जा $(E)$
$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$
$T/4$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$
$T/2$	$\frac{1}{2} k A^2$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$
$3T/4$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$
$T$	$\frac{1}{2} k A^2$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$

(N/A) $m$ द्रव्यमान वाले और $\omega$ कोणीय आवृत्ति तथा $A$ आयाम के साथ $SHM$ करने वाले कण के लिए:
$(i)$ विस्थापन $x$ के फलन के रूप में:
स्थितिज ऊर्जा $(U)$: $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
गतिज ऊर्जा $(K)$: $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$(ii)$ समय $t$ के फलन के रूप में (मान लीजिए $x = A \sin(\omega t + \phi)$):
स्थितिज ऊर्जा $(U)$: $U = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$
गतिज ऊर्जा $(K)$: $K = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$

(A) एक सरल आवर्त दोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ दोलन का आयाम है।
$1$. यांत्रिक ऊर्जा आयाम $(A)$ और बल नियतांक $(k)$ (या द्रव्यमान $m$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$,क्योंकि $k = m \omega^2$) पर निर्भर करती है।
$2$. यांत्रिक ऊर्जा दोलक की तात्कालिक स्थिति $(x)$ या तात्कालिक समय $(t)$ पर निर्भर नहीं करती है,क्योंकि यह पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।

(A) एक सरल आवर्त दोलक के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kx^2$ द्वारा और गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ आयाम है और $k$ बल नियतांक है।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$K = U$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}k$ को हटाने पर,हमें $x^2 = A^2 - x^2$ प्राप्त होता है।
$2x^2 = A^2$,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{A^2}{2}$।
अतः,$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$.
स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक में $x^2 = \frac{A^2}{2}$ रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2}k(\frac{A^2}{2}) = \frac{1}{4}kA^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $K = U$,गतिज ऊर्जा भी $\frac{1}{4}kA^2$ होगी।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक $(x, E) = (\pm \frac{A}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}kA^2)$ हैं।

(T/2) $SHM$ में,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4} k A^2 (1 + \cos(2\omega t))$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t) = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t))$ है।
गतिज और स्थितिज ऊर्जा दोनों के व्यंजक $\cos(2\omega t)$ पर निर्भर करते हैं,जिसकी कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है।
$SHM$ का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
अतः,गतिज और स्थितिज ऊर्जा का आवर्तकाल $T' = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{T}{2}$ होगा।

(B) $SHM$ कर रहे कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
चूंकि कुल ऊर्जा $E$ केवल बल नियतांक $k$ और आयाम $A$ पर निर्भर करती है,इसलिए यह गति के दौरान स्थिर रहती है।
अतः,कुल ऊर्जा तात्कालिक विस्थापन $x$ पर निर्भर नहीं करती है।
यह दिया गया है कि $A = 4 \, cm$ पर कुल ऊर्जा $20 \, J$ है,इसलिए किसी अन्य विस्थापन $x$ ($-A$ से $A$ के बीच) पर भी कुल ऊर्जा $20 \, J$ ही रहेगी।

(A) $SHM$ में,कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
संतुलन बिंदु (माध्य स्थिति) पर,विस्थापन $x = 0$ होता है। चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर अधिकतम होती है।
चरम स्थितियों पर,विस्थापन $x = \pm A$ होता है। चूंकि स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} kx^2$ है,इसलिए यह $x = \pm A$ पर अधिकतम होती है।

(B) मान लीजिए कि स्थितिज ऊर्जा $U$ है और गतिज ऊर्जा $K$ है। हमें दिया गया है कि $U = K$ है।
माध्य स्थिति से $x$ दूरी पर $SHM$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ होती है।
$x$ दूरी पर कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ होती है,जहाँ $A$ आयाम है।
$U = K$ रखने पर:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2} k$ को हटाने पर:
$x^2 = A^2 - x^2$
$2x^2 = A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2}$
$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$
चूंकि $A = 4 \, cm$ दिया गया है,इसलिए:
$x = \pm \frac{4}{\sqrt{2}} = \pm 2\sqrt{2} \, cm$.
अतः,माध्य स्थिति से $2\sqrt{2} \, cm$ की दूरी पर स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा बराबर होगी।

(B) $SHM$ दोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
चूँकि $k = m \omega^2$,हम लिख सकते हैं $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$.
हम जानते हैं कि $SHM$ दोलक का अधिकतम वेग $v_{\max} = \omega A$ होता है।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{1}{2} m (\omega A)^2 = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$.
$v_{\max}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $v_{\max}^2 = \frac{2E}{m}$.
अतः,$v_{\max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$.