Third Law of Motion and Momentum and Impulse Questions in Hindi

(B) आवेग $I$ को संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है,$\Delta p = I$। दिया गया है $I = 20 t^2 - 40 t$।
वह समय ज्ञात करने के लिए जिस पर संवेग में परिवर्तन न्यूनतम है,हम $I$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(20 t^2 - 40 t) = 40 t - 40$।
$\frac{dI}{dt} = 0$ रखने पर,$40 t - 40 = 0$,जिसका अर्थ है $t = 1 \text{ s}$।
यह पुष्टि करने के लिए कि यह न्यूनतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2I}{dt^2} = 40$। चूँकि $40 > 0$ है,इसलिए फलन का मान $t = 1 \text{ s}$ पर न्यूनतम है।

(C) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी निकाय पर कार्य करने वाला नेट बाह्य बल रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है,जिसे $F_{net} = \frac{dp}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि अंतिम संवेग $(p_f)$ प्रारंभिक संवेग $(p_i)$ के बराबर है,तो संवेग में परिवर्तन $\Delta p = p_f - p_i = 0$ होगा।
इसका तात्पर्य यह है कि समय अंतराल $\Delta t$ पर औसत नेट बल $\frac{\Delta p}{\Delta t} = 0$ है।
हालाँकि,इसका मतलब यह नहीं है कि प्रक्रिया के दौरान हर क्षण तात्कालिक नेट बल शून्य ही हो। नेट बल विभिन्न क्षणों पर गैर-शून्य हो सकता है ताकि कुल आवेग (समय के साथ बल का समाकलन) शून्य हो जाए।
इसलिए,यह संभव है कि निकाय पर किसी बिंदु पर नेट बल हो,भले ही संवेग में कुल परिवर्तन शून्य हो।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(A) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 5 \,kg$
प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i = (2 \hat{i} + 6 \hat{j}) \,m/s$
अंतिम वेग $\vec{v}_f = (10 \hat{i} + 6 \hat{j}) \,m/s$
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta \vec{p} = 5 \times [(10 \hat{i} + 6 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 6 \hat{j})]$
$\Delta \vec{p} = 5 \times [(10 - 2) \hat{i} + (6 - 6) \hat{j}]$
$\Delta \vec{p} = 5 \times [8 \hat{i} + 0 \hat{j}]$
$\Delta \vec{p} = 40 \hat{i} \,kg \cdot m/s$
अतः,संवेग में परिवर्तन $40 \hat{i} \,kg \cdot m/s$ है।

(A) एक चिकनी दीवार के साथ प्रत्यास्थ टक्कर में,दीवार के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है।
माना कण का वेग $\vec{v}$ है। दीवार के साथ कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए दीवार के अभिलंब के साथ कोण $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
दीवार के समानांतर वेग का घटक $v_{\parallel} = v \cos(60^{\circ})$ है।
चूंकि दीवार चिकनी है,इसलिए दीवार के अनुदिश कोई आवेगी बल कार्य नहीं करता है,जिसका अर्थ है कि टक्कर के दौरान वेग का समानांतर घटक स्थिर रहता है।
दीवार के अनुदिश प्रारंभिक संवेग: $p_{i, \parallel} = m v \cos(60^{\circ})$.
दीवार के अनुदिश अंतिम संवेग: $p_{f, \parallel} = m v \cos(60^{\circ})$.
दीवार के अनुदिश संवेग में परिवर्तन: $\Delta p_{\parallel} = p_{f, \parallel} - p_{i, \parallel} = m v \cos(60^{\circ}) - m v \cos(60^{\circ}) = 0$.
अतः,दीवार के अनुदिश संवेग में परिवर्तन का परिमाण $0$ है।

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,औसत बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$
यहाँ,प्रारंभिक संवेग $p$ है और अंतिम संवेग $0$ है (क्योंकि हथौड़ा स्थिर हो जाता है)।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = p - 0 = p$.
समय अंतराल $\Delta t = 0.5 \; s$.
इसलिए,औसत बल $F = \frac{p}{0.5} = 2p \; N$.
अतः,आवश्यक औसत बल $2p \; N$ है।

(C) $1$. बल्ले से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $(v_1)$ ज्ञात करें: $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$h = 20 \,m$,और $g = 10 \,m/s^2$,हमें $v_1 = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = 20 \,m/s$ (नीचे की ओर) प्राप्त होता है।
$2$. बल्ले से टकराने के ठीक बाद गेंद का वेग $(v_2)$ ज्ञात करें: ऊपर की गति के लिए $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ अधिकतम ऊँचाई $h = 45 \,m$ पर $v = 0$ है,हमें $0 = u^2 - 2 \times 10 \times 45$ मिलता है,जिससे $u = v_2 = 30 \,m/s$ (ऊपर की ओर) प्राप्त होता है।
$3$. आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करें: $\text{Impulse} = F \Delta t = m(v_{\text{final}} - v_{\text{initial}})$.
$4$. ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर: $v_{\text{final}} = +30 \,m/s$ और $v_{\text{initial}} = -20 \,m/s$.
$5$. बल्ले द्वारा लगाया गया बल ऊपर की ओर है,इसलिए $F = +200 \,N$. गेंद का भार $(mg = 0.05 \times 10 = 0.5 \,N)$ नीचे की ओर कार्य करता है। शुद्ध औसत बल $F_{\text{net}} = F_{\text{bat}} - mg = 200 - 0.5 \approx 200 \,N$ है।
$6$. $\Delta t = \frac{m(v_2 - v_1)}{F_{\text{net}}} = \frac{0.05 \times (30 - (-20))}{200} = \frac{0.05 \times 50}{200} = \frac{2.5}{200} = \frac{1}{80} \,s$.

(D) सही उत्तर $(D)$ है।
$(1)$ क्रिया और प्रतिक्रिया बल अलग-अलग पिंडों पर कार्य करते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त नहीं कर सकते हैं।
$(2)$ क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म के लिए भौतिक संपर्क की आवश्यकता नहीं होती है; उदाहरण के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर वैद्युत (कूलम्ब) बल दूरी से कार्य करते हैं।
$(3)$ न्यूटन का $3^{rd}$ नियम सार्वभौमिक है और यह इस बात पर निर्भर नहीं करता कि पिंड स्थिर हैं या गति में हैं।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(C) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। राइफल द्वारा गोली पर लगाया गया बल,गोली द्वारा राइफल पर लगाए गए बल के परिमाण में बराबर होता है।
सबसे पहले,दिए गए मानों को $SI$ इकाइयों में बदलें:
गोली का द्रव्यमान,$m = 10 \,g = 0.01 \,kg$.
गोली का त्वरण,$a = 3 \times 10^6 \,cm/s^2 = 3 \times 10^6 \times 10^{-2} \,m/s^2 = 3 \times 10^4 \,m/s^2$.
गोली पर कार्य करने वाला बल $F = m \times a$ है।
$F = 0.01 \,kg \times 3 \times 10^4 \,m/s^2 = 300 \,N$.
चूंकि राइफल पर कार्य करने वाला बल,गोली पर कार्य करने वाले बल के परिमाण में बराबर है,इसलिए राइफल पर कार्य करने वाले बल का परिमाण $300 \,N$ है।

(B) मशीन गन द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया बल दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
मान लीजिए कि $n$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है।
बल $F$ को सूत्र $F = n \cdot m \cdot v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ एक गोली का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।
दिया गया है: $m = 65 \, g = 0.065 \, kg$,$v = 1300 \, m/s$,और $F = 169 \, N$।
समीकरण में मान रखने पर:
$169 = n \times 0.065 \times 1300$
$169 = n \times 84.5$
$n = \frac{169}{84.5} = 2$।
अतः,व्यक्ति प्रति सेकंड $2$ गोलियां दाग सकता है।

(D) दीवार द्वारा कण को दिया गया आवेग उसके रैखिक संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
मान लीजिए कि दीवार $y$-अक्ष के अनुदिश है। टक्कर से पहले कण का वेग $\vec{v}_i = v \cos 30^{\circ} \hat{i} - v \sin 30^{\circ} \hat{j}$ है।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,दीवार के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है,और दीवार के लंबवत घटक अपनी दिशा उलट देता है।
अतः,टक्कर के बाद वेग $\vec{v}_f = -v \cos 30^{\circ} \hat{i} - v \sin 30^{\circ} \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i) = m(-2v \cos 30^{\circ} \hat{i}) = -2mv \cos 30^{\circ} \hat{i}$ है।
आवेग का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2mv \cos 30^{\circ} = 2mv \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3} mv$ है।

(B) संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p}$ आवेग के बराबर होता है,जो $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल है।
पिंड द्वारा अपना प्रारंभिक संवेग $\vec{p}$ पुनः प्राप्त करने के लिए,संवेग में कुल परिवर्तन शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि ग्राफ $t$-अक्ष को $t = 4 \ s$ पर काटता है। धनात्मक त्रिभुज का क्षेत्रफल ($t=0$ से $t=4$ तक) $A_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2 \ N \cdot s$ है।
कुल क्षेत्रफल शून्य होने के लिए,ऋणात्मक त्रिभुज का क्षेत्रफल ($t=4$ से $t_0$ तक) परिमाण में धनात्मक क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए समय $t_0$ पर बल $-F_0$ है। रेखा के ढाल से,$\tan \theta = \frac{1}{2} = \frac{F_0}{t_0-4}$,इसलिए $F_0 = \frac{t_0-4}{2}$।
ऋणात्मक त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_2 = \frac{1}{2} \times (t_0-4) \times F_0 = \frac{1}{2} \times (t_0-4) \times \frac{t_0-4}{2} = \frac{(t_0-4)^2}{4}$ है।
$A_1 = A_2$ रखने पर,हमें $2 = \frac{(t_0-4)^2}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(t_0-4)^2 = 8$।
अतः,$t_0-4 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,इसलिए $t_0 = 4 + 2\sqrt{2} \ s$।

(A) आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर लगाया गया आवेग उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
$J = \int F dt = \Delta p = m(v - v_0)$
आवेग $F-t$ वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिया गया वक्र एक अर्ध-दीर्घवृत्त (semi-ellipse) है,जिसमें अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = T_0/2$ और अर्ध-लघु अक्ष $b = F_0$ है। अर्ध-दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi a b$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi \left(\frac{T_0}{2}\right) F_0 = \frac{\pi F_0 T_0}{4}$
आवेग को संवेग में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$m(v - v_0) = \frac{\pi F_0 T_0}{4}$
$v - v_0 = \frac{\pi F_0 T_0}{4m}$
$v = v_0 + \frac{\pi F_0 T_0}{4m}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{dp}{dt}$
इसका अर्थ है कि बल $F$,$p-t$ ग्राफ के ढाल (slope) के बराबर है।
$1$. $t = 0$ से $t = 2 \ s$ तक,संवेग $0$ से $10 \ kg \ m/s$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है। ढाल स्थिर और धनात्मक है:
$F = \frac{10 - 0}{2 - 0} = 5 \ N$
$2$. $t = 2$ से $t = 6 \ s$ तक,संवेग $10 \ kg \ m/s$ पर स्थिर रहता है। ढाल शून्य है:
$F = \frac{10 - 10}{6 - 2} = 0 \ N$
$3$. $t = 6$ से $t = 8 \ s$ तक,संवेग $10$ से $0 \ kg \ m/s$ तक रैखिक रूप से घटता है। ढाल स्थिर और ऋणात्मक है:
$F = \frac{0 - 10}{8 - 6} = -5 \ N$
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ समय के साथ इन बल मानों को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) फर्श से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v_i = \sqrt{2gh_i} = \sqrt{2 \times 10 \times 9.8} = \sqrt{196} = 14\,m/s$ (नीचे की ओर) है।
नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेने पर,$v_i = -14\,m/s$।
उछलने के ठीक बाद गेंद का वेग $v_f = \sqrt{2gh_f} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10\,m/s$ (ऊपर की ओर) है।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,$v_f = +10\,m/s$।
वेग में परिवर्तन $\Delta v = v_f - v_i = 10 - (-14) = 24\,m/s$ है।
औसत त्वरण $a_{\text{avg}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{24}{0.2} = 120\,m/s^2$ है।

(B) $100$ गेंदों का प्रारंभिक संवेग $P_i = 100mv$ है (दीवार की ओर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
परावर्तन के बाद,गेंदों का अंतिम संवेग $P_f = -100mv$ है (क्योंकि वे समान गति के साथ विपरीत दिशा में चलती हैं)।
गेंदों के संवेग में परिवर्तन $\Delta P = P_f - P_i = -100mv - 100mv = -200mv$ है।
दीवार द्वारा गेंदों पर लगाया गया बल $F_{wall} = \frac{\Delta P}{t} = -\frac{200mv}{t}$ है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,गेंदों द्वारा दीवार पर लगाया गया बल,दीवार द्वारा गेंदों पर लगाए गए बल के परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है।
इसलिए,गेंदों द्वारा दीवार पर लगाए गए बल का परिमाण $|F| = \frac{200mv}{t}$ है।

(B) आवेग (impulse) को बल-समय $(F-t)$ वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$(a)$ क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.5 = 0.25 \, N \cdot s$
$(b)$ क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 2.0 \times 0.5 = 1.0 \, N \cdot s$
$(c)$ क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.75 = 0.375 \, N \cdot s$
$(d)$ क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0.5 = 0.5 \, N \cdot s$
मानों की तुलना करने पर, आकृति $(b)$ में आवेग सबसे अधिक है।

(B) मशीन गन द्वारा लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = \frac{dp}{dt} = n \cdot m \cdot v$
जहाँ $n$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है,$m$ प्रत्येक गोली का द्रव्यमान है,और $v$ गोलियों का वेग है।
दिया गया है:
बल $F = 125\,N$
द्रव्यमान $m = 10\,g = 10 \times 10^{-3}\,kg = 0.01\,kg$
वेग $v = 250\,m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$125 = n \times 0.01 \times 250$
$125 = n \times 2.5$
$n = \frac{125}{2.5} = 50$
अतः,प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या $50$ है।

(B) बंदूक को दिया गया आवेग गोली के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान,$m = 10\,g = 0.01\,kg$
गोली का वेग,$v = 600\,m/s$
बंदूक का द्रव्यमान,$M = 3\,kg$
आवेग $J = \Delta p = m \times v$
$J = 0.01\,kg \times 600\,m/s = 6\,Ns$
चूंकि निकाय शुरू में स्थिर है,इसलिए बंदूक को प्राप्त आवेग का परिमाण गोली द्वारा प्राप्त संवेग के बराबर होता है।

(D) आवेग $\vec{I}$ संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_i$ के बराबर होता है।
द्रव्यमान $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
जमीन से टकराने से ठीक पहले का वेग: $v_i = -\sqrt{2gh_1} = -\sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = -\sqrt{196} = -14 \,m/s$.
उछलने के ठीक बाद का वेग: $v_f = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9.9 \,m/s$.
आवेग $I = m(v_f - v_i) = 0.1 \times (9.9 - (-14)) = 0.1 \times (23.9) = 2.39 \,kg \,m/s$.

(A) दिया गया रैखिक संवेग $\vec{P}(t) = \cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}$ है।
बल $\vec{F}$ संवेग के परिवर्तन की दर है: $\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt}$.
$\vec{F} = \frac{d}{dt} [\cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}] = -k \sin(kt) \hat{i} - k \cos(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणनफल (dot product) का उपयोग करते हैं: $\vec{F} \cdot \vec{P} = |\vec{F}| |\vec{P}| \cos \theta$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = (-k \sin(kt))(\cos(kt)) + (-k \cos(kt))(-\sin(kt))$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = -k \sin(kt) \cos(kt) + k \sin(kt) \cos(kt) = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 150 \ g = 0.15 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 20 \ m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$,समय अंतराल $\Delta t = 0.1 \ s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लगाया गया बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30 \ N$
बल का परिमाण $|F| = 30 \ N$ है।

(C) ब्लॉक को दिया गया आवेग (impulse),$F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग $J = \int F \ dt = (t=0 \text{ से } 3 \ s \text{ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल}) - (t=3 \text{ से } 4.5 \ s \text{ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल})$.
$t=0$ पर,$F=4 \ N$. रेखा की ढाल $m = \frac{0-4}{3-0} = -\frac{4}{3} \ N/s$ है।
अतः,$F(t) = 4 - \frac{4}{3}t$.
$t=4.5 \ s$ पर,$F(4.5) = 4 - \frac{4}{3}(4.5) = 4 - 6 = -2 \ N$.
आवेग $J = \left(\frac{1}{2} \times 3 \times 4\right) - \left(\frac{1}{2} \times (4.5-3) \times 2\right) = 6 - 1.5 = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
चूंकि ब्लॉक विराम अवस्था से शुरू होता है,अंतिम संवेग $p = J = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{p^2}{2m} = \frac{(4.5)^2}{2 \times 2} = \frac{20.25}{4} = 5.0625 \ J \approx 5.06 \ J$.

(B) दिया गया है,$m = 0.4 \ kg$,आवेग $J = 1.0 \ N \ s$,$\tau = 4 \ s$,और $v(t) = v_0 e^{-t/\tau}$।
समय $t = 0$ पर,वेग $v(0) = v_0 e^0 = v_0$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,$J = \Delta p = m \Delta v = m(v(0) - 0) = m v_0$।
इसलिए,$v_0 = J/m = 1.0 / 0.4 = 2.5 \ m/s$।
$t = \tau$ पर विस्थापन $S$ वेग के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$S = \int_0^{\tau} v(t) \ dt = \int_0^{\tau} v_0 e^{-t/\tau} \ dt$।
$S = v_0 \left[ -\tau e^{-t/\tau} \right]_0^{\tau} = v_0 \tau (1 - e^{-1})$।
मान रखने पर: $S = (2.5) \times (4) \times (1 - 0.37)$।
$S = 10 \times 0.63 = 6.3 \ m$।

(A) जमीन से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v_i = -\sqrt{2gh_1} = -\sqrt{2 \times 9.8 \times 40} = -\sqrt{784} = -28 \ m/s$ है।
जमीन से टकराने के बाद गेंद का वेग $v_f = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14 \ m/s$ है।
गेंद को प्राप्त आवेग संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है: $\vec{I} = \Delta \vec{P} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$।
मान रखने पर: $\vec{I} = 0.5 \times [14 - (-28)] = 0.5 \times [14 + 28] = 0.5 \times 42 = 21 \ Ns$।

(C) फुटबॉल पर कार्य करने वाले बल की गणना न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार संवेग परिवर्तन की दर से की जा सकती है: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$।
यहाँ,फुटबॉल का द्रव्यमान $m = 0.5 \ kg$ है।
प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ और अंतिम वेग $v = 10 \ m/s$ है।
संपर्क का समय $\Delta t = \frac{1}{50} \ s$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v - u) = 0.5 \times (10 - 0) = 5 \ kg \cdot m/s$ है।
अतः,बल $F = \frac{5}{1/50} = 5 \times 50 = 250 \ N$ होगा।

(D) कण पर कार्य करने वाला आवेग (Impulse),$F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग $J = \int F \, dt = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
यहाँ $m = 2 \ kg$ और $v_i = 0 \ ms^{-1}$ दिया गया है।
ग्राफ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल $(0-2 \ s)$ + आयत का क्षेत्रफल $(2-4 \ s)$ + समलंब का क्षेत्रफल $(4-6 \ s)$ + त्रिभुज का क्षेत्रफल $(6-10 \ s)$.
क्षेत्रफल $= (\frac{1}{2} \times 2 \times 10) + (2 \times 10) + (\frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 2) + (\frac{1}{2} \times 4 \times 20)$.
क्षेत्रफल $= 10 + 20 + 30 + 40 = 100 \ N \cdot s$.
चूँकि $J = m \cdot v_f$,इसलिए $100 = 2 \times v_f$.
अतः,$v_f = 50 \ ms^{-1}$.

(C) दीवार पर लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
प्रति सेकंड $N$ गेंदों का प्रारंभिक संवेग = $Nmu \hat{i}$।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,गेंदें समान गति के साथ विपरीत दिशा में वापस लौटती हैं।
प्रति सेकंड $N$ गेंदों का अंतिम संवेग = $-Nmu \hat{i}$।
प्रति सेकंड संवेग में परिवर्तन = $\text{अंतिम संवेग} - \text{प्रारंभिक संवेग} = -Nmu \hat{i} - (Nmu \hat{i}) = -2Nmu \hat{i}$।
संवेग परिवर्तन का परिमाण $2Nmu$ है।
चूंकि बल संवेग परिवर्तन की दर है,$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2Nmu}{1} = 2Nmu \ N$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) वस्तु पर लगा आवेग बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग $(J)$ = संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ = $m(v - u)$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 3 \ kg$, प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ है।
ग्राफ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल = पहले आयत का क्षेत्रफल + दूसरे आयत का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल = $(8 \ N \times 0.5 \ s) + (4 \ N \times (1.0 - 0.5) \ s)$.
क्षेत्रफल = $(4 \ Ns) + (4 \ N \times 0.5 \ s) = 4 \ Ns + 2 \ Ns = 6 \ Ns$.
चूंकि आवेग = $\Delta p = m(v - u)$,
$6 = 3 \times (v - 0)$,
$6 = 3v$,
$v = 2 \ m/s$.
अतः, $1 \ s$ के बाद वस्तु की चाल $2 \ m/s$ होगी।

(C) कण पर लगाया गया आवेग बल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग $J = \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 4 \, s \times 6 \, N = 12 \, N \cdot s$.
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार, आवेग $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
यहाँ द्रव्यमान $m = 2 \, kg$, प्रारंभिक वेग $v_i = 6 \, m/s$, और आवेग $J = 12 \, N \cdot s$ दिया गया है।
$12 = 2(v_f - 6)$.
$6 = v_f - 6$.
$v_f = 12 \, m/s$.
अतः, कण का अंतिम वेग $12 \, m/s$ है।

(B) दीवार पर लगाया गया बल गेंदों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गेंद $u$ वेग से दीवार से टकराती है और $-u$ वेग से वापस आती है।
एक गेंद के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(u - (-u)) = 2mu$ है।
चूंकि प्रति सेकंड $n$ गेंदें दीवार से टकराती हैं,इसलिए प्रति सेकंड संवेग में कुल परिवर्तन $\frac{dp}{dt} = n \times \Delta p = n(2mu) = 2mnu$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है,इसलिए $F = 2mnu$।

(A) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$. प्रारंभिक वेग $u = 200 \,m/s$. अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$. लिया गया समय $\Delta t = \frac{1}{50} \,s = 0.02 \,s$.
आवेग $(J)$ संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है:
$J = \Delta p = m(v - u)$
$J = 0.02 \,kg \times (0 - 200) \,m/s = -4 \,kg \cdot m/s$.
आवेग का परिमाण $4 \,Ns$ है।
औसत बल $(F_{avg})$ संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है:
$F_{avg} = \frac{J}{\Delta t} = \frac{4 \,Ns}{0.02 \,s} = 200 \,N$.
अतः,आवेग $4 \,Ns$ है और औसत बल $200 \,N$ है।

(A) किसी वस्तु को दिया गया आवेग उसके रैखिक संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
मान लीजिए गेंद का प्रारंभिक वेग $u = 6 \ m/s$ (बल्लेबाज की ओर) है।
हिट होने के बाद,गेंद समान गति के साथ गेंदबाज की ओर बढ़ती है,इसलिए अंतिम वेग $v = -6 \ m/s$ है।
गेंद का द्रव्यमान $m = 0.2 \ kg$ है।
आवेग $J = \Delta p = m(v - u)$।
$J = 0.2 \times (-6 - 6) = 0.2 \times (-12) = -2.4 \ Ns$।
गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण $2.4 \ Ns$ है।

(B) आवेग (Impulse) को वस्तु के संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
माना प्रारंभिक वेग $u = 30 \,ms^{-1}$ है और अंतिम वेग $v = -20 \,ms^{-1}$ है (क्योंकि यह विपरीत दिशा में वापस लौटती है)।
गेंद का द्रव्यमान $m = 0.1 \,kg$ है।
आवेग $J = \Delta p = m(v - u)$.
प्रारंभिक वेग की दिशा को धनात्मक लेने पर:
$J = m(v_{final} - v_{initial}) = 0.1 \times (-20 - 30) = 0.1 \times (-50) = -5 \,N-s$.
दीवार द्वारा गेंद पर लगाए गए आवेग का परिमाण $|J| = 5 \,N-s$ है।

(D) दो कणों के निकाय पर कार्य करने वाला बाह्य बल गुरुत्वाकर्षण बल है: $F_{ext} = (m_1 + m_2)g$ (नीचे की दिशा में)।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर बाह्य बल के बराबर होती है: $F_{ext} = \frac{\Delta P}{\Delta t}$।
यहाँ,$\Delta P = (m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)$ और $\Delta t = 2t - 0 = 2t$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(m_1 + m_2)g = \frac{(m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)}{2t}$।
अतः,संवेग में परिवर्तन: $[(m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)] = 2(m_1 + m_2)gt$ होगा।

(B) दिया गया है:
गेंदों की संख्या $N = 1000 = 10^3$
प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$
क्षेत्रफल $A = 1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$
वेग $v = 50 \text{ m/s}$
प्रत्येक टक्कर के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m[v - (-v)] = 2mv$ है।
चूंकि प्रति सेकंड $N$ टक्करें हो रही हैं,सतह पर लगने वाला कुल बल $F$ है:
$F = N \times \Delta p = N \times 2mv$
$F = 10^3 \times 2 \times 10^{-3} \text{ kg} \times 50 \text{ m/s} = 100 \text{ N}$.
दबाव $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया गया है:
$P = \frac{F}{A} = \frac{100 \text{ N}}{10^{-4} \text{ m}^2} = 10^6 \text{ N/m}^2$.

(C) मशीन गन द्वारा लगाया गया बल दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
मान लीजिए कि प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या $n$ है।
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m = 30 \text{ g} = 0.03 \text{ kg}$ है।
प्रत्येक गोली का वेग $v = 1000 \text{ m/s}$ है।
बंदूक द्वारा लगाया गया बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = n \times m \times v$
यहाँ $F = 300 \text{ N}$,$m = 0.03 \text{ kg}$,और $v = 1000 \text{ m/s}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$300 = n \times 0.03 \times 1000$
$300 = n \times 30$
$n = \frac{300}{30} = 10$
अतः,वह व्यक्ति प्रति सेकंड अधिकतम $10$ गोलियां दाग सकता है।

(C) मशीन गन द्वारा लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
मान लीजिए कि प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या $n$ है।
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m = 35 \ g = 0.035 \ kg$ है।
प्रत्येक गोली का वेग $v = 600 \ m/s$ है।
गन द्वारा लगाया गया बल $F$,सूत्र $F = n \times (m \times v)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = 147 \ N$,$m = 0.035 \ kg$,और $v = 600 \ m/s$ दिया गया है।
मान रखने पर: $147 = n \times (0.035 \times 600)$.
$147 = n \times 21$.
$n = 147 / 21 = 7$.
अतः,प्रति सेकंड दागी जा सकने वाली गोलियों की संख्या $7$ है।

(A) $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल आवेग (impulse) को दर्शाता है, जो पिंड के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि पिंड प्रारंभ में विराम अवस्था में है, इसलिए आवेग $1 \,s$ के बाद पिंड के अंतिम संवेग के बराबर होगा।
$\text{आवेग} = F-t \text{ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$
$\text{आवेग} = (10 \,N \times 0.5 \,s) + (20 \,N \times 0.5 \,s)$
$\text{आवेग} = 5 \,N-s + 10 \,N-s = 15 \,N-s$
चूंकि $\text{आवेग} = \Delta p = m \times v - m \times u$ और $u = 0$ है, इसलिए:
$15 = 2 \,kg \times v$
$v = \frac{15}{2} = 7.5 \,m/s$

(C) जब डोरी $C$ को अचानक झटका दिया जाता है,तो उस पर एक आवेगी बल कार्य करता है।
चूंकि द्रव्यमान में जड़त्व होता है,यह गति में अचानक परिवर्तन का विरोध करता है।
यह आवेगी तनाव सबसे पहले डोरी $C$ में उत्पन्न होता है,जो उसकी तोड़ने की क्षमता से अधिक हो जाता है।
चूंकि आवेग को द्रव्यमान से होकर डोरी $A$ तक पहुँचने में समय लगता है,इसलिए डोरी $A$ में तनाव बढ़ने से पहले ही डोरी $C$ टूट जाती है।

(B) संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ अंतिम संवेग और प्रारंभिक संवेग का अंतर है।
प्रारंभिक संवेग $p_i = m \times v = 2 \,kg \times 100 \,ms^{-1} = 200 \,kg \cdot ms^{-1}$।
चूंकि पिंड विपरीत दिशा में उसी गति से वापस लौटता है,इसलिए अंतिम संवेग $p_f = m \times (-v) = 2 \,kg \times (-100 \,ms^{-1}) = -200 \,kg \cdot ms^{-1}$।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = p_f - p_i = -200 - 200 = -400 \,kg \cdot ms^{-1}$।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 400 \,kg \cdot ms^{-1}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार दीवार पर लगाया गया बल $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t}$ है।
यहाँ $\Delta t = 1/50 \,s$ दिया गया है,इसलिए $F = \frac{400}{1/50} = 400 \times 50 = 20,000 \,N = 2 \times 10^{4} \,N$।

(A) जब वस्तुओं को गुरुत्वाकर्षण के तहत $h$ ऊँचाई से मुक्त किया जाता है,तो वे मुक्त पतन (free fall) करती हैं।
गति के समीकरणों के अनुसार,जमीन से टकराने से ठीक पहले अंतिम वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $g$ और $h$ सभी वस्तुओं के लिए समान हैं,इसलिए वेग $v$ सभी वस्तुओं के लिए समान होगा।
हालाँकि,वस्तु का संवेग $p = mv$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि पाँचों वस्तुओं के द्रव्यमान $m$ अलग-अलग हैं,इसलिए जमीन से टकराते समय उनका संवेग $p$ अलग-अलग होगा।
अतः,वह भौतिक राशि जो द्रव्यमान पर निर्भर करती है और अलग-अलग वस्तुओं के लिए बदल जाती है,वह संवेग है।

(C) प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m = 250 \ g = 0.25 \ kg$ है।
पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $v_i = 16 \ m \ s^{-1}$ है।
टक्कर के बाद,गेंद विपरीत दिशा में समान गति से वापस आती है,इसलिए अंतिम वेग $v_f = -16 \ m \ s^{-1}$ है।
आवेग को संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है: $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
मान रखने पर: $J = 0.25 \ kg \times (-16 \ m \ s^{-1} - 16 \ m \ s^{-1})$.
$J = 0.25 \ kg \times (-32 \ m \ s^{-1}) = -8 \ kg \ m \ s^{-1}$.
अतः,लगाए गए आवेग का परिमाण $|J| = 8 \ kg \ m \ s^{-1}$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 250 \text{ g} = 0.25 \text{ kg} = \frac{1}{4} \text{ kg}$.
प्रारंभिक वेग $\vec{u} = -22 \hat{i} \text{ ms}^{-1}$.
अंतिम वेग $\vec{v} = 30 \cos 53^{\circ} \hat{i} + 30 \sin 53^{\circ} \hat{j} = 30(\frac{3}{5}) \hat{i} + 30(\frac{4}{5}) \hat{j} = 18 \hat{i} + 24 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$.
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = m(\vec{v} - \vec{u}) = \frac{1}{4} [(18 \hat{i} + 24 \hat{j}) - (-22 \hat{i})] = \frac{1}{4} [40 \hat{i} + 24 \hat{j}] = 10 \hat{i} + 6 \hat{j} \text{ Ns}$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{P}| = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \text{ Ns}$.
औसत बल $\vec{F}_{avg} = \frac{\Delta \vec{P}}{\Delta t} = \frac{\sqrt{136}}{0.01} = 100 \sqrt{136} \approx 100 \times 11.66 = 1166 \text{ N}$.

(A) दिया गया कोण दीवार के साथ है,इसलिए अभिलंब (normal) के साथ कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ केवल दीवार के लंबवत दिशा में होता है।
दीवार के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin(60^{\circ}) = v \cos(30^{\circ})$ है।
दीवार के लंबवत प्रारंभिक संवेग घटक: $p_i = m v \cos(30^{\circ})$.
दीवार के लंबवत अंतिम संवेग घटक: $p_f = -m v \cos(30^{\circ})$.
संवेग में परिवर्तन: $\Delta p = |p_f - p_i| = 2 m v \cos(30^{\circ})$.
मान रखने पर: $\Delta p = 2 \times 3 \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 300\sqrt{3} \ kg \cdot m/s$.
लगाया गया बल $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{300\sqrt{3}}{0.2} = 1500\sqrt{3} \ N$.

(B) यहाँ, वस्तु का द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ है।
आवेग संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित है: $\text{Impulse} = \Delta p = p_f - p_i = m(v_f - v_i)$.
स्थिति-समय ग्राफ से, वेग $x-t$ ग्राफ का ढाल है $(v = \frac{dx}{dt})$।
$t < 4 \, s$ के लिए, वेग $v_i$, $(0,0)$ से $(4,3)$ तक की रेखा का ढाल है:
$v_i = \frac{3 - 0}{4 - 0} = 0.75 \, m/s$.
$t > 4 \, s$ के लिए, वेग $v_f$, क्षैतिज रेखा का ढाल है:
$v_f = 0 \, m/s$.
इसलिए, $t = 4 \, s$ पर आवेग है:
$\text{Impulse} = m(v_f - v_i) = 2 \, kg \times (0 - 0.75 \, m/s) = -1.5 \, kg \cdot m/s$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) रैखिक संवेग एक सदिश राशि है।
मान लीजिए कि दीवार की ओर की दिशा धनात्मक है।
प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m \times 10 \hat{i} = 0.5 \times 10 \hat{i} = 5 \hat{i} \ kg \ m \ s^{-1}$ है।
दीवार से टकराने के बाद,गेंद विपरीत दिशा में गति करती है।
अंतिम संवेग $\vec{p}_f = -m \times v \hat{i} = -0.5 \times v \hat{i} \ kg \ m \ s^{-1}$ है।
रैखिक संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$ है।
$\Delta \vec{p} = (-0.5v \hat{i}) - (5 \hat{i}) = -(0.5v + 5) \hat{i}$ है।
रैखिक संवेग में परिवर्तन का परिमाण $8.0 \ kg \ m \ s^{-1}$ दिया गया है।
$|\Delta \vec{p}| = 0.5v + 5 = 8.0$.
$0.5v = 8.0 - 5 = 3.0$.
$v = \frac{3.0}{0.5} = 6.0 \ m \ s^{-1}$।

(B) रैखिक संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$\Delta p = \int_0^8 F \,dt = F-t \text{ वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
ग्राफ से,$t=0$ से $t=2$ तक का क्षेत्रफल $t$-अक्ष के नीचे एक चतुर्थांश वृत्त है (ऋणात्मक क्षेत्रफल)।
$t=2$ से $t=6$ तक का क्षेत्रफल $t$-अक्ष के ऊपर एक अर्धवृत्त है (धनात्मक क्षेत्रफल)।
$t=6$ से $t=8$ तक का क्षेत्रफल $t$-अक्ष के नीचे एक चतुर्थांश वृत्त है (ऋणात्मक क्षेत्रफल)।
वृत्ताकार खंडों की त्रिज्या $r=2$ इकाई है ($F=0$ से $F=2$ या $F=-2$ तक):
चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \pi$.
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.
कुल क्षेत्रफल $= -(\text{क्षेत्रफल}_{0-2}) + (\text{क्षेत्रफल}_{2-6}) - (\text{क्षेत्रफल}_{6-8})$
$\Delta p = -\pi + 2\pi - \pi = 0$.
अतः,$0$ और $8 \,s$ के बीच प्राप्त रैखिक संवेग $0$ है।