Motion of Body (or Connected Bodies in horizontal or vertical) (by String or Contact) Questions in Hindi

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_{\text{rope}} + m_{\text{box}} = 1.0 \ kg + 2.0 \ kg = 3.0 \ kg$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{6 \ N}{3.0 \ kg} = 2 \ m/s^2$ है।
रस्सी के मध्य बिंदु पर तनाव ज्ञात करने के लिए,बॉक्स और उससे जुड़ी रस्सी के आधे हिस्से को एक निकाय के रूप में लें।
इस भाग का द्रव्यमान $m' = m_{\text{box}} + \frac{1}{2} m_{\text{rope}} = 2.0 \ kg + 0.5 \ kg = 2.5 \ kg$ है।
इस भाग पर न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर,मध्य बिंदु पर तनाव $T = m' \times a$ होगा।
$T = 2.5 \ kg \times 2 \ m/s^2 = 5 \ N$.

(B) ब्लॉक पर ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $N$ (ऊपर की ओर),प्रयुक्त बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin 37^{\circ}$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए समीकरण है:
$N + F \sin 37^{\circ} = mg$
$N = mg - F \sin 37^{\circ}$
ब्लॉक सतह के साथ संपर्क तब खो देता है जब अभिलंब बल $N$ शून्य हो जाता है।
$N = 0$ रखने पर:
$0 = mg - F \sin 37^{\circ}$
$mg = F \sin 37^{\circ}$
यहाँ $m = 10 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,$F = 10t$,और $\sin 37^{\circ} = 3/5$ दिया गया है:
$10 \times 10 = (10t) \times (3/5)$
$100 = 6t$
$t = 100/6 = 50/3 \, \text{s}$

(A) मान लीजिए $B$ से पहले कण की दूरी $r$ है और दोनों कणों के बीच की दूरी $2r$ है। मान लीजिए $\omega$ निकाय का कोणीय वेग है।
रस्सी के बाहरी भाग (दो कणों के बीच) में तनाव $T_2$ है। यह तनाव सिरे $A$ पर स्थित कण के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T_2 = m \omega^2 (r + 2r) = 3m \omega^2 r$
रस्सी के आंतरिक भाग ($B$ और बीच वाले कण के बीच) में तनाव $T_1$ है। यह तनाव दोनों कणों के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T_1 = T_2 + m \omega^2 r$
$T_1 = 3m \omega^2 r + m \omega^2 r = 4m \omega^2 r$
छोटे भाग में तनाव $(T_1)$ और बड़े भाग में तनाव $(T_2)$ का अनुपात है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{4m \omega^2 r}{3m \omega^2 r} = \frac{4}{3}$

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m$ है। $O$ से $Q$ की दूरी $r_Q = OP + PQ = 1\, m + 1\, m = 2\, m$ है। $O$ से $P$ की दूरी $r_P = OP = 1\, m$ है।
$P$ और $Q$ के बीच डोरी में तनाव $T_1$ गोले $Q$ के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T_1 = m r_Q \omega^2 = m(2)\omega^2 = 2m\omega^2$.
$O$ और $P$ के बीच डोरी में तनाव $T_2$ को दोनों गोलों $P$ और $Q$ के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करना होगा:
$T_2 = m r_P \omega^2 + T_1 = m(1)\omega^2 + 2m\omega^2 = 3m\omega^2$.
तनाव का अनुपात है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2m\omega^2}{3m\omega^2} = \frac{2}{3}$.

(B) यह निकाय तीन ब्लॉकों से बना है जो हल्की डोरियों द्वारा जुड़े हुए हैं और एक चिकनी क्षैतिज सतह पर एक इकाई के रूप में एक साथ गति कर रहे हैं।
मान लीजिए द्रव्यमान $m_1 = 4\, kg$,$m_2 = 8\, kg$,और $m_3 = 24\, kg$ हैं।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 + m_3 = 4 + 8 + 24 = 36\, kg$ है।
निकाय $a = 2\, m/s^2$ के सामान्य त्वरण के साथ गति कर रहा है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,निकाय पर लगाया गया कुल बाहरी बल $F$,निकाय के कुल द्रव्यमान और उसके त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है:
$F = M \times a$
$F = 36\, kg \times 2\, m/s^2 = 72\, N$.
अतः,लगाया गया बल $F$ $72\, N$ है।

(A) मेज पर कुल $10$ सिक्के एक-दूसरे के ऊपर रखे गए हैं।
हमें $6^{th}$ सिक्के द्वारा $7^{th}$ सिक्के पर लगने वाले प्रतिक्रिया बल को ज्ञात करना है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,$6^{th}$ सिक्के द्वारा $7^{th}$ सिक्के पर लगाया गया प्रतिक्रिया बल,$7^{th}$ सिक्के द्वारा $6^{th}$ सिक्के पर लगाए गए बल के परिमाण के बराबर होता है।
$6^{th}$ सिक्का अपने ऊपर रखे सभी सिक्कों का भार उठाता है,जो कि $7^{th}, 8^{th}, 9^{th}$ और $10^{th}$ सिक्के हैं।
$6^{th}$ सिक्के के ऊपर सिक्कों की कुल संख्या $= 10 - 6 = 4$ सिक्के है।
अतः $6^{th}$ सिक्के द्वारा उठाया गया कुल द्रव्यमान $4m$ है।
इसलिए,$7^{th}$ सिक्के द्वारा $6^{th}$ सिक्के पर लगाया गया बल (और परिणामस्वरूप $6^{th}$ सिक्के द्वारा $7^{th}$ सिक्के पर लगाया गया प्रतिक्रिया बल) $4mg$ है।

(C) मान लीजिए कि वस्तु का द्रव्यमान $M$ है और त्वरण $a = g/4$ नीचे की ओर है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर: $Mg - T = Ma$,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है।
$a$ का मान रखने पर: $Mg - T = M(g/4)$।
$T$ के लिए हल करने पर: $T = Mg - Mg/4 = \frac{3}{4}Mg$।
विस्थापन $h$ नीचे की ओर है,जबकि तनाव $T$ ऊपर की ओर कार्य करता है।
इसलिए,बल $T$ और विस्थापन $h$ के बीच का कोण $180^{\circ}$ है।
डोरी द्वारा किया गया कार्य $W_T = T \cdot h \cdot \cos(180^{\circ})$ होगा।
$W_T = (\frac{3}{4}Mg) \cdot h \cdot (-1) = -\frac{3}{4}Mgh$।

(A) निकाय में $m_1 = 4 \text{ kg}$ और $m_2 = 6 \text{ kg}$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक हैं जो एक चिकनी क्षैतिज सतह पर एक डोरी से जुड़े हुए हैं।
$6 \text{ kg}$ के ब्लॉक पर क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर $F = 40 \text{ N}$ का बल लगाया जाता है।
बल का क्षैतिज घटक $F_x = F \cos 60^{\circ} = 40 \times 0.5 = 20 \text{ N}$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F_x}{m_1 + m_2} = \frac{20}{4 + 6} = \frac{20}{10} = 2 \text{ m/s}^2$ है।
डोरी में तनाव $T$,$4 \text{ kg}$ के ब्लॉक को खींचता है,इसलिए $T = m_1 a = 4 \times 2 = 8 \text{ N}$ होगा।

(C) सभी ब्लॉक समान त्वरण $a$ से गति करेंगे।
दाहिनी ओर के दो ब्लॉकों ($4 \ kg$ और $2 \ kg$) पर विचार करें जो $6 \ N$ तनाव वाली डोरी से जुड़े हैं।
$4 \ kg$ और $2 \ kg$ के निकाय के लिए: $T = (m_1 + m_2) \times a$.
$6 = (4 + 2) \times a \Rightarrow 6 = 6a \Rightarrow a = 1 \ m/s^2$.
अब,चारों ब्लॉकों के पूरे निकाय के लिए (द्रव्यमान $8 \ kg, 6 \ kg, 4 \ kg, 2 \ kg$):
कुल द्रव्यमान $M = 8 + 6 + 4 + 2 = 20 \ kg$.
खिंचाव बल का क्षैतिज घटक $F \cos 60^{\circ}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार: $F \cos 60^{\circ} = M \times a$.
$F \times (1/2) = 20 \times 1$.
$F/2 = 20 \Rightarrow F = 40 \ N$.

(A) दोनों स्थितियों में,निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + 2m = 3m$ है। निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{3m}$ है।
स्थिति $1$: बल $F$ को $2m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर लगाया जाता है। संपर्क बल $N_1$ द्रव्यमान $m$ वाले ब्लॉक पर कार्य करता है,जिससे वह त्वरित होता है। अतः,$N_1 = m \cdot a = m \cdot \frac{F}{3m} = \frac{F}{3}$।
स्थिति $2$: बल $F$ को $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर लगाया जाता है। संपर्क बल $N_2$ द्रव्यमान $2m$ वाले ब्लॉक पर कार्य करता है,जिससे वह त्वरित होता है। अतः,$N_2 = 2m \cdot a = 2m \cdot \frac{F}{3m} = \frac{2F}{3}$।
अतः,संपर्क बलों का अनुपात $N_1 : N_2 = \frac{F}{3} : \frac{2F}{3} = 1 : 2$ है।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_{\text{rope}} + m_{\text{box}} = 1.0\, kg + 2.0\, kg = 3.0\, kg$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{6\, N}{3.0\, kg} = 2\, m/s^2$ है।
रस्सी के मध्य बिंदु पर तनाव ज्ञात करने के लिए,हम बक्से और उससे जुड़ी रस्सी के आधे हिस्से को एक निकाय के रूप में मानते हैं। इस भाग का द्रव्यमान $m' = m_{\text{box}} + \frac{1}{2} m_{\text{rope}} = 2.0\, kg + 0.5\, kg = 2.5\, kg$ है।
मध्य बिंदु पर तनाव $T$ वह बल है जो इस संयुक्त द्रव्यमान $m'$ को $a = 2\, m/s^2$ के त्वरण से गति देने के लिए आवश्यक है।
$T = m' \times a = 2.5\, kg \times 2\, m/s^2 = 5\, N$.

(B) जब अभिलंब बल $N$ शून्य हो जाता है,तब ब्लॉक सतह के साथ संपर्क खो देता है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बलों पर विचार करने पर:
$N + F \sin 37^{\circ} = mg$
इसलिए,अभिलंब बल इस प्रकार है:
$N = mg - F \sin 37^{\circ}$
ब्लॉक के संपर्क खोने के लिए $N = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है:
$mg = F \sin 37^{\circ}$
यहाँ $m = 10 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,और $F = 10t$ दिया गया है:
$10 \times 10 = (10t) \times \sin 37^{\circ}$
$\sin 37^{\circ} \approx 3/5$ का उपयोग करने पर:
$100 = 10t \times (3/5)$
$100 = 6t$
$t = 100/6 = 50/3 \, s$

(B) आधार डोरी और उससे जुड़े ब्लॉक दोनों को थामे हुए है।
आधार द्वारा समर्थित कुल द्रव्यमान,डोरी के द्रव्यमान $(m_s = 1 \, kg)$ और ब्लॉक के द्रव्यमान $(m_b = 1 \, kg)$ का योग है।
कुल द्रव्यमान $M = m_s + m_b = 1 \, kg + 1 \, kg = 2 \, kg$.
आधार द्वारा लगाया गया बल लटके हुए कुल द्रव्यमान के भार के बराबर होता है।
बल $F = M \times g = 2 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 20 \, N$.

(A) माना $m_1 = 12\,kg$ और $m_2 = 8\,kg$ है। त्वरण $a = 2.2\,m/s^2$ है।
निचले पिंड $(m_2 = 8\,kg)$ के लिए:
कार्यरत बल ऊपर की ओर तनाव $T_2$ और नीचे की ओर भार $m_2g$ हैं।
$T_2 - m_2g = m_2a$
$T_2 - 8(9.8) = 8(2.2)$
$T_2 - 78.4 = 17.6$
$T_2 = 96\,N$
दोनों पिंडों के निकाय $(m_1 + m_2 = 20\,kg)$ के लिए:
कार्यरत बल ऊपर की ओर तनाव $T_1$ और नीचे की ओर कुल भार $(m_1+m_2)g$ हैं।
$T_1 - (m_1+m_2)g = (m_1+m_2)a$
$T_1 - 20(9.8) = 20(2.2)$
$T_1 - 196 = 44$
$T_1 = 240\,N$
अतः,$T_1 = 240\,N$ और $T_2 = 96\,N$ प्राप्त होते हैं।

(B) त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले पूरे निकाय को एक एकल पिंड के रूप में मानें।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 7\,kg + 4\,kg + 5\,kg = 16\,kg$ है।
ऊपर की ओर लगने वाला कुल बल $F = 200\,N$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला कुल बल $Mg = 16 \times 10 = 160\,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = Ma$:
$200 - 160 = 16a$
$40 = 16a$
$a = \frac{40}{16} = 2.5\,m/s^2$।
अब,बिंदु $P$ (रस्सी का शीर्ष) पर तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए,$5\,kg$ के ब्लॉक और $4\,kg$ की रस्सी से बने निकाय पर विचार करें।
बिंदु $P$ के नीचे का कुल द्रव्यमान $m' = 5\,kg + 4\,kg = 9\,kg$ है।
इस उप-निकाय पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $m'g$ हैं।
इस उप-निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए:
$T - m'g = m'a$
$T - (9 \times 10) = 9 \times 2.5$
$T - 90 = 22.5$
$T = 90 + 22.5 = 112.5\,N$।

(C) माना निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि ब्लॉक एक ही डोरी से जुड़े हैं,इसलिए दोनों ब्लॉकों का त्वरण $a$ समान होगा।
नत समतल पर स्थित ब्लॉक के लिए गति का समीकरण:
$M g \sin \theta - T = M a$ ---$(1)$
क्षैतिज सतह पर स्थित ब्लॉक के लिए गति का समीकरण:
$T = M a$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$M g \sin \theta = 2 M a$
$a = \frac{g \sin \theta}{2}$
समीकरण $(2)$ में $a$ का मान रखने पर:
$T = M \left( \frac{g \sin \theta}{2} \right) = \frac{M g \sin \theta}{2}$

(D) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = M_1 + M_2 + M_{rod} = 20 + 12 + 8 = 40\,kg$ है।
निकाय का ऊपर की ओर त्वरण $a = \frac{F}{M} - g$ द्वारा दिया जाता है। $g = 10\,m/s^2$ मानते हुए:
$a = \frac{480}{40} - 10 = 12 - 10 = 2\,m/s^2$.
छड़ के मध्य-बिंदु पर तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए,हम निकाय के निचले हिस्से का फ्री-बॉडी आरेख मानते हैं,जिसमें ब्लॉक $M_2$ और छड़ का आधा हिस्सा $(4\,kg)$ शामिल है:
$T - (M_2 + M_{rod}/2)g = (M_2 + M_{rod}/2)a$
$T = (M_2 + M_{rod}/2)(g + a)$
$T = (12 + 4)(10 + 2) = 16 \times 12 = 192\,N$.

(D) दिया गया है: कार का द्रव्यमान $m = 1000\,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 30\,m/s$,अंतिम वेग $v = 0\,m/s$,मंदक बल $F = 5000\,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,मंदन $a = \frac{F}{m} = \frac{5000}{1000} = 5\,m/s^2$ है।
चूंकि यह मंदन है,इसलिए त्वरण $-5\,m/s^2$ होगा।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2ad$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 - (30)^2 = 2(-5)d$
$-900 = -10d$
$d = 90\,m$।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए:
$0 = 30 + (-5)t$
$5t = 30$
$t = 6\,s$।
अतः,$d = 90\,m$ और $t = 6\,s$।

(B) $1$. प्लेटफॉर्म $a = g/2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है।
$2$. ब्लॉक पर कार्य करने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ को न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: $N - mg = ma$।
$3$. $a = g/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N = mg + m(g/2) = 3mg/2$ प्राप्त होता है।
$4$. स्थिर अवस्था से शुरू होकर $t$ समय में ब्लॉक का विस्थापन $s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(g/2)t^2 = \frac{gt^2}{4}$ है।
$5$. अभिलंब प्रतिक्रिया द्वारा किया गया कार्य $W = N \cdot s = (3mg/2) \cdot (gt^2/4) = \frac{3mg^2t^2}{8}$ है।

(B) तीनों ब्लॉकों का कुल द्रव्यमान: $M = 5 \text{ kg} + 2 \text{ kg} + 1 \text{ kg} = 8 \text{ kg}$.
ब्लॉकों का त्वरण: $a = \frac{F}{M} = \frac{16 \text{ N}}{8 \text{ kg}} = 2 \text{ m/s}^2$.
मान लीजिए $N_{AB}$ ब्लॉक $A$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल है और $N_{BC}$ ब्लॉक $B$ द्वारा $C$ पर लगाया गया बल है।
ब्लॉक $B$ और $C$ की संयुक्त गति पर विचार करने पर,बल $N_{AB}$ उन्हें धक्का देता है:
$N_{AB} = (m_B + m_C) \times a = (2 + 1) \times 2 = 3 \times 2 = 6 \text{ N}$.
ब्लॉक $C$ की गति पर विचार करने पर,बल $N_{BC}$ उसे धक्का देता है:
$N_{BC} = m_C \times a = 1 \times 2 = 2 \text{ N}$.
अतः,ब्लॉक $A$ द्वारा $B$ पर लगाए गए बल और $B$ द्वारा $C$ पर लगाए गए बल का अनुपात है:
$\frac{N_{AB}}{N_{BC}} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1}$.

(D) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। निकाय पर कार्य करने वाला कुल बल $2F - F = F$ बाईं ओर है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $m + m = 2m$ है।
इसलिए,निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{2m}$ बाईं ओर है।
अब,ब्लॉक $A$ का फ्री बॉडी डायग्राम $(FBD)$ देखें। $A$ पर कार्य करने वाले बल दाईं ओर लगाया गया बल $F$ और ब्लॉक $B$ द्वारा संपर्क सतह के लंबवत कार्य करने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ हैं।
संपर्क सतह क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए अभिलंब $N$ क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
क्षैतिज दिशा में $N$ का घटक $N \cos 60^{\circ}$ है।
ब्लॉक $A$ के लिए क्षैतिज दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$N \cos 60^{\circ} - F = ma$
$N \left(\frac{1}{2}\right) - F = m \left(\frac{F}{2m}\right)$
$N \left(\frac{1}{2}\right) - F = \frac{F}{2}$
$N \left(\frac{1}{2}\right) = F + \frac{F}{2} = \frac{3F}{2}$
$N = 3F$

(C) माना डोरी में तनाव $T$ ऊपर की ओर कार्य कर रहा है और ब्लॉक का भार $Mg$ नीचे की ओर कार्य कर रहा है।
चूंकि ब्लॉक $a = \frac{g}{4}$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर बढ़ रहा है,गति का समीकरण है:
$Mg - T = Ma$
$a = \frac{g}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$Mg - T = M\left(\frac{g}{4}\right)$
$T = Mg - \frac{Mg}{4} = \frac{3Mg}{4}$
तनाव $T$ ऊपर की ओर कार्य करता है,जबकि विस्थापन $d$ नीचे की ओर है। इसलिए,बल और विस्थापन के बीच का कोण $180^{\circ}$ है।
डोरी द्वारा किया गया कार्य $W = T \cdot d \cdot \cos(180^{\circ})$
$W = \left(\frac{3Mg}{4}\right) \cdot d \cdot (-1)$
$W = -\frac{3Mgd}{4}$

(B) निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = 5\,kg$ (ट्रॉली) $+ 1\,kg$ (रस्सी) $+ 2\,kg$ (भार) $= 8\,kg$ है।
जब $BC = 0$ होता है,तो रस्सी का पूरा द्रव्यमान क्षैतिज सतह पर होता है। प्रेरक बल भार का वजन है,$F = m_{load} \cdot g = 2g$.
त्वरण $a_1 = \frac{F}{M_{total}} = \frac{2g}{8} = \frac{20}{8}\,m/s^2$ है।
जब $BC = 2\,m$ होता है,तो पूरी रस्सी लंबवत लटक रही होती है। प्रेरक बल भार का वजन प्लस रस्सी का वजन है,$F = (m_{load} + m_{rope}) \cdot g = (2 + 1)g = 3g$.
त्वरण $a_2 = \frac{F}{M_{total}} = \frac{3g}{8} = \frac{30}{8}\,m/s^2$ है।
इस प्रकार,त्वरण $\frac{20}{8}\,m/s^2$ से बदलकर $\frac{30}{8}\,m/s^2$ हो जाता है।

(B) माना डोरी का कुल द्रव्यमान $M$ है और इसकी लंबाई $L = 8\, m$ है।
डोरी का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{8}{M}$ होगा।
बल लगाए गए सिरे से $x = 3\, m$ की दूरी पर तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए,हम डोरी के उस भाग पर विचार करते हैं जिसकी लंबाई $L - x = 8 - 3 = 5\, m$ है,जिसे तनाव $T$ खींच रहा है।
इस भाग का द्रव्यमान $m' = \frac{M}{L} \times (L - x) = \frac{M}{8} \times 5 = \frac{5M}{8}$ होगा।
इस भाग के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर: $T = m' \times a$.
मान रखने पर: $T = \left( \frac{5M}{8} \right) \times \left( \frac{8}{M} \right) = 5\, N$.

(A) माना द्रव्यमान $m_1 = 5\, kg$ और $m_2 = 4\, kg$ हैं। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 5\, kg + 4\, kg = 9\, kg$ है।
लगाया गया बाहरी क्षैतिज बल $F = 9\, N$ है।
निकाय का सामान्य त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{9\, N}{9\, kg} = 1\, m/s^2$ है।
ब्लॉकों के बीच संपर्क बल $F_c$ वह बल है जो दूसरे ब्लॉक $(m_2 = 4\, kg)$ को समान त्वरण $a$ से त्वरित करने के लिए आवश्यक है।
अतः,$F_c = m_2 \times a = 4\, kg \times 1\, m/s^2 = 4\, N$.

(C) माना डोरी का कुल द्रव्यमान $M$ है और इसकी लंबाई $L = 5\,m$ है।
अनुप्रयुक्त बल $F = 5\,N$ है।
डोरी का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{5}{M}$ होगा।
बल लगाने वाले सिरे से $l = 1\,m$ लंबाई के डोरी के भाग पर विचार करें। इस भाग का द्रव्यमान $m' = \frac{M}{L} \times l = \frac{M}{5} \times 1 = \frac{M}{5}$ होगा।
माना बल के अनुप्रयोग बिंदु से $1\,m$ की दूरी पर तनाव $T$ है। बल $F$ डोरी को खींचता है,और तनाव $T$ डोरी के शेष $(5-1) = 4\,m$ लंबाई वाले भाग पर कार्य करता है।
शेष भाग का द्रव्यमान $m'' = \frac{M}{5} \times 4 = \frac{4M}{5}$ है।
शेष भाग के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर: $T = m'' \times a = \left(\frac{4M}{5}\right) \times \left(\frac{5}{M}\right) = 4\,N$.

(C) मान लीजिए कि रस्सी द्वारा बंदर पर लगाया गया घर्षण बल $f_r$ है जो ऊपर की दिशा में कार्य कर रहा है।
बंदर पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. घर्षण बल $f_r$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बंदर पर लगने वाला कुल बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है:
$f_r - mg = ma$
$f_r$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$f_r = ma + mg$
$f_r = m(g + a)$
चूंकि बंदर ऊपर की ओर त्वरित हो रहा है,इसलिए बंदर को सहारा देने और आवश्यक त्वरण प्रदान करने के लिए घर्षण बल को ऊपर की दिशा में कार्य करना चाहिए।
अतः,घर्षण बल का मान $m(g+a)$ है और इसकी दिशा ऊपर की ओर है।

(D) रस्सी का कुल द्रव्यमान $M = L \times \mu = 10 \, m \times 0.5 \, kg/m = 5 \, kg$ है।
रस्सी का त्वरण $a = F / M = 25 \, N / 5 \, kg = 5 \, m/s^2$ है।
बल लगाने के बिंदु से $8 \, m$ दूर स्थित बिंदु के पीछे वाले रस्सी के भाग पर विचार करें। इस भाग की लंबाई $L' = 10 \, m - 8 \, m = 2 \, m$ है।
इस शेष भाग का द्रव्यमान $m' = L' \times \mu = 2 \, m \times 0.5 \, kg/m = 1 \, kg$ है।
$8 \, m$ के बिंदु पर तनाव $T$ वह बल है जो इस शेष द्रव्यमान $m'$ को $a$ त्वरण से गति देने के लिए आवश्यक है।
$T = m' \times a = 1 \, kg \times 5 \, m/s^2 = 5 \, N$.

(D) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 16 \, kg + 8 \, kg + 4 \, kg = 28 \, kg$ है।
निकाय का सामान्य त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{140 \, N}{28 \, kg} = 5 \, m/s^2$ है।
$16 \, kg$ का द्रव्यमान $8 \, kg$ के द्रव्यमान द्वारा धकेला जाता है। $16 \, kg$ के द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल वह शुद्ध बल है जो इसे $5 \, m/s^2$ के त्वरण से त्वरित करने के लिए आवश्यक है।
अतः,$16 \, kg$ के द्रव्यमान पर लगने वाला बल $F_{16} = m_{16} \times a = 16 \, kg \times 5 \, m/s^2 = 80 \, N$ है।

(C) माना द्रव्यमान $m_1 = 12\,kg$ और $m_2 = 8\,kg$ हैं। त्वरण $a = 2.2\,m/s^2$ ऊपर की ओर है। गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\,m/s^2$ लेने पर:
$8\,kg$ के पिंड के लिए: $T_2 - m_2g = m_2a \implies T_2 = m_2(g + a) = 8(9.8 + 2.2) = 8(12) = 96\,N$.
$12\,kg$ के पिंड के लिए: $T_1 - T_2 - m_1g = m_1a \implies T_1 = T_2 + m_1(g + a) = 96 + 12(12) = 96 + 144 = 240\,N$.
अतः,$T_1 = 240\,N$ और $T_2 = 96\,N$ प्राप्त होते हैं।

(B) मान लीजिए कि बंदर का द्रव्यमान $m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।
मान लीजिए कि बंदर $a$ त्वरण के साथ नीचे उतर रहा है।
बंदर के लिए बल का समीकरण $mg - T = ma$ है,जहाँ $T$ शाखा में तनाव है।
शाखा को टूटने से बचाने के लिए,तनाव $T$ शाखा की तोड़ने की क्षमता से अधिक नहीं होना चाहिए।
तोड़ने की क्षमता बंदर के वजन का $75 \%$ दी गई है,इसलिए $T_{max} = 0.75mg = \frac{3}{4}mg$ है।
समीकरण $mg - T = ma$ में $T = \frac{3}{4}mg$ रखने पर:
$mg - \frac{3}{4}mg = ma$
$\frac{1}{4}mg = ma$
$a = \frac{g}{4}$।
अतः,बंदर के लिए शाखा को तोड़े बिना नीचे फिसलने के लिए आवश्यक न्यूनतम त्वरण $\frac{g}{4}$ है।

(C) माना नत समतल पर स्थित ब्लॉक का द्रव्यमान $M_1 = 0.1 \, kg$,बाईं ओर लटके हुए ब्लॉक का द्रव्यमान $M_2 = 0.05 \, kg$ और दाईं ओर लटके हुए ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। निकाय इस प्रकार त्वरित होता है कि $m$,$a = \frac{8}{13}g$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है।
पूरे निकाय के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
शुद्ध प्रेरक बल = (कुल द्रव्यमान) $\times$ त्वरण
$mg - M_1 g \sin 30^o - M_2 g = (m + M_1 + M_2) a$
दिए गए मान रखने पर: $M_1 = 0.1 \, kg$,$M_2 = 0.05 \, kg$,$a = \frac{8}{13}g$,और $\sin 30^o = 0.5$.
$mg - 0.1g(0.5) - 0.05g = (m + 0.1 + 0.05) \frac{8}{13}g$
$mg - 0.05g - 0.05g = (m + 0.15) \frac{8}{13}g$
$m - 0.1 = (m + 0.15) \frac{8}{13}$
$13m - 1.3 = 8m + 1.2$
$5m = 2.5$
$m = 0.5 \, kg$.

(B) चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए दोनों ब्लॉक समान त्वरण $a$ के साथ गति करते हैं।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M + m = 7 \, kg + 5 \, kg = 12 \, kg$ है।
सामान्य त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{F}{M + m} = \frac{6 \, N}{12 \, kg} = 0.5 \, m/s^2$.
हल्के द्रव्यमान $(5 \, kg)$ पर लगने वाला बल वह संपर्क बल $F'$ है जो भारी द्रव्यमान के माध्यम से प्रेषित होता है।
$F' = m \times a = 5 \, kg \times 0.5 \, m/s^2 = 2.5 \, N$.

(D) लिफ्ट पर कार्य करने वाले बल केबल में तनाव $T$ ऊपर की ओर और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = ma$ होता है।
यहाँ,$F_{net} = T - mg = ma$ है।
इसलिए,तनाव $T = m(g + a)$ होगा।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 6000\,kg$,त्वरण $a = 5\,ms^{-2}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,ms^{-2}$।
मान रखने पर: $T = 6000(10 + 5) = 6000 \times 15 = 90,000\,N$।

(C) प्लेटफॉर्म द्वारा ब्लॉक $M$ पर लगाया गया संपर्क बल $R$ (अभिलंब बल) न्यूटन के गति के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $R - Mg = Ma$,जिसका अर्थ है $R = M(g+a)$।
विरामावस्था से $a$ के निरंतर त्वरण के साथ समय $T$ में ब्लॉक का विस्थापन $S$ गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}aT^2 = \frac{1}{2}aT^2$।
संपर्क बल $R$ द्वारा किया गया कार्य $W$ है: $W = \vec{R} \cdot \vec{S} = RS \cos(0^{\circ}) = RS$।
$R$ और $S$ के मान रखने पर:
$W = M(g+a) \times \left(\frac{1}{2}aT^2\right) = \frac{1}{2}M(g+a)aT^2$।

(D) निकाय का कुल द्रव्यमान $m = m_A + m_B = 10\, kg + 15\, kg = 25\, kg$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{500\, N}{25\, kg} = 20\, m/s^2$ है।
चित्र $I$ में,बल $F$ वस्तु $A$ पर लगाया जाता है। तनाव $T$ वस्तु $B$ को खींचता है। अतः,$T = m_B \cdot a = 15\, kg \times 20\, m/s^2 = 300\, N$ है।
चित्र $II$ में,बल $F$ वस्तु $B$ पर लगाया जाता है। तनाव $T'$ वस्तु $A$ को खींचता है। अतः,$T' = m_A \cdot a = 10\, kg \times 20\, m/s^2 = 200\, N$ है।
इसलिए,$T = 300\, N$ और $T' = 200\, N$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 4m$ है।
निकाय पर $T_1$ बल लगाया जाता है,इसलिए निकाय का त्वरण $a = T_1 / (4m)$ है।
अब,ब्लॉक $m_1$ पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल तनाव $T_4$ है। इसलिए,$T_4 = m_1 a = m(T_1 / 4m) = T_1 / 4$ है।
इसके बाद,ब्लॉक $m_1$ और $m_2$ को एक साथ लें। इस निकाय पर कार्य करने वाला बल $T_3$ है। इसलिए,$T_3 = (m_1 + m_2) a = 2m(T_1 / 4m) = T_1 / 2$ है।
अंत में,$T_3 / T_4$ का अनुपात $(T_1 / 2) / (T_1 / 4) = 2 / 1 = 2 : 1$ होगा।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m$ है और निकाय का कोणीय वेग $\omega$ है। बिंदु $O$ से कणों $A$,$B$ और $C$ की दूरियाँ क्रमशः $l$,$2l$ और $3l$ हैं।
सबसे बाहरी खंड ($B$ और $C$ के बीच) में तनाव $T_3$ है। यह तनाव कण $C$ के लिए अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T_3 = m \omega^2 (3l) = 3m \omega^2 l$
मध्य खंड ($A$ और $B$ के बीच) में तनाव $T_2$ है। यह तनाव कण $B$ के लिए अभिकेंद्री बल और तनाव $T_3$ का योग है:
$T_2 - T_3 = m \omega^2 (2l)$
$T_2 = 2m \omega^2 l + 3m \omega^2 l = 5m \omega^2 l$
सबसे आंतरिक खंड ($O$ और $A$ के बीच) में तनाव $T_1$ है। यह तनाव कण $A$ के लिए अभिकेंद्री बल और तनाव $T_2$ का योग है:
$T_1 - T_2 = m \omega^2 (l)$
$T_1 = m \omega^2 l + 5m \omega^2 l = 6m \omega^2 l$
अतः,तनाव $T_1 : T_2 : T_3$ का अनुपात $6m \omega^2 l : 5m \omega^2 l : 3m \omega^2 l$ है,जो सरल होकर $6 : 5 : 3$ हो जाता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $D$ $(3 : 5 : 6)$ है।

(D) मान लीजिए कि छल्ले के अनुदिश निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि डोरी अवितान्य है,इसलिए दोनों वस्तुओं $A$ और $B$ का त्वरण $a$ अपने-अपने स्थानों पर छल्ले के स्पर्शरेखा के अनुदिश समान परिमाण का होगा।
वस्तु $A$ के लिए,स्पर्शरेखा के अनुदिश तनाव $T$ का घटक $T \cos(45^{\circ}) = T/\sqrt{2}$ है। अतः,$A$ के लिए गति का समीकरण है:
$T/\sqrt{2} = ma$ ......$(1)$
वस्तु $B$ के लिए,स्पर्शरेखा के अनुदिश कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $mg$ (नीचे की ओर) और तनाव $T$ (डोरी के अनुदिश ऊपर की ओर) हैं। स्पर्शरेखा के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \cos(45^{\circ}) = mg/\sqrt{2}$ है। $B$ के लिए गति का समीकरण है:
$mg/\sqrt{2} - T/\sqrt{2} = ma$ ......$(2)$
समीकरण $(1)$ से $ma = T/\sqrt{2}$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$mg/\sqrt{2} - T/\sqrt{2} = T/\sqrt{2}$
$mg/\sqrt{2} = 2T/\sqrt{2}$
$T = mg/2$

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 80\, kg + 5\, kg = 85\, kg$ है।
निकाय पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $W = Mg$ और ऊपर की ओर हवा का प्रतिरोध बल $F_{up}$ हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,परिणामी बल $F_{net} = Mg - F_{up} = Ma$ है,जहाँ $a = 2.8\, m/s^2$ नीचे की ओर त्वरण है।
$F_{up}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$F_{up} = M(g - a)$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$F_{up} = 85\, kg \times (9.8\, m/s^2 - 2.8\, m/s^2)$.
$F_{up} = 85\, kg \times 7.0\, m/s^2$.
$F_{up} = 595\, N$.

(C) माना ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान $m$ है और ब्लॉक $B$ का द्रव्यमान $2m$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + 2m = 3m$ है।
अनुप्रयुक्त बल $F = 15 \, N$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{15}{3m} = \frac{5}{m} \, m/s^2$ है।
ब्लॉक $B$ पर लगने वाला बल,ब्लॉक $A$ द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया बल है,जो ब्लॉक $B$ को त्वरित करता है। यह $F_B = m_B \times a$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$F_B = (2m) \times \left(\frac{5}{m}\right) = 10 \, N$.

(A) क्षैतिज बल,$F = 600\; N$। पिंड $A$ का द्रव्यमान,$m_1 = 10\; kg$। पिंड $B$ का द्रव्यमान,$m_2 = 20\; kg$। निकाय का कुल द्रव्यमान,$m = m_1 + m_2 = 30\; kg$। न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,निकाय में उत्पन्न त्वरण $(a)$: $a = F / m = 600 / 30 = 20\; m/s^2$।
स्थिति $(i)$: जब बल $F$ पिंड $A$ पर लगाया जाता है,तो पिंड $B$ के लिए गति का समीकरण $T = m_2 a = 20 \times 20 = 400\; N$ होगा।
स्थिति $(ii)$: जब बल $F$ पिंड $B$ पर लगाया जाता है,तो पिंड $A$ के लिए गति का समीकरण $T = m_1 a = 10 \times 20 = 200\; N$ होगा।

(A) बंदर का द्रव्यमान,$m = 40 \, kg$.
रस्सी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव,$T_{\max} = 600 \, N$.
स्थिति $(a)$: बंदर का त्वरण,$a = 6 \, m \, s^{-2}$ ऊपर की ओर।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$T - mg = ma$.
$T = m(g + a) = 40(10 + 6) = 40 \times 16 = 640 \, N$.
चूंकि $T > T_{\max}$,इसलिए इस स्थिति में रस्सी टूट जाएगी।
स्थिति $(b)$: बंदर का त्वरण,$a = 4 \, m \, s^{-2}$ नीचे की ओर।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$mg - T = ma$.
$T = m(g - a) = 40(10 - 4) = 40 \times 6 = 240 \, N$.
चूंकि $T < T_{\max}$,इसलिए रस्सी नहीं टूटेगी।
स्थिति $(c)$: $5 \, m \, s^{-1}$ की एकसमान गति,इसलिए त्वरण $a = 0$.
$T = mg = 40 \times 10 = 400 \, N$.
चूंकि $T < T_{\max}$,इसलिए रस्सी नहीं टूटेगी।
स्थिति $(d)$: मुक्त पतन,इसलिए $a = g$.
$T = m(g - g) = 0 \, N$.
चूंकि $T < T_{\max}$,इसलिए रस्सी नहीं टूटेगी।

(A) मान लीजिए कि निचले धागे $CD$ पर लगाया गया बल $F$ है।
निचले धागे $CD$ के लिए,तनाव $T_{CD} = F$ होगा।
ऊपरी धागे $AB$ के लिए,तनाव $T_{AB}$ को लगाए गए बल $F$ और $2 \, kg$ द्रव्यमान के भार $(mg)$ दोनों को सहारा देना होगा।
अतः,$T_{AB} = F + mg$।
चूंकि $T_{AB} = F + mg$ और $T_{CD} = F$ है,यह स्पष्ट है कि किसी भी लगाए गए बल $F$ के लिए $T_{AB} > T_{CD}$ होगा।
इसलिए,ऊपरी धागे $AB$ में तनाव निचले धागे $CD$ की तुलना में पहले अपनी टूटने की सीमा तक पहुँच जाएगा। अतः,धागा $AB$ पहले टूटेगा।

(N/A) दिया गया है: $m_1 = 5\, kg$,$m_2 = 3\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$ और $a = 2\, m/s^2$.
$m_2 = 3\, kg$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए:
ऊपर की ओर तनाव बल $T_2$ और नीचे की ओर भार $m_2g$ कार्य करता है। नेट बल $T_2 - m_2g = m_2a$ है।
$T_2 = m_2(g + a) = 3(9.8 + 2) = 3(11.8) = 35.4\, N$.
$m_1 = 5\, kg$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए:
ऊपर की ओर तनाव बल $T_1$ और नीचे की ओर तनाव बल $T_2$ तथा भार $m_1g$ कार्य करता है। नेट बल $T_1 - T_2 - m_1g = m_1a$ है।
$T_1 = T_2 + m_1(g + a) = 35.4 + 5(9.8 + 2) = 35.4 + 5(11.8) = 35.4 + 59 = 94.4\, N$.
अतः,$T_1 = 94.4\, N$ और $T_2 = 35.4\, N$.

(B) जब गेंद ऊपर की ओर गति करती है,तो गुरुत्वाकर्षण बल और प्रतिरोधी बल दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। कुल बल $F = -(mg + mkv^{2})$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{F}{m} = -(g + kv^{2})$ है।
हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dh}$,इसलिए $v \frac{dv}{dh} = -(g + kv^{2})$ है।
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{v \, dv}{g + kv^{2}} = -dh$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक वेग $u$ (जहाँ $h=0$) से अंतिम वेग $0$ (जहाँ $h=H$) तक समाकलन करने पर:
$\int_{u}^{0} \frac{v \, dv}{g + kv^{2}} = -\int_{0}^{H} dh$।
माना $I = g + kv^{2}$,तो $dI = 2kv \, dv$,या $v \, dv = \frac{dI}{2k}$।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$\frac{1}{2k} \int_{g+ku^{2}}^{g} \frac{dI}{I} = -H$।
$\frac{1}{2k} [\ln I]_{g+ku^{2}}^{g} = -H$।
$\frac{1}{2k} [\ln g - \ln(g + ku^{2})] = -H$।
$\frac{1}{2k} \ln \left( \frac{g}{g + ku^{2}} \right) = -H$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $H = \frac{1}{2k} \ln \left( \frac{g + ku^{2}}{g} \right) = \frac{1}{2k} \ln \left( 1 + \frac{ku^{2}}{g} \right)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,बल $\vec{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}) \, N$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$,प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_0 = (0, 0, 0)$,समय $t = 4 \, s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a}$:
$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}}{2} = \hat{i} + 1.5 \hat{j} + 2.5 \hat{k} \, m/s^2$.
स्थिति के लिए गति के समीकरण $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{r} = 0 + 0 + \frac{1}{2} (\hat{i} + 1.5 \hat{j} + 2.5 \hat{k}) (4)^2$
$\vec{r} = \frac{1}{2} (\hat{i} + 1.5 \hat{j} + 2.5 \hat{k}) (16)$
$\vec{r} = 8 \hat{i} + 12 \hat{j} + 20 \hat{k}$.
इसकी तुलना दिए गए निर्देशांक $(8, b, 20)$ से करने पर,हमें $b = 12$ प्राप्त होता है।

(D) निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{ F_{ext} }{ M_{total} }$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,बाह्य बल $F$ है और कुल द्रव्यमान $M + M = 2M$ है।
अतः,$a_{cm} = \frac{ F }{ 2M }$.
साथ ही,$a_{cm} = \frac{ m_A a_A + m_B a_B }{ m_A + m_B }$,जहाँ $a_A = a$ (द्रव्यमान $A$ का त्वरण) और $a_B$ द्रव्यमान $B$ का त्वरण है।
मान रखने पर: $\frac{ F }{ 2M } = \frac{ M(a) + M(a_B) }{ 2M }$.
दोनों पक्षों से $2M$ को हटाने पर,हमें $F = Ma + Ma_B$ प्राप्त होता है।
$a_B$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $Ma_B = F - Ma$ प्राप्त होता है।
अतः,$a_B = \frac{ F - Ma }{ M }$.

(D) माना वेज का त्वरण $a_1$ है और वेज के सापेक्ष ब्लॉक का त्वरण $a_2$ है।
$M$ द्रव्यमान वाले वेज के लिए,क्षैतिज बल ब्लॉक द्वारा वेज पर लगाए गए अभिलंब बल $N$ का क्षैतिज घटक है:
$N \sin 30^{\circ} = M a_1 = 16 a_1$
$N (0.5) = 16 a_1 \Rightarrow N = 32 a_1$
वेज के सापेक्ष $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए,ढलान के लंबवत दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$N = m g \cos 30^{\circ} - m a_1 \sin 30^{\circ}$
$32 a_1 = 8 g (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 a_1 (\frac{1}{2})$
$32 a_1 = 4 \sqrt{3} g - 4 a_1$
$36 a_1 = 4 \sqrt{3} g \Rightarrow a_1 = \frac{\sqrt{3}}{9} g$
अब,ब्लॉक के लिए ढलान की दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$m g \sin 30^{\circ} + m a_1 \cos 30^{\circ} = m a_2$
$g \sin 30^{\circ} + a_1 \cos 30^{\circ} = a_2$
$a_2 = g (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{9} g) (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$a_2 = \frac{g}{2} + \frac{3g}{18} = \frac{g}{2} + \frac{g}{6} = \frac{3g + g}{6} = \frac{4g}{6} = \frac{2}{3} g$

(D) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = M_{\text{block}} + 3 \times M_{\text{cylinder}} = 10\, \text{kg} + 3 \times 20\, \text{kg} = 70\, \text{kg}$ है।
पूरे निकाय के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर:
$Mg - R = Ma$
दिए गए मानों को रखने पर:
$70 \times 10 - R = 70 \times 0.2$
$700 - R = 14$
$R = 700 - 14 = 686\, \text{N}$.
अतः,फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $686\, \text{N}$ है।