Motion of Body (or Connected Bodies in horizontal or vertical) (by String or Contact) Questions in Hindi

(A) जब $6^{th}$ गेंद मेज छोड़ती है,तो $6$ गेंदें लंबवत लटक रही होती हैं और $4$ गेंदें क्षैतिज मेज पर होती हैं।
प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M = 10m$ है।
चालक बल $6$ लटकती गेंदों का भार है,जो $F = 6mg$ है।
प्रणाली का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{6mg}{10m} = \frac{3g}{5}$ है।
$7^{th}$ और $8^{th}$ गेंद के बीच तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए,हम मेज पर बची हुई $3$ गेंदों $(8^{th}, 9^{th}, 10^{th})$ की प्रणाली पर विचार करते हैं।
इस प्रणाली पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल तनाव $T$ है।
इन $3$ गेंदों पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $T = (3m)a$.
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $T = 3m \times \frac{3g}{5} = \frac{9mg}{5}$.
यहाँ $m = 2 \; kg$ और $g = 10 \; m/s^2$ लेने पर:
$T = \frac{9 \times 2 \times 10}{5} = \frac{180}{5} = 36 \; N$.

(A) माना प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m$ है,कोणीय गति $\omega$ है और प्रत्येक डोरी की लंबाई $l$ है।
बाहरी कण के लिए (केंद्र से $2l$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान),तनाव $T_2$ आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T_2 = m(2l)\omega^2 = 2ml\omega^2 \quad \dots (1)$
आंतरिक कण के लिए (केंद्र से $l$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान),कुल बल $T_1$ और $T_2$ तनाव के बीच का अंतर है,जो अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T_1 - T_2 = m(l)\omega^2 = ml\omega^2 \quad \dots (2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{ml\omega^2}{2ml\omega^2} = \frac{1}{2}$
$2(T_1 - T_2) = T_2$
$2T_1 - 2T_2 = T_2$
$2T_1 = 3T_2$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{2}$

(C) डोरी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T_{\text{max}} = 50 \,kg \times g = 50 \times 9.8 \,N = 490 \,N$ है।
मान लीजिए व्यक्ति का द्रव्यमान $M = 98 \,kg$ है और उसका नीचे की ओर त्वरण $a$ है।
व्यक्ति पर कार्य करने वाले बल उसका भार $Mg$ (नीचे की ओर) और तनाव $T$ (ऊपर की ओर) हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$Mg - T = Ma$ है।
डोरी के टूटे बिना व्यक्ति के नीचे उतरने के लिए न्यूनतम त्वरण $a$ ज्ञात करने हेतु,हम $T = T_{\text{max}} = 50 \,g$ रखते हैं।
मान रखने पर: $98 \,g - 50 \,g = 98 \,a$।
$48 \,g = 98 \,a$।
$a = \frac{48 \times 9.8}{98} = \frac{48}{10} = 4.8 \,m/s^2$।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{\text{total}} = 3\; kg + 5\; kg + 7\; kg = 15\; kg$ है।
आरोपित बाह्य बल $F = 120\; N$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M_{\text{total}}} = \frac{120}{15} = 8\; m/s^2$ है।
$7\; kg$ द्रव्यमान के लिए,कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल तनाव $T_2$ है। अतः,$T_2 = m_3 \cdot a = 7 \times 8 = 56\; N$।
$5\; kg$ द्रव्यमान के लिए,कार्य करने वाले बल $T_1$ (आगे खींचने वाला) और $T_2$ (पीछे खींचने वाला) हैं। अतः,$T_1 - T_2 = m_2 \cdot a$।
$T_1 - 56 = 5 \times 8 = 40$।
$T_1 = 40 + 56 = 96\; N$।
अतः,$T_1 = 96\; N$ और $T_2 = 56\; N$ है।

(A) मान लीजिए कि व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है और उसका वजन $w = mg$ है।
रस्सी की तोड़ने की क्षमता $T_{\max} = \eta w = \eta mg$ दी गई है।
जब व्यक्ति $a$ त्वरण के साथ नीचे उतरता है,तो न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार गति का समीकरण है:
$mg - T = ma$
रस्सी को टूटने से बचाने के लिए,तनाव $T$ का मान $T_{\max}$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए। सीमांत स्थिति में जहाँ रस्सी बस टूटने ही वाली है,हम $T = T_{\max} = \eta mg$ रखते हैं।
इस मान को गति के समीकरण में रखने पर:
$mg - \eta mg = ma$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$g(1 - \eta) = a$
अतः,रस्सी न टूटे इसके लिए व्यक्ति का अधिकतम त्वरण $a = g(1 - \eta)$ है।

(D) छड़ का कुल द्रव्यमान $M = 3.0 \,kg$ और कुल लंबाई $L = 30 \,cm$ है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{3.0 \,kg}{30 \,cm} = 0.1 \,kg/cm$ है।
$10 \,cm$ वाले भाग का द्रव्यमान $m_1 = 0.1 \times 10 = 1.0 \,kg$ है।
$20 \,cm$ वाले भाग का द्रव्यमान $m_2 = 0.1 \times 20 = 2.0 \,kg$ है।
निकाय पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{\text{net}} = 32 \,N - 20 \,N = 12 \,N$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F_{\text{net}}}{M} = \frac{12 \,N}{3.0 \,kg} = 4 \,m/s^2$ है।
मान लीजिए कि $20 \,cm$ वाले भाग द्वारा $10 \,cm$ वाले भाग पर लगाया गया बल $T$ है। $10 \,cm$ वाले भाग पर विचार करने पर,उस पर कार्य करने वाले बल $20 \,N$ (बाईं ओर) और $T$ (दाईं ओर) हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $T - 20 = m_1 a$.
$T - 20 = 1.0 \times 4$.
$T = 20 + 4 = 24 \,N$.

(C) सिस्टम का कुल द्रव्यमान $M = 1 \, kg + 2 \, kg = 3 \, kg$ है।
लागू किया गया बाहरी बल $F = 6 \, N$ है।
सिस्टम का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{6 \, N}{3 \, kg} = 2 \, m/s^2$ है।
$2 \, kg$ के ब्लॉक के लिए,उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल $1 \, kg$ के ब्लॉक द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ है। अतः,$2 \, kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{\text{net}, 2kg} = m_2 \cdot a = 2 \, kg \times 2 \, m/s^2 = 4 \, N$ है।
$1 \, kg$ के ब्लॉक के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल आगे की दिशा में लागू बल $F = 6 \, N$ और पीछे की दिशा में $2 \, kg$ के ब्लॉक द्वारा लगाया गया प्रतिक्रिया बल $N = 4 \, N$ हैं। अतः,$1 \, kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{\text{net}, 1kg} = F - N = 6 \, N - 4 \, N = 2 \, N$ है।
इसलिए,$1 \, kg$ और $2 \, kg$ के ब्लॉकों पर कार्य करने वाला नेट बल क्रमशः $2 \, N$ और $4 \, N$ है।

(C) डायनेमोमीटर का पाठ्यांक स्प्रिंग में उत्पन्न तनाव $T$ के बराबर होता है।
सबसे पहले,दो ब्लॉकों के संयुक्त निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करके त्वरण $a$ की गणना करें:
$F_{\text{net}} = M_{\text{total}} a$
$50 \, N - 30 \, N = (6 \, kg + 4 \, kg) a$
$20 \, N = 10 \, kg \times a$
$a = 2 \, m/s^2$ ($6 \, kg$ ब्लॉक की दिशा में)।
अब,$4 \, kg$ ब्लॉक पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ ($6 \, kg$ ब्लॉक की ओर खिंचाव) और $30 \, N$ का बल (दाईं ओर खिंचाव) हैं। चूंकि निकाय बाईं ओर त्वरित हो रहा है:
$T - 30 \, N = 4 \, kg \times 2 \, m/s^2$
$T - 30 \, N = 8 \, N$
$T = 38 \, N$.
वैकल्पिक रूप से,$6 \, kg$ ब्लॉक के लिए:
$50 \, N - T = 6 \, kg \times 2 \, m/s^2$
$50 \, N - T = 12 \, N$
$T = 38 \, N$.
अतः,डायनेमोमीटर का पाठ्यांक $38 \, N$ है।

(B) निकाय में $m_1 = 2 \,kg$ और $m_2 = 3 \,kg$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक हैं जो एक चिकनी क्षैतिज सतह पर एक डोरी से जुड़े हैं।
सबसे पहले,निकाय का त्वरण ज्ञात करें। लगाए गए बल $F = 10 \,N$ का क्षैतिज घटक $F_x = F \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \,N$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 2 \,kg + 3 \,kg = 5 \,kg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_x = M a$,हमें $5 = 5 \times a$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 1 \,m/s^2$ मिलता है।
अब,$2 \,kg$ वाले ब्लॉक का मुक्त निकाय आरेख $(FBD)$ देखें। उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $T$ है।
$2 \,kg$ वाले ब्लॉक के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $T = m_1 a = 2 \,kg \times 1 \,m/s^2 = 2 \,N$.
अतः,डोरी में तनाव $2 \,N$ है।

(A) सबसे पहले,निकाय का त्वरण ज्ञात करें। कुल द्रव्यमान $M = 3 + 2 + 1 = 6\,kg$ है।
ढलान के अनुदिश कार्य करने वाले बल $F_1 = 60\,N$ (ऊपर की ओर) और $F_2 = 18\,N$ (नीचे की ओर) हैं।
सभी ब्लॉकों के लिए नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $Mg \sin 30^{\circ} = 6 \times 10 \times 0.5 = 30\,N$ है।
परिणामी बल $F_{\text{net}} = 60 - 18 - 30 = 12\,N$ है।
त्वरण $a = \frac{F_{\text{net}}}{M} = \frac{12}{6} = 2\,ms^{-2}$ (ऊपर की ओर)।
अब,$1\,kg$ के ब्लॉक पर विचार करें। मान लीजिए $2\,kg$ और $1\,kg$ के ब्लॉकों के बीच अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ है।
$1\,kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल $N$ (ऊपर की ओर),$F_2 = 18\,N$ (नीचे की ओर),और $mg \sin 30^{\circ} = 1 \times 10 \times 0.5 = 5\,N$ (नीचे की ओर) हैं।
न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $N - 18 - 5 = m \times a \implies N - 23 = 1 \times 2 \implies N = 25\,N$।

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B + m_C = 5 \text{ kg} + 3 \text{ kg} + 2 \text{ kg} = 10 \text{ kg}$ है।
चूंकि सतह चिकनी है,निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{80 \text{ N}}{10 \text{ kg}} = 8 \text{ m/s}^2$ है।
ब्लॉक $A$ $(5 \text{ kg})$ के लिए,उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल तनाव $T_1$ है। इसलिए,$T_1 = m_A \times a = 5 \text{ kg} \times 8 \text{ m/s}^2 = 40 \text{ N}$।
ब्लॉक $B$ $(3 \text{ kg})$ के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल $T_2$ (आगे की ओर) और $T_1$ (पीछे की ओर) हैं। इसलिए,$T_2 - T_1 = m_B \times a$।
मान रखने पर,$T_2 - 40 \text{ N} = 3 \text{ kg} \times 8 \text{ m/s}^2 = 24 \text{ N}$।
अतः,$T_2 = 40 \text{ N} + 24 \text{ N} = 64 \text{ N}$।
इसलिए,तनाव $T_1$ और $T_2$ क्रमशः $40 \text{ N}$ और $64 \text{ N}$ हैं।

(B) दिया गया है: बल $F = 10 \,N$, ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान $(m_A) = 2 \,kg$, ब्लॉक $B$ का द्रव्यमान $(m_B) = 3 \,kg$.
चूंकि ब्लॉक संपर्क में हैं और एक साथ गति कर रहे हैं, इसलिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार निकाय का त्वरण $(a)$:
$F = (m_A + m_B) a$
$10 = (2 + 3) a$
$10 = 5a$
$a = 2 \,m/s^2$
अब, ब्लॉक $B$ के लिए फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करें। ब्लॉक $B$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल ब्लॉक $A$ द्वारा लगाया गया बल $(F_{AB})$ है, जो इसे $2 \,m/s^2$ के त्वरण से गति कराता है:
$F_{AB} = m_B \times a$
$F_{AB} = 3 \,kg \times 2 \,m/s^2 = 6 \,N$
अतः, ब्लॉक $A$ द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया बल $6 \,N$ है।

(C) माना निकाय का त्वरण $a$ है।
ढलान पर स्थित ब्लॉक के लिए,गति का समीकरण है: $Mg \sin \theta - T = Ma$
क्षैतिज सतह पर स्थित ब्लॉक के लिए,गति का समीकरण है: $T = Ma$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $Mg \sin \theta = 2Ma$
त्वरण के लिए हल करने पर: $a = \frac{g \sin \theta}{2}$
$a$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $T = M \left( \frac{g \sin \theta}{2} \right) = \frac{Mg \sin \theta}{2}$

(D) चूंकि सभी सतहें चिकनी हैं,इसलिए दो ब्लॉकों $m_1$ और $m_2$ के बीच कोई घर्षण बल नहीं है।
जब निचले ब्लॉक $m_1$ पर एक क्षैतिज बल $F$ लगाया जाता है,तो यह $a = \frac{F}{m_1}$ के त्वरण के साथ गति करेगा।
चूंकि सतहों के बीच कोई घर्षण नहीं है,इसलिए ऊपरी ब्लॉक $m_2$ पर कोई क्षैतिज बल स्थानांतरित नहीं होता है।
इसलिए,$m_2$ पर कार्य करने वाला कुल क्षैतिज बल शून्य है,और इसका क्षैतिज त्वरण शून्य है।

(C) माना ट्रॉली का द्रव्यमान $M = 20 \ kg$ है और लटके हुए ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 4 \ kg$ है।
गति उत्पन्न करने वाला बल लटके हुए ब्लॉक का भार है,$F_{drive} = mg = 4 \times 10 = 40 \ N$।
ट्रॉली पर लगने वाला अभिलंब बल $N = Mg = 20 \times 10 = 200 \ N$ है।
ट्रॉली पर लगने वाला गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = 0.02 \times 200 = 4 \ N$ है।
निकाय पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = F_{drive} - f_k = 40 - 4 = 36 \ N$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m = 20 + 4 = 24 \ kg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$a = \frac{F_{net}}{M_{total}} = \frac{36}{24} = 1.5 \ ms^{-2}$।

(B) लिफ्ट पर कार्य करने वाले बल केबल में तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = ma$ है।
ऊपर की ओर त्वरण $a$ के लिए,गति का समीकरण $T - mg = ma$ है।
तनाव के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $T = m(g + a)$।
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 200 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $a = 4 \ m/s^2$।
$T = 200 \times (10 + 4)$।
$T = 200 \times 14$।
$T = 2800 \ N$।

(B) मान लीजिए फायरमैन का द्रव्यमान $m$ है और उसका त्वरण $a$ है। फायरमैन का वजन $mg$ है।
रस्सी की तोड़ने की क्षमता (ब्रेकिंग स्ट्रेंथ) $\frac{2}{3}mg$ दी गई है।
जब फायरमैन $a$ त्वरण के साथ नीचे फिसलता है,तो रस्सी में तनाव $T = m(g - a)$ होता है।
रस्सी न टूटे,इसके लिए तनाव $T$ ब्रेकिंग स्ट्रेंथ के बराबर या उससे कम होना चाहिए।
न्यूनतम त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम तनाव को ब्रेकिंग स्ट्रेंथ के बराबर रखते हैं:
$m(g - a) = \frac{2}{3}mg$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$g - a = \frac{2}{3}g$
$a = g - \frac{2}{3}g = \frac{g}{3}$
अतः,न्यूनतम त्वरण $\frac{g}{3}$ है।

(C) दिया गया है: $m_1 = 6 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$ और $F = 5 \ N$.
चूंकि ब्लॉक संपर्क में हैं और एक साथ गति कर रहे हैं,इसलिए उनका त्वरण $a$ समान होगा।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 6 \ kg + 4 \ kg = 10 \ kg$ है।
पूरे निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर: $F = M \times a$.
$5 \ N = 10 \ kg \times a \implies a = \frac{5}{10} = 0.5 \ m/s^2$.
हल्के ब्लॉक $(m_2)$ पर लगने वाला बल,$6 \ kg$ के ब्लॉक द्वारा $4 \ kg$ के ब्लॉक पर लगाया गया संपर्क बल $F_{12}$ है।
$4 \ kg$ के ब्लॉक पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $F_{12} = m_2 \times a$.
$F_{12} = 4 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 2 \ N$.

(B) त्वरण के साथ ऊपर जा रही लिफ्ट के लिए बल का समीकरण $T_{actual} = m(g+a)$ है।
सुरक्षित यात्रा के लिए,रस्सी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T$ वास्तविक तनाव के बराबर होना चाहिए,इसलिए $T = m(g+a)$।
रस्सी में प्रतिबल को $\sigma = \frac{T}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ रस्सी का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यदि रस्सी $d$ व्यास वाली बेलनाकार है,तो क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ होगा।
इसे तनाव के समीकरण में रखने पर: $T = \frac{m(g+a)}{\pi d^2 / 4} = \frac{4 m(g+a)}{\pi d^2}$।
$d^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$d^2 = \frac{4 m(g+a)}{\pi T}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,न्यूनतम व्यास $d = [\frac{4 m(g+a)}{\pi T}]^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \times 10^{7} \,kg$, बल $F = 5 \times 10^{4} \,N$, प्रारंभिक वेग $u = 0$, दूरी $s = 4 \,m$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F = ma$:
$5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{7} \times a$
$a = \frac{5 \times 10^{4}}{4 \times 10^{7}} = 1.25 \times 10^{-3} \,ms^{-2}$.
गति के समीकरण $v^{2} = u^{2} + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$v^{2} = 0^{2} + 2 \times (1.25 \times 10^{-3}) \times 4$
$v^{2} = 2 \times 1.25 \times 4 \times 10^{-3} = 10 \times 10^{-3} = 10^{-2} \,m^{2}s^{-2}$.
$v = \sqrt{10^{-2}} = 0.1 \,ms^{-1}$.

(B) जब $m$ द्रव्यमान की एक लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है, तो लिफ्ट पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. केबल में तनाव $T$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$2$. लिफ्ट का भार $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, कुल बल $F_{\text{net}}$ द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है $(F_{\text{net}} = ma)$।
चूंकि लिफ्ट ऊपर की ओर गति कर रही है, इसलिए तनाव $T$ का मान भार $mg$ से अधिक होना चाहिए।
अतः, $T - mg = ma$।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर, हमें $T = mg + ma = m(g+a)$ प्राप्त होता है।

(B) निकाय में $M$ द्रव्यमान का ब्लॉक और $m$ द्रव्यमान की रस्सी एक इकाई के रूप में एक साथ खींचे जा रहे हैं।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए कोई घर्षण नहीं है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $(M + m)$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,निकाय पर लगाया गया बल $F$ कुल द्रव्यमान और त्वरण $a$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$F = (M + m) a$
इसलिए,त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{F}{M + m}$

(D) माना $m_1 = 5 \,kg$ और $m_2 = 3 \,kg$ है। प्रणाली $a = 2 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है।
निचले द्रव्यमान $m_2$ $(3 \,kg)$ के लिए:
कार्यरत बल ऊपर की ओर तनाव $T_2$ और नीचे की ओर भार $m_2 g$ हैं।
गति का समीकरण: $T_2 - m_2 g = m_2 a$
$T_2 - 3 \times 9.8 = 3 \times 2$
$T_2 - 29.4 = 6$
$T_2 = 35.4 \,N$
ऊपरी द्रव्यमान $m_1$ $(5 \,kg)$ के लिए:
कार्यरत बल ऊपर की ओर तनाव $T_1$ और नीचे की ओर तनाव $T_2$ तथा भार $m_1 g$ हैं।
गति का समीकरण: $T_1 - T_2 - m_1 g = m_1 a$
$T_1 - 35.4 - 5 \times 9.8 = 5 \times 2$
$T_1 - 35.4 - 49 = 10$
$T_1 - 84.4 = 10$
$T_1 = 94.4 \,N$

(A) माना वस्तु का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक वेग $u = 2 \,m/s$ है।
जब वस्तु मुक्त रूप से गिरती है, तो उसका वेग $v = 2 \,m/s$ होता है।
अब, वस्तु पर ऊपर की ओर वायु प्रतिरोध बल $F_{air} = mg$ कार्य करता है।
यदि वायु प्रतिरोध $2mg$ है (जिससे कुल बल $mg$ ऊपर की ओर लगे), तो मंदन $a = F_{net}/m = (2mg - mg)/m = g = 10 \,m/s^2$ होगा।
सूत्र $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर, जहाँ $v = 0$, $u = 2 \,m/s$, और $a = -10 \,m/s^2$:
$0 = (2)^2 + 2(-10)s$
$20s = 4$
$s = 4/20 = 0.2 \,m$.

(B) प्रश्न के अनुसार, प्रणाली संतुलन में है। मान लीजिए कि द्रव्यमान $m$ से जुड़ी डोरी में तनाव $T$ है, और $1 \,kg$ द्रव्यमान से जुड़ी डोरी में तनाव $T_1$ है।
$1 \,kg$ द्रव्यमान के लिए, तनाव $T_1 = 1g$ होगा।
नत समतल पर रखे $2 \,kg$ द्रव्यमान के लिए, ढलान की दिशा में कार्य करने वाले बल इसके भार का घटक $2g \sin 30^{\circ}$ और ऊपर की ओर कार्य करने वाला तनाव $T_1$ हैं। ढलान की दिशा में कुल बल $(2g - T_1) \sin 30^{\circ}$ है (यह मानते हुए कि $2 \,kg$ द्रव्यमान को तनाव $T$ द्वारा ढलान पर ऊपर खींचा जा रहा है)।
प्रणाली के संतुलन में रहने के लिए, तनाव $T$ को ढलान की दिशा में कुल बल को संतुलित करना चाहिए:
$T = (2g - T_1) \sin 30^{\circ}$
$T_1 = 1g$ रखने पर:
$T = (2g - 1g) \sin 30^{\circ} = g \sin 30^{\circ} = g \times 0.5 = 0.5g$
द्रव्यमान $m$ के लिए, तनाव $T$ को इसके भार को संतुलित करना चाहिए:
$T = mg$
$T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$mg = 0.5g$
$m = 0.5 \,kg$

(C) मान लीजिए निकाय का त्वरण $a$ है। निकाय पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_2 - F_1 = 7.5t - 4.2t = 3.3t \text{ N}$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + 2m = 3m$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = Ma$,हमें $3.3t = (3m)a$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = \frac{1.1t}{m}$।
अब,$2m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाले बल आगे की दिशा में $F_2$ और पीछे की दिशा में तनाव $T$ हैं।
इस ब्लॉक पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $F_2 - T = (2m)a$।
मान रखने पर: $7.5t - T = 2m \left( \frac{1.1t}{m} \right) = 2.2t$।
इस प्रकार,$T = 7.5t - 2.2t = 5.3t$।
यह दिया गया है कि तनाव $T = 10.6 \text{ N}$ है,इसलिए $5.3t = 10.6$।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{10.6}{5.3} = 2 \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है और रस्सी में तनाव $T$ है।
रस्सी की तोड़ने की क्षमता $T_{max} = \frac{4}{3} mg$ दी गई है।
जब व्यक्ति $a$ त्वरण के साथ ऊपर चढ़ता है,तो गति का समीकरण $T - mg = ma$ होता है।
सुरक्षित रूप से चढ़ने के लिए,तनाव $T$ को तोड़ने की क्षमता $T_{max}$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
इसलिए,$T_{max} - mg = ma_{max}$।
समीकरण में $T_{max} = \frac{4}{3} mg$ रखने पर:
$\frac{4}{3} mg - mg = ma_{max}$।
$\frac{1}{3} mg = ma_{max}$।
अतः,$a_{max} = \frac{g}{3}$।

(A) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 18.5 \ kg$
बल $F = 40 \ N$
रस्सी की लंबाई $L = 3 \ m$
रस्सी का रैखिक घनत्व $\mu = 0.5 \ kg \ m^{-1}$
दूरी $s = 9 \ m$
रस्सी का द्रव्यमान $m_r = \mu \times L = 0.5 \times 3 = 1.5 \ kg$
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m_r = 18.5 + 1.5 = 20 \ kg$
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M_{total}} = \frac{40}{20} = 2 \ m \ s^{-2}$
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$9 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2$
$9 = t^2$
$t = 3 \ s$

(B) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 40 \ kg + 60 \ kg = 100 \ kg$ है।
पूरे निकाय पर न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर,त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{F}{M} = \frac{1000 \ N}{100 \ kg} = 10 \ m/s^2$.
अब,$40 \ kg$ के ब्लॉक पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $T$ है।
$40 \ kg$ के ब्लॉक पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T = m_1 \times a$
$T = 40 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 400 \ N$.

(A) क्षैतिज गति के लिए जिम्मेदार बल का घटक $F \cos \theta$ है।
अतः,छड़ का त्वरण $a = \frac{F \cos \theta}{m}$ है।
चूंकि त्वरण $a = v \frac{d v}{d x}$ होता है,हमारे पास है:
$v \frac{d v}{d x} = \frac{F \cos \theta}{m}$
दिया गया है $\theta = k x$,इसलिए $d \theta = k d x$,या $d x = \frac{d \theta}{k}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v d v = \frac{F \cos \theta}{m} \cdot \frac{d \theta}{k}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,प्रारंभिक स्थितियों $v = 0$ जब $\theta = 0$ के साथ:
$\int_{0}^{v} v d v = \frac{F}{m k} \int_{0}^{\theta} \cos \theta d \theta$
$\frac{v^2}{2} = \frac{F}{m k} [\sin \theta]_{0}^{\theta}$
$\frac{v^2}{2} = \frac{F \sin \theta}{m k}$
$v^2 = \frac{2 F \sin \theta}{m k}$
$v = \sqrt{\frac{2 F \sin \theta}{m k}}$

(B) मान लीजिए $F$ गुब्बारे पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल है।
पहले मामले में,$M$ द्रव्यमान का गुब्बारा $a$ त्वरण के साथ नीचे उतरता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$M g - F = M a \Rightarrow F = M g - M a$ ...$(i)$
दूसरे मामले में,$M^{\prime}$ द्रव्यमान हटा दिया जाता है,इसलिए नया द्रव्यमान $(M - M^{\prime})$ है। अब गुब्बारा $a$ त्वरण के साथ ऊपर उठता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$F - (M - M^{\prime}) g = (M - M^{\prime}) a$
समीकरण $(i)$ से $F$ का मान रखने पर:
$(M g - M a) - (M - M^{\prime}) g = (M - M^{\prime}) a$
$M g - M a - M g + M^{\prime} g = M a - M^{\prime} a$
$M^{\prime} g + M^{\prime} a = M a + M a$
$M^{\prime} (g + a) = 2 M a$
$M^{\prime} = \frac{2 M a}{g + a}$

(B) माना कि बल $F$ लगाने पर ब्लॉकों की प्रणाली का सामान्य त्वरण $a$ है।
पूरी प्रणाली के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$F = (M_P + M_Q) a$
$\Rightarrow a = \frac{F}{M_P + M_Q}$
अब,ब्लॉक $Q$ का फ्री बॉडी डायग्राम देखें। ब्लॉक $Q$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल ब्लॉक $P$ द्वारा लगाया गया संपर्क बल $R$ है।
ब्लॉक $Q$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$R = M_Q a$
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$R = M_Q \left( \frac{F}{M_P + M_Q} \right)$
$R = \frac{M_Q F}{M_P + M_Q}$

(A) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान $(M) = 48 \ kg$
रस्सी का रैखिक घनत्व $(\lambda) = 0.5 \ kg \ m^{-1}$
रस्सी की लंबाई $(l) = 4 \ m$
अनुप्रयुक्त बल $(F) = 25 \ N$
रस्सी का द्रव्यमान $(m_s) = \lambda \times l = 0.5 \times 4 = 2 \ kg$
निकाय का कुल द्रव्यमान $(m_{total}) = M + m_s = 48 + 2 = 50 \ kg$
निकाय का कुल त्वरण $(a_{sys}) = \frac{F}{m_{total}} = \frac{25}{50} = 0.5 \ m \ s^{-2}$
मान लीजिए कि रस्सी के सिरे को ब्लॉक से जोड़ने वाले बिंदु पर तनाव $T$ है।
ब्लॉक के फ्री बॉडी डायग्राम $(FBD)$ से:
$T = M \times a_{sys} = 48 \times 0.5 = 24 \ N$
अतः,ब्लॉक पर कार्य करने वाला बल $24 \ N$ है।

(B) मान लीजिए कि दोनों लड़कों के अधिकतम त्वरण क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं।
रस्सी में कुल तनाव $T$,$60 \,kg$-wt से अधिक नहीं होना चाहिए।
ऊपर चढ़ते हुए दो लड़कों के लिए गति का समीकरण है:
$T = m_1(g + a_1) + m_2(g + a_2)$
दिया गया है $T = 60 \,kg$-wt,$m_1 = 20 \,kg$,और $m_2 = 30 \,kg$:
$60g = 20(g + a_1) + 30(g + a_2)$
$60g = 20g + 20a_1 + 30g + 30a_2$
$60g = 50g + 20a_1 + 30a_2$
$10g = 20a_1 + 30a_2$
$10$ से विभाजित करने पर:
$g = 2a_1 + 3a_2$
अधिकतम त्वरण का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक लड़के के लिए व्यक्तिगत सीमाओं पर विचार करते हैं। यदि केवल एक लड़का चढ़ रहा होता,तो अधिकतम त्वरण $a = (T/m) - g$ होता। लड़के $1$ के लिए: $a_{1,max} = (60/20)g - g = 2g$। लड़के $2$ के लिए: $a_{2,max} = (60/30)g - g = g$।
अतः,उनके व्यक्तिगत अधिकतम त्वरण का अनुपात $2g : g = 2 : 1$ है।

(B) माना प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$ है।
डोरी की कुल लंबाई $L = 1 \text{ m}$ है।
चूंकि $P$ मध्य-बिंदु है,इसलिए दूरी $OP = 0.5 \text{ m}$ और $PQ = 0.5 \text{ m}$ है।
माना $\omega$ स्थिर कोणीय गति है।
$1$. $P$ और $Q$ के बीच डोरी में तनाव $T_1$,गोले $Q$ के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T_1 = m \cdot r_Q \cdot \omega^2 = m \cdot L \cdot \omega^2 = 0.2 \cdot 1 \cdot \omega^2 = 0.2 \omega^2$.
$2$. $O$ और $P$ के बीच डोरी में तनाव $T_2$,दोनों गोलों $P$ और $Q$ के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T_2 = m \cdot r_P \cdot \omega^2 + T_1 = m \cdot (0.5) \cdot \omega^2 + 0.2 \omega^2 = 0.2 \cdot 0.5 \cdot \omega^2 + 0.2 \omega^2 = 0.1 \omega^2 + 0.2 \omega^2 = 0.3 \omega^2$.
$3$. $P$ और $Q$ के बीच तनाव और $P$ और $O$ के बीच तनाव का अनुपात है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{0.2 \omega^2}{0.3 \omega^2} = \frac{2}{3}$.

(C) माना $R$ गुब्बारे पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल है।
स्थिति $1$: गुब्बारा $a_0$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रहा है।
गति का समीकरण: $Mg - R = Ma_0$ ....$(i)$
स्थिति $2$: $m$ द्रव्यमान हटाने के बाद,गुब्बारा $2a_0$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है।
गति का समीकरण: $R - (M - m)g = (M - m)(2a_0)$ ....(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(Mg - R) + (R - (M - m)g) = Ma_0 + (M - m)(2a_0)$
$Mg - Mg + mg = Ma_0 + 2Ma_0 - 2ma_0$
$mg = 3Ma_0 - 2ma_0$
$mg + 2ma_0 = 3Ma_0$
$m(g + 2a_0) = 3Ma_0$
$m = \frac{3Ma_0}{g + 2a_0}$

(A) सबसे पहले,पूरे निकाय को एक साथ मानें। निकाय का कुल द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ है।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए निकाय का त्वरण $(a)$ न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{F}{m_1 + m_2}$.
अब,द्रव्यमान $m_1$ के लिए मुक्त निकाय आरेख $(FBD)$ पर विचार करें। $m_1$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $(T)$ है।
द्रव्यमान $m_1$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $T = m_1 \times a$.
त्वरण $(a)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $T = m_1 \times \left(\frac{F}{m_1 + m_2}\right)$.
अतः,डोरी में तनाव $T = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right) F$ है।

(A) सबसे पहले,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करके ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान ज्ञात करें: $F = m_A a \Rightarrow 10 = m_A \times 20 \Rightarrow m_A = 0.5 \,kg$।
जब ब्लॉक $A$ को ब्लॉक $B$ के विरुद्ध रखा जाता है और $F^{\prime} = 20 \,N$ का बल लगाया जाता है,तो दोनों ब्लॉक एक साथ समान त्वरण $a$ से गति करते हैं।
ब्लॉक $A$ के लिए गति का समीकरण: $F^{\prime} - N = m_A a \Rightarrow 20 - N = 0.5 a$ $(i)$।
ब्लॉक $B$ के लिए गति का समीकरण: $N = m_B a \Rightarrow N = 1.5 a$ $(ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $20 = 2 a \Rightarrow a = 10 \,m/s^2$।
समीकरण $(ii)$ में $a$ का मान रखने पर: $N = 1.5 \times 10 = 15 \,N$।
अतः,ब्लॉक $B$ पर लगने वाला बल $15 \,N$ है।

(C) दिए गए निकाय के लिए,मान लीजिए कि ब्लॉकों का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T$ है।
क्षैतिज दिशा में गति कर रहे द्रव्यमान $m_1$ के लिए: $T = m_1 a$
ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर गति कर रहे द्रव्यमान $m_2$ के लिए: $m_2 g - T = m_2 a$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $m_2 g = (m_1 + m_2) a$
इसलिए,निकाय का त्वरण $a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2ah$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ और विस्थापन $h$ है:
$v^2 = 0 + 2 \left( \frac{m_2 g}{m_1 + m_2} \right) h$
$v = \sqrt{\left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) 2 g h}$.

(C) लिफ्ट का द्रव्यमान,$m = 500 \,kg$.
लिफ्ट का त्वरण,$a = 2 \,m/s^2$ (ऊपर की ओर)।
जब लिफ्ट ऊपर की ओर गति कर रही है,तो केबल में तनाव $T$ के लिए गति का समीकरण: $T - mg = ma$ है।
इसलिए,$T = m(g + a) = 500(10 + 2) = 500(12) = 6000 \,N$.
तनाव बल द्वारा किया गया कार्य $W = T \times s$ है,जहाँ $s = 12 \,m$ विस्थापन है।
$W = 6000 \,N \times 12 \,m = 72000 \,J$.
किलोजूल में बदलने पर,$W = 72 \,kJ$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,त्वरण $a = 4.9 \ ms^{-2}$,गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 9.8 \ ms^{-2}$।
$(i)$ जब वस्तु को $a$ त्वरण के साथ ऊपर उठाया जाता है,तो गति का समीकरण है:
$T_1 - mg = ma$
$T_1 = m(g + a) = 1 \times (9.8 + 4.9) = 14.7 \ N$
(ii) जब वस्तु को $a$ त्वरण के साथ नीचे लाया जाता है,तो गति का समीकरण है:
$mg - T_2 = ma$
$T_2 = m(g - a) = 1 \times (9.8 - 4.9) = 4.9 \ N$
पहले और दूसरे मामले में तनाव का अनुपात है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{14.7}{4.9} = \frac{3}{1} = 3:1$

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + 2m + 3m = 6m$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{6m}$ है।
$N_{1}$ ज्ञात करने के लिए,$2m$ और $3m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉकों की गति को एक साथ लें। बल $N_{1}$ इन दो ब्लॉकों को धकेलता है:
$N_{1} = (2m + 3m)a = 5m \times \frac{F}{6m} = \frac{5}{6}F$.
$N_{2}$ ज्ञात करने के लिए,केवल $3m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक की गति पर विचार करें। बल $N_{2}$ इस ब्लॉक को धकेलता है:
$N_{2} = (3m)a = 3m \times \frac{F}{6m} = \frac{3}{6}F = \frac{1}{2}F$.
मानों की तुलना करने पर,हमें $F = \frac{6}{6}F$,$N_{1} = \frac{5}{6}F$,और $N_{2} = \frac{3}{6}F$ प्राप्त होता है।
अतः,$F > N_{1} > N_{2}$.

(B) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 4 \ kg + 2 \ kg + 1 \ kg = 7 \ kg$ है।
चूंकि सतह घर्षण रहित है,निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{14 \ N}{7 \ kg} = 2 \ m/s^2$ है।
$4 \ kg$ और $2 \ kg$ के ब्लॉक के बीच संपर्क बल $N$ ज्ञात करने के लिए,हम $2 \ kg$ और $1 \ kg$ के ब्लॉकों के संयुक्त निकाय (कुल द्रव्यमान $m' = 3 \ kg$) की गति पर विचार करते हैं।
बल $N$ इस $3 \ kg$ के संयुक्त निकाय पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल है जो इसे $2 \ m/s^2$ के त्वरण से गति प्रदान करता है।
इसलिए,$N = m' \times a = 3 \ kg \times 2 \ m/s^2 = 6 \ N$.

(B) चरण $1$: निकाय का सामान्य त्वरण ज्ञात कीजिए।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 2 \,kg + 1 \,kg = 3 \,kg$ है।
अनुप्रयुक्त बल $F = 3 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F = Ma$:
$a = \frac{F}{M} = \frac{3 \,N}{3 \,kg} = 1 \,m/s^2$.
चरण $2$: ब्लॉकों के बीच संपर्क बल ज्ञात कीजिए।
$1 \,kg$ के ब्लॉक पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल $2 \,kg$ के ब्लॉक द्वारा लगाया गया संपर्क बल $N_1$ है।
$1 \,kg$ के ब्लॉक के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$N_1 = m_2 \times a = 1 \,kg \times 1 \,m/s^2 = 1 \,N$.
अतः, दोनों ब्लॉकों के बीच संपर्क बल $1 \,N$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \text{ g} = 0.1 \text{ kg}$,बल $\vec{F} = (5\hat{i} + 10\hat{j}) \text{ N}$,समय $t = 2 \text{ s}$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{5\hat{i} + 10\hat{j}}{0.1} = (50\hat{i} + 100\hat{j}) \text{ m/s}^2$.
गति के समीकरण $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ का उपयोग करने पर:
$\vec{r} = 0 + \frac{1}{2}(50\hat{i} + 100\hat{j})(2)^2 = \frac{1}{2}(50\hat{i} + 100\hat{j})(4) = 2(50\hat{i} + 100\hat{j}) = (100\hat{i} + 200\hat{j}) \text{ m}$.
इसे दी गई स्थिति $(2x\hat{i} + 5y\hat{j}) \text{ m}$ के साथ तुलना करने पर:
$2x = 100 \Rightarrow x = 50$.
$5y = 200 \Rightarrow y = 40$.
अतः,अनुपात $x : y = 50 : 40 = 5 : 4$ है।