Conservation of Linear Momentum Questions in Hindi

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग विस्फोट के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
अंतरिक्ष यान का प्रारंभिक संवेग = $M \vec{V}$।
विस्फोट के बाद,अंतरिक्ष यान दो टुकड़ों में टूट जाता है: एक $m$ द्रव्यमान का और दूसरा $(M - m)$ द्रव्यमान का।
मान लीजिए $m$ द्रव्यमान वाले टुकड़े का वेग $\vec{v}_1 = 0$ है (क्योंकि यह स्थिर हो जाता है)।
मान लीजिए $(M - m)$ द्रव्यमान वाले दूसरे टुकड़े का वेग $\vec{v}_2$ है।
संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$M \vec{V} = m \vec{v}_1 + (M - m) \vec{v}_2$
$M \vec{V} = m(0) + (M - m) \vec{v}_2$
$M \vec{V} = (M - m) \vec{v}_2$
$\vec{v}_2 = \frac{M \vec{V}}{M - m}$
अतः,दूसरे टुकड़े का वेग $\frac{MV}{M - m}$ होगा।

(B) प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है और क्षैतिज घटक $V \cos \theta$ होता है। मान लीजिए शेल का द्रव्यमान $2m$ है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग
$(2m)(V \cos \theta) = m(0) + m(v_2)$
जहाँ $v_2$ दूसरे टुकड़े का वेग है।
$2mV \cos \theta = mv_2$
इसलिए,$v_2 = 2V \cos \theta$.

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बाहरी बलों की अनुपस्थिति में निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभिक संवेग: $\vec{P}_i = m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2 + m_3 \vec{u}_3$
$\vec{P}_i = 10(10 \hat{i}) + 20(10 \hat{j}) + 40(10 \hat{k}) = 100 \hat{i} + 200 \hat{j} + 400 \hat{k} \ (g \cdot m/s)$
अंतिम संवेग: $\vec{P}_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3$
दिया गया है कि $\vec{v}_1 = 0$ और $\vec{v}_2 = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ m/s$:
$\vec{P}_f = 10(0) + 20(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) + 40 \vec{v}_3 = 60 \hat{i} + 80 \hat{j} + 40 \vec{v}_3$
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$ रखने पर:
$100 \hat{i} + 200 \hat{j} + 400 \hat{k} = 60 \hat{i} + 80 \hat{j} + 40 \vec{v}_3$
$40 \vec{v}_3 = (100 - 60) \hat{i} + (200 - 80) \hat{j} + 400 \hat{k}$
$40 \vec{v}_3 = 40 \hat{i} + 120 \hat{j} + 400 \hat{k}$
$\vec{v}_3 = 1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 10 \hat{k} \ m/s$

(C) स्केटर $A$ का संवेग $p_A = m_A v_A = 30 \times 1 = 30 \, kg \cdot m/s$ है।
स्केटर $B$ का संवेग $p_B = m_B v_B = 20 \times 2 = 40 \, kg \cdot m/s$ है।
चूंकि स्केटर एक-दूसरे की ओर समकोण पर आते हैं,इसलिए परिणामी संवेग $p$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$p = \sqrt{p_A^2 + p_B^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, kg \cdot m/s$.
जब वे एक-दूसरे से चिपक जाते हैं,तो निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B = 30 + 20 = 50 \, kg$ होता है।
संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,अंतिम वेग $v_f$ इस प्रकार है:
$v_f = \frac{p}{M} = \frac{50}{50} = 1 \, m/s$.

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है क्योंकि बम विराम अवस्था में है।
इसलिए,तीनों टुकड़ों के संवेग का सदिश योग शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_X + \vec{p}_Y + \vec{p}_Z = 0$।
चूंकि प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m$ समान है,हम लिख सकते हैं $m\vec{v}_X + m\vec{v}_Y + m\vec{v}_Z = 0$,जो सरल होकर $\vec{v}_X + \vec{v}_Y + \vec{v}_Z = 0$ हो जाता है।
यह सदिश समीकरण इंगित करता है कि तीनों वेग सदिशों को एक बंद त्रिभुज बनाना चाहिए।
तीन सदिशों का योग शून्य होने के लिए,उन्हें एक ही समतल में होना चाहिए।
चूंकि टुकड़े एक समतल में गति कर रहे हैं,वे आमतौर पर अलग-अलग वेग (गति और दिशा) के साथ गति करेंगे ताकि उनका सदिश योग शून्य हो सके।

(A) माना द्रव्यमान $m_1 = 4\, kg$ और $m_2 = 6\, kg$ हैं। पहले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $KE_1 = 200\, J$ है।
पहले टुकड़े का संवेग $p_1 = \sqrt{2 m_1 KE_1} = \sqrt{2 \times 4 \times 200} = \sqrt{1600} = 40\, kg\cdot m/s$ है।
चूंकि बम शुरू में स्थिर था,इसलिए कुल संवेग शून्य है। अतः,दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $p_2 = p_1 = 40\, kg\cdot m/s$।
दूसरे टुकड़े की गतिज ऊर्जा $KE_2 = \frac{p_2^2}{2 m_2} = \frac{40^2}{2 \times 6} = \frac{1600}{12} = \frac{400}{3}\, J$ होगी।

(B) चूंकि निकाय एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है। अतः,निकाय का रेखीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग $p_i = 0$ है।
माना प्लेटफॉर्म का जमीन के सापेक्ष प्रतिक्षेप वेग $v'$ है।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $(v - v')$ होगा।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$p_i = p_f$
$0 = m_1(v - v') - m_2v'$
$0 = m_1v - m_1v' - m_2v'$
$m_1v = (m_1 + m_2)v'$
$v' = \frac{m_1v}{m_1 + m_2}$

(C) माना पिंड का कुल द्रव्यमान $M = m + 3m = 4m$ है। पिंड का प्रारंभिक संवेग $P_i = Mv = 4mv$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग $P_f$ प्रारंभिक संवेग $P_i$ के बराबर होना चाहिए।
पिंड $m_1 = m$ और $m_2 = 3m$ द्रव्यमान के दो टुकड़ों में विस्फोटित होता है।
दिया गया है कि छोटा टुकड़ा $(m_1)$ विराम अवस्था में आ जाता है,इसलिए उसका वेग $v_1 = 0$ है।
माना बड़े टुकड़े $(m_2)$ का वेग $v_2$ है।
$P_f = m_1 v_1 + m_2 v_2 = m(0) + 3m(v_2) = 3mv_2$.
$P_i$ और $P_f$ की तुलना करने पर:
$4mv = 3mv_2$
$v_2 = \frac{4v}{3}$.

(C) प्रारंभ में,कण विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान के दो टुकड़े $x$ और $y$ दिशाओं में $v$ वेग के साथ गति करते हैं। उनके संवेग $\vec{p}_1 = mv \hat{i}$ और $\vec{p}_2 = mv \hat{j}$ हैं।
इन दो टुकड़ों का परिणामी संवेग $\vec{p}_{12} = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2} mv$ है।
संवेग को संरक्षित करने के लिए,$M_3 = 4m - m - m = 2m$ द्रव्यमान के तीसरे टुकड़े का संवेग $\vec{p}_3$ ऐसा होना चाहिए कि $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$।
तीसरे टुकड़े के संवेग का परिमाण $p_3 = \sqrt{2} mv$ है।
चूंकि $p_3 = M_3 v_3$,हमारे पास $2m v_3 = \sqrt{2} mv$ है,जिससे $v_3 = \frac{v}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
मुक्त कुल ऊर्जा टुकड़ों की अंतिम गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$KE = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (2m) v_3^2$
$KE = mv^2 + m \left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right)^2 = mv^2 + m \left(\frac{v^2}{2}\right) = \frac{3}{2} mv^2$।

(B) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में निकाय स्थिर है,इसलिए कुल संवेग $0$ है।
जब स्प्रिंग को छोड़ा जाता है,तो ब्लॉक विपरीत दिशाओं में $p_A$ और $p_B$ संवेग के साथ गति करते हैं,जिससे $p_A = p_B = p$ होता है।
किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{KE_A}{KE_B} = \frac{p^2 / (2m_A)}{p^2 / (2m_B)} = \frac{m_B}{m_A}$ होगा।
यहाँ $m_A = 1\, kg$ और $m_B = 2\, kg$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{KE_A}{KE_B} = \frac{2}{1} = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: कुल द्रव्यमान $M = 12\,kg$। द्रव्यमान का अनुपात $m_1 : m_2 = 1 : 3$ है।
अतः,$m_1 = 3\,kg$ और $m_2 = 9\,kg$।
छोटे टुकड़े की गतिज ऊर्जा $K_1 = 216\,J$ है।
चूंकि बम स्थिर है,प्रारंभिक संवेग शून्य है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $p_1 = p_2 = p$।
हम जानते हैं कि $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$।
छोटे टुकड़े के लिए: $p = \sqrt{2 \times 3 \times 216} = \sqrt{6 \times 216} = \sqrt{1296} = 36\,kg\cdot m/s$।
चूंकि $p_1 = p_2$ है,इसलिए भारी टुकड़े का संवेग भी $36\,kg\cdot m/s$ होगा।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि संयुक्त द्रव्यमान का वेग $\vec{v}$ है।
प्रारंभिक संवेग सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{p}_1 = m(3u)\hat{i} = 3mu\hat{i}$
$\vec{p}_2 = 2m(2u)(-\cos 60^\circ \hat{i} + \sin 60^\circ \hat{j}) = 4mu(-\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}) = -2mu\hat{i} + 2\sqrt{3}mu\hat{j}$
$\vec{p}_3 = 3m(u)(-\cos 60^\circ \hat{i} - \sin 60^\circ \hat{j}) = 3mu(-\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}) = -1.5mu\hat{i} - 1.5\sqrt{3}mu\hat{j}$
कुल प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_{total} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = (3 - 2 - 1.5)mu\hat{i} + (2\sqrt{3} - 1.5\sqrt{3})mu\hat{j} = -0.5mu\hat{i} + 0.5\sqrt{3}mu\hat{j}$
कुल द्रव्यमान $M = m + 2m + 3m = 6m$.
$\vec{P}_{total} = M\vec{v}$ का उपयोग करने पर:
$-0.5mu\hat{i} + 0.5\sqrt{3}mu\hat{j} = 6m\vec{v}$
$\vec{v} = \frac{-0.5u\hat{i} + 0.5\sqrt{3}u\hat{j}}{6} = \frac{u}{12}(-\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j})$.

(C) माना प्रक्षेप्य का द्रव्यमान $m$ है और $h = 490\, m$ की ऊँचाई पर इसका वेग $v_0 = 200\, ms^{-1}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का संवेग विस्फोट के बाद के दोनों भागों के संवेग के योग के बराबर होता है।
$m v_0 = \frac{m}{2} v_1 + \frac{m}{2} v_2$
यहाँ $v_0 = 200\, ms^{-1}$ (ऊपर की ओर) और $v_1 = 400\, ms^{-1}$ (ऊपर की ओर) दिया गया है।
$m(200) = \frac{m}{2}(400) + \frac{m}{2} v_2$
$200 = 200 + \frac{1}{2} v_2$
$0 = \frac{1}{2} v_2 \Rightarrow v_2 = 0\, ms^{-1}$.
अतः,दूसरा भाग $490\, m$ की ऊँचाई पर स्थिर है।
दूसरे भाग के लिए गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$490 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$490 = 4.9 t^2$
$t^2 = \frac{490}{4.9} = 100$
$t = 10\, s$.

(D) मान लीजिए कि आदमी का द्रव्यमान $m_1 = 50\, kg$ है और बेटे का द्रव्यमान $m_2 = 20\, kg$ है।
मान लीजिए कि सतह के सापेक्ष आदमी का वेग $V_1$ है और बेटे का वेग $V_2$ है।
चूंकि सतह घर्षणहीन है,इसलिए निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है,इसलिए रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,दोनों स्थिर हैं,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
$m_1 V_1 + m_2 V_2 = 0$
बेटे की गति की दिशा को धनात्मक लेते हुए,$50 V_1 + 20 V_2 = 0$,जिसका अर्थ है $50 V_1 = -20 V_2$,या $V_2 = -2.5 V_1$।
आदमी के सापेक्ष बेटे की गति $V_{rel} = V_2 - V_1 = 0.70\, ms^{-1}$ दी गई है।
सापेक्ष वेग समीकरण में $V_2 = -2.5 V_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-2.5 V_1 - V_1 = 0.70$
$-3.5 V_1 = 0.70$
$V_1 = -0.20\, ms^{-1}$।
सतह के सापेक्ष आदमी की गति का परिमाण $0.20\, ms^{-1}$ है।

(D) बम का प्रारंभिक वेग $u = 200\,m/s$ और कोण $\theta = 60^o$ है। उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0$ है और क्षैतिज घटक $v_x = u \cos(60^o) = 200 \times 0.5 = 100\,m/s$ है।
उच्चतम बिंदु पर कुल संवेग $P = M v_x = M(100)$ है,जहाँ $M$ कुल द्रव्यमान है।
विस्फोट के बाद,द्रव्यमान तीन समान भागों $m = M/3$ में विभाजित हो जाता है। मान लीजिए कि तीन कणों के वेग $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$ हैं।
दिया गया है कि $\vec{v}_1 = 100\hat{j}$ और $\vec{v}_2 = -100\hat{j}$ है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$M(100) = m(v_{1x}) + m(v_{2x}) + m(v_{3x})$
$M(100) = (M/3)(0) + (M/3)(0) + (M/3)(v_{3x})$
$100 = v_{3x} / 3 \implies v_{3x} = 300\,m/s$.
चूंकि पहले दो कणों के ऊर्ध्वाधर घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,इसलिए ऊर्ध्वाधर दिशा में संवेग संरक्षित रखने के लिए तीसरे कण का ऊर्ध्वाधर वेग $0$ होना चाहिए।
अतः,तीसरे कण का वेग क्षैतिज दिशा में $300\,m/s$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग उसके अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक संवेग: $\vec{P}_i = m v_0 \hat{i}$.
कण दो भागों में विभाजित होता है: $m_1 = \frac{m}{3}$ जिसका वेग $\vec{v}_1 = 2 v_0 \hat{j}$ है,और $m_2 = \frac{2m}{3}$ जिसका वेग $\vec{v}_2$ है।
संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $m v_0 \hat{i} = \left( \frac{m}{3} \right) (2 v_0 \hat{j}) + \left( \frac{2m}{3} \right) \vec{v}_2$.
$m v_0 \hat{i} = \frac{2m v_0}{3} \hat{j} + \frac{2m}{3} \vec{v}_2$.
$m$ से भाग देने और सरल करने पर: $v_0 \hat{i} - \frac{2}{3} v_0 \hat{j} = \frac{2}{3} \vec{v}_2$.
$\frac{3}{2}$ से गुणा करने पर: $\vec{v}_2 = \frac{3}{2} v_0 \hat{i} - v_0 \hat{j} = v_0 \left( \frac{3}{2} \hat{i} - \hat{j} \right)$.

(C) प्रारंभिक वेग $u = 100 \; m/s$. त्वरण $g = -10 \; m/s^2$.
$t = 5 \; s$ पर वस्तु का वेग $v = u + at = 100 - 10 \times 5 = 50 \; m/s$ (ऊपर की ओर)।
माना कुल द्रव्यमान $M = 1 \; kg$ है। द्रव्यमान दो भागों में विभाजित होता है: $m_1 = 0.4 \; kg$ और $m_2 = 0.6 \; kg$।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का संवेग = विस्फोट के बाद का संवेग।
$Mv = m_1 v_1 + m_2 v_2$
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर:
$1 \times 50 = 0.4 \times (-25) + 0.6 \times v_2$
$50 = -10 + 0.6 \times v_2$
$60 = 0.6 \times v_2$
$v_2 = \frac{60}{0.6} = 100 \; m/s$।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए वेग $100 \; m/s$ ऊपर की ओर होगा।

(C) माना प्रक्षेप्य का कुल द्रव्यमान $M = m + 3m = 4m$ है। प्रक्षेप्य का प्रारंभिक संवेग $P_i = Mv = 4mv$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,अतः $P_i = P_f$ होगा।
अंतिम संवेग $P_f$ दोनों भागों के संवेगों का योग है: $P_f = m_1v_1 + m_2v_2$।
दिया गया है कि छोटा भाग $(m_1 = m)$ स्थिर हो जाता है,इसलिए उसका वेग $v_1 = 0$ है।
बड़े भाग का द्रव्यमान $m_2 = 3m$ है। माना उसका वेग $v'$ है।
अतः,$4mv = m(0) + 3m(v')$।
$4mv = 3mv'$।
$v'$ के लिए हल करने पर,हमें $v' = \frac{4v}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) चूँकि ऊर्ध्वाधर दिशा में निकाय पर कोई बाहरी बल $(F_{\text{ext}} = 0)$ कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहेगा।
मान लीजिए व्यक्ति का विस्थापन ऊपर की दिशा में $x$ है।
द्रव्यमान केंद्र के विस्थापन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $M \Delta x_M + m \Delta x_m = 0$.
यहाँ,व्यक्ति का विस्थापन $x$ है और गेंद का जमीन के सापेक्ष विस्थापन $-(h - x)$ है।
मान रखने पर: $M(x) + m(-(h - x)) = 0$.
$Mx - mh + mx = 0$.
$x(M + m) = mh$.
$x = \frac{mh}{M + m}$.
इस समस्या के संदर्भ में,व्यक्ति की फर्श से नई ऊँचाई $h + x$ होगी,जिसे $h(1 + \frac{m}{M})$ के रूप में प्राप्त किया जाता है।

(C) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बम का प्रारंभिक संवेग शून्य है।
$0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$m_2 v_2 = -m_1 v_1$
यहाँ $m_1 = 3 \ kg$,$v_1 = 16 \ m/s$,और $m_2 = 6 \ kg$ दिया गया है।
$6 \times v_2 = -(3 \times 16) = -48$
$v_2 = -8 \ m/s$ (ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दिशा $3 \ kg$ वाले टुकड़े के विपरीत है)।
$6 \ kg$ द्रव्यमान वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $(KE)$:
$KE = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times (-8)^2$
$KE = 3 \times 64 = 192 \ J$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बाहरी बल की अनुपस्थिति में निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
अंतरिक्ष यान का प्रारंभिक संवेग = $MV$.
विस्फोट के बाद,अंतरिक्ष यान दो टुकड़ों में टूट जाता है: एक $m$ द्रव्यमान का और दूसरा $(M - m)$ द्रव्यमान का।
मान लीजिए कि दूसरे टुकड़े का वेग $v$ है।
चूंकि $m$ द्रव्यमान का टुकड़ा स्थिर हो जाता है,इसलिए उसका वेग $0$ है।
संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$MV = m(0) + (M - m)v$
$MV = (M - m)v$
$v = \frac{MV}{M - m}$

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम $(COLM)$ के अनुसार,टूटने से पहले का कुल संवेग टूटने के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक संवेग $P_i = mv$.
टूटने के बाद,शेल दो द्रव्यमानों में विभाजित हो जाता है: $m_1 = \frac{m}{5}$ और $m_2 = m - \frac{m}{5} = \frac{4m}{5}$.
पहले भाग का वेग $v_1 = 0$ (स्थिर) है।
मान लीजिए दूसरे भाग का वेग $v_2$ है।
$COLM$ लागू करने पर:
$mv = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$mv = (\frac{m}{5})(0) + (\frac{4m}{5})v_2$
$mv = \frac{4m}{5} v_2$
$v_2 = \frac{5v}{4}$.

(A) बंदूक से गोली चलने के दौरान,संवेग संरक्षण का नियम लागू होता है,जिसका अर्थ है कि बंदूक और गोली का संवेग परिमाण में समान होता है $(p_{gun} = p_{bullet} = p)$.
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = p^2 / (2m)$ है।
गोली के लिए,$KE_{bullet} = p^2 / (2m)$,जहाँ $m$ गोली का द्रव्यमान है।
बंदूक के लिए,$KE_{gun} = p^2 / (2M)$,जहाँ $M$ बंदूक का द्रव्यमान है।
चूंकि बंदूक का द्रव्यमान $(M)$ गोली के द्रव्यमान $(m)$ से बहुत अधिक होता है,इसलिए $KE_{gun} < KE_{bullet}$ होता है।

(C) माना प्रक्षेप्य का द्रव्यमान $2m$ है। उच्चतम बिंदु पर इसका वेग क्षैतिज होता है,$v_x = 20 \, m/s$।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग अंतिम संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग: $P_i = (2m)(20) \hat{i} = 40m \hat{i}$।
माना पहले भाग (द्रव्यमान $m$) का वेग $\vec{v}_1 = 30 \hat{j} \, m/s$ है।
माना दूसरे भाग (द्रव्यमान $m$) का वेग $\vec{v}_2 = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है।
संवेग संरक्षण: $40m \hat{i} = m(30 \hat{j}) + m(v_x \hat{i} + v_y \hat{j})$।
घटकों की तुलना करने पर:
क्षैतिज: $40 = v_x \implies v_x = 40 \, m/s$।
ऊर्ध्वाधर: $0 = 30 + v_y \implies v_y = -30 \, m/s$।
दूसरे भाग का वेग $\vec{v}_2 = 40 \hat{i} - 30 \hat{j}$ है।
इसका परिमाण $v_2 = \sqrt{40^2 + (-30)^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \, m/s$ है।

(A) माना कुल द्रव्यमान $M = 7k$ है। तीन भागों के द्रव्यमान $m_1 = k$,$m_2 = 3k$,और $m_3 = 3k$ हैं।
चूंकि पिंड प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,तीनों भागों के संवेग का सदिश योग शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$.
दिया गया है कि $3k$ द्रव्यमान वाले दो भाग $15\,m/s$ के वेग से एक-दूसरे के लंबवत गति करते हैं,इसलिए उनका परिणामी संवेग $P_{23} = \sqrt{(3k \times 15)^2 + (3k \times 15)^2} = 3k \times 15 \times \sqrt{2} = 45k\sqrt{2}$ होगा।
निकाय को संतुलन में रहने के लिए,पहले भाग $(m_1 = k)$ का संवेग इस परिणामी संवेग के बराबर और विपरीत होना चाहिए: $p_1 = P_{23}$.
$k \times v_1 = 45k\sqrt{2}$.
अतः,$v_1 = 45\sqrt{2}\,m/s$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बम का प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए दोनों टुकड़ों का अंतिम संवेग बराबर और विपरीत होना चाहिए।
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
यहाँ $m_1 = 3\, kg$,$v_1 = 16\, m/s$,और $m_2 = 6\, kg$ दिया गया है।
$3 \times 16 = 6 \times v_2$
$48 = 6 \times v_2$
$v_2 = 8\, m/s$
अब,$6\, kg$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $(KE)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$KE = \frac{1}{2} m_2 v_2^2$
$KE = \frac{1}{2} \times 6 \times (8)^2$
$KE = 3 \times 64 = 192\, J$

(B) जब हवा में शेल का विस्फोट होता है,तो यह विस्फोट आंतरिक बलों के कारण होता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
इस मामले में,गुरुत्वाकर्षण बल एक बाह्य बल है,लेकिन विस्फोट की छोटी अवधि के दौरान,आंतरिक बल बाह्य बलों की तुलना में बहुत अधिक होते हैं,जिससे बाह्य बलों के कारण उत्पन्न आवेग (impulse) नगण्य हो जाता है।
इसलिए,शेल का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
विस्फोट में गतिज ऊर्जा आमतौर पर संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि आंतरिक रासायनिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे टुकड़ों की कुल गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(A) चूंकि शेल पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है। प्रारंभ में,शेल विरामावस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है। अतः,दोनों टुकड़ों का अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए। मान लीजिए $m_A$ और $m_B$ टुकड़ों $A$ और $B$ के द्रव्यमान हैं,और $v_A$ और $v_B$ उनके वेग हैं। तब,$m_A v_A + m_B v_B = 0$,जिसका अर्थ है $m_A v_A = -m_B v_B$। इसका मतलब है कि उनके संवेगों के परिमाण समान हैं: $|p_A| = |p_B|$। अतः,विकल्प $A$ सही है। गतिज ऊर्जा के लिए,$K = p^2 / (2m)$। चूंकि $|p_A| = |p_B| = p$,हमारे पास $K_A = p^2 / (2m_A)$ और $K_B = p^2 / (2m_B)$ है। दिया गया है कि $m_A < m_B$,इसलिए $K_A > K_B$ होता है। अतः,टुकड़े $A$ की गतिज ऊर्जा अधिक है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग विस्फोट के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक संवेग $P_i = mv$ है।
शेल के टूटने के बाद,$m_1 = m/3$ द्रव्यमान वाले एक भाग का वेग $v_1 = 0$ है।
दूसरे भाग का द्रव्यमान $m_2 = m - m/3 = 2m/3$ है और उसका वेग $v_2 = v'$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m_1v_1 + m_2v_2 = (m/3)(0) + (2m/3)v' = (2m/3)v'$ है।
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर:
$mv = (2m/3)v'$
$v' = \frac{mv \times 3}{2m} = \frac{3}{2}v$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टूटने से पहले का कुल संवेग टूटने के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
माना कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2$ है। दिए गए अनुपात $m_1 : m_2 = 1 : 5$ से,हमारे पास $m_1 = \frac{M}{6}$ और $m_2 = \frac{5M}{6}$ है।
प्रारंभिक संवेग: $P_i = M \vec{v}_0 = M(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k})$.
अंतिम संवेग: $P_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = \frac{M}{6}(100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + \frac{5M}{6} \vec{v}_2$.
$P_i = P_f$ को बराबर करने पर:
$M(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k}) = \frac{M}{6}(100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + \frac{5M}{6} \vec{v}_2$
$M$ से भाग देने और $6$ से गुणा करने पर:
$6(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k}) = (100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + 5 \vec{v}_2$
$120 \hat{i} + 150 \hat{j} - 72 \hat{k} = 100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k} + 5 \vec{v}_2$
$5 \vec{v}_2 = (120 - 100) \hat{i} + (150 - 35) \hat{j} + (-72 - 8) \hat{k}$
$5 \vec{v}_2 = 20 \hat{i} + 115 \hat{j} - 80 \hat{k}$
$\vec{v}_2 = 4 \hat{i} + 23 \hat{j} - 16 \hat{k}$.

(D) मान लीजिए कि $3m$ द्रव्यमान वाले तीसरे टुकड़े का वेग $\vec{v}'$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
$3m \vec{v}' + m v \hat{i} + m v \hat{j} = 0$
$3m \vec{v}' = -mv \hat{i} - mv \hat{j}$
$\vec{v}' = -\frac{v}{3} \hat{i} - \frac{v}{3} \hat{j}$
तीसरे टुकड़े के वेग का परिमाण $|\vec{v}'| = \sqrt{(-\frac{v}{3})^2 + (-\frac{v}{3})^2} = \sqrt{\frac{2v^2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3} v$ है।
मुक्त हुई ऊर्जा टुकड़ों की कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$K = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (3m) |\vec{v}'|^2$
$K = m v^2 + \frac{3}{2} m (\frac{2v^2}{9}) = m v^2 + \frac{1}{3} m v^2 = \frac{4}{3} m v^2$.

(C) बंदूक का द्रव्यमान,$M = 100 \; kg$.
गोले का द्रव्यमान,$m = 0.020 \; kg$.
गोले की मज़ल चाल,$v = 80 \; m/s$.
माना बंदूक की प्रतिक्षेप चाल $V$ है।
प्रारंभ में,बंदूक और गोला दोनों विरामावस्था में हैं,इसलिए निकाय का प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
अंतिम संवेग $= mv - MV = 0$.
यहाँ,ऋण चिह्न यह दर्शाता है कि बंदूक गोले की विपरीत दिशा में प्रतिक्षेप करती है।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $MV = mv$.
$V = \frac{mv}{M} = \frac{0.020 \; kg \times 80 \; m/s}{100 \; kg}$.
$V = \frac{1.6}{100} \; m/s = 0.016 \; m/s$.

(C) ट्रॉली का द्रव्यमान,$M = 200\; kg$.
ट्रॉली की प्रारंभिक गति,$v = 36\; km/h = 10\; m/s$.
बच्चे का द्रव्यमान,$m = 20\; kg$.
निकाय का प्रारंभिक संवेग (बच्चा + ट्रॉली) $= (M + m)v = (200 + 20) \times 10 = 2200\; kg\; m/s$.
मान लीजिए कि जमीन के सापेक्ष ट्रॉली का अंतिम वेग $v'$ है।
जमीन के सापेक्ष बच्चे का अंतिम वेग $= v' - 4$.
अंतिम संवेग $= Mv' + m(v' - 4) = 200v' + 20v' - 80 = 220v' - 80$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग:
$2200 = 220v' - 80$.
$220v' = 2280$.
$v' = \frac{2280}{220} \approx 10.36\; m/s$.
ट्रॉली की लंबाई,$l = 10\; m$.
ट्रॉली के सापेक्ष बच्चे की गति,$u = 4\; m/s$.
बच्चे द्वारा दौड़ने में लिया गया समय,$t = \frac{l}{u} = \frac{10}{4} = 2.5\; s$.
ट्रॉली द्वारा तय की गई दूरी $= v' \times t = 10.36 \times 2.5 = 25.9\; m$.

(N/A) रेखीय संवेग संरक्षण के नियम को न्यूटन के गति के दूसरे और तीसरे नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
जब बंदूक से गोली चलाई जाती है,तो गोली आगे की दिशा में गति करती है और बंदूक पीछे की दिशा में गति करती है (प्रतिक्षेप)।
मान लीजिए बंदूक द्वारा गोली पर लगाया गया बल $\overrightarrow{F}$ है,तो गोली द्वारा बंदूक पर लगाया गया बल $-\overrightarrow{F}$ होगा। ये दोनों बल समान समय अंतराल $\Delta t$ के लिए कार्य करते हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,गोली के संवेग में परिवर्तन $= \overrightarrow{F} \Delta t$ और बंदूक के संवेग में परिवर्तन $= -\overrightarrow{F} \Delta t$ है।
प्रारंभ में,दोनों स्थिर हैं,इसलिए दोनों के संवेग में परिवर्तन उनके अंतिम संवेग के बराबर है। मान लीजिए बंदूक का अंतिम संवेग $\overrightarrow{p_{g}}$ और गोली का $\overrightarrow{p_{b}}$ है,तो $\overrightarrow{p_{g}} = -\overrightarrow{p_{b}}$ अर्थात $\overrightarrow{p_{g}} + \overrightarrow{p_{b}} = 0$ होगा।
इस प्रकार,निकाय (गोली और बंदूक) का कुल रेखीय संवेग संरक्षित रहता है।
संवेग संरक्षण: एक विलगित निकाय के लिए कुल रेखीय संवेग स्थिर रहता है।
उदाहरण: दो वस्तुओं $A$ और $B$ पर विचार करें। मान लीजिए उनका प्रारंभिक संवेग $\overrightarrow{p_{A}}$ और $\overrightarrow{p_{B}}$ है। टक्कर के बाद उनका संवेग $\overrightarrow{p_{A}^{\prime}}$ और $\overrightarrow{p_{B}^{\prime}}$ हो जाता है।
गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\overrightarrow{F_{AB}} \Delta t = \overrightarrow{p_{A}^{\prime}} - \overrightarrow{p_{A}}$ और $\overrightarrow{F_{BA}} \Delta t = \overrightarrow{p_{B}^{\prime}} - \overrightarrow{p_{B}}$.
न्यूटन के गति के तीसरे नियम से,$\overrightarrow{F_{AB}} = -\overrightarrow{F_{BA}}$,इसलिए $\overrightarrow{F_{AB}} \Delta t = -\overrightarrow{F_{BA}} \Delta t$.
अतः,$\overrightarrow{p_{A}^{\prime}} - \overrightarrow{p_{A}} = -(\overrightarrow{p_{B}^{\prime}} - \overrightarrow{p_{B}})$,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{p_{A}^{\prime}} + \overrightarrow{p_{B}^{\prime}} = \overrightarrow{p_{A}} + \overrightarrow{p_{B}}$.
इस प्रकार,एक विलगित निकाय के लिए कुल अंतिम संवेग कुल प्रारंभिक संवेग के बराबर होता है। प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ दोनों प्रकार की टक्करों में संवेग संरक्षित रहता है। रेखीय संवेग संरक्षण का नियम सार्वभौमिक और मौलिक है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण का नियम बताता है कि यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
न्यूटन का द्वितीय नियम बताता है कि किसी वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल उसके रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है,अर्थात $F = dp/dt$।
यदि कुल बाह्य बल $F = 0$ है,तो $dp/dt = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि संवेग $p$ स्थिर है।
न्यूटन के तृतीय नियम का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि दो परस्पर क्रिया करने वाले कणों के एक विलगित निकाय के लिए,आंतरिक बल समान और विपरीत होते हैं,जो कुल संवेग की गणना में आंतरिक बलों को निरस्त कर देते हैं।
इसलिए,कणों के निकाय के लिए रैखिक संवेग संरक्षण की व्युत्पत्ति न्यूटन के द्वितीय और तृतीय दोनों नियमों पर निर्भर करती है।

(N/A) रैखिक संवेग संरक्षण का नियम बताता है कि यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
$1$. इसे एक मौलिक नियम माना जाता है क्योंकि यह स्थान की समरूपता (homogeneity of space) से प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि भौतिकी के नियम स्थानिक स्थानांतरण के तहत अपरिवर्तनीय हैं (नोएथर का प्रमेय)।
$2$. यह सार्वभौमिक है क्योंकि यह सभी पैमानों पर सत्य है,क्वांटम मैकेनिक्स में उप-परमाणु कणों से लेकर क्लासिकल मैकेनिक्स में स्थूल वस्तुओं तक,और यहां तक कि सापेक्षतावादी स्थितियों में भी जहां द्रव्यमान वेग के साथ बदलता है।
$3$. यह शामिल बलों की विशिष्ट प्रकृति (चाहे गुरुत्वाकर्षण,विद्युत चुम्बकीय,या परमाणु) पर निर्भर नहीं करता है,जिससे यह सभी भौतिक अंतःक्रियाओं पर लागू होता है।

(N/A) कणों के निकाय के लिए न्यूटन का दूसरा नियम $\frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{F}_{ext}$ है।
यदि निकाय पर कार्य करने वाले बाह्य बलों का योग शून्य है, तो $\frac{d \vec{p}}{dt} = 0$ होगा।
इसका अर्थ है $d \vec{p} = 0$, जिसका तात्पर्य है $\vec{p} = \text{नियतांक}$।
यह तीन अदिश समीकरणों के बराबर है: $p_x = C_1, p_y = C_2, p_z = C_3$, जहाँ $C_1, C_2, C_3$ स्थिरांक हैं।
"जब किसी कणों के निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य होता है, तो उसका कुल रैखिक संवेग नियत रहता है।" इसे रैखिक संवेग संरक्षण का नियम कहते हैं।
$\vec{F}_{ext} = M\vec{A}_{cm}$ से, यदि $\vec{F}_{ext} = 0$ है, तो $\vec{A}_{cm} = 0$ होगा।
चूंकि $\vec{A}_{cm} = \frac{d\vec{v}_{cm}}{dt}$, यदि $\vec{A}_{cm} = 0$ है, तो $\vec{v}_{cm}$ नियत रहता है।
अतः, जब निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य होता है, तो द्रव्यमान केंद्र का वेग नियत रहता है।

(N/A) रैखिक संवेग संरक्षण का नियम बताता है कि यदि कणों के किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग नियत रहता है।
गणितीय रूप से,यदि $\vec{F}_{ext} = 0$ है,तो $\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + ... + \vec{p}_n = \text{नियत}$.
यहाँ,$\vec{P}$ निकाय का कुल रैखिक संवेग है और $\vec{F}_{ext}$ निकाय पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलों का योग है।

(N/A) रैखिक संवेग संरक्षण का नियम यह बताता है कि यदि कणों के निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग नियत रहता है।
गणितीय रूप से,यदि $\vec{F}_{ext} = 0$ है,तो $\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\vec{P} = \text{नियत}$.
यहाँ,$\vec{P} = \sum \vec{p}_i$ निकाय का कुल रैखिक संवेग है।

(A) निकाय का प्रारंभिक द्रव्यमान (लड़की + साइकिल + पत्थर) $= 50 \, kg + 0.5 \, kg = 50.5 \, kg$.
निकाय का प्रारंभिक वेग $u = 5 \, m/s$.
प्रारंभिक संवेग $P_i = (50.5 \, kg) \times (5 \, m/s) = 252.5 \, kg \cdot m/s$.
पत्थर फेंकने के बाद,पत्थर का द्रव्यमान $m_s = 0.5 \, kg$ और उसका वेग $v_s = 15 \, m/s$ है।
मान लीजिए कि लड़की और साइकिल का नया वेग $v_b$ है। लड़की और साइकिल का द्रव्यमान $m_b = 50 \, kg$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$P_i = P_f$.
$252.5 = (m_s \times v_s) + (m_b \times v_b)$.
$252.5 = (0.5 \times 15) + (50 \times v_b)$.
$252.5 = 7.5 + 50 \times v_b$.
$50 \times v_b = 245$.
$v_b = 4.9 \, m/s$.
हाँ,साइकिल की गति बदल जाती है। गति में परिवर्तन $5 \, m/s - 4.9 \, m/s = 0.1 \, m/s$ है।

(N/A) संवेग संरक्षण का नियम यह बताता है कि यदि कणों के किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग नियत रहता है।
गणितीय रूप से,यदि $\vec{F}_{ext} = 0$ है,तो $\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\vec{P} = \text{नियत}$.
इसका तात्पर्य यह है कि किसी अन्योन्यक्रिया (जैसे टक्कर) से पहले का कुल संवेग,अन्योन्यक्रिया के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।

(A) मोटरसाइकिल का वेग बढ़ जाएगा। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,तो निकाय का कुल संवेग $p = mv$ स्थिर रहता है। जब पीछे बैठा व्यक्ति गिर जाता है,तो निकाय का कुल द्रव्यमान $m$ कम हो जाता है। चूँकि $p$ स्थिर है और $m$ घट रहा है,इसलिए संवेग को बनाए रखने के लिए मोटरसाइकिल का वेग $v$ बढ़ जाएगा।

(N/A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को मौलिक और सार्वभौमिक माना जाता है क्योंकि यह सभी आकारों के निकायों के लिए समान रूप से सत्य है,चाहे वे तारों और ग्रहों जैसे विशाल खगोलीय पिंड हों या इलेक्ट्रॉनों और प्रोटॉन जैसे सूक्ष्म कण,चाहे उनके बीच कार्य करने वाले बल किसी भी प्रकृति के हों।

(N/A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है $(F_{ext} = 0)$,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग $(P)$ नियत रहता है।
इसके अतिरिक्त,द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ नियत रहता है क्योंकि $P = M v_{cm}$ होता है।
चूंकि कुल बाह्य बल शून्य है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{cm})$ शून्य रहता है,क्योंकि $F_{ext} = M a_{cm} = 0$ होता है।

(B) $X$-अक्ष के अनुदिश निकाय का प्रारंभिक संवेग $P_i = m_1 v_1 = 10 \times 10 \sqrt{3} = 100 \sqrt{3} \, kg \cdot m/s$ है।
$20 \, kg$ द्रव्यमान की दूसरी गेंद प्रत्येक $10 \, kg$ के दो समान टुकड़ों में विभाजित हो जाती है।
माना कि पहले टुकड़े का वेग $Y$-अक्ष के अनुदिश $v_y = 10 \, m/s$ है और दूसरे टुकड़े का वेग $X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $v_x = 20 \, m/s$ है।
$X$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$P_{ix} = P_{fx}$
$100 \sqrt{3} = (10 \times v_x \cos \theta) + (10 \times 0)$
$100 \sqrt{3} = 10 \times 20 \cos \theta$
$100 \sqrt{3} = 200 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{100 \sqrt{3}}{200} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$.

(B) शुरुआत में,शेल स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
मान लीजिए कि तीन टुकड़ों के द्रव्यमान $m_1 = \frac{2m}{5}$,$m_2 = \frac{2m}{5}$,और $m_3 = \frac{m}{5}$ हैं।
$\frac{2m}{5}$ द्रव्यमान वाले दो टुकड़े परस्पर लंबवत दिशाओं में $v$ गति के साथ चलते हैं। मान लीजिए उनके वेग सदिश $\vec{v}_1 = -v \hat{i}$ और $\vec{v}_2 = -v \hat{j}$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$
$0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3$
$0 = \frac{2m}{5}(-v \hat{i}) + \frac{2m}{5}(-v \hat{j}) + \frac{m}{5} \vec{v}_3$
$\frac{m}{5} \vec{v}_3 = \frac{2m}{5} v \hat{i} + \frac{2m}{5} v \hat{j}$
$\vec{v}_3 = 2v \hat{i} + 2v \hat{j}$
तीसरे टुकड़े की गति $\vec{v}_3$ का परिमाण है:
$v_3 = |\vec{v}_3| = \sqrt{(2v)^2 + (2v)^2} = \sqrt{4v^2 + 4v^2} = \sqrt{8v^2} = 2\sqrt{2} v$.

(B) व्यक्ति और ट्रॉली को एक निकाय (system) के रूप में लें। चूंकि कूदने के दौरान निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m_1 = 60\,kg$ है और उसका प्रारंभिक वेग $v_1$ है।
माना ट्रॉली का द्रव्यमान $m_2 = 120\,kg$ है और उसका प्रारंभिक वेग $v_2 = 0\,ms^{-1}$ है।
व्यक्ति के ट्रॉली में कूदने के बाद,वे $v_f = 2\,ms^{-1}$ के सामान्य अंतिम वेग से एक साथ चलते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f$
$60 \times v_1 + 120 \times 0 = (60 + 120) \times 2$
$60 v_1 = 180 \times 2$
$60 v_1 = 360$
$v_1 = \frac{360}{60} = 6\,ms^{-1}$.

(B) तीनों टुकड़ों के द्रव्यमान $m_1 = \frac{M}{4}$,$m_2 = \frac{M}{4}$,और $m_3 = \frac{2M}{4} = \frac{M}{2}$ हैं।
चूंकि प्रारंभिक पिंड स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम कुल संवेग भी शून्य होना चाहिए: $\vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{P}_3 = 0$.
इसका अर्थ है $\vec{P}_3 = -(\vec{P}_1 + \vec{P}_2)$।
दो छोटे टुकड़ों के संवेग का परिमाण $P_1 = m_1 v_1 = \frac{M}{4} \times 30 = 7.5M$ और $P_2 = m_2 v_2 = \frac{M}{4} \times 40 = 10M$ है।
चूंकि $\vec{P}_1$ और $\vec{P}_2$ लंबवत हैं,इसलिए उनके परिणामी संवेग का परिमाण $P_{12} = \sqrt{P_1^2 + P_2^2} = \sqrt{(7.5M)^2 + (10M)^2} = \sqrt{56.25M^2 + 100M^2} = \sqrt{156.25M^2} = 12.5M$ है।
चूंकि $\vec{P}_3 = -(\vec{P}_1 + \vec{P}_2)$,इसलिए $P_3 = P_{12} = 12.5M$ होगा।
अब $P_3 = m_3 v_3 = \frac{M}{2} v_3$ है,इसलिए $\frac{M}{2} v_3 = 12.5M$।
हल करने पर,$v_3 = 12.5 \times 2 = 25 \, m/s$ प्राप्त होता है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है क्योंकि उपकरण शुरू में स्थिर है।
विस्फोट के बाद कुल संवेग शून्य रहना चाहिए,इसलिए दोनों टुकड़ों के संवेग का योग शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0$।
इसका अर्थ है कि $\vec{p}_2 = -\vec{p}_1$।
यदि पहला टुकड़ा धनात्मक $x$ दिशा में गति करता है,तो उसका संवेग सदिश $\vec{p}_1 = p_1 \hat{i}$ है।
इसलिए,दूसरे टुकड़े का संवेग $\vec{p}_2 = -p_1 \hat{i}$ होना चाहिए,जो दर्शाता है कि दूसरा टुकड़ा ऋणात्मक $x$ दिशा में गति करता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) मान लीजिए कि दीवार $y$-अक्ष के अनुदिश है और दीवार के लंबवत दिशा $x$-अक्ष के अनुदिश है。
गेंद का प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_i = mv \cos \theta \hat{\imath} - mv \sin \theta \hat{\jmath}$ है。
टक्कर के बाद, गेंद समान कोण $\theta$ पर वापस लौटती है। अंतिम संवेग $\vec{P}_f = -mv \cos \theta \hat{\imath} - mv \sin \theta \hat{\jmath}$ है。
घटकों की तुलना करने पर, संवेग का $y$-घटक (जो दीवार की दिशा में है) अपरिवर्तित रहता है: $P_{iy} = P_{fy} = -mv \sin \theta$.
चूंकि दीवार की दिशा में गेंद पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है (चिकनी दीवार मानते हुए), इसलिए दीवार की दिशा में संवेग संरक्षित रहता है。
अतः, सही विकल्प $(a)$ है।