Conservation of Linear Momentum Questions in Hindi

(C) वस्तु का प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = u \cos \theta$ है। दिया गया है $\sin \theta = 3/5$,इसलिए $\cos \theta = 4/5$। अतः,$u_x = 100 \times (4/5) = 80 \ m/s$।
उच्चतम बिंदु पर,ऊर्ध्वाधर वेग $0$ है और क्षैतिज वेग $80 \ m/s$ है। उच्चतम बिंदु पर निकाय का संवेग $P = (2m) \times 80 = 160m$ है।
विस्फोट के बाद,पहला टुकड़ा $(m)$ स्थिर हो जाता है,इसलिए उसका वेग $0$ है। मान लीजिए कि दूसरे टुकड़े $(m)$ का वेग $v$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $160m = m(0) + m(v)$,जिससे $v = 160 \ m/s$ प्राप्त होता है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t = (u \sin \theta) / g = (100 \times 3/5) / 10 = 6 \ s$ है। उच्चतम बिंदु तक पहुँचने के लिए तय की गई क्षैतिज दूरी $x_1 = u_x \times t = 80 \times 6 = 480 \ m$ है।
दूसरा टुकड़ा उच्चतम बिंदु से जमीन तक $t = 6 \ s$ समय में $160 \ m/s$ के निरंतर क्षैतिज वेग के साथ यात्रा करता है। तय की गई अतिरिक्त क्षैतिज दूरी $x_2 = v \times t = 160 \times 6 = 960 \ m$ है।
प्रक्षेपण बिंदु से कुल दूरी $x_1 + x_2 = 480 + 960 = 1440 \ m$ है।

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल के बराबर होती है:
$F_{ext} = \frac{dp}{dt}$
यदि कुल बाह्य बल $F_{ext} = 0$ है,तो $\frac{dp}{dt} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि रैखिक संवेग $p$ स्थिर (संरक्षित) रहता है।
टक्कर के मामले में,यदि समय अंतराल $\Delta t$ अत्यंत छोटा (नगण्य) है और बाह्य बल परिमित है,तो आवेग $J = F_{ext} \cdot \Delta t$ शून्य के करीब पहुंच जाता है।
इसलिए,टक्कर के लिए,रैखिक संवेग तब संरक्षित होता है यदि बाह्य बल शून्य हो या यदि बाह्य बल परिमित हो और टक्कर का समय नगण्य हो।
अतः,शर्त $(1)$ और $(2)$ दोनों रैखिक संवेग संरक्षण की आवश्यकता को पूरा करती हैं।

(D) माना पहले टुकड़े का द्रव्यमान $m_1 = 4 \,kg$ है और उसका वेग $v_1$ है।
माना दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान $m_2 = 12 \,kg$ है और उसका वेग $v_2 = 4 \,ms^{-1}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, बम का प्रारंभिक संवेग शून्य है (यह मानते हुए कि वह स्थिर था)।
इसलिए, $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$.
परिमाण लेने पर, $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
$4 \times v_1 = 12 \times 4$.
$v_1 = 12 \,ms^{-1}$.
$4 \,kg$ वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $KE_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$ है।
$KE_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2 = 2 \times 144 = 288 \,J$.

(D) मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $M$ है और अधिकतम ऊँचाई पर इसका वेग $v_h = u \cos \theta$ है। अधिकतम ऊँचाई पर संवेग $P = M u \cos \theta$ है।
$M/2$ द्रव्यमान के दो समान भागों में टूटने के बाद,एक भाग अपने पथ पर वापस लौटता है,जिसका अर्थ है कि उसका वेग $-u \cos \theta$ है। मान लीजिए दूसरे भाग का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$M u \cos \theta = \frac{M}{2} (-u \cos \theta) + \frac{M}{2} v_2$
$u \cos \theta = -\frac{1}{2} u \cos \theta + \frac{1}{2} v_2$
$\frac{3}{2} u \cos \theta = \frac{1}{2} v_2 \implies v_2 = 3 u \cos \theta$.
पहले भाग की गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} (M/2) (u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ है।
दूसरे भाग की गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} (M/2) (3 u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M (9 u^2 \cos^2 \theta) = \frac{9}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $E_2 = 9 E_1$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए तीसरे टुकड़े का वेग $v'$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = 5 M \times 0 = 0$.
मान लीजिए पहले टुकड़े $(M)$ का वेग $\vec{v}_1 = 2v \hat{i}$ है और दूसरे टुकड़े $(2M)$ का वेग $\vec{v}_2 = -v \hat{i}$ है (क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में चलते हैं)।
अंतिम संवेग $P_f = M(2v \hat{i}) + 2M(-v \hat{i}) + 2M(\vec{v}') = 0$.
$2Mv \hat{i} - 2Mv \hat{i} + 2M(\vec{v}') = 0$.
$0 + 2M(\vec{v}') = 0$.
इसलिए,$\vec{v}' = 0$.
तीसरा टुकड़ा स्थिर रहेगा।

(B) पिंड का कुल द्रव्यमान $M = 14 \ kg$ है। तीन टुकड़ों के द्रव्यमान का अनुपात $2:2:3$ है। अतः,टुकड़ों के द्रव्यमान $m_1 = 4 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$ और $m_3 = 6 \ kg$ होंगे (क्योंकि $2x + 2x + 3x = 7x = 14 \ kg$,इसलिए $x = 2 \ kg$)।
प्रारंभ में पिंड विरामावस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम कुल संवेग भी शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$.
मान लीजिए कि समान द्रव्यमान के दो टुकड़े क्रमशः ऋणात्मक $x$-अक्ष और ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में गति करते हैं: $\vec{v}_1 = -18 \hat{i} \ m/s$ और $\vec{v}_2 = -18 \hat{j} \ m/s$.
पहले दो टुकड़ों का संवेग $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 4(-18 \hat{i}) + 4(-18 \hat{j}) = -72 \hat{i} - 72 \hat{j} \ kg \cdot m/s$ है।
चूंकि $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$,इसलिए $\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2) = 72 \hat{i} + 72 \hat{j} \ kg \cdot m/s$ प्राप्त होता है।
तीसरे (भारी) टुकड़े का वेग $\vec{v}_3 = \frac{\vec{p}_3}{m_3} = \frac{72 \hat{i} + 72 \hat{j}}{6} = 12 \hat{i} + 12 \hat{j} \ m/s$ है।
वेग का परिमाण $|\vec{v}_3| = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \ m/s$ है।