Conservation of Linear Momentum Questions in Hindi

(D) यह निकाय ट्रॉली और रेत की बोरी से बना है। चूंकि ट्रैक घर्षण रहित है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
चूंकि रेत ट्रॉली के अंदर ही गिर रही है,इसलिए निकाय का कुल द्रव्यमान (ट्रॉली + रेत की बोरी + रेत) स्थिर रहता है।
चूंकि कोई बाहरी बल नहीं है और निकाय का कुल द्रव्यमान प्रारंभिक वेग से गति कर रहा है,इसलिए ट्रॉली के वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,ट्रॉली की गति $27 \ km/hr$ ही रहेगी।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विभाजन से पहले का कुल संवेग और विभाजन के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग: $\vec{P}_i = m v_0 \hat{i}$.
अंतिम संवेग: $\vec{P}_f = (m/3)(2v_0 \hat{j}) + (2m/3)\vec{v}$,जहाँ $\vec{v}$ शेष भाग का वेग है।
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$ रखने पर:
$m v_0 \hat{i} = \frac{2m v_0}{3} \hat{j} + \frac{2m}{3} \vec{v}$.
$m$ से भाग देने और सरल करने पर:
$v_0 \hat{i} - \frac{2}{3} v_0 \hat{j} = \frac{2}{3} \vec{v}$.
$3/2$ से गुणा करने पर:
$\vec{v} = \frac{3}{2} v_0 \hat{i} - v_0 \hat{j}$.

(A) माना $3 \ kg$ और $6 \ kg$ द्रव्यमान वाले टुकड़ों के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं। चूंकि प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $3v_1 = 6v_2$,जिसका अर्थ है $v_1 = 2v_2$।
$6 \ kg$ वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $KE_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times v_2^2 = 120 \ J$ दी गई है।
इससे $3v_2^2 = 120$ प्राप्त होता है,अतः $v_2^2 = 40 \ (m/s)^2$ है।
$3 \ kg$ वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $KE_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times v_1^2$ है।
$v_1 = 2v_2$ प्रतिस्थापित करने पर,$KE_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times (2v_2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4v_2^2 = 6v_2^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v_2^2 = 40$ है,इसलिए $KE_1 = 6 \times 40 = 240 \ J$ होगा।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है क्योंकि बंदूक और गोली दोनों शुरू में स्थिर हैं।
प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$ है।
अंतिम संवेग $P_f = M V_G + m v$ है,जहाँ $V_G$ बंदूक का प्रतिक्षेप वेग है और $v$ गोली का वेग है।
चूँकि $P_i = P_f$,इसलिए $0 = M V_G + mv$ प्राप्त होता है।
बंदूक के प्रतिक्षेप वेग $V_G$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$M V_G = -mv$
$V_G = -\frac{mv}{M}$।
प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $\frac{mv}{M}$ है।

(B) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बम विराम अवस्था में है इसलिए इसका प्रारंभिक संवेग शून्य है।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$
यहाँ $m_1 = 4 \ kg$,$m_2 = 12 \ kg$ और $v_2 = 4 \ m/s$ दिया गया है।
$4 \times v_1 + 12 \times 4 = 0$
$4 v_1 = -48$
$v_1 = -12 \ m/s$ (ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि वेग की दिशा $12 \ kg$ वाले टुकड़े के विपरीत है)।
$4 \ kg$ द्रव्यमान वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$ द्वारा प्राप्त होती है।
$K = \frac{1}{2} \times 4 \times (-12)^2$
$K = 2 \times 144 = 288 \ J$.

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग,कुल अंतिम संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग: $\vec{P}_i = m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2 + m_3\vec{u}_3$
$\vec{P}_i = 10(10\hat{i}) + 20(10\hat{j}) + 40(10\hat{k}) = 100\hat{i} + 200\hat{j} + 400\hat{k}$
अंतिम संवेग: $\vec{P}_f = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + m_3\vec{v}_3$
यहाँ $\vec{v}_1 = 0$ और $\vec{v}_2 = (3\hat{i} + 4\hat{j})\;m/s$ दिया गया है।
$\vec{P}_f = 10(0) + 20(3\hat{i} + 4\hat{j}) + 40\vec{v}_3 = 60\hat{i} + 80\hat{j} + 40\vec{v}_3$
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$ रखने पर:
$100\hat{i} + 200\hat{j} + 400\hat{k} = 60\hat{i} + 80\hat{j} + 40\vec{v}_3$
$40\vec{v}_3 = (100 - 60)\hat{i} + (200 - 80)\hat{j} + 400\hat{k}$
$40\vec{v}_3 = 40\hat{i} + 120\hat{j} + 400\hat{k}$
$\vec{v}_3 = \hat{i} + 3\hat{j} + 10\hat{k}\;m/s$.

(A) दिया गया है: कुल द्रव्यमान $M = 12 \ kg$। द्रव्यमान अनुपात $m_1:m_2 = 1:3$।
अतः,$m_1 = 3 \ kg$ और $m_2 = 9 \ kg$।
चूंकि बम प्रारंभ में विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग शून्य है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $p_1 = p_2 = p$।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$।
छोटे टुकड़े के लिए $(m_1 = 3 \ kg)$: $p = \sqrt{2 \times 3 \times 216} = \sqrt{1296} = 36 \ kg \cdot m/s$।
चूंकि संवेग के परिमाण समान हैं,इसलिए बड़े टुकड़े का संवेग भी $36 \ kg \cdot m/s$ होगा।

(A) माना कि बर्फ के सापेक्ष प्लेटफॉर्म का वेग $V$ पीछे की दिशा में है और बर्फ के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $w$ आगे की दिशा में है।
दिया गया है कि प्लेटफॉर्म के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v$ है,इसलिए $w + V = v$,जिसका अर्थ है $w = v - V$.
चूंकि निकाय (व्यक्ति + प्लेटफॉर्म) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में दोनों स्थिर हैं,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $MV - mw = 0$.
समीकरण में $w = v - V$ रखने पर: $MV - m(v - V) = 0$.
$MV - mv + mV = 0$.
$V(M + m) = mv$.
अतः,बर्फ के सापेक्ष प्लेटफॉर्म का वेग $V = \frac{mv}{M + m}$ है।

(A) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग और विस्फोट के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = MV$ है।
विस्फोट के बाद,$m$ द्रव्यमान का एक भाग स्थिर हो जाता है (वेग $= 0$),और शेष भाग का द्रव्यमान $(M - m)$ है जो $v$ वेग से गति करता है।
अंतिम संवेग $P_f = m(0) + (M - m)v = (M - m)v$ है।
$P_i = P_f$ रखने पर:
$MV = (M - m)v$।
अतः,दूसरे भाग का वेग $v = \frac{MV}{M - m}$ होगा।

(C) तीसरे टुकड़े का द्रव्यमान $M - (M/4 + M/4) = M/2$ है।
मान लीजिए कि पहले दो टुकड़ों के वेग $\vec{v}_1 = 3\hat{i} \ m/s$ और $\vec{v}_2 = 4\hat{j} \ m/s$ हैं।
पहले टुकड़े का संवेग $\vec{p}_1 = (M/4)(3\hat{i}) = (3M/4)\hat{i}$ है।
दूसरे टुकड़े का संवेग $\vec{p}_2 = (M/4)(4\hat{j}) = M\hat{j}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$ है।
अतः,$\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2) = -(3M/4)\hat{i} - M\hat{j}$ है।
तीसरे टुकड़े के संवेग का परिमाण $p_3 = \sqrt{(3M/4)^2 + M^2} = \sqrt{9M^2/16 + M^2} = \sqrt{25M^2/16} = 5M/4$ है।
चूंकि $p_3 = (M/2)v_3$,इसलिए $(M/2)v_3 = 5M/4$ है।
$v_3$ के लिए हल करने पर,हमें $v_3 = (5M/4) \times (2/M) = 2.5 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि दो टुकड़ों में से प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है और उनकी गति $u = 30 \; m/s$ है। तीसरे टुकड़े का द्रव्यमान $3m$ है। मान लीजिए कि इसका वेग $v$ है जो पहले दो टुकड़ों के परिणामी संवेग की दिशा के विपरीत दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
लंबवत गति करने वाले दो टुकड़ों का परिणामी संवेग $P_r = \sqrt{(mu)^2 + (mu)^2} = mu\sqrt{2}$ है।
यह परिणामी संवेग दोनों टुकड़ों के साथ $45^\circ$ के कोण पर होता है।
तीसरे टुकड़े को इसे संतुलित करने के लिए विपरीत दिशा में गति करनी चाहिए,इसलिए इसका संवेग $3mv$ परिमाण में $mu\sqrt{2}$ के बराबर होना चाहिए।
$3mv = mu\sqrt{2} \Rightarrow v = \frac{u\sqrt{2}}{3} = \frac{30\sqrt{2}}{3} = 10\sqrt{2} \; m/s$.
दिशा पहले दो टुकड़ों में से प्रत्येक की दिशा के सापेक्ष $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ होगी।

(D) कुल द्रव्यमान $5 \ kg$ है। टुकड़ों के द्रव्यमान $m_1 = 1 \ kg$,$m_2 = 1 \ kg$ और $m_3 = 3 \ kg$ हैं।
चूंकि पिंड शुरू में विरामावस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग का सदिश योग शून्य होना चाहिए: $\vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{P}_3 = 0$.
मान लीजिए कि $1 \ kg$ के दो टुकड़े क्रमशः $X$ और $Y$ अक्ष पर गति करते हैं: $\vec{P}_1 = (1 \ kg)(21 \ m/s) \hat{i} = 21 \hat{i} \ kg \cdot m/s$ और $\vec{P}_2 = (1 \ kg)(21 \ m/s) \hat{j} = 21 \hat{j} \ kg \cdot m/s$.
तीसरे टुकड़े का संवेग $\vec{P}_3 = -(\vec{P}_1 + \vec{P}_2) = -(21 \hat{i} + 21 \hat{j}) \ kg \cdot m/s$ होना चाहिए।
तीसरे टुकड़े के संवेग का परिमाण $|\vec{P}_3| = \sqrt{21^2 + 21^2} = 21\sqrt{2} \ kg \cdot m/s$ है।
चूंकि $|\vec{P}_3| = m_3 \cdot v_3$,इसलिए $3 \cdot v_3 = 21\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$v_3 = 7\sqrt{2} \approx 7 \times 1.414 = 9.898 \ m/s$.

(B) एक टुकड़े का द्रव्यमान $m$ है। इसलिए,दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान $(M - m)$ होगा।
मान लीजिए कि दूसरे टुकड़े का वेग $v'$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,
अंतरिक्ष यान का प्रारंभिक संवेग = टुकड़ों का अंतिम संवेग
$Mv = m(0) + (M - m)v'$
$\therefore v' = \frac{M}{M - m} v$

(B) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूँकि वस्तु स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है।
$0 = 2p\,\hat{i} + p\,\hat{j} + \vec{p_3}$
अतः,तीसरे टुकड़े का संवेग है:
$\vec{p_3} = -2p\,\hat{i} - p\,\hat{j}$
तीसरे टुकड़े के संवेग का परिमाण:
$|\vec{p_3}| = \sqrt{(-2p)^2 + (-p)^2} = \sqrt{4p^2 + p^2} = \sqrt{5p^2} = \sqrt{5}p$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) व्यक्ति का द्रव्यमान $m_p = 80 \ kg$ और ट्रॉली का द्रव्यमान $m_t = 320 \ kg$ है।
निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
व्यक्ति का संवेग + ट्रॉली का संवेग = $0$
माना ट्रॉली का जमीन के सापेक्ष वेग $v$ है।
व्यक्ति का जमीन के सापेक्ष वेग $(1 - v)$ होगा।
$80(1 - v) + 320(v) = 0$
$80 - 80v + 320v = 0$
$240v = -80 \implies v = -0.33 \ m/s$ (ट्रॉली पीछे की ओर चलती है)।
यदि हम निकाय के संवेग संतुलन के अनुसार गणना करें: $80 \times 1 = (80 + 320)v \implies 80 = 400v \implies v = 0.2 \ m/s$ (ट्रॉली की गति का परिमाण)।
अतः,जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का वेग = $1 - 0.2 = 0.8 \ m/s$।
$4 \ s$ में विस्थापन = $0.8 \times 4 = 3.2 \ m$।

(C) चूंकि बम शुरू में विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग शून्य है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m$ है। बम का कुल द्रव्यमान $3m$ है।
मान लीजिए कि तीन टुकड़ों के वेग $\vec{v}_1 = 9\hat{i} \ m s^{-1}$,$\vec{v}_2 = 12\hat{j} \ m s^{-1}$ और $\vec{v}_3$ हैं।
संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 + m\vec{v}_3 = 0$।
$m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0$।
$\vec{v}_3 = -(\vec{v}_1 + \vec{v}_2) = -(9\hat{i} + 12\hat{j})$।
तीसरे टुकड़े के वेग का परिमाण $|\vec{v}_3| = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2}$ होगा।
$|\vec{v}_3| = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \ m s^{-1}$।

(C) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग अंतिम संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = 1000\, kg$,प्रारंभिक वेग $u_1 = 50\, km/h$ है।
अंतिम द्रव्यमान $m_2 = 1000\, kg + 250\, kg = 1250\, kg$ है।
माना कि नया वेग $v$ है।
$m_1 u_1 = m_2 v$
$1000 \times 50 = 1250 \times v$
$v = \frac{50000}{1250} = 40\, km/h$.

(C) माना गोले का द्रव्यमान $m = 0.2\, kg$ है और बंदूक का द्रव्यमान $M = 4\, kg$ है। माना गोले का वेग $v$ है और बंदूक का प्रतिक्षेप वेग $V$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$mv = MV$,इसलिए $V = (m/M)v$.
विस्फोट द्वारा उत्पन्न कुल ऊर्जा गोले और बंदूक की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$
$V = (m/M)v$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M(\frac{m}{M}v)^2 = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{m}{M})$
यहाँ $E = 1.05\, kJ = 1050\, J$,$m = 0.2\, kg$,और $M = 4\, kg$ दिया गया है:
$1050 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times v^2 \times (1 + \frac{0.2}{4})$
$1050 = 0.1 \times v^2 \times (1 + 0.05)$
$1050 = 0.1 \times 1.05 \times v^2$
$1050 = 0.105 \times v^2$
$v^2 = \frac{1050}{0.105} = 10000$
$v = 100\, m/s$.

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चट्टान का प्रारंभिक संवेग शून्य है। इसलिए,तीनों भागों के संवेग का सदिश योग शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि तीनों भागों के संवेग $\vec{p}_1$,$\vec{p}_2$ और $\vec{p}_3$ हैं।
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0 \implies \vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$।
पहले भाग के संवेग का परिमाण $p_1 = m_1 v_1 = 1 \, kg \times 12 \, m s^{-1} = 12 \, kg \, m s^{-1}$ है।
दूसरे भाग के संवेग का परिमाण $p_2 = m_2 v_2 = 2 \, kg \times 8 \, m s^{-1} = 16 \, kg \, m s^{-1}$ है।
चूंकि ये दो भाग एक-दूसरे के समकोण पर गति करते हैं,इसलिए इन दो भागों के परिणामी संवेग का परिमाण $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, kg \, m s^{-1}$ है।
संरक्षण नियम को संतुष्ट करने के लिए तीसरे भाग का संवेग इस परिणामी संवेग के परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
अतः,$p_3 = p_{12} = 20 \, kg \, m s^{-1}$।
तीसरे भाग की गति $v_3 = 4 \, m s^{-1}$ दी गई है,इसलिए इसका द्रव्यमान $m_3$ है:
$m_3 = \frac{p_3}{v_3} = \frac{20 \, kg \, m s^{-1}}{4 \, m s^{-1}} = 5 \, kg$।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $p_1 = p_2 = p$.
किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $K$,उसके संवेग $p$ और द्रव्यमान $m$ से सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा संबंधित है।
चूंकि $p$ दोनों टुकड़ों के लिए समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $K \propto \frac{1}{m}$.
मान लीजिए $m_1 = 2M$ द्रव्यमान वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $E_1$ है और $m_2 = 3M$ द्रव्यमान वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $E_2$ है।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{3M}{2M} = \frac{3}{2}$.
कुल गतिज ऊर्जा $E = E_1 + E_2$ दी गई है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$E_1 = \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) E = \left( \frac{3M}{2M + 3M} \right) E = \left( \frac{3M}{5M} \right) E = \frac{3E}{5}$.

(A) प्रारंभ में,बम स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
मान लीजिए $m$ द्रव्यमान का वेग $v_A$ है और $2m$ द्रव्यमान का वेग $v_B$ है।
$m v_A + 2m v_B = 0$
दिया गया है कि $v_A = 16 \text{ m/s}$,इसलिए $m(16) + 2m v_B = 0$।
$2m v_B = -16m \implies v_B = -8 \text{ m/s}$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दोनों टुकड़े विपरीत दिशाओं में गति करते हैं।
विस्फोट में मुक्त कुल गतिज ऊर्जा $K$ दोनों टुकड़ों की गतिज ऊर्जा का योग है:
$K = \frac{1}{2} m v_A^2 + \frac{1}{2} (2m) v_B^2$
$K = \frac{1}{2} m (16)^2 + \frac{1}{2} (2m) (-8)^2$
$K = \frac{1}{2} m (256) + m (64)$
$K = 128m + 64m = 192m \text{ J}$।
अतः,मुक्त कुल गतिज ऊर्जा $192m \text{ J}$ है।

(B) मान लीजिए अंतरिक्ष यान का कुल द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_i = m v_0 \hat{j}$ है।
विस्फोट के बाद,अंतरिक्ष यान दो भागों में विभाजित हो जाता है: $m_1 = \frac{m}{4}$ और $m_2 = \frac{3m}{4}$।
पहले भाग का वेग $\vec{v}_1 = 2v_0 \hat{i}$ है।
मान लीजिए शेष भाग का वेग $\vec{v}_2 = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$\vec{P}_i = \vec{P}_f$,इसलिए $m v_0 \hat{j} = \frac{m}{4}(2v_0 \hat{i}) + \frac{3m}{4}(v_x \hat{i} + v_y \hat{j})$।
घटकों की तुलना करने पर:
$x$-अक्ष पर: $0 = \frac{2m v_0}{4} + \frac{3m v_x}{4} \Rightarrow 3v_x = -2v_0 \Rightarrow v_x = -\frac{2}{3}v_0$।
$y$-अक्ष पर: $m v_0 = \frac{3m v_y}{4} \Rightarrow v_y = \frac{4}{3}v_0$।
शेष भाग के वेग का परिमाण $v_2 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-\frac{2}{3}v_0)^2 + (\frac{4}{3}v_0)^2} = \sqrt{\frac{4}{9}v_0^2 + \frac{16}{9}v_0^2} = \sqrt{\frac{20}{9}}v_0 = \frac{\sqrt{20}}{3}v_0$।

(C) स्थिति $I$: एक साथ कूदना।
मान लीजिए बग्गी का वेग $V_1$ है। जमीन के सापेक्ष प्रत्येक व्यक्ति का वेग $(10 - V_1)$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $0 = 100 V_1 - 2 \times 50(10 - V_1)$.
$100 V_1 = 100(10 - V_1) \implies V_1 = 10 - V_1 \implies 2 V_1 = 10 \implies V_1 = 5\, m/s$.
स्थिति $II$: क्रमिक कूदना।
पहला व्यक्ति कूदता है: $0 = (100 + 50) v_a - 50(10 - v_a) \implies 150 v_a = 500 - 50 v_a \implies 200 v_a = 500 \implies v_a = 2.5\, m/s$.
दूसरा व्यक्ति बग्गी से कूदता है (अब द्रव्यमान $150\, kg$ है): $150 v_a = 100 V_2 - 50(10 - V_2)$.
$375 = 100 V_2 - 500 + 50 V_2 \implies 150 V_2 = 875 \implies V_2 = 875 / 150 = 35 / 6 \approx 5.83\, m/s$.
अनुपात $V_1 : V_2 = 5 : (35/6) = 30 : 35 = 6 : 7$. अतः प्रतिक्षेप वेग का अनुपात $7 : 6$ है।

(C) दिया गया है: वैगन का प्रारंभिक द्रव्यमान,$m = 5 \times 10^3 \text{ kg}$.
वैगन का प्रारंभिक वेग,$v = 1.2 \text{ m/s}$.
वर्षा की बूंदें एकत्र करने के बाद,वैगन का कुल द्रव्यमान $m' = m + 10^3 \text{ kg} = 6 \times 10^3 \text{ kg}$ हो जाता है।
चूंकि वर्षा की बूंदें लंबवत गिरती हैं,इसलिए उनके पास संवेग का कोई क्षैतिज घटक नहीं होता है। अतः,निकाय का क्षैतिज संवेग संरक्षित रहता है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m \times v = m' \times v'$.
मान रखने पर: $(5 \times 10^3) \times 1.2 = (6 \times 10^3) \times v'$.
$v' = \frac{5 \times 10^3 \times 1.2}{6 \times 10^3}$.
$v' = \frac{5 \times 1.2}{6} = 1 \text{ m/s}$.

(C) निकाय एक घर्षणहीन मेज पर है,इसलिए $x$-दिशा में कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है। $x$-दिशा में निकाय का प्रारंभिक वेग शून्य है,इसलिए गति के दौरान $x$-दिशा में कुल संवेग शून्य रहना चाहिए।
मान लीजिए $v_{x_A}$ और $v_{x_B}$ क्रमशः पिंड $A$ और $B$ के वेग के $x$-घटक हैं।
$x$-दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$M v_{x_A} + (2M) v_{x_B} = 0$
$M v_{x_A} = -2M v_{x_B}$
$v_{x_A} = -2 v_{x_B}$
यह दिया गया है कि पिंड $B$ के वेग का $x$-घटक $V_x$ है,इसलिए $v_{x_B} = V_x$ है।
अतः,$v_{x_A} = -2 V_x$ होगा।
$z$-दिशा में कोई बाहरी बल न होने के कारण दोनों पिंडों के लिए $z$-दिशा में वेग $u \hat{k}$ स्थिर रहता है।
इस प्रकार,पिंड $A$ का वेग $\vec{V}_A = -2 V_x \hat{i} + u \hat{k}$ होगा।

(B) चूंकि निकाय (गेंद + स्प्रिंग गन) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि गेंद के नली के सापेक्ष रुकने के बाद संयुक्त निकाय (गेंद + स्प्रिंग गन) का अंतिम वेग $V$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v_0 + M(0) = (m + M) V$
दिया गया है:
$m = 60 \text{ g} = 0.06 \text{ kg}$
$M = 240 \text{ g} = 0.24 \text{ kg}$
$v_0 = 22 \text{ m/s}$
मान रखने पर:
$0.06 \times 22 + 0 = (0.06 + 0.24) V$
$1.32 = 0.30 V$
$V = \frac{1.32}{0.30} = 4.4 \text{ m/s}$
अतः,गेंद के नली के सापेक्ष रुकने के बाद स्प्रिंग गन की गति $4.4 \text{ m/s}$ है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी निकाय के कुल संवेग $\vec{P}$ के परिवर्तन की दर उस पर कार्य करने वाले शुद्ध बाहरी बल के बराबर होती है: $\frac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F}_{ext}$।
चूंकि निकाय किसी भी बाहरी बल से मुक्त है,इसलिए $\vec{F}_{ext} = 0$ है।
अतः,$\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि निकाय का कुल संवेग $\vec{P}$ स्थिर है।
आंतरिक बल क्रिया-प्रतिक्रिया जोड़े में कार्य करते हैं और एक-दूसरे के प्रभाव को रद्द कर देते हैं,इसलिए वे निकाय के कुल संवेग को नहीं बदलते हैं।
इस प्रकार,कुल संवेग गैर-शून्य हो सकता है (यदि निकाय का प्रारंभिक वेग है),लेकिन इसे समय के साथ स्थिर रहना चाहिए।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या संवेग संरक्षित है,हम रेल कार और बॉलिंग गेंदों से बनी प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बलों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. क्षैतिज दिशा में (ट्रैक के समानांतर),प्रणाली पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है क्योंकि ट्रैक घर्षण रहित है और रेल कार अलग है।
$2$. न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,यदि किसी प्रणाली पर शुद्ध बाहरी बल शून्य है,तो प्रणाली का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
$3$. इसलिए,संवेग का क्षैतिज घटक संरक्षित रहता है।
$4$. ऊर्ध्वाधर दिशा में,प्रणाली पर बाहरी बल कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण बल (भार) और ट्रैक से सामान्य बल। जैसे ही गेंदें गिराई जाती हैं,प्रणाली गुरुत्वाकर्षण और कार के फर्श के साथ प्रभाव के कारण ऊर्ध्वाधर संवेग में परिवर्तन का अनुभव करती है।
$5$. चूंकि शुद्ध बाहरी बल का क्षैतिज घटक शून्य है,इसलिए ट्रैक के समानांतर संवेग का घटक संरक्षित रहता है।

(B) चूंकि ट्रैक घर्षण रहित है और गति की दिशा में प्रणाली (रेल कार $+$ बॉलिंग गेंदें) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए उस दिशा में प्रणाली का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए $V$ प्रणाली का अंतिम वेग है।
प्रणाली का प्रारंभिक संवेग $= M \times v_0 + (N \times m) \times 0 = Mv_0$.
प्रणाली का अंतिम संवेग $= (M + Nm) \times V$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$Mv_0 = (M + Nm) \times V$.
$V$ के लिए हल करने पर,हमें $V = \frac{Mv_0}{M + Nm}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $v_1$ जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का वेग है और $v_2$ जमीन के सापेक्ष ट्रॉली का वेग है।
चूंकि निकाय एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
अतः,निकाय का संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,निकाय विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
$m v_1 + M v_2 = 0$
$v_1 = -\frac{M}{m} v_2$
हमें ट्रॉली के सापेक्ष व्यक्ति का आपेक्षिक वेग $u_{rel} = v_1 - v_2$ दिया गया है।
आपेक्षिक वेग के समीकरण में $v_1$ का मान रखने पर:
$u_{rel} = -\frac{M}{m} v_2 - v_2$
$u_{rel} = -v_2 \left( \frac{M}{m} + 1 \right)$
$u_{rel} = -v_2 \left( \frac{M + m}{m} \right)$
$v_2 = -\frac{m u_{rel}}{M + m}$
ट्रॉली के वेग का परिमाण $\frac{m u_{rel}}{m + M}$ है।

(A) माना $v_1$ व्यक्ति का वेग है और $v_2$ जमीन के सापेक्ष ट्रॉली का वेग है।
चूंकि निकाय एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है। अतः,निकाय का संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,निकाय विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
$m v_1 + M v_2 = 0 \implies v_2 = -\frac{m}{M} v_1$.
ट्रॉली के सापेक्ष व्यक्ति का आपेक्षिक वेग $u_{rel} = v_1 - v_2$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण में $v_2$ का मान रखने पर: $u_{rel} = v_1 - (-\frac{m}{M} v_1) = v_1 (1 + \frac{m}{M}) = v_1 (\frac{M + m}{M})$.
$v_1$ के लिए हल करने पर,हमें $v_1 = \frac{M u_{rel}}{M + m}$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि निकाय (व्यक्ति + ट्रॉली) एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है,इसलिए इस पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है। अतः,निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_m$ है और ट्रॉली का वेग $v_t$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m v_m + M v_t = 0$,जिसका अर्थ है $v_t = -\frac{m}{M} v_m$.
ट्रॉली के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $u_{rel} = v_m - v_t$ के रूप में दिया गया है।
$v_t$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $u_{rel} = v_m - (-\frac{m}{M} v_m) = v_m (1 + \frac{m}{M}) = v_m \left( \frac{M+m}{M} \right)$.
इस प्रकार,जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_m = u_{rel} \left( \frac{M}{M+m} \right)$ है।
व्यक्ति द्वारा ट्रॉली की लंबाई $L$ को तय करने में लिया गया समय $t = \frac{L}{u_{rel}}$ है।
चूंकि ट्रॉली भी गति करती है,व्यक्ति ट्रॉली के सापेक्ष $u_{rel}$ गति से $L$ दूरी तय करता है।
इसलिए,लिया गया समय $t = \frac{L}{u_{rel}}$ है।

(D) माना कि $A$ पर स्थित व्यक्ति के कूदने के बाद ट्रॉली का ($B$ पर स्थित व्यक्ति के साथ) वेग दाईं ओर $v$ है। जमीन के सापेक्ष $A$ पर स्थित व्यक्ति का वेग $v_1 = v - u_{rel}$ (बाईं ओर) है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं लग रहा है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m_1(v - u_{rel}) + (m_2 + M)v = 0$ है।
$m_1 v - m_1 u_{rel} + m_2 v + M v = 0$.
$(m_1 + m_2 + M)v = m_1 u_{rel}$.
$v = \frac{m_1 u_{rel}}{m_1 + m_2 + M}$.
चूंकि $v > 0$ है,ट्रॉली दाईं ओर गति करती है।
साथ ही,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) प्रारंभ में,निकाय (ट्रॉली + दो व्यक्ति) विरामावस्था में है,इसलिए निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,इसलिए निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहना चाहिए (अर्थात शून्य)।
जब $m_2$ द्रव्यमान का व्यक्ति ट्रॉली के सापेक्ष $u_{rel}$ आपेक्षिक वेग के साथ दाईं ओर कूदता है,तो मान लीजिए कि ट्रॉली (और व्यक्ति $m_1$) का वेग बाईं ओर $v$ है।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति $m_2$ का वेग $v_{m2} = u_{rel} - v$ (दाईं ओर) है।
रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $0 = (m_1 + M)(-v) + m_2(u_{rel} - v)$.
$0 = -m_1 v - Mv + m_2 u_{rel} - m_2 v$.
$m_2 u_{rel} = (m_1 + m_2 + M)v$.
$v = \frac{m_2 u_{rel}}{m_1 + m_2 + M}$.
चूंकि $v$ बाईं ओर है,इसलिए ट्रॉली बाईं ओर चलती है।
साथ ही,चूंकि कोई बाहरी बल नहीं है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(A) माना ट्रॉली का वेग $m_1$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति की दिशा में $v$ है।
चूंकि निकाय (ट्रॉली + दो व्यक्ति) पर कुल बाहरी बल शून्य है,इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
माना ट्रॉली का वेग $v$ (दाईं ओर) है।
जमीन के सापेक्ष $m_1$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति का वेग $v - u_{rel}$ है (मानते हुए कि वे बाईं ओर कूदते हैं)।
जमीन के सापेक्ष $m_2$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति का वेग $v + u_{rel}$ है (मानते हुए कि वे दाईं ओर कूदते हैं)।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$0 = Mv + m_1(v - u_{rel}) + m_2(v + u_{rel})$
$0 = Mv + m_1v - m_1u_{rel} + m_2v + m_2u_{rel}$
$0 = (M + m_1 + m_2)v + (m_2 - m_1)u_{rel}$
$(M + m_1 + m_2)v = (m_1 - m_2)u_{rel}$
$v = \frac{(m_1 - m_2)u_{rel}}{M + m_1 + m_2}$
परिमाण लेने पर,ट्रॉली का वेग $\frac{|m_1 - m_2|u_{rel}}{M + m_1 + m_2}$ है।

(A) $1$. प्रारंभिक वेग के घटक: $u_x = 50 \cos 53^{\circ} = 30 \, m/s$ और $u_y = 50 \sin 53^{\circ} = 40 \, m/s$ हैं।
$2$. उच्चतम बिंदु पर,वेग $v_x = 30 \, m/s$ है। मूल बिंदु से उच्चतम बिंदु तक की क्षैतिज दूरी $R/2 = (30 \times 40) / 10 = 120 \, m$ है।
$3$. उच्चतम बिंदु पर,द्रव्यमान $m$ दो भागों $m/2$ में विभाजित होता है। एक भाग स्थिर हो जाता है $(v_1 = 0)$। संवेग संरक्षण के नियम से: $m(30) = (m/2)v_2 \implies v_2 = 60 \, m/s$।
$4$. स्थिर भाग $x_1 = 120 \, m$ पर गिरता है। दूसरा भाग $v_2 = 60 \, m/s$ से क्षैतिज रूप से चलता है और $H = 40^2 / 20 = 80 \, m$ की ऊँचाई से गिरता है। नीचे गिरने का समय $t = \sqrt{160/10} = 4 \, s$ है।
$5$. दूसरे भाग की उच्चतम बिंदु से दूरी $d = 60 \times 4 = 240 \, m$ है। इसकी अंतिम स्थिति $x_2 = 120 + 240 = 360 \, m$ है।
$6$. दोनों टुकड़ों के बीच की दूरी $|360 - 120| = 240 \, m$ है।

(C) निकाय रेल कार और सभी रेत से बना है। चूंकि ट्रैक घर्षण रहित है और रेल कार पृथक (isolated) है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,अतः क्षैतिज दिशा में कुल बाहरी बल शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है। जैसे ही रेत लंबवत रूप से बाहर गिरती है,यह जमीन के सापेक्ष कोई क्षैतिज संवेग नहीं ले जाती है क्योंकि बाहर निकलते समय इसका क्षैतिज वेग रेल कार के समान ही होता है। इसलिए,रेल कार और सभी रेत (अंदर और बाहर) का कुल संवेग संरक्षित रहता है। विकल्प $(C)$ सही है।

(C) माना कि पहले टुकड़े का द्रव्यमान और वेग $m_1 = 4 \ kg$ और $v_1$ है,और दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान और वेग $m_2 = 12 \ kg$ और $v_2 = 4 \ m s^{-1}$ है।
चूंकि बम शुरू में विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$
$4 v_1 + 12 \times 4 = 0$
$4 v_1 = -48$
$v_1 = -12 \ m s^{-1}$
वेग का परिमाण $12 \ m s^{-1}$ है।
$4 \ kg$ वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा:
$K.E. = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2$
$K.E. = 2 \times 144 = 288 \ J.$

(NONE) टक्कर के दौरान,निकाय पर कार्य करने वाले आवेगी बल निम्नलिखित हैं:
$1$. गेंद और वेज के बीच का अभिलंब बल,जो $Y'$ दिशा में कार्य करता है।
$2$. जमीन द्वारा वेज पर लगाया गया अभिलंब बल,जो $Y$ दिशा में कार्य करता है।
$3$. जमीन द्वारा वेज पर लगाया गया आवेगी घर्षण बल,जो $X$ दिशा में कार्य करता है।
किसी विशेष दिशा में संवेग संरक्षित होने के लिए,उस दिशा में कुल बाह्य आवेगी बल शून्य होना चाहिए।
- $Y'$ दिशा में: गेंद और वेज के बीच का अभिलंब बल $(M+m)$ निकाय के लिए एक आंतरिक बल है,लेकिन यह $m$ या $M$ व्यक्तिगत निकायों के लिए एक बाह्य आवेगी बल है। अतः,$m$ या $M$ के लिए $Y'$ दिशा में संवेग संरक्षित नहीं है।
- $X$ दिशा में: जमीन द्वारा वेज पर आवेगी घर्षण बल कार्य करता है,इसलिए $(M+m)$ निकाय के लिए $X$ दिशा में संवेग संरक्षित नहीं है।
- $Y$ दिशा में: जमीन द्वारा वेज पर आवेगी अभिलंब बल कार्य करता है,इसलिए $(M+m)$ निकाय के लिए $Y$ दिशा में संवेग संरक्षित नहीं है।
चूंकि दी गई शर्तों में से कोई भी कुल बाह्य आवेगी बल को शून्य नहीं करती है,इसलिए दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(B) चूंकि शेल शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टुकड़ों के अंतिम संवेग का सदिश योग शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $\vec{p}_1$,$\vec{p}_2$ और $\vec{p}_m$ तीन टुकड़ों के संवेग हैं।
$\vec{p}_1 = 1 \times 5 \hat{i} = 5 \hat{i} \ kg \cdot m/s$
$\vec{p}_2 = 2 \times 6 \hat{j} = 12 \hat{j} \ kg \cdot m/s$
$\vec{p}_m = m \vec{v}_m$
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_m = 0$ होने के कारण,$\vec{p}_m = -(5 \hat{i} + 12 \hat{j})$ प्राप्त होता है।
$m \ kg$ के टुकड़े के संवेग का परिमाण $|\vec{p}_m| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \ kg \cdot m/s$ है।
$m \ kg$ के टुकड़े की गति $6.5 \ m/s$ दी गई है,इसलिए $m \times 6.5 = 13$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = \frac{13}{6.5} = 2 \ kg$.
शेल का कुल द्रव्यमान $M = 1 + 2 + m = 1 + 2 + 2 = 5 \ kg$ है।

(A) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और वेज का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभ में, ब्लॉक का वेग $u$ है और वेज स्थिर है।
चूँकि सतह चिकनी है और कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है, इसलिए निकाय का रैखिक संवेग क्षैतिज दिशा में संरक्षित रहता है।
जब ब्लॉक वेज के सापेक्ष अधिकतम ऊँचाई $h$ पर पहुँचता है, तो ब्लॉक और वेज दोनों समान क्षैतिज वेग $v$ से गति करते हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $mu = (m + m)v$, जिससे $v = u/2$ प्राप्त होता है।
हालाँकि, प्रश्न ब्लॉक के वापस क्षैतिज सतह पर आने के बाद वेज के अंतिम वेग के बारे में पूछता है।
चूँकि टक्कर प्रत्यास्थ (elastic) है (चिकनी सतह, ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं), निकाय समान द्रव्यमान के दो पिंडों के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर की तरह व्यवहार करता है।
समान द्रव्यमान के दो पिंडों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में, यदि एक पिंड प्रारंभ में स्थिर है, तो वे अपने वेगों का आदान-प्रदान कर लेते हैं।
इसलिए, ब्लॉक स्थिर हो जाता है और वेज ब्लॉक के प्रारंभिक वेग $u$ को प्राप्त कर लेता है।

(C) मान लीजिए बम का द्रव्यमान $3m$ है। उच्चतम बिंदु पर,इसका वेग $0$ है। विस्फोट के बाद,द्रव्यमान केंद्र बम के मूल प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करना जारी रखता है,जो गुरुत्वाकर्षण $g$ के तहत ऊँचाई $h$ से मुक्त पतन है।
मान लीजिए तीन टुकड़ों के वेग $v_1, v_2, v_3$ हैं। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m v_1 + m v_2 + m v_3 = 0$। चूँकि दो टुकड़े जमीन पर पहुँचने में $20 \ s$ लेते हैं,वे समान गति $v'$ के साथ नीचे की ओर प्रक्षेपित किए गए होंगे। मान लीजिए तीसरा टुकड़ा $v$ गति के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। तब $m v - m v' - m v' = 0$,अर्थात $v = 2v'$।
ऊपर की ओर प्रक्षेपित टुकड़े के लिए: $h = -vt_1 + \frac{1}{2}gt_1^2$ (जहाँ $t_1 = 10 \ s$ और $h$ नीचे की ओर विस्थापन है)।
नीचे की ओर प्रक्षेपित टुकड़ों के लिए: $h = v't_2 + \frac{1}{2}gt_2^2$ (जहाँ $t_2 = 20 \ s$)।
$v = 2v'$ प्रतिस्थापित करने पर: $h = -2v'(10) + \frac{1}{2}g(10)^2 = -20v' + 500$।
साथ ही $h = v'(20) + \frac{1}{2}g(20)^2 = 20v' + 2000$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2h = 2500 \implies h = 1250 \ m$।

(C) मान लीजिए तोप का प्रारंभिक द्रव्यमान $M = 10m$ है। प्रारंभिक वेग $v_0 = 10 \ m/s$ है।
$n$ गोले दागने के बाद, तोप का द्रव्यमान $M' = 10m - nm$ हो जाता है।
मान लीजिए तोप का अंतिम वेग $v_f$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$P_{initial} = P_{final}$
$(10m)(10) = (10m - nm)v_f + (nm)u$
$100m = (10 - n)m v_f + nmu$
$100 = (10 - n)v_f + nu$
यदि तोप का वेग $u$ हो जाता है, तो $v_f = u$ होगा।
समीकरण में $v_f = u$ रखने पर:
$100 = (10 - n)u + nu$
$100 = 10u - nu + nu$
$100 = 10u$
$u = 10 \ m/s$.
अतः, यदि $u = 10 \ m/s$ है, तो दागे गए गोलों की संख्या की परवाह किए बिना तोप का वेग $10 \ m/s$ ही रहेगा।

(B) मान लीजिए कि बायां तख्ता $P_1$ है और दायां तख्ता $P_2$ है। प्रारंभ में,निकाय स्थिर है।
जब बिल्ली $P_1$ से $P_2$ पर $v_{cg}$ गति (दाईं ओर) के साथ छलांग लगाती है,तो निकाय (बिल्ली + $P_1$) के लिए संवेग संरक्षण के नियम से:
$0 = m_c v_{cg} + m_s v_{P1} \implies v_{P1} = -\frac{m_c v_{cg}}{m_s}$ (बाईं ओर)।
जब बिल्ली $P_2$ पर उतरती है,तो बिल्ली और $P_2$ एक साथ गति करते हैं। निकाय (बिल्ली + $P_2$) के लिए संवेग संरक्षण के नियम से:
$m_c v_{cg} = (m_c + m_s) v_{P2} \implies v_{P2} = \frac{m_c v_{cg}}{m_c + m_s}$.
जब बिल्ली $P_2$ से $P_1$ पर $v_{cg}$ गति (बाईं ओर) के साथ वापस छलांग लगाती है,तो मान लीजिए कि $P_2$ का अंतिम वेग $v'_{P2}$ है। निकाय (बिल्ली + $P_2$) के लिए संवेग संरक्षण के नियम से:
$(m_c + m_s) v_{P2} = m_c (-v_{cg}) + m_s v'_{P2}$.
$v_{P2}$ का मान रखने पर:
$(m_c + m_s) \left( \frac{m_c v_{cg}}{m_c + m_s} \right) = -m_c v_{cg} + m_s v'_{P2}$.
$m_c v_{cg} = -m_c v_{cg} + m_s v'_{P2} \implies 2m_c v_{cg} = m_s v'_{P2} \implies v'_{P2} = \frac{2m_c v_{cg}}{m_s}$.

(D) मान लीजिए कि कूदने के बाद जमीन के सापेक्ष आदमी का वेग $v_m$ और गाड़ी का वेग $v_c$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रारंभिक संवेग शून्य है, इसलिए $m v_m + 2m v_c = 0$, जिसका अर्थ है $v_m = -2v_c$.
गाड़ी के सापेक्ष आदमी का सापेक्ष वेग $u = v_m - v_c$ है।
$v_m = -2v_c$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $u = -2v_c - v_c = -3v_c$ प्राप्त होता है, इसलिए $v_c = -u/3$.
अतः $v_m = -2(-u/3) = 2u/3$.
आंतरिक बलों द्वारा किया गया कार्य निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
चूंकि निकाय प्रारंभ में स्थिर था, $K_i = 0$.
$K_f = \frac{1}{2} m v_m^2 + \frac{1}{2} (2m) v_c^2 = \frac{1}{2} m (2u/3)^2 + m (-u/3)^2$.
$K_f = \frac{1}{2} m (4u^2/9) + m (u^2/9) = \frac{2mu^2}{9} + \frac{mu^2}{9} = \frac{3mu^2}{9} = \frac{mu^2}{3}$.
अतः, किया गया कार्य $\frac{mu^2}{3}$ है।

(A) उच्चतम बिंदु पर,प्रक्षेप्य का प्रारंभिक संवेग $P_i = (3m)(40) = 120m$ क्षैतिज दिशा में है।
मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान वाले भाग का वेग $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है।
$2m$ द्रव्यमान वाला भाग ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर $25\, m/s$ के वेग से चलता है,इसलिए इसका संवेग $\vec{P}_{2m} = (2m)(25\hat{j}) = 50m\hat{j}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$\vec{P}_i = \vec{P}_{2m} + \vec{P}_m$.
$120m\hat{i} = 50m\hat{j} + m(v_x \hat{i} + v_y \hat{j})$.
घटकों की तुलना करने पर:
क्षैतिज: $120m = mv_x \implies v_x = 120\, m/s$.
ऊर्ध्वाधर: $0 = 50m + mv_y \implies v_y = -50\, m/s$.
$m$ द्रव्यमान वाले भाग की चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{120^2 + (-50)^2} = \sqrt{14400 + 2500} = \sqrt{16900} = 130\, m/s$.

(D) माना कुल द्रव्यमान $M = 1 \; kg$ है। तीन भागों के द्रव्यमान $m_1 = 0.2 \; kg$,$m_2 = 0.2 \; kg$ और $m_3 = 0.6 \; kg$ ($1:1:3$ अनुपात) हैं।
चूंकि बम शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
माना दो छोटे भागों के वेग $\vec{v}_1 = 30\hat{i} \; m/s$ और $\vec{v}_2 = 30\hat{j} \; m/s$ हैं।
इन दो भागों का संवेग $\vec{p}_{12} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = 0.2(30\hat{i} + 30\hat{j}) = 6\hat{i} + 6\hat{j} \; kg \cdot m/s$ है।
इस संवेग का परिमाण $p_{12} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2} \; kg \cdot m/s$ है।
कुल संवेग शून्य होने के लिए,तीसरे भाग का संवेग $\vec{p}_3 = -\vec{p}_{12}$ होना चाहिए।
अतः,$m_3 v_3 = 6\sqrt{2}$।
$0.6 \cdot v_3 = 6\sqrt{2}$।
$v_3 = \frac{6\sqrt{2}}{0.6} = 10\sqrt{2} \; m/s$।

(B) गेंद का प्रारंभिक वेग $u = 200 \, m/s$ और कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0$ है और क्षैतिज घटक $v_x = u \cos 60^{\circ} = 200 \times 0.5 = 100 \, m/s$ है।
गेंद का कुल द्रव्यमान $m$ है। अधिकतम ऊँचाई पर संवेग $\vec{P}_{initial} = m \times 100 \hat{i}$ है।
गेंद $m/3$ द्रव्यमान के $3$ समान टुकड़ों में विस्फोटित होती है।
माना टुकड़ों के वेग $\vec{v}_1 = 100 \hat{j}$,$\vec{v}_2 = -100 \hat{j}$,और $\vec{v}_3 = \vec{V}$ हैं।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$
$m(100 \hat{i}) = \frac{m}{3}(100 \hat{j}) + \frac{m}{3}(-100 \hat{j}) + \frac{m}{3}(\vec{V})$
$100 \hat{i} = \frac{1}{3}(100 \hat{j} - 100 \hat{j} + \vec{V})$
$100 \hat{i} = \frac{1}{3} \vec{V}$
$\vec{V} = 300 \hat{i} \, m/s$.
अतः,तीसरा टुकड़ा $300 \, m/s$ की चाल से क्षैतिज दिशा में गति करेगा।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
मुक्त आकाश में टकराने वाली दो गेंदों के मामले में,निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है।
इसलिए,टक्कर के प्रकार (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) या टक्कर की प्रकृति (हेड-ऑन या ऑब्लिक) की परवाह किए बिना,निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।