Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Hindi

(B) किसी गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
अतः,$M_1$ और $M_2$ आणविक भार वाली दो गैसों के लिए वर्ग माध्य मूल वेग $v_1$ और $v_2$ का अनुपात होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$।

(C) $r.m.s.$ वेग का सूत्र ${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए ${v_{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ है।
अतः,${O_2}$ और ${H_2}$ के $r.m.s.$ वेग का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{{{{({v_{rms}})}_{{O_2}}}}}{{{{({v_{rms}})}_{{H_2}}}}} = \sqrt{\frac{{{M_{{H_2}}}}}{{{M_{{O_2}}}}}}$
दिया गया है कि ${M_{{O_2}}} = 32$ और ${M_{{H_2}}} = 2$,मान रखने पर:
$\frac{{400}}{{{{({v_{rms}})}_{{H_2}}}}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$
${({v_{rms}})_{{H_2}}}$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${({v_{rms}})_{{H_2}}} = 400 \times 4 = 1600\, m/s$.

(C) $r.m.s.$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ है,जहाँ $\rho = \frac{m}{V}$ है।
$\rho$ का मान रखने पर,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3PV}{m}}$.
दिया गया है: $P = 24 \times 10^5 \, \text{dyne/cm}^2 = 24 \times 10^4 \, \text{N/m}^2$,$V = 10 \, \text{litre} = 10 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$,$m = 20 \, \text{gm} = 20 \times 10^{-3} \, \text{kg}$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times (24 \times 10^4) \times (10 \times 10^{-3})}{20 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{3 \times 24 \times 10^4 \times 10^{-2}}{20 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{72 \times 10^2}{20 \times 10^{-3}}} = \sqrt{3.6 \times 10^6} = 600 \, \text{m/s}$.

(A) $r.m.s.$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ तापमान $T$ और गैस नियतांक $R$ स्थिर हैं।
हाइड्रोजन $(H_2)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ की तुलना करने पर,हाइड्रोजन का आणविक द्रव्यमान $(M_{H_2} \approx 2 \ g/mol)$ ऑक्सीजन के आणविक द्रव्यमान $(M_{O_2} \approx 32 \ g/mol)$ से काफी कम है।
चूंकि $r.m.s.$ वेग आणविक द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए जिस गैस का आणविक द्रव्यमान कम होगा,उसका $r.m.s.$ वेग अधिक होगा।
अतः,हाइड्रोजन के लिए $r.m.s.$ वेग अधिक होगा।

(A) गैस के अणुओं का औसत वेग $(v_{avg})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि एक दी गई गैस के लिए $R$,$\pi$,और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए संबंध $v_{avg} \propto \sqrt{T}$ हो जाता है।
अतः,गैस के अणुओं का औसत वेग परम ताप के वर्गमूल के समानुपाती होता है।

(D) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms}$ समान है और $R$ एक स्थिरांक है,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$ होगा।
अतः,$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$ होगा।
दिया गया है: $T_{H_2} = 200 \, K$,$M_{H_2} = 2 \, g/mol$,और $M_{O_2} = 32 \, g/mol$।
मान रखने पर: $\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{200}{2}$।
$T_{O_2} = 100 \times 32 = 3200 \, K$।

(A) रूट मीन स्क्वायर वेग का सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
दिया गया है: $\frac{v_{He}}{v_{H_2}} = \frac{5}{7}$,$T_{H_2} = 0^{\circ}C = 273 \, K$,$M_{He} = 4 \, g/mol$,और $M_{H_2} = 2 \, g/mol$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_{He}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{T_{He}}{M_{He}} \times \frac{M_{H_2}}{T_{H_2}}} = \frac{5}{7}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_{He}}{4} \times \frac{2}{273} = \frac{25}{49}$.
$T_{He} = \frac{25}{49} \times \frac{4 \times 273}{2} = \frac{50 \times 273}{49} \approx 278.57 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $278.57 - 273 = 5.57^{\circ}C$,जो दिए गए विकल्पों के अनुसार लगभग $0^{\circ}C$ है।

(A) किसी गैस का वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
मान लीजिए हाइड्रोजन का तापमान $T_H$ है और ऑक्सीजन का तापमान $T_O$ है। दिया गया है $T_O = 47^{\circ}C = 47 + 273 = 320 \; K$।
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_H = 2 \; g/mol$ है और ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_O = 32 \; g/mol$ है।
प्रश्न के अनुसार,$RMS$ वेग बराबर हैं:
$\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$
मान रखने पर:
$\frac{T_H}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_H}{2} = 10$
$T_H = 20 \; K$.

(C) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दी गई गैस के लिए $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $r.m.s.$ चाल परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
माना $T_1 = 200 \, K$ पर $r.m.s.$ चाल $v_1$ है और $T_2 = 800 \, K$ पर $r.m.s.$ चाल $v_2$ है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$।
इसलिए,$v_2 = 2v_1$,जिसका अर्थ है कि $800 \, K$ पर $r.m.s.$ चाल $200 \, K$ पर मान की दोगुनी है।

(D) गैस के अणु का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $m$ अणु का द्रव्यमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $v_{rms}$ अणु के द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।

(B) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ गति का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इसका अर्थ है कि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 0^{\circ}C = 273 \; K$ दिया गया है।
मान लीजिए अंतिम तापमान $T_{2}$ है।
हम चाहते हैं कि अंतिम $r.m.s.$ गति प्रारंभिक गति की दोगुनी हो,इसलिए $V_{rms_{2}} = 2V_{rms_{1}}$.
संबंध $\frac{V_{rms_{2}}}{V_{rms_{1}}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}$ का उपयोग करने पर,हमें $2 = \sqrt{\frac{T_{2}}{273}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{T_{2}}{273}$.
अतः,$T_{2} = 4 \times 273 = 1092 \; K$.
इसे वापस सेल्सियस में बदलने के लिए,$T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 1092 - 273 = 819^{\circ}C$.

(C) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल $(R.M.S)$ वेग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
समतापीय प्रक्रिया में,गैस का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M$ (गैस का मोलर द्रव्यमान) भी स्थिर हैं,इसलिए $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है।
चूंकि समतापीय प्रसार के दौरान तापमान नहीं बदलता है,इसलिए अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग अपरिवर्तित रहेगा।

(A) गैस के अणु का वर्ग माध्य मूल $(R.M.S.)$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
माना $T_1 = 100^{\circ}C = 373\; K$ पर वेग $v_1$ है और $T_2$ पर वेग $v_2$ है।
दिया गया है कि $v_2 = 2v_1$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{v_1}{2v_1} = \sqrt{\frac{373}{T_2}}$।
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{373}{T_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{373}{T_2}$।
$T_2 = 373 \times 4 = 1492\; K$।
तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273$।
$T_2 = 1492 - 273 = 1219^{\circ}C$।

(A) $r.m.s.$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $R = 8.3\, J/(mol \cdot K)$,$T = 300\, K$ (कमरे का तापमान),और $v_{rms} = 1920\, m/s$.
मान रखने पर: $M = \frac{3 \times 8.3 \times 300}{(1920)^2}$.
$M = \frac{7470}{3686400} \approx 0.002026\, kg/mol \approx 2 \times 10^{-3}\, kg/mol = 2\, g/mol$.
$H_2$ का मोलर द्रव्यमान $2\, g/mol$ है। अतः,वह गैस $H_2$ है।

(C) गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
यह दर्शाता है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,जहाँ $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
ध्यान दें कि $r.m.s.$ वेग गैस के दबाव से स्वतंत्र होता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$.
प्रारंभिक $r.m.s.$ वेग $v_1 = 200 \, m/s$.
अंतिम तापमान $T_2 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \, K$.
समानुपातिकता $v_2 / v_1 = \sqrt{T_2 / T_1}$ का उपयोग करते हुए:
$v_2 = v_1 \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$v_2 = 200 \times \sqrt{\frac{400}{300}}$
$v_2 = 200 \times \sqrt{\frac{4}{3}}$
$v_2 = 200 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}} \, m/s$.

(A) रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
औसत चाल का सूत्र $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
दोनों चालों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\bar{v}}{v_{rms}} = \frac{\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M}}} = \sqrt{\frac{8}{3\pi}}$.
मान की गणना करने पर:
$\sqrt{\frac{8}{3 \times 3.14}} = \sqrt{\frac{8}{9.42}} \approx \sqrt{0.849} \approx 0.921$.
अतः,$\bar{v} = 0.92\,v_{rms}$ होता है।

(D) सबसे संभावित चाल को उस चाल के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी नमूने में अणुओं की अधिकतम संख्या द्वारा धारण की जाती है।
दिए गए पाँच अणुओं की चालें: $2, 1.5, 1.6, 1.6, 1.2 \, km/s$ हैं।
डेटा का अवलोकन करने पर,चाल $1.6 \, km/s$ दो बार आती है,जबकि अन्य सभी चालें केवल एक बार आती हैं।
चूंकि चाल $1.6 \, km/s$ सबसे अधिक बार आती है,इसलिए यह सबसे संभावित चाल है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) वर्ग माध्य मूल वेग का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$।
चूंकि वेग समान हैं, इसलिए $\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर, हमें $\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{N_2}}{M_{N_2}}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $T_{O_2} = T_{N_2} \times \frac{M_{O_2}}{M_{N_2}}$।
यहाँ $T_{N_2} = 0 + 273 = 273\,K$, $M_{O_2} = 32\,g/mol$, और $M_{N_2} = 28\,g/mol$ है।
मान रखने पर: $T_{O_2} = 273 \times \frac{32}{28} = 273 \times \frac{8}{7} = 39 \times 8 = 312\,K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $312 - 273 = 39\,^\circ C$।

(A) रूट मीन स्क्वायर वेग $(v_{rms})$ का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2}{n}}$.
दी गई मानों को रखने पर: $v_{rms} = \sqrt{\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}{5}} = \sqrt{\frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5}} = \sqrt{\frac{55}{5}} = \sqrt{11} \ km/s$.
औसत वेग $(v_{av})$ का सूत्र है: $v_{av} = \frac{v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5}{n}$.
दी गई मानों को रखने पर: $v_{av} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \ km/s$.
$v_{rms}$ और $v_{av}$ का अनुपात $\frac{\sqrt{11}}{3}$ है,जो $\sqrt{11} : 3$ है।

(D) गैस के अणुओं का औसत वेग (average speed) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
चूंकि तापमान $T$ दोनों गैसों के लिए समान है,इसलिए औसत वेग मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $v_{av} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$ है।
हीलियम $(He)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_{He} = 4 \text{ g/mol}$ है।
औसत वेग का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{M_{He}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2}$.
अतः,$v_{H_2} = \sqrt{2} \, v_{He}$.

(A) एक आदर्श गैस की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_2 = 2v_1$. इसलिए,वर्ग माध्य मूल चाल प्रारंभिक चाल की दोगुनी हो जाती है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं का रूट मीन स्क्वायर $(r.m.s.)$ वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि ${v_{rms}} \propto \sqrt{T}$।
अतः,$r.m.s.$ वेग परम ताप के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होता है।

(D) गैस के अणु का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $R$ और $T$ दोनों गैसों के लिए समान हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
अतः,ऑक्सीजन $(O_2)$ और हाइड्रोजन $(H_2)$ के वर्ग माध्य मूल वेग का अनुपात $\frac{(v_{rms})_{O_2}}{(v_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$ होगा।
$H_2$ का मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ है और $O_2$ का मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \ g/mol$ है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{(v_{rms})_{O_2}}{(v_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $1:4$ है।

(A) $r.m.s.$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms}$ और $R$ दोनों गैसों के लिए समान हैं,इसलिए $T \propto M$ होगा।
अतः,$\frac{T_{N_2}}{T_{O_2}} = \frac{M_{N_2}}{M_{O_2}}$.
दिया गया है $T_{O_2} = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$.
$N_2$ का मोलर द्रव्यमान $M_{N_2} = 28 \ g/mol$ और $O_2$ का $M_{O_2} = 32 \ g/mol$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_{N_2}}{400} = \frac{28}{32}$.
$T_{N_2} = 400 \times \frac{28}{32} = 350 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_{N_2} = 350 - 273 = 77^{\circ}C$.

(B) $r.m.s.$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$NTP$ पर,तापमान $T = 273.15 \ K$ होता है।
नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 28 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
गैस नियतांक $R = 8.314 \ J/(mol \cdot K)$ है।
मान रखने पर: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{28 \times 10^{-3}}} \approx 517 \ m/s$ (यहाँ $300 \ K$ तापमान के संदर्भ में गणना की गई है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) गैस के अणुओं की औसत चाल का सूत्र ${v_{av}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
जब औसत चाल समान होती है,तो $\sqrt{\frac{8R{T_{H_2}}}{\pi {M_{H_2}}}} = \sqrt{\frac{8R{T_{O_2}}}{\pi {M_{O_2}}}}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,$\frac{{T_{H_2}}}{{M_{H_2}}} = \frac{{T_{O_2}}}{{M_{O_2}}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${T_{H_2}} = {T_{O_2}} \times \frac{{M_{H_2}}}{{M_{O_2}}}$.
यहाँ ${T_{O_2}} = 31 + 273 = 304\,K$,${M_{H_2}} = 2\,g/mol$,और ${M_{O_2}} = 32\,g/mol$ है।
मान रखने पर: ${T_{H_2}} = 304 \times \frac{2}{32} = 304 \times \frac{1}{16} = 19\,K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $19 - 273 = -254\,^oC$.

(B) एक आदर्श गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M$ (मोलर द्रव्यमान) स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक तापमान $T_1 = 120 \ K$ और प्रारंभिक वेग $v_1 = v$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 480 \ K$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}.$
मान रखने पर: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{480}{120}} = \sqrt{4} = 2.$
अतः,$v_2 = 2v$ होगा।

(D) आदर्श गैस का रूट मीन स्क्वायर वेग $(v_{rms})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ या $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$.
सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ से यह स्पष्ट है कि $v_{rms}$ केवल तापमान $(T)$ और गैस के मोलर द्रव्यमान $(M)$ पर निर्भर करता है।
चूंकि तापमान स्थिर है,इसलिए $r.m.s.$ वेग दबाव $(P)$ से स्वतंत्र रहता है।
अतः,यदि दबाव को बढ़ाकर $2P$ कर दिया जाए,तब भी $r.m.s.$ वेग $v$ ही रहेगा।

(C) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में परम तापमान है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $v_{rms}$ केवल तापमान $(T)$ और गैस के मोलर द्रव्यमान $(M)$ पर निर्भर करता है।
यह गैस के दाब $(P)$ से स्वतंत्र है।
अतः,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$।

(A) गैस अणुओं की $r.m.s.$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $r.m.s.$ गति समान है, इसलिए $\sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}}$ होगा।
इसका अर्थ है $\frac{T_{He}}{M_{He}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$, या $T_{He} = T_{H_2} \times \frac{M_{He}}{M_{H_2}}$।
दिया गया है कि $T_{H_2} = 273 \, K$ ($NTP$ पर, $0^\circ C = 273 \, K$), $M_{He} = 4 \, g/mol$, और $M_{H_2} = 2 \, g/mol$ है।
मान रखने पर: $T_{He} = 273 \times \frac{4}{2} = 273 \times 2 = 546 \, K$ प्राप्त होता है।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^\circ C) = 546 - 273 = 273^\circ C$।

(A) किसी भी ग्रह पर वायुमंडल की उपस्थिति का अर्थ है कि $C_{rms} << V_e$ है।
यदि गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $(C_{rms})$ पलायन वेग $(V_e)$ के बराबर या उससे अधिक हो,तो अणुओं के पास ग्रह के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को पार करने के लिए पर्याप्त गतिज ऊर्जा होगी।
परिणामस्वरूप,गैस के अणु अंतरिक्ष में पलायन कर जाएंगे और ग्रह पर कोई वायुमंडल नहीं बचेगा।
इसलिए,वायुमंडल के अस्तित्व में रहने के लिए,अणुओं की औसत गति पलायन वेग से काफी कम होनी चाहिए।

(C) गैस के अणु की औसत चाल का सूत्र: $\langle C \rangle = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ होता है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए औसत चाल मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\langle C \rangle \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
परमाणु हाइड्रोजन $(H)$ का मोलर द्रव्यमान $M_H = 1 \, g/mol$ है और हीलियम $(He)$ का मोलर द्रव्यमान $M_{He} = 4 \, g/mol$ है।
औसत चाल का अनुपात लेने पर:
$\frac{\langle C_H \rangle}{\langle C_{He} \rangle} = \sqrt{\frac{M_{He}}{M_H}} = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2$।
अतः,$\langle C_H \rangle = 2 \langle C_{He} \rangle$ होगा।

(D) गैस के अणुओं का रूट मीन स्क्वायर $(r.m.s.)$ वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान (आणविक भार) है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि दिए गए तापमान $T$ के लिए,$r.m.s.$ वेग आणविक भार $(M)$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,${v_{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.

(A) गैस का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इससे हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$ दिया गया है।
अंतिम तापमान $T_2 = 327^\circ C = 327 + 273 = 600 \ K$ दिया गया है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{600}{300}} = \sqrt{2}$.
अतः,$r.m.s.$ वेग $\sqrt{2}$ के गुणक से बढ़ जाएगा।

(D) वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ को व्यक्तिगत चालों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2}{N}}$
दी गई चालें: $v_1 = 2, v_2 = 3, v_3 = 4, v_4 = 5, v_5 = 6$ और $N = 5$।
वर्गों की गणना: $2^2 = 4, 3^2 = 9, 4^2 = 16, 5^2 = 25, 6^2 = 36$।
वर्गों का योग: $4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90$।
वर्गों का माध्य: $\frac{90}{5} = 18$।
$v_{rms} = \sqrt{18} \approx 4.24$।

(A) गैस के अणु का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $T$ स्थिर है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
हाइड्रोजन अणु $(H_2)$ के लिए,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$.
हीलियम परमाणु $(He)$ के लिए,$M_{He} = 4 \ g/mol$.
अनुपात $\frac{(v_{rms})_{H_2}}{(v_{rms})_{He}} = \sqrt{\frac{M_{He}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ होगा।
अतः,अनुपात $\sqrt{2} : 1$ है।

(C) किसी गैस का रूट मीन स्क्वायर वेग $(v_{rms})$ सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इससे हमें पता चलता है कि $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$ है। हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$ है।
दिया गया है कि $v_{O_2} = C$,इसलिए अनुपात: $\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_{H_2}}{C} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,$v_{H_2} = 4C \ m/s$।

(B) गैस के अणुओं का $R.M.S.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
माना प्रारंभिक $R.M.S.$ वेग $v_1$ है और अंतिम $R.M.S.$ वेग $v_2 = 2v_1$ है।
समानुपातिक संबंध का उपयोग करते हुए: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{300}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{300}$.
अतः,$T_2 = 1200 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 1200 - 273 = 927^{\circ}C$.

(B) आदर्श गैस के $r.m.s.$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 927 + 273 = 1200 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 27 + 273 = 300 \ K$.
वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$r.m.s.$ वेग प्रारंभिक मान का आधा हो जाता है।

(C) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर $(r.m.s.)$ चाल का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $V_{rms}$ केवल तापमान $T$ और गैस की प्रकृति (मोलर द्रव्यमान $M$) पर निर्भर करता है।
यह अणुओं की संख्या या गैस के घनत्व पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि तापमान नियत रहता है और गैस का प्रकार नहीं बदलता है,इसलिए गैस की मात्रा बाहर निकल जाने के बावजूद $r.m.s.$ चाल अपरिवर्तित रहेगी।
अतः,शेष अणुओं की $r.m.s.$ चाल $400 \; m/s$ होगी।

(B) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $V_s = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर:
$\frac{V_{rms}}{V_s} = \frac{\sqrt{\frac{3P}{\rho}}}{\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}} = \sqrt{\frac{3}{\gamma}}$.
अतः,$V_{rms} = \sqrt{\frac{3}{\gamma}} \times V_s$.

(B) वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$।
दो अलग-अलग गैसों के लिए,उनकी $v_{rms}$ चालों का अनुपात: $\frac{(v_{rms})_{O_2}}{(v_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} \times \frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$ होता है।
दिया गया है: $T_{H_2} = 300 \ K$,$T_{O_2} = 900 \ K$,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,और $(v_{rms})_{H_2} = 1930 \ m/s$।
मान रखने पर: $\frac{(v_{rms})_{O_2}}{1930} = \sqrt{\frac{900}{300} \times \frac{2}{32}} = \sqrt{3 \times \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$।
अतः,$(v_{rms})_{O_2} = 1930 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 1930 \times \frac{1.732}{4} \approx 836 \ m/s$।

(A) गैस की $r.m.s.$ गति का सूत्र $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
गैस $A$ के लिए,$C_A = \sqrt{\frac{3RT_A}{M_A}}$।
गैस $B$ के लिए,$C_B = \sqrt{\frac{3RT_B}{M_B}}$।
$r.m.s.$ गति का अनुपात $\frac{C_A}{C_B} = \frac{\sqrt{\frac{3RT_A}{M_A}}}{\sqrt{\frac{3RT_B}{M_B}}} = \sqrt{\frac{T_A}{M_A} \cdot \frac{M_B}{T_B}}$ है।
यह दिया गया है कि $\frac{T_A}{M_A} = 4 \cdot \frac{T_B}{M_B}$,इसलिए $\frac{T_A/M_A}{T_B/M_B} = 4$ है।
इस मान को अनुपात के सूत्र में रखने पर: $\frac{C_A}{C_B} = \sqrt{4} = 2$।

(B) $T$ तापमान पर गैस की तीनों चालों के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
${v_{av}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
${v_{mp}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
गुणांकों की तुलना करने पर:
${v_{rms}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.732 \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}}$
${v_{av}} = \sqrt{\frac{8}{3.14}} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx \sqrt{2.546} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.596 \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}}$
${v_{mp}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.414 \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}}$
अतः,सही संबंध ${v_{rms}} > {v_{av}} > {v_{mp}}$ है।

(B) गैस के अणुओं का वर्ग-माध्य-मूल वेग $(v_{rms})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
दिए गए तापमान $(T)$ पर,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $M_H = 2 \text{ g/mol}$,$M_N = 28 \text{ g/mol}$,और $M_O = 32 \text{ g/mol}$.
चूंकि $M_H < M_N < M_O$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{M_H}} > \frac{1}{\sqrt{M_N}} > \frac{1}{\sqrt{M_O}}$ होगा।
अतः,वेगों के बीच का संबंध ${V_H} > {V_N} > {V_O}$ है।

(B) गैस के अणुओं का माध्य वेग सूत्र $v_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि माध्य वेग मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $v_{av} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
यह दिया गया है कि $He$ परमाणु का द्रव्यमान $(M_{He})$,हाइड्रोजन परमाणु के द्रव्यमान $(M_H)$ का $4$ गुना है,इसलिए $M_{He} = 4M_H$.
माध्य वेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_{He}}{v_H} = \sqrt{\frac{M_H}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{M_H}{4M_H}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$v_{He} = \frac{1}{2} v_H$.

(D) r.m.s. (रूट मीन स्क्वायर) गति को व्यक्तिगत गतियों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है।
सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{N}}$
दी गई गतियाँ $6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 \, m/s$ हैं और $N = 7$ है।
वर्गों का योग ज्ञात करने पर: $v_{rms} = \sqrt{\frac{6^2 + 4^2 + 2^2 + 0^2 + (-2)^2 + (-4)^2 + (-6)^2}{7}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{36 + 16 + 4 + 0 + 4 + 16 + 36}{7}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{112}{7}}$
$v_{rms} = \sqrt{16} = 4 \, m/s$.

(A) गैस के वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ है,जहाँ $P$ दबाव है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
चूंकि दबाव $P$ स्थिर है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ होगा।
अतः,हाइड्रोजन $(v_H)$ और ऑक्सीजन $(v_O)$ के rms वेग का अनुपात $\frac{v_H}{v_O} = \sqrt{\frac{\rho_O}{\rho_H}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि वाष्प घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_H}{\rho_O} = \frac{1}{16}$ है,इसलिए $\frac{\rho_O}{\rho_H} = 16$ होगा।
इस मान को रखने पर,हमें $\frac{v_H}{v_O} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।

(B) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल का सूत्र इस प्रकार है:
${v_{rms}} = \sqrt {\frac{{3RT}}{M}} $
चूंकि $\sqrt 3 \approx 1.732$,हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
${v_{rms}} = \sqrt 3 \sqrt {\frac{{RT}}{M}} = 1.73\sqrt {\frac{{RT}}{M}} $
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) आदर्श गैस की $r.m.s.$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
अतः,गति का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
दिया गया है कि $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 227^\circ C = 227 + 273 = 500 \ K$ है।
यहाँ $v_1 = 400 \ m/s$ है।
मान रखने पर: $\frac{V_s}{400} = \sqrt{\frac{500}{300}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$.
$V_s = 400 \times \sqrt{1.666} \approx 400 \times 1.291 = 516.4 \ m/s$.
पूर्णांक में लेने पर,$V_s = 516 \ m/s$ प्राप्त होता है।