Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Hindi

(C) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $\nu_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है: हाइड्रोजन का तापमान $T_H = 27 \, ^\circ C = 27 + 273 = 300 \, K$.
ऑक्सीजन का मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \, g \, mol^{-1}$.
हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \, g \, mol^{-1}$.
शर्त के अनुसार $\nu_{rms(O_2)} = \nu_{rms(H_2)}$,इसलिए $\sqrt{\frac{3RT_O}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_H}{M_{H_2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,$\frac{T_O}{M_{O_2}} = \frac{T_H}{M_{H_2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_O = T_H \times \frac{M_{O_2}}{M_{H_2}} = 300 \times \frac{32}{2} = 300 \times 16 = 4800 \, K$.

(D) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ निरपेक्ष तापमान $(T)$ के सीधे समानुपाती होती है: $E \propto T$.
$T_1 = 300 \ K$ पर $E_1 = 6.21 \times 10^{-21} \ J$ दिया गया है। $T_2 = 600 \ K$ पर नई गतिज ऊर्जा $E_2$:
$E_2 = E_1 \times (T_2 / T_1) = 6.21 \times 10^{-21} \times (600 / 300) = 12.42 \times 10^{-21} \ J$.
रूट मीन स्क्वायर गति $(\nu_{rms})$ निरपेक्ष तापमान के वर्गमूल के सीधे समानुपाती होती है: $\nu_{rms} \propto \sqrt{T}$.
$T_1 = 300 \ K$ पर $(\nu_{rms})_1 = 325 \ m/s$ दिया गया है। $T_2 = 600 \ K$ पर नई गति $(\nu_{rms})_2$:
$(\nu_{rms})_2 = (\nu_{rms})_1 \times \sqrt{T_2 / T_1} = 325 \times \sqrt{600 / 300} = 325 \times \sqrt{2} \approx 325 \times 1.414 = 459.6 \ m/s$.

(A) दिया गया तापमान,$T = 27^{\circ}C = 273 + 27 = 300 \, K$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_w = 32 \times 10^{-3} \, kg/mol$ है और सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.31 \, J \, mol^{-1} K^{-1}$ है।
$rms$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ है।
मान रखने पर: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 300}{32 \times 10^{-3}}}$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{7479}{0.032}} = \sqrt{233718.75} \approx 483.44 \, ms^{-1}$.
अतः,$rms$ चाल लगभग $483.5 \, ms^{-1}$ है।

(D) रूट मीन स्क्वायर वेग का सूत्र $\nu_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $\nu_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
अतः,अनुपात $\frac{(\nu_{rms})_{H_2}}{(\nu_{rms})_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \, g/mol$ और $M_{H_2} = 2 \, g/mol$ है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{(\nu_{rms})_{H_2}}{(\nu_{rms})_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।

(A) गैस की $rms$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है: $v_{rms} = 1930 \, m/s$,$T = 27 \, ^\circ C = 300 \, K$,और $R = 8.31 \, J/(mol \cdot K)$.
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
मान रखने पर: $M = \frac{3 \times 8.31 \times 300}{(1930)^2} \approx \frac{7479}{3724900} \approx 0.002 \, kg/mol = 2 \, g/mol$.
$2 \, g/mol$ मोलर द्रव्यमान वाली गैस हाइड्रोजन $(H_2)$ है।

(C) गैस के अणुओं की $rms$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ और गैस की प्रकृति (मोलर द्रव्यमान $M$) पर निर्भर करता है।
यह गैस के दबाव,आयतन या अणुओं की संख्या (घनत्व) पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि तापमान स्थिर रहता है और गैस वही रहती है,इसलिए $rms$ चाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
अतः,नई $rms$ चाल $400 \, ms^{-1}$ ही रहेगी।

(A) गैस की $rms$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में परम तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $H_2$ की $rms$ गति $O_2$ की $rms$ गति के बराबर है:
$v_{rms(H_2)} = v_{rms(O_2)}$
$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सामान्य पदों $(3R)$ को हटाने पर:
$\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$
दिए गए मान:
$T_{O_2} = 47^{\circ}C = 47 + 273 = 320 \ K$
$M_{O_2} = 32 \ g/mol$
$M_{H_2} = 2 \ g/mol$
मान रखने पर:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$T_{H_2} = \frac{320}{32} \times 2$
$T_{H_2} = 10 \times 2 = 20 \ K$.

(D) $rms$ (वर्ग माध्य मूल) चाल का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2}{N}}$
दी गई चालें $v_1 = 2, v_2 = 3, v_3 = 4, v_4 = 5, v_5 = 6 \ km/s$ हैं और $N = 5$ है।
$v_{rms} = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{4 + 9 + 16 + 25 + 36}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{90}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{18} \approx 4.24 \ km/s$.

(C) गैस के अणु की $rms$ चाल का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
प्रारंभ में,द्वि-परमाणुक अणु के लिए: $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
जब तापमान को दोगुना किया जाता है,तो नया तापमान $T' = 2T$ हो जाता है।
जब द्वि-परमाणुक अणु दो परमाणुओं में विघटित होता है,तो परमाणु का मोलर द्रव्यमान $M' = \frac{M}{2}$ हो जाता है।
नई $rms$ चाल $v'$ इस प्रकार होगी: $v' = \sqrt{\frac{3RT'}{M'}} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}} = \sqrt{\frac{12RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
प्रारंभिक चाल $v$ का मान रखने पर: $v' = 2v$.

(C) गैस की $rms$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है।
इससे स्पष्ट है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
ध्यान दें कि $rms$ चाल गैस के दाब पर निर्भर नहीं करती है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$ और $v_1 = 200 \, m/s$.
दिया गया है: $T_2 = 127^{\circ}C = 400 \, K$.
समानुपातिकता $v_1 / v_2 = \sqrt{T_1 / T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{200}{v_2} = \sqrt{\frac{300}{400}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$v_2 = \frac{200 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}} \, m/s$.

(D) भाग $L$ में अणुओं की rms चाल इस प्रकार दी गई है: $v_{rms, L} = \sqrt{\frac{3KT}{m_L}}$
भाग $R$ में अणुओं की औसत चाल इस प्रकार दी गई है: $v_{av, R} = \sqrt{\frac{8KT}{\pi m_R}}$
यह दिया गया है कि $v_{rms, L} = v_{av, R}$,इसलिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\sqrt{\frac{3KT}{m_L}} = \sqrt{\frac{8KT}{\pi m_R}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{3KT}{m_L} = \frac{8KT}{\pi m_R}$
दोनों पक्षों से $KT$ को हटाने पर:
$\frac{3}{m_L} = \frac{8}{\pi m_R}$
अनुपात $\frac{m_L}{m_R}$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{m_L}{m_R} = \frac{3\pi}{8}$

(A) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $T$ स्थिर है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
दिया गया है कि $m_1 > m_2 > m_3$,इसलिए $(v_{rms})_1 < (v_{rms})_2 < (v_{rms})_3$ होगा।
गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $\bar{K} = \frac{3}{2}kT$ द्वारा दी जाती है। चूंकि मिश्रण में सभी गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है और आणविक द्रव्यमान से स्वतंत्र होती है।
अतः,$(\bar{K})_1 = (\bar{K})_2 = (\bar{K})_3$ होगा।

(D) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $E \propto T$.
यहाँ $T_1 = 300 \ K$ और $T_2 = 600 \ K$ दिया गया है,इसलिए नई गतिज ऊर्जा $E_2 = E_1 \times (T_2 / T_1) = 6.21 \times 10^{-21} \times (600 / 300) = 12.42 \times 10^{-21} \ J$.
$rms$ चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
यहाँ $v_{rms,1} = 484 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए नई $rms$ चाल $v_{rms,2} = v_{rms,1} \times \sqrt{T_2 / T_1} = 484 \times \sqrt{600 / 300} = 484 \times \sqrt{2} \approx 484 \times 1.414 = 684.37 \ m/s \approx 684 \ m/s$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) गैस के अणु का औसत वेग $v_{av} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $m$ गैस के एक अणु का द्रव्यमान है।
चूंकि सभी पात्रों में तापमान $T$ समान है,इसलिए किसी विशिष्ट गैस का औसत वेग केवल उसके आणविक द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करता है।
पात्र $A$ में,$O_2$ का औसत वेग $V_1 = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_{O_2}}}$ है।
पात्र $C$ में,$O_2$ के अणु समान तापमान $T$ पर हैं और उनका आणविक द्रव्यमान $m_{O_2}$ पात्र $A$ के समान ही है।
पात्र $C$ में मिश्रण में $N_2$ की उपस्थिति $O_2$ के अणुओं के व्यक्तिगत औसत वेग को प्रभावित नहीं करती है।
इसलिए,पात्र $C$ में $O_2$ का औसत वेग $V_1$ ही रहेगा।

(A) गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यह दर्शाता है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
आदर्श गैस के $r.m.s.$ वेग पर दाब का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
दिया गया है कि $T_1 = 27^o C = 300 \,K$ और $v_1 = 200 \,m s^{-1}$।
दिया गया है कि $T_2 = 127^o C = 400 \,K$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
$\frac{v_2}{200} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अतः,$v_2 = 200 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}} \,m s^{-1}$।

(B) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_{\text{escape}} = 11200 \, m/s$ है।
ऑक्सीजन अणुओं के पलायन के लिए,उनकी $rms$ गति पलायन वेग के बराबर होनी चाहिए:
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} = v_{\text{escape}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$11200 = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(11200)^2 = \frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}$
$1.2544 \times 10^8 = \frac{4.14 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}$
$1.2544 \times 10^8 = 1.5 \times 10^3 \times T$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{1.2544 \times 10^8}{1.5 \times 10^3} \approx 8.360 \times 10^4 \, K$.

(B) गैस अणु की वर्ग माध्य मूल $(rms)$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$ है।
अणुओं के लिए पृथ्वी के वायुमंडल से पलायन करने हेतु,उनकी $v_{rms}$ गति पृथ्वी के पलायन वेग $v_e = 11.2 \, km/s = 1.12 \times 10^4 \, m/s$ के बराबर होनी चाहिए।
$v_{rms} = v_e$ रखने पर,$\sqrt{\frac{3k_B T}{m}} = v_e$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3k_B T}{m} = v_e^2$।
तापमान $T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{m v_e^2}{3k_B}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T = \frac{(2.76 \times 10^{-26} \, kg) \times (1.12 \times 10^4 \, m/s)^2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \, JK^{-1}}$।
$T = \frac{2.76 \times 10^{-26} \times 1.2544 \times 10^8}{4.14 \times 10^{-23}}$।
$T = \frac{3.462144 \times 10^{-18}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 8.3626 \times 10^4 \, K$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $8.360 \times 10^4 \, K$ है।

(A) गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होगा।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^o C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 90^o C = 90 + 273 = 363 \ K$ है।
वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{363}{300}} = \sqrt{1.21} = 1.1$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{v_2}{v_1} - 1 \right) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= (1.1 - 1) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$।

(C) गैस का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,हम दो गैसों के लिए अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
यह दिया गया है कि गैस का r.m.s. वेग $(v_1)$,ऑक्सीजन के r.m.s. वेग $(v_2)$ का $\sqrt{2}$ गुना है,इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{2}$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_2 = 32 \text{ g/mol}$ है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\sqrt{2} = \sqrt{\frac{32}{M_1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 = \frac{32}{M_1}$.
$M_1$ के लिए हल करने पर: $M_1 = \frac{32}{2} = 16 \text{ g/mol}$.
$16 \text{ g/mol}$ मोलर द्रव्यमान वाली गैस मीथेन $(CH_4)$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $r.m.s.$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इससे हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$ है।
माना प्रारंभिक स्थिति $v_1, T_1, M_1$ है और अंतिम स्थिति $v_2, T_2, M_2$ है।
दिया गया है: $v_1 = 300 \ m/s$,$M_2 = 2M_1$,और $T_2 = \frac{T_1}{2}$।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2} \times \frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{v_2}{300} = \sqrt{\frac{M_1}{2M_1} \times \frac{T_1/2}{T_1}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$v_2 = \frac{300}{2} = 150 \ m/s$।

(A) गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ परम तापमान है।
स्थिति $(i)$: परम तापमान $T$ दोगुना हो जाता है,इसलिए $T' = 2T$। नया वेग $v'_{rms} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M}} = \sqrt{2} v_{rms} \approx 1.414 v_{rms}$ होगा।
स्थिति $(ii)$: सेंटीग्रेड तापमान $t$ दोगुना हो जाता है,इसलिए $t' = 2t$। परम तापमान $T' = (2t + 273) = 2(T - 273) + 273 = 2T - 273$ हो जाता है। चूँकि $2T - 273 < 2T$,स्थिति $(ii)$ में अंतिम परम तापमान स्थिति $(i)$ की तुलना में कम है।
चूँकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,इसलिए परम तापमान को दोगुना करने पर वेग में वृद्धि,सेंटीग्रेड तापमान को दोगुना करने की तुलना में अधिक होती है। अतः,स्थिति $(i)$ में वृद्धि अधिक होगी।

(D) गैस के अणुओं की औसत गति $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{avg} \propto \sqrt{T}$,यदि औसत गति दोगुनी हो जाती है,तो तापमान $T$ को $2^2 = 4$ के कारक से बढ़ना चाहिए।
एक आदर्श गैस के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ का संबंध आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
एक बंद कंटेनर में,आयतन $V$ और मोल की संख्या $n$ स्थिर रहती है।
इसलिए,$P \propto T$।
चूंकि तापमान $T$ में $4$ के कारक से वृद्धि होती है,इसलिए दबाव $P$ में भी $4$ के कारक से वृद्धि होगी।

(A) रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल $V_{rms} = \sqrt{\frac{(2u)^2 + (10u)^2 + (11u)^2}{3}} = \sqrt{\frac{4u^2 + 100u^2 + 121u^2}{3}} = \sqrt{\frac{225u^2}{3}} = \sqrt{75}u = 5\sqrt{3}u \approx 8.66u$ द्वारा दी जाती है।
औसत (average) चाल $V_{avg} = \frac{2u + 10u + 11u}{3} = \frac{23u}{3} \approx 7.66u$ द्वारा दी जाती है।
दोनों मानों की तुलना करने पर,$V_{rms} - V_{avg} \approx 8.66u - 7.66u = 1u$.
अतः,r.m.s. चाल,औसत चाल से लगभग $u$ अधिक है।

(D) औसत चाल $u_{avg}$ वेगों के योग को अणुओं की संख्या $N$ से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: $u_{avg} = \frac{1+2+3+...+N}{N} = \frac{N(N+1)}{2N} = \frac{N+1}{2}$.
रूट मीन स्क्वायर चाल $u_{rms}$ वेगों के वर्गों के योग को $N$ से विभाजित करके उसका वर्गमूल लेने पर प्राप्त होती है: $u_{rms} = \sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2+...+N^2}{N}} = \sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{6N}} = \sqrt{\frac{(N+1)(2N+1)}{6}}$.
rms चाल और औसत चाल का अनुपात $\frac{u_{rms}}{u_{avg}} = \frac{\sqrt{\frac{(N+1)(2N+1)}{6}}}{\frac{N+1}{2}} = \sqrt{\frac{(N+1)(2N+1)}{6}} \times \frac{2}{N+1} = \sqrt{\frac{2^2(N+1)(2N+1)}{6(N+1)^2}} = \sqrt{\frac{4(2N+1)}{6(N+1)}} = \sqrt{\frac{2(2N+1)}{3(N+1)}}$.

(D) $T$ तापमान पर एक आदर्श गैस के लिए,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
$T$ तापमान पर $m$ द्रव्यमान वाली गैस $A$ के लिए:
माध्य वर्ग वेग $\langle v_A^2 \rangle = \frac{3 k_B T}{m}$ है।
चूंकि गति समदैशिक (isotropic) है,इसलिए $x$-घटक का माध्य वर्ग $w^2 = \langle v_{Ax}^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v_A^2 \rangle = \frac{k_B T}{m}$ होगा।
$T$ तापमान पर $2m$ द्रव्यमान वाली गैस $B$ के लिए:
माध्य वर्ग वेग $v^2 = \langle v_B^2 \rangle = \frac{3 k_B T}{2m}$ है।
अब,$w^2 / v^2$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{w^2}{v^2} = \frac{k_B T / m}{3 k_B T / 2m} = \frac{1}{m} \times \frac{2m}{3} = \frac{2}{3}$.
अतः,अनुपात $2/3$ है।

(B) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$,अनुपात $\frac{V_{rms,2}}{V_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,$T = \frac{PV}{nR}$ प्राप्त होता है।
$T_2$ समतापी वक्र के लिए,ग्राफ से एक बिंदु $(V=2 \text{ m}^3, P=2 \times 10^5 \text{ Pa})$ लेने पर,$T_2 \propto P_2V_2 = (2 \times 10^5) \times 2 = 4 \times 10^5$ प्राप्त होता है।
$T_1$ समतापी वक्र के लिए,ग्राफ से एक बिंदु $(V=1 \text{ m}^3, P=1 \times 10^5 \text{ Pa})$ लेने पर,$T_1 \propto P_1V_1 = (1 \times 10^5) \times 1 = 1 \times 10^5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = \frac{4 \times 10^5}{1 \times 10^5} = 4$ है।
r.m.s. चालों का अनुपात $\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$ होगा।

(B) गैस के अणु का $rms$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि हाइड्रोजन $(H_2)$ का $rms$ वेग ऑक्सीजन $(O_2)$ के $rms$ वेग के बराबर है:
$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सामान्य पदों $(3R)$ को हटाने पर:
$\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$
यहाँ,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,और $T_{O_2} = 47 + 273 = 320 \ K$ है।
मान रखने पर:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_{H_2}}{2} = 10$
$T_{H_2} = 20 \ K$.

(A) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार,$rms$ वेग का सूत्र इस प्रकार है:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
दिए गए तापमान पर,$u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
इसका अर्थ है कि $rms$ वेग गैस के मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
मोलर द्रव्यमानों की तुलना करने पर: $M(H_2) = 2 \ g/mol$,$M(He) = 4 \ g/mol$,$M(N_2) = 28 \ g/mol$,और $M(O_2) = 32 \ g/mol$।
चूंकि $H_2$ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसका $rms$ वेग अधिकतम होगा।

(C) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ चाल का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $V_{rms}$ केवल तापमान $T$ और गैस की प्रकृति (मोलर द्रव्यमान $M$) पर निर्भर करता है।
यह पात्र में उपस्थित गैस के दबाव,आयतन या मात्रा (द्रव्यमान या मोलों की संख्या) पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि तापमान नियत रहता है और गैस की संरचना नहीं बदलती है,इसलिए शेष अणुओं की $rms$ चाल प्रारंभिक $rms$ चाल के समान ही रहेगी।
अतः,$rms$ चाल $90 \times 10^2 \ m/s$ ही रहेगी।

(A) गैस के अणुओं की चाल के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \approx 1.732 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
$\bar{V} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \approx 1.596 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
$V_m = \sqrt{\frac{2kT}{m}} \approx 1.414 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
संख्यात्मक गुणांकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $1.732 > 1.596 > 1.414$ है।
अतः,सही संबंध $V_{rms} > \bar{V} > V_m$ है।

(C) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ चाल का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
चूँकि तापमान $T$ स्थिर रहता है (कमरे का तापमान),इसलिए $rms$ चाल केवल तापमान और गैस की प्रकृति पर निर्भर करती है।
स्थिर तापमान पर गैस का दबाव बदलने से गैस के अणुओं की $rms$ चाल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,$V_1 = V_2$।

(B) किसी गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $(V_{rms})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_W}}$.
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M_W}}$,जहाँ $M_W$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
न्यूनतम $V_{rms}$ प्राप्त करने के लिए,गैस का मोलर द्रव्यमान $(M_W)$ अधिकतम होना चाहिए।
दिए गए गैसों के मोलर द्रव्यमान हैं: $H_2 = 2 \ g/mol$,$O_2 = 32 \ g/mol$,और $CO_2 = 44 \ g/mol$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में $CO_2$ का मोलर द्रव्यमान सबसे अधिक है,इसलिए इसका वर्ग माध्य मूल वेग न्यूनतम होगा।

(B) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ और गैस के मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है।
यह गैस के दाब $P$ से स्वतंत्र है।
चूंकि तापमान $27\,^{\circ}C$ $(300\,K)$ पर स्थिर रहता है और गैस हीलियम ही है,इसलिए दाब के $1\,atm$ से $2\,atm$ में बदलने पर भी $rms$ चाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
अतः,$rms$ चाल $900\,ms^{-1}$ ही रहेगी।

(B) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M_w}$
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M_w$ (गैस का आणविक द्रव्यमान) एक दी गई गैस के लिए नियतांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$v_{rms}^2 \propto T$
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = v_{rms}^2$,$x = T$ और ढाल $m = \frac{3R}{M_w}$ है।
अतः,$v_{rms}^2$ और $T$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(D) गैस के अणु का वर्ग माध्य मूल वेग (तापीय वेग) सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$.
दिए गए मान हैं:
$k_B = 1.4 \times 10^{-23}\,J/K$
$T = 300\,K$
$m_{He} = 7 \times 10^{-27}\,kg$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{3 \times 1.4 \times 10^{-23} \times 300}{7 \times 10^{-27}}}$
$v = \sqrt{\frac{1260 \times 10^{-23}}{7 \times 10^{-27}}}$
$v = \sqrt{180 \times 10^4}$
$v = \sqrt{1.8 \times 10^6}$
$v \approx 1.34 \times 10^3\,m/s$.
अतः,तापीय वेग के सबसे निकटतम मान $1.3 \times 10^3\,m/s$ है।

(A) गैस के अणु की $r.m.s.$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
यहाँ $v_{rms} = 1930 \, m/s$,$T = 300 \, K$ (कमरे का तापमान) और $R = 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$.
$M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
मान रखने पर: $M = \frac{3 \times 8.314 \times 300}{1930^2} \approx \frac{7482.6}{3724900} \approx 0.002008 \, kg/mol$.
यह लगभग $2 \times 10^{-3} \, kg/mol$ है,जो $2 \, g/mol$ के बराबर है।
$H_2$ का मोलर द्रव्यमान $2 \, g/mol$ है। अतः,वह गैस $H_2$ है।

(A) गैस के अणुओं की rms चाल का सूत्र है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$, जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है, $T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है.
चूंकि दोनों गैसें एक ही पात्र में समान तापमान $T = 300\, K$ पर हैं, इसलिए उनकी rms चालों का अनुपात होगा:
$\frac{V_{rms}(\text{हीलियम})}{V_{rms}(\text{आर्गन})} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{He}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{Ar}}}} = \sqrt{\frac{M_{Ar}}{M_{He}}}$
यहाँ $M_{He} = 4\, u$ और $M_{Ar} = 40\, u$ दिया गया है, अतः:
$\frac{V_{rms}(\text{हीलियम})}{V_{rms}(\text{आर्गन})} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$.

(A) गैस अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R = k_B N_A$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान $(2 \times 10^{-3} \, kg/mol)$ है।
पृथ्वी से पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR_e}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों को बराबर करने पर: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{2gR_e}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT}{M} = 2gR_e$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{2gR_e M}{3R}$.
यहाँ $R = k_B N_A \approx 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 10 \times 6.4 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-3}}{3 \times 8.314} = \frac{25600}{24.942} \approx 1026 \, K$.
दिए गए विकल्पों में से,$1026 \, K$ के सबसे निकटतम मान $800 \, K$ (विकल्प $A$) है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणु का $rms$ वेग और उसका तापमान आपस में संबंधित होते हैं।
किसी भी गैस अणु के लिए,औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का संबंध इस प्रकार है:
$\frac{1}{2}m\bar{v}^2 = \frac{3}{2}k_B T$
यहाँ,$\bar{v}$ अणु का $rms$ वेग दर्शाता है।
समीकरण को सरल करने पर:
$m\bar{v}^2 = 3k_B T$
तापमान $T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{m\bar{v}^2}{3k_B}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) गैस के अणुओं की $rms$ चाल का सूत्र: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
ध्यान दें कि $rms$ चाल दाब पर निर्भर नहीं करती है।
दिया गया है: $T_1 = 127\,^oC = 127 + 273 = 400\,K$ और $V_1 = 200\,m/s$।
दिया गया है: $T_2 = 227\,^oC = 227 + 273 = 500\,K$।
समानुपातिकता का उपयोग करने पर: $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
$\frac{V_2}{200} = \sqrt{\frac{500}{400}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$।
$V_2 = 200 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = 100\sqrt{5}\,m/s$।

(D) गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 30 + 273 = 303 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 90 + 273 = 363 \ K$ है।
वेगों का अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{363}{303}} \approx \sqrt{1.198} \approx 1.0945$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{V_2 - V_1}{V_1} \right) \times 100 = (1.0945 - 1) \times 100 \approx 9.45 \%$ है।
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान के अनुसार,प्रतिशत वृद्धि लगभग $10 \%$ है।

(B) वर्ग माध्य मूल $(V_{RMS})$ वेग को व्यक्तिगत चालों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दी गई चालें $V_1 = 1 \, m/s$,$V_2 = 2 \, m/s$,$V_3 = 4 \, m/s$,$V_4 = 8 \, m/s$,और $V_5 = 16 \, m/s$ हैं।
$V_{RMS}$ के लिए सूत्र:
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + V_4^2 + V_5^2}{N}}$
मान रखने पर:
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1^2 + 2^2 + 4^2 + 8^2 + 16^2}{5}}$
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1 + 4 + 16 + 64 + 256}{5}}$
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{341}{5}}$
$V_{RMS} = \sqrt{68.2} \approx 8.258 \, m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $8.2 \, m/s$ है।

(B) रूट मीन स्क्वायर वेग का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M_w$ मोलर द्रव्यमान है।
इससे हम देख सकते हैं कि $V_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M_w}}$ है।
$O_2$ अणुओं के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_w = 32 \ g/mol$ है। दिया गया है कि $T$ तापमान पर $V_{rms} = V$ है।
ऑक्सीजन परमाणुओं $(O)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_w' = 16 \ g/mol$ है। नया तापमान $T' = 2T$ है।
अब,नए $V_{rms}'$ की गणना करते हुए:
$V_{rms}' = V \times \sqrt{\frac{T'}{T} \times \frac{M_w}{M_w'}}$
$V_{rms}' = V \times \sqrt{\frac{2T}{T} \times \frac{32}{16}}$
$V_{rms}' = V \times \sqrt{2 \times 2} = V \times \sqrt{4} = 2V$.

(C) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = \mu RT$ है। चूंकि द्रव्यमान निश्चित है,$\mu$ स्थिर है। अतः,$T \propto PV$ है।
ग्राफ से,हम प्रत्येक तापमान के लिए $PV$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए समतापी वक्रों पर बिंदु चुन सकते हैं।
समतापी वक्र $T_1$ के लिए,$V = 1 \text{ m}^3$ पर,$P = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$ है। अतः,$T_1 \propto (1 \times 1) = 1$ है।
समतापी वक्र $T_2$ के लिए,$V = 2 \text{ m}^3$ पर,$P = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ है। अतः,$T_2 \propto (2 \times 2) = 4$ है।
इसलिए,तापमान का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \frac{4}{1} = 4$ है।
गैस के अणुओं की $r.m.s.$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
अतः,$r.m.s.$ गति का अनुपात $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$ है।

(A) वर्ग माध्य मूल चाल $(V_{rms})$ को अणुओं की व्यक्तिगत चालों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + v_{4}^{2}}{4}}$ है।
दी गई चालें $v_{1} = 1 \ km/s$,$v_{2} = 2 \ km/s$,$v_{3} = 3 \ km/s$,और $v_{4} = 4 \ km/s$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2}}{4}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1 + 4 + 9 + 16}{4}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{30}{4}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{15}{2}} \ km/s$.

(D) गैस के अणुओं की सबसे संभावित गति $v_p$ सूत्र $v_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $v_p \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
इसका अर्थ है कि जिस गैस का मोलर द्रव्यमान कम होगा,उसकी सबसे संभावित गति अधिक होगी।
दी गई गैसों के मोलर द्रव्यमान हैं: $M(O_2) = 32 \text{ g/mol}$,$M(Ne) = 20 \text{ g/mol}$,और $M(He) = 4 \text{ g/mol}$।
इनकी तुलना करने पर,हमें $M(O_2) > M(Ne) > M(He)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,उनकी सबसे संभावित गति का क्रम $v_p(O_2) < v_p(Ne) < v_p(He)$ होगा।
ग्राफ को देखने पर,जैसे-जैसे गति बढ़ती है,वितरण का शिखर दाईं ओर खिसकता जाता है। अतः,शिखरों के अनुरूप गति का क्रम $A < B < C$ है।
इनका मिलान करने पर,हमें $A \to O_2$,$B \to Ne$,और $C \to He$ प्राप्त होता है।

(C) गैस की $rms$ चाल का सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
तापमान $T$ पर ऑक्सीजन के अणुओं $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M$ है। अतः,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \upsilon$.
जब तापमान दोगुना हो जाता है $(T' = 2T)$ और ऑक्सीजन परमाणु ऑक्सीजन $(O)$ में विघटित हो जाती है,तो नया मोलर द्रव्यमान $M' = M/2$ हो जाता है।
नई $rms$ चाल: $v'_{rms} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}} = 2\upsilon$.

(B) गैस की रूट मीन स्क्वायर गति $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
यहाँ $v_2 = \frac{1}{2}v_1$ और $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \, K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{T_2}{273}$.
$T_2 = \frac{273}{4} = 68.25 \, K$.
इस तापमान को सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 68.25 - 273 = -204.75^{\circ}C$.

(D) चूंकि विभाजक डायथर्मिक है,इसलिए निकाय तापीय संतुलन में है,अतः दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान रहेगा।
$L$ भाग में अणुओं की $rms$ गति $v_{rms, L} = \sqrt{\frac{3kT}{m_L}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m_L$ $L$ भाग में एक अणु का द्रव्यमान है।
$R$ भाग में अणुओं की औसत गति $v_{mean, R} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_R}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m_R$ $R$ भाग में एक अणु का द्रव्यमान है।
दिया गया है कि $v_{rms, L} = v_{mean, R}$,इसलिए:
$\sqrt{\frac{3kT}{m_L}} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_R}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{3kT}{m_L} = \frac{8kT}{\pi m_R}$
$\frac{3}{m_L} = \frac{8}{\pi m_R}$
अनुपात $\frac{m_L}{m_R}$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{m_L}{m_R} = \frac{3\pi}{8}$

(A) $O_2$ की औसत चाल $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{O_2}}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M_{O_2} = 32 \times 10^{-3} \, kg/mol$ है।
$N_2$ की $rms$ चाल $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT'}{M_{N_2}}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T' = 47 + 273 = 320 \, K$ और $M_{N_2} = 28 \times 10^{-3} \, kg/mol$ है।
प्रश्न के अनुसार: $\sqrt{\frac{8RT}{\pi \times 32}} = \frac{7}{4} \sqrt{\frac{3R \times 320}{28}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{8RT}{32\pi} = \frac{49}{16} \times \frac{3R \times 320}{28}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{RT}{4\pi} = \frac{49 \times 3R \times 320}{16 \times 28}$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{49 \times 3 \times 320 \times 4\pi}{16 \times 28} \approx 1320 \, K$ ($\pi \approx \frac{22}{7}$ लेने पर)।