Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Hindi

(C) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग (rms velocity) $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
यहाँ प्रारंभिक वेग $v_1 = v$ और तापमान $T_1 = 120\,K$ है,और अंतिम वेग $v_2 = 2v$ है,जो तापमान $T_2$ पर प्राप्त होता है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{2v}{v} = \sqrt{\frac{T_2}{120}}$.
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{120}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{120}$.
अतः,$T_2 = 4 \times 120 = 480\,K$.

(D) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होगा।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^\circ C = 273 \ K$ और प्रारंभिक वेग $(v_{rms})_1 = 0.5 \ km \ sec^{-1}$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 819^\circ C = 819 + 273 = 1092 \ K$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{(v_{rms})_1}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}.$
मान रखने पर: $\frac{0.5}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{273}{1092}}.$
चूंकि $\frac{1092}{273} = 4$ है,इसलिए $\frac{0.5}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.$
अतः,$(v_{rms})_2 = 0.5 \times 2 = 1 \ km \ sec^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$N.T.P.$ पर तापमान $T_1 = 273 \, K$ है।
हमें गति को दोगुना करना है, इसलिए $v_2 = 2v_1$।
मान रखने पर: $\frac{v_1}{2v_1} = \sqrt{\frac{273}{T_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{273}{T_2}$।
$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \, K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ} C) = 1092 - 273 = 819 \, ^{\circ} C$।

(B) गैस की $r.m.s.$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
दिया गया है कि $T_1 = 400\,K$ पर,चाल $v_1 = v$ है।
हमें वह तापमान $T_2$ ज्ञात करना है जिस पर चाल $v_2 = 2v$ हो जाए।
समानुपातिकता $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{2v}{v} = \sqrt{\frac{T_2}{400}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2^2 = \frac{T_2}{400}$.
$4 = \frac{T_2}{400}$.
अतः,$T_2 = 4 \times 400 = 1600\,K$.

(B) गैस अणुओं की रूट मीन स्क्वायर गति $({v_{rms}})$ का सूत्र: ${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए ${v_{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
अतः,${O_2}$ अणुओं के ${v_{rms}}$ और ${H_2}$ अणुओं के ${v_{rms}}$ का अनुपात:
$\frac{{v_{rms, O_2}}}{{v_{rms, H_2}}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$
यहाँ ${H_2}$ का मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$ और ${O_2}$ का मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{{v_{rms, O_2}}}{{v_{rms, H_2}}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.

(A) गैस के अणु की औसत गति का सूत्र $v_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ होता है।
चूंकि $R$ और $T$ दोनों गैसों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $v_{av} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ है।
अतः,औसत गति का अनुपात $\frac{v_{Gas}}{v_{SO_2}} = \sqrt{\frac{M_{SO_2}}{M_{Gas}}}$ होगा।
यह दिया गया है कि गैस की औसत गति $SO_2$ की तुलना में $4$ गुना है,इसलिए $\frac{v_{Gas}}{v_{SO_2}} = 4$ है।
मान रखने पर: $4 = \sqrt{\frac{64}{M_{Gas}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16 = \frac{64}{M_{Gas}}$.
$M_{Gas}$ के लिए हल करने पर: $M_{Gas} = \frac{64}{16} = 4$.
$4$ आण्विक द्रव्यमान वाली गैस हीलियम $(He)$ है।

(D) आदर्श गैस की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ है,जहाँ $P$ दबाव है और $\rho$ घनत्व है।
दबाव $P$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{v_{rms}^2 \rho}{3}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $v_{rms} = 3180 \ m/s$ और $\rho = 8.99 \times 10^{-2} \ kg/m^3$ दिया गया है।
मान रखने पर: $P = \frac{(3180)^2 \times 8.99 \times 10^{-2}}{3}$.
$P = \frac{10112400 \times 0.0899}{3} \approx \frac{909104.76}{3} \approx 303034.9 \ N/m^2$.
चूँकि $1 \ atm = 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$,इसलिए $P \approx \frac{303034.9}{101000} \approx 3 \ atm$।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,चालें इस प्रकार परिभाषित हैं:
${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$,${v_p} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$,और $\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$.
इन मानों की तुलना करने पर:
${v_p} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.414 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8}{3.14}} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.596 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
${v_{rms}} = \sqrt{3} \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1.732 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
अतः,${v_p} < \bar{v} < {v_{rms}}$,जो पुष्टि करता है कि विकल्प $(c)$ सही है।
औसत गतिज ऊर्जा के लिए:
${E_{av}} = \frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{3kT}{m} \right) = \frac{3}{2} kT$.
चूंकि ${v_p}^2 = \frac{2kT}{m}$,इसलिए $kT = \frac{1}{2} m v_p^2$.
इस मान को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
${E_{av}} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} m v_p^2 \right) = \frac{3}{4} m v_p^2$,जो पुष्टि करता है कि विकल्प $(b)$ सही है।
इसलिए,$(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) गैस की वर्ग माध्य मूल चाल $(V_{rms})$ का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
प्रारंभ में,द्विपरमाणुक गैस के लिए,चाल $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
जब तापमान दोगुना किया जाता है,तो नया तापमान $T' = 2T$ हो जाता है।
जब द्विपरमाणुक अणु दो परमाणुओं में विघटित होते हैं,तो नई प्रजाति (परमाणुओं) का मोलर द्रव्यमान मूल मोलर द्रव्यमान का आधा हो जाता है,इसलिए $M' = \frac{M}{2}$ होता है।
नई वर्ग माध्य मूल चाल $V'_{rms}$ इस प्रकार है:
$V'_{rms} = \sqrt{\frac{3RT'}{M'}} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
प्रारंभिक चाल $v$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V'_{rms} = 2v$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि $L$ भाग में एक अणु का द्रव्यमान $m_1$ है और $R$ भाग में एक अणु का द्रव्यमान $m_2$ है। चूंकि विभाजक डायथर्मिक है,इसलिए दोनों गैसों का तापमान $T$ समान होगा।
$L$ भाग में अणुओं की rms चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m_1}}$ है।
$R$ भाग में अणुओं की औसत चाल $v_{mean} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m_2}}$ है।
दिया गया है कि $v_{rms} = v_{mean}$,इसलिए:
$\sqrt{\frac{3 k_B T}{m_1}} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m_2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{3 k_B T}{m_1} = \frac{8 k_B T}{\pi m_2}$
$\frac{3}{m_1} = \frac{8}{\pi m_2}$
अनुपात $\frac{m_1}{m_2}$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{3\pi}{8}$

(D) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_{e} = 11.2 \, km/s = 11.2 \times 10^3 \, m/s$ है।
गैस अणुओं की $r.m.s.$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दोनों को बराबर करने पर,$\sqrt{\frac{3RT}{M}} = v_{e}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{3RT}{M} = v_{e}^2$,जिससे $T = \frac{M v_{e}^2}{3R}$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 2 \times 10^{-3} \, kg/mol$ और सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.31 \, J/(mol \cdot K)$ है।
मान रखने पर: $T = \frac{(2 \times 10^{-3}) \times (11.2 \times 10^3)^2}{3 \times 8.31}$.
$T = \frac{2 \times 10^{-3} \times 125.44 \times 10^6}{24.93} = \frac{250880}{24.93} \approx 10063 \, K$.

(B) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल (root mean square speed) का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M$ (गैस का मोलर द्रव्यमान) नियतांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$v_{rms}^2 \propto T$
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जहाँ $y = v_{rms}^2$,$x = T$ और ढाल $m = \frac{3R}{M}$ है।
अतः,$v_{rms}^2$ और $T$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
यह ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(D) एक आदर्श गैस के रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ वेग $(u)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$u = \sqrt{\frac{3P}{d}}$
जहाँ $P$ दाब है और $d$ गैस का घनत्व है।
चूंकि दाब $(P)$ नियत है,इसलिए $rms$ वेग $(u)$ और घनत्व $(d)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$u \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$
अतः,$rms$ वेग घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(B) एक आदर्श गैस में,अणुओं के वेग सदिश सभी दिशाओं में यादृच्छिक रूप से वितरित होते हैं।
इस समरूपता के कारण,औसत वेग सदिश $\vec{v}$ शून्य होता है,अर्थात $\langle \vec{v} \rangle = 0$।
इसी प्रकार,वेग के किसी भी विषम घात के लिए,जैसे $\langle v^3 \rangle$ या $\langle v^5 \rangle$,औसत मान शून्य होता है क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक घटक एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
हालाँकि,वेग के सम घातों के लिए,जैसे $\langle v^2 \rangle$ या $\langle v^4 \rangle$,मान हमेशा धनात्मक होते हैं क्योंकि वेग के किसी भी घटक का वर्ग या चतुर्थ घात हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।
इसलिए,$\langle v^4 \rangle$ शून्य नहीं होगा।

(D) गैस के अणु का $rms$ वेग $(v_{rms})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M}$ है,जहाँ $m$ गैस का कुल द्रव्यमान है,हम $M = \frac{m}{n}$ लिख सकते हैं।
इस मान को $rms$ वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{(m/n)}} = \sqrt{\frac{3RTn}{m}}$.
निश्चित तापमान पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,$T$,$R$,और $n$ स्थिरांक हैं।
इसलिए,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.

(B) गैस के अणुओं के विभिन्न वेगों के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.732 \sqrt{\frac{RT}{M}}$
$V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.596 \sqrt{\frac{RT}{M}}$
$V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.414 \sqrt{\frac{RT}{M}}$
गुणांकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $1.732 > 1.596 > 1.414$ है।
अतः,सही संबंध $\nu_{rms} > \nu_{av} > \nu_{mp}$ है।

(A) गैस के अणुओं की $rms$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि दिए गए तापमान पर $R$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होता है।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $M_H = 2 \ g/mol$,$M_N = 28 \ g/mol$ और $M_O = 32 \ g/mol$।
चूंकि $M_H < M_N < M_O$ है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{M_H}} > \frac{1}{\sqrt{M_N}} > \frac{1}{\sqrt{M_O}}$ होगा।
अतः,$V_H > V_N > V_O$ सही संबंध है।

(A) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ और गैस के मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है।
चूंकि तापमान $T$ को स्थिर रखा गया है और मोलर द्रव्यमान $M$ गैस का एक गुण है,इसलिए दबाव दोगुना करने पर भी $RMS$ चाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) गैस के अणुओं की $rms$ चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
दिया गया है कि $v_2 = 2v_1$,इसलिए $\frac{2v_1}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$,जिसका अर्थ है $2 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{T_2}{T_1}$,इसलिए $T_2 = 4T_1$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \ K$ है।
अतः,$T_2 = 4 \times 273 \ K = 1092 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $t_2 = 1092 - 273 = 819^{\circ}C$।

(D) एक आदर्श गैस के वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ है,जहाँ $P$ दाब है और $d$ गैस का घनत्व है।
चूंकि दाब $P$ नियत है,इसलिए हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) गैस के अणु का $rms$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
$H_2$ का मोलर द्रव्यमान $(M_{H_2} = 2 \ g/mol)$ $O_2$ के मोलर द्रव्यमान $(M_{O_2} = 32 \ g/mol)$ से बहुत कम है।
इसलिए,$H_2$ का $rms$ वेग $O_2$ के $rms$ वेग से अधिक होता है।
औसत गतिज ऊर्जा के लिए,सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2}kT$ है,जो केवल तापमान पर निर्भर करता है। चूंकि दोनों गैसें समान तापमान पर हैं,इसलिए उनकी औसत गतिज ऊर्जा समान होती है।

(A) $r.m.s.$ गति का सूत्र $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $\upsilon_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$,हम हाइड्रोजन और ऑक्सीजन के लिए गति को बराबर कर सकते हैं:
$\sqrt{\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}}$
यहाँ $T_{O_2} = 47^{\circ}C = 273 + 47 = 320 \ K$,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,और $M_{O_2} = 32 \ g/mol$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_{H_2}}{2} = 10$
$T_{H_2} = 20 \ K$.

(B) गैस का $r.m.s.$ वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
चूंकि तापमान $T$ स्थिर है,$\upsilon_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
मोलर द्रव्यमान के मान हैं: $M_H = 2 \ g/mol$,$M_N = 28 \ g/mol$,और $M_O = 32 \ g/mol$.
चूंकि $M_H < M_N < M_O$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{M_H}} > \frac{1}{\sqrt{M_N}} > \frac{1}{\sqrt{M_O}}$ होगा।
अतः,$V_H > V_N > V_O$ प्राप्त होता है।

(D) गैस की $rms$ चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
$T$ तापमान पर द्वि-परमाणुक गैस के लिए,चाल $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
जब गैस परमाणुओं में वियोजित होती है,तो मोलर द्रव्यमान $M' = \frac{M}{2}$ हो जाता है।
माना नया तापमान $T'$ है। नई $rms$ चाल $2v = \sqrt{\frac{3RT'}{M/2}}$ है।
नई चाल के समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2v)^2 = \frac{3RT'}{M/2} \Rightarrow 4v^2 = \frac{6RT'}{M}$.
चूंकि $v^2 = \frac{3RT}{M}$,इस मान को समीकरण में रखने पर: $4 \left( \frac{3RT}{M} \right) = \frac{6RT'}{M}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{3R}{M}$ को हटाने पर,हमें $4T = 2T'$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $T' = 2T$ मिलता है।

(D) प्रारंभिक तापमान $T_1 = -73^{\circ}C = (-73 + 273) \, K = 200 \, K$ है।
गैस के अणुओं की $rms$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए कि प्रारंभिक $rms$ गति $v$ है और अंतिम $rms$ गति $2v$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{2v}{v} = \sqrt{\frac{T_2}{200}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{200}$।
अतः,$T_2 = 800 \, K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 800 - 273 = 527^{\circ}C$।

(B) गैस की $rms$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए $S.T.P.$ $(T_1 = 273 \ K)$ पर $rms$ गति $v_1$ है और तापमान $T_2$ पर $rms$ गति $v_2$ है।
दिया गया है कि $v_2 = 2v_1$ है।
इसलिए,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \frac{T_2}{T_1}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $(2)^2 = \frac{T_2}{273}$।
$4 = \frac{T_2}{273} \implies T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^oC) = 1092 - 273 = 819 \ ^oC$।

(A) आदर्श गैस का $r.m.s.$ वेग $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\upsilon_{rms} \propto \sqrt{T}$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$.
अनुपात $\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\upsilon_2 = 2\upsilon_1$,जिसका अर्थ है कि $r.m.s.$ वेग दोगुना हो जाता है।

(D) $rms$ (वर्ग माध्य मूल) चाल को $\upsilon_{rms} = \sqrt{\langle \upsilon^2 \rangle}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसकी गणना इस प्रकार की जाती है: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \upsilon_3^2 + \upsilon_4^2 + \upsilon_5^2}{n}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{5}}$.
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{4 + 9 + 16 + 25 + 36}{5}}$.
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{90}{5}} = \sqrt{18}$.
$\upsilon_{rms} \approx 4.24$ इकाई।

(D) चूंकि विभाजन डायथर्मिक है,इसलिए दोनों गैसों का तापमान $T$ समान होगा।
दिया गया है कि $L$ भाग के अणुओं की $rms$ चाल $R$ भाग के अणुओं की औसत चाल के बराबर है:
$V_{rms, L} = V_{avg, R}$
$\sqrt{\frac{3kT}{m_L}} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_R}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{3kT}{m_L} = \frac{8kT}{\pi m_R}$
$\frac{3}{m_L} = \frac{8}{\pi m_R}$
अनुपात $\frac{m_L}{m_R}$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{m_L}{m_R} = \frac{3\pi}{8}$

(C) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि तापमान $(T)$ स्थिर रहता है और गैस की प्रकृति $(M)$ नहीं बदलती है,इसलिए $v_{rms}$ केवल तापमान पर निर्भर करता है।
भले ही रिसाव के कारण पात्र में गैस की मात्रा कम हो जाए,तापमान स्थिर रहता है।
इसलिए,शेष गैस के अणुओं का $v_{rms}$ अपरिवर्तित रहेगा और $400 \ ms^{-1}$ ही रहेगा।

(A) दिया गया है: तापमान $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$।
रूट मीन स्क्वायर गति $\nu_{rms} = 1930 \, m/s$।
गैस नियतांक $R = 8.3 \, J/mol \cdot K$।
$\nu_{rms}$ का सूत्र $\nu_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\nu_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$M = \frac{3RT}{\nu_{rms}^2}$।
मान रखने पर: $M = \frac{3 \times 8.3 \times 300}{(1930)^2}$।
$M = \frac{7470}{3724900} \approx 0.002 \, kg/mol = 2 \, g/mol$।
$H_2$ का मोलर द्रव्यमान $2 \, g/mol$ है।
अतः,वह गैस $H_2$ है।

(D) गैस का $r.m.s.$ वेग $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि तापमान $T$ समान है,इसलिए $\upsilon_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
अतः,ऑक्सीजन $(O_2)$ और हाइड्रोजन $(H_2)$ के $r.m.s.$ वेग का अनुपात:
$\frac{(\upsilon_{rms})_{O_2}}{(\upsilon_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$ होगा।
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \ g/mol$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{(\upsilon_{rms})_{O_2}}{(\upsilon_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$।
अतः,अनुपात $1:4$ है।

(D) रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ गति को व्यक्तिगत गतियों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{N}}$
दी गई गतियाँ: $v_1 = 2, v_2 = 3, v_3 = 4, v_4 = 5, v_5 = 6$ और $N = 5$.
गणना: $v_{rms} = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{4 + 9 + 16 + 25 + 36}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{90}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{18} \approx 4.24$ इकाई।

(A) $rms$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ है,जहाँ $R = 8.31 \ J/(mol \cdot K)$,$T = 27 + 273 = 300 \ K$,और $v_{rms} = 412 \ m/s$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M_w}$ प्राप्त होता है।
मोलर द्रव्यमान $M_w$ के लिए सूत्र: $M_w = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$।
मान रखने पर: $M_w = \frac{3 \times 8.31 \times 300}{412^2} \approx \frac{7479}{169744} \approx 0.044 \ kg/mol = 44 \ g/mol$।
$CO_2$ का मोलर द्रव्यमान $12 + (2 \times 16) = 44 \ g/mol$ है। अतः,वह गैस $CO_2$ है।

(D) $rms$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यहाँ $H_2$ अणु की $T$ तापमान पर $rms$ चाल,$N_2$ अणु की $T_2 = 27^{\circ}C = 300 \ K$ तापमान पर $rms$ चाल के बराबर है।
अतः,$\sqrt{\frac{3RT}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_2}{M_{N_2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T}{M_{H_2}} = \frac{T_2}{M_{N_2}}$.
दिया गया है कि $M_{N_2} = 14 \times M_{H_2}$.
मान रखने पर: $\frac{T}{M_{H_2}} = \frac{300}{14 \times M_{H_2}}$.
$T = \frac{300}{14} \approx 21.4 \ K$.

(B) $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि हाइड्रोजन $(H_2)$ का $rms$ वेग ऑक्सीजन $(O_2)$ के $rms$ वेग के बराबर है:
$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर और समान पदों $(3R)$ को हटाने पर:
$\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$
यहाँ,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,और $T_{O_2} = 47 + 273 = 320 \ K$ है।
मान रखने पर:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_{H_2}}{2} = 10$
$T_{H_2} = 20 \ K$.

(B) रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
हाइड्रोजन के लिए $T_1 = 300 \ K$ और $M_1 = 2 \ g/mol$:
$(v_{rms})_H = \sqrt{\frac{3RT_1}{M_1}} = 1930 \ m/s \implies 1930 = \sqrt{\frac{3R(300)}{2}} \quad \dots(1)$
ऑक्सीजन के लिए $T_2 = 900 \ K$ और $M_2 = 32 \ g/mol$:
$(v_{rms})_O = \sqrt{\frac{3RT_2}{M_2}} = \sqrt{\frac{3R(900)}{32}}$
$(v_{rms})_O = \sqrt{\frac{3R(300) \times 3}{16 \times 2}} = \sqrt{3} \times \frac{1}{4} \times \sqrt{\frac{3R(300)}{2}}$
समीकरण $(1)$ का मान रखने पर:
$(v_{rms})_O = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1930 = \frac{1.732}{4} \times 1930 \approx 836 \ m/s$.

(D) गैस का $rms$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ एक अणु का द्रव्यमान है।
गैस $A$ के लिए,अणु का द्रव्यमान $m$ है। अतः,$v_{rms, A}^2 = \frac{3kT}{m}$।
माध्य वर्ग वेग $\langle v^2 \rangle = v_{rms}^2$ है। माध्य वर्ग वेग का $x$-घटक $\langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle = \frac{1}{3} \frac{3kT}{m} = \frac{kT}{m}$ होता है। इसलिए,$w^2 = \frac{kT}{m}$।
गैस $B$ के लिए,अणु का द्रव्यमान $2m$ है। अतः,$v^2 = v_{rms, B}^2 = \frac{3kT}{2m}$।
अब,अनुपात $\frac{w^2}{v^2} = \frac{kT/m}{3kT/2m} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3} \approx 0.67$।

(A) गैस के अणुओं का $rms$ वेग सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
$rms$ वेग गैस के दाब पर निर्भर नहीं करता है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$,$v_1 = 200 \, m \, s^{-1}$।
नया तापमान: $T_2 = 127^{\circ}C = 400 \, K$।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $v_2 = v_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$:
$v_2 = 200 \sqrt{\frac{400}{300}} = 200 \sqrt{\frac{4}{3}} = 200 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}} \, m \, s^{-1}$।

(B) $rms$ (वर्ग माध्य मूल) चाल की परिभाषा के अनुसार:
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\langle \upsilon^2 \rangle}$
यहाँ,माध्य वर्ग चाल $\langle \upsilon^2 \rangle$ इस प्रकार दी जाती है:
$\langle \upsilon^2 \rangle = \frac{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \upsilon_3^2 + \dots + \upsilon_n^2}{n}$
अतः,$rms$ चाल है:
$\upsilon_{rms} = [\frac{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \upsilon_3^2 + \dots + \upsilon_n^2}{n}]^{1/2}$

(D) गैस अणुओं की $rms$ चाल का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$
दिया गया है:
तापमान $T = 300 \ K$
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.31 \ J/(mol \cdot K)$
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_w = 2 \ g/mol = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$
सूत्र में मान रखने पर:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 300}{2 \times 10^{-3}}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{7479}{2 \times 10^{-3}}}$
$v_{rms} = \sqrt{3739500}$
$v_{rms} \approx 1933.7 \ m/s$
सार्थक अंकों के अनुसार:
$v_{rms} \approx 1.93 \times 10^3 \ m/s$

(D) रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ वेग को व्यक्तिगत वेगों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 + \upsilon_3^2 + \upsilon_4^2 + \upsilon_5^2}{N}}$
दिए गए वेग: $\upsilon_1 = 2, \upsilon_2 = 3, \upsilon_3 = 4, \upsilon_4 = 5, \upsilon_5 = 6$ और $N = 5$.
गणना: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{5}}$
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{4 + 9 + 16 + 25 + 36}{5}}$
$\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{90}{5}}$
$\upsilon_{rms} = \sqrt{18}$
$\upsilon_{rms} \approx 4.24$

(D) पृथ्वी से पलायन वेग $v_{e} = 11.2 \, km/s = 11.2 \times 10^{3} \, m/s$ है।
गैस अणु की $r.m.s.$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
$v_{rms}$ को पलायन वेग $v_{e}$ के बराबर रखने पर:
$v_{e} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$v_{e}^{2} = \frac{3RT}{M}$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{M v_{e}^{2}}{3R}$
हाइड्रोजन $(H_{2})$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 2 \times 10^{-3} \, kg/mol$ और सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.31 \, J/(mol \cdot K)$ है।
मान रखने पर:
$T = \frac{(2 \times 10^{-3}) \times (11.2 \times 10^{3})^{2}}{3 \times 8.31}$
$T = \frac{2 \times 10^{-3} \times 125.44 \times 10^{6}}{24.93}$
$T = \frac{250.88 \times 10^{3}}{24.93} \approx 10063 \, K$.

(C) गैस के अणुओं की औसत चाल का सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
ऑक्सीजन का तापमान $T_{O_2} = 31 + 273 = 304 \ K$ दिया गया है।
औसत चाल को बराबर करने पर: $\sqrt{\frac{8RT_{H_2}}{\pi M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{8RT_{O_2}}{\pi M_{O_2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर: $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{304}{32}$.
$T_{H_2} = \frac{304 \times 2}{32} = \frac{304}{16} = 19 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^oC) = 19 - 273 = -254^oC$.

(A) $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि हाइड्रोजन $(H_2)$ का $rms$ वेग ऑक्सीजन $(O_2)$ के $rms$ वेग के बराबर है:
$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर और समान पदों $(3R)$ को हटाने पर:
$\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$
यहाँ $T_{O_2} = 47^{\circ}C = 47 + 273 = 320 \ K$ है।
$H_2$ का आणविक द्रव्यमान $(M_{H_2})$ = $2 \ g/mol$ है।
$O_2$ का आणविक द्रव्यमान $(M_{O_2})$ = $32 \ g/mol$ है।
मान रखने पर:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_{H_2}}{2} = 10$
$T_{H_2} = 20 \ K$.

(D) गैस का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$v_{rms} = v_e = 11.2 \times 10^3 \ m/s$।
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_w = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\sqrt{\frac{3RT}{M_w}} = 11.2 \times 10^3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT}{M_w} = (11.2 \times 10^3)^2$।
$T = \frac{(11.2 \times 10^3)^2 \times M_w}{3R}$।
$R = 8.314 \ J/(mol \cdot K)$ और $M_w = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ का मान रखने पर:
$T = \frac{125.44 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-3}}{3 \times 8.314} \approx \frac{250.88 \times 10^3}{24.942} \approx 10058 \ K$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$T \approx 10075 \ K$ प्राप्त होता है।

(D) बाईं ओर की गैस के लिए $rms$ वेग: $\upsilon_{rms} = \sqrt{\frac{3KT}{m_L}}$.
दाईं ओर की गैस के लिए औसत वेग: $\upsilon_{avg} = \sqrt{\frac{8KT}{\pi m_R}}$.
प्रश्न के अनुसार,बाईं ओर की गैस का $rms$ वेग = दाईं ओर की गैस का औसत वेग:
$\sqrt{\frac{3KT}{m_L}} = \sqrt{\frac{8KT}{\pi m_R}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{3KT}{m_L} = \frac{8KT}{\pi m_R}$.
दोनों पक्षों से $KT$ को हटाने पर:
$\frac{3}{m_L} = \frac{8}{\pi m_R}$.
अतः,अणुओं के द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_L}{m_R} = \frac{3\pi}{8}$ होगा।

(B) आदर्श गैस के अणु का वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ अणु का द्रव्यमान है।
अणु का संवेग $p = mv$ होता है।
पात्र $A$ के लिए,$p_A = m_A v_A = m_A \sqrt{\frac{3kT}{m_A}} = \sqrt{3kT m_A}$।
पात्र $B$ के लिए,$p_B = m_B v_B = m_B \sqrt{\frac{3kT}{m_B}} = \sqrt{3kT m_B}$।
दोनों संवेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{p_A}{p_B} = \frac{\sqrt{3kT m_A}}{\sqrt{3kT m_B}} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}} = \left( \frac{m_A}{m_B} \right)^{1/2}$।
अतः,$p_A = \left( \frac{m_A}{m_B} \right)^{1/2} p_B$।

(C) औसत चाल $v_{av} = \frac{0 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 9}{10} = \frac{42}{10} = 4.2 \ m/s$.
$rms$ चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{0^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 + 5^2 + 5^2 + 6^2 + 9^2}{10}} = \sqrt{\frac{0 + 4 + 9 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 36 + 81}{10}} = \sqrt{\frac{228}{10}} = \sqrt{22.8} \approx 4.77 \ m/s$.
अधिकतम संभावित चाल $v_{mp}$ वह चाल है जो सबसे अधिक बार आती है। यहाँ,$4$ तीन बार आता है,जो किसी भी अन्य मान से अधिक है। अतः,$v_{mp} = 4 \ m/s$.