Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Gujarati

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કણને વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g \propto \frac{1}{R}$ છે,જેને કોઈ અચળાંક $K$ માટે $F_g = \frac{K}{R}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{mv^2}{R} = \frac{K}{R}$.
બંને બાજુથી $R$ દૂર કરતા,આપણને $mv^2 = K$ મળે છે.
અહીં $m$ અને $K$ અચળાંક હોવાથી,$v^2$ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $v$ અચળ છે.
તેથી,$v \propto R^0$.

(B) ગ્રહની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ગ્રહના કેન્દ્ર તરફ લાગતું કેન્દ્રીય બળ છે.
કેન્દ્રીય બળ દ્વારા ગ્રહના કેન્દ્રની સાપેક્ષે લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી $(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0)$,કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $(\vec{L})$ અચળ રહે છે.
લંબગોળ કક્ષામાં વેગ,સ્થિતિ ઊર્જા અને પ્રવેગ ગ્રહથી અંતરના આધારે બદલાય છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$T^2 \propto r^3$ અથવા $T \propto r^{3/2}$.
જ્યારે ઉપગ્રહને પૃથ્વી તરફ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ઘટે છે.
જેથી $T \propto r^{3/2}$ હોવાથી,$r$ માં ઘટાડો થવાને કારણે આવર્તકાળ $(T)$ માં પણ ઘટાડો થશે.

(C) સેટેલાઇટમાં,ખુરશી અને વ્યક્તિ બંને પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં હોય છે. બંનેનો પ્રવેગ સમાન (તે ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો) હોવાથી,તેમની વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી. પરિણામે,ખુરશી વ્યક્તિ પર કોઈ સંપર્ક બળ (લંબબળ) લગાડતી નથી. વજનનો અનુભવ સપાટી દ્વારા લાગતા લંબબળને કારણે થતો હોવાથી,આ બળની ગેરહાજરીને કારણે વ્યક્તિ વજનહીનતા અનુભવે છે.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
તેથી,ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$ થશે.
આપેલ છે કે $r_A = 4R$ અને $r_B = R$,તેથી $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
ઉપગ્રહ $A$ ની ઝડપ $v_A = 3v$ હોવાથી,ઉપગ્રહ $B$ ની ઝડપ $v_B = 2 \times v_A = 2 \times 3v = 6v$ થશે.

(B) ઉપગ્રહને પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = m g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં આપેલી શરત મુજબ $g = \frac{GM}{R^3}$ છે.
કેન્દ્રગામી બળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સાથે સરખાવતા:
$m \omega^2 R = m g$
$m \left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R = m \left( \frac{GM}{R^3} \right)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{4\pi^2}{T^2} R = \frac{GM}{R^3}$
$\frac{1}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2 R^4}$
તેથી,$T^2 \propto R^4$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto R^2$.

(B) સૂર્યથી $r$ અંતરે રહેલા ગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $M$ એ સૂર્યનું દળ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
ગુરુ ગ્રહની કક્ષીય ત્રિજ્યા $(r_J)$ એ પૃથ્વીની કક્ષીય ત્રિજ્યા $(r_e)$ કરતા વધારે હોવાથી,ગુરુ ગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $(v_J)$ એ પૃથ્વીની કક્ષીય ઝડપ $(v_e)$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી,$v_J < v_e$.

(C) પૃથ્વી સૂર્યની આસપાસ લંબગોળ માર્ગે ફરે છે. લંબગોળના ગુણધર્મો મુજબ:
${r_1} = a(1 + e)$ (મહત્તમ અંતર)
${r_2} = a(1 - e)$ (ન્યૂનતમ અંતર)
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,${r_1} + {r_2} = 2a$,તેથી $a = \frac{{{r_1} + {r_2}}}{2}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,${r_1}{r_2} = a^2(1 - e^2)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી ${r_1}{r_2} = b^2$.
જ્યારે પૃથ્વી મુખ્ય ધરીને લંબ હોય ત્યારે સૂર્યથી તેનું અંતર એ લંબગોળનું અર્ધ-લેટસ રેક્ટમ $(l)$ છે.
અર્ધ-લેટસ રેક્ટમનું સૂત્ર $l = \frac{{{b^2}}}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$l = \frac{{{r_1}{r_2}}}{({r_1} + {r_2})/2} = \frac{{2{r_1}{r_2}}}{{{r_1} + {r_2}}}$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$ અથવા $T \propto r^{3/2}$.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = R$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. તેનો સમયગાળો $T_1 = 83 \text{ minutes}$ છે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષા સપાટીથી $3R$ અંતરે છે,તેથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + 3R = 4R$ થશે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{83} = \left( \frac{4R}{R} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$.
ગણતરી કરતા: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,$T_2 = 83 \times 8 = 664 \text{ minutes}$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $R_0$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન $L$ ની વ્યાખ્યા $L = mvr$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R_0}} \times R_0$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,$L = m \sqrt{GM R_0}$ મળે છે.

(C) સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે.
કેન્દ્રીય બળ હંમેશા એક નિશ્ચિત બિંદુ (સૂર્યનું કેન્દ્ર) તરફ અથવા તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
કેન્દ્રીય બળ દ્વારા બળના કેન્દ્રની આસપાસ લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે બળ $\vec{F}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ને સમાંતર છે,તેથી સદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \times \vec{F} = 0$ થાય છે.
ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,સૌર મંડળમાં ગ્રહોની ગતિ કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા સંચાલિત થાય છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $(r)$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
આ સંબંધને $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $M$ એ કેન્દ્રીય પદાર્થ (દા.ત. પૃથ્વી) નું દળ છે.
નોંધો કે ઉપગ્રહનું દળ $(m)$ આવર્તકાળના સૂત્રમાં આવતું નથી.
આવર્તકાળ $(T)$ અચળ રહે છે અને કેન્દ્રીય પદાર્થનું દળ $(M)$ બદલાતું નથી,તેથી કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ પણ અચળ રહેવી જોઈએ.
તેથી,બે કિસ્સાઓમાં કક્ષાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ધૂમકેતુનું કોણીય વેગમાન તેની ભ્રમણકક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
$L = mvr \sin(\theta) = \text{અચળ}$.
પેરિહેલિયન (સૌથી નજીક) અને એફેલિયન (સૌથી દૂર) બિંદુઓ પર,વેગ સદિશ એ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$.
આમ,$m v_{\text{near}} r_{\text{near}} = m v_{\text{far}} r_{\text{far}}$.
આપેલ છે:
$r_{\text{near}} = 1.6 \times 10^{12} \, m$
$r_{\text{far}} = 8 \times 10^{12} \, m$
$v_{\text{near}} = 60 \, m/s$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$60 \times 1.6 \times 10^{12} = v_{\text{far}} \times 8 \times 10^{12}$
$v_{\text{far}} = \frac{60 \times 1.6}{8} = \frac{96}{8} = 12 \, m/s$.

(D) ગ્રહની આસપાસ ફરતા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$, જ્યાં $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે, $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે, અને $M$ એ ગ્રહ (પૃથ્વી) નું દળ છે।
નોંધો કે ઉપગ્રહ (ચંદ્ર) નું દળ આ સૂત્રમાં આવતું નથી।
સમયગાળો ઉપગ્રહના દળ પર આધારિત ન હોવાથી, ચંદ્રના દળમાં ફેરફાર કરવાથી તેના પરિભ્રમણ સમયગાળા પર કોઈ અસર થશે નહીં।
તેથી, સમયગાળો $29$ દિવસ જ રહેશે।

(D) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે પરિભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષાનો વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ હોવાથી,આપણે તેને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$L = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = m \sqrt{GMr}$.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $L \propto \sqrt{r}$.
ધારો કે $r_1 = r$ અંતરે $L_1 = L$ છે અને $r_2 = 16r$ અંતરે નવું કોણીય વેગમાન $L_2$ છે.
તેથી,$\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{16r}{r}} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,$L_2 = 4L_1 = 4L$.

(A) ગ્રહની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ચંદ્ર માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ધારો કે $M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $m$ એ ચંદ્રનું દળ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{GMm}{R^2}$ છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m\omega^2 R$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
બંને બળોને સરખાવતા: $m\omega^2 R = \frac{GMm}{R^2}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા: $m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{GMm}{R^2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{4\pi^2}{T^2} R = \frac{GM}{R^2}$.
$M$ માટે ઉકેલતા: $M = \frac{4\pi^2 R^3}{GT^2} = 4\pi^2 R^3 G^{-1} T^{-2}$.

(C) પૃથ્વીની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કક્ષીય વેગ $v$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
આપેલ છે કે $r_1 > r_2$,તેથી $\sqrt{r_1} > \sqrt{r_2}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{r_1}} < \frac{1}{\sqrt{r_2}}$,જે સૂચવે છે કે $v_1 < v_2$.

(B) ગ્રહની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g \propto R^{-5/2}$ તરીકે આપેલ છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 R = m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 R = \frac{4\pi^2 m R}{T^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{m R}{T^2} \propto R^{-5/2}$.
$T^2$ માટે ગોઠવતા: $\frac{1}{T^2} \propto \frac{R^{-5/2}}{R} = R^{-7/2}$.
તેથી,$T^2 \propto R^{7/2}$.

(A) પૃથ્વી દ્વારા ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,ઉપગ્રહનો પ્રવેગ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,પૃથ્વીના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ઉપગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોય છે. તેથી,ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ રહે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં,ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા તેની કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
લંબગોળ કક્ષામાં પૃથ્વીથી ઉપગ્રહનું અંતર $r$ બદલાતું હોવાથી,કોણીય વેગમાન $(L = mvr \sin \theta)$ જાળવી રાખવા માટે કક્ષીય વેગ $v$ બદલાવો જોઈએ. પરિણામે,રેખીય વેગમાન $p = mv$ અચળ રહેતું નથી.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ એ $F \propto \frac{1}{R^n}$ મુજબ આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે,આ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F = m\omega^2 R = m\left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$m\left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R \propto \frac{1}{R^n}$.
અહીં $m$ અને $4\pi^2$ અચળાંક હોવાથી:
$\frac{R}{T^2} \propto \frac{1}{R^n}$.
$T^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$T^2 \propto R \cdot R^n = R^{n+1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$T \propto R^{\left( \frac{n+1}{2} \right)}$.

(C) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ સાથે $T \propto r^{3/2}$ સંબંધ ધરાવે છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\ln T = \frac{3}{2} \ln r$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને આંશિક ફેરફાર મળે છે: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{3}{2} \frac{\Delta r}{r}$.
અહીં ત્રિજ્યા $R$ થી વધીને $(1.01)R$ થાય છે,તેથી ત્રિજ્યામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 1\%$ છે.
તેથી,આવર્તકાળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{3}{2} \times (1\%) = 1.5\%$ છે.
આમ,બીજા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ આશરે $1.5\%$ જેટલો વધારે છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,$T_1 = 24\, h$ અને $r_1 = 36000\, km$.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,$r_2 \approx R_{\text{Earth}} = 6400\, km$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 24 \times \left( \frac{6400}{36000} \right)^{3/2}$.
$T_2 = 24 \times \left( \frac{64}{360} \right)^{3/2} \approx 24 \times 0.075 \approx 1.8\, h$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આવર્તકાળ આશરે $2\, hours$ મળે છે.

(A) ગ્રહ અને ઉપગ્રહ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_g = F_c$
$\frac{G M m}{r^2} = m r \omega^2$
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{G M m}{r^2} = m r \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2$
$\frac{G M}{r^2} = r \frac{4\pi^2}{T^2}$
$M$ માટે ઉકેલતા:
$M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$

(B) સૌર મંડળમાં કુલ $8$ ગ્રહો આવેલા છે. બુધ એ સૂર્યની સૌથી નજીકનો ગ્રહ છે,ત્યારબાદ શુક્ર,પૃથ્વી,મંગળ,ગુરુ,શનિ,યુરેનસ અને નેપ્ચ્યુન આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે બે તારાઓના દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 2m$ છે,જે $l$ અંતરે અલગ છે.
દળ $m$ ધરાવતા તારાથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $r_1 = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2} = \frac{2ml}{3m} = \frac{2l}{3}$ છે.
તારાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પરિભ્રમણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$\frac{G(m)(2m)}{l^2} = m \omega^2 r_1 = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \left(\frac{2l}{3}\right)$.
$\frac{2Gm^2}{l^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} \frac{2l}{3}$.
$\frac{Gm}{l^2} = \frac{4\pi^2 l}{3T^2}$.
$T^2 = \frac{4\pi^2 l^3}{3Gm}$.
$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 l^3}{3Gm}} = 2\pi \sqrt{\frac{l^3}{3Gm}}$.
આમ,$T \propto m^{-1/2}$.

(B) આકાશગંગાનું દળ $M$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $M = \frac{v^2 r}{G}$.
આપેલ છે:
ઝડપ $v = 250 \, km/s = 2.5 \times 10^5 \, m/s$.
ત્રિજ્યા $r = 3 \times 10^4 \, \text{light years}$.
$1 \, \text{light year} \approx 9.46 \times 10^{15} \, m$ હોવાથી, $r = 3 \times 10^4 \times 9.46 \times 10^{15} \, m \approx 2.84 \times 10^{20} \, m \approx 3 \times 10^{20} \, m$.
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{(2.5 \times 10^5)^2 \times (3 \times 10^{20})}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M = \frac{6.25 \times 10^{10} \times 3 \times 10^{20}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M = \frac{18.75 \times 10^{30}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 2.81 \times 10^{41} \, kg$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, $M \approx 3 \times 10^{41} \, kg$ મળે છે.

(B) બાઈનરી સ્ટાર સિસ્ટમ માટે, સૌર દળ, એસ્ટ્રોનોમિકલ યુનિટ અને વર્ષના એકમોમાં કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ દળનો સરવાળો $M_1 + M_2 = \frac{r^3}{T^2}$ થાય છે।
અહીં $r = 30 \text{ AU}$ અને $T = 30 \text{ years}$ આપેલ છે, તેથી $M_1 + M_2 = \frac{30^3}{30^2} = 30 \text{ solar masses}$ .....$(i)$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ, $M_1 r_1 = M_2 r_2$। આપેલ છે કે એક તારો બીજા કરતા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $5$ ગણો દૂર છે, તેથી $r_2 = 5r_1$ લો। આમ, $M_1 r_1 = M_2 (5r_1)$, જે સૂચવે છે કે $M_1 = 5M_2$ .....$(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $5M_2 + M_2 = 30 \Rightarrow 6M_2 = 30 \Rightarrow M_2 = 5 \text{ solar masses}$.
તેથી $M_1 = 5(5) = 25 \text{ solar masses}$.
આમ, બંને તારાઓના દળ $25$ અને $5$ સૌર દળ છે।

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પેરિહેલિયન (સૂર્યની નજીકનું બિંદુ) અને એફેલિયન (સૂર્યથી દૂરનું બિંદુ) પર કુલ ઉર્જા સમાન હોય છે:
$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_Sm}{r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_Sm}{r_2}$
કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી $L = mv_1r_1 = mv_2r_2$,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = v_1\frac{r_1}{r_2}$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $v_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_Sm}{r_1} = \frac{1}{2}m\left(v_1\frac{r_1}{r_2}\right)^2 - \frac{GM_Sm}{r_2}$
$v_1$ માટે ઉકેલતા:
$v_1^2 \left(1 - \frac{r_1^2}{r_2^2}\right) = 2GM_S \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$
$v_1^2 \left(\frac{r_2^2 - r_1^2}{r_2^2}\right) = 2GM_S \left(\frac{r_2 - r_1}{r_1r_2}\right)$
$v_1 = \sqrt{\frac{2GM_Sr_2}{r_1(r_1 + r_2)}}$
અંતે,કોણીય વેગમાન $L = mv_1r_1 = m \sqrt{\frac{2GM_Sr_2}{r_1(r_1 + r_2)}} \cdot r_1 = \sqrt{\frac{2GM_Sm^2r_1r_2}{r_1 + r_2}}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહ માટે ક્ષેત્રીય વેગ $(\frac{dA}{dt})$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$.
આપેલ છે:
દળ $(m) = 500 \ kg$
ક્ષેત્રીય વેગ $(\frac{dA}{dt}) = 4 \times 10^4 \ m^2s^{-1}$.
કોણીય વેગમાન $(L)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$L = 2m \times \frac{dA}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L = 2 \times 500 \times (4 \times 10^4)$.
$L = 1000 \times 4 \times 10^4$.
$L = 4 \times 10^7 \ kg \ m^2s^{-1}$.
આમ,કોણીય વેગમાન $4 \times 10^7 \ kg \ m^2s^{-1}$ છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની કક્ષાના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે.
$L = mvr \sin \theta = \text{અચળ}$.
પેરિહેલિયન (સૌથી નજીક) અને એફેલિયન (સૌથી દૂર) બિંદુઓ પર,વેગ સદિશ એ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^\circ$.
તેથી,$m v_{\max} r_{\min} = m v_{\min} r_{\max}$.
આપેલ છે:
$r_{\min} = 1.6 \times 10^{12} \ m$
$v_{\max} = 60 \ m/s$
$r_{\max} = 8 \times 10^{12} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$60 \times (1.6 \times 10^{12}) = v_{\min} \times (8 \times 10^{12})$
$v_{\min} = \frac{60 \times 1.6 \times 10^{12}}{8 \times 10^{12}}$
$v_{\min} = 60 \times 0.2 = 12 \ m/s$.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
તેથી,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^{3/2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $r_A = r$ અને $r_B = 2r$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{r}{2r} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $1 : 2\sqrt{2}$ થાય છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
સૌથી નજીકના બિંદુએ (પેરીહેલિયન),વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી કોણીય વેગમાન $L_1 = m v_1 d_1$ થાય.
સૌથી દૂરના બિંદુએ (એફેલિયન),વેગ સદિશ પણ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી કોણીય વેગમાન $L_2 = m v_2 d_2$ થાય.
$L_1 = L_2$ હોવાથી,આપણને $m v_1 d_1 = m v_2 d_2$ મળે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$v_1 d_1 = v_2 d_2$ મળે છે.
તેથી,સૌથી દૂરના બિંદુએ વેગ $v_2 = \frac{d_1 v_1}{d_2}$ થાય.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
તેથી,ઉપગ્રહ $B$ અને $A$ ના વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$ થાય.
અહીં $r_A = 4R$,$r_B = R$ અને $v_A = 3V$ આપેલ છે,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{v_B}{3V} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$v_B = 2 \times 3V = 6V$ મળે.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F = \frac{mv^2}{R}$
આપેલ છે કે $F \propto \frac{1}{R}$,તેથી આપણે કોઈ અચળાંક $k$ માટે $F = \frac{k}{R}$ લખી શકીએ.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{mv^2}{R} = \frac{k}{R}$
$mv^2 = k$
$v^2 = \frac{k}{m}$
અહીં $k$ અને $m$ અચળાંક હોવાથી,$v^2$ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $v$ એ $R$ પર આધારિત નથી.
તેથી,$v \propto R^0$.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર રહેલા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{(R + h)^3}}{{GM}}}$
અહીં આપેલી ઊંચાઈ $h = R$ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{(R + R)^3}}{{GM}}}$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,આપણે $GM = gR^2$ લખી શકીએ:
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{(2R)^3}}{{gR^2}}}$
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{8R^3}}{{gR^2}}}$
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{8R}}{g}}$
$T = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} \sqrt {\frac{R}{g}}$
$T = 4\sqrt{2} \pi \sqrt {\frac{R}{g}}$

(D) $m$ દળ ધરાવતો ઉપગ્રહ $M$ દળના ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતો હોય ત્યારે તેનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષાનો વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ હોવાથી,$L = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = \sqrt{m^2 GMr}$ થાય.
આ દર્શાવે છે કે $L \propto \sqrt{r}$.
શરૂઆતનું અંતર $r_1 = r$ અને અંતિમ અંતર $r_2 = 16r$ આપેલ હોવાથી,કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{16r}{r}} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,નવું કોણીય વેગમાન $L_2 = 4L_1 = 4L$ થશે.

(B) પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહ $A$ માટે,ત્રિજ્યા $r_A = 4R$ અને ઝડપ $v_A = 3V$ છે.
તેથી,$v_A = \sqrt{\frac{GM}{4R}} = 3V$ ... $(i)$
ઉપગ્રહ $B$ માટે,ત્રિજ્યા $r_B = R$ અને ઝડપ $v_B$ છે.
તેથી,$v_B = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{v_B}{v_A} = \frac{\sqrt{GM/R}}{\sqrt{GM/4R}} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_B = 2 \times v_A = 2 \times 3V = 6V$.
આમ,ઉપગ્રહ $B$ ની ઝડપ $6V$ છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે. આ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમને સમાન છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન $L$ નું સંરક્ષણ થાય છે: $L = m v_1 d_1 = m v_2 d_2$.
અહીં,$m$ એ ગ્રહનું દળ છે.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $v_1 d_1 = v_2 d_2$ મળે છે.
$v_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v_2 = \frac{d_1 v_1}{d_2}$ મળે છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$ અથવા $T \propto r^{3/2}$.
ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,જે $r = R + h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,$h_1 = 5R$,તેથી $r_1 = R + 5R = 6R$. તેનો સમયગાળો $T_1 = 24 \, hr$ છે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે,$h_2 = 2R$,તેથી $r_2 = R + 2R = 3R$.
ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{24} = \left( \frac{3R}{6R} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$T_2 = \frac{24}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \, hr$.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની સમગ્ર કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
સૌથી નજીકના બિંદુ (પેરીહેલિયન) પર,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી કોણીય વેગમાન $L_1 = m v_1 r_1$ થાય છે.
સૌથી દૂરના બિંદુ (એફેલિયન) પર,વેગ સદિશ પણ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી કોણીય વેગમાન $L_2 = m v_2 r_2$ થાય છે.
$L_1 = L_2$ હોવાથી,આપણને $m v_1 r_1 = m v_2 r_2$ મળે છે.
બંને બાજુથી દળ $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $v_1 r_1 = v_2 r_2$ મળે છે.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$ થાય છે.

(B) ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપનું સૂત્ર $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}} = R \sqrt{\frac{g}{R+h}}$.
આપેલ કિંમતો: $R = 6.38 \times 10^6 \, m$,$h = 0.25 \times 10^6 \, m$,અને $g = 9.8 \, m s^{-2}$.
કુલ કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R + h = (6.38 + 0.25) \times 10^6 \, m = 6.63 \times 10^6 \, m$.
હવે,$v_0 = \sqrt{\frac{9.8 \times (6.38 \times 10^6)^2}{6.63 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{9.8 \times 40.7044 \times 10^{12}}{6.63 \times 10^6}} = \sqrt{60.16 \times 10^6} \approx 7.756 \times 10^3 \, m s^{-1}$.
તેથી,$v_0 \approx 7.76 \, km s^{-1}$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા આંતરક્રિયા કરતા બે અવકાશી પદાર્થો એક બાઈનરી સ્ટાર સિસ્ટમ બનાવે છે.
મિકેનિક્સના નિયમો અનુસાર,બે-પદાર્થોની સિસ્ટમમાં,બંને પદાર્થો તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બંને પદાર્થોને તેમની સંબંધિત કક્ષા જાળવી રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ગ્રહની ખૂબ નજીક પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
ગ્રહનું દળ $M = \rho V = \rho \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right)$ હોવાથી,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4\pi G \rho}}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આવર્તકાળ $T$ માત્ર ગ્રહની ઘનતા $\rho$ પર આધાર રાખે છે અને ગ્રહની ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખતો નથી.
બંને ગ્રહોની ઘનતા સમાન હોવાથી,ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ સમાન રહેશે,એટલે કે $T$.

(B) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_o = \sqrt{gR_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ઉપગ્રહનો વેગ આ મૂલ્ય કરતા વધી જાય,તો તે સ્થિર વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહી શકશે નહીં.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જો વેગ નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR_e}$ સુધી પહોંચી જાય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી મુક્ત થઈ જશે.
તેથી,સ્થિર વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,મહત્તમ વેગ તે શરત દ્વારા મર્યાદિત છે જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
આમ,સ્થિર કક્ષા માટે મહત્તમ શક્ય વેગ $v = \sqrt{gR_e}$ છે.

(C) કૃત્રિમ ઉપગ્રહની અંદર,ઉપગ્રહ અને માણસ બંને પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં હોય છે. પૃથ્વી દ્વારા માણસ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેને કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે. માણસ અને ઉપગ્રહ બંને પૃથ્વી તરફ સમાન પ્રવેગથી ગતિ કરતા હોવાથી,ઉપગ્રહના તળિયા દ્વારા માણસ પર લાગતું લંબબળ (normal reaction) શૂન્ય હોય છે. આ સ્થિતિને ભારહીનતા કહેવામાં આવે છે. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ જેટલું હોય છે.

(D) વર્તુળાકાર ગતિમાં રહેલા કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v = r\omega$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $L = m(r\omega)r = m\omega r^2 = m \left( \frac{2\pi}{T} \right) r^2$.
આપેલ છે: $m = 6 \times 10^{24} \ kg$,$r = 1.5 \times 10^8 \ km = 1.5 \times 10^{11} \ m$,$T = 3.14 \times 10^7 \ s$.
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{6 \times 10^{24} \times 2 \times 3.14 \times (1.5 \times 10^{11})^2}{3.14 \times 10^7}$
$L = \frac{6 \times 10^{24} \times 2 \times 2.25 \times 10^{22}}{10^7}$
$L = 27 \times 10^{39} = 2.7 \times 10^{40} \ kg \ m^2/s$.

(B) ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે કારણ કે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચાનક અદૃશ્ય થઈ જાય,તો ઉપગ્રહ પર હવે કોઈ કેન્દ્રગામી બળ લાગતું નથી.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી ગતિમાં રહેલી વસ્તુ અચળ વેગ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
તેથી,ઉપગ્રહ તેના તત્કાલીન વેગ $V$ સાથે તે બિંદુએ વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શકની દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે જ્યાં બળ અદૃશ્ય થઈ ગયું હતું.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપગ્રહની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{GMm}{r^2} = m\omega_0^2 r$
આના પરથી,આપણે ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક અને ગ્રહના દળનો ગુણાકાર શોધી શકીએ છીએ:
$GM = \omega_0^2 r^3$
ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
$GM$ ની કિંમત $g$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g = \frac{\omega_0^2 r^3}{R^2}$