Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Gujarati

(C) ભૂસ્થિર ભ્રમણકક્ષા માટે,ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો $T = 24 \text{ hrs}$ છે. ઉપગ્રહનો કોણીય વેગ $\omega_{s} = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \text{ rad/hr}$ છે.
પૃથ્વી પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ $\omega_{e} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \text{ rad/hr}$ ના કોણીય વેગ સાથે ફરે છે,અને ઉપગ્રહ વિરુદ્ધ દિશામાં (પૂર્વથી પશ્ચિમ) ગતિ કરે છે,તેથી તેમનો સાપેક્ષ કોણીય વેગ $\omega_{r} = \omega_{e} + \omega_{s} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \text{ rad/hr}$ થાય છે.
વિષુવવૃત્ત પરના સમાન બિંદુ પરથી સતત પસાર થવા વચ્ચેનો સમયગાળો એ સાપેક્ષ સમયગાળો $T_{r} = \frac{2\pi}{\omega_{r}} = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12 \text{ hrs}$ છે.

(C) ભૂસ્થિર કક્ષા માટે,ઉપગ્રહની કોણીય ઝડપ ગ્રહની કોણીય ઝડપ જેટલી હોવી જોઈએ,$\omega_s = \omega_p$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ અને કોણીય ઝડપ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $G M = \omega^2 r^3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r^3 \propto \omega^{-2}$ અથવા $r \propto \omega^{-2/3}$.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega$ છે અને નવી કોણીય ઝડપ $\omega' = 2\omega$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે અને નવી ત્રિજ્યા $r'$ છે.
તેથી,$\frac{r'}{r} = \left( \frac{\omega'}{\omega} \right)^{-2/3} = (2)^{-2/3} = \frac{1}{(2^2)^{1/3}} = \frac{1}{4^{1/3}}$.
આમ,$r' = \frac{r}{4^{1/3}}$.

(B) $m$ દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે,કારણ કે તેઓ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ફરે છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_G = \frac{G m^2}{(2R)^2} = \frac{G m^2}{4R^2}$ છે.
આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દરેક કણને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે. કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v^2}{R}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{m v^2}{R} = \frac{G m^2}{4R^2}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{G m^2}{4R^2} \cdot \frac{R}{m} = \frac{Gm}{4R}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}}$.

(A) લંબગોળ કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = mvr \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $a$ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ ધરાવતી કક્ષામાં $m$ દળના ઉપગ્રહ માટે,કોણીય વેગમાન $L = m \sqrt{GMa(1-e^2)}$ છે,જ્યાં $M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,$L = m \sqrt{GMr}$ થાય. લંબગોળ કક્ષા માટે,કોણીય વેગમાન એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ ના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $L \propto \sqrt{a}$.
આકૃતિ પરથી,ઉપગ્રહ $A$ ની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a_A$ સૌથી મોટી છે,ત્યારબાદ ઉપગ્રહ $B$ ની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a_B$ છે,અને ઉપગ્રહ $C$ ની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a_C$ સૌથી નાની છે.
તેથી,$a_A > a_B > a_C$ થાય.
જેથી $L \propto \sqrt{a}$ હોવાથી,$L_A > L_B > L_C$ મળે છે.

(A) ઉપગ્રહનો કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{\frac{GM_e}{r^3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે,$\omega_1 = \sqrt{\frac{GM_e}{R^3}}$.
$4R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા ઉપગ્રહ માટે,$\omega_2 = \sqrt{\frac{GM_e}{(4R)^3}} = \sqrt{\frac{GM_e}{64R^3}} = \frac{1}{8}\sqrt{\frac{GM_e}{R^3}} = \frac{\omega_1}{8}$.
તેઓ એક જ ત્રિજ્યા રેખા પરથી શરૂઆત કરતા હોવાથી,જ્યારે તેમની કોણીય સ્થિતિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\pi$ રેડિયન હોય ત્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર મહત્તમ હોય છે.
ધારો કે $\theta_1 = \omega_1 t$ અને $\theta_2 = \omega_2 t$. મહત્તમ અંતર માટેની શરત $\theta_1 - \theta_2 = \pi$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\omega_1 - \omega_2)t = \pi$.
$t = \frac{\pi}{\omega_1 - \omega_2} = \frac{\pi}{\omega_1 - \frac{\omega_1}{8}} = \frac{\pi}{\frac{7\omega_1}{8}} = \frac{8\pi}{7\omega_1}$.
$\omega_1 = \sqrt{\frac{GM_e}{R^3}}$ મૂકતા,આપણને $t = \frac{8\pi}{7}\sqrt{\frac{R^3}{GM_e}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહથી $R - l/2$ અને $R + l/2$ અંતરે બે દળ $m$ છે,જ્યાં $R$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
સળિયો ઊભો રહે તે માટે,તેણે $\omega = \sqrt{GM/R^3}$ કોણીય વેગ સાથે ફરવું આવશ્યક છે.
અંદરના દળ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1 = GMm/(R - l/2)^2$ છે અને બહારના દળ પર $F_2 = GMm/(R + l/2)^2$ છે.
અંદરના દળ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $m(R - l/2)\omega^2 = GMm(R - l/2)/R^3$ છે અને બહારના દળ માટે $m(R + l/2)\omega^2 = GMm(R + l/2)/R^3$ છે.
અંદરના દળ પરનું ચોખ્ખું બળ (ગ્રહ તરફ) $F_1 - F_{c1} = GMm [1/(R - l/2)^2 - (R - l/2)/R^3] > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે અંદરનું દળ સળિયાના પરિભ્રમણ કરતા ઝડપથી પડવા માંગે છે,જે સળિયાને અંદરની તરફ ખેંચે છે.
બહારના દળ પરનું ચોખ્ખું બળ (ગ્રહથી દૂર) $F_{c2} - F_2 = GMm [(R + l/2)/R^3 - 1/(R + l/2)^2] > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે બહારનું દળ દૂર જવા માંગે છે,જે સળિયાને બહારની તરફ ખેંચે છે.
આમ,સળિયામાં તણાવ (tension) છે.
સ્થિરતા માટે,નાનું કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ ગુરુત્વાકર્ષણ ગ્રેડિયન્ટને કારણે પુનઃસ્થાપિત ટોર્ક બનાવે છે,જે સળિયાને ઊભી સ્થિતિમાં પાછું લાવવા માટે કાર્ય કરે છે. આ એક ક્લાસિક ગ્રેવિટી-ગ્રેડિયન્ટ સ્ટેબિલાઇઝેશન સમસ્યા છે,અને ઊભી સ્થિતિ એ સ્થિર સંતુલન સ્થિતિ છે.

(D) $R$ અંતરે વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે,પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $E = KE + PE = \frac{1}{2}m(\frac{v_0}{2})^2 - \frac{GMm}{R}$ છે.
$GM = v_0^2 R$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{8}mv_0^2 - mv_0^2 = -\frac{7}{8}mv_0^2$ મળે છે.
લોન્ચ પોઈન્ટ $(R)$ અને લઘુત્તમ અંતરના બિંદુ $(R_1)$ પર કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ દ્વારા,જ્યાં વેગ $v_1$ છે: $m(\frac{v_0}{2})R = mv_1 R_1$,તેથી $v_1 = \frac{v_0 R}{2 R_1}$.
ઉર્જા સંરક્ષણ દ્વારા: $E = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{R_1}$.
$-\frac{7}{8}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v_0 R}{2 R_1})^2 - \frac{mv_0^2 R}{R_1}$.
$mv_0^2$ વડે ભાગતા: $-\frac{7}{8} = \frac{R^2}{8 R_1^2} - \frac{R}{R_1}$.
ધારો કે $x = \frac{R}{R_1}$,તો $-\frac{7}{8} = \frac{1}{8}x^2 - x$.
$x^2 - 8x + 7 = 0$.
$(x-7)(x-1) = 0$.
$R_1 < R$ હોવાથી,$x = 7$,તેથી $R_1 = \frac{R}{7}$.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની કક્ષાના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે.
$L_a = L_b$
$m v_a r_a = m v_b r_b$
આકૃતિ પરથી આપેલ છે કે,ગ્રહ $P$ થી બિંદુ $a$ નું અંતર $r_a = r$ છે અને ગ્રહ $P$ થી બિંદુ $b$ નું અંતર $r_b = 3r$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$m v_a r = m v_b (3r)$
$v_a = 3 v_b$
તેથી,બિંદુ $a$ પરની ઝડપ અને બિંદુ $b$ પરની ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_a}{v_b} = \frac{3}{1} = 3 : 1$

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કક્ષામાં ઉપગ્રહની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જાનું મૂલ્ય $E = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઉર્જા ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે જેથી $E_n = n \cdot k$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે અને $k$ એ અચળ ઉર્જા છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પ્રથમ કક્ષા માટે,આપણી પાસે $\frac{GMm}{2R} = n \cdot k$ છે.
$\frac{3R}{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પછીની ક્રમિક કક્ષા માટે,ઉર્જા $(n-1) \cdot k$ હોવી જોઈએ (કારણ કે ત્રિજ્યા વધતા ઉર્જાનું મૂલ્ય ઘટે છે),તેથી $\frac{GMm}{2(3R/2)} = (n-1) \cdot k$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{GMm}{3R} = (n-1) \cdot k$ થાય છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{GMm/2R}{GMm/3R} = \frac{n}{n-1} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{n}{n-1}$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $3n - 3 = 2n \Rightarrow n = 3$.
$n=3$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{GMm}{2R} = 3k \Rightarrow k = \frac{GMm}{6R}$.
મહત્તમ ત્રિજ્યા $R_{\text{max}}$ એ સૌથી નીચા ઉર્જા સ્તરને અનુરૂપ છે,જે $n=1$ છે.
તેથી,$\frac{GMm}{2R_{\text{max}}} = 1 \cdot k = \frac{GMm}{6R}$.
$R_{\text{max}}$ માટે ઉકેલતા $R_{\text{max}} = 3R$ મળે છે.

(A) $2R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબગોળ કક્ષા માટે,અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ એ પેરિએપ્સિસ અને એપોએપ્સિસ અંતરની સરેરાશ છે: $a = \frac{R + 2R}{2} = \frac{3R}{2}$.
એપોએપ્સિસ ($2R$ અંતર) પર લંબગોળ કક્ષા માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GMm}{2R} = -\frac{GMm}{2a} = -\frac{GMm}{3R}$.
ઉર્જા સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{GM}{2R} - \frac{GM}{3R} = \frac{GM}{6R}$.
આમ,$\frac{GM}{R} = 3v_0^2$.
આ કિંમતને વર્તુળાકાર કક્ષાની ઝડપના સમીકરણમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{GM}{2R}} = \sqrt{\frac{3v_0^2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} v_0$.

(D) ગોળાકાર પદાર્થની સપાટીની નજીક ફરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$.
આ દર્શાવે છે કે આવર્તકાળ ફક્ત પદાર્થની ઘનતા $\rho$ પર આધાર રાખે છે.
લઘુગ્રહની ઘનતા પૃથ્વી જેટલી જ હોવાથી,તેની સપાટીની નજીક ફરતા પથ્થરનો આવર્તકાળ પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ફરતા ઉપગ્રહના આવર્તકાળ જેટલો જ હશે.
આ મૂલ્ય આશરે $84 \ \text{min}$ છે,જે $1 \ \text{hr} \ 24 \ \text{min}$ ની બરાબર છે.

(B) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે.
સ્થાન $A$ અને $B$ પર કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$L_A = L_B$
$m v_A r_A = m v_B r_B$
જ્યાં $r_A = OA$ અને $r_B = OB$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{v_B}{v_A} = \frac{r_A}{r_B} = \frac{OA}{OB}$
આપેલ છે કે $\frac{OA}{OB} = x$,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{v_B}{v_A} = x$

(B) $m$ દળ ધરાવતો ગ્રહ $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે પરિભ્રમણ કરે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F \propto R^{-5/2}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $F = k R^{-5/2}$ જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F = m R \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $m R \omega^2 \propto R^{-5/2}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ: $m R (\frac{2\pi}{T})^2 \propto R^{-5/2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{R}{T^2} \propto R^{-5/2}$ મળે છે.
$T^2$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે $T^2 \propto R \cdot R^{5/2} = R^{1 + 5/2} = R^{7/2}$.
આમ,$T^2 \propto R^{7/2}$.

(A) કોઈપણ અવકાશી પદાર્થના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે પરવલયાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થની ઝડપ તે બિંદુએ નિષ્ક્રમણ ઝડપ (escape velocity) જેટલી હોય છે.
$V_{p} = V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
અવકાશયાનને $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહ તરીકે ફેરવવા માટે,તેની ઝડપ ઘટાડીને તે અંતરે રહેલી કક્ષીય ઝડપ $V_{0}$ જેટલી કરવી પડે.
$V_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
ઝડપમાં જરૂરી ફેરફાર $\Delta V = V_{p} - V_{0}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\Delta V = \sqrt{\frac{2GM}{R}} - \sqrt{\frac{GM}{R}}$
$\Delta V = \sqrt{\frac{GM}{R}} (\sqrt{2} - 1)$

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $V_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કક્ષીય ઝડપ એ નિષ્ક્રમણ વેગના અડધા જેટલી છે: $V_{0} = \frac{V_{e}}{2}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\sqrt{\frac{GM}{R+h}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{GM}{R+h} = \frac{1}{4} \times \frac{2GM}{R}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{R+h} = \frac{1}{2R}$.
તેથી,$R+h = 2R$,જે આપણને $h = R$ આપે છે.

(A) ક્ષેત્રીય ઝડપ $v_a$ એ ત્રિજ્યા સદિશ દ્વારા આવરી લેવાયેલા ક્ષેત્રફળના ફેરફારનો દર છે,જે $v_a = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $v_a^2 = \frac{1}{4} r^2 v^2$ મળે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે. કારણ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$. આમ,$v^2 = \frac{gR^2}{r}$.
$v^2$ ની કિંમત ક્ષેત્રીય ઝડપના સમીકરણમાં મૂકતા: $v_a^2 = \frac{1}{4} r^2 \left( \frac{gR^2}{r} \right) = \frac{1}{4} r g R^2$.
કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{4v_a^2}{gR^2}$.
પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $h = r - R$ છે.
તેથી,$h = \frac{4v_a^2}{gR^2} - R$.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ તેની કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી નજીકના બિંદુ (પેરીહેલિયન) પર,$L = m r_{min}^2 \omega$.
સૌથી દૂરના બિંદુ (એફેલિયન) પર,$L = m r_{max}^2 \omega'$,જ્યાં $\omega'$ એ સૌથી દૂરના અંતરે કોણીય વેગ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $m r_{min}^2 \omega = m r_{max}^2 \omega'$.
$\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega' = \frac{r_{min}^2}{r_{max}^2} \omega$.

(A) ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v \propto r^{-1/2}$.
લોગરીધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta v}{v} = -\frac{1}{2} \frac{\Delta r}{r}$ મળે છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં $2\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta r}{r} = -0.02$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta v}{v} = -\frac{1}{2} \times (-0.02) = 0.01$.
તેથી,ઝડપમાં $1\%$ નો વધારો થશે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r_1 = R$ છે,તેથી $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R/2$ ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r_2 = R + R/2 = \frac{3R}{2}$ છે.
નવો કક્ષીય વેગ $v'$ નીચે મુજબ મળે: $v' = \sqrt{\frac{GM}{r_2}} = \sqrt{\frac{GM}{3R/2}} = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$.
બંને વેગની સરખામણી કરતા: $\frac{v'}{v} = \frac{\sqrt{\frac{2GM}{3R}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
તેથી,$v' = \sqrt{2/3} v$.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
અહીં $T_1 = 2 \, days$,$R_1 = R$,$T_2 = 16 \, days$,અને $R_2 = ?$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{R_1^3} \Rightarrow \frac{16^2}{2^2} = \left(\frac{R_2}{R}\right)^3$.
$\frac{256}{4} = 64 = \left(\frac{R_2}{R}\right)^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{R_2}{R} = 4$,તેથી $R_2 = 4R$.
કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ માટે,$v \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$ થાય.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{v_0}{2}$.

(D) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પૃથ્વી $(M_e)$ ની આસપાસ ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{GM_e m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$
$1$. ગતિઊર્જા $(K.E.)$: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GM_e m}{2r}$. આમ,$K.E. \propto \frac{1}{r}$.
$2$. કોણીય વેગમાન $(L)$: $L = mvr = m \sqrt{\frac{GM_e}{r}} \cdot r = m\sqrt{GM_e r}$. આમ,$L \propto r^{1/2}$.
$3$. રેખીય વેગમાન $(P)$: $P = mv = m\sqrt{\frac{GM_e}{r}}$. આમ,$P \propto r^{-1/2}$.
$4$. પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $(f)$: કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto r^3$,તેથી $T \propto r^{3/2}$. કારણ કે $f = \frac{1}{T}$,તેથી $f \propto r^{-3/2}$ અથવા $f \propto \frac{1}{r^{3/2}}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ હોવાથી,આપણે તેને $L$ ના સૂત્રમાં મૂકીએ:
$L = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = m \sqrt{GMr}$.
આ દર્શાવે છે કે $L \propto \sqrt{r}$.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = L$ છે જ્યારે અંતર $r_1 = r$ છે.
ધારો કે નવું કોણીય વેગમાન $L_2$ છે જ્યારે અંતર $r_2 = 4r$ છે.
પ્રમાણસરતા $L \propto \sqrt{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{4r}{r}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$L_2 = 2L_1 = 2L$.

(B) જ્યારે બે પદાર્થો તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બંને કણો માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
સિસ્ટમનું સંતુલન જાળવી રાખવા માટે કણો હંમેશા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ રહેવા જોઈએ,તેથી તેઓએ સમાન સમયગાળા $T$ માં તેમની વર્તુળાકાર કક્ષા પૂર્ણ કરવી આવશ્યક છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
બંને કણોનો સમયગાળો $T$ સમાન હોવાથી,તેમના કોણીય વેગ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\omega_1 = \omega_2$.
આ કોણીય વેગ બે દળ વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ આંતરક્રિયા દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે કક્ષાની ગતિશીલતાના સંદર્ભમાં અપૂર્ણાંક $f$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) ધારો કે ઉપગ્રહ સ્પર્શકની દિશામાં (ધારો કે $y$-અક્ષ પર) $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે અને ઉલ્કાપિંડ પૃથ્વી તરફ ( $x$-અક્ષ પર) $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,સંયુક્ત દળ $2M$ નવા વેગ સદિશ $\vec{V}$ સાથે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$x$-અક્ષ પર: $Mv = (2M)v_x \Rightarrow v_x = v/2$.
$y$-અક્ષ પર: $Mv = (2M)v_y \Rightarrow v_y = v/2$.
નવા વેગનું મૂલ્ય $V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v/2)^2 + (v/2)^2} = v/\sqrt{2}$ છે.
ઉપગ્રહ વર્તુળાકાર કક્ષામાં હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $v = \sqrt{GM/R}$ હતો. નવો વેગ $V = v/\sqrt{2} < v$ છે. ઉપરાંત,વેગની દિશા હવે સંપૂર્ણપણે સ્પર્શક નથી. સમાન કક્ષીય ત્રિજ્યા $R$ પર ઝડપ અને દિશા બંનેમાં ફેરફાર થવાને કારણે ગતિ લંબગોળ કક્ષામાં થશે.

(B) $M$ દળ ધરાવતી પૃથ્વીની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહ $A$ માટે: દળ $= m$,ત્રિજ્યા $= R$. તેથી,$K.E._A = \frac{GMm}{2R}$.
ઉપગ્રહ $B$ માટે: દળ $= 2m$,ત્રિજ્યા $= 2R$. તેથી,$K.E._B = \frac{GM(2m)}{2(2R)} = \frac{GMm}{2R}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{K.E._A}{K.E._B} = \frac{GMm/2R}{GMm/2R} = 1$.

(D) $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = \frac{GM(r)}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M(r)$ એ $r$ ત્રિજ્યામાં સમાયેલું દળ છે.
આપેલ છે કે $\rho(r) = \frac{K}{r^2}$,તેથી દળ $M(r)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$M(r) = \int_0^r \rho(x) \cdot 4\pi x^2 dx = \int_0^r \frac{K}{x^2} \cdot 4\pi x^2 dx = \int_0^r 4\pi K dx = 4\pi Kr$.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના સમીકરણમાં $M(r)$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{G(4\pi Kr)}{r^2} = \frac{4\pi GK}{r}$.
$R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $m$ દળના કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mV^2}{R} = mE = m \left( \frac{4\pi GK}{R} \right)$.
આના પરથી $V^2 = 4\pi GK$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કક્ષીય ઝડપ $V$ અચળ છે.
કક્ષાનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi R}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $V$ અચળ છે,તેથી $T \propto R$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T}{R} = \text{અચળ}$.

(B) ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $V$ એ $\frac{mV^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનું સાદું રૂપ $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ થાય છે。
અહીં, $r = R + h = 2 \times 10^6 \, m + 20 \times 10^3 \, m = 2.02 \times 10^6 \, m$.
એક પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T_p = \frac{2\pi r}{V} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
$T = 24 \, \text{કલાક }= 24 \times 3600 \, \text{સેકન્ડ}$ સમયમાં પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = \frac{T}{T_p} = \frac{T}{2\pi} \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{24 \times 3600}{2 \times 3.14} \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 8 \times 10^{22}}{(2.02 \times 10^6)^3}}$.
$n = \frac{86400}{6.28} \sqrt{\frac{53.36 \times 10^{11}}{8.2424 \times 10^{18}}} = 13758 \times \sqrt{6.47 \times 10^{-7}} = 13758 \times 8.04 \times 10^{-4} \approx 11.06$.
આમ, પૂર્ણ પરિભ્રમણોની સંખ્યા $11$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવેલા $M$ દળના ત્રણ પદાર્થોને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $L$ છે.
કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર $R$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણમાં,કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર બાજુની લંબાઈ $L$ સાથે $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જેનો અર્થ છે કે $L = \sqrt{3}R$.
અન્ય બે પદાર્થો દ્વારા એક પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બે બળોનો સદિશ સરવાળો છે,જેમાંથી દરેકનું મૂલ્ય $F = \frac{GM^2}{L^2}$ છે. આ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_{net}$ નીચે મુજબ છે:
$F_{net} = 2F \cos(30^{\circ}) = 2 \left( \frac{GM^2}{L^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}GM^2}{L^2}$.
આ પરિણામી બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{Mv^2}{R} = \frac{\sqrt{3}GM^2}{L^2}$.
$L^2 = 3R^2$ મૂકતા:
$\frac{Mv^2}{R} = \frac{\sqrt{3}GM^2}{3R^2} = \frac{GM^2}{\sqrt{3}R^2}$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{GM}{\sqrt{3}R} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{\sqrt{3}R}}$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{k}{R^n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ગ્રહ માટે,આ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{R} = \frac{k}{R^n}$.
કક્ષીય વેગ $v$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $v^2 = \frac{k}{mR^{n-1}}$,જેનો અર્થ છે કે $v \propto R^{-(n-1)/2}$.
કક્ષાનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi R}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $T \propto \frac{R}{R^{-(n-1)/2}} = R^{1 + (n-1)/2} = R^{(2+n-1)/2} = R^{(n+1)/2}$.
તેથી,$T \propto R^{(n+1)/2}$.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ તેની સમગ્ર કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ગ્રહનું દળ છે,$r$ એ સૂર્યથી અંતર છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
સૌથી નજીકના બિંદુએ (પેરીહેલિયન),$L = mr_{min}^2\omega$.
સૌથી દૂરના બિંદુએ (એફેલિયન),$L = mr_{max}^2\omega'$,જ્યાં $\omega'$ એ સૌથી દૂરના અંતરે કોણીય વેગ છે.
કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$mr_{min}^2\omega = mr_{max}^2\omega'$.
$\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega' = \frac{r_{min}^2}{r_{max}^2}\omega$.

(D) $1$. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $m$ દળના ઉપગ્રહ માટે,કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ છે. પલાયન માટે જરૂરી ઉર્જા $E_{escape} = -E = \frac{GMm}{2r}$ છે.
$2$. સમાન ઊંચાઈ $r$ પર રહેલા સ્થિર પદાર્થ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે. પલાયન માટે જરૂરી ઉર્જા $E'_{escape} = -U = \frac{GMm}{r}$ છે.
$3$. કારણ કે $\frac{GMm}{r} > \frac{GMm}{2r}$,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$4$. કુલ ઉર્જા $E = K + U$. ઉપગ્રહ માટે,$K = -\frac{1}{2}U$. તેથી,$E = -\frac{1}{2}U + U = \frac{1}{2}U$. વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$5$. સ્પુટનિક $I$ વર્ષ $1957$ માં લોન્ચ કરવામાં આવ્યો હતો,$1950$ માં નહીં. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$6$. જીઓસ્ટેશનરી ઉપગ્રહની ભ્રમણકક્ષાની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે. $r \approx 42200 \ km$ માટે,$v \approx 3.07 \times 10^3 \ m \ s^{-1}$ મળે છે. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે બિંદુવત પદાર્થો વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાઈનરી તારા તંત્રમાં,બંને તારાઓ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની આસપાસ ફરે છે.
બંને તારાઓ વચ્ચેનું અંતર એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તેમની કક્ષીય ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $r = r_1 + r_2$ છે.
આ અંતરને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય $F = \frac{G m_1 m_2}{(r_1 + r_2)^2}$ મળે છે.

(D) ઉપગ્રહની વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{GMm}{(R+h)^{2}} = m \omega^{2}(R+h)$.
અહીં,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\omega = \sqrt{\frac{GM}{(R+h)^{3}}}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^{3}}{GM}}$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R+h$ છે.
તેથી,$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$.
આ સમીકરણ પરથી,$T$ એ પૃથ્વીના દળ $(M)$,કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ (કારણ કે $r = R+h$) પર આધાર રાખે છે. તે ઉપગ્રહના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચા પરિબળો $(ii), (iii)$ અને $(iv)$ છે.

(C) ધ્રુવીય ઉપગ્રહો એ ઓછી ઊંચાઈ ધરાવતા ઉપગ્રહો છે,જે સામાન્ય રીતે પૃથ્વીની સપાટીથી $500 \, \text{km}$ થી $800 \, \text{km}$ ની ઊંચાઈ પર ભ્રમણ કરે છે.
તેથી,ધ્રુવીય ઉપગ્રહ એ ઉચ્ચ કક્ષાનો ઉપગ્રહ છે તે વિધાન ખોટું છે.
વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
આ કિંમત કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $L = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = m \sqrt{GMr}$.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r$ થી વધીને $r^{\prime} = 2r$ થાય છે,ત્યારે નવું કોણીય વેગમાન $L^{\prime}$ નીચે મુજબ થાય છે:
$L^{\prime} = m \sqrt{GM(2r)} = \sqrt{2} \cdot m \sqrt{GMr} = \sqrt{2} L$.
અહીં $\sqrt{2} > 1$ હોવાથી,કોણીય વેગમાનમાં વધારો થાય છે.

(A) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{GM} \cdot R^{-1/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dR} = \sqrt{GM} \cdot (-\frac{1}{2}) R^{-3/2} = -\frac{1}{2} \frac{\sqrt{GM}}{R \sqrt{R}} = -\frac{1}{2R} \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
નાના ફેરફારો માટે,$\Delta v \approx \frac{dv}{dR} \Delta R$.
ત્રિજ્યામાં ઘટાડો $\Delta R$ હોવાથી,ત્રિજ્યામાં ફેરફાર $-\Delta R$ છે.
તેથી,$\Delta v = (-\frac{1}{2R} \sqrt{\frac{GM}{R}}) \cdot (-\Delta R) = \frac{\Delta R}{2R} \sqrt{\frac{GM}{R}} = \frac{\Delta R}{2} \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$.
આમ,કક્ષીય વેગમાં થતો ફેરફાર $\frac{\Delta R}{2} \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$ છે.

(C) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_0 \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીક રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r_1 \approx R$ છે અને તેનો વેગ $v_1 = v$ છે.
$3R$ ની ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r_2 = R + 3R = 4R$ છે.
ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v}{v_2} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = \frac{v}{2}$.

(A) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T$ તેની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ સાથે $T \propto r^{3/2}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં,ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,તેથી $r = R_{earth} + h$.
જીઓસ્ટેશનરી ઉપગ્રહ માટે: $r_1 = R + 5R = 6R$. તેનો સમયગાળો $T_1 = 24$ કલાક છે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: $r_2 = R + 2R = 3R$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{24}{T_2} = \left( \frac{6R}{3R} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$T_2 = \frac{24}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ કલાક.

(D) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહ માટે:
ગતિઊર્જા $(KE)$ = $\frac{GMm}{2r}$
સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ = $-\frac{GMm}{r}$
કુલ ઊર્જા $(E)$ = $-\frac{GMm}{2r}$
જો ત્રિજ્યા $r$ ઘટાડવામાં આવે તો:
$1$. $KE = \frac{GMm}{2r}$ હોવાથી,જેમ $r$ ઘટે તેમ $KE$ વધે છે.
$2$. $PE = -\frac{GMm}{r}$ હોવાથી,જેમ $r$ ઘટે તેમ $\frac{GMm}{r}$ નું મૂલ્ય વધે છે,જે ઋણ હોવાથી સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય ઘટે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને $(B)$ બંને ખોટા છે,તેથી વિકલ્પ $(D)$ સાચો જવાબ છે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r = R + x$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{R + x}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR^2$.
$v_0$ ના સમીકરણમાં $GM = gR^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R + x}} = \left( \frac{gR^2}{R + x} \right)^{1/2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
કક્ષીય વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
કોણીય વેગમાન $L$ નું સૂત્ર $L = mvr$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \left( \sqrt{\frac{GM}{r}} \right) r$
$L = m \sqrt{GM} \sqrt{r}$
અહીં $m$,$G$ અને $M$ અચળાંકો હોવાથી,આપણને મળે છે કે $L \propto \sqrt{r}$.

(C) પાર્કિંગ ઓર્બિટ (ભૂસ્થિર કક્ષા) માં રહેલો ઉપગ્રહ પૃથ્વીના પરિભ્રમણ જેટલા જ વેગથી ગતિ કરે છે. જ્યારે આવા ઉપગ્રહમાંથી કોઈ પદાર્થને નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે તે ક્ષણે ઉપગ્રહ જેટલો જ કક્ષીય વેગ જાળવી રાખે છે. તેથી,પદાર્થ ઉપગ્રહની જેમ જ તે જ કક્ષામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે. પરિણામે,તે પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ બિંદુની સાપેક્ષમાં સ્થિર દેખાશે અને $24$ કલાકના સમયગાળા સાથે પૃથ્વીની ધરી પર પરિભ્રમણ કરશે.

(C) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આવર્તકાળ $T$ એ ગ્રહના દળ $M$ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ પર આધાર રાખે છે.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા $R$ અને સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ સાથે સંબંધિત છે $(r = R + h)$.
તેથી,આવર્તકાળ ગ્રહના દળ અને ગ્રહની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે.
જોકે,ઉપગ્રહનું દળ $m$ સૂત્રમાં આવતું નથી,જેનો અર્થ છે કે આવર્તકાળ ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(B) પૃથ્વીની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કક્ષીય વેગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$v_0 \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$
અહીં બે ઉપગ્રહોની ત્રિજ્યા $r_1 = 9R$ અને $r_2 = 16R$ આપેલી છે,તેથી તેમની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{16R}{9R}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $4/3$ છે.

(D) ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેની વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_e$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G M_e m}{(R + x)^2}$ છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v_0^2}{R + x}$ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,$\frac{G M_e m}{(R + x)^2} = \frac{m v_0^2}{R + x}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v_0^2 = \frac{G M_e}{R + x}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M_e}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $G M_e = g R^2$.
આ કિંમતને $v_0^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$v_0^2 = \frac{g R^2}{R + x}$ મળે છે.
તેથી,કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{g R^2}{R + x}} = \left( \frac{g R^2}{R + x} \right)^{1/2}$ થાય છે.

(C) સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતી રેખા પર લાગે છે.
આ બળ કેન્દ્રીય બળ છે,જેનો અર્થ છે કે સૂર્યની સાપેક્ષમાં તેનું ટોર્ક શૂન્ય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,સૌર મંડળમાં ગ્રહોની ગતિ એ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનું ઉદાહરણ છે.

(D) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ $T = 24 \, \text{કલાક} = 86400 \, \text{સેકન્ડ}$ ના આવર્તકાળ સાથે ભ્રમણ કરે છે.
ઉપગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર: $r = \left( \frac{G M T^2}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$ છે.
અહીં $GM = g R^2$ લેતા,જ્યાં $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$ અને $R = 6.4 \times 10^6 \, \text{m}$ છે,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ આશરે $42200 \, \text{km}$ મળે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $h = r - R$ થાય.
$h = 42200 \, \text{km} - 6400 \, \text{km} = 35800 \, \text{km}$.
આમ,પ્રમાણિત મૂલ્ય મુજબ ઊંચાઈ આશરે $36000 \, \text{km}$ છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળાનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,જે $r = R + h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ $(S_1)$ માટે: $h_1 = 6R$,તેથી $r_1 = R + 6R = 7R$. સમયગાળો $T_1 = 24 \text{ કલાક}$.
બીજા ઉપગ્રહ $(S_2)$ માટે: $h_2 = 2.5R$,તેથી $r_2 = R + 2.5R = 3.5R$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$.
$\left(\frac{T_2}{24}\right)^2 = \left(\frac{3.5R}{7R}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
$\frac{T_2}{24} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$T_2 = \frac{24}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \text{ કલાક}$.

(C) $Assertion$ સાચું છે કારણ કે ઉપગ્રહમાં રહેલો અવકાશયાત્રી પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં હોય છે,જેના પરિણામે તે ભારહીનતા અનુભવે છે.
$Reason$ ખોટું છે કારણ કે મુક્ત પતન કરતો પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ અનુભવે જ છે (ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે જ પ્રવેગ $g$ ઉદ્ભવે છે). ભારહીનતાનો અનુભવ એટલા માટે થાય છે કારણ કે પદાર્થ અને ઉપગ્રહ બંને સમાન પ્રવેગ $g$ થી સાથે નીચે પડે છે,જેનાથી લંબબળ (આભાસી વજન) શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $1$. પૃથ્વીની સપાટીથી $R$ ઊંચાઈ (કેન્દ્રથી $2R$ અંતર) સુધી ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{2}mu^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{2R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}u^2 - \frac{GM}{2R} \Rightarrow v = \sqrt{u^2 - \frac{GM}{R}}$
$2$. $R$ ઊંચાઈ પર, ઉપગ્રહ ($m$ દળ) રોકેટ ($m/10$ દળ) બહાર ફેંકે છે। બાકી રહેલો ઉપગ્રહ ($9m/10$ દળ) $2R$ અંતરે વર્તુળાકાર કક્ષામાં પ્રવેશે છે। કક્ષીય વેગ $v_o = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ છે।
$3$. ત્રિજ્યાવર્તી અને સ્પર્શકીય દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
ત્રિજ્યાવર્તી: $\frac{m}{10} v_r = m v = m \sqrt{u^2 - \frac{GM}{R}} \Rightarrow v_r = 10 \sqrt{u^2 - \frac{GM}{R}}$
સ્પર્શકીય: $\frac{m}{10} v_T = \frac{9m}{10} v_o = \frac{9m}{10} \sqrt{\frac{GM}{2R}} \Rightarrow v_T = 9 \sqrt{\frac{GM}{2R}}$
$4$. રોકેટની ગતિઊર્જા $(K_r = \frac{1}{2} (m/10) (v_r^2 + v_T^2))$:
$K_r = \frac{m}{20} \left( 100(u^2 - \frac{GM}{R}) + 81(\frac{GM}{2R}) \right)$
$K_r = \frac{m}{20} \left( 100u^2 - 100\frac{GM}{R} + 40.5\frac{GM}{R} \right) = \frac{m}{20} \left( 100u^2 - 59.5\frac{GM}{R} \right)$
$K_r = 5m \left( u^2 - 0.595 \frac{GM}{R} \right) = 5m \left( u^2 - \frac{119}{200} \frac{GM}{R} \right)$.