Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Gujarati

(A) શરૂઆતમાં,$m$ દળનો પદાર્થ $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરે છે. તેથી તે કક્ષીય ઝડપ $v_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ સાથે ગતિ કરતો હોવો જોઈએ.
અથડામણ પછી,ધારો કે સંયુક્ત દળ $v_{1}$ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$m v_{0} + \frac{m}{2} \left(\frac{v_{0}}{2}\right) = \left(m + \frac{m}{2}\right) v_{1}$
$m v_{0} + \frac{m v_{0}}{4} = \frac{3m}{2} v_{1}$
$\frac{5m v_{0}}{4} = \frac{3m}{2} v_{1}$
$v_{1} = \frac{5}{4} \times \frac{2}{3} v_{0} = \frac{5}{6} v_{0}$.
અથડામણ પછીની ઝડપ $(v_{1} = \frac{5}{6} v_{0})$ એ કક્ષીય ઝડપ $(v_{0})$ જેટલી ન હોવાથી,ગતિ વર્તુળાકાર હોઈ શકે નહીં.
વેગ સ્પર્શકની દિશામાં રહેતો હોવાથી,તે ગ્રહ તરફ શિરોલંબ નીચે પડી શકે નહીં.
વળી,અથડામણ પછીની ઝડપ એ નિષ્ક્રમણ ઝડપ $(v_{e} = \sqrt{2} v_{0})$ કરતા ઓછી છે,તેથી પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી શકશે નહીં.
તેથી,સંયુક્ત પદાર્થ ગ્રહની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ કરશે.

(C) આપેલ છે $k = 10^{-13} \; s^{2} \; m^{-3}$.
$k$ ને $d^{2} \; km^{-3}$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે:
$1 \; s = \frac{1}{24 \times 60 \times 60} \; d = \frac{1}{86400} \; d$
$1 \; m = 10^{-3} \; km$
આ કિંમતો $k$ માં મૂકતા:
$k = 10^{-13} \times (\frac{1}{86400})^{2} \; d^{2} \times (10^{-3})^{-3} \; km^{-3}$
$k = 10^{-13} \times \frac{1}{7.465 \times 10^{9}} \times 10^{9} \; d^{2} \; km^{-3}$
$k \approx 1.33 \times 10^{-14} \; d^{2} \; km^{-3}$
હવે,$T^{2} = k(R_{E}+h)^{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R_{E}+h = 3.84 \times 10^{5} \; km$:
$T^{2} = (1.33 \times 10^{-14}) \times (3.84 \times 10^{5})^{3}$
$T^{2} = (1.33 \times 10^{-14}) \times (56.623 \times 10^{15})$
$T^{2} \approx 753.08$
$T = \sqrt{753.08} \approx 27.4 \; d$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $27.3 \; d$ છે.

(N/A) આપણી આકાશગંગાનું દળ, $M = 2.5 \times 10^{11} \times (2.0 \times 10^{30} \; kg) = 5 \times 10^{41} \; kg$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા, $r = 50,000 \; ly = 5 \times 10^{4} \times 9.46 \times 10^{15} \; m = 4.73 \times 10^{20} \; m$.
આકાશગંગાના કેન્દ્રની આસપાસ ફરતા તારાના આવર્તકાળ $T$ માટે કેપ્લરના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^{2} r^{3}}{G M}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$T = \sqrt{\frac{4 \times (3.14)^{2} \times (4.73 \times 10^{20})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{41}}}$.
$T = \sqrt{\frac{39.48 \times 105.82 \times 10^{60}}{33.35 \times 10^{30}}} = \sqrt{125.27 \times 10^{30}} \approx 1.12 \times 10^{16} \; s$.
સેકન્ડને વર્ષમાં ફેરવતા:
$T = \frac{1.12 \times 10^{16}}{365.25 \times 24 \times 3600} \approx 3.55 \times 10^{8} \; \text{વર્ષ}$.

(C, F) ના. જેમ સૂર્યથી અંતર બદલાય છે તેમ રેખીય ઝડપ બદલાય છે.
$(b)$ ના. કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ કોણીય ઝડપ બદલાય છે.
$(c)$ હા. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,ધૂમકેતુ પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોય છે,તેથી કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
$(d)$ ના. જેમ રેખીય ઝડપ બદલાય છે તેમ ગતિઊર્જા પણ બદલાય છે.
$(e)$ ના. સ્થિતિઊર્જા સૂર્યથી અંતર પર આધાર રાખે છે,જે લંબગોળ કક્ષામાં બદલાતું રહે છે.
$(f)$ હા. સૂર્યના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં ધૂમકેતુની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.

(N/A) $1$. બે બિંદુઓ $F_{1}$ અને $F_{2}$ પસંદ કરો.
$2$. એક દોરીના બંને છેડાઓને $F_{1}$ અને $F_{2}$ પર નિશ્ચિત કરો.
$3$. પેન્સિલની અણી વડે દોરીને ખેંચીને ચુસ્ત કરો અને પેન્સિલને એવી રીતે ફેરવો કે જેથી દોરી આખી ગતિ દરમિયાન ચુસ્ત રહે.
$4$. આ રીતે મળતા બંધ વક્રને લંબવૃત્ત (ellipse) કહેવામાં આવે છે.
$5$. લંબવૃત્ત પરના કોઈપણ બિંદુ $T$ માટે,$F_{1}$ અને $F_{2}$ થી અંતરનો સરવાળો અચળ રહે છે. $F_{1}$ અને $F_{2}$ ને નાભિ (foci) કહેવામાં આવે છે.
$6$. $F_{1}$ અને $F_{2}$ બિંદુઓને જોડો અને આ રેખાને લંબાવીને લંબવૃત્ત પરના બિંદુઓ $P$ અને $A$ મેળવો. રેખાખંડ $PA$ નું મધ્યબિંદુ એ લંબવૃત્તનું કેન્દ્ર $O$ છે.
$7$. લંબાઈ $PO = AO$ ને લંબવૃત્તની અર્ધ-દીર્ઘ અક્ષ (semi-major axis) કહેવામાં આવે છે.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ, કોણીય વેગમાન $L = m v_n r_n = n h / 2 \pi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: દળ $m = 10\; kg$, ત્રિજ્યા $r_n = 8000\; km = 8 \times 10^6\; m$, અને સમયગાળો $T = 2\; \text{કલાક }= 7200\; s$.
કક્ષીય વેગ $v_n = 2 \pi r_n / T$ દ્વારા મળે છે.
કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં $v_n$ ની કિંમત મૂકતા: $m (2 \pi r_n / T) r_n = n h / 2 \pi$.
ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે સૂત્ર: $n = (2 \pi r_n)^2 \times m / (T \times h)$.
કિંમતો મૂકતા: $n = (2 \pi \times 8 \times 10^6)^2 \times 10 / (7200 \times 6.63 \times 10^{-34})$.
$n = (25.13 \times 10^6)^2 \times 10 / (4.77 \times 10^{-30})$.
$n = 6.315 \times 10^{14} \times 10 / 4.77 \times 10^{-30} \approx 5.3 \times 10^{45}$.

(C) ચંદ્ર પૃથ્વીની આસપાસ લગભગ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં,પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે કક્ષાના કેન્દ્ર તરફ (ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ) હોય છે.
કોઈપણ ક્ષણે ચંદ્રનું સ્થાનાંતર વર્તુળાકાર પથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
બળ (કેન્દ્રગામી બળ) અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\cos(90^{\circ}) = 0$ થાય.
તેથી,$W = F \cdot s \cdot 0 = 0$.
આમ,પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા ચંદ્ર પર કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય છે.

(N/A) ગ્રહની આસપાસ તેની પરિભ્રમણની દિશામાં ફરતા પદાર્થને ઉપગ્રહ કહેવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહની ગતિ સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની ગતિ જેવી જ હોય છે,તેથી $Kepler$ ના ગ્રહોની ગતિના નિયમો તેમને પણ સમાન રીતે લાગુ પડે છે.
પૃથ્વીની આસપાસ તેમની કક્ષાઓ વર્તુળાકાર અથવા લંબગોળ હોય છે.
ઉપગ્રહના બે પ્રકાર છે:
$(i)$ કુદરતી ઉપગ્રહ: ચંદ્ર એ પૃથ્વીનો કુદરતી ઉપગ્રહ છે જેનો આવર્તકાળ આશરે $27.3$ દિવસ છે. તે ચંદ્રના પોતાની ધરી પરના પરિભ્રમણ સમય જેટલો જ છે. ગુરુ ગ્રહને ઘણા ઉપગ્રહો છે.
$(ii)$ કૃત્રિમ ઉપગ્રહ: માનવજાત દ્વારા બનાવવામાં આવેલ પ્રથમ કૃત્રિમ ઉપગ્રહ $Sputnik$ હતો,જેને $1957$ માં રશિયન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષામાં મૂકવામાં આવ્યો હતો. ભારતે પણ ($19$ એપ્રિલ $1975$) સફળતાપૂર્વક '$Aryabhatta$' અને '$INSAT$' શ્રેણીના ઉપગ્રહો લોન્ચ કર્યા છે.
ઉપગ્રહોનો ઉપયોગ વૈજ્ઞાનિક સંશોધન,એન્જિનિયરિંગ,સંદેશાવ્યવહાર,હવામાનની આગાહી,જાસૂસી,લશ્કરી કામગીરી,ભૂ-ભૌતિકશાસ્ત્ર અને હવામાનશાસ્ત્ર માટે થાય છે.

(N/A) કોઈ ચોક્કસ કક્ષામાં પૃથ્વીની આસપાસ ફરવા માટે ઉપગ્રહને જરૂરી વેગને ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ કહેવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ $m$ દળનો ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે તેમ ધારો. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r = R_E + h$ છે. ધારો કે ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0$ છે.
પૃથ્વી દ્વારા ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F = \frac{G M_E m}{r^2}$
ઉપગ્રહની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$F_c = \frac{m v_0^2}{r}$
કેન્દ્રગામી બળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સાથે સરખાવતા:
$\frac{m v_0^2}{r} = \frac{G M_E m}{r^2}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$v_0^2 = \frac{G M_E}{r}$
$r = R_E + h$ મૂકતા:
$v_0 = \sqrt{\frac{G M_E}{R_E + h}}$
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે જેમ ઊંચાઈ $h$ વધે છે,તેમ કક્ષીય વેગ $v_0$ ઘટે છે.

(N/A) ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $(T)$ એટલે કે ઉપગ્રહને પૃથ્વીની આસપાસ એક સંપૂર્ણ ભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ:
$v_{0} = \sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}}$ ... $(1)$
કક્ષીય વેગને કક્ષાના પરિઘ અને આવર્તકાળના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:
$v_{0} = \frac{2\pi(R_{E}+h)}{T}$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}} = \frac{2\pi(R_{E}+h)}{T}$
$T$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$T = \frac{2\pi(R_{E}+h)}{\sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(R_{E}+h)^{3}}{GM_{E}}}$ ... $(3)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{GM_{E}}(R_{E}+h)^{3}$ ... $(4)$
સંબંધ $g = \frac{GM_{E}}{(R_{E}+h)^{2}}$ નો ઉપયોગ કરીને,આવર્તકાળને $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R_{E}+h}{g}}$ ... $(5)$
સમીકરણ $(4)$ પરથી,જો $r = R_{E}+h$ લઈએ,તો $T^{2} = Kr^{3}$ મળે,જ્યાં $K = \frac{4\pi^{2}}{GM_{E}}$. આ કેપ્લરનો ગ્રહીય ગતિનો ત્રીજો નિયમ સાબિત કરે છે,$T^{2} \propto r^{3}$.

(A) પૃથ્વીની આસપાસ ફરતો ઉપગ્રહ લગભગ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરે છે.
કોઈપણ પદાર્થને વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરવા માટે કેન્દ્રગામી બળની જરૂર હોય છે.
ઉપગ્રહના કિસ્સામાં,આ કેન્દ્રગામી બળ પૃથ્વી અને ઉપગ્રહ વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$F_c = F_g$,જ્યાં $F_c = \frac{mv^2}{r}$ અને $F_g = \frac{GMm}{r^2}$ છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ માટે જવાબદાર છે.

(N/A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીક પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,અંતર $r$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e$ જેટલું ગણી શકાય (એટલે કે $r \approx R_e$).
સૂત્રમાં $r = R_e$ મૂકતા,આપણને $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R_e}}$ મળે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R_e^2}$ હોવાથી,આપણે $GM = gR_e^2$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને કક્ષીય વેગના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v_o = \sqrt{\frac{gR_e^2}{R_e}} = \sqrt{gR_e}$ મળે છે.

(N/A) ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $(T)$ એટલે ઉપગ્રહ દ્વારા તેની કક્ષામાં મુખ્ય પદાર્થ (જેમ કે ગ્રહ અથવા તારો) ની આસપાસ એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો કુલ સમય.
ગાણિતિક રીતે,$M$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય આવર્તકાળ નીચે મુજબ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
જ્યાં:
$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,
$M$ એ મુખ્ય પદાર્થનું દળ છે,
$r$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા છે (ગ્રહના કેન્દ્રથી ઉપગ્રહ સુધીનું અંતર).

પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીક પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,$r \approx R_e$ (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા).
$GM = gR_e^2$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{R_e^3}{gR_e^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{R_e}{g}}$ મળે છે.
$R_e \approx 6.4 \times 10^6 \ m$ અને $g \approx 9.8 \ m/s^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{9.8}} \approx 6.28 \times 808 \approx 5074 \ s$.
મિનિટમાં ફેરવતા,$T \approx 84.6 \ \text{minutes}$ થાય છે.

(N/A) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ એ પૃથ્વીનો એવો ઉપગ્રહ છે જેનો કક્ષાનો આવર્તકાળ $24$ કલાક હોય છે,જે પૃથ્વીના પોતાની ધરી પરના પરિભ્રમણના સમયગાળા જેટલો જ છે. પૃથ્વી પરથી જોતા તે સ્થિર દેખાય છે અને તે પૃથ્વીની આસપાસ વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં પરિભ્રમણ કરે છે.
આ માટે,ઉપગ્રહને પૃથ્વીની સપાટીથી યોગ્ય ઊંચાઈ $(h)$ પર મૂકવામાં આવે છે.
જો $m$ દળનો ઉપગ્રહ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r = R_{E} + h$ અંતરે પરિભ્રમણ કરતો હોય,તો પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$h = \left( \frac{GM_{E} T^{2}}{4 \pi^{2}} \right)^{\frac{1}{3}} - R_{E}$
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,આવર્તકાળ $T = 24$ કલાક છે. આ કિંમત મૂકતા:
$h \approx 35,800 \text{ km}$
આ પ્રકારના ઉપગ્રહનો ઉપયોગ ટેલિકોમ્યુનિકેશન માટે વ્યાપકપણે થાય છે.

(N/A) ઉપગ્રહ સ્થિર દેખાય તે માટે જરૂરી શરતો નીચે મુજબ છે:
$1)$ ઉપગ્રહ પૃથ્વીના વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં વર્તુળાકાર કક્ષામાં હોવો જોઈએ.
$2)$ તેનો પરિભ્રમણનો સમયગાળો (Time period) બરાબર $24$ કલાક હોવો જોઈએ.
$3)$ ઉપગ્રહ પૃથ્વીની જેમ જ પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં પરિભ્રમણ કરતો હોવો જોઈએ.
$4)$ તે પૃથ્વીના વિષુવવૃત્તથી આશરે $36,000 \ km$ ની ઊંચાઈ પર હોવો જોઈએ.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહના પરિભ્રમણની દિશા પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફની હોય છે,જે પૃથ્વીની પોતાની ધરી પરની પરિભ્રમણ દિશા સમાન છે.

(N/A) ધ્રુવીય ઉપગ્રહ એ એક પ્રકારનો ઉપગ્રહ છે જે પૃથ્વીની આસપાસ ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ભ્રમણ કરે છે અને ધ્રુવો પરથી પસાર થાય છે,જ્યારે પૃથ્વી પોતાની ધરી પર પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં ફરે છે.
આ ઓછા ઊંચાઈ ધરાવતા ઉપગ્રહો છે,જે સામાન્ય રીતે પૃથ્વીની સપાટીથી $h \approx 500$ થી $800 \ km$ ની ઊંચાઈએ ભ્રમણ કરે છે.
ધ્રુવીય ઉપગ્રહનો કક્ષાનો આવર્તકાળ આશરે $100$ મિનિટ હોય છે,જેના કારણે તે દિવસમાં ઘણી વખત કોઈપણ અક્ષાંશને ઓળંગી શકે છે.
ઉપગ્રહ પર લગાવેલો કેમેરો એક ભ્રમણકક્ષામાં પૃથ્વીની માત્ર નાની પટ્ટીઓ જ જોઈ શકે છે. પછીની ભ્રમણકક્ષામાં નજીકની પટ્ટીઓ જોવામાં આવે છે,જેનાથી આખા દિવસ દરમિયાન સમગ્ર પૃથ્વીને પટ્ટી-દર-પટ્ટી સ્કેન કરી શકાય છે.
આ ઉપગ્રહો ધ્રુવીય અને વિષુવવૃત્તીય પ્રદેશોને નજીકના અંતરેથી ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશન સાથે જોઈ શકે છે.
આવા ઉપગ્રહો દ્વારા એકત્રિત કરવામાં આવેલી માહિતી રિમોટ સેન્સિંગ,હવામાનશાસ્ત્ર અને પૃથ્વીના પર્યાવરણીય અભ્યાસ માટે અત્યંત ઉપયોગી છે.

(N/A) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T$ પૃથ્વીના પરિભ્રમણ સમયગાળા જેટલો હોવો જોઈએ,જે $T = 24 \text{ કલાક} = 86400 \text{ સેકન્ડ}$ છે.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમયગાળાનો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}$.
અહીં,$r = R_e + h$,જ્યાં $R_e$ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
$r$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}$.
$GM = gR_e^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે $r = \left( \frac{gR_e^2 T^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}$.
ઊંચાઈ $h$ આ મુજબ મળે છે: $h = r - R_e = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} - R_e$.
પ્રમાણિત મૂલ્યો ($M \approx 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$,$G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$) મૂકતા,ગણતરી કરેલ ઊંચાઈ $h$ પૃથ્વીની સપાટીથી આશરે $35,800 \text{ km}$ મળે છે.

(N/A) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહોના ઉપયોગો:
$1$. ટેલિકોમ્યુનિકેશન: તે ટેલિવિઝન,રેડિયો અને ટેલિફોન સિગ્નલો માટે રિલે સ્ટેશન તરીકે કાર્ય કરે છે.
$2$. હવામાનની આગાહી: તે કોઈ ચોક્કસ પ્રદેશ પર હવામાનની પેટર્નનું સતત નિરીક્ષણ પૂરું પાડે છે.
ધ્રુવીય ઉપગ્રહોના ઉપયોગો:
$1$. રિમોટ સેન્સિંગ: તેનો ઉપયોગ મેપિંગ,સંસાધન સંશોધન અને પર્યાવરણીય ફેરફારોના નિરીક્ષણ માટે થાય છે.
$2$. સર્વેલન્સ: તેનો ઉપયોગ લશ્કરી જાસૂસી અને સરહદો પર દેખરેખ રાખવા માટે થાય છે.
$3$. વૈજ્ઞાનિક સંશોધન: તે વાતાવરણ અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના અભ્યાસમાં મદદ કરે છે.

$(A)$ ધ્રુવીય ઉપગ્રહો એ ઓછી ઊંચાઈ ધરાવતા ઉપગ્રહો છે જે પૃથ્વીની આસપાસ ધ્રુવથી ધ્રુવ સુધી ભ્રમણ કરે છે.
આ ઉપગ્રહો સામાન્ય રીતે પૃથ્વીની સપાટીથી આશરે $500 \text{ km}$ થી $800 \text{ km}$ ની ઊંચાઈએ પૃથ્વીની આસપાસ ફરે છે.
આ ઓછી ઊંચાઈ તેમને હવામાનની દેખરેખ અને સર્વેલન્સ માટે પૃથ્વીની સપાટીની ઉચ્ચ-રિઝોલ્યુશન છબીઓ લેવાની મંજૂરી આપે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા કૃત્રિમ ઉપગ્રહમાં,ઉપગ્રહ અને તેની અંદરની દરેક વસ્તુ મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં હોય છે. કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ભ્રમણકક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે,તેથી ઉપગ્રહની અંદરની વસ્તુઓ પર 'વજન' અથવા 'ઉપરની' દિશા નક્કી કરવા માટે કોઈ લંબબળ (normal force) લાગતું નથી. પરિણામે,ત્યાં ગુરુત્વાકર્ષણનો કોઈ અનુભવ થતો નથી અને ઉપગ્રહના સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં કોઈ ભૌતિક 'ઉપર' કે 'નીચે' અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી. તેથી,ઉપરની કોઈ નિશ્ચિત દિશા હોતી નથી.

(A) જ્યારે કોઈ અવકાશયાત્રી ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા સેટેલાઇટની અંદર હોય છે,ત્યારે અવકાશયાત્રી અને સેટેલાઇટ બંને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં હોય છે.
બંનેનો પ્રવેગ સમાન હોવાથી (તે ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ),તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
આ સ્થિતિને ભારહીનતા (weightlessness) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,અવકાશયાત્રી સેટેલાઇટની અંદર તરતા દેખાય છે.

(B) પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણબળ ચંદ્રને પૃથ્વીની આસપાસ તેની વર્તુળાકાર કક્ષામાં જાળવી રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામીબળ પૂરું પાડે છે.
આ ગુરુત્વાકર્ષણબળ ચંદ્રના રેખીય વેગને લંબ દિશામાં કાર્ય કરતું હોવાથી,તે માત્ર ચંદ્રની ગતિની દિશા બદલે છે,તેની ઝડપ નહીં.
તેથી,ચંદ્ર પૃથ્વી પર પડવાને બદલે તેની કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.

(B) ના,ઉપગ્રહને પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરવા માટે બળતણની જરૂર પડતી નથી. પૃથ્વી દ્વારા ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેને વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે. આ બળ હંમેશા ઉપગ્રહના વેગને લંબ હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી અને ઉપગ્રહ વધારાના બળતણ વગર ભ્રમણ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.

(B) ના,ગ્રહનો કક્ષીય વેગ તેના દળ પર આધાર રાખતો નથી.
કક્ષીય વેગના સૂત્ર $v_{0} = \sqrt{\frac{GM_{e}}{r}}$ મુજબ,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M_{e}$ એ કેન્દ્રિય પદાર્થ (દા.ત. સૂર્ય) નું દળ છે અને $r$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્રમાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહનું દળ આવતું ન હોવાથી,કક્ષીય વેગ ગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(B) ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R_e + h)^3}{GM_e}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે,$h$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $T \propto (R_e + h)^{3/2}$.
જેમ ઊંચાઈ $h$ ઘટે છે,તેમ પદ $(R_e + h)$ ઘટે છે.
તેથી,ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ ઘટે છે.

(B) ના,ચમચી પૃથ્વી પર પડશે નહીં.
ચમચી અવકાશયાનની અંદર હોવાથી,તે અવકાશયાન જેટલી જ કક્ષીય ઝડપ ધરાવે છે.
જ્યારે તેને બહાર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે અવકાશયાનની જેમ જ તે જ કક્ષામાં અને તે જ ઝડપથી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
તેથી,તે અવકાશયાનની સાથે પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણકક્ષામાં જ રહેશે અને પૃથ્વીની સપાટી પર પડશે નહીં.

(A) ઉપગ્રહ એટલે એવી વસ્તુ જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ ગ્રહની આસપાસ સ્થિર,બંધ કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે.
જો કોઈ ઉપગ્રહ નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રાપ્ત કરે,તો તે તેની કક્ષા છોડીને અનંત અંતરે જતો રહે,અને આમ તે ગ્રહનો ઉપગ્રહ રહે નહીં.
તેથી,વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થિર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ પાસે કેન્દ્રીય પદાર્થના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રભાવમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી નિષ્ક્રમણ વેગ હોતો નથી.

(A) ધ્રુવીય સેટેલાઇટ પૃથ્વીની આસપાસ ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ભ્રમણ કરે છે,જે પૃથ્વીના ધ્રુવો પરથી પસાર થાય છે જ્યારે પૃથ્વી તેની નીચે ભ્રમણ કરતી હોય છે.
પૃથ્વી પોતાની ધરી પર પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં ભ્રમણ કરે છે.

(B) ધ્રુવીય સેટેલાઇટ પૃથ્વીની આસપાસ ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં (ધ્રુવો પરથી પસાર થઈને) ભ્રમણ કરે છે.
પૃથ્વી પોતાની ધરી પર પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ ભ્રમણ કરતી હોવાથી,દરેક ભ્રમણ દરમિયાન સેટેલાઇટ પૃથ્વીની સપાટીનો એક અલગ પટ્ટો આવરી લે છે.
સમય જતાં,સેટેલાઇટ દ્વારા પૃથ્વીની સમગ્ર સપાટીનું નિરીક્ષણ કરી શકાય છે.

(N/A) પૃથ્વીની આસપાસ ચંદ્રનો પરિક્રમણનો આવર્તકાળ આશરે $27.3$ દિવસ છે.
તેવી જ રીતે,પોતાની ધરી પર ચંદ્રનો ભ્રમણનો આવર્તકાળ પણ આશરે $27.3$ દિવસ છે.
આ બંને આવર્તકાળ સમાન હોવાને કારણે,ચંદ્રનો એક જ ભાગ હંમેશા પૃથ્વી તરફ રહે છે.

(N/A) વિષુવવૃત્તીય સમતલ એ પૃથ્વીના વિષુવવૃત્તમાંથી પસાર થતું સમતલ છે.
$(a)$ ધ્રુવીય ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ એવા સમતલમાં ફરે છે જે ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવોમાંથી પસાર થાય છે. આ સમતલ વિષુવવૃત્તીય સમતલને લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$(b)$ ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ બિંદુની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેવા માટે પૃથ્વીના વિષુવવૃત્તીય સમતલ જેવા જ સમતલમાં પૃથ્વીની આસપાસ ફરે છે. તેથી,ભૂસ્થિર ઉપગ્રહના કક્ષીય સમતલ અને વિષુવવૃત્તીય સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના નિયમો અને ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વી જેવા કેન્દ્રીય ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ ગતિ કરતા કણનો માર્ગ શંકુ આકારનો (કોનિક સેક્શન - ઉપવલય,પરવલય અથવા અતિવલય) હોવો જોઈએ,જેમાં પૃથ્વીનું કેન્દ્ર તેના એક નાભિ (focus) પર હોય.
$1$. આકૃતિ $(a)$ એ શંકુ આકારનો વક્ર નથી.
$2$. આકૃતિ $(b)$ માં પૃથ્વી નાભિ પર નથી.
$3$. આકૃતિ $(c)$ માં ઉપવલયાકાર માર્ગ દર્શાવેલ છે જેમાં પૃથ્વી એક નાભિ પર છે,જે એક માન્ય માર્ગ છે.
$4$. આકૃતિ $(d)$ એ સર્પાકાર છે,જે શંકુ આકારનો વક્ર નથી.
$5$. આકૃતિ $(e)$ માં પૃથ્વી નાભિ પર નથી.
$6$. આકૃતિ $(f)$ એ એક જટિલ માર્ગ છે જે પ્રમાણિત શંકુ આકારનો વક્ર નથી.
તેથી,માત્ર આકૃતિ $(c)$ જ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે શક્ય માર્ગ દર્શાવે છે.

(N/A) આપેલ છે:
પૃથ્વીનું દળ,$M = 6 \times 10^{24} \ kg$
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા,$R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$
સમયગાળો,$T = 24 \ h = 24 \times 3600 \ s = 86400 \ s$
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$
$(a)$ ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ અને કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R + h$ વચ્ચેનો સંબંધ કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ છે:
$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
$r^3 = \frac{T^2 GM}{4 \pi^2}$
$r = \left( \frac{T^2 GM}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$
કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{(86400)^2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4 \times (3.14)^2} \right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^7 \ m$
ઊંચાઈ $h = r - R = 4.22 \times 10^7 \ m - 0.64 \times 10^7 \ m = 3.58 \times 10^7 \ m = 35800 \ km$.
$(b)$ સમગ્ર વિષુવવૃત્તને આવરી લેવા માટે,દરેક ઉપગ્રહે $120^\circ$ (અથવા $2\pi/3$ રેડિયન) જેટલો કોણીય વિસ્તાર આવરી લેવો જોઈએ,જેથી ત્રણ ઉપગ્રહો સાથે વૈશ્વિક કવરેજ સુનિશ્ચિત કરી શકાય. આમ,જરૂરી ઉપગ્રહોની લઘુત્તમ સંખ્યા $3$ છે.

(A) આપેલ છે: $r_p = 2R$ અને $r_a = 6R$.
લંબગોળના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $r_a = a(1+e) = 6R$ અને $r_p = a(1-e) = 2R$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{1+e}{1-e} = \frac{6R}{2R} = 3 \implies 1+e = 3 - 3e \implies 4e = 2 \implies e = 0.5$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $m v_p r_p = m v_a r_a \implies v_a = v_p \frac{r_p}{r_a} = v_p \frac{2R}{6R} = \frac{v_p}{3}$.
ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{GMm}{r_p} = \frac{1}{2} m v_a^2 - \frac{GMm}{r_a}$.
$v_a = v_p/3$ મૂકતા: $\frac{1}{2} v_p^2 (1 - 1/9) = GM (\frac{1}{2R} - \frac{1}{6R}) = GM (\frac{2}{6R}) = \frac{GM}{3R}$.
$\frac{4}{9} v_p^2 = \frac{GM}{3R} \implies v_p^2 = \frac{3GM}{4R} \implies v_p = \sqrt{\frac{3 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4 \times 6400 \times 10^3}} \approx 5.59 \, km/s$.
તેથી $v_a = v_p/3 \approx 1.86 \, km/s$.
$6R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં જવા માટે,ઉપગ્રહ એપોજી પર હોવો જોઈએ અને તેનો વેગ વધારીને કક્ષીય વેગ $v_c = \sqrt{\frac{GM}{6R}} \approx 2.64 \, km/s$ કરવો જોઈએ.

(A) ધ્રુવીય ઉપગ્રહો પૃથ્વીની આસપાસ ધ્રુવથી ધ્રુવ સુધી ભ્રમણ કરે છે,જે પૃથ્વીની સપાટીનું વૈશ્વિક દ્રશ્ય પ્રદાન કરે છે,તેથી તે જાસૂસી અને હવામાનની આગાહી માટે આદર્શ છે $(1-b, c)$.
ભૂ-સ્થિર ઉપગ્રહો પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ બિંદુની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે છે,જે તેમને સતત દૂરસંચાર અને પ્રસારણ સેવાઓ માટે આદર્શ બનાવે છે $(2-a)$.
તેથી,સાચી જોડ $(1-b, c)$ અને $(2-a)$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યાની અંદર ગેલેક્સીનું દળ ઘનતા $\rho(r) = \frac{K}{r}$ ને કદ પર સંકલિત કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr = \left(\frac{K}{r}\right) \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi K r dr$
$M(R) = \int_{0}^{R} 4\pi K r dr = 4\pi K \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} = 2\pi K R^2$
$R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા $m$ દળના તારા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{G M(R) m}{R^2} = \frac{m v^2}{R}$
$M(R) = 2\pi K R^2$ મૂકતા:
$\frac{G (2\pi K R^2) m}{R^2} = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow 2\pi G K m = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow v^2 = 2\pi G K R$
$v = \sqrt{2\pi G K R}$
સમયગાળો $T = \frac{2\pi R}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T = \frac{2\pi R}{\sqrt{2\pi G K R}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 R^2}{2\pi G K R}} = \sqrt{\frac{2\pi R}{G K}} \propto \sqrt{R}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 \propto R$ મળે છે.

(B) ઉપગ્રહની પ્રારંભિક કક્ષીય ઝડપ $V_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_e}}$ છે.
રોકેટ છોડ્યા પછી,નવી ઝડપ $V = \sqrt{\frac{3}{2}} V_0 = \sqrt{\frac{3GM}{2R_e}}$ થાય છે.
પેરીજી $(R_e)$ અને એપોજી $(R_{max} = R)$ પર કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$L_{initial} = L_{final} \implies m V R_e = m V' R$
$V' = \frac{V R_e}{R} = \frac{R_e}{R} \sqrt{\frac{3GM}{2R_e}}$
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{GMm}{R_e} + \frac{1}{2} m V^2 = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m V'^2$
$-\frac{GM}{R_e} + \frac{1}{2} \left(\frac{3GM}{2R_e}\right) = -\frac{GM}{R} + \frac{1}{2} \left(\frac{R_e^2}{R^2} \cdot \frac{3GM}{2R_e}\right)$
$-\frac{1}{R_e} + \frac{3}{4R_e} = -\frac{1}{R} + \frac{3R_e}{4R^2}$
$-\frac{1}{4R_e} = \frac{-4R + 3R_e}{4R^2}$
$-R^2 = -4R R_e + 3R_e^2 \implies R^2 - 4R R_e + 3R_e^2 = 0$
$(R - 3R_e)(R - R_e) = 0$
અહીં $R > R_e$ હોવાથી,આપણને $R = 3R_e$ મળે છે.

(C) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા પદાર્થની કક્ષીય ઝડપ $V_{\text{orbit}} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહની સપાટી પરથી પલાયન વેગ $V_{\text{escape}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષીય ઝડપ અને પલાયન વેગનો ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{V_{\text{orbit}}}{V_{\text{escape}}} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{2GM}{R}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
સૌથી નજીકના બિંદુ (periapsis) અને સૌથી દૂરના બિંદુ (apoapsis) પર,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે.
તેથી,$L = m r_{\min} V_{\max} = m r_{\max} V_{\min}$.
આ સમીકરણ $r_{\min} V_{\max} = r_{\max} V_{\min} \quad \dots(i)$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે સૌથી દૂરના બિંદુ પરનો વેગ,સૌથી નજીકના બિંદુ પરના વેગ કરતા $6$ ગણો ઓછો છે,તેથી $V_{\min} = \frac{V_{\max}}{6}$,અથવા $\frac{V_{\min}}{V_{\max}} = \frac{1}{6}$.
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{r_{\min}}{r_{\max}} = \frac{V_{\min}}{V_{\max}} = \frac{1}{6}$ મળે છે.
આમ,અંતરનો ગુણોત્તર $1:6$ છે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $(v_o)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_o$ એ અંતર $r$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$v_o \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$
તેથી, સાચો સંબંધ $v_o \propto 1/\sqrt{r}$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમયનો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{T_{A}^{2}}{T_{B}^{2}} = \frac{r_{A}^{3}}{r_{B}^{3}}$.
અહીં $T_{A} = 1\, h$,$T_{B} = 8\, h$,અને $r_{A} = 10^{4}\, km$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1^{2}}{8^{2}} = \frac{(10^{4})^{3}}{r_{B}^{3}} \Rightarrow \frac{1}{64} = \frac{(10^{4})^{3}}{r_{B}^{3}}$.
તેથી,$r_{B}^{3} = 64 \times (10^{4})^{3}$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $r_{B} = 4 \times 10^{4}\, km$ મળે છે.
ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપનું સૂત્ર $v = \frac{2 \pi r}{T}$ છે.
ઉપગ્રહ $A$ માટે: $v_{A} = \frac{2 \pi \times 10^{4}}{1} = 2 \pi \times 10^{4}\, km/h$.
ઉપગ્રહ $B$ માટે: $v_{B} = \frac{2 \pi \times 4 \times 10^{4}}{8} = \pi \times 10^{4}\, km/h$.
બંને ઉપગ્રહો એક જ સમતલમાં એક જ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,જ્યારે તેઓ સૌથી નજીક હોય ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની ઝડપનો તફાવત થશે: $v_{rel} = v_{A} - v_{B} = 2 \pi \times 10^{4} - \pi \times 10^{4} = \pi \times 10^{4}\, km/h$.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
આપેલ છે કે,$F \propto r^{-3/2}$,તેથી $F = \frac{k}{r^{3/2}}$ જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = m \omega^2 r = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$ છે.
બળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{k}{r^{3/2}} = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$.
$T^2$ ને કર્તા બનાવતા:
$T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k} \cdot r \cdot r^{3/2} = \frac{4\pi^2 m}{k} \cdot r^{5/2}$.
અહીં $\frac{4\pi^2 m}{k}$ અચળ હોવાથી,$T^2 \propto r^{5/2}$ મળે છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ધૂમકેતુનું કોણીય વેગમાન તેની ભ્રમણકક્ષાના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે.
ધારો કે $r_1$ અને $v_1$ એ નજીકના બિંદુ (પેરીહેલિયન) પરનું અંતર અને ઝડપ છે,અને $r_2$ અને $v_2$ એ દૂરના બિંદુ (એફેલિયન) પરનું અંતર અને ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$r_1 = 8.0 \times 10^{10} \ m$
$v_1 = 6 \times 10^{4} \ m/s$
$r_2 = 1.6 \times 10^{12} \ m$
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$v_2 = \frac{v_1 r_1}{r_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_2 = \frac{(6 \times 10^{4}) \times (8.0 \times 10^{10})}{1.6 \times 10^{12}}$
$v_2 = \frac{48 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{12}}$
$v_2 = 30 \times 10^{2} \ m/s = 3 \times 10^{3} \ m/s$
આમ,દૂરના બિંદુએ ઝડપ $3 \times 10^{3} \ m/s$ છે.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(T^2 \propto r^3)$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto r^{3/2}$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા $R$ અને સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ નો સરવાળો છે $(r = R + h)$.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે: $r_1 = R + 11R = 12R$ અને $T_1 = 24\, \text{hours}$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: $r_2 = R + 2R = 3R$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{24}{T_2} = \left(\frac{12R}{3R}\right)^{3/2} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,$T_2 = \frac{24}{8} = 3\, \text{hours}$.

(D) ધારો કે ગ્રહ તેની લંબગોળ કક્ષામાં સૂક્ષ્મ સમયગાળા $dt$ માં $ds$ જેટલું સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર કરે છે.
આ સમયગાળામાં સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $dA$ એ $r$ અને $ds$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે:
$dA = \frac{1}{2} |\vec{r} \times d\vec{s}| = \frac{1}{2} r ds \sin \theta$
જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{s}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ક્ષેત્રીય વેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે:
$\text{ક્ષેત્રીય વેગ} = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r \sin \theta \frac{ds}{dt}$
ગ્રહનો વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r v \sin \theta$
ગ્રહના દળ $M$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2M} (M v r \sin \theta)$
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = Mvr \sin \theta$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2M}$

(B) બે તારાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (c.o.m.) ની આસપાસ તેમની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$m$ દળના તારાનું c.o.m. થી અંતર $r_1 = \frac{2m}{m+2m} d = \frac{2d}{3}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G(m)(2m)}{d^2} = \frac{2Gm^2}{d^2}$ છે.
$m$ દળના તારા માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F = m \omega^2 r_1 = m \omega^2 (\frac{2d}{3})$ છે.
બળોને સરખાવતા: $\frac{2Gm^2}{d^2} = m \omega^2 (\frac{2d}{3})$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{Gm}{d^2} = \omega^2 \frac{d}{3} \implies \omega^2 = \frac{3Gm}{d^3}$.
આમ,$\omega = \sqrt{\frac{3Gm}{d^3}}$.
પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{d^3}{3Gm}}$ મળે છે.

(C) પરિભ્રમણ સમયગાળો $T$ એ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ સમયગાળા $T_{1} = 1\, hr$ અને $T_{2} = 8\, hr$ છે.
સમયગાળાનો ગુણોત્તર $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{1}{8}$ છે.
$T$ માટેના સૂત્રને $\omega$ ના સંદર્ભમાં મૂકતા:
$\frac{2\pi / \omega_{1}}{2\pi / \omega_{2}} = \frac{1}{8}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} = \frac{1}{8}$ મળે છે.
તેથી,$S_{1}$ અને $S_{2}$ ના કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} = \frac{8}{1}$ એટલે કે $8:1$ થાય છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^{3}}{GM}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહ $A$ માટે: $h_{A} = 600 \, km = 0.6 \times 10^{6} \, m$,$R = 6.4 \times 10^{6} \, m$. કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_{A} = R + h_{A} = 7.0 \times 10^{6} \, m$.
$T_{A} = 2 \pi \sqrt{\frac{(7.0 \times 10^{6})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}} \approx 5800 \, s$.
ઉપગ્રહ $B$ માટે: $h_{B} = 1600 \, km = 1.6 \times 10^{6} \, m$. કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_{B} = R + h_{B} = 8.0 \times 10^{6} \, m$.
$T_{B} = 2 \pi \sqrt{\frac{(8.0 \times 10^{6})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}} \approx 7133 \, s$.
$T_{B} - T_{A} = 7133 - 5800 = 1333 \, s = 1.33 \times 10^{3} \, s$.

(A) આપેલ છે:
$T_1 = 1\, h$,$T_2 = 8\, h$
$R_1 = 2 \times 10^3\, km$
કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = 2\pi\, rad/h$ અને $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{\pi}{4}\, rad/h$ છે.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$\frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{T_1^2} \Rightarrow \frac{R_2}{R_1} = (\frac{8}{1})^{2/3} = 4$.
તેથી,$R_2 = 4 \times R_1 = 8 \times 10^3\, km$.
રેખીય વેગ $v_1 = \omega_1 R_1 = 2\pi \times 2 \times 10^3 = 4\pi \times 10^3\, km/h$ અને $v_2 = \omega_2 R_2 = \frac{\pi}{4} \times 8 \times 10^3 = 2\pi \times 10^3\, km/h$ છે.
જ્યારે ઉપગ્રહો સૌથી નજીક હોય,ત્યારે નજીકના ઉપગ્રહ પરથી અવલોકન કરતા સાપેક્ષ કોણીય વેગ $\omega_{rel} = \frac{v_1 - v_2}{R_2 - R_1}$ દ્વારા મળે છે.
$\omega_{rel} = \frac{4\pi \times 10^3 - 2\pi \times 10^3}{8 \times 10^3 - 2 \times 10^3} = \frac{2\pi \times 10^3}{6 \times 10^3} = \frac{\pi}{3}\, rad/h$.
આને $\frac{\pi}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.