ધારો કે આકૃતિ $(a)$ માં સૂર્યનીચ $(Perihelion)$ બિંદુ $P$ આગળ ગ્રહની ઝડપ છે, અને સૂર્યથી ગ્રહનું $SP$ અંતર $r_{ P }$ છે. $\left\{r_{P}, v_{P}\right\}$ નો, સૂર્યોચ્ચ $(Aphetion)$ બિંદુ $A$ આગળની અનુરૂપ રાશિઓ સાથે સંબંધ મેળવો. ગ્રહને $BAC$ અને $CPB$ અંતર કાપતાં સરખો સમય લાગશે ?
ધારો કે આકૃતિ $(a)$ માં સૂર્યનીચ $(Perihelion)$ બિંદુ $P$ આગળ ગ્રહની ઝડપ છે, અને સૂર્યથી ગ્રહનું $SP$ અંતર $r_{ P }$ છે. $\left\{r_{P}, v_{P}\right\}$ નો, સૂર્યોચ્ચ $(Aphetion)$ બિંદુ $A$ આગળની અનુરૂપ રાશિઓ સાથે સંબંધ મેળવો. ગ્રહને $BAC$ અને $CPB$ અંતર કાપતાં સરખો સમય લાગશે ?
$P$ આગળ કોણીય વેગમાનનું માન $L_{p}=m_{p} r_{p} v_{p},$ છે કારણ કે આકૃતિ જોતાં જ $r_{p}$ અને $v_{p}$ પરસ્પર લંબ દેખાય છે. તે જ પ્રમાણે $L_{A}=m_{p} r_{A} v_{A}$, કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ પરથી,
$m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A}$
અથવા $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$
અહીં, $r_{A}\,>\,r_{p}$ હોવાથી $v_{p}\,>\,v_{A}$
આકૃતિ માં ત્રિજ્યા સદિશો $SB$ અને $SC$ સાથે દીર્થવૃત્ત વડે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $SBAC, SBPC$ કરતાં વધુ છે. કેપ્લરના બીજા નિયમ પરથી એકસમાન સમયમાં એકસરખું ક્ષેત્રફળ આંતરાય છે. આથી, ગ્રહને $CPB$ અંતર કરતાં $BAC$ અંતર કાપતાં વધુ સમય લાગશે.
Similar Questions
નીચેની ખાલી જગ્યા પૂરો :
$(a)$ પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વ તીવ્રતાનું મૂલ્ય ..... છે.
$(b)$ એક ઉપગ્રહની સ્થિતિઊર્જા $-\,8 \times 10^9\,J$ છે, તો તેની બંધનઊર્જા ............ છે.
$(c)$ ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ હોવા અંગેનો કેપ્લરનો બીજો નિયમ એ.......... ના સંરક્ષણના નિયમનું પરિણામ છે.
નીચેની ખાલી જગ્યા પૂરો :
$(a)$ પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વ તીવ્રતાનું મૂલ્ય ..... છે.
$(b)$ એક ઉપગ્રહની સ્થિતિઊર્જા $-\,8 \times 10^9\,J$ છે, તો તેની બંધનઊર્જા ............ છે.
$(c)$ ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ હોવા અંગેનો કેપ્લરનો બીજો નિયમ એ.......... ના સંરક્ષણના નિયમનું પરિણામ છે.
ભારતના મંગળયાનને મંગળ પર મોકલવા માટે સૂર્યની ફરતે ફરતી $EOM$ કક્ષામાં દાખલ કરવામાં આવે છે.જે પૃથ્વી પરથી $E$ બિંદુથી નીકળે છે અને $M$ બિંદુ આગળ મંગળને મળે છે.જો પૃથ્વીની કક્ષાની અર્ધ-પ્રધાન અક્ષ $a_e = 1.5 \times 10^{11}\, m$, અને મંગળની કક્ષાની અર્ધ-પ્રધાન અક્ષ $a_m= 2.28 \times 10^{11}\, m$ છે. કેપલરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મંગળયાનને પૃથ્વી પરથી મંગળ પર પહોચવા ........ $(days)$ સમય લાગશે.
ભારતના મંગળયાનને મંગળ પર મોકલવા માટે સૂર્યની ફરતે ફરતી $EOM$ કક્ષામાં દાખલ કરવામાં આવે છે.જે પૃથ્વી પરથી $E$ બિંદુથી નીકળે છે અને $M$ બિંદુ આગળ મંગળને મળે છે.જો પૃથ્વીની કક્ષાની અર્ધ-પ્રધાન અક્ષ $a_e = 1.5 \times 10^{11}\, m$, અને મંગળની કક્ષાની અર્ધ-પ્રધાન અક્ષ $a_m= 2.28 \times 10^{11}\, m$ છે. કેપલરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મંગળયાનને પૃથ્વી પરથી મંગળ પર પહોચવા ........ $(days)$ સમય લાગશે.
- [JEE MAIN 2014]
જો ઉપગ્રહ પૃથ્વી તરફ વળે તો તો તેનો પરિભ્રમણ સમય...
ઉપગ્રહ પૃથ્વીની ફરતે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા ચંદ્રની પરિભ્રમણ ત્રિજ્યા થી અડધી છે તો ઉપગ્રહને $1$ પરિભ્રમણ કરલા લાગતો સમય કેટલો હોય ?
ઉપગ્રહ પૃથ્વીની ફરતે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા ચંદ્રની પરિભ્રમણ ત્રિજ્યા થી અડધી છે તો ઉપગ્રહને $1$ પરિભ્રમણ કરલા લાગતો સમય કેટલો હોય ?
એક ગ્રહને સૂર્યને ફરતે એક પરિકમણ કરવા માટે $200$ દિવસ લાગે છે. જો ગ્રહનું સૂર્ય થી અંતર તેના મૂળ અંતર કરતા ચોથાભાગનું થાય ત્યારે એક પરિક્રમણ કરતા કેટલા દિવસો લાગશે ?
એક ગ્રહને સૂર્યને ફરતે એક પરિકમણ કરવા માટે $200$ દિવસ લાગે છે. જો ગ્રહનું સૂર્ય થી અંતર તેના મૂળ અંતર કરતા ચોથાભાગનું થાય ત્યારે એક પરિક્રમણ કરતા કેટલા દિવસો લાગશે ?
- [JEE MAIN 2024]