Viscosity and Stoke's Law and Terminal Velocity Questions in Gujarati

(D) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ એ સૂત્ર $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{dv}{dx}$ એ વેગ પ્રચલન છે.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને મળે છે $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે,ક્ષેત્રફળ $A$ નું $[L^2]$ છે,અને વેગ પ્રચલન $dv/dx$ નું $[T^{-1}]$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $[\eta] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2][T^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$.
$S.I.$ પદ્ધતિમાં,દળ માટે $kg$,લંબાઈ માટે $m$,અને સમય માટે $s$ એકમ વપરાય છે.
તેથી,સ્નિગ્ધતા ગુણાંકનો એકમ $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$ અથવા $kg/(m \cdot s)$ છે.

(A) શ્યાન માધ્યમમાં પડતા ગોળા માટે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{dv}{dt} = mg - 6\pi \eta rv$ છે.
ટર્મિનલ વેગ $v_t$ પર પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે,તેથી $mg = 6\pi \eta rv_t$.
આ કિંમત મૂકતા,$m \frac{dv}{dt} = 6\pi \eta r (v_t - v)$ મળે છે.
ગોઠવણ કરતા,$\frac{dv}{v_t - v} = \frac{6\pi \eta r}{m} dt$ મળે.
$v=0$ થી $v=0.63v_t$ સુધી સંકલન કરતા,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{m}{6\pi \eta r}$ મળે છે.
પરિમાણ ચકાસતા: $[\tau] = [T]$.
$\frac{m}{6\pi \eta r}$ નું પરિમાણ $= \frac{[M]}{[ML^{-1}T^{-1}][L]} = \frac{[M]}{[MT^{-1}]} = [T]$.
આમ,વિકલ્પ $(a)$ પરિમાણીય રીતે સાચો છે.

(B) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધતા બળ $F$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = 6\,\pi \eta \,rv$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે બળ $F$ એ ત્રિજ્યા $r$ અને વેગ $v$ બંનેના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્રથમ $100 \; m$ દરમિયાન,ગોળો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને તેનો વેગ સતત વધતો જાય છે જ્યાં સુધી તે $100 \; m$ ના અંતરે ટર્મિનલ વેગ $(v_T)$ પ્રાપ્ત ન કરે.
હવાનું ઘર્ષણ (સ્નિગ્ધ બળ) એ ગોળાના વેગના પ્રમાણમાં હોવાથી,શરૂઆતમાં બળ ઓછું હોય છે અને જેમ વેગ વધે છે તેમ તે વધતું જાય છે.
કાર્ય એ અંતર પર બળનું સંકલન છે $(W = \int F \cdot dx)$.
પ્રથમ $100 \; m$ દરમિયાન સરેરાશ વેગ,પછીના $100 \; m$ (જ્યાં વેગ $v_T$ જેટલો અચળ રહે છે) ની સરખામણીમાં ઓછો હોવાથી,પ્રથમ $100 \; m$ માં હવાના ઘર્ષણ સામે થયેલું કાર્ય બીજા $100 \; m$ માં થયેલા કાર્ય કરતા ઓછું હોય છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ટર્મિનલ વેગ $v_1 = 5 \text{ cm/s}$ છે.
જ્યારે બે ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3}r$.
ટર્મિનલ વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $v \propto r^2$.
તેથી,નવો ટર્મિનલ વેગ $v_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (2^{1/3})^2 = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
આમ,$v_2 = v_1 \times 4^{1/3} = 5 \times 4^{1/3} \text{ cm/s}$.

(C) જ્યારે દડો પાણીની સપાટીને અથડાય છે ત્યારે તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે ... $(i)$
સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં દડાનો ટર્મિનલ વેગ $v = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પાણીની ઘનતા $\sigma = 1$ લેતા,આપણને મળે છે $v = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - 1)}{\eta}$ ... (ii)
પાણીમાં પ્રવેશતી વખતે વેગ બદલાતો ન હોવાથી,આપણે $(i)$ અને (ii) ને સરખાવીએ:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - 1)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$2gh = \left( \frac{2}{9} \right)^2 \frac{r^4 g^2}{\eta^2} (\rho - 1)^2$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{1}{2g} \cdot \frac{4}{81} \cdot \frac{r^4 g^2}{\eta^2} (\rho - 1)^2$
$h = \frac{2}{81} r^4 \left( \frac{\rho - 1}{\eta} \right)^2 g$

(A) હલાવ્યા પછી પ્રવાહી કેટલી ઝડપથી સ્થિર થાય છે તેનો આધાર તેની સ્નિગ્ધતા (viscosity) પર રહેલો છે. સ્નિગ્ધતા એ પ્રવાહીના વહેવાના અવરોધનું માપ છે.
આપેલા પ્રવાહીઓમાંથી,ગ્લિસરીનનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક સૌથી વધુ છે.
ગ્લિસરીન એ પાણી અને કેરોસીન કરતા વધુ સ્નિગ્ધ હોવાથી,તેના સ્તરો વચ્ચેનું આંતરિક ઘર્ષણ બળ (સ્નિગ્ધ ખેંચાણ) ઘણું વધારે હોય છે.
આ મજબૂત સ્નિગ્ધ બળો પ્રવાહીના સ્તરોની સાપેક્ષ ગતિનો વધુ અસરકારક રીતે વિરોધ કરે છે,જેના કારણે પ્રવાહીની ગતિ ઊર્જા ઝડપથી વ્યય પામે છે.
તેથી,ગ્લિસરીન પાણી અને કેરોસીન કરતા વહેલું સ્થિર થાય છે.

(D) જ્યારે પાણીનું નાનું ટીપું હવામાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ ઉપરાંત સ્નિગ્ધતા બળ $F_v = 6\pi \eta r v$ અને ઉત્પ્લાવક બળ અનુભવે છે.
જેમ જેમ વેગ $v$ વધે છે,તેમ સ્નિગ્ધતા બળ વધે છે.
અંતે,જ્યારે ટીપાનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધતા બળના સરવાળા દ્વારા સંતુલિત થાય છે,ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ બિંદુએ,ટીપું અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે,જે $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ટર્મિનલ વેગ માત્ર પ્રવાહી અને ટીપાના ગુણધર્મો (ત્રિજ્યા,ઘનતા,સ્નિગ્ધતા) પર આધાર રાખે છે,તેથી તે $h$ ઊંચાઈથી સ્વતંત્ર છે,જો ઊંચાઈ ટર્મિનલ વેગ સુધી પહોંચવા માટે પૂરતી હોય.

(C) જ્યારે સ્નિગ્ધ પ્રવાહી નળાકાર નળીમાંથી સુરેખ રીતે (લેમિનર પ્રવાહ) વહે છે,ત્યારે પ્રવાહીના સ્તરોનો વેગ નળીના કેન્દ્રમાં મહત્તમ હોય છે અને 'નો-સ્લિપ' શરતને કારણે દિવાલો પર શૂન્ય હોય છે.
આના પરિણામે પેરાબોલિક વેગ પ્રોફાઇલ મળે છે,જ્યાં અક્ષથી $r$ અંતરે વેગ $v = v_{max} (1 - r^2/R^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે.
આકૃતિ $C$ આ પેરાબોલિક વિતરણને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે,જે કેન્દ્રમાં સૌથી વધુ વેગ અને સીમાઓ પર શૂન્ય વેગ દર્શાવે છે.

(C) પડતા પદાર્થ દ્વારા અનુભવાતો હવાનો અવરોધ તેના આકાર પર આધાર રાખે છે. સ્ટ્રીમલાઇન આકારનો પદાર્થ (જેમ કે સિગાર આકારની વસ્તુ) ન્યૂનતમ હવાના અવરોધનો અનુભવ કરે છે કારણ કે તે હવાને તેની આસપાસ સરળતાથી વહેવા દે છે,જેનાથી ટર્બ્યુલન્સ અને પ્રેશર ડ્રેગ ન્યૂનતમ થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,સપાટ વસ્તુ (જેમ કે ડિસ્ક) મહત્તમ હવાના અવરોધનો અનુભવ કરે છે કારણ કે તે તેની સપાટી પર મોટો વેક અને નોંધપાત્ર દબાણ તફાવત બનાવે છે.
તેથી,હવાના અવરોધનો ક્રમ છે: $R_3$ (સિગાર આકાર) $< R_2$ (દડો) $< R_1$ (ડિસ્ક).
આમ,સાચો સંબંધ $R_3 < R_2 < R_1$ છે.

(A) ધાતુના દડા પર લાગતા બળો:
$1$. વજન $W = V\rho g = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g$ (નીચેની તરફ)
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V\sigma g = \frac{4}{3}\pi r^3 \sigma g$ (ઉપરની તરફ)
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $F_v = 6\pi \eta r v$ (ઉપરની તરફ)
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma = V\rho a$.
$V\rho g - V\sigma g - 6\pi \eta r v = V\rho a$.
અહીં $a = g/2$ આપેલ છે,તેથી:
$V\rho g - V\sigma g - 6\pi \eta r v = V\rho (g/2)$.
$V\rho g/2 - V\sigma g = 6\pi \eta r v$.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ મૂકતા:
$\frac{4}{3}\pi r^3 g (\frac{\rho}{2} - \sigma) = 6\pi \eta r v$.
$\frac{2}{3}\pi r^3 g (\rho - 2\sigma) = 6\pi \eta r v$.
$v = \frac{r^2 g}{9\eta}(\rho - 2\sigma)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) જ્યારે સીસાનો ગોળો ગ્લિસરીન જેવા ચીકણા પ્રવાહીમાં પડે છે, ત્યારે તેના પર ત્રણ બળો લાગે છે: ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ નીચેની તરફ, અને ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ તથા સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v = 6\pi \eta rv)$ ઉપરની તરફ। પરિણામી બળ $F_{net} = mg - F_B - 6\pi \eta rv$ છે। શરૂઆતમાં, વેગ $v$ શૂન્ય હોવાથી, સ્નિગ્ધતા બળ શૂન્ય હોય છે અને પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે। જેમ વેગ વધે છે, તેમ સ્નિગ્ધતા બળ વધે છે, જેના કારણે પ્રવેગ ઘટે છે। અંતે, જ્યારે સ્નિગ્ધતા બળ અસરકારક વજનને સંતુલિત કરે છે ત્યારે પરિણામી બળ શૂન્ય થઈ જાય છે અને સીસાનો ગોળો અચળ ટર્મિનલ વેગ $(v_t)$ પ્રાપ્ત કરે છે। વેગ-અંતરનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે, ઘટતા દરે વધે છે અને ટર્મિનલ વેગના મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે। આ વર્તણૂક આલેખ $(a)$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે।

(B) જ્યારે એક નાનો ગોળાકાર દડો ચીકણા પ્રવાહીમાં છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે શરૂઆતમાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગિત થાય છે.
જેમ જેમ તેનો વેગ વધે છે,તેમ તેમ સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ (જે વેગના પ્રમાણમાં હોય છે) પણ વધે છે.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,દડા પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = mg - F_v - F_b$ છે,જ્યાં $mg$ એ વજન છે,$F_v$ એ સ્નિગ્ધ ખેંચાણ છે,અને $F_b$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
જેમ જેમ વેગ વધે છે,તેમ સ્નિગ્ધ ખેંચાણ $F_v$ વધે છે જ્યાં સુધી ચોખ્ખું બળ શૂન્ય ન થાય $(F_{net} = 0)$.
આ બિંદુએ,દડો એક અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે.
વેગ-સમયનો આલેખ વેગમાં પ્રારંભિક વધારો અને ત્યારબાદ અચળ મૂલ્ય તરફ ધીમે ધીમે અભિગમ દર્શાવવો જોઈએ.
વક્ર $B$ આ વર્તણૂક દર્શાવે છે,જ્યાં વેગ ટર્મિનલ વેગની નજીક પહોંચે તેમ ઢાળ ઘટે છે.

(D) જ્યારે એક નાનો ગોળાકાર પદાર્થ સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાંથી નીચે પડે છે, ત્યારે તેના પર ત્રણ બળો કાર્ય કરે છે: ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ નીચેની તરફ, ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ ઉપરની તરફ, અને સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ $(F_v = 6\pi\eta rv)$ ઉપરની તરફ.
શરૂઆતમાં, વેગ $v$ શૂન્ય હોય છે, તેથી સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ શૂન્ય હોય છે. પરિણામી બળ નીચેની તરફ હોય છે, જેના કારણે પદાર્થ પ્રવેગિત થાય છે.
જેમ જેમ વેગ $v$ વધે છે, તેમ સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ $F_v$ વધે છે. પરિણામી બળ $(mg - F_B - F_v)$ ઘટે છે, તેથી પ્રવેગ પણ ઘટે છે.
અંતે, સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ એટલું મોટું થઈ જાય છે કે પરિણામી બળ શૂન્ય થઈ જાય છે $(mg - F_B - F_v = 0)$. આ બિંદુએ, પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય થાય છે અને તે ટર્મિનલ વેગ તરીકે ઓળખાતા અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
આ વર્તણૂક દર્શાવતો આલેખ, જેમાં વેગ શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને ઘટતા દરે વધે છે જ્યાં સુધી તે અચળ ન થાય, તે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) મિલિકનના ઓઈલ ડ્રોપ પ્રયોગમાં,વીજભારિત તેલના ટીપાં પર લાગતા બળોને સંતુલિત કરીને ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર નક્કી કરવામાં આવે છે.
જ્યારે તેલનું ટીપું હવામાં નીચે પડે છે,ત્યારે તે સ્નિગ્ધતાના અવરોધક બળનો અનુભવ કરે છે.
$Stoke's$ ના નિયમ મુજબ,$\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધતાનું બળ $F = 6\pi\eta rv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ નિયમ તેલના ટીપાંની ત્રિજ્યા અને દળની ગણતરી કરવા માટે અનિવાર્ય છે,જે ટીપાં પરના વીજભાર $q$ ને નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $mg$ એ ટીપાંનું વજન છે અને $F_v = 6\pi \eta rv$ એ સ્નિગ્ધતા બળ (viscous drag force) છે.
$1$. જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં ટીપું $V$ ટર્મિનલ વેગ સાથે નીચે પડે છે, ત્યારે બળો સંતુલિત હોય છે:
$mg = 6\pi \eta rV$ --- $(i)$
$2$. જ્યારે ઉપરની દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ટીપું $2V$ ટર્મિનલ વેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. વિદ્યુત બળ $QE$ ઉપરની તરફ લાગે છે, જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને સ્નિગ્ધતા બળ $6\pi \eta r(2V)$ નીચેની તરફ લાગે છે:
$QE = mg + 6\pi \eta r(2V)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $mg = 6\pi \eta rV$ મૂકતા:
$QE = 6\pi \eta rV + 12\pi \eta rV = 18\pi \eta rV$ --- $(ii)$
$3$. જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટાડીને $E/2$ કરવામાં આવે, ત્યારે ધારો કે નવો ટર્મિનલ વેગ $V'$ છે. કારણ કે $QE/2 = (18\pi \eta rV)/2 = 9\pi \eta rV$, તેથી વિદ્યુત બળ હવે $9\pi \eta rV$ છે.
જો ટીપું ઉપરની તરફ ગતિ કરે, તો બળનું સંતુલન આ મુજબ છે:
$QE/2 = mg + 6\pi \eta rV'$
$9\pi \eta rV = 6\pi \eta rV + 6\pi \eta rV'$
$3\pi \eta rV = 6\pi \eta rV'$
$V' = V/2$
\text{આમ}, \text{ટીપું } $V/2$ ટર્મિનલ વેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરશે.

(B) શ્યાન પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta}$
જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,$\rho_0$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,અને $\eta$ એ શ્યાનતા ગુણાંક છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{(\rho - \rho_0)}{\eta}$.
ધારો કે $v_1$ અને $\eta_w$ એ પાણીમાં ટર્મિનલ વેગ અને શ્યાનતા છે,અને $v_2$ અને $\eta_g$ એ ગ્લિસરીનમાં ટર્મિનલ વેગ અને શ્યાનતા છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{(\rho - \rho_g)}{\eta_g} \times \frac{\eta_w}{(\rho - \rho_w)}$
આપેલ છે: $\rho = 7.8 \; g \cdot cm^{-3}$,$\rho_w = 1.0 \; g \cdot cm^{-3}$,$\rho_g = 1.2 \; g \cdot cm^{-3}$,$v_1 = 10 \; cm \cdot s^{-1}$,$\eta_w = 8.5 \times 10^{-4} \; Pa \cdot s$,$\eta_g = 13.2 \; Pa \cdot s$.
$\frac{v_2}{10} = \frac{(7.8 - 1.2)}{13.2} \times \frac{8.5 \times 10^{-4}}{(7.8 - 1.0)}$
$\frac{v_2}{10} = \frac{6.6}{13.2} \times \frac{8.5 \times 10^{-4}}{6.8} = 0.5 \times 1.25 \times 10^{-4} = 0.625 \times 10^{-4}$
$v_2 = 10 \times 0.625 \times 10^{-4} = 6.25 \times 10^{-4} \; cm \cdot s^{-1}$.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ટર્મિનલ વેગ $v_1 = 5 \, cm/s$ છે.
જ્યારે બે ટીપાં ભેગા થાય છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જ્યાં $R$ એ નવા ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$R^3 = 2r^3$,જે આપણને $R = 2^{1/3}r$ આપે છે.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto r^2$.
તેથી,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{R}{r}\right)^2$ થશે.
$R = 2^{1/3}r$ મૂકતા,આપણને $\frac{v_2}{v_1} = (2^{1/3})^2 = 2^{2/3} = (4)^{1/3}$ મળે છે.
આમ,$v_2 = v_1 \times (4)^{1/3} = 5 \times (4)^{1/3} \, cm/s$.

(C) જ્યારે ગોળાને $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીમાં પ્રવેશતા પહેલા તેનો વેગ $v$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $v = \sqrt{2gh}$ $(i)$
$r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ શ્યાનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા મળે છે: $v_t = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$. પાણીની ઘનતા $\sigma = 1$ લેતા,આપણને મળે છે: $v = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - 1)}{\eta}$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા: $\sqrt{2gh} = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - 1)}{\eta}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2gh = \left( \frac{2}{9} \right)^2 r^4 g^2 \frac{(\rho - 1)^2}{\eta^2}$
$2gh = \frac{4}{81} r^4 g^2 \frac{(\rho - 1)^2}{\eta^2}$
$h = \frac{2}{81} r^4 g \left( \frac{\rho - 1}{\eta} \right)^2$

(D) સ્નિગ્ધ ડ્રેગ બળ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = 6\pi \eta rv$,જ્યાં $v$ એ ટર્મિનલ વેગ છે.
ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર એ સ્નિગ્ધ બળ દ્વારા વ્યય થતા પાવર જેટલો હોય છે:
$P = F \cdot v = (6\pi \eta rv) \cdot v = 6\pi \eta r v^2$.
સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$,જે સૂચવે છે કે $v \propto r^2$.
પાવરના સમીકરણમાં $v \propto r^2$ મૂકતા:
$P \propto r \cdot (r^2)^2 = r \cdot r^4 = r^5$.
તેથી,ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર $r^5$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) ઘર્ષણ અવરોધ $f_{r}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$f_{r} \propto A$ અને $f_{r} \propto v^{2}$
$f_{r} = k A v^{2}$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
નીચેની તરફ લાગતું બળ (વજન) નીચે મુજબ છે: $W = mg = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g$.
ટર્મિનલ વેગ પર,નીચેની તરફ લાગતું બળ ઘર્ષણ અવરોધ દ્વારા સંતુલિત થાય છે (હવામાં ઉત્પ્લાવક બળ સામાન્ય રીતે અવગણ્ય હોવાથી તેને અવગણતા):
$mg = f_{r}$
$\frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g = k (\pi r^{2}) v^{2}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{4}{3} r \rho g = k v^{2}$
અહીં $\rho$,$g$,અને $k$ અચળાંક હોવાથી:
$r \propto v^{2}$
$v \propto r^{1/2}$

(B) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના બે ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે.
$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3}r$
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ ગોળાકાર ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે વ્યક્તિગત ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ છે અને મોટા ટીપાનો ટર્મિનલ વેગ $v'$ છે.
$\frac{v'}{v} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2^{1/3}r)^2}{r^2} = (2^{1/3})^2 = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
તેથી,નવો ટર્મિનલ વેગ $v' = 4^{1/3}v$ થશે.

(C) જ્યારે વરસાદનું ટીપું હવામાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે તેના પર ગુરુત્વાકર્ષણ,ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ (viscous drag force) લાગે છે.
શરૂઆતમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે વરસાદના ટીપાનો વેગ વધે છે.
જેમ જેમ વેગ વધે છે,તેમ સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ (જે વેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે) પણ વધે છે.
અંતે,જ્યારે સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ અને ઉત્પ્લાવક બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે,ત્યારે વરસાદના ટીપા પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ બિંદુએ,વરસાદનું ટીપું અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ (terminal velocity) કહેવામાં આવે છે.
વેગ $(v)$ વિરુદ્ધ સમય $(t)$ નો આલેખ વેગમાં શરૂઆતનો વધારો અને ત્યારબાદ અચળ મૂલ્ય તરફ જવાની સ્થિતિ દર્શાવે છે.
આલેખ $C$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં જેમ વેગ ટર્મિનલ વેગની નજીક પહોંચે છે તેમ તેનો ઢાળ ઘટતો જાય છે.

(D) ટર્મિનલ વેગ $v_T$ માટેનું સૂત્ર સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \rho_L)g}{\eta}$.
આપેલ છે: $r = 0.003 \ m$,$\rho_L = 1260 \ kg \cdot m^{-3}$,$\rho = 2 \times \rho_L = 2520 \ kg \cdot m^{-3}$,$\eta = 1.260 \ N \cdot s \cdot m^{-2}$,અને $g = 10 \ m \cdot s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{(0.003)^2 \times (2520 - 1260) \times 10}{1.260}$
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{9 \times 10^{-6} \times 1260 \times 10}{1.260}$
$v_T = 2 \times 10^{-6} \times 1000 \times 10 = 0.02 \ m \cdot s^{-1}$.
$10 \ cm$ અને $20 \ cm$ ના નિશાન વચ્ચેનું અંતર $d = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
દડો ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરી ચૂક્યો હોવાથી,લાગતો સમય $t$:
$t = \frac{d}{v_T} = \frac{0.1 \ m}{0.02 \ m \cdot s^{-1}} = 5 \ s$.

(A) ધારો કે $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ તેની ઘનતા છે. ધારો કે $\rho_0$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
પ્રારંભિક પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{\text{Net Force}}{\text{Mass}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3(\rho - \rho_0)g}{\frac{4}{3}\pi r^3\rho} = \left(\frac{\rho - \rho_0}{\rho}\right)g$
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ ટર્મિનલ વેગ $v_t$:
$v_t = \frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta}$
આપેલ છે કે સરેરાશ પ્રવેગ $a_{avg} = \frac{a}{2}$ છે,અને ગતિના સમીકરણ $v_t = u + a_{avg}t$ નો ઉપયોગ કરતા $(u=0)$:
$v_t = \left(\frac{a}{2}\right)t$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta} = \frac{1}{2} \left(\frac{\rho - \rho_0}{\rho}\right)g \cdot t$
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = \frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta} \cdot \frac{2\rho}{(\rho - \rho_0)g} = \frac{4\rho r^2}{9\eta}$

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો ગોળો જ્યારે $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તેનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$v_t = \frac{2}{9} r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$
દડાનું દળ $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ છે,તેથી $\rho = \frac{3m}{4 \pi r^3}$.
વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું દળ $m' = \frac{4}{3} \pi r^3 \sigma$ છે,તેથી $\sigma = \frac{3m'}{4 \pi r^3}$.
આ કિંમતોને ટર્મિનલ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_t = \frac{2}{9} r^2 g \frac{1}{\eta} \left( \frac{3m}{4 \pi r^3} - \frac{3m'}{4 \pi r^3} \right)$
$v_t = \frac{2}{9} r^2 g \frac{1}{\eta} \left( \frac{3(m - m')}{4 \pi r^3} \right)$
$v_t = \frac{6 g (m - m')}{36 \pi \eta r} = \frac{g (m - m')}{6 \pi \eta r}$
અહીં $g$,$\pi$,અને $\eta$ અચળાંક હોવાથી,$v_t \propto \frac{m - m'}{r}$ મળે છે.

(C) જ્યારે કોઈ ગોળો સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તે ત્રણ બળો અનુભવે છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ નીચેની તરફ,ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ ઉપરની તરફ અને સ્નિગ્ધ અવરોધક બળ $(F_v = 6 \pi \eta R v)$ ઉપરની તરફ.
પરિણામી બળ $F_{net} = mg - F_B - 6 \pi \eta R v = ma$.
અહીં $m, g, F_B, \eta, R$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $ma = C_1 - C_2 v$,જ્યાં $C_1 = mg - F_B$ અને $C_2 = 6 \pi \eta R$.
આ દર્શાવે છે કે પ્રવેગ $a$ એ વેગ $v$ નું સુરેખ વિધેય છે $(a = \frac{C_1}{m} - \frac{C_2}{m} v)$. તેથી,$a$ વિરુદ્ધ $v$ નો આલેખ ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા હોવો જોઈએ,વક્ર નહીં.
આલેખ $C$ માં $a$ વિરુદ્ધ $v$ ને વક્ર તરીકે દર્શાવેલ છે,જે ખોટું છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ એ ખોટો આલેખ છે.

(A) જ્યારે કોઈ દડો સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડે છે,ત્યારે તે શરૂઆતમાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગિત થાય છે. જેમ જેમ તેનો વેગ વધે છે,તેમ તેમ સ્નિગ્ધ અવરોધક બળ વધે છે જ્યાં સુધી ચોખ્ખું બળ શૂન્ય ન થાય.
આ બિંદુએ,દડો અચળ ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
સ્થાનાંતર $s$ એ સમય $t$ સાથે અચળ વેગ માટે $s = vt$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,સ્થાનાંતર-સમયના આલેખમાં શરૂઆતમાં પ્રવેગ દર્શાવતો વળાંક હોવો જોઈએ,ત્યારબાદ ટર્મિનલ વેગ દર્શાવતી અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા હોવી જોઈએ.
આલેખ $A$ એક વળાંક દર્શાવે છે જે સમય જતાં રેખીય બને છે,જે સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં ટર્મિનલ વેગ સુધી પહોંચતા દડાની ગતિને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(D) ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ જેની ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનતા $\rho$ છે, જે $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડે છે, તેનું સૂત્ર: $v_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r$, પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$, સ્નિગ્ધતા $\eta$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ બંને ગોળાઓ માટે સમાન હોવાથી, $v_T \propto (\rho - \sigma)$ થાય.
તેથી, $\frac{v_{T, \text{silver}}}{v_{T, \text{gold}}} = \frac{\rho_{\text{silver}} - \sigma}{\rho_{\text{gold}} - \sigma}$.
આપેલ છે કે $\rho_{\text{gold}} = 19.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, $\rho_{\text{silver}} = 10.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, $\sigma = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, અને $v_{T, \text{gold}} = 0.2 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{T, \text{silver}}}{0.2} = \frac{10.5 - 1.5}{19.5 - 1.5} = \frac{9}{18} = 0.5$.
આમ, $v_{T, \text{silver}} = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m/s$.

(B) ટર્મિનલ ઝડપ $(v_t)$ પર,દડા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,દડાનું નીચેની તરફનું વજન એ ઉપરની તરફ લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) અને સ્નિગ્ધ બળ (viscous force) દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$Weight = \text{Buoyant force} + \text{Viscous force}$
$V\rho_1 g = V\rho_2 g + kv_t^2$
$kv_t^2 = Vg(\rho_1 - \rho_2)$
$v_t^2 = \frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}$
$v_t = \sqrt{\frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}}$

(C) પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_L$ અને સ્નિગ્ધતા $\eta$ ધરાવતા પ્રવાહીમાં $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_L)$
ગોળાનું કદ અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,$r$,$g$ અને $\eta$ અચળ છે.
તેથી,$v_T \propto (\rho - \rho_L)$.
સોના માટે: $v_{Tg} = 0.2 \ m/s$,$\rho_g = 19.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_L = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$v_{Tg} \propto (19.5 - 1.5) \times 10^3 = 18 \times 10^3$.
ચાંદી માટે: $v_{Ts} = ?, \rho_s = 10.5 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$v_{Ts} \propto (10.5 - 1.5) \times 10^3 = 9 \times 10^3$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_{Ts}}{v_{Tg}} = \frac{9 \times 10^3}{18 \times 10^3} = \frac{1}{2}$.
$v_{Ts} = 0.2 \times \frac{1}{2} = 0.1 \ m/s$.

(A) ગોળો $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી નીચે પડી રહ્યો હોવાથી,તેની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} mv^2$ સમય સાથે અચળ રહે છે. તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફારનો દર $0$ છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $PE$ એ $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ ગોળો નીચે પડે છે,તેમ તેની ઊંચાઈ $h$ સમય સાથે ઘટે છે. સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{d(PE)}{dt} = mg \frac{dh}{dt}$ છે.
ગોળો $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી નીચેની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,ઊંચાઈમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dh}{dt} = -v$ છે. આમ,સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર $-mgv$ છે. આ દર્શાવે છે કે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $mgv$ ના દરે ઘટે છે.

(A) ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થનો ઘનતા $\sigma$ અને સ્નિગ્ધતા $\eta$ ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નીચે મુજબ છે:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$
અહીં,$g$ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$\rho$ ગોળાની ઘનતા છે,$\sigma$ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
આપેલ તંત્ર માટે $g, \rho, \sigma,$ અને $\eta$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$v_t = K r^2$,જ્યાં $K = \frac{2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ એક અચળાંક છે.
આ સમીકરણ $y = mx$ પ્રકારનું છે,જે દર્શાવે છે કે જ્યારે $v_t$ ને $r^2$ ની સાપેક્ષમાં આલેખવામાં આવે ત્યારે તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ધન ઢાળ $K$ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે.

(A) હવાનો પરપોટો જ્યારે અચળ વેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય $(a = 0)$ હોય છે.
પરપોટા પર લાગતા બળોમાં સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v)$ નીચેની તરફ,ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ ઉપરની તરફ અને પરપોટાનું વજન $(mg)$ હોય છે. હવાની ઘનતા પ્રવાહીની સાપેક્ષમાં નગણ્ય હોવાથી વજનને અવગણવામાં આવે છે.
બળોને સરખાવતા: $F_v = F_B$
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ સ્નિગ્ધતા બળ: $F_v = 6 \pi \eta r v$
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ ઉત્પ્લાવક બળ: $F_B = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} \times g = (\frac{4}{3} \pi r^3) \rho g$
બંનેને સરખાવતા: $6 \pi \eta r v = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$
$\eta$ માટે ઉકેલતા: $\eta = \frac{4 \pi r^3 \rho g}{3 \times 6 \pi r v} = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{v}$.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં ગતિ કરે છે ત્યારે ટર્મિનલ વેગ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય. આમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન),ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધતાનું અવરોધક બળ સામેલ હોય છે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,વજન $W = mg$ નીચેની તરફ લાગે છે,જે ગોળાને માધ્યમમાં ગતિ કરવા માટે જરૂરી બળ પૂરું પાડે છે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની બહારના વિસ્તારમાં,ગોળા પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) શૂન્ય હોય છે $(g = 0)$.
કારણ કે સ્નિગ્ધતાના અવરોધને દૂર કરવા માટે કોઈ પ્રેરક બળ નથી,તેથી ગોળો માધ્યમમાં ગતિ કરશે નહીં.
તેથી,ટર્મિનલ વેગ શૂન્ય હશે.

(C) જ્યારે એક નાનો ગોળાકાર દડો ચીકણા પ્રવાહીમાં નાખવામાં આવે છે,ત્યારે તે શરૂઆતમાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગિત થાય છે.
જેમ જેમ તેનો વેગ વધે છે,તેમ તેમ સ્નિગ્ધતા બળ (જે વેગના પ્રમાણમાં હોય છે) પણ વધે છે.
અંતે,જ્યારે સ્નિગ્ધતા બળ અને ઉત્પ્લાવક બળ દડાના વજનને સંતુલિત કરે છે ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ બિંદુએ,દડો એક અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખમાં,$y$-અક્ષ વેગ દર્શાવે છે અને $x$-અક્ષ અંતર દર્શાવે છે.
જેમ જેમ દડો નીચે પડે છે,તેમ તેમ તેનો વેગ શરૂઆતમાં વધે છે અને પછી ટર્મિનલ વેગની નજીક પહોંચતા તે અચળ મૂલ્ય પર સ્થિર થઈ જાય છે.
વક્ર $C$ વેગને વધતો અને પછી અંતરના સંદર્ભમાં અચળ થતો દર્શાવે છે,જે ચીકણા પ્રવાહીમાં દડાની ગતિને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનતા $\rho$ ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થનો ઘનતા $\sigma$ અને સ્નિગ્ધતા $\eta$ ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v$,સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$
અહીં,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
આપણે $v$ ($y-$ અક્ષ પર) અને $r^2$ ($x-$ અક્ષ પર) વચ્ચે આલેખ દોરીએ છીએ.
ધારો કે $y = v$ અને $x = r^2$.
સમીકરણ $y = \left( \frac{2g(\rho - \sigma)}{9\eta} \right) x$ બને છે.
આ $y = mx$ પ્રકારનું સમીકરણ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ધન ઢાળ $m = \frac{2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે (પદાર્થ નીચે પડે તે માટે $\rho > \sigma$ ધારતા).
તેથી,આલેખ ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.

(C) જ્યારે દડો અચળ વેગ (ટર્મિનલ વેલોસિટી) પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
ટર્મિનલ વેલોસિટી પર,સંતુલનની સ્થિતિ:
$mg = F_B + F_v$
$F_v = mg - F_B$
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$F_B = V \sigma g$,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
$m = V \rho$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\rho}$ મળે.
$V$ ની કિંમત ઉત્પ્લાવક બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_B = \left( \frac{m}{\rho} \right) \sigma g = mg \left( \frac{\sigma}{\rho} \right)$.
હવે,$F_B$ ની કિંમત સંતુલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_v = mg - mg \left( \frac{\sigma}{\rho} \right)$
$F_v = mg \left( 1 - \frac{\sigma}{\rho} \right)$.

(B) ધારો કે દડાનું કદ $V$ છે. જ્યારે દડો ઉપર તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તેના પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = (2\rho)Vg$ (ઉપરની તરફ).
$2$. દડાનું વજન $W = \rho Vg$ (નીચેની તરફ).
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $F_v = 6\pi \eta r v$ (નીચેની તરફ,ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં).
દડા પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_B - W - F_v = (2\rho Vg) - (\rho Vg) - F_v = \rho Vg - F_v$ છે.
જેમ દડો ઉપર જાય છે,તેમ તેનો વેગ $v$ વધે છે,જેના કારણે સ્નિગ્ધતા બળ $F_v$ વધે છે.
$F_{net} = \rho Vg - F_v$ હોવાથી,જેમ $F_v$ વધે છે,તેમ પરિણામી બળ $F_{net}$ ઘટે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$,તેથી જેમ દડો ઉપર જાય છે તેમ પ્રવેગ $a = F_{net}/m$ ઘટશે.

(B) જ્યારે પ્રવાહીને હલાવવામાં આવે છે,ત્યારે શ્યાનતાના ગુણધર્મને કારણે તેના સ્તરો વચ્ચે આંતરિક ઘર્ષણ ઉદભવે છે. પાત્રની દીવાલના સંપર્કમાં રહેલું પ્રવાહીનું સ્તર સ્થિર રહે છે,અને આ સ્તર તેની બાજુના ગતિશીલ સ્તર પર અવરોધક બળ લગાડે છે. આ પ્રક્રિયા સમગ્ર પ્રવાહીમાં ચાલુ રહે છે,જે ધીમે ધીમે ગતિ ઊર્જાનો વ્યય કરે છે જ્યાં સુધી આખું પ્રવાહી સ્થિર ન થઈ જાય.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$64$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ મોટા ટીપાંના કદ જેટલું થાય: $64 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આથી $R^3 = 64 r^3$,એટલે કે $R = 4r$ મળે.
ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જે દર્શાવે છે કે $V_T \propto r^2$.
ધારો કે નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V_{T1} = 1.5 \ m/s$ છે અને મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V_{T2}$ છે.
તેથી,$\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(4r)^2}{r^2} = 16$.
આમ,$V_{T2} = 16 \times V_{T1} = 16 \times 1.5 \ m/s = 24 \ m/s$.

(B) જ્યારે દડાનો વેગ અચળ બને છે,ત્યારે તેને ટર્મિનલ વેગ કહેવામાં આવે છે. આ સ્થિતિમાં,દડા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડાનું વજન $(W = Mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B = V d_2 g)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં: $F_v + F_B = W$
$F_v = W - F_B$
$F_v = Mg - V d_2 g$
દડાનું કદ $V = \frac{M}{d_1}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$F_v = Mg - \left(\frac{M}{d_1}\right) d_2 g$
$F_v = Mg \left(1 - \frac{d_2}{d_1}\right)$

(B) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F_v = 6 \pi \eta r v$.
ટર્મિનલ વેગ પર,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સ્નિગ્ધ અવરોધક બળ જેટલું હોય છે (ઉત્પ્લાવક બળને અવગણતા): $mg = 6 \pi \eta r v$.
કારણ કે $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,તેથી $\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 g = 6 \pi \eta r v$.
આ સમીકરણ પરથી સાબિત થાય છે કે $v \propto r^2$.
$r$ ત્રિજ્યા માટે $v_r = 1 \, cm \, s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $2r$ ત્રિજ્યા માટે $v_{2r}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{v_{2r}}{v_r} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
તેથી,$v_{2r} = 4 \times v_r = 4 \times 1 = 4 \, cm \, s^{-1}$.

(B) વર્ષમાં પ્રતિ ચોરસ મીટર દીઠ મળતા વરસાદનું કદ $V = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ} = 1 \, m^2 \times 1 \, m = 1 \, m^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $d = 10^3 \, kg/m^3$ હોવાથી, આ પાણીનું કુલ દળ $M = d \times V = 10^3 \, kg/m^3 \times 1 \, m^3 = 10^3 \, kg$ થાય.
વરસાદ દ્વારા સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} M v^2$ છે, જ્યાં $v$ એ ટર્મિનલ વેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{1}{2} \times 10^3 \, kg \times (9 \, m/s)^2$.
$E = 0.5 \times 10^3 \times 81 = 40.5 \times 10^3 \, J = 4.05 \times 10^4 \, J$.

(C) ધારો કે $W$ એ દડાનું વજન છે,$T$ એ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) છે,અને $F$ એ સ્નિગ્ધતા બળ (viscous force) છે.
જ્યારે દડો $v_1 = 10\, cm/s$ ના અચળ ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડે છે,ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે:
$W - T - F_1 = 0 \implies F_1 = W - T = W_{eff}$,જ્યાં $W_{eff}$ એ અસરકારક વજન છે.
$F_1 = 6\pi\eta r v_1$ હોવાથી,$W_{eff} = 6\pi\eta r v_1$ મળે.
હવે,દડાને $F_{ext} = 2 W_{eff}$ જેટલા બાહ્ય બળથી ઉપર ખેંચવામાં આવે છે.
ધારો કે નવો ઉપરની તરફનો વેગ $v_2$ છે. દડા પર લાગતા બળો: બાહ્ય બળ $F_{ext}$ (ઉપર),ઉત્પ્લાવક બળ $T$ (ઉપર),વજન $W$ (નીચે),અને નવું સ્નિગ્ધતા બળ $F_2$ (નીચે,કારણ કે દડો ઉપર જાય છે).
અચળ વેગ $v_2$ માટે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે:
$F_{ext} + T - W - F_2 = 0$
$F_{ext} - (W - T) = F_2$
$2 W_{eff} - W_{eff} = F_2$
$F_2 = W_{eff}$
$F_2 = 6\pi\eta r v_2$ હોવાથી,$6\pi\eta r v_2 = 6\pi\eta r v_1$ મળે.
તેથી,$v_2 = v_1 = 10\, cm/s$.

(A) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,જ્યારે $a$ ત્રિજ્યાનો એક નાનો ગોળો સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તે અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ $(V_T)$ કહેવામાં આવે છે.
ટર્મિનલ વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_T = \frac{2a^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં:
$a$ = ગોળાની ત્રિજ્યા
$\rho$ = ગોળાની ઘનતા
$\sigma$ = પ્રવાહીની ઘનતા
$g$ = ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ
$\eta$ = પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_T \propto a^2$.
તેથી,ટર્મિનલ વેગ એ ગોળાની ત્રિજ્યાના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનો સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા અને $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v_T \propto r^2$.
ધારો કે મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે. જ્યારે ગોળાને $27$ સમાન નાના ગોળાઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે કુલ કદ સમાન રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3 \Rightarrow R = 3r \Rightarrow r = R/3$.
હવે,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{R^2}{(R/3)^2} = \frac{R^2}{R^2/9} = 9$.
આમ,ગુણોત્તર $(\nu_1/\nu_2)$ નું મૂલ્ય $9$ છે.