Velocity of Efflux and Torricelli's law Questions in Hindi

(C) $\text{टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग } v = \sqrt{2gh_{eff}} \text{ द्वारा दिया जाता है, जहाँ } h_{eff} \text{ पानी के स्तंभ की समतुल्य ऊँचाई है जो तल पर समान दबाव डालती है।}
\text{तल पर दबाव } P = P_{atm} + \rho_k g h_k + \rho_w g h_w.
\text{यहाँ, } \rho_k = 0.8 \,g/cm^3, h_k = 25 \,cm = 0.25 \,m, \rho_w = 1.0 \,g/cm^3, h_w = 20 \,cm = 0.20 \,m.
\text{पानी की समतुल्य ऊँचाई } h_{eff} = \frac{\rho_k h_k + \rho_w h_w}{\rho_w} = \frac{0.8 \times 25 + 1.0 \times 20}{1.0} = 20 + 20 = 40 \,cm = 0.4 \,m.
\text{अब, } v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.4} = \sqrt{7.84} = 2.8 \,m/s.$

(D) आयतन प्रवाह दर $R_v$ को $R_v = A \times v$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $v$ टोरिसेली के नियम के अनुसार बहिर्वाह का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
वर्गाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_1 = x^2$, गहराई $h_1 = 2 \,m$। वेग $v_1 = \sqrt{2g(2)} = 2\sqrt{g}$। प्रवाह दर $R_{v1} = x^2 \times 2\sqrt{g}$।
त्रिभुजाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4)^2 = 4\sqrt{3} \,cm^2$, गहराई $h_2 = 6 \,m$। वेग $v_2 = \sqrt{2g(6)} = \sqrt{12g} = 2\sqrt{3g}$। प्रवाह दर $R_{v2} = 4\sqrt{3} \times 2\sqrt{3g} = 24\sqrt{g}$।
प्रवाह दरों को बराबर करने पर: $x^2 \times 2\sqrt{g} = 24\sqrt{g}$।
$x^2 = 12$।
$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \,cm$।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
दिया गया है: $h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \ m \ s^{-1}$.
प्रति सेकंड बाहर निकलने वाले पानी का आयतन $Q = A \times v$ है,जहाँ $A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Q = 1 \times 10^{-6} \ m^2 \times 2 \ m \ s^{-1} = 2 \times 10^{-6} \ m^3 \ s^{-1}$.
$t = 0.6 \ s$ समय में बाहर आने वाले पानी का द्रव्यमान $m = \rho \times Q \times t$ है।
$m = 1000 \ kg \ m^{-3} \times 2 \times 10^{-6} \ m^3 \ s^{-1} \times 0.6 \ s$.
$m = 1000 \times 1.2 \times 10^{-6} \ kg = 1.2 \times 10^{-3} \ kg = 1.2 \ g$.

(B) टंकी के तल पर बने छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $(v)$ टोरिसेली के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{2gh}$।
दिया गया है:
पानी के स्तर की ऊँचाई,$h = 5 \,m$।
छेद का क्षेत्रफल,$A = 2.4 \,mm^2 = 2.4 \times 10^{-6} \,m^2$।
समय,$t = 5 \,s$।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$।
बाहर निकले पानी का आयतन $(V)$,छेद के क्षेत्रफल,वेग और समय के गुणनफल के बराबर होता है:
$V = A \times v \times t = A \sqrt{2gh} \times t$।
मान रखने पर:
$V = (2.4 \times 10^{-6} \,m^2) \times \sqrt{2 \times 10 \,ms^{-2} \times 5 \,m} \times 5 \,s$।
$V = 2.4 \times 10^{-6} \times \sqrt{100} \times 5$।
$V = 2.4 \times 10^{-6} \times 10 \times 5$।
$V = 2.4 \times 50 \times 10^{-6} \,m^3$।
$V = 120 \times 10^{-6} \,m^3$।

(C) $h$ गहराई पर स्थित छिद्र के लिए बहिःस्राव का वेग $(v)$ टोरिसेली के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{2gh}$
यहाँ $h = 20.0 \ m$ और $g = 10 \ m s^{-2}$ दिया गया है:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m s^{-1}$
आयतन प्रवाह दर $(Q)$,छिद्र के क्षेत्रफल $(A)$ और बहिःस्राव के वेग $(v)$ का गुणनफल है:
$Q = A \times v$
$3.08 \times 10^{-5} = \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) \times 20$
$d^2$ के लिए हल करने पर:
$d^2 = \frac{4 \times 3.08 \times 10^{-5}}{20 \times \pi} = \frac{12.32 \times 10^{-5}}{62.83} \approx 1.96 \times 10^{-6} \ m^2$
वर्गमूल लेने पर:
$d = \sqrt{1.96 \times 10^{-6}} = 1.4 \times 10^{-3} \ m = 1.4 \ mm$

(C) दिया गया है कि बेलन की ऊँचाई $H = 50 \,cm$ है।
माना छेद तल से $h$ ऊँचाई पर है। छेद के ऊपर पानी के स्तंभ की ऊँचाई $(H - h)$ है।
बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2g(H - h)}$ है।
पानी को मेज तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $x$ का मान $x = v \cdot t = \sqrt{2g(H - h)} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H - h)}$ है।
अधिकतम परास $x_{\max }$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dx}{dh} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{h(H - h)}} \cdot (H - 2h) = 0$.
इससे $H - 2h = 0$,या $h = \frac{H}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के समीकरण में $h = \frac{H}{2}$ रखने पर:
$x_{\max } = 2\sqrt{\frac{H}{2}(H - \frac{H}{2})} = 2\sqrt{\frac{H}{2} \cdot \frac{H}{2}} = H$.
दिया गया है $H = 50 \,cm$,इसलिए $x_{\max } = 50 \,cm$।

(A) माना $A$ बेलन के आधार का क्षेत्रफल है और $A_0$ छिद्र का क्षेत्रफल है। छिद्र के ऊपर पानी की प्रारंभिक ऊँचाई $x$ है। पानी की कुल ऊँचाई $H = 1 \,m = 100 \,cm$ है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gx}$ है।
पानी के स्तर में परिवर्तन की दर $A \frac{dx}{dt} = -A_0 \sqrt{2gx}$ द्वारा दी जाती है।
चरों को अलग करके $x$ से $0$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{x}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x}} = -\frac{A_0}{A} \sqrt{2g} \int_{0}^{t} dt$
$2\sqrt{x} = \frac{A_0}{A} \sqrt{2g} \cdot t$
दिया गया है कि $\frac{A}{A_0} = 100$, $t = 20 \,s$, और $g = 10 \,m/s^2$:
$2\sqrt{x} = \frac{1}{100} \sqrt{2 \times 10} \times 20$
$2\sqrt{x} = \frac{1}{100} \times \sqrt{20} \times 20 = \frac{20}{100} \times 2\sqrt{5} = 0.4\sqrt{5}$
$\sqrt{x} = 0.2\sqrt{5} \Rightarrow x = 0.04 \times 5 = 0.2 \,m = 20 \,cm$.
आधार से छिद्र की ऊँचाई $h = H - x = 100 \,cm - 20 \,cm = 80 \,cm$ है।

(A) आयतन प्रवाह दर (प्रति सेकंड पानी की मात्रा) $Q = A v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $v$ बहिःस्राव का वेग है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
वर्गाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_1 = L^2$ और गहराई $h_1 = y$ है। अतः,$v_1 = \sqrt{2gy}$।
प्रवाह दर $Q_1 = A_1 v_1 = L^2 \sqrt{2gy}$ है।
वृत्ताकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_2 = \pi R^2$ और गहराई $h_2 = 4y$ है। अतः,$v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$ है।
प्रवाह दर $Q_2 = A_2 v_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$ है।
यह दिया गया है कि $Q_1 = Q_2$,इसलिए:
$L^2 \sqrt{2gy} = 2\pi R^2 \sqrt{2gy}$।
दोनों पक्षों से $\sqrt{2gy}$ को हटाने पर,हमें $L^2 = 2\pi R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$,जिससे $R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$ प्राप्त होता है।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर स्थित छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
$A$ क्षेत्रफल वाले छेद से बाहर निकलने वाली पानी की धारा द्वारा लगाया गया बल $F = \rho A v^2$ द्वारा दिया जाता है।
$h_1$ गहराई पर स्थित ऊपरी छेद के लिए बल $F_1 = \rho A (2gh_1)$ है।
$h_2 = h_1 + h$ गहराई पर स्थित निचले छेद के लिए,जहाँ $h = 1 \,m$ छेदों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी है,बल $F_2 = \rho A (2g(h_1 + h))$ है।
चूंकि छेद विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं। टैंक पर लगने वाला कुल बल $F_{net}$ इन बलों का अंतर है:
$F_{net} = F_2 - F_1 = \rho A (2g(h_1 + h)) - \rho A (2gh_1) = 2 \rho A g h$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\rho = 1000 \,kg/m^3$,$A = 0.01 \,m^2$,$g = 10 \,m/s^2$,और $h = 1 \,m$:
$F_{net} = 2 \times 1000 \times 0.01 \times 10 \times 1 = 200 \,N$.

(C) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
माना टंकी का क्षेत्रफल $A$ है और छेद का क्षेत्रफल $a$ है। ऊँचाई में परिवर्तन की दर $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$ प्राप्त होता है।
ऊँचाई $h_1$ से $h_2$ तक समाकलन करने पर,लगा समय $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ है।
पहले अंतराल ($h$ से $h/2$) के लिए: $t_1 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (1 - 1/\sqrt{2})$।
दूसरे अंतराल ($h/2$ से $0$) के लिए: $t_2 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (1/\sqrt{2})$।
अनुपात लेने पर: $t_1/t_2 = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$।

(C) टोरिसेली के नियम के अनुसार छेद से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $v = \sqrt{2gd}$ है।
द्रव जिस ऊर्ध्वाधर ऊंचाई से नीचे गिरता है वह $h$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करके निकाला जा सकता है,जिससे $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास (Range) $R$,क्षैतिज वेग और उड़ान के समय का गुणनफल है:
$R = v \times t = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $R^2 = 2gd \times \frac{2h}{g} = 4dh$ प्राप्त होता है।
अतः,गहराई $d$ का मान $d = \frac{R^2}{4h}$ है।

(D) दिया गया है: छिद्र का व्यास $D = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$, श्यानता $\eta = 1 \,cP = 10^{-3} \,Pa \cdot s$, घनत्व $\rho = 10^3 \,kg/m^3$, $g = 10 \,m/s^2$.
प्रवाह के अशांत होने के लिए, रेनॉल्ड्स संख्या $R_e$ का मान क्रांतिक मान से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए, जिसे आमतौर पर $R_e = 3000$ लिया जाता है।
रेनॉल्ड्स संख्या का सूत्र $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$ है।
वेग $v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v = \frac{R_e \eta}{\rho D} = \frac{3000 \times 10^{-3}}{10^3 \times 2 \times 10^{-3}} = 1.5 \,m/s$.
टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिर्वाह का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 = 2gh \Rightarrow h = \frac{v^2}{2g}$.
मान रखने पर: $h = \frac{(1.5)^2}{2 \times 10} = \frac{2.25}{20} = 0.1125 \,m = 11.25 \,cm$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर, हमें $11 \,cm$ प्राप्त होता है।

(D) टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर तरल के बाहर निकलने का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है। चूंकि दोनों टैंकों में छेद समान गहराई $h$ पर हैं,इसलिए दोनों तरल पदार्थों के लिए बाहर निकलने का वेग समान होगा: $v_1 = v_2 = \sqrt{2gh}$।
द्रव्यमान प्रवाह (प्रति इकाई समय में द्रव्यमान) $\dot{m} = \rho A v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$A$ छेद का क्षेत्रफल है,और $v$ बाहर निकलने का वेग है।
टैंक $A$ के लिए: $\dot{m}_A = \rho_A A_A v_A$।
टैंक $B$ के लिए: $\dot{m}_B = \rho_B A_B v_B$।
दिया गया है कि द्रव्यमान प्रवाह समान है,$\dot{m}_A = \dot{m}_B$,और $A_B = 2A_A$:
$\rho_A A_A v = \rho_B (2A_A) v$।
दोनों तरफ से $A_A$ और $v$ को हटाने पर:
$\rho_A = 2 \rho_B$।
अतः,घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$ है। यदि प्रश्न $\frac{\rho_B}{\rho_A}$ का अनुपात पूछता है,तो उत्तर $\frac{1}{2}$ होगा।

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ छिद्र के ऊपर पानी के स्तर की ऊँचाई है।
जैसे-जैसे पानी बाहर निकलता है,ऊँचाई $h$ समय के साथ कम होती जाती है।
चूँकि बहिःस्राव का वेग $v$,$\sqrt{h}$ के समानुपाती होता है,इसलिए पानी का स्तर गिरने पर वेग कम हो जाता है।
चूँकि पानी का स्तर कम होने पर वेग कम होता है,इसलिए ऊँचाई घटने के साथ समान आयतन का पानी बाहर निकालने में अधिक समय लगता है।
इसलिए,पहले $5 \text{ लीटर}$ पानी को बाहर निकालने में लगा समय $(t_1)$ सबसे कम है और अंतिम $5 \text{ लीटर}$ पानी को बाहर निकालने में लगा समय $(t_3)$ सबसे अधिक है।
अतः,$t_1 < t_2 < t_3$.

(C) माना बर्तन की कुल ऊँचाई $H = 50 \ cm$ है। माना छेद तल से $y$ ऊँचाई पर बनाया गया है। तो मुक्त सतह से छेद की गहराई $h = H - y = 50 - y$ होगी।
पानी की धार का वेग $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(50-y)}$ है।
पानी को मेज तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$ है।
क्षैतिज परास (range) $R = v \times t = \sqrt{2g(50-y)} \times \sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{y(50-y)}$ द्वारा दी जाती है।
परास $R$ को अधिकतम करने के लिए,हम $R$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dR}{dy} = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{y(50-y)}} \times (50 - 2y) = 0$.
इससे $50 - 2y = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = 25 \ cm$.
इस प्रकार,छेद को तल से $25 \ cm$ की ऊँचाई पर बनाया जाना चाहिए।

(D) पानी की ऊपरी सतह और छेद पर बर्नौली के सिद्धांत को लागू करने पर:
$P_{atm} + \rho g h + \frac{1}{2} \rho v_{top}^2 = P_{atm} + 0 + \frac{1}{2} \rho v_{hole}^2$
चूंकि टंकी का व्यास बड़ा है,इसलिए ऊपरी सतह पर वेग $v_{top} \approx 0$ माना जा सकता है।
अतः,टोरिसेली के नियम के अनुसार छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग:
$v = \sqrt{2gh}$
यहाँ $g = 9.8 \ m/s^2$ और $h = 0.2 \ m$ लेने पर:
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.2} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \ m/s$
जल निकासी की दर (आयतन प्रवाह दर) $Q = A \times v$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $A = 6 \ cm^2 = 6 \times 10^{-4} \ m^2$ है।
$Q = 6 \times 10^{-4} \times 1.98 \approx 1.188 \times 10^{-3} \ m^3/s$.
अतः,$Q \approx 1.2 \times 10^{-3} \ m^3/s$ प्राप्त होता है।

(B) माना छेद के ऊपर पानी के स्तर की ऊँचाई $h = H - z$ है। बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2z}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \cdot t = \sqrt{2g(H-z)} \cdot \sqrt{\frac{2z}{g}} = 2\sqrt{z(H-z)}$ द्वारा दी जाती है।
$R$ को अधिकतम करने के लिए,हम $R^2 = 4(zH - z^2)$ को अधिकतम करते हैं।
$z$ के सापेक्ष अवकलन करने और शून्य के बराबर रखने पर:
$\frac{d}{dz}(4zH - 4z^2) = 4H - 8z = 0$.
$8z = 4H \Rightarrow z = \frac{H}{2}$.
अतः,जब छेद बर्तन की आधी ऊँचाई पर होता है तो परास अधिकतम होती है।

(C) माना समतल $PQ$ से पानी के स्तर की कुल ऊँचाई $H$ है। बेलन की ऊँचाई $h$ है और इसे $h/2$ ऊँचाई के ब्लॉक पर रखा गया है। अतः, $H = h + h/2 = 3h/2$.
माना $y$ बेलन के आधार से छेद की ऊँचाई है। मुक्त जल सतह से इस छेद की गहराई $d = H - y = 3h/2 - y$ है।
पानी की धार की क्षैतिज परास $R = 2\sqrt{d \cdot y_{ground}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $y_{ground}$ समतल $PQ$ से छेद की ऊँचाई है। यहाँ, $y_{ground} = y + h/2$.
अतः, $R = 2\sqrt{(3h/2 - y)(y + h/2)}$.
$R$ को अधिकतम करने के लिए, हम $(3h/2 - y)(y + h/2)$ के गुणनफल को अधिकतम करते हैं। माना $f(y) = (3h/2 - y)(y + h/2)$.
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने और इसे शून्य के बराबर रखने पर: $f'(y) = -(y + h/2) + (3h/2 - y) = 0$.
$2y = h$, जिससे $y = h/2$ प्राप्त होता है।
दिए गए छेद की ऊँचाइयों की तुलना करने पर: छेद $1$, $y=0$ पर है, छेद $2$, $y=h/4$ पर है, छेद $3$, $y=h/2$ पर है, और छेद $4$, $y=3h/4$ पर है।
इस प्रकार, छेद $3$, $y=h/2$ ऊँचाई पर है जो अधिकतम परास प्रदान करता है।

(B) कुल ऊंचाई $H$ के बर्तन में $h$ गहराई पर बने छेद से निकलने वाले पानी की क्षैतिज सीमा $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई त्रिज्या $r = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$.
क्षमता $V = 528 \text{ dm}^3 = 0.528 \text{ m}^3$.
$V = \pi r^2 H$ का उपयोग करने पर,$0.528 = \pi (0.4)^2 H$.
$H = \frac{0.528}{0.16 \pi} \approx 105 \text{ cm}$.
छेद की गहराई $h = 70 \text{ cm}$.
बर्तन के तल से छेद की ऊंचाई $H - h = 105 - 70 = 35 \text{ cm}$.
चूंकि बर्तन $105 \text{ cm}$ ऊंचे ब्लॉक पर रखा है,जमीन से छेद की ऊंचाई $35 \text{ cm}$ है।
क्षैतिज सीमा $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ सूत्र के अनुसार,$R = 2\sqrt{70(35)} = 2\sqrt{2450} = 140\sqrt{2} \text{ cm}$.