Velocity of Efflux and Torricelli's law Questions in Hindi

(D) कुल ऊँचाई $H$ वाले टैंक में मुक्त सतह से $h$ गहराई पर बने छेद से बाहर निकलने वाले द्रव की क्षैतिज परास $x$ का सूत्र है:
$x = 2\sqrt{h(H-h)}$
यहाँ दिया गया है कि छेद की गहराई $h = \frac{3H}{4}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$x = 2\sqrt{\frac{3H}{4} \left(H - \frac{3H}{4}\right)}$
$x = 2\sqrt{\frac{3H}{4} \times \frac{H}{4}}$
$x = 2\sqrt{\frac{3H^2}{16}}$
$x = 2 \times \frac{H}{4} \sqrt{3}$
$x = \frac{\sqrt{3}H}{2}$

(B) बहिःस्राव का वेग टोरिसेली के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{2gh}$।
टंकी के तल पर कुल दाब,वायुमंडलीय दाब $(P_{atm})$ और जल स्तंभ के कारण गेज दाब $(h\rho g)$ का योग होता है।
दिया गया है,$P_{total} = P_{atm} + h\rho g = 3 \, atm$।
चूंकि $P_{atm} = 1 \, atm$,इसलिए गेज दाब $h\rho g = 3 \, atm - 1 \, atm = 2 \, atm$ होगा।
मान रखने पर: $h\rho g = 2 \times 10^5 \, N/m^2$।
$gh = \frac{2 \times 10^5}{\rho} = \frac{2 \times 10^5}{10^3} = 200 \, m^2/s^2$।
अब,वेग के सूत्र में $gh$ का मान रखने पर:
$v = \sqrt{2 \times (gh)} = \sqrt{2 \times 200} = \sqrt{400} \, m/s$।

(A) बर्नौली के सिद्धांत से प्राप्त सूत्र के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v$ है:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}}$
जहाँ $h$ छेद के ऊपर पानी के स्तंभ की ऊँचाई है।
दिया गया है:
पानी की कुल ऊँचाई = $3\,m$
नीचे से छेद की ऊँचाई = $52.5\,cm = 0.525\,m$
$h = 3 - 0.525 = 2.475\,m$
$A_0/A = 0.1$
$g = 10\,m/s^2$
इन मानों को $v^2$ के सूत्र में रखने पर:
$v^2 = \frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}$
$v^2 = \frac{2 \times 10 \times 2.475}{1 - (0.1)^2}$
$v^2 = \frac{49.5}{1 - 0.01}$
$v^2 = \frac{49.5}{0.99} = 50\,m^2/s^2$

(A) माना टंकी की कुल ऊंचाई $H = 10\,m$ है। छेद आधार से $h_1 = 3\,m$ और $h_2 = 7\,m$ की ऊंचाई पर हैं।
ऊपरी सतह से छेदों की गहराई $y_1 = H - h_1 = 10 - 3 = 7\,m$ और $y_2 = H - h_2 = 10 - 7 = 3\,m$ है।
$y$ गहराई पर स्थित छेद से निकलने वाले पानी की क्षैतिज परास (range) $R = 2\sqrt{y(H-y)}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
पहले छेद के लिए $(y_1 = 7\,m)$: $R_1 = 2\sqrt{7(10-7)} = 2\sqrt{7 \times 3} = 2\sqrt{21}\,m$.
दूसरे छेद के लिए $(y_2 = 3\,m)$: $R_2 = 2\sqrt{3(10-3)} = 2\sqrt{3 \times 7} = 2\sqrt{21}\,m$.
चूंकि $R_1 = R_2$ है,इसलिए दोनों छेदों से निकलने वाला पानी एक ही स्थान पर गिरेगा।

(A) बहिःस्राव का वेग $v$,टोरिसेली के नियम द्वारा $v = \sqrt{2gh}$ दिया जाता है।
आयतन प्रवाह दर $Q$,$Q = A \times v = A \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 2 \; mm^{2} = 2 \times 10^{-6} \; m^{2}$,ऊँचाई $h = 2 \; m$,और $g = 10 \; m/s^{2}$।
मान रखने पर:
$Q = (2 \times 10^{-6}) \sqrt{2 \times 10 \times 2}$
$Q = (2 \times 10^{-6}) \sqrt{40}$
$Q = (2 \times 10^{-6}) \times 2\sqrt{10}$
$Q = 4 \sqrt{10} \times 10^{-6} \; m^{3}/s$।
चूँकि $\sqrt{10} \approx 3.162$,
$Q \approx 4 \times 3.162 \times 10^{-6} \; m^{3}/s = 12.648 \times 10^{-6} \; m^{3}/s$।
अतः,प्रवाह की दर लगभग $12.6 \times 10^{-6} \; m^{3}/s$ है।

(N/A) टोरिसेली ने पाया कि एक खुले टैंक से बाहर निकलने वाले द्रव (efflux) की गति का सूत्र मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के समान होता है।
मान लीजिए कि एक टैंक में $\rho$ घनत्व का द्रव भरा है और इसकी दीवार में नीचे से $y_{1}$ ऊँचाई पर एक छोटा छेद है। द्रव के ऊपर की सतह $y_{2}$ ऊँचाई पर है और वहाँ दाब $P$ है।
बिंदु $1$ और $2$ पर वेग क्रमशः $v_{1}$ और $v_{2}$ हैं। सांतत्य समीकरण (equation of continuity) का उपयोग करने पर:
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
$v_{2} = \frac{A_{1} v_{1}}{A_{2}}$
यहाँ $A_{2}$ टैंक का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $A_{1}$ छेद का क्षेत्रफल है।
चूंकि $A_{2} \gg A_{1}$,इसलिए $v_{2} \ll v_{1}$ होगा,अतः हम $v_{2} \approx 0$ मान सकते हैं।
बिंदु $1$ और $2$ पर बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho g y_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho g y_{2}$
यहाँ,$P_{1} = P_{a}$ (वायुमंडलीय दाब),$P_{2} = P$ और $v_{2} = 0$ है। मान रखने पर:
$P_{a} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho g y_{1} = P + \rho g y_{2}$
$\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = (P - P_{a}) + \rho g (y_{2} - y_{1})$
मान लीजिए $h = y_{2} - y_{1}$ छेद के ऊपर द्रव की ऊँचाई है।
$\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = (P - P_{a}) + \rho g h$
$v_{1} = \sqrt{2g h + \frac{2(P - P_{a})}{\rho}}$
यदि टैंक वायुमंडल के लिए खुला है,तो $P = P_{a}$ होगा,अतः:
$v_{1} = \sqrt{2gh}$
यह टोरिसेली का नियम है।

(N/A) एफ्लक्स का तात्पर्य किसी पात्र या बर्तन से एक छेद या नोजल जैसे उद्घाटन के माध्यम से तरल पदार्थ के बाहर निकलने की प्रक्रिया से है।
तरल यांत्रिकी (fluid mechanics) के संदर्भ में,एफ्लक्स का वेग वह गति है जिस पर तरल उद्घाटन से बाहर निकलता है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,एक आदर्श तरल के लिए,एफ्लक्स का वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ उद्घाटन के ऊपर तरल स्तंभ की ऊँचाई है।

(N/A) टोरिसेली का नियम बताता है कि द्रव की मुक्त सतह से $h$ गहराई पर स्थित छिद्र से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $(v)$,उस वेग के बराबर होता है जो कोई वस्तु $h$ ऊँचाई से मुक्त रूप से गिरने पर प्राप्त करती है।
बाहर निकलने वाले द्रव के वेग के लिए गणितीय व्यंजक $v = \sqrt{2gh}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ छिद्र के ऊपर द्रव स्तंभ की ऊँचाई है।

(D) टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई $H = 1\, m$ है।
जमीन से छिद्र की ऊँचाई $h = 0.25\, m$ है।
ऊपरी सतह से छिद्र की गहराई $y = H - h = 1 - 0.25 = 0.75\, m$ है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gy} = \sqrt{2 \times g \times 0.75} = \sqrt{1.5g}$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.25}{g}} = \sqrt{\frac{0.5}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \times t = \sqrt{2g(H-h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H-h)}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $R = 2\sqrt{0.25 \times 0.75} = 2\sqrt{0.1875} = 2 \times 0.433 = 0.866\, m$।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.866\, m = 86.6\, cm$।

(A) मान लीजिए कि पात्र में द्रव की ऊँचाई $h$ है। टोरिसेली के नियम के अनुसार बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
बाहर निकलने वाले द्रव द्वारा पात्र पर लगाया गया बल (थ्रस्ट बल) $F_{thrust} = \rho a v^2 = \rho a (2gh) = 2 \rho agh$ है।
पात्र को फिसलने से रोकने के लिए,घर्षण बल $f$ को इस थ्रस्ट बल को संतुलित करना चाहिए। अतः,$f \geq F_{thrust}$।
अधिकतम घर्षण बल $f_{max} = \mu N$ है,जहाँ $N$ सतह द्वारा लगाई गई अभिलंब प्रतिक्रिया है। चूँकि पात्र हल्का है (द्रव्यमान नगण्य है),अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ द्रव के भार के बराबर है,$N = mg = (\rho A h) g$।
इसलिए,$\mu (\rho A h g) \geq 2 \rho a g h$।
इसे सरल करने पर,हमें $\mu \geq \frac{2a}{A}$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक न्यूनतम घर्षण गुणांक $\frac{2a}{A}$ है।

(D) माना कि पानी के स्तंभ की कुल ऊँचाई $H = 12\, \text{m}$ है।
माना कि पानी की सतह से छेद की गहराई $h$ है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
$(H - h)$ ऊँचाई से पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}}$ है।
क्षैतिज परास (range) $R = v \times t = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}}$ द्वारा दी जाती है।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $R = \sqrt{4h(H - h)} = 2\sqrt{hH - h^2}$.
अधिकतम परास प्राप्त करने के लिए, हम $R$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dR}{dh} = 0$.
$\frac{d}{dh}(2\sqrt{hH - h^2}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{hH - h^2}} \cdot (H - 2h) = 0$.
इसका अर्थ है $H - 2h = 0$, इसलिए $h = \frac{H}{2}$.
यहाँ $H = 12\, \text{m}$ दिया गया है, इसलिए हमें $h = \frac{12}{2} = 6\, \text{m}$ प्राप्त होता है।

(C) छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $v_{e} = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
पानी की धार की क्षैतिज परास (range) $x = v_{e} \times t$ है,जहाँ $t$ ऊँचाई $H$ से गिरने का समय है।
चूँकि $H = \frac{1}{2}gt^{2}$,इसलिए $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ है।
अतः,$x = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2H}{g}} = 2\sqrt{hH}$।
पानी को बाल्टी में गिरने के लिए बाल्टी की गति $v$ को परास $x$ के परिवर्तन की दर के बराबर होना चाहिए:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2\sqrt{hH}) = 2\sqrt{H} \frac{d}{dt}(\sqrt{h}) = 2\sqrt{H} \cdot \frac{1}{2\sqrt{h}} \cdot \frac{dh}{dt} = \sqrt{\frac{H}{h}} \cdot \frac{dh}{dt}$।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) से,$A_{0} \left(-\frac{dh}{dt}\right) = A v_{e} = A \sqrt{2gh}$।
इसलिए,$\frac{dh}{dt} = -\frac{A}{A_{0}} \sqrt{2gh}$।
इस मान को $v$ के व्यंजक में रखने पर (परिमाण लेने पर): $v = \sqrt{\frac{H}{h}} \cdot \frac{A}{A_{0}} \sqrt{2gh} = \frac{A}{A_{0}} \sqrt{2gH}$।
यहाँ $A = 5 \, cm^{2}$,$A_{0} = 500 \, cm^{2}$,$g = 10 \, m/s^{2}$ और $H = 5 \, m$ दिया गया है:
$v = \left(\frac{5}{500}\right) \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \frac{1}{100} \times \sqrt{100} = \frac{10}{100} = 0.1 \, m/s$।

(D) जब छेद वाला बक्सा मुक्त पतन (free fall) में होता है,तो अंदर का पानी और बक्सा दोनों गुरुत्वाकर्षण के कारण समान त्वरण $g$ का अनुभव करते हैं,जो नीचे की ओर होता है।
चूंकि बक्सा और पानी दोनों समान दर से त्वरित हो रहे हैं,इसलिए उनके बीच कोई सापेक्ष त्वरण नहीं होता है।
परिणामस्वरूप,छेद पर दबाव का अंतर शून्य हो जाता है और बक्से के मुक्त पतन के दौरान छेद से कोई पानी बाहर नहीं आता है।

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,द्रव की मुक्त सतह से $h$ गहराई पर स्थित एक छोटे छेद के लिए बहिःस्राव का वेग $(v)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{2gh}$
यहाँ,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ छेद के ऊपर द्रव स्तंभ की ऊँचाई है।
चूंकि दोनों पात्र समान हैं और समान ऊँचाई $h$ तक भरे गए हैं,इसलिए बहिःस्राव का वेग केवल ऊँचाई $h$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है।
यह द्रव के घनत्व $(\rho)$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,$v_1 = \sqrt{2gh}$ और $v_2 = \sqrt{2gh}$।
अतः,$v_1 = v_2$।

(D) मान लीजिए $H$ पानी के स्तंभ की कुल ऊँचाई है। मान लीजिए $h^{\prime}$ ऊपरी सतह से छेद $B$ की गहराई है और $h$ तल से छेद $A$ की ऊँचाई है।
ऊपरी सतह से $h^{\prime}$ गहराई पर स्थित छेद $B$ के लिए,बहिःस्राव का वेग $v_B = \sqrt{2gh^{\prime}}$ है। जमीन से इस छेद की ऊँचाई $H - h^{\prime}$ है। पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t_B = \sqrt{\frac{2(H - h^{\prime})}{g}}$ है।
परास $R_B = v_B \times t_B = \sqrt{2gh^{\prime}} \times \sqrt{\frac{2(H - h^{\prime})}{g}} = 2\sqrt{h^{\prime}(H - h^{\prime})}$ है।
तल से $h$ ऊँचाई पर स्थित छेद $A$ के लिए,ऊपरी सतह से गहराई $H - h$ है। बहिःस्राव का वेग $v_A = \sqrt{2g(H - h)}$ है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
परास $R_A = v_A \times t_A = \sqrt{2g(H - h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H - h)}$ है।
समान परास के लिए,$R_A = R_B$:
$2\sqrt{h(H - h)} = 2\sqrt{h^{\prime}(H - h^{\prime})}$
$h(H - h) = h^{\prime}(H - h^{\prime})$
$hH - h^2 = h^{\prime}H - h^{\prime 2}$
$H(h - h^{\prime}) = h^2 - h^{\prime 2}$
$H(h - h^{\prime}) = (h - h^{\prime})(h + h^{\prime})$
चूँकि $h \neq h^{\prime}$,हमें $H = h + h^{\prime}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि दोनों छेद ऊपरी सतह से $h^{\prime}$ और $H - h^{\prime} = h$ गहराई पर हैं। समान परास के लिए,ऊपरी सतह से दोनों छेदों की गहराई का योग पानी के स्तंभ की कुल ऊँचाई के बराबर होना चाहिए। दी गई व्यवस्था में,यदि $h^{\prime}$ छेद $B$ की गहराई है और $h$ तल से छेद $A$ की ऊँचाई है,तो समान परास के लिए शर्त $h = h^{\prime}$ है,इसलिए अनुपात $\frac{h^{\prime}}{h} = 1$ है।

(D) मान लीजिए कि जमीन से पानी के स्तर की कुल ऊंचाई $H = 3 \,m + 1 \,m = 4 \,m$ है। मान लीजिए कि जमीन से छेद की ऊंचाई $y$ है। पानी की मुक्त सतह से छेद की गहराई $h = H - y = 4 - y$ है।
बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \cdot t = \sqrt{2g(4-y)} \cdot \sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{y(4-y)}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम परास के लिए,वर्गमूल के अंदर का पद $f(y) = 4y - y^2$ अधिकतम होना चाहिए।
$y$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखने पर: $\frac{df}{dy} = 4 - 2y = 0$,जिससे $y = 2 \,m$ प्राप्त होता है।
अतः,छेद जमीन से $2 \,m$ की ऊंचाई पर होना चाहिए।

(D) माना बेलन में पानी की गहराई $x$ है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $(v) = \sqrt{2 g x}$ होता है।
पानी की धारा $H$ ऊँचाई से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित वस्तु की तरह व्यवहार करती है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $(t)$,गति के समीकरण $H = \frac{1}{2} g t^2$ से प्राप्त होता है,जो $t = \sqrt{\frac{2 H}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $(R)$,क्षैतिज वेग और उड़ान के समय का गुणनफल है:
$R = v \times t$
$R = \sqrt{2 g x} \times \sqrt{\frac{2 H}{g}}$
$R = \sqrt{2 g x \cdot \frac{2 H}{g}}$
$R = \sqrt{4 x H}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $R^2 = 4 x H$ प्राप्त होता है।
अतः,पानी की गहराई $x = \frac{R^2}{4 H}$ है।

(C) आयतन प्रवाह दर (प्रति सेकंड पानी की मात्रा) छेद के क्षेत्रफल $(A)$ और बहिर्वाह वेग $(v)$ के गुणनफल द्वारा दी जाती है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर बहिर्वाह वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
वर्गाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_1 = a^2$,गहराई $h_1 = x$. वेग $v_1 = \sqrt{2gx}$.
प्रवाह दर $Q_1 = A_1 v_1 = a^2 \sqrt{2gx}$.
गोलाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_2 = \pi r^2$,गहराई $h_2 = 4x$. वेग $v_2 = \sqrt{2g(4x)} = 2\sqrt{2gx}$.
प्रवाह दर $Q_2 = A_2 v_2 = \pi r^2 (2\sqrt{2gx})$.
दिया गया है कि $Q_1 = Q_2$,इसलिए:
$a^2 \sqrt{2gx} = 2\pi r^2 \sqrt{2gx}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{2gx}$ से विभाजित करने पर:
$a^2 = 2\pi r^2$.
$r^2 = \frac{a^2}{2\pi}$.
$r = \frac{a}{\sqrt{2\pi}}$.

(A) बहिःस्राव का वेग टोरिसेली के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{2gD}$।
पानी की धारा जमीन तक पहुँचने के लिए $(H-D)$ की ऊर्ध्वाधर दूरी तय करती है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = H-D$,$u = 0$ (प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग),और $a = g$ है:
$H-D = 0 + \frac{1}{2}gt^2$
$t = \sqrt{\frac{2(H-D)}{g}}$
क्षैतिज दूरी $x$ क्षैतिज वेग और समय के गुणनफल द्वारा दी जाती है:
$x = v \times t$
$x = \sqrt{2gD} \times \sqrt{\frac{2(H-D)}{g}}$
$x = \sqrt{4D(H-D)}$
$x = 2[D(H-D)]^{1/2}$

(A) पानी की धार की क्षैतिज परास $d$,जो छेद की नीचे की ऊँचाई $h_2$ और छेद के ऊपर पानी की ऊँचाई $h_1$ पर निर्भर करती है,$d = v \cdot t = \sqrt{2gh_1} \cdot \sqrt{\frac{2h_2}{g}} = 2\sqrt{h_1 h_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$g$ लिफ्ट के अंदर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $(g_{eff})$ है।
$P$. जब लिफ्ट ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो $g_{eff} = g + a > g$ होता है। चूँकि $d \propto \frac{1}{\sqrt{g_{eff}}}$,इसलिए $d$ घट जाता है। अतः,$d < 1.2 \ m$।
$Q$. जब लिफ्ट $a < g$ के साथ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर त्वरित होती है,तो $g_{eff} = g - a < g$ होता है। अतः,$d$ बढ़ जाता है। यानी,$d > 1.2 \ m$।
$R$. जब लिफ्ट स्थिर गति से चलती है,तो $a = 0$,इसलिए $g_{eff} = g$ होता है। अतः,$d = 1.2 \ m$।
$S$. जब लिफ्ट मुक्त रूप से गिरती है,तो $a = g$,इसलिए $g_{eff} = g - g = 0$ होता है। प्रभावी गुरुत्वाकर्षण शून्य होने के कारण,छेद पर दबाव शून्य होता है और पानी बाहर नहीं निकलता है।
मिलान: $P-2, Q-3, R-1, S-4$.

(B) टंकी $1$ के लिए,$y$ ऊँचाई पर बहिःस्राव का वेग $v_1 = \sqrt{2gy}$ है।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A(-dy/dt) = a\sqrt{2gy}$,जहाँ $A$ टंकी का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $a$ छेद का क्षेत्रफल है।
$y=h$ से $y=0$ तक समाकलन करने पर:
$dt = (A/a\sqrt{2g}) \cdot (-dy/\sqrt{y})$
$t_1 = (A/a\sqrt{2g}) \int_0^h y^{-1/2} dy = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2\sqrt{h} = (A/a) \sqrt{2h/g}$.
टंकी $2$ के लिए,$y$ ऊँचाई पर बहिःस्राव का वेग $v_2 = \sqrt{2g(y+H)}$ है।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A(-dy/dt) = a\sqrt{2g(y+H)}$.
$y=h$ से $y=0$ तक समाकलन करने पर:
$dt = (A/a\sqrt{2g}) \cdot (-dy/\sqrt{y+H})$
$t_2 = (A/a\sqrt{2g}) \int_0^h (y+H)^{-1/2} dy = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2[\sqrt{y+H}]_0^h = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2(\sqrt{h+H} - \sqrt{H})$.
दिया गया है $H = (16/9)h$,अतः $h+H = h + (16/9)h = (25/9)h$.
$t_2 = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2(\sqrt{25h/9} - \sqrt{16h/9}) = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2(5/3\sqrt{h} - 4/3\sqrt{h}) = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2(1/3\sqrt{h}) = (A/3a) \sqrt{2h/g}$.
अतः,अनुपात $t_1 / t_2 = [(A/a) \sqrt{2h/g}] / [(A/3a) \sqrt{2h/g}] = 3$.

(A) तल पर कुल दबाव $P_{\text{total}} = P_{\text{atm}} + h\rho g = 3 \ atm = 3 \times 10^5 \ Pa$ है।
चूंकि $P_{\text{atm}} = 1 \times 10^5 \ Pa$ है,इसलिए पानी के स्तंभ के कारण गेज दबाव $P_g = h\rho g = P_{\text{total}} - P_{\text{atm}} = 3 \times 10^5 - 1 \times 10^5 = 2 \times 10^5 \ Pa$ होगा।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
चूंकि $P_g = h\rho g$,इसलिए $h = \frac{P_g}{\rho g}$ होगा।
वेग के सूत्र में मान रखने पर: $v = \sqrt{2g \left(\frac{P_g}{\rho g}\right)} = \sqrt{\frac{2P_g}{\rho}}$.
पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ लेने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 2 \times 10^5}{10^3}} = \sqrt{4 \times 10^2} = \sqrt{400} \ m/s$.

(A) मान लीजिए कि तरल स्तंभ की कुल ऊंचाई $H$ है। मुक्त सतह से दो छेदों की गहराई $h_1 = 4 \ cm$ और $h_2 = 6 \ cm$ है।
$h$ गहराई पर स्थित छेद से निकलने वाली पानी की धारा की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ है।
चूंकि धाराएं जमीन पर एक ही बिंदु पर टकराती हैं,इसलिए उनकी परास समान है:
$2\sqrt{h_1(H-h_1)} = 2\sqrt{h_2(H-h_2)}$
$h_1(H-h_1) = h_2(H-h_2)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4(H-4) = 6(H-6)$
$4H - 16 = 6H - 36$
$2H = 20$
$H = 10 \ cm$.

(B) कुल ऊँचाई $H$ वाले टैंक में द्रव की मुक्त सतह से $h$ गहराई पर स्थित एक छोटे छिद्र से निकलने वाले द्रव की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ होता है।
छिद्र $A$ के लिए,मुक्त सतह से गहराई $h_1 = 5 \text{ m}$ है। द्रव की कुल ऊँचाई $H = 20 \text{ m}$ है।
अतः,$R_1 = 2\sqrt{5(20-5)} = 2\sqrt{5 \times 15} = 2\sqrt{75} = 10\sqrt{3} \text{ m}$।
छिद्र $B$ के लिए,मुक्त सतह से गहराई $h_2 = 5 \text{ m} + 5 \text{ m} = 10 \text{ m}$ है।
अतः,$R_2 = 2\sqrt{10(20-10)} = 2\sqrt{10 \times 10} = 20 \text{ m}$।
अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(A) टैंक में पानी की ऊँचाई तब अधिकतम होती है जब टैंक में प्रवेश करने वाले पानी की दर और छेद से बाहर निकलने वाले पानी की दर समान हो जाती है।
प्रवेश करने वाले पानी की दर = $70 \ cm^3/s$.
बाहर निकलने वाले पानी की दर = $A \times v = A \sqrt{2gh}$,जहाँ $A = 1 \ cm^2$ और $g = 980 \ cm/s^2$.
दोनों दरों को बराबर करने पर: $1 \times \sqrt{2 \times 980 \times h} = 70$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 \times 980 \times h = 70^2$.
$1960 \times h = 4900$.
$h = \frac{4900}{1960} = 2.5 \ cm$.

(D) मान लीजिए कि तरल की मुक्त सतह से दो छेदों की गहराई क्रमशः $y_1$ और $y_2$ है। दिया गया है कि ऊंचाई का अंतर $h$ है,इसलिए $y_2 - y_1 = h$ है।
ऊपरी छेद के लिए बहिर्वाह का वेग $v_1 = \sqrt{2gy_1}$ है और निचले छेद के लिए $v_2 = \sqrt{2gy_2}$ है।
तरल जेट द्वारा टंकी पर लगाया गया बल $F = \frac{dm}{dt} v = (A \rho v) v = A \rho v^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $\rho$ तरल का घनत्व है।
चूंकि छेद विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं। शुद्ध क्षैतिज बल $F_{net} = |F_2 - F_1| = |A \rho v_2^2 - A \rho v_1^2|$ है।
वेगों को प्रतिस्थापित करने पर: $F_{net} = A \rho (2gy_2 - 2gy_1) = 2A \rho g (y_2 - y_1)$।
चूंकि $y_2 - y_1 = h$ है,हमें $F_{net} = 2A \rho g h$ प्राप्त होता है।
इसलिए,शुद्ध क्षैतिज बल $h$ के समानुपाती है।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार $h$ गहराई पर स्थित छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
प्रति सेकंड बाहर निकलने वाले पानी की मात्रा (प्रवाह दर) $Q = A \cdot v$ होती है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है।
छेद $P$ के लिए ($2h$ गहराई पर $a$ भुजा वाला वर्ग): $A_P = a^2$ और $v_P = \sqrt{2g(2h)} = 2\sqrt{gh}$।
अतः,प्रवाह दर $Q_P = a^2 \cdot 2\sqrt{gh}$।
छेद $Q$ के लिए ($8h$ गहराई पर $r$ त्रिज्या वाला वृत्त): $A_Q = \pi r^2$ और $v_Q = \sqrt{2g(8h)} = 4\sqrt{gh}$।
अतः,प्रवाह दर $Q_Q = \pi r^2 \cdot 4\sqrt{gh}$।
दिया गया है कि $Q_P = Q_Q$,इसलिए: $a^2 \cdot 2\sqrt{gh} = \pi r^2 \cdot 4\sqrt{gh}$।
$a^2 \cdot 2 = 4\pi r^2 \implies a^2 = 2\pi r^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $a = r\sqrt{2\pi}$।

(C) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिर्वाह का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
'$h$' गहराई पर छेद '$A$' के लिए,वेग $V_A = \sqrt{2gh}$ है।
'$4h$' गहराई पर छेद '$B$' के लिए,वेग $V_B = \sqrt{2g(4h)} = 2\sqrt{2gh} = 2V_A$ है।
आयतन प्रवाह दर $(Q)$ $Q = A \cdot v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ '$A$' छेद का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों छेदों के लिए प्रवाह दर समान है: $Q_A = Q_B$।
$A_A \cdot V_A = A_B \cdot V_B$।
चूंकि छेद '$A$' '$L$' भुजा वाला एक वर्ग है,$A_A = L^2$।
चूंकि छेद '$B$' '$R$' त्रिज्या वाला एक वृत्त है,$A_B = \pi R^2$।
मान रखने पर: $L^2 \cdot V_A = (\pi R^2) \cdot (2V_A)$।
$L^2 = 2\pi R^2$।
$L = \sqrt{2\pi} \cdot R$।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिर्वाह का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
माना वर्गाकार छेद का क्षेत्रफल $A_1$ है और वृत्ताकार छेद का क्षेत्रफल $A_2$ है।
$A_1 = a^2$ और $A_2 = \pi r^2$ है।
आयतन प्रवाह दर $Q = A \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों छेदों के लिए आयतन प्रवाह दर समान है:
$A_1 \sqrt{2gy} = A_2 \sqrt{2g(16y)}$
$a^2 \sqrt{y} = (\pi r^2) \sqrt{16y}$
$a^2 \sqrt{y} = \pi r^2 (4 \sqrt{y})$
$a^2 = 4 \pi r^2$
$r^2 = \frac{a^2}{4 \pi}$
$r = \sqrt{\frac{a^2}{4 \pi}} = \frac{a}{2 \sqrt{\pi}}$

(C) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{2(P - P_0)}{\rho}}$
जहाँ $P$ तल पर कुल दबाव है,$P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,और $\rho$ पानी का घनत्व है।
दिया गया है:
$P = 4H$
$P_0 = H$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{2(4H - H)}{\rho}}$
$v = \sqrt{\frac{2(3H)}{\rho}}$
$v = \sqrt{\frac{6H}{\rho}}$

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,मुक्त सतह से '$h$' गहराई पर स्थित एक छिद्र से पानी के बाहर निकलने की गति $(V)$ इस प्रकार दी जाती है:
$V = \sqrt{2gh}$
चित्र से,मुक्त सतह से छिद्रों $O_1, O_2, O_3$ की गहराई क्रमशः $h_1, h_2, h_3$ है।
चित्र से यह स्पष्ट है कि $h_1 < h_2 < h_3$ है।
चूंकि $V$,$\sqrt{h}$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए हमारे पास है:
$V_1 < V_2 < V_3$
अतः,जैसे-जैसे छिद्र की गहराई बढ़ती है,बाहर निकलने वाले पानी की गति बढ़ती जाती है।

(B) गतिमान तरल के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
पाइप के अंदर तरल के लिए,जब वेग शून्य होता है तो प्रारंभिक दबाव $P_{1}$ होता है।
जब वाल्व खोला जाता है,तो दबाव घटकर $P_{2}$ हो जाता है और तरल $v$ वेग प्राप्त कर लेता है।
पाइप के अंदर और निकास बिंदु के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_{1} + 0 = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$v$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$v^{2} = \frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}$
$v = \sqrt{\frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $y$ गहराई पर स्थित छेद से पानी के प्रवाह की दर (डिस्चार्ज) $Q = A_v \cdot v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A_v$ छेद का क्षेत्रफल है और $v = \sqrt{2gy}$ बाहर निकलने वाले पानी का वेग है।
$h$ गहराई पर स्थित छेद $A$ के लिए: क्षेत्रफल $A_A = L^2$,वेग $v_A = \sqrt{2gh}$। अतः,$Q_A = L^2 \sqrt{2gh}$।
$3h$ गहराई पर स्थित छेद $B$ के लिए: क्षेत्रफल $A_B = \pi r^2$,वेग $v_B = \sqrt{2g(3h)} = \sqrt{6gh}$। अतः,$Q_B = \pi r^2 \sqrt{6gh}$।
यह दिया गया है कि प्रवाह की दर समान है,इसलिए $Q_A = Q_B$:
$L^2 \sqrt{2gh} = \pi r^2 \sqrt{6gh}$
$L^2 = \pi r^2 \frac{\sqrt{6gh}}{\sqrt{2gh}} = \pi r^2 \sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$L = \sqrt{\pi r^2 \sqrt{3}} = r \sqrt{\pi} (3)^{\frac{1}{4}} = r (\pi)^{\frac{1}{2}} (3)^{\frac{1}{4}}$।

(C) सांतत्य समीकरण और टोरिसेली के नियम के अनुसार,पानी के प्रवाह की दर इस प्रकार है:
$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = a \sqrt{2gh}$
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\int_{h}^{0} \frac{-dh}{\sqrt{h}} = \int_{0}^{t} \frac{a}{A} \sqrt{2g} dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$[2\sqrt{h}]_{0}^{h} = \frac{a}{A} \sqrt{2g} t$
$2\sqrt{h} = \frac{a}{A} \sqrt{2g} t$
अतः,पात्र को खाली करने में लगा समय ऊँचाई के वर्गमूल के समानुपाती होता है:
$t \propto \sqrt{h}$
दिया गया है कि $h$ ऊँचाई के लिए समय $t_1 = t$ है,और $h_2 = 4h$ ऊँचाई के लिए समय $t_2$ है:
$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{4h}{h}} = \sqrt{4} = 2$
इसलिए,$t_2 = 2t_1 = 2t$.

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ मुक्त सतह से छिद्र की गहराई है।
यहाँ $h = 2 \text{ cm}$ दिया गया है,इसलिए $v = \sqrt{2 \times g \times 2} = 2\sqrt{g}$.
$H = 8 \text{ cm}$ की ऊँचाई से पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$,$H = \frac{1}{2}gt^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 8}{g}} = \sqrt{\frac{16}{g}} = \frac{4}{\sqrt{g}}$.
क्षैतिज परास $R$,बहिःस्राव के वेग और उड़ान के समय का गुणनफल है:
$R = v \times t = (\sqrt{2gh}) \times \sqrt{\frac{2H}{g}} = 2\sqrt{hH}$.
$h = 2 \text{ cm}$ और $H = 8 \text{ cm}$ मान रखने पर:
$R = 2 \times \sqrt{2 \times 8} = 2 \times \sqrt{16} = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}$.

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
ऊँचाई में परिवर्तन की दर $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ टंकी का क्षेत्रफल है और $a$ छेद का क्षेत्रफल है।
इससे $dt = -\frac{A}{a\sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$ प्राप्त होता है।
ऊँचाई $h_1$ से $h_2$ तक गिरने में लगा समय $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a\sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ है।
माना $t_1$,$h$ से $h/2$ तक गिरने का समय है:
$t_1 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} \sqrt{h} (1 - 1/\sqrt{2})$।
माना $t_2$,$h/2$ से $0$ तक गिरने का समय है:
$t_2 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} \sqrt{h} (1/\sqrt{2})$।
अतः अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ है।

(C) छेद से पानी के प्रवाह की दर, बहिःस्राव के वेग और छेद के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होती है।
$\frac{\Delta V}{\Delta t} = v \times A$
टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
अतः, $\frac{\Delta V}{\Delta t} = \sqrt{2gh} \times A$ ... $(i)$
दिया गया है:
$h = 20 \,m$
$g = 10 \,m/s^2$
$\frac{\Delta V}{\Delta t} = 3 \times 10^{-3} \,m^3/min = \frac{3 \times 10^{-3}}{60} \,m^3/s = 0.5 \times 10^{-4} \,m^3/s = 5 \times 10^{-5} \,m^3/s$
समीकरण $(i)$ में मान रखने पर:
$5 \times 10^{-5} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} \times A$
$5 \times 10^{-5} = \sqrt{400} \times A$
$5 \times 10^{-5} = 20 \times A$
$A = \frac{5 \times 10^{-5}}{20} = 0.25 \times 10^{-5} \,m^2 = 2.5 \times 10^{-6} \,m^2$
चूंकि $1 \,m^2 = 10^6 \,mm^2$, इसलिए:
$A = 2.5 \times 10^{-6} \times 10^6 \,mm^2 = 2.5 \,mm^2$.

(A) मुक्त सतह से $H$ गहराई पर स्थित छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $(v)$ टोरिसेली के नियम के अनुसार है: $v = \sqrt{2gH}$।
आयतन प्रवाह दर $(Q)$ छेद के क्षेत्रफल $(a)$ और बहिःस्राव वेग $(v)$ का गुणनफल है:
$Q = a \times v = a \sqrt{2gH}$
दिया गया है:
$Q = 2 \times 10^{-3} \,m^3/s$
$a = 5 \,cm^2 = 5 \times 10^{-4} \,m^2$
$g = 10 \,ms^{-2}$
समीकरण में मान रखने पर:
$2 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4} \times \sqrt{2 \times 10 \times H}$
दोनों पक्षों को $5 \times 10^{-4}$ से विभाजित करने पर:
$4 = \sqrt{20H}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16 = 20H$
$H = \frac{16}{20} \,m = 0.8 \,m = 80 \,cm$.

(A) माना $a$ छेद का क्षेत्रफल है,$v_e$ बहिःस्राव का वेग है,और $h$ छेद के ऊपर तरल की ऊँचाई है। माना $v$ वह गति है जिससे कंटेनर में स्तर कम हो रहा है।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) से,$a v_e = A v \Rightarrow v = \frac{a v_e}{A}$।
बर्नौली के प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$p_0 + h \rho g + \frac{1}{2} \rho v^2 = p_0 + \frac{1}{2} \rho v_e^2$
$h \rho g + \frac{1}{2} \rho \left(\frac{a v_e}{A}\right)^2 = \frac{1}{2} \rho v_e^2$
$v_e^2 = \frac{2gh}{1 - (a/A)^2}$
यहाँ $h = 3 \,m - 0.525 \,m = 2.475 \,m$,$a/A = 0.1$,और $g = 10 \,ms^{-2}$ है:
$v_e^2 = \frac{2 \times 10 \times 2.475}{1 - (0.1)^2} = \frac{49.5}{1 - 0.01} = \frac{49.5}{0.99} = 50 \,m^2 \,s^{-2}$।

(A) $\text{माना टैंक में तरल की ऊंचाई } H = 5 \,m \text{ है। टैंक के तल की जमीन से ऊंचाई } h_0 = 5 \,m \text{ है। माना छेद तरल की मुक्त सतह से } y \text{ गहराई पर किया गया है। जमीन से छेद की ऊंचाई } h = h_0 + (H - y) = 5 + 5 - y = 10 - y \text{ है। बहिःस्राव का वेग } v = \sqrt{2gy} \text{ है। तरल को जमीन तक पहुँचने में लगा समय } t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2(10-y)}{g}} \text{ है। क्षैतिज परास } R = v \cdot t = \sqrt{2gy} \cdot \sqrt{\frac{2(10-y)}{g}} = 2\sqrt{y(10-y)} \text{ है। } R \text{ को अधिकतम करने के लिए, हम } f(y) = y(10-y) = 10y - y^2 \text{ को अधिकतम करेंगे। } y \text{ के सापेक्ष अवकलन करने और इसे शून्य के बराबर रखने पर: } \frac{df}{dy} = 10 - 2y = 0, \text{ जिससे } y = 5 \,m \text{ प्राप्त होता है। } y = 5 \,m \text{ को परास के सूत्र में रखने पर: } R_{max} = 2\sqrt{5(10-5)} = 2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10 \,m \text{।}$

(C) टोरीसेली के नियम के अनुसार बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
मान लीजिए टंकी का क्षेत्रफल $A$ है और छेद का क्षेत्रफल $a$ है। ऊँचाई में परिवर्तन की दर $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$ प्राप्त होता है।
$h_1$ से $h_2$ तक समाकलन करने पर,लगा समय $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ है।
पहले अंतराल ($h$ से $h/2$) के लिए: $t_1 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
दूसरे अंतराल ($h/2$ से $0$) के लिए: $t_2 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (\frac{1}{\sqrt{2}})$.
अनुपात लेने पर: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$.

(B) मान लीजिए कि जमीन से पानी की सतह की कुल ऊँचाई $Y = H + h$ है।
पानी की सतह से $x$ गहराई पर बहिःस्राव (efflux) का वेग $v = \sqrt{2gx}$ है।
जमीन से छेद की ऊँचाई $y = H + (h - x)$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2(H + h - x)}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \cdot t = \sqrt{2gx} \cdot \sqrt{\frac{2(H + h - x)}{g}} = 2\sqrt{x(H + h - x)}$ द्वारा दी जाती है।
$R$ को अधिकतम करने के लिए,हम पद $f(x) = x(H + h - x) = (H + h)x - x^2$ को अधिकतम करते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने और उसे शून्य के बराबर रखने पर: $f'(x) = (H + h) - 2x = 0$।
अतः,$x = \frac{H + h}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) बर्नौली के समीकरण से प्राप्त टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
यहाँ $g = 10 \,m/s^2$ और $h = 10 \,m$ दिया गया है, इसलिए $v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 14.14 \,m/s$ प्राप्त होता है।
छेद का व्यास $d = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$ है, इसलिए त्रिज्या $r = 2 \times 10^{-3} \,m$ होगी।
छेद का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-6} = 12.56 \times 10^{-6} \,m^2$ है।
प्रवाह की दर $Q = A \times v$ द्वारा दी जाती है।
$Q = (12.56 \times 10^{-6} \,m^2) \times (14.14 \,m/s) \approx 177.6 \times 10^{-6} \,m^3/s = 1.776 \times 10^{-4} \,m^3/s$।

(B) दिया गया है: छेद का क्षेत्रफल, $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$.
आयतन प्रवाह दर, $Q = 100 \,cm^3/s = 100 \times 10^{-6} \,m^3/s = 10^{-4} \,m^3/s$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर, टैंक में प्रवेश करने वाले पानी की दर और छेद से बाहर निकलने वाले पानी की दर समान होती है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है。
छेद से आयतन प्रवाह दर $Q = A \times v$ है。
मान रखने पर: $10^{-4} = (2 \times 10^{-4}) \times \sqrt{2gh}$.
दोनों पक्षों को $2 \times 10^{-4}$ से विभाजित करने पर: $0.5 = \sqrt{2gh}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $0.25 = 2gh$.
चूँकि $g = 10 \,m/s^2$ है, इसलिए $0.25 = 2 \times 10 \times h$.
$0.25 = 20h$.
$h = \frac{0.25}{20} = 0.0125 \,m$.
सेमी में बदलने पर: $h = 0.0125 \times 100 \,cm = 1.25 \,cm$.

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर तरल के बाहर निकलने का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
चूंकि दोनों टैंकों के लिए गहराई $h$ समान है,इसलिए दोनों का वेग समान होगा: $v_A = v_B = v = \sqrt{2gh}$।
द्रव्यमान फ्लक्स (mass flux) का सूत्र $\dot{m} = A \cdot v \cdot \rho$ है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है,$v$ वेग है और $\rho$ घनत्व है।
दिया गया है कि द्रव्यमान फ्लक्स समान है: $\dot{m}_A = \dot{m}_B$।
$A_A \cdot v_A \cdot \rho_A = A_B \cdot v_B \cdot \rho_B$।
चूंकि $v_A = v_B$,इसलिए वे दोनों तरफ से कट जाएंगे:
$A_A \cdot \rho_A = A_B \cdot \rho_B$।
दिया गया है कि $A_B = 2 A_A$।
इसलिए,$A_A \cdot \rho_A = (2 A_A) \cdot \rho_B$।
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$।

(C) माना $A_v$ बर्तन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $A$ छेद का क्षेत्रफल है। टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
प्रवाह की दर $A_v \frac{dh}{dt} = -A \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है।
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{A}{A_v} \sqrt{2g} dt$।
दोनों पक्षों का ऊँचाई $h$ से $0$ तक समय $t$ के लिए समाकलन करने पर:
$\int_{h}^{0} h^{-1/2} dh = -\int_{0}^{t} \frac{A}{A_v} \sqrt{2g} dt$
$[2\sqrt{h}]_{h}^{0} = -\frac{A}{A_v} \sqrt{2g} t$
$2\sqrt{h} = \frac{A}{A_v} \sqrt{2g} t$
अतः,$t \propto \sqrt{h}$।
दिया गया है कि $h$ ऊँचाई के लिए समय $t$ है,इसलिए $t = k\sqrt{h}$।
$4h$ ऊँचाई के लिए,नया समय $t'$ होगा $t' = k\sqrt{4h} = 2k\sqrt{h} = 2t$।