Velocity of Efflux and Torricelli's law Questions in Gujarati

(C) $\text{ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ } v = \sqrt{2gh_{eff}} \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં } h_{eff} \text{ એ પાણીના સ્તંભની સમકક્ષ ઊંચાઈ છે જે તળિયે સમાન દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે.}
\text{તળિયે દબાણ } P = P_{atm} + \rho_k g h_k + \rho_w g h_w.
\text{અહીં, } \rho_k = 0.8 \,g/cm^3, h_k = 25 \,cm = 0.25 \,m, \rho_w = 1.0 \,g/cm^3, h_w = 20 \,cm = 0.20 \,m.
\text{પાણીની સમકક્ષ ઊંચાઈ } h_{eff} = \frac{\rho_k h_k + \rho_w h_w}{\rho_w} = \frac{0.8 \times 25 + 1.0 \times 20}{1.0} = 20 + 20 = 40 \,cm = 0.4 \,m.
\text{હવે, } v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.4} = \sqrt{7.84} = 2.8 \,m/s.$

(D) કદ વહન દર $R_v$ એ $R_v = A \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ ટોર્સેલીના નિયમ મુજબ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ચોરસ છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_1 = x^2$, ઊંડાઈ $h_1 = 2 \,m$. વેગ $v_1 = \sqrt{2g(2)} = 2\sqrt{g}$. વહન દર $R_{v1} = x^2 \times 2\sqrt{g}$.
ત્રિકોણાકાર છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4)^2 = 4\sqrt{3} \,cm^2$, ઊંડાઈ $h_2 = 6 \,m$. વેગ $v_2 = \sqrt{2g(6)} = \sqrt{12g} = 2\sqrt{3g}$. વહન દર $R_{v2} = 4\sqrt{3} \times 2\sqrt{3g} = 24\sqrt{g}$.
બંને વહન દરને સરખાવતા: $x^2 \times 2\sqrt{g} = 24\sqrt{g}$.
$x^2 = 12$.
$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \,cm$.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
આપેલ છે: $h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \ m \ s^{-1}$.
પ્રતિ સેકન્ડ બહાર આવતા પાણીનું કદ $Q = A \times v$ છે,જ્યાં $A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Q = 1 \times 10^{-6} \ m^2 \times 2 \ m \ s^{-1} = 2 \times 10^{-6} \ m^3 \ s^{-1}$.
$t = 0.6 \ s$ સમયમાં બહાર આવતા પાણીનું દળ $m = \rho \times Q \times t$ છે.
$m = 1000 \ kg \ m^{-3} \times 2 \times 10^{-6} \ m^3 \ s^{-1} \times 0.6 \ s$.
$m = 1000 \times 1.2 \times 10^{-6} \ kg = 1.2 \times 10^{-3} \ kg = 1.2 \ g$.

(B) ટાંકીના તળિયે રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $(v)$ ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ મળે છે: $v = \sqrt{2gh}$.
આપેલ છે:
પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ,$h = 5 \,m$.
છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2.4 \,mm^2 = 2.4 \times 10^{-6} \,m^2$.
સમય,$t = 5 \,s$.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$.
બહાર નીકળતા પાણીનું કદ $(V)$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ,વેગ અને સમયના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$V = A \times v \times t = A \sqrt{2gh} \times t$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = (2.4 \times 10^{-6} \,m^2) \times \sqrt{2 \times 10 \,ms^{-2} \times 5 \,m} \times 5 \,s$.
$V = 2.4 \times 10^{-6} \times \sqrt{100} \times 5$.
$V = 2.4 \times 10^{-6} \times 10 \times 5$.
$V = 2.4 \times 50 \times 10^{-6} \,m^3$.
$V = 120 \times 10^{-6} \,m^3$.

(C) $h$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્ર માટે બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $(v)$ ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ:
$v = \sqrt{2gh}$
અહીં $h = 20.0 \ m$ અને $g = 10 \ m s^{-2}$ આપેલ છે:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m s^{-1}$
કદનો વહન દર $(Q)$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને બહાર નીકળતા પાણીના વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર છે:
$Q = A \times v$
$3.08 \times 10^{-5} = \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) \times 20$
$d^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$d^2 = \frac{4 \times 3.08 \times 10^{-5}}{20 \times \pi} = \frac{12.32 \times 10^{-5}}{62.83} \approx 1.96 \times 10^{-6} \ m^2$
વર્ગમૂળ લેતા:
$d = \sqrt{1.96 \times 10^{-6}} = 1.4 \times 10^{-3} \ m = 1.4 \ mm$

(C) આપેલ છે કે નળાકારની ઊંચાઈ $H = 50 \,cm$ છે.
ધારો કે છિદ્ર તળિયેથી $h$ ઊંચાઈ પર છે। છિદ્રની ઉપર પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $(H - h)$ છે.
બહિર્સ્ત્રાવનો વેગ $v = \sqrt{2g(H - h)}$ છે.
પાણીને ટેબલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
ક્ષૈતિજ અવધિ $x$ એ $x = v \cdot t = \sqrt{2g(H - h)} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H - h)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ અવધિ $x_{\max }$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{dx}{dh} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{h(H - h)}} \cdot (H - 2h) = 0$.
આનાથી $H - 2h = 0$,અથવા $h = \frac{H}{2}$ મળે છે.
$x$ ના સમીકરણમાં $h = \frac{H}{2}$ મૂકતા:
$x_{\max } = 2\sqrt{\frac{H}{2}(H - \frac{H}{2})} = 2\sqrt{\frac{H}{2} \cdot \frac{H}{2}} = H$.
આપેલ છે કે $H = 50 \,cm$,તેથી $x_{\max } = 50 \,cm$.

(A) ધારો કે $A$ એ નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_0$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે। છિદ્રની ઉપર પાણીની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $x$ છે। પાણીની કુલ ઊંચાઈ $H = 1 \,m = 100 \,cm$ છે।
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gx}$ છે।
પાણીના સ્તરમાં થતો ફેરફાર $A \frac{dx}{dt} = -A_0 \sqrt{2gx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ચલને અલગ કરીને $x$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{x}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x}} = -\frac{A_0}{A} \sqrt{2g} \int_{0}^{t} dt$
$2\sqrt{x} = \frac{A_0}{A} \sqrt{2g} \cdot t$
આપેલ છે કે $\frac{A}{A_0} = 100$, $t = 20 \,s$, અને $g = 10 \,m/s^2$:
$2\sqrt{x} = \frac{1}{100} \sqrt{2 \times 10} \times 20$
$2\sqrt{x} = \frac{1}{100} \times \sqrt{20} \times 20 = \frac{20}{100} \times 2\sqrt{5} = 0.4\sqrt{5}$
$\sqrt{x} = 0.2\sqrt{5} \Rightarrow x = 0.04 \times 5 = 0.2 \,m = 20 \,cm$.
પાયાથી છિદ્રની ઊંચાઈ $h = H - x = 100 \,cm - 20 \,cm = 80 \,cm$ છે।

(A) કદનો પ્રવાહ દર (પ્રતિ સેકન્ડ પાણીનો જથ્થો) $Q = A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ છે.
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ચોરસ છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_1 = L^2$ અને ઊંડાઈ $h_1 = y$. તેથી,$v_1 = \sqrt{2gy}$.
પ્રવાહ દર $Q_1 = A_1 v_1 = L^2 \sqrt{2gy}$.
ગોળાકાર છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi R^2$ અને ઊંડાઈ $h_2 = 4y$. તેથી,$v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$.
પ્રવાહ દર $Q_2 = A_2 v_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$.
આપેલ છે કે $Q_1 = Q_2$,તેથી:
$L^2 \sqrt{2gy} = 2\pi R^2 \sqrt{2gy}$.
બંને બાજુથી $\sqrt{2gy}$ ને દૂર કરતા,આપણને $L^2 = 2\pi R^2$ મળે છે.
તેથી,$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$,જેનું સાદું રૂપ $R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$ થાય છે.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ રહેલા કાણાંમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા કાણાંમાંથી બહાર આવતા પાણીના પ્રવાહ દ્વારા લાગતું બળ $F = \rho A v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h_1$ ઊંડાઈએ રહેલા ઉપરના કાણાં માટે બળ $F_1 = \rho A (2gh_1)$ છે.
$h_2 = h_1 + h$ ઊંડાઈએ રહેલા નીચેના કાણાં માટે,જ્યાં $h = 1 \,m$ એ કાણાં વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર છે,બળ $F_2 = \rho A (2g(h_1 + h))$ છે.
કાણાં સામસામેની બાજુઓ પર હોવાથી,બળો વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. ટાંકી પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ એ આ બળોનો તફાવત છે:
$F_{net} = F_2 - F_1 = \rho A (2g(h_1 + h)) - \rho A (2gh_1) = 2 \rho A g h$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\rho = 1000 \,kg/m^3$,$A = 0.01 \,m^2$,$g = 10 \,m/s^2$,અને $h = 1 \,m$:
$F_{net} = 2 \times 1000 \times 0.01 \times 10 \times 1 = 200 \,N$.

(C) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ધારો કે ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $a$ છે. ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદોને ગોઠવતા,$dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$.
ઊંચાઈ $h_1$ થી $h_2$ સુધી સંકલન કરતા,લાગતો સમય $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ મળે છે.
પ્રથમ અંતરાલ ($h$ થી $h/2$) માટે: $t_1 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (1 - 1/\sqrt{2})$.
બીજા અંતરાલ ($h/2$ થી $0$) માટે: $t_2 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (1/\sqrt{2})$.
ગુણોત્તર લેતા: $t_1/t_2 = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$.

(C) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gd}$ છે.
પ્રવાહી જે ઊભી ઊંચાઈએથી નીચે પડે છે તે $h$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે,જે $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ આપે છે.
આડી અવધિ (Range) $R$ એ આડા વેગ અને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર છે:
$R = v \times t = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $R^2 = 2gd \times \frac{2h}{g} = 4dh$ મળે છે.
તેથી,ઊંડાઈ $d$ નું મૂલ્ય $d = \frac{R^2}{4h}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: છિદ્રનો વ્યાસ $D = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$, સ્નિગ્ધતા $\eta = 1 \,cP = 10^{-3} \,Pa \cdot s$, ઘનતા $\rho = 10^3 \,kg/m^3$, $g = 10 \,m/s^2$.
પ્રવાહ અશાંત બને તે માટે, રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e$ એ ક્રાંતિક મૂલ્ય કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ, જે સામાન્ય રીતે $R_e = 3000$ લેવામાં આવે છે।
રેનોલ્ડ્સ નંબરનું સૂત્ર $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$ છે।
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v = \frac{R_e \eta}{\rho D} = \frac{3000 \times 10^{-3}}{10^3 \times 2 \times 10^{-3}} = 1.5 \,m/s$.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = 2gh \Rightarrow h = \frac{v^2}{2g}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{(1.5)^2}{2 \times 10} = \frac{2.25}{20} = 0.1125 \,m = 11.25 \,cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, આપણને $11 \,cm$ મળે છે।

(D) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે. બંને ટાંકીમાં કાણા સમાન ઊંડાઈ $h$ પર હોવાથી,બંને પ્રવાહી માટે બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ સમાન રહેશે: $v_1 = v_2 = \sqrt{2gh}$.
દળ ફ્લક્સ (એકમ સમયમાં પસાર થતું દળ) $\dot{m} = \rho A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે,$A$ એ કાણાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
ટાંકી $A$ માટે: $\dot{m}_A = \rho_A A_A v_A$.
ટાંકી $B$ માટે: $\dot{m}_B = \rho_B A_B v_B$.
આપેલ છે કે દળ ફ્લક્સ સમાન છે,$\dot{m}_A = \dot{m}_B$,અને $A_B = 2A_A$:
$\rho_A A_A v = \rho_B (2A_A) v$.
બંને બાજુથી $A_A$ અને $v$ ને દૂર કરતા:
$\rho_A = 2 \rho_B$.
તેથી,ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$ થાય. જો પ્રશ્ન $\frac{\rho_B}{\rho_A}$ માંગતો હોય,તો જવાબ $\frac{1}{2}$ આવે.

(A) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ છિદ્રની ઉપર પાણીની સપાટીની ઊંચાઈ છે.
જેમ પાણી બહાર નીકળે છે,તેમ સમય જતાં ઊંચાઈ $h$ ઘટે છે.
બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v$ એ $\sqrt{h}$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી,પાણીની સપાટી નીચે જતાં વેગ ઘટે છે.
કારણ કે પાણીની સપાટી નીચી હોય ત્યારે વેગ ઓછો હોય છે,તેથી ઊંચાઈ ઘટવાની સાથે સમાન કદનું પાણી બહાર કાઢવા માટે વધુ સમય લાગે છે.
તેથી,પ્રથમ $5 \text{ લિટર}$ પાણી બહાર નીકળવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$ સૌથી ઓછો છે અને છેલ્લા $5 \text{ લિટર}$ પાણી બહાર નીકળવા માટે લાગતો સમય $(t_3)$ સૌથી વધુ છે.
આમ,$t_1 < t_2 < t_3$.

(C) ધારો કે પાત્રની કુલ ઊંચાઈ $H = 50 \ cm$ છે. ધારો કે છિદ્ર તળિયેથી $y$ ઊંચાઈએ બનાવવામાં આવે છે. તો મુક્ત સપાટીથી છિદ્રની ઊંડાઈ $h = H - y = 50 - y$ થશે.
પાણીની ધારનો વેગ $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(50-y)}$ છે.
પાણીને ટેબલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$ છે.
આડું અંતર (રેન્જ) $R = v \times t = \sqrt{2g(50-y)} \times \sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{y(50-y)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેન્જ $R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $R$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dR}{dy} = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{y(50-y)}} \times (50 - 2y) = 0$.
આનાથી $50 - 2y = 0$ મળે છે,તેથી $y = 25 \ cm$.
આમ,છિદ્ર તળિયેથી $25 \ cm$ ની ઊંચાઈએ બનાવવું જોઈએ.

(D) પાણીની ઉપરની સપાટી અને છિદ્ર પર બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{atm} + \rho g h + \frac{1}{2} \rho v_{top}^2 = P_{atm} + 0 + \frac{1}{2} \rho v_{hole}^2$
ટાંકીનો વ્યાસ મોટો હોવાથી,ઉપરની સપાટીનો વેગ $v_{top} \approx 0$ ગણી શકાય.
આમ,છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ ટોર્સેલીના નિયમ મુજબ:
$v = \sqrt{2gh}$
અહીં $g = 9.8 \ m/s^2$ અને $h = 0.2 \ m$ લેતા:
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.2} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \ m/s$
પાણીનો નિકાલ દર (કદનો પ્રવાહ દર) $Q = A \times v$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $A = 6 \ cm^2 = 6 \times 10^{-4} \ m^2$.
$Q = 6 \times 10^{-4} \times 1.98 \approx 1.188 \times 10^{-3} \ m^3/s$.
આમ,$Q \approx 1.2 \times 10^{-3} \ m^3/s$ મળે છે.

(B) ધારો કે કાણાની ઉપર પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $h = H - z$ છે. બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2z}{g}}$ છે.
ક્ષૈતિજ અવધિ $R = v \cdot t = \sqrt{2g(H-z)} \cdot \sqrt{\frac{2z}{g}} = 2\sqrt{z(H-z)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $R^2 = 4(zH - z^2)$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
$z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$\frac{d}{dz}(4zH - 4z^2) = 4H - 8z = 0$.
$8z = 4H \Rightarrow z = \frac{H}{2}$.
આમ,જ્યારે કાણું પાત્રની અડધી ઊંચાઈએ હોય ત્યારે અવધિ મહત્તમ હોય છે.

(C) ધારો કે સમતલ $PQ$ થી પાણીના સ્તરની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. નળાકારની ઊંચાઈ $h$ છે અને તે $h/2$ ઊંચાઈના બ્લોક પર મૂકવામાં આવ્યો છે. તેથી, $H = h + h/2 = 3h/2$.
ધારો કે $y$ એ નળાકારના તળિયેથી છિદ્રની ઊંચાઈ છે. મુક્ત પાણીની સપાટીથી આ છિદ્રની ઊંડાઈ $d = H - y = 3h/2 - y$ છે.
પાણીના પ્રવાહની સમક્ષિતિજ અવધિ $R = 2\sqrt{d \cdot y_{ground}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $y_{ground}$ એ સમતલ $PQ$ થી છિદ્રની ઊંચાઈ છે. અહીં, $y_{ground} = y + h/2$.
તેથી, $R = 2\sqrt{(3h/2 - y)(y + h/2)}$.
$R$ ને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે $(3h/2 - y)(y + h/2)$ ના ગુણાકારને મહત્તમ કરીએ છીએ. ધારો કે $f(y) = (3h/2 - y)(y + h/2)$.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન લેતા અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $f'(y) = -(y + h/2) + (3h/2 - y) = 0$.
$2y = h$, જે $y = h/2$ આપે છે.
આપેલ છિદ્રની ઊંચાઈઓની સરખામણી કરતા: છિદ્ર $1$ એ $y=0$ પર છે, છિદ્ર $2$ એ $y=h/4$ પર છે, છિદ્ર $3$ એ $y=h/2$ પર છે, અને છિદ્ર $4$ એ $y=3h/4$ પર છે.
આમ, છિદ્ર $3$ એ $y=h/2$ ઊંચાઈ પર છે જે મહત્તમ અવધિ આપે છે.

(B) પાત્રની કુલ ઊંચાઈ $H$ માંથી $h$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો સમક્ષિતિજ વિસ્તાર $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$.
ક્ષમતા $V = 528 \text{ dm}^3 = 0.528 \text{ m}^3$.
$V = \pi r^2 H$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$0.528 = \pi (0.4)^2 H$.
$H = \frac{0.528}{0.16 \pi} \approx 105 \text{ cm}$.
છિદ્રની ઊંડાઈ $h = 70 \text{ cm}$.
પાત્રના તળિયેથી છિદ્રની ઊંચાઈ $H - h = 105 - 70 = 35 \text{ cm}$.
પાત્ર $105 \text{ cm}$ ઊંચા બ્લોક પર હોવાથી,જમીનથી છિદ્રની ઊંચાઈ $35 \text{ cm}$ છે.
સમક્ષિતિજ વિસ્તાર $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ સૂત્ર મુજબ,$R = 2\sqrt{70(35)} = 2\sqrt{2450} = 140\sqrt{2} \text{ cm}$.