Velocity of Efflux and Torricelli's law Questions in Gujarati

(D) ટાંકીમાં રહેલા પ્રવાહીની કુલ ઊંચાઈ $H$ હોય અને મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીની સમક્ષિતિજ અવધિ $x$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$x = 2\sqrt{h(H-h)}$
અહીં આપેલ છે કે છિદ્રની ઊંડાઈ $h = \frac{3H}{4}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = 2\sqrt{\frac{3H}{4} \left(H - \frac{3H}{4}\right)}$
$x = 2\sqrt{\frac{3H}{4} \times \frac{H}{4}}$
$x = 2\sqrt{\frac{3H^2}{16}}$
$x = 2 \times \frac{H}{4} \sqrt{3}$
$x = \frac{\sqrt{3}H}{2}$

(B) બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ (velocity of efflux) ટોર્સેલીના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{2gh}$.
ટાંકીના તળિયે કુલ દબાણ એ વાતાવરણીય દબાણ $(P_{atm})$ અને પાણીના સ્તંભને કારણે લાગતા ગેજ દબાણ $(h\rho g)$ નો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે,$P_{total} = P_{atm} + h\rho g = 3 \, atm$.
અહીં $P_{atm} = 1 \, atm$ હોવાથી,ગેજ દબાણ $h\rho g = 3 \, atm - 1 \, atm = 2 \, atm$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $h\rho g = 2 \times 10^5 \, N/m^2$.
$gh = \frac{2 \times 10^5}{\rho} = \frac{2 \times 10^5}{10^3} = 200 \, m^2/s^2$.
હવે,વેગના સૂત્રમાં $gh$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = \sqrt{2 \times (gh)} = \sqrt{2 \times 200} = \sqrt{400} \, m/s$.

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત પરથી મળતા સૂત્ર મુજબ,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v$ નીચે મુજબ છે:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}}$
જ્યાં $h$ એ છિદ્રની ઉપર રહેલા પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે:
પાણીની કુલ ઊંચાઈ = $3\,m$
તળિયેથી છિદ્રની ઊંચાઈ = $52.5\,cm = 0.525\,m$
$h = 3 - 0.525 = 2.475\,m$
$A_0/A = 0.1$
$g = 10\,m/s^2$
આ કિંમતોને $v^2$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v^2 = \frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}$
$v^2 = \frac{2 \times 10 \times 2.475}{1 - (0.1)^2}$
$v^2 = \frac{49.5}{1 - 0.01}$
$v^2 = \frac{49.5}{0.99} = 50\,m^2/s^2$

(A) ધારો કે ટાંકીની કુલ ઊંચાઈ $H = 10\,m$ છે. છિદ્રો પાયાથી $h_1 = 3\,m$ અને $h_2 = 7\,m$ ઊંચાઈએ છે.
ઉપરની સપાટીથી છિદ્રોની ઊંડાઈ $y_1 = H - h_1 = 10 - 3 = 7\,m$ અને $y_2 = H - h_2 = 10 - 7 = 3\,m$ છે.
$y$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીની સમક્ષિતિજ અવધિ (range) $R = 2\sqrt{y(H-y)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ છિદ્ર માટે $(y_1 = 7\,m)$: $R_1 = 2\sqrt{7(10-7)} = 2\sqrt{7 \times 3} = 2\sqrt{21}\,m$.
બીજા છિદ્ર માટે $(y_2 = 3\,m)$: $R_2 = 2\sqrt{3(10-3)} = 2\sqrt{3 \times 7} = 2\sqrt{21}\,m$.
અહીં $R_1 = R_2$ હોવાથી,બંને છિદ્રોમાંથી નીકળતું પાણી એક જ જગ્યાએ પડશે.

(A) બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v$ એ ટોર્સેલીના નિયમ મુજબ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદના વહનનો દર $Q$ એ $Q = A \times v = A \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 2 \; mm^{2} = 2 \times 10^{-6} \; m^{2}$,ઊંચાઈ $h = 2 \; m$,અને $g = 10 \; m/s^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$Q = (2 \times 10^{-6}) \sqrt{2 \times 10 \times 2}$
$Q = (2 \times 10^{-6}) \sqrt{40}$
$Q = (2 \times 10^{-6}) \times 2\sqrt{10}$
$Q = 4 \sqrt{10} \times 10^{-6} \; m^{3}/s$.
$\sqrt{10} \approx 3.162$ હોવાથી,
$Q \approx 4 \times 3.162 \times 10^{-6} \; m^{3}/s = 12.648 \times 10^{-6} \; m^{3}/s$.
આમ,વહનનો દર આશરે $12.6 \times 10^{-6} \; m^{3}/s$ છે.

(N/A) ટોરિસેલીએ શોધ્યું કે ખુલ્લા પાત્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થના વેગના સૂત્ર જેવો જ હોય છે.
ધારો કે એક પાત્રમાં $\rho$ ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહી ભરેલું છે અને તેની બાજુમાં તળિયેથી $y_{1}$ ઊંચાઈએ એક નાનું છિદ્ર છે. પ્રવાહીની ઉપરની સપાટી $y_{2}$ ઊંચાઈએ છે અને ત્યાં દબાણ $P$ છે.
બિંદુ $1$ અને $2$ પરના વેગ અનુક્રમે $v_{1}$ અને $v_{2}$ છે. સાતત્યના સમીકરણ મુજબ:
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
$v_{2} = \frac{A_{1} v_{1}}{A_{2}}$
અહીં $A_{2}$ એ પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_{1}$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A_{2} \gg A_{1}$ હોવાથી,$v_{2} \ll v_{1}$ થાય,તેથી આપણે $v_{2} \approx 0$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $1$ અને $2$ માટે બર્નુલીનું સમીકરણ વાપરતા:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho g y_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho g y_{2}$
અહીં,$P_{1} = P_{a}$ (વાતાવરણનું દબાણ),$P_{2} = P$ અને $v_{2} = 0$ છે. કિંમતો મૂકતા:
$P_{a} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho g y_{1} = P + \rho g y_{2}$
$\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = (P - P_{a}) + \rho g (y_{2} - y_{1})$
ધારો કે $h = y_{2} - y_{1}$ એ છિદ્રની ઉપર પ્રવાહીની ઊંચાઈ છે.
$\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = (P - P_{a}) + \rho g h$
$v_{1} = \sqrt{2g h + \frac{2(P - P_{a})}{\rho}}$
જો પાત્ર વાતાવરણ માટે ખુલ્લું હોય,તો $P = P_{a}$ થાય,તેથી:
$v_{1} = \sqrt{2gh}$
આ ટોરિસેલીનો નિયમ છે.

(N/A) એફ્લક્સ એટલે કોઈ પાત્ર કે વાસણમાંથી છિદ્ર કે નોઝલ જેવા મુખ દ્વારા પ્રવાહીનું બહાર નીકળવાની પ્રક્રિયા.
પ્રવાહી મિકેનિક્સના સંદર્ભમાં,એફ્લક્સનો વેગ એ તે ઝડપ છે જેની સાથે પ્રવાહી મુખમાંથી બહાર આવે છે.
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ,આદર્શ પ્રવાહી માટે,એફ્લક્સનો વેગ $v$ એ $v = \sqrt{2gh}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $h$ એ મુખની ઉપર પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ છે.

(N/A) ટોરીસેલીનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીના વેગ $(v)$ નું મૂલ્ય,કોઈ પદાર્થને $h$ જેટલી ઊંચાઈ પરથી મુક્ત પતન કરાવતા તે પદાર્થ પ્રાપ્ત કરે તેટલા જ વેગ જેટલું હોય છે.
બહાર આવતા પ્રવાહીના વેગ માટેનું ગાણિતિક સૂત્ર $v = \sqrt{2gh}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ છિદ્રની ઉપર રહેલા પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે.

(D) ટાંકીમાં પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $H = 1\, m$ છે.
જમીનથી છિદ્રની ઊંચાઈ $h = 0.25\, m$ છે.
ઉપરની સપાટીથી છિદ્રની ઊંડાઈ $y = H - h = 1 - 0.25 = 0.75\, m$ છે.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gy} = \sqrt{2 \times g \times 0.75} = \sqrt{1.5g}$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.25}{g}} = \sqrt{\frac{0.5}{g}}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = v \times t = \sqrt{2g(H-h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H-h)}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = 2\sqrt{0.25 \times 0.75} = 2\sqrt{0.1875} = 2 \times 0.433 = 0.866\, m$.
સેમીમાં રૂપાંતર કરતા: $0.866\, m = 86.6\, cm$.

(A) ધારો કે પાત્રમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ છે. ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
બહાર નીકળતા પ્રવાહી દ્વારા પાત્ર પર લાગતું બળ (થ્રસ્ટ ફોર્સ) $F_{thrust} = \rho a v^2 = \rho a (2gh) = 2 \rho agh$ છે.
પાત્ર સરકે નહીં તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ આ થ્રસ્ટ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$f \geq F_{thrust}$.
મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N$ છે,જ્યાં $N$ એ સપાટી દ્વારા લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા છે. પાત્ર હલકું હોવાથી (દળ નગણ્ય છે),લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ એ પ્રવાહીના વજન જેટલી થાય,$N = mg = (\rho A h) g$.
તેથી,$\mu (\rho A h g) \geq 2 \rho a g h$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\mu \geq \frac{2a}{A}$ મળે છે.
આમ,જરૂરી ન્યૂનતમ ઘર્ષણાંક $\frac{2a}{A}$ છે.

(D) ધારો કે પાણીના સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ $H = 12\, \text{m}$ છે।
ધારો કે પાણીની સપાટીથી કાણાની ઊંડાઈ $h$ છે।
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે।
$(H - h)$ ઊંચાઈ પરથી પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}}$ છે।
ક્ષૈતિજ અવધિ (range) $R = v \times t = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}}$ દ્વારા મળે છે।
આ પદને સરળ બનાવતા: $R = \sqrt{4h(H - h)} = 2\sqrt{hH - h^2}$.
મહત્તમ અવધિ મેળવવા માટે, આપણે $R$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dR}{dh} = 0$.
$\frac{d}{dh}(2\sqrt{hH - h^2}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{hH - h^2}} \cdot (H - 2h) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $H - 2h = 0$, તેથી $h = \frac{H}{2}$.
અહીં $H = 12\, \text{m}$ આપેલ હોવાથી, આપણને $h = \frac{12}{2} = 6\, \text{m}$ મળે છે।

(C) છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v_{e} = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીના પ્રવાહની સમક્ષિતિજ અવધિ (range) $x = v_{e} \times t$ છે,જ્યાં $t$ એ $H$ ઊંચાઈ પરથી પડવાનો સમય છે.
$H = \frac{1}{2}gt^{2}$ હોવાથી,$t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ મળે.
તેથી,$x = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2H}{g}} = 2\sqrt{hH}$.
પાણી ડોલમાં પડે તે માટે ડોલની ઝડપ $v$ એ અવધિ $x$ ના સમય સાથેના ફેરફારના દર જેટલી હોવી જોઈએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2\sqrt{hH}) = 2\sqrt{H} \frac{d}{dt}(\sqrt{h}) = 2\sqrt{H} \cdot \frac{1}{2\sqrt{h}} \cdot \frac{dh}{dt} = \sqrt{\frac{H}{h}} \cdot \frac{dh}{dt}$.
સાતત્ય સમીકરણ (equation of continuity) પરથી,$A_{0} \left(-\frac{dh}{dt}\right) = A v_{e} = A \sqrt{2gh}$.
તેથી,$\frac{dh}{dt} = -\frac{A}{A_{0}} \sqrt{2gh}$.
આ કિંમત $v$ ના સૂત્રમાં મૂકતા (માત્ર મૂલ્ય લેતા): $v = \sqrt{\frac{H}{h}} \cdot \frac{A}{A_{0}} \sqrt{2gh} = \frac{A}{A_{0}} \sqrt{2gH}$.
અહીં $A = 5 \, cm^{2}$,$A_{0} = 500 \, cm^{2}$,$g = 10 \, m/s^{2}$ અને $H = 5 \, m$ આપેલ છે:
$v = \left(\frac{5}{500}\right) \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \frac{1}{100} \times \sqrt{100} = \frac{10}{100} = 0.1 \, m/s$.

(D) જ્યારે છિદ્રવાળું બોક્સ મુક્ત પતન (free fall) કરે છે,ત્યારે અંદરનું પાણી અને બોક્સ બંને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સમાન પ્રવેગ $g$ અનુભવે છે,જે નીચેની તરફ હોય છે.
બોક્સ અને પાણી બંને સમાન દરે પ્રવેગિત થતા હોવાથી,તેમની વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ પ્રવેગ હોતો નથી.
પરિણામે,છિદ્ર પાસે દબાણનો તફાવત શૂન્ય થઈ જાય છે અને બોક્સના મુક્ત પતન દરમિયાન છિદ્રમાંથી પાણી બહાર આવતું નથી.

(A) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ આવેલા નાના છિદ્ર માટે બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ $(v)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{2gh}$
અહીં,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ છિદ્રની ઉપર પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ છે.
કારણ કે બંને પાત્રો સમાન છે અને સમાન ઊંચાઈ $h$ સુધી ભરેલા છે,તેથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ માત્ર ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રવાહીની ઘનતા $(\rho)$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$v_1 = \sqrt{2gh}$ અને $v_2 = \sqrt{2gh}$.
આમ,$v_1 = v_2$.

(D) ધારો કે $H$ એ પાણીના સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ છે. ધારો કે $h^{\prime}$ એ ઉપરની સપાટીથી છિદ્ર $B$ ની ઊંડાઈ છે અને $h$ એ તળિયેથી છિદ્ર $A$ ની ઊંચાઈ છે.
ઉપરથી $h^{\prime}$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્ર $B$ માટે,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v_B = \sqrt{2gh^{\prime}}$ છે. જમીનથી આ છિદ્રની ઊંચાઈ $H - h^{\prime}$ છે. પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_B = \sqrt{\frac{2(H - h^{\prime})}{g}}$ છે.
અવધિ $R_B = v_B \times t_B = \sqrt{2gh^{\prime}} \times \sqrt{\frac{2(H - h^{\prime})}{g}} = 2\sqrt{h^{\prime}(H - h^{\prime})}$ છે.
તળિયેથી $h$ ઊંચાઈએ આવેલા છિદ્ર $A$ માટે,ઉપરથી ઊંડાઈ $H - h$ છે. બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v_A = \sqrt{2g(H - h)}$ છે. જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
અવધિ $R_A = v_A \times t_A = \sqrt{2g(H - h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H - h)}$ છે.
સમાન અવધિ માટે,$R_A = R_B$:
$2\sqrt{h(H - h)} = 2\sqrt{h^{\prime}(H - h^{\prime})}$
$h(H - h) = h^{\prime}(H - h^{\prime})$
$hH - h^2 = h^{\prime}H - h^{\prime 2}$
$H(h - h^{\prime}) = h^2 - h^{\prime 2}$
$H(h - h^{\prime}) = (h - h^{\prime})(h + h^{\prime})$
અહીં $h \neq h^{\prime}$ હોવાથી,$H = h + h^{\prime}$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે બંને છિદ્રો ઉપરની સપાટીથી $h^{\prime}$ અને $H - h^{\prime} = h$ ઊંડાઈએ છે. સમાન અવધિ માટે,ઉપરની સપાટીથી બંને છિદ્રોની ઊંડાઈનો સરવાળો પાણીના સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ જેટલો હોવો જોઈએ. આપેલી ગોઠવણીમાં,જો $h^{\prime}$ એ $B$ ની ઊંડાઈ હોય અને $h$ એ તળિયેથી $A$ ની ઊંચાઈ હોય,તો સમાન અવધિ માટેની શરત $h = h^{\prime}$ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{h^{\prime}}{h} = 1$ થાય.

(D) ધારો કે જમીનથી પાણીની સપાટીની કુલ ઊંચાઈ $H = 3 \,m + 1 \,m = 4 \,m$ છે. ધારો કે જમીનથી કાણાની ઊંચાઈ $y$ છે. પાણીની મુક્ત સપાટીથી કાણાની ઊંડાઈ $h = H - y = 4 - y$ છે.
બહિઃસ્ત્રાવનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = v \cdot t = \sqrt{2g(4-y)} \cdot \sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{y(4-y)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ અવધિ માટે,વર્ગમૂળની અંદરનું પદ $f(y) = 4y - y^2$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $\frac{df}{dy} = 4 - 2y = 0$,જે $y = 2 \,m$ આપે છે.
આમ,કાણું જમીનથી $2 \,m$ ની ઊંચાઈએ હોવું જોઈએ.

(D) ધારો કે નળાકારમાં પાણીની ઊંડાઈ $x$ છે.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $(v) = \sqrt{2 g x}$ છે.
પાણીનો પ્રવાહ $H$ ઊંચાઈથી સમક્ષિતિજ દિશામાં ફેંકાયેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ જેવું વર્તે છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$ ગતિના સમીકરણ $H = \frac{1}{2} g t^2$ પરથી મળે છે,જે $t = \sqrt{\frac{2 H}{g}}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $(R)$ એ સમક્ષિતિજ વેગ અને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર છે:
$R = v \times t$
$R = \sqrt{2 g x} \times \sqrt{\frac{2 H}{g}}$
$R = \sqrt{2 g x \cdot \frac{2 H}{g}}$
$R = \sqrt{4 x H}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $R^2 = 4 x H$ મળે છે.
તેથી,પાણીની ઊંડાઈ $x = \frac{R^2}{4 H}$ થાય.

(C) કદનો પ્રવાહ દર (પ્રતિ સેકન્ડ પાણીનો જથ્થો) એ છિદ્રના ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને બહાર નીકળતા પાણીના વેગ $(v)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ચોરસ છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_1 = a^2$,ઊંડાઈ $h_1 = x$. વેગ $v_1 = \sqrt{2gx}$.
પ્રવાહ દર $Q_1 = A_1 v_1 = a^2 \sqrt{2gx}$.
ગોળાકાર છિદ્ર માટે: ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r^2$,ઊંડાઈ $h_2 = 4x$. વેગ $v_2 = \sqrt{2g(4x)} = 2\sqrt{2gx}$.
પ્રવાહ દર $Q_2 = A_2 v_2 = \pi r^2 (2\sqrt{2gx})$.
આપેલ છે કે $Q_1 = Q_2$,તેથી:
$a^2 \sqrt{2gx} = 2\pi r^2 \sqrt{2gx}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2gx}$ વડે ભાગતા:
$a^2 = 2\pi r^2$.
$r^2 = \frac{a^2}{2\pi}$.
$r = \frac{a}{\sqrt{2\pi}}$.

(A) બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ ટોર્સેલીના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{2gD}$.
પાણીનો પ્રવાહ જમીન સુધી પહોંચવા માટે $(H-D)$ જેટલું શિરોલંબ અંતર કાપે છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = H-D$,$u = 0$ (પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ),અને $a = g$ છે:
$H-D = 0 + \frac{1}{2}gt^2$
$t = \sqrt{\frac{2(H-D)}{g}}$
ક્ષૈતિજ અંતર $x$ એ ક્ષૈતિજ વેગ અને સમયના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$x = v \times t$
$x = \sqrt{2gD} \times \sqrt{\frac{2(H-D)}{g}}$
$x = \sqrt{4D(H-D)}$
$x = 2[D(H-D)]^{1/2}$

(A) પાણીની ધારની સમક્ષિતિજ અવધિ $d$,જે છિદ્રની નીચેની ઊંચાઈ $h_2$ અને છિદ્રની ઉપર પાણીની ઊંચાઈ $h_1$ પર આધારિત છે,તે $d = v \cdot t = \sqrt{2gh_1} \cdot \sqrt{\frac{2h_2}{g}} = 2\sqrt{h_1 h_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$g$ એ લિફ્ટની અંદર અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_{eff})$ છે.
$P$. જ્યારે લિફ્ટ શિરોલંબ ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થાય,ત્યારે $g_{eff} = g + a > g$. $d \propto \frac{1}{\sqrt{g_{eff}}}$ હોવાથી,$d$ ઘટે છે. તેથી,$d < 1.2 \ m$.
$Q$. જ્યારે લિફ્ટ શિરોલંબ નીચેની તરફ $a < g$ સાથે પ્રવેગિત થાય,ત્યારે $g_{eff} = g - a < g$. તેથી,$d$ વધે છે. એટલે કે,$d > 1.2 \ m$.
$R$. જ્યારે લિફ્ટ અચળ ઝડપે ગતિ કરે,ત્યારે $a = 0$,તેથી $g_{eff} = g$. તેથી,$d = 1.2 \ m$.
$S$. જ્યારે લિફ્ટ મુક્ત પતન કરે,ત્યારે $a = g$,તેથી $g_{eff} = g - g = 0$. અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ શૂન્ય હોવાથી,છિદ્ર પર દબાણ શૂન્ય હોય છે અને પાણી બહાર આવતું નથી.
જોડકાં: $P-2, Q-3, R-1, S-4$.

(B) ટાંકી $1$ માટે,$y$ ઊંચાઈએ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v_1 = \sqrt{2gy}$ છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A(-dy/dt) = a\sqrt{2gy}$,જ્યાં $A$ એ ટાંકીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $a$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
$y=h$ થી $y=0$ સુધી સંકલન કરતા:
$dt = (A/a\sqrt{2g}) \cdot (-dy/\sqrt{y})$
$t_1 = (A/a\sqrt{2g}) \int_0^h y^{-1/2} dy = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2\sqrt{h} = (A/a) \sqrt{2h/g}$.
ટાંકી $2$ માટે,$y$ ઊંચાઈએ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v_2 = \sqrt{2g(y+H)}$ છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A(-dy/dt) = a\sqrt{2g(y+H)}$.
$y=h$ થી $y=0$ સુધી સંકલન કરતા:
$dt = (A/a\sqrt{2g}) \cdot (-dy/\sqrt{y+H})$
$t_2 = (A/a\sqrt{2g}) \int_0^h (y+H)^{-1/2} dy = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2[\sqrt{y+H}]_0^h = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2(\sqrt{h+H} - \sqrt{H})$.
આપેલ છે કે $H = (16/9)h$,તેથી $h+H = h + (16/9)h = (25/9)h$.
$t_2 = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2(\sqrt{25h/9} - \sqrt{16h/9}) = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2(5/3\sqrt{h} - 4/3\sqrt{h}) = (A/a\sqrt{2g}) \cdot 2(1/3\sqrt{h}) = (A/3a) \sqrt{2h/g}$.
તેથી,ગુણોત્તર $t_1 / t_2 = [(A/a) \sqrt{2h/g}] / [(A/3a) \sqrt{2h/g}] = 3$.

(A) તળિયે કુલ દબાણ $P_{\text{total}} = P_{\text{atm}} + h\rho g = 3 \ atm = 3 \times 10^5 \ Pa$ છે.
અહીં $P_{\text{atm}} = 1 \times 10^5 \ Pa$ હોવાથી,પાણીના સ્તંભને કારણે ગેજ દબાણ $P_g = h\rho g = P_{\text{total}} - P_{\text{atm}} = 3 \times 10^5 - 1 \times 10^5 = 2 \times 10^5 \ Pa$ થાય.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
$P_g = h\rho g$ હોવાથી,$h = \frac{P_g}{\rho g}$ મળે.
વેગના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $v = \sqrt{2g \left(\frac{P_g}{\rho g}\right)} = \sqrt{\frac{2P_g}{\rho}}$.
પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ લેતા: $v = \sqrt{\frac{2 \times 2 \times 10^5}{10^3}} = \sqrt{4 \times 10^2} = \sqrt{400} \ m/s$.

(A) ધારો કે પ્રવાહીના સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. મુક્ત સપાટીથી બે છિદ્રોની ઊંડાઈ $h_1 = 4 \ cm$ અને $h_2 = 6 \ cm$ છે.
$h$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતી પાણીની ધારની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ છે.
આપેલ છે કે બંને ધાર જમીન પર એક જ બિંદુએ અથડાય છે,તેથી તેમની અવધિ સમાન છે:
$2\sqrt{h_1(H-h_1)} = 2\sqrt{h_2(H-h_2)}$
$h_1(H-h_1) = h_2(H-h_2)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$4(H-4) = 6(H-6)$
$4H - 16 = 6H - 36$
$2H = 20$
$H = 10 \ cm$.

(B) પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ આવેલા નાના છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીના પ્રવાહની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ છે,જ્યાં $H$ એ કુલ ઊંચાઈ છે.
છિદ્ર $A$ માટે,મુક્ત સપાટીથી ઊંડાઈ $h_1 = 5 \text{ m}$ છે. પ્રવાહીની કુલ ઊંચાઈ $H = 20 \text{ m}$ છે.
તેથી,$R_1 = 2\sqrt{5(20-5)} = 2\sqrt{5 \times 15} = 2\sqrt{75} = 10\sqrt{3} \text{ m}$.
છિદ્ર $B$ માટે,મુક્ત સપાટીથી ઊંડાઈ $h_2 = 5 \text{ m} + 5 \text{ m} = 10 \text{ m}$ છે.
તેથી,$R_2 = 2\sqrt{10(20-10)} = 2\sqrt{10 \times 10} = 20 \text{ m}$.
ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.

(A) જ્યારે ટાંકીમાં દાખલ થતા પાણીનો દર અને છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીનો દર સમાન થાય ત્યારે ટાંકીમાં પાણીની ઊંચાઈ મહત્તમ બને છે.
ટાંકીમાં દાખલ થતા પાણીનો દર = $70 \ cm^3/s$.
બહાર નીકળતા પાણીનો દર = $A \times v = A \sqrt{2gh}$,જ્યાં $A = 1 \ cm^2$ અને $g = 980 \ cm/s^2$.
બંને દરોને સરખાવતા: $1 \times \sqrt{2 \times 980 \times h} = 70$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 \times 980 \times h = 70^2$.
$1960 \times h = 4900$.
$h = \frac{4900}{1960} = 2.5 \ cm$.

(D) ધારો કે પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી બે છિદ્રોની ઊંડાઈ અનુક્રમે $y_1$ અને $y_2$ છે. આપેલ છે કે ઊંચાઈનો તફાવત $h$ છે,તેથી $y_2 - y_1 = h$.
ઉપરના છિદ્ર માટે બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ $v_1 = \sqrt{2gy_1}$ અને નીચેના છિદ્ર માટે $v_2 = \sqrt{2gy_2}$ છે.
ટાંકી પર પ્રવાહીના જેટ દ્વારા લાગતું બળ $F = \frac{dm}{dt} v = (A \rho v) v = A \rho v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
છિદ્રો વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોવાથી,બળો વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. ચોખ્ખું આડું બળ $F_{net} = |F_2 - F_1| = |A \rho v_2^2 - A \rho v_1^2|$ છે.
વેગની કિંમતો મૂકતા: $F_{net} = A \rho (2gy_2 - 2gy_1) = 2A \rho g (y_2 - y_1)$.
$y_2 - y_1 = h$ હોવાથી,આપણને $F_{net} = 2A \rho g h$ મળે છે.
તેથી,ચોખ્ખું આડું બળ $h$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ $h$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ બહાર આવતા પાણીનો જથ્થો (ફ્લો રેટ) $Q = A \cdot v$ છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
છિદ્ર $P$ માટે ($2h$ ઊંડાઈએ $a$ બાજુવાળો ચોરસ): $A_P = a^2$ અને $v_P = \sqrt{2g(2h)} = 2\sqrt{gh}$.
તેથી,ફ્લો રેટ $Q_P = a^2 \cdot 2\sqrt{gh}$.
છિદ્ર $Q$ માટે ($8h$ ઊંડાઈએ $r$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ): $A_Q = \pi r^2$ અને $v_Q = \sqrt{2g(8h)} = 4\sqrt{gh}$.
તેથી,ફ્લો રેટ $Q_Q = \pi r^2 \cdot 4\sqrt{gh}$.
આપેલ છે કે $Q_P = Q_Q$,તેથી: $a^2 \cdot 2\sqrt{gh} = \pi r^2 \cdot 4\sqrt{gh}$.
$a^2 \cdot 2 = 4\pi r^2 \implies a^2 = 2\pi r^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $a = r\sqrt{2\pi}$.

(C) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$h$' ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્ર '$A$' માટે,વેગ $V_A = \sqrt{2gh}$ છે.
'$4h$' ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્ર '$B$' માટે,વેગ $V_B = \sqrt{2g(4h)} = 2\sqrt{2gh} = 2V_A$ છે.
કદનો પ્રવાહ દર $(Q)$ $Q = A \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં '$A$' એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને છિદ્રો માટે પ્રવાહ દર સમાન છે: $Q_A = Q_B$.
$A_A \cdot V_A = A_B \cdot V_B$.
છિદ્ર '$A$' એ '$L$' બાજુવાળો ચોરસ હોવાથી,$A_A = L^2$.
છિદ્ર '$B$' એ '$R$' ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ હોવાથી,$A_B = \pi R^2$.
કિંમતો મૂકતા: $L^2 \cdot V_A = (\pi R^2) \cdot (2V_A)$.
$L^2 = 2\pi R^2$.
$L = \sqrt{2\pi} \cdot R$.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ધારો કે ચોરસ કાણાનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ છે અને ગોળાકાર કાણાનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ છે.
$A_1 = a^2$ અને $A_2 = \pi r^2$.
કદનો પ્રવાહ દર $Q = A \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કાણાં માટે કદનો પ્રવાહ દર સમાન હોવાથી:
$A_1 \sqrt{2gy} = A_2 \sqrt{2g(16y)}$
$a^2 \sqrt{y} = (\pi r^2) \sqrt{16y}$
$a^2 \sqrt{y} = \pi r^2 (4 \sqrt{y})$
$a^2 = 4 \pi r^2$
$r^2 = \frac{a^2}{4 \pi}$
$r = \sqrt{\frac{a^2}{4 \pi}} = \frac{a}{2 \sqrt{\pi}}$

(C) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{2(P - P_0)}{\rho}}$
જ્યાં $P$ એ તળિયે કુલ દબાણ છે,$P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,અને $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આપેલ છે:
$P = 4H$
$P_0 = H$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2(4H - H)}{\rho}}$
$v = \sqrt{\frac{2(3H)}{\rho}}$
$v = \sqrt{\frac{6H}{\rho}}$

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,મુક્ત સપાટીથી '$h$' ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીની ઝડપ $(V)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{2gh}$
આકૃતિ પરથી,મુક્ત સપાટીથી છિદ્રો $O_1, O_2, O_3$ ની ઊંડાઈ અનુક્રમે $h_1, h_2, h_3$ છે.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $h_1 < h_2 < h_3$.
જેમ કે $V$ એ $\sqrt{h}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી આપણને મળે છે:
$V_1 < V_2 < V_3$
આમ,જેમ છિદ્રની ઊંડાઈ વધે છે તેમ બહાર આવતા પાણીની ઝડપ વધે છે.

(B) ગતિશીલ પ્રવાહી માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
પાઇપની અંદરના પ્રવાહી માટે,જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે પ્રારંભિક દબાણ $P_{1}$ છે.
જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે દબાણ ઘટીને $P_{2}$ થાય છે અને પ્રવાહી $v$ જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
પાઇપની અંદર અને બહાર નીકળવાના બિંદુ વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_{1} + 0 = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$v$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$v^{2} = \frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}$
$v = \sqrt{\frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $y$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી વહેતા પાણીનો દર (ડિસ્ચાર્જ) $Q = A_v \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_v$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v = \sqrt{2gy}$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ છે.
$h$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્ર $A$ માટે: ક્ષેત્રફળ $A_A = L^2$,વેગ $v_A = \sqrt{2gh}$. તેથી,$Q_A = L^2 \sqrt{2gh}$.
$3h$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્ર $B$ માટે: ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi r^2$,વેગ $v_B = \sqrt{2g(3h)} = \sqrt{6gh}$. તેથી,$Q_B = \pi r^2 \sqrt{6gh}$.
આપેલ છે કે પ્રવાહનો દર સમાન છે,તેથી $Q_A = Q_B$:
$L^2 \sqrt{2gh} = \pi r^2 \sqrt{6gh}$
$L^2 = \pi r^2 \frac{\sqrt{6gh}}{\sqrt{2gh}} = \pi r^2 \sqrt{3}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$L = \sqrt{\pi r^2 \sqrt{3}} = r \sqrt{\pi} (3)^{\frac{1}{4}} = r (\pi)^{\frac{1}{2}} (3)^{\frac{1}{4}}$.

(C) સાતત્યના સમીકરણ અને ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,પાણીના વહનનો દર નીચે મુજબ છે:
$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = a \sqrt{2gh}$
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા:
$\int_{h}^{0} \frac{-dh}{\sqrt{h}} = \int_{0}^{t} \frac{a}{A} \sqrt{2g} dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$[2\sqrt{h}]_{0}^{h} = \frac{a}{A} \sqrt{2g} t$
$2\sqrt{h} = \frac{a}{A} \sqrt{2g} t$
આમ,પાત્ર ખાલી થવા માટે લાગતો સમય ઊંચાઈના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે:
$t \propto \sqrt{h}$
આપેલ છે કે $h$ ઊંચાઈ માટે સમય $t_1 = t$ છે,અને $h_2 = 4h$ ઊંચાઈ માટે સમય $t_2$ છે:
$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{4h}{h}} = \sqrt{4} = 2$
તેથી,$t_2 = 2t_1 = 2t$.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ મુક્ત સપાટીથી છિદ્રની ઊંડાઈ છે.
અહીં $h = 2 \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી $v = \sqrt{2 \times g \times 2} = 2\sqrt{g}$.
$H = 8 \text{ cm}$ ની ઊંચાઈએથી પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ $H = \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 8}{g}} = \sqrt{\frac{16}{g}} = \frac{4}{\sqrt{g}}$.
આડી અવધિ $R$ એ બહાર નીકળતા વેગ અને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર છે:
$R = v \times t = (\sqrt{2gh}) \times \sqrt{\frac{2H}{g}} = 2\sqrt{hH}$.
$h = 2 \text{ cm}$ અને $H = 8 \text{ cm}$ કિંમતો મૂકતા:
$R = 2 \times \sqrt{2 \times 8} = 2 \times \sqrt{16} = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}$.

(A) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ઊંચાઈમાં થતા ફેરફારનો દર $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $a$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
આના પરથી $dt = -\frac{A}{a\sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$ મળે છે.
ઊંચાઈ $h_1$ થી $h_2$ સુધી ઘટવા માટે લાગતો સમય $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a\sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ છે.
ધારો કે $t_1$ એ $h$ થી $h/2$ સુધી ઘટવા માટેનો સમય છે:
$t_1 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} \sqrt{h} (1 - 1/\sqrt{2})$.
ધારો કે $t_2$ એ $h/2$ થી $0$ સુધી ઘટવા માટેનો સમય છે:
$t_2 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} \sqrt{h} (1/\sqrt{2})$.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ થાય.

(C) છિદ્રમાંથી પાણીના વહનનો દર એ બહાર નીકળતા પાણીના વેગ અને છિદ્રના ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$\frac{\Delta V}{\Delta t} = v \times A$
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે।
તેથી, $\frac{\Delta V}{\Delta t} = \sqrt{2gh} \times A$ ... $(i)$
આપેલ છે:
$h = 20 \,m$
$g = 10 \,m/s^2$
$\frac{\Delta V}{\Delta t} = 3 \times 10^{-3} \,m^3/min = \frac{3 \times 10^{-3}}{60} \,m^3/s = 0.5 \times 10^{-4} \,m^3/s = 5 \times 10^{-5} \,m^3/s$
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$5 \times 10^{-5} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} \times A$
$5 \times 10^{-5} = \sqrt{400} \times A$
$5 \times 10^{-5} = 20 \times A$
$A = \frac{5 \times 10^{-5}}{20} = 0.25 \times 10^{-5} \,m^2 = 2.5 \times 10^{-6} \,m^2$
કારણ કે $1 \,m^2 = 10^6 \,mm^2$, તેથી:
$A = 2.5 \times 10^{-6} \times 10^6 \,mm^2 = 2.5 \,mm^2$.

(A) મુક્ત સપાટીથી $H$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $(v)$ ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ: $v = \sqrt{2gH}$ છે.
કદ પ્રવાહ દર $(Q)$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $(a)$ અને બહાર નીકળતા પાણીના વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર છે:
$Q = a \times v = a \sqrt{2gH}$
આપેલ છે:
$Q = 2 \times 10^{-3} \,m^3/s$
$a = 5 \,cm^2 = 5 \times 10^{-4} \,m^2$
$g = 10 \,ms^{-2}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4} \times \sqrt{2 \times 10 \times H}$
બંને બાજુ $5 \times 10^{-4}$ વડે ભાગતા:
$4 = \sqrt{20H}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$16 = 20H$
$H = \frac{16}{20} \,m = 0.8 \,m = 80 \,cm$.

(A) ધારો કે $a$ એ કાણાનું ક્ષેત્રફળ છે,$v_e$ એ બહાર આવતા પાણીનો વેગ છે,અને $h$ એ કાણાની ઉપર રહેલા પ્રવાહીની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $v$ એ ટાંકીમાં પાણીના સ્તરના ઘટવાનો વેગ છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$a v_e = A v \Rightarrow v = \frac{a v_e}{A}$.
બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$p_0 + h \rho g + \frac{1}{2} \rho v^2 = p_0 + \frac{1}{2} \rho v_e^2$
$h \rho g + \frac{1}{2} \rho \left(\frac{a v_e}{A}\right)^2 = \frac{1}{2} \rho v_e^2$
$v_e^2 = \frac{2gh}{1 - (a/A)^2}$
અહીં $h = 3 \,m - 0.525 \,m = 2.475 \,m$,$a/A = 0.1$,અને $g = 10 \,ms^{-2}$ છે:
$v_e^2 = \frac{2 \times 10 \times 2.475}{1 - (0.1)^2} = \frac{49.5}{1 - 0.01} = \frac{49.5}{0.99} = 50 \,m^2 \,s^{-2}$.

(A) $\text{ધારો કે ટાંકીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ } H = 5 \,m \text{ છે। ટાંકીનું તળિયું જમીનથી } h_0 = 5 \,m \text{ ઊંચાઈ પર છે। ધારો કે કાણું પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી } y \text{ ઊંડાઈએ પાડવામાં આવે છે। જમીનથી કાણાની ઊંચાઈ } h = h_0 + (H - y) = 5 + 5 - y = 10 - y \text{ થશે। બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ } v = \sqrt{2gy} \text{ છે। પ્રવાહીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય } t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2(10-y)}{g}} \text{ છે। સમક્ષિતિજ અવધિ } R = v \cdot t = \sqrt{2gy} \cdot \sqrt{\frac{2(10-y)}{g}} = 2\sqrt{y(10-y)} \text{ છે। } R \text{ ને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે } f(y) = y(10-y) = 10y - y^2 \text{ ને મહત્તમ કરીશું। } y \text{ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા અને તેને શૂન્ય લેતા: } \frac{df}{dy} = 10 - 2y = 0, \text{ જે } y = 5 \,m \text{ આપે છે। } y = 5 \,m \text{ ને અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: } R_{max} = 2\sqrt{5(10-5)} = 2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10 \,m \text{।}$

(C) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ધારો કે ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $a$ છે. ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ દ્વારા મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$ મળે છે.
$h_1$ થી $h_2$ સુધી સંકલન કરતા,લાગતો સમય $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ છે.
પ્રથમ અંતરાલ ($h$ થી $h/2$) માટે: $t_1 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
બીજા અંતરાલ ($h/2$ થી $0$) માટે: $t_2 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (\frac{1}{\sqrt{2}})$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$.

(B) ધારો કે જમીનથી પાણીની સપાટીની કુલ ઊંચાઈ $Y = H + h$ છે.
પાણીની સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gx}$ છે.
જમીનથી કાણાની ઊંચાઈ $y = H + (h - x)$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2(H + h - x)}{g}}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ (range) $R = v \cdot t = \sqrt{2gx} \cdot \sqrt{\frac{2(H + h - x)}{g}} = 2\sqrt{x(H + h - x)}$ દ્વારા મળે છે.
$R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે પદ $f(x) = x(H + h - x) = (H + h)x - x^2$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને તેને શૂન્ય લેતા: $f'(x) = (H + h) - 2x = 0$.
આમ,$x = \frac{H + h}{2}$ મળે છે.

(C) બર્નુલીના સમીકરણ પરથી મેળવેલા ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
અહીં $g = 10 \,m/s^2$ અને $h = 10 \,m$ આપેલ છે, તેથી $v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 14.14 \,m/s$.
છિદ્રનો વ્યાસ $d = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \times 10^{-3} \,m$ થાય.
છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-6} = 12.56 \times 10^{-6} \,m^2$ મળે.
પાણીનો પ્રવાહ દર $Q = A \times v$ દ્વારા મળે છે.
$Q = (12.56 \times 10^{-6} \,m^2) \times (14.14 \,m/s) \approx 177.6 \times 10^{-6} \,m^3/s = 1.776 \times 10^{-4} \,m^3/s$.

(B) આપેલ છે: છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ, $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$.
કદનો પ્રવાહ દર, $Q = 100 \,cm^3/s = 100 \times 10^{-6} \,m^3/s = 10^{-4} \,m^3/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર, ટાંકીમાં પ્રવેશતા પાણીનો દર અને છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીનો દર સમાન હોય છે.
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે。
છિદ્રમાંથી કદનો પ્રવાહ દર $Q = A \times v$ છે。
કિંમતો મૂકતા: $10^{-4} = (2 \times 10^{-4}) \times \sqrt{2gh}$.
બંને બાજુ $2 \times 10^{-4}$ વડે ભાગતા: $0.5 = \sqrt{2gh}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $0.25 = 2gh$.
અહીં $g = 10 \,m/s^2$ આપેલ છે, તેથી $0.25 = 2 \times 10 \times h$.
$0.25 = 20h$.
$h = \frac{0.25}{20} = 0.0125 \,m$.
સેમીમાં રૂપાંતર કરતા: $h = 0.0125 \times 100 \,cm = 1.25 \,cm$.

(A) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
બંને ટાંકી માટે ઊંડાઈ $h$ સમાન હોવાથી,બંનેનો વેગ સમાન હશે: $v_A = v_B = v = \sqrt{2gh}$.
દળ ફ્લક્સ (mass flux) નું સૂત્ર $\dot{m} = A \cdot v \cdot \rho$ છે,જ્યાં $A$ એ કાણાનું ક્ષેત્રફળ,$v$ એ વેગ અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
આપેલ છે કે દળ ફ્લક્સ સમાન છે: $\dot{m}_A = \dot{m}_B$.
$A_A \cdot v_A \cdot \rho_A = A_B \cdot v_B \cdot \rho_B$.
$v_A = v_B$ હોવાથી,તે બંને બાજુથી ઉડી જશે:
$A_A \cdot \rho_A = A_B \cdot \rho_B$.
આપેલ છે કે $A_B = 2 A_A$.
તેથી,$A_A \cdot \rho_A = (2 A_A) \cdot \rho_B$.
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$.

(C) ધારો કે $A_v$ એ પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે. ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રવાહનો દર $A_v \frac{dh}{dt} = -A \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{A}{A_v} \sqrt{2g} dt$.
બંને બાજુ ઊંચાઈ $h$ થી $0$ સુધી સમય $t$ માટે સંકલન કરતા:
$\int_{h}^{0} h^{-1/2} dh = -\int_{0}^{t} \frac{A}{A_v} \sqrt{2g} dt$
$[2\sqrt{h}]_{h}^{0} = -\frac{A}{A_v} \sqrt{2g} t$
$2\sqrt{h} = \frac{A}{A_v} \sqrt{2g} t$
આમ,$t \propto \sqrt{h}$.
આપેલ છે કે $h$ ઊંચાઈ માટે સમય $t$ છે,તેથી $t = k\sqrt{h}$.
$4h$ ઊંચાઈ માટે,નવો સમય $t'$ એ $t' = k\sqrt{4h} = 2k\sqrt{h} = 2t$ થશે.