અ Gujarati
Surface Tension Questions in Gujarati
Class 11 Physics · Fluid Mechanics and Surface Tension · Surface Tension
130+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 49 of 130 questions in Gujarati
51
MediumMCQ
પ્રવાહીના ટીપાંનો આકાર શેના કારણે ગોળાકાર બને છે?
A
પૃષ્ઠતાણ
B
ઘનતા
C
સ્નિગ્ધતા
D
તાપમાન
Solution
(A) પ્રવાહીના આપેલા કદ માટે,અન્ય કોઈપણ આકારની તુલનામાં ગોળાનું પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ હોય છે.
પ્રવાહીના ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા એ પૃષ્ઠતાણ અને પૃષ્ઠફળના ગુણાકાર જેટલી હોય છે $(E = T \times A)$.
સ્થાયી સંતુલનની સ્થિતિમાં રહેવા માટે,કોઈપણ તંત્ર હંમેશા તેની સ્થિતિ ઉર્જા ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરે છે. કદ નિશ્ચિત હોવાથી,પૃષ્ઠફળ ઘટાડવાથી પૃષ્ઠ ઉર્જા ન્યૂનતમ થાય છે.
તેથી,પ્રવાહીનું ટીપું તેના પૃષ્ઠફળને ઘટાડવા માટે કુદરતી રીતે ગોળાકાર આકાર ધારણ કરે છે,જે પૃષ્ઠતાણના ગુણધર્મનું સીધું પરિણામ છે.
પ્રવાહીના ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા એ પૃષ્ઠતાણ અને પૃષ્ઠફળના ગુણાકાર જેટલી હોય છે $(E = T \times A)$.
સ્થાયી સંતુલનની સ્થિતિમાં રહેવા માટે,કોઈપણ તંત્ર હંમેશા તેની સ્થિતિ ઉર્જા ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરે છે. કદ નિશ્ચિત હોવાથી,પૃષ્ઠફળ ઘટાડવાથી પૃષ્ઠ ઉર્જા ન્યૂનતમ થાય છે.
તેથી,પ્રવાહીનું ટીપું તેના પૃષ્ઠફળને ઘટાડવા માટે કુદરતી રીતે ગોળાકાર આકાર ધારણ કરે છે,જે પૃષ્ઠતાણના ગુણધર્મનું સીધું પરિણામ છે.
0 likes
View Solution52
MediumMCQ
પાણીની સપાટી પર તરતી સોયની લંબાઈ $1.5\,cm$ છે. સોયને પાણીની સપાટી પરથી ઉપર ઉઠાવવા માટે તેના વજન ઉપરાંત જરૂરી બળ...... $N$ હશે (પાણીનું પૃષ્ઠતાણ $= 7.5\,N/cm$).
A
$22.5$
B
$2.25$
C
$0.25$
D
$225$
Solution
(A) જ્યારે સોય પાણીની સપાટી પર તરે છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણ સોયની બંને બાજુએ તેની લંબાઈ પર કાર્ય કરે છે.
સંપર્કની કુલ લંબાઈ $L_{total} = 2 \times L = 2 \times 1.5\,cm = 3.0\,cm$ છે.
સોયને તેના વજન ઉપરાંત ઉપર ઉઠાવવા માટે જરૂરી બળનું સૂત્ર $F = T \times L_{total}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અહીં $T = 7.5\,N/cm$ અને $L_{total} = 3.0\,cm$ આપેલ છે.
$F = 7.5\,N/cm \times 3.0\,cm = 22.5\,N$.
સંપર્કની કુલ લંબાઈ $L_{total} = 2 \times L = 2 \times 1.5\,cm = 3.0\,cm$ છે.
સોયને તેના વજન ઉપરાંત ઉપર ઉઠાવવા માટે જરૂરી બળનું સૂત્ર $F = T \times L_{total}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અહીં $T = 7.5\,N/cm$ અને $L_{total} = 3.0\,cm$ આપેલ છે.
$F = 7.5\,N/cm \times 3.0\,cm = 22.5\,N$.
0 likes
View Solution53
MediumMCQ
વરસાદના ટીપાં ગોળાકાર આકારના હોય છે,તેનું કારણ શું છે?
A
પૃષ્ઠતાણ
B
શ્યાનતા
C
અવશેષ દબાણ
D
ટીપાં પરનું બળ
Solution
(A) પ્રવાહીની સપાટી તેના આપેલા કદ માટે ન્યૂનતમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ રોકવા માટે સંકોચાય છે,આ ગુણધર્મને પૃષ્ઠતાણ કહેવામાં આવે છે.
આપેલા કદ માટે,અન્ય કોઈપણ ભૌમિતિક આકારની તુલનામાં ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હોય છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણને કારણે,વરસાદના ટીપાં તેમની સપાટીની ઉર્જા ઘટાડવા માટે કુદરતી રીતે ગોળાકાર આકાર ધારણ કરે છે.
આપેલા કદ માટે,અન્ય કોઈપણ ભૌમિતિક આકારની તુલનામાં ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હોય છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણને કારણે,વરસાદના ટીપાં તેમની સપાટીની ઉર્જા ઘટાડવા માટે કુદરતી રીતે ગોળાકાર આકાર ધારણ કરે છે.
0 likes
View Solution54
DifficultMCQ
જો સાબુના પડ (soap film) નું કદ $10\, cm \times 6\, cm$ થી વધારીને $60\, cm \times 11\, cm$ કરવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $2 \times 10^{-4}\, J$ હોય,તો પૃષ્ઠતાણ (surface tension) કેટલું હશે?
A
$2 \times 10^{-8}\, N/m$
B
$2 \times 10^{-2}\, N/m$
C
$2 \times 10^{-4}\, N/m$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(D) સાબુના પડને બે સપાટી હોય છે,તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 2 \times T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 10\, cm \times 6\, cm = 60\, cm^2 = 60 \times 10^{-4}\, m^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 60\, cm \times 11\, cm = 660\, cm^2 = 660 \times 10^{-4}\, m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (660 - 60) \times 10^{-4}\, m^2 = 600 \times 10^{-4}\, m^2 = 6 \times 10^{-2}\, m^2$.
આપેલ છે $W = 2 \times 10^{-4}\, J$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{-4} = 2 \times T \times (6 \times 10^{-2})$.
$T = \frac{2 \times 10^{-4}}{2 \times 6 \times 10^{-2}} = \frac{1}{6} \times 10^{-2} = 1.66 \times 10^{-3}\, N/m$.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 10\, cm \times 6\, cm = 60\, cm^2 = 60 \times 10^{-4}\, m^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 60\, cm \times 11\, cm = 660\, cm^2 = 660 \times 10^{-4}\, m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (660 - 60) \times 10^{-4}\, m^2 = 600 \times 10^{-4}\, m^2 = 6 \times 10^{-2}\, m^2$.
આપેલ છે $W = 2 \times 10^{-4}\, J$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{-4} = 2 \times T \times (6 \times 10^{-2})$.
$T = \frac{2 \times 10^{-4}}{2 \times 6 \times 10^{-2}} = \frac{1}{6} \times 10^{-2} = 1.66 \times 10^{-3}\, N/m$.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.
0 likes
View Solution55
DifficultMCQ
સાબુની ફિલ્મનું કદ $10 \, cm \times 6 \, cm$ થી વધારીને $10 \, cm \times 11 \, cm$ કરવા માટે $3.0 \times 10^{-4} \, J$ કાર્ય કરવું પડે છે. ફિલ્મનું પૃષ્ઠતાણ કેટલું હશે?
A
$5 \times 10^{-2} \, N/m$
B
$3 \times 10^{-2} \, N/m$
C
$1.5 \times 10^{-2} \, N/m$
D
$1.2 \times 10^{-2} \, N/m$
Solution
(B) સાબુની ફિલ્મનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 10 \, cm \times 6 \, cm = 60 \, cm^2$ છે.
સાબુની ફિલ્મનું અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 10 \, cm \times 11 \, cm = 110 \, cm^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A_2 - A_1 = 110 \, cm^2 - 60 \, cm^2 = 50 \, cm^2$ છે.
સાબુની ફિલ્મને બે સપાટી હોય છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A_{total} = 2 \times 50 \, cm^2 = 100 \, cm^2$ થાય.
આને $SI$ એકમોમાં ફેરવતા: $\Delta A_{total} = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$.
થયેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
તેથી,$T = \frac{W}{\Delta A_{total}} = \frac{3.0 \times 10^{-4} \, J}{10^{-2} \, m^2} = 3.0 \times 10^{-2} \, N/m$.
સાબુની ફિલ્મનું અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 10 \, cm \times 11 \, cm = 110 \, cm^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A_2 - A_1 = 110 \, cm^2 - 60 \, cm^2 = 50 \, cm^2$ છે.
સાબુની ફિલ્મને બે સપાટી હોય છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A_{total} = 2 \times 50 \, cm^2 = 100 \, cm^2$ થાય.
આને $SI$ એકમોમાં ફેરવતા: $\Delta A_{total} = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$.
થયેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
તેથી,$T = \frac{W}{\Delta A_{total}} = \frac{3.0 \times 10^{-4} \, J}{10^{-2} \, m^2} = 3.0 \times 10^{-2} \, N/m$.
0 likes
View Solution56
DifficultMCQ
$8.5\, cm$ આંતરિક વ્યાસ અને $8.7\, cm$ બાહ્ય વ્યાસ ધરાવતી પ્લેટિનમ ટ્યુબમાંથી એક રીંગ કાપવામાં આવે છે. તેને ત્રાજવાના પલ્લા પર આડી રીતે એવી રીતે લટકાવવામાં આવે છે કે તે કાચના પાત્રમાં રહેલા પાણીના સંપર્કમાં આવે. જો તેને પાણીમાંથી બહાર ખેંચવા માટે વધારાના $3.97\, g$ વજનની જરૂર પડતી હોય,તો પાણીનું પૃષ્ઠતાણ ......... $dyne\, cm^{-1}$ છે.
A
$72$
B
$70.80$
C
$63.35$
D
$60$
Solution
(A) જ્યારે રીંગને પ્રવાહીની સપાટી પરથી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણ રીંગની અંદરની અને બહારની બંને પરિઘ પર કાર્ય કરે છે.
સંપર્કની કુલ લંબાઈ $L = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 = \pi(D_1 + D_2)$,જ્યાં $D_1$ અને $D_2$ એ આંતરિક અને બાહ્ય વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $D_1 = 8.5\, cm$,$D_2 = 8.7\, cm$ અને દળ $m = 3.97\, g$.
રીંગને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F = mg = L \times \sigma$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$F = \pi(D_1 + D_2) \times \sigma = mg$.
કિંમતો મૂકતા: $\pi(8.5 + 8.7) \times \sigma = 3.97 \times 980$.
$\pi(17.2) \times \sigma = 3890.6$.
$\sigma = \frac{3890.6}{3.14159 \times 17.2} \approx 72\, dyne\, cm^{-1}$.
સંપર્કની કુલ લંબાઈ $L = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 = \pi(D_1 + D_2)$,જ્યાં $D_1$ અને $D_2$ એ આંતરિક અને બાહ્ય વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $D_1 = 8.5\, cm$,$D_2 = 8.7\, cm$ અને દળ $m = 3.97\, g$.
રીંગને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F = mg = L \times \sigma$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$F = \pi(D_1 + D_2) \times \sigma = mg$.
કિંમતો મૂકતા: $\pi(8.5 + 8.7) \times \sigma = 3.97 \times 980$.
$\pi(17.2) \times \sigma = 3890.6$.
$\sigma = \frac{3890.6}{3.14159 \times 17.2} \approx 72\, dyne\, cm^{-1}$.
0 likes
View Solution57
EasyMCQ
$Assertion :$ બે કાચની પ્લેટો કે જેની વચ્ચે પાણીનું પાતળું પડ હોય,તેને અલગ કરવા માટે મોટા બળની જરૂર પડે છે.
$Reason :$ પાણી ગુંદર તરીકે કામ કરે છે અને બે કાચની પ્લેટોને ચોંટાડે છે.
$Reason :$ પાણી ગુંદર તરીકે કામ કરે છે અને બે કાચની પ્લેટોને ચોંટાડે છે.
A
જો $Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા હોય અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી હોય.
B
જો $Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા હોય પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી ન હોય.
C
જો $Assertion$ સાચું હોય પરંતુ $Reason$ ખોટું હોય.
D
જો $Assertion$ અને $Reason$ બંને ખોટા હોય.
Solution
(C) $Assertion$ સાચું છે. જ્યારે બે કાચની પ્લેટો વચ્ચે પાણીનું પાતળું પડ હોય,ત્યારે તેમને અલગ કરવા માટે મોટા બળની જરૂર પડે છે.
આ મુખ્યત્વે પાણીના પૃષ્ઠતાણ (surface tension) અને પાણીના અણુઓ તથા કાચની સપાટી વચ્ચેના આસંજક બળો (adhesive forces) ને કારણે છે.
પાતળા પાણીના પડની કિનારીઓ પર અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ બનવાને કારણે અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું થઈ જાય છે,જે દબાણનો તફાવત પ્લેટોને એકબીજા સાથે જકડી રાખે છે.
$Reason$ ખોટું છે કારણ કે પાણી રાસાયણિક અર્થમાં 'ગુંદર' તરીકે કામ કરતું નથી; આ ઘટના પૃષ્ઠતાણ અને કેશિકા ક્રિયા (capillary action) ના ભૌતિકશાસ્ત્ર દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે,ગુંદરના ગુણધર્મો દ્વારા નહીં.
આ મુખ્યત્વે પાણીના પૃષ્ઠતાણ (surface tension) અને પાણીના અણુઓ તથા કાચની સપાટી વચ્ચેના આસંજક બળો (adhesive forces) ને કારણે છે.
પાતળા પાણીના પડની કિનારીઓ પર અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ બનવાને કારણે અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું થઈ જાય છે,જે દબાણનો તફાવત પ્લેટોને એકબીજા સાથે જકડી રાખે છે.
$Reason$ ખોટું છે કારણ કે પાણી રાસાયણિક અર્થમાં 'ગુંદર' તરીકે કામ કરતું નથી; આ ઘટના પૃષ્ઠતાણ અને કેશિકા ક્રિયા (capillary action) ના ભૌતિકશાસ્ત્ર દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે,ગુંદરના ગુણધર્મો દ્વારા નહીં.
0 likes
View Solution58
DifficultMCQ
$d$ ઘનતા ધરાવતું એક નાનું ગોળાકાર ટીપું $\rho$ ઘનતા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીમાં બરાબર અડધું ડૂબેલું તરે છે. ટીપાની ત્રિજ્યા કેટલી હશે? (નોંધો કે પૃષ્ઠતાણ ટીપા પર ઉપરની તરફ બળ લગાડે છે.)
A
$r=\sqrt{\frac{2 T}{3(d+\rho) g}}$
B
$r=\sqrt{\frac{3 T}{(2 d-\rho) g}}$
C
$r=\sqrt{\frac{T}{(d-\rho) g}}$
D
$r=\sqrt{\frac{T}{(d+\rho) g}}$
Solution
(B) ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું કુલ બળ નીચેની તરફ લાગતા બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ટીપા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ઉત્પ્લાવક બળ $(B)$: $B = V_{\text{immersed}} \rho g = (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3) \rho g = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho g$
$2$. પૃષ્ઠતાણ બળ $(F)$: $F = T \cdot (2 \pi r)$
$3$. ટીપાનું વજન $(mg)$: $mg = (V_{\text{total}} d) g = (\frac{4}{3} \pi r^3) d g$
બળોને સરખાવતા: $B + F = mg$
$\frac{2}{3} \pi r^3 \rho g + 2 \pi r T = \frac{4}{3} \pi r^3 d g$
$\pi r$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{3} r^2 \rho g + 2 T = \frac{4}{3} r^2 d g$
$r^2$ માટે ગોઠવતા:
$2 T = \frac{4}{3} r^2 d g - \frac{2}{3} r^2 \rho g$
$2 T = \frac{2}{3} r^2 g (2d - \rho)$
$T = \frac{1}{3} r^2 g (2d - \rho)$
$r^2 = \frac{3 T}{(2d - \rho) g}$
$r = \sqrt{\frac{3 T}{(2d - \rho) g}}$
ટીપા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ઉત્પ્લાવક બળ $(B)$: $B = V_{\text{immersed}} \rho g = (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3) \rho g = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho g$
$2$. પૃષ્ઠતાણ બળ $(F)$: $F = T \cdot (2 \pi r)$
$3$. ટીપાનું વજન $(mg)$: $mg = (V_{\text{total}} d) g = (\frac{4}{3} \pi r^3) d g$
બળોને સરખાવતા: $B + F = mg$
$\frac{2}{3} \pi r^3 \rho g + 2 \pi r T = \frac{4}{3} \pi r^3 d g$
$\pi r$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{3} r^2 \rho g + 2 T = \frac{4}{3} r^2 d g$
$r^2$ માટે ગોઠવતા:
$2 T = \frac{4}{3} r^2 d g - \frac{2}{3} r^2 \rho g$
$2 T = \frac{2}{3} r^2 g (2d - \rho)$
$T = \frac{1}{3} r^2 g (2d - \rho)$
$r^2 = \frac{3 T}{(2d - \rho) g}$
$r = \sqrt{\frac{3 T}{(2d - \rho) g}}$
0 likes
View Solution59
MediumMCQ
$U$-આકારના તારને સાબુના દ્રાવણમાં ડુબાડીને બહાર કાઢવામાં આવે છે. તાર અને હલકા સ્લાઇડર વચ્ચે બનેલી પાતળી સાબુની ફિલ્મ $1.5 \times 10^{-2} \; N$ વજનને ટેકો આપે છે (જેમાં સ્લાઇડરનું નાનું વજન પણ સામેલ છે). સ્લાઇડરની લંબાઈ $30 \; cm$ છે. ફિલ્મનું પૃષ્ઠતાણ કેટલું હશે?
A
$6.32 \times 10^{-3} \; N m^{-1}$
B
$5.25 \times 10^{-4} \; N m^{-1}$
C
$6.8 \times 10^{-3} \; N m^{-1}$
D
$2.5 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$
Solution
(D) સાબુની ફિલ્મ દ્વારા ટેકો આપવામાં આવતું વજન $W = 1.5 \times 10^{-2} \; N$ છે.
સ્લાઇડરની લંબાઈ $l = 30 \; cm = 0.3 \; m$ છે.
સાબુની ફિલ્મને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે,તેથી પૃષ્ઠતાણને કારણે બળ બંને બાજુઓ પર લાગે છે.
તેથી,સ્લાઇડરના સંપર્કમાં રહેલી ફિલ્મની કુલ લંબાઈ $L = 2l = 2 \times 0.3 = 0.6 \; m$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $S$ નું સૂત્ર $S = \frac{W}{2l}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1.5 \times 10^{-2}}{0.6} = 2.5 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$.
આમ,ફિલ્મનું પૃષ્ઠતાણ $2.5 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$ છે.
સ્લાઇડરની લંબાઈ $l = 30 \; cm = 0.3 \; m$ છે.
સાબુની ફિલ્મને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે,તેથી પૃષ્ઠતાણને કારણે બળ બંને બાજુઓ પર લાગે છે.
તેથી,સ્લાઇડરના સંપર્કમાં રહેલી ફિલ્મની કુલ લંબાઈ $L = 2l = 2 \times 0.3 = 0.6 \; m$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $S$ નું સૂત્ર $S = \frac{W}{2l}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1.5 \times 10^{-2}}{0.6} = 2.5 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$.
આમ,ફિલ્મનું પૃષ્ઠતાણ $2.5 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$ છે.
0 likes
View Solution60
Medium
આકૃતિ $(a)$ એક પાતળું પ્રવાહીનું પડ દર્શાવે છે જે $4.5 \times 10^{-2} \, N$ જેટલું નાનું વજન ટેકવે છે. આકૃતિ $(b)$ અને $(c)$ માં સમાન તાપમાને સમાન પ્રવાહીના પડ દ્વારા કેટલું વજન ટેકવવામાં આવશે? તમારા જવાબને ભૌતિક રીતે સમજાવો.
Solution
(A) કિસ્સો $(a)$ ધ્યાનમાં લો:
વજન દ્વારા ટેકવેલા પ્રવાહીના પડની લંબાઈ $l = 40 \, cm = 0.4 \, m$ છે.
પડ દ્વારા ટેકવેલું વજન $W = 4.5 \times 10^{-2} \, N$ છે.
પ્રવાહીના પડને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે. તેથી,પૃષ્ઠતાણ $(S)$ ને કારણે લાગતું બળ બંને સપાટીઓ પર કાર્ય કરે છે.
પૃષ્ઠતાણ $S = \frac{W}{2l} = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{2 \times 0.4} = 5.625 \times 10^{-2} \, N \, m^{-1}$.
ત્રણેય આકૃતિઓમાં પ્રવાહી સમાન છે અને તાપમાન અચળ છે. તેથી,પૃષ્ઠતાણ તમામ કિસ્સાઓ માટે સમાન રહે છે.
કારણ કે પડની લંબાઈ $(l = 0.4 \, m)$ તમામ કિસ્સાઓમાં સમાન છે,પડ દ્વારા ટેકવેલું બળ,જે $W = 2Sl$ છે,તે અચળ રહે છે.
તેથી,આકૃતિ $(b)$ અને $(c)$ માં ટેકવેલું વજન $4.5 \times 10^{-2} \, N$ છે.
વજન દ્વારા ટેકવેલા પ્રવાહીના પડની લંબાઈ $l = 40 \, cm = 0.4 \, m$ છે.
પડ દ્વારા ટેકવેલું વજન $W = 4.5 \times 10^{-2} \, N$ છે.
પ્રવાહીના પડને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે. તેથી,પૃષ્ઠતાણ $(S)$ ને કારણે લાગતું બળ બંને સપાટીઓ પર કાર્ય કરે છે.
પૃષ્ઠતાણ $S = \frac{W}{2l} = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{2 \times 0.4} = 5.625 \times 10^{-2} \, N \, m^{-1}$.
ત્રણેય આકૃતિઓમાં પ્રવાહી સમાન છે અને તાપમાન અચળ છે. તેથી,પૃષ્ઠતાણ તમામ કિસ્સાઓ માટે સમાન રહે છે.
કારણ કે પડની લંબાઈ $(l = 0.4 \, m)$ તમામ કિસ્સાઓમાં સમાન છે,પડ દ્વારા ટેકવેલું બળ,જે $W = 2Sl$ છે,તે અચળ રહે છે.
તેથી,આકૃતિ $(b)$ અને $(c)$ માં ટેકવેલું વજન $4.5 \times 10^{-2} \, N$ છે.
0 likes
View Solution61
Medium
જ્યારે એક પ્રવાહીની સપાટી બીજા પ્રવાહી અથવા ઘન સપાટીના સંપર્કમાં હોય,ત્યારે પૃષ્ઠતાણ/પૃષ્ઠ ઊર્જા શેના પર આધાર રાખે છે? ઉદાહરણ સાથે સમજાવો.
Solution
(N/A) બે પદાર્થો વચ્ચેની આંતર સપાટી પરનું પૃષ્ઠતાણ અથવા પૃષ્ઠ ઊર્જા તે સપાટીની બંને બાજુએ રહેલા પદાર્થોના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે.
$(i)$ જો બંને પદાર્થોના અણુઓ એકબીજાને આકર્ષે,તો આંતર સપાટીની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટે છે,જેના પરિણામે પૃષ્ઠ ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
$(ii)$ જો બંને પદાર્થોના અણુઓ એકબીજાને અપાકર્ષે,તો આંતર સપાટીની સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે,જેના પરિણામે પૃષ્ઠ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
આમ,પૃષ્ઠ ઊર્જા એ વાસ્તવમાં બે પદાર્થો વચ્ચેની આંતર સપાટીની ઊર્જા છે અને તે બંને પદાર્થો વચ્ચેની આંતરક્રિયા પર આધાર રાખે છે.
$(i)$ જો બંને પદાર્થોના અણુઓ એકબીજાને આકર્ષે,તો આંતર સપાટીની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટે છે,જેના પરિણામે પૃષ્ઠ ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
$(ii)$ જો બંને પદાર્થોના અણુઓ એકબીજાને અપાકર્ષે,તો આંતર સપાટીની સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે,જેના પરિણામે પૃષ્ઠ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
આમ,પૃષ્ઠ ઊર્જા એ વાસ્તવમાં બે પદાર્થો વચ્ચેની આંતર સપાટીની ઊર્જા છે અને તે બંને પદાર્થો વચ્ચેની આંતરક્રિયા પર આધાર રાખે છે.
0 likes
View Solution62
Easy
પૃષ્ઠતાણની વ્યાખ્યા આપો અને $(i)$ આંતરઆણ્વિય બળો,$(ii)$ સ્થિતિ ઊર્જા,અને $(iii)$ થયેલ કાર્યના સંદર્ભમાં તેનું સૂત્ર જણાવો.
Solution
(N/A) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીની સપાટીનો એક ગુણધર્મ છે જે તેના અણુઓના આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળને કારણે બાહ્ય બળનો પ્રતિકાર કરે છે.
$(i)$ આંતરઆણ્વિય બળોના સંદર્ભમાં: પૃષ્ઠતાણ એટલે પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી પર દોરેલી એકમ લંબાઈની કાલ્પનિક રેખા પર,રેખાને લંબ અને સપાટીને સમાંતર લાગતું બળ. જો $l$ લંબાઈની રેખા પર $F$ બળ લાગતું હોય,તો પૃષ્ઠતાણ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \frac{F}{l} \left( \frac{\text{N}}{\text{m}} \right)$
$(ii)$ સ્થિતિ ઊર્જાના સંદર્ભમાં: પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જાને પૃષ્ઠતાણ કહેવામાં આવે છે. જો $E$ સ્થિતિ ઊર્જા હોય અને $A$ ક્ષેત્રફળ હોય,તો:
$S = \frac{E}{A} \left( \frac{\text{J}}{\text{m}^2} = \frac{\text{N} \cdot \text{m}}{\text{m}^2} = \frac{\text{N}}{\text{m}} \right)$
$(iii)$ થયેલ કાર્યના સંદર્ભમાં: પ્રવાહીની સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં એકમ વધારો કરવા માટે કરવા પડતા કાર્યને પૃષ્ઠતાણ કહેવામાં આવે છે. જો ક્ષેત્રફળમાં $\Delta A$ જેટલો વધારો કરવા માટે $W$ જેટલું કાર્ય કરવું પડતું હોય,તો:
$S = \frac{W}{\Delta A} \left( \frac{\text{J}}{\text{m}^2} = \frac{\text{N}}{\text{m}} \right)$
$(i)$ આંતરઆણ્વિય બળોના સંદર્ભમાં: પૃષ્ઠતાણ એટલે પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી પર દોરેલી એકમ લંબાઈની કાલ્પનિક રેખા પર,રેખાને લંબ અને સપાટીને સમાંતર લાગતું બળ. જો $l$ લંબાઈની રેખા પર $F$ બળ લાગતું હોય,તો પૃષ્ઠતાણ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \frac{F}{l} \left( \frac{\text{N}}{\text{m}} \right)$
$(ii)$ સ્થિતિ ઊર્જાના સંદર્ભમાં: પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જાને પૃષ્ઠતાણ કહેવામાં આવે છે. જો $E$ સ્થિતિ ઊર્જા હોય અને $A$ ક્ષેત્રફળ હોય,તો:
$S = \frac{E}{A} \left( \frac{\text{J}}{\text{m}^2} = \frac{\text{N} \cdot \text{m}}{\text{m}^2} = \frac{\text{N}}{\text{m}} \right)$
$(iii)$ થયેલ કાર્યના સંદર્ભમાં: પ્રવાહીની સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં એકમ વધારો કરવા માટે કરવા પડતા કાર્યને પૃષ્ઠતાણ કહેવામાં આવે છે. જો ક્ષેત્રફળમાં $\Delta A$ જેટલો વધારો કરવા માટે $W$ જેટલું કાર્ય કરવું પડતું હોય,તો:
$S = \frac{W}{\Delta A} \left( \frac{\text{J}}{\text{m}^2} = \frac{\text{N}}{\text{m}} \right)$
0 likes
View Solution63
Medium
પૃષ્ઠતાણનું મૂલ્ય શેના પર આધાર રાખે છે? સમજાવો.
Solution
પૃષ્ઠતાણનું મૂલ્ય મુખ્યત્વે પ્રવાહીના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
જેમ તાપમાન વધે છે, તેમ અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે, જે આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળોને નબળા પાડે છે. પરિણામે, તાપમાન વધવાની સાથે પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.
ક્રાંતિક તાપમાને, પ્રવાહી અને બાષ્પ અવસ્થાઓ વચ્ચેનો તફાવત અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને પૃષ્ઠતાણ શૂન્ય થઈ જાય છે.
પૃષ્ઠતાણ પ્રવાહીમાં રહેલી અશુદ્ધિઓ (દ્રાવ્ય પદાર્થો) દ્વારા પણ પ્રભાવિત થાય છે. જે દ્રાવ્યો પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને ઘટાડે છે, તે પૃષ્ઠતાણ ઘટાડે છે, જ્યારે જે દ્રાવ્યો આસંજક બળોને વધારે છે, તે પૃષ્ઠતાણ વધારે છે.
નીચેના કોષ્ટકમાં વિવિધ પ્રવાહીઓનું ચોક્કસ તાપમાને પૃષ્ઠતાણ દર્શાવેલ છે:
જેમ તાપમાન વધે છે, તેમ અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે, જે આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળોને નબળા પાડે છે. પરિણામે, તાપમાન વધવાની સાથે પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.
ક્રાંતિક તાપમાને, પ્રવાહી અને બાષ્પ અવસ્થાઓ વચ્ચેનો તફાવત અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને પૃષ્ઠતાણ શૂન્ય થઈ જાય છે.
પૃષ્ઠતાણ પ્રવાહીમાં રહેલી અશુદ્ધિઓ (દ્રાવ્ય પદાર્થો) દ્વારા પણ પ્રભાવિત થાય છે. જે દ્રાવ્યો પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને ઘટાડે છે, તે પૃષ્ઠતાણ ઘટાડે છે, જ્યારે જે દ્રાવ્યો આસંજક બળોને વધારે છે, તે પૃષ્ઠતાણ વધારે છે.
નીચેના કોષ્ટકમાં વિવિધ પ્રવાહીઓનું ચોક્કસ તાપમાને પૃષ્ઠતાણ દર્શાવેલ છે:
| પ્રવાહી | તાપમાન $(^{\circ}C)$ | પૃષ્ઠતાણ $(N/m)$ | બાષ્પીભવનની ઉષ્મા $(kJ/mol)$ |
| હિલિયમ | $-270$ | $0.000239$ | $0.115$ |
| ઓક્સિજન | $-183$ | $0.0132$ | $7.1$ |
| ઇથેનોલ | $20$ | $0.0227$ | $40.6$ |
| પાણી | $20$ | $0.0727$ | $44.16$ |
| પારો | $20$ | $0.4355$ | $63.2$ |
0 likes
View Solution64
Medium
પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણના માપન માટેનો એક સાદો પ્રયોગ વર્ણવો.
Solution
(N/A) જો પ્રવાહી અને ઘન સપાટી વચ્ચેની પૃષ્ઠ ઉર્જા,ઘન-હવા અને પ્રવાહી-હવા વચ્ચેની પૃષ્ઠ ઉર્જાના સરવાળા કરતા ઓછી હોય,તો પ્રવાહી ઘન સપાટીને ચોંટી જાય છે.
પૃષ્ઠતાણનું માપન:
$1$. એક સપાટ ઉભી કાચની પ્લેટ,જે ત્રાજવાના એક પલ્લા સાથે લટકાવેલી હોય છે,તેને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે તેની નીચેની આડી ધાર પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીની સપાટીને સ્પર્શે.
$2$. શરૂઆતમાં ત્રાજવાના બીજા પલ્લામાં વજન મૂકીને પ્લેટને સંતુલિત કરવામાં આવે છે.
$3$. પાત્રને થોડું ઉપર કરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી પ્રવાહી કાચની પ્લેટને સ્પર્શે. પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ પ્લેટ પર નીચેની તરફ બળ લગાડે છે.
$4$. ત્રાજવાના બીજા પલ્લામાં વધારાનું વજન ત્યાં સુધી ઉમેરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી પ્લેટ પ્રવાહીની સપાટીથી અલગ ન થાય.
$5$. ધારો કે જરૂરી વધારાનું વજન $W = mg$ છે,જ્યાં $m$ એ વધારાનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$6$. પ્રવાહી-હવા આંતરપૃષ્ઠનું પૃષ્ઠતાણ $S_{la} = \frac{W}{2l} = \frac{mg}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ પ્લેટની ધારની લંબાઈ છે. અહીં $2$ ગુણાંક આવે છે કારણ કે પ્રવાહી પ્લેટની બંને બાજુએ બળ લગાડે છે.
$7$. $m$,$g$ અને $l$ ના મૂલ્યો મૂકીને પૃષ્ઠતાણ $S_{la}$ નક્કી કરી શકાય છે.
પૃષ્ઠતાણનું માપન:
$1$. એક સપાટ ઉભી કાચની પ્લેટ,જે ત્રાજવાના એક પલ્લા સાથે લટકાવેલી હોય છે,તેને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે તેની નીચેની આડી ધાર પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીની સપાટીને સ્પર્શે.
$2$. શરૂઆતમાં ત્રાજવાના બીજા પલ્લામાં વજન મૂકીને પ્લેટને સંતુલિત કરવામાં આવે છે.
$3$. પાત્રને થોડું ઉપર કરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી પ્રવાહી કાચની પ્લેટને સ્પર્શે. પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ પ્લેટ પર નીચેની તરફ બળ લગાડે છે.
$4$. ત્રાજવાના બીજા પલ્લામાં વધારાનું વજન ત્યાં સુધી ઉમેરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી પ્લેટ પ્રવાહીની સપાટીથી અલગ ન થાય.
$5$. ધારો કે જરૂરી વધારાનું વજન $W = mg$ છે,જ્યાં $m$ એ વધારાનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$6$. પ્રવાહી-હવા આંતરપૃષ્ઠનું પૃષ્ઠતાણ $S_{la} = \frac{W}{2l} = \frac{mg}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ પ્લેટની ધારની લંબાઈ છે. અહીં $2$ ગુણાંક આવે છે કારણ કે પ્રવાહી પ્લેટની બંને બાજુએ બળ લગાડે છે.
$7$. $m$,$g$ અને $l$ ના મૂલ્યો મૂકીને પૃષ્ઠતાણ $S_{la}$ નક્કી કરી શકાય છે.
0 likes
View Solution65
Medium
પ્રવાહીના નાના ટીપાં ગોળાકાર આકારના કેમ હોય છે?
Solution
(N/A) પ્રવાહી-હવા વચ્ચેની સપાટી ઉર્જા ધરાવે છે. આપેલા કદ માટે,ન્યૂનતમ ઉર્જા ધરાવતી સપાટી તે છે જેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હોય.
ગોળો આ ગુણધર્મ ધરાવે છે,કારણ કે આપેલા કદ માટે ગોળાનું પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,જો ગુરુત્વાકર્ષણ અને અન્ય બાહ્ય બળો (જેમ કે હવાનો અવરોધ) અવગણ્ય હોય,તો પ્રવાહીના ટીપાં તેમની સપાટીની ઉર્જા ઘટાડવા માટે ગોળાકાર બને છે.
વધુમાં,પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેનું આસંજક બળ (cohesive force) એ પ્રવાહી અને હવાના અણુઓ વચ્ચેના આસક્તિ બળ (adhesive force) કરતા વધારે હોય છે,જે ટીપાંને તેનો ગોળાકાર આકાર જાળવી રાખવામાં મદદ કરે છે.
ગોળો આ ગુણધર્મ ધરાવે છે,કારણ કે આપેલા કદ માટે ગોળાનું પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,જો ગુરુત્વાકર્ષણ અને અન્ય બાહ્ય બળો (જેમ કે હવાનો અવરોધ) અવગણ્ય હોય,તો પ્રવાહીના ટીપાં તેમની સપાટીની ઉર્જા ઘટાડવા માટે ગોળાકાર બને છે.
વધુમાં,પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેનું આસંજક બળ (cohesive force) એ પ્રવાહી અને હવાના અણુઓ વચ્ચેના આસક્તિ બળ (adhesive force) કરતા વધારે હોય છે,જે ટીપાંને તેનો ગોળાકાર આકાર જાળવી રાખવામાં મદદ કરે છે.
0 likes
View Solution66
Medium
સાબુ કે ડિટર્જન્ટ દ્વારા કપડાં સરળતાથી કેમ ધોઈ શકાય છે?
Solution
(N/A) પાણીમાં સાબુ કે ડિટર્જન્ટ ઉમેરવાથી સંપર્કકોણ (angle of contact) ઘટે છે. કપડામાં રહેલી ગંદકીના કણો રેસાઓમાં ફસાયેલા હોય છે. ડિટર્જન્ટના અણુઓ હેરપિન આકારના હોય છે,જેમાં એક છેડો પાણી તરફ (હાઈડ્રોફિલિક) અને બીજો છેડો ગ્રીસ,તેલ કે મીણ (ગંદકી) ના અણુઓ તરફ આકર્ષાય છે. આ રચના પાણી-તેલનું આંતરપૃષ્ઠ બનાવે છે,જેનાથી પાણીનું પૃષ્ઠતાણ (surface tension) નોંધપાત્ર રીતે ઘટી જાય છે. પરિણામે,પાણી કપડામાં વધુ અસરકારક રીતે પ્રવેશી શકે છે અને ગંદકીને દૂર કરે છે,જેથી કપડાં સરળતાથી ધોઈ શકાય છે.
તેનાથી વિપરીત,કપડાં પર વોટરપ્રૂફિંગ એજન્ટ ઉમેરવામાં આવે છે જેથી પાણી અને રેસા વચ્ચેનો સંપર્કકોણ વધે અને પાણી કપડાંને ભીંજવી ન શકે.
તેનાથી વિપરીત,કપડાં પર વોટરપ્રૂફિંગ એજન્ટ ઉમેરવામાં આવે છે જેથી પાણી અને રેસા વચ્ચેનો સંપર્કકોણ વધે અને પાણી કપડાંને ભીંજવી ન શકે.
0 likes
View Solution67
MediumMCQ
પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ કઈ વૃત્તિ ધરાવે છે?
A
તેમના સપાટીના ક્ષેત્રફળને ન્યૂનતમ કરવા
B
તેમના સપાટીના ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા
C
સંતુલનમાં રહેવા
D
અસ્તવ્યસ્ત ગતિ કરવા
Solution
(A) પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ ચોખ્ખું અંદરની તરફનું બળ અનુભવે છે કારણ કે તેઓ પ્રવાહીના જથ્થાની અંદરના અણુઓ દ્વારા આકર્ષાય છે,પરંતુ આ બળને સંતુલિત કરવા માટે તેમની ઉપર કોઈ અણુઓ હોતા નથી.
આ અંદરની તરફના ખેંચાણને કારણે સપાટી સંકોચાય છે,જે આપેલ કદ માટે સપાટીના ક્ષેત્રફળને ન્યૂનતમ કરવાની વૃત્તિ તરફ દોરી જાય છે.
આ ઘટના પૃષ્ઠતાણ (Surface Tension) નું મૂળભૂત કારણ છે.
આ અંદરની તરફના ખેંચાણને કારણે સપાટી સંકોચાય છે,જે આપેલ કદ માટે સપાટીના ક્ષેત્રફળને ન્યૂનતમ કરવાની વૃત્તિ તરફ દોરી જાય છે.
આ ઘટના પૃષ્ઠતાણ (Surface Tension) નું મૂળભૂત કારણ છે.
0 likes
View Solution68
EasyMCQ
પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી સંકોચાઈ જવાની વૃત્તિ ધરાવે છે. આ ગુણધર્મને ...... કહેવામાં આવે છે.
A
સ્નિગ્ધતા (Viscosity)
B
પૃષ્ઠતાણ (Surface tension)
C
સ્થિતિસ્થાપકતા (Elasticity)
D
કેશિકાત્વ (Capillarity)
Solution
(B) પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક પટલ જેવું વર્તન કરે છે. પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે,સપાટી પરના અણુઓ ચોખ્ખું અંદરની તરફનું બળ અનુભવે છે. આના કારણે સપાટી તેનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરે છે,જેને $Surface \ tension$ (પૃષ્ઠતાણ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
0 likes
View Solution69
Easy
આંતરઆણ્વિય બળોના સંદર્ભમાં પૃષ્ઠતાણની વ્યાખ્યા તેના સૂત્ર સાથે આપો.
Solution
(N/A) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીની સપાટીનો એક ગુણધર્મ છે જે તેના અણુઓના આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળને કારણે બાહ્ય બળનો સામનો કરવાની ક્ષમતા આપે છે.
આંતરઆણ્વિય બળોના સંદર્ભમાં,સપાટી પરના અણુઓ ચોખ્ખું અંદરની તરફનું બળ અનુભવે છે કારણ કે તેઓ ફક્ત તેમની નીચેના અણુઓ દ્વારા આકર્ષાય છે,જ્યારે પ્રવાહીની અંદરના અણુઓ બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે આકર્ષાય છે.
આ અંદરની તરફના ખેંચાણને કારણે સપાટી એક ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક પટલ જેવું વર્તન કરે છે.
પૃષ્ઠતાણ $(S)$ ને પ્રવાહીની સપાટી પર દોરેલી કાલ્પનિક રેખાની એકમ લંબાઈ $(l)$ પર લાગતા બળ $(F)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$S = \frac{F}{l}$
પૃષ્ઠતાણનો $SI$ એકમ $N/m$ અથવા $J/m^2$ છે.
આંતરઆણ્વિય બળોના સંદર્ભમાં,સપાટી પરના અણુઓ ચોખ્ખું અંદરની તરફનું બળ અનુભવે છે કારણ કે તેઓ ફક્ત તેમની નીચેના અણુઓ દ્વારા આકર્ષાય છે,જ્યારે પ્રવાહીની અંદરના અણુઓ બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે આકર્ષાય છે.
આ અંદરની તરફના ખેંચાણને કારણે સપાટી એક ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક પટલ જેવું વર્તન કરે છે.
પૃષ્ઠતાણ $(S)$ ને પ્રવાહીની સપાટી પર દોરેલી કાલ્પનિક રેખાની એકમ લંબાઈ $(l)$ પર લાગતા બળ $(F)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$S = \frac{F}{l}$
પૃષ્ઠતાણનો $SI$ એકમ $N/m$ અથવા $J/m^2$ છે.
0 likes
View Solution70
Easy
પૃષ્ઠતાણના બે વ્યવહારુ ઉદાહરણો આપો.
Solution
(N/A) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીનો એક ગુણધર્મ છે જેમાં તેની સપાટી ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક પટલ જેવું વર્તન કરે છે. તેના બે વ્યવહારુ ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. વરસાદના ટીપાં ગોળાકાર હોય છે: પૃષ્ઠતાણને કારણે,આપેલા કદ માટે પ્રવાહીના ટીપાંની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ રહેવાનો પ્રયત્ન કરે છે. આપેલા કદ માટે ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હોય છે,તેથી વરસાદના ટીપાં ગોળાકાર હોય છે.
$2$. ડિટર્જન્ટની સફાઈ પ્રક્રિયા: ડિટર્જન્ટ પાણીના પૃષ્ઠતાણને ઘટાડે છે,જેનાથી તે કાપડના છિદ્રોમાં ઊંડે સુધી પ્રવેશી શકે છે અને ગંદકી તથા તેલના ડાઘાને અસરકારક રીતે દૂર કરી શકે છે.
$1$. વરસાદના ટીપાં ગોળાકાર હોય છે: પૃષ્ઠતાણને કારણે,આપેલા કદ માટે પ્રવાહીના ટીપાંની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ રહેવાનો પ્રયત્ન કરે છે. આપેલા કદ માટે ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હોય છે,તેથી વરસાદના ટીપાં ગોળાકાર હોય છે.
$2$. ડિટર્જન્ટની સફાઈ પ્રક્રિયા: ડિટર્જન્ટ પાણીના પૃષ્ઠતાણને ઘટાડે છે,જેનાથી તે કાપડના છિદ્રોમાં ઊંડે સુધી પ્રવેશી શકે છે અને ગંદકી તથા તેલના ડાઘાને અસરકારક રીતે દૂર કરી શકે છે.
0 likes
View Solution71
Medium
પૃષ્ઠતાણના બે એકમો લખો અને પૃષ્ઠતાણનું પારિમાણિક સૂત્ર આપો.
Solution
(N/A) પૃષ્ઠતાણ $(T)$ ને પ્રવાહીની સપાટી પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક રીતે,$T = F/L$.
$1$. પૃષ્ઠતાણના એકમો:
- $SI$ પદ્ધતિમાં,તેનો એકમ ન્યૂટન પ્રતિ મીટર $(N/m)$ છે.
- બીજો એક સામાન્ય એકમ જૂલ પ્રતિ ચોરસ મીટર $(J/m^2)$ છે.
$2$. પારિમાણિક સૂત્ર:
- બળ $(F)$ નું પરિમાણ $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
- લંબાઈ $(L)$ નું પરિમાણ $[L^1]$ છે.
- તેથી,પૃષ્ઠતાણ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}] / [L^1] = [M^1 L^0 T^{-2}]$ થાય છે.
$1$. પૃષ્ઠતાણના એકમો:
- $SI$ પદ્ધતિમાં,તેનો એકમ ન્યૂટન પ્રતિ મીટર $(N/m)$ છે.
- બીજો એક સામાન્ય એકમ જૂલ પ્રતિ ચોરસ મીટર $(J/m^2)$ છે.
$2$. પારિમાણિક સૂત્ર:
- બળ $(F)$ નું પરિમાણ $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
- લંબાઈ $(L)$ નું પરિમાણ $[L^1]$ છે.
- તેથી,પૃષ્ઠતાણ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}] / [L^1] = [M^1 L^0 T^{-2}]$ થાય છે.
0 likes
View Solution72
Medium
પૃષ્ઠતાણનું મૂલ્ય કયા પરિબળો પર આધાર રાખે છે? સમજાવો.
Solution
(N/A) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીનો એક ગુણધર્મ છે જે તેના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે. પૃષ્ઠતાણનું મૂલ્ય નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પ્રવાહીનો સ્વભાવ: જુદા જુદા પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચે જુદા જુદા આસંજક બળો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,પાણી કરતા પારો (mercury) નું પૃષ્ઠતાણ વધારે હોય છે.
$2$. તાપમાન: સામાન્ય રીતે તાપમાન વધતા પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે. આનું કારણ એ છે કે તાપમાન વધવાથી અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જે આસંજક બળોને નબળા પાડે છે.
$3$. અશુદ્ધિઓ: અશુદ્ધિઓની હાજરી પૃષ્ઠતાણને વધારી અથવા ઘટાડી શકે છે. વધુ દ્રાવ્ય પદાર્થો (જેમ કે મીઠું) પૃષ્ઠતાણ વધારે છે,જ્યારે અલ્પ દ્રાવ્ય પદાર્થો (જેમ કે સાબુ અથવા ડિટર્જન્ટ) તેને ઘટાડે છે.
$1$. પ્રવાહીનો સ્વભાવ: જુદા જુદા પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચે જુદા જુદા આસંજક બળો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,પાણી કરતા પારો (mercury) નું પૃષ્ઠતાણ વધારે હોય છે.
$2$. તાપમાન: સામાન્ય રીતે તાપમાન વધતા પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે. આનું કારણ એ છે કે તાપમાન વધવાથી અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જે આસંજક બળોને નબળા પાડે છે.
$3$. અશુદ્ધિઓ: અશુદ્ધિઓની હાજરી પૃષ્ઠતાણને વધારી અથવા ઘટાડી શકે છે. વધુ દ્રાવ્ય પદાર્થો (જેમ કે મીઠું) પૃષ્ઠતાણ વધારે છે,જ્યારે અલ્પ દ્રાવ્ય પદાર્થો (જેમ કે સાબુ અથવા ડિટર્જન્ટ) તેને ઘટાડે છે.
0 likes
View Solution73
EasyMCQ
તાપમાન વધારવાની સપાટીના તણાવ (surface tension) પર શું અસર થાય છે?
A
તે વધે છે.
B
તે ઘટે છે.
C
તે અચળ રહે છે.
D
તે પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.
Solution
(B) સપાટીનું તણાવ (surface tension) એ પ્રવાહીની સપાટી પર લાગતા એકમ લંબાઈ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે,જે આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળોને નબળા પાડે છે.
સપાટીનું તણાવ આ આકર્ષણ બળોની મજબૂતી સાથે સીધી રીતે સંબંધિત હોવાથી,તાપમાનમાં વધારો થવાથી સપાટીના તણાવમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,સાચો જવાબ એ છે કે તાપમાન વધવાની સાથે સપાટીનું તણાવ ઘટે છે.
તે પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે,જે આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળોને નબળા પાડે છે.
સપાટીનું તણાવ આ આકર્ષણ બળોની મજબૂતી સાથે સીધી રીતે સંબંધિત હોવાથી,તાપમાનમાં વધારો થવાથી સપાટીના તણાવમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,સાચો જવાબ એ છે કે તાપમાન વધવાની સાથે સપાટીનું તણાવ ઘટે છે.
0 likes
View Solution74
MediumMCQ
પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી શા માટે સંકોચન પામવાનું વલણ ધરાવે છે?
A
ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે
B
પૃષ્ઠતાણ (Surface Tension) ને કારણે
C
શ્યાનતા (Viscosity) ને કારણે
D
વાતાવરણીય દબાણને કારણે
Solution
(B) પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ પ્રવાહીના અંદરના ભાગ તરફ લાગતા ચોખ્ખા આંતરિક બળનો અનુભવ કરે છે.
આના પરિણામે અંદરના ભાગમાં રહેલા અણુઓની સરખામણીમાં સપાટી પરના અણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા (Potential Energy) વધારે હોય છે.
દરેક ભૌતિક તંત્ર સ્થિર સંતુલન પ્રાપ્ત કરવા માટે પોતાની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે,તેથી પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટવાનું વલણ ધરાવે છે.
આ ઘટનાને પૃષ્ઠતાણ કહેવામાં આવે છે,જેના કારણે પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી સંકોચાય છે અને શક્ય તેટલું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ રોકે છે.
આના પરિણામે અંદરના ભાગમાં રહેલા અણુઓની સરખામણીમાં સપાટી પરના અણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા (Potential Energy) વધારે હોય છે.
દરેક ભૌતિક તંત્ર સ્થિર સંતુલન પ્રાપ્ત કરવા માટે પોતાની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટાડવાનું વલણ ધરાવે છે,તેથી પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટવાનું વલણ ધરાવે છે.
આ ઘટનાને પૃષ્ઠતાણ કહેવામાં આવે છે,જેના કારણે પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી સંકોચાય છે અને શક્ય તેટલું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ રોકે છે.
0 likes
View Solution75
Medium
કેટલાક જીવજંતુઓ પાણીની સપાટી પર શા માટે ચાલી શકે છે તેનું કારણ આપો.
Solution
(N/A) પૃષ્ઠતાણ (surface tension) ના ગુણધર્મને કારણે પ્રવાહીની સપાટી ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક પટલ (stretched elastic membrane) જેવું વર્તન કરે છે,જે સપાટીને તેનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવા માટે મજબૂર કરે છે. આ પૃષ્ઠતાણ એક ઉપરની તરફનું બળ પૂરું પાડે છે જે નાના જીવજંતુઓના વજનને ટેકો આપે છે,જેનાથી તેઓ ડૂબ્યા વિના પાણીની સપાટી પર ચાલી શકે છે.
0 likes
View Solution76
Medium
એન્ટિસેપ્ટિક્સનું પૃષ્ઠતાણ ઓછું કેમ રાખવામાં આવે છે? સમજાવો.
Solution
(N/A) એન્ટિસેપ્ટિક્સનું પૃષ્ઠતાણ ઓછું રાખવામાં આવે છે જેથી તેઓ કાપ અથવા ઘાની સપાટી પર સરળતાથી ફેલાઈ શકે.
પૃષ્ઠતાણ ઘટાડવાથી,પ્રવાહી એન્ટિસેપ્ટિકનો સંપર્ક કોણ (contact angle) નાનો બને છે,જે તેને અસરગ્રસ્ત પેશીઓના મોટા સપાટી વિસ્તારને આવરી લેવાની મંજૂરી આપે છે.
આ વધેલી ફેલાવાની ક્ષમતા એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે એન્ટિસેપ્ટિક ઘાના તમામ ભાગો સુધી પહોંચે છે,જે બેક્ટેરિયાને અસરકારક રીતે મારી નાખે છે અને ઝડપી રૂઝ આવવામાં મદદ કરે છે.
પૃષ્ઠતાણ ઘટાડવાથી,પ્રવાહી એન્ટિસેપ્ટિકનો સંપર્ક કોણ (contact angle) નાનો બને છે,જે તેને અસરગ્રસ્ત પેશીઓના મોટા સપાટી વિસ્તારને આવરી લેવાની મંજૂરી આપે છે.
આ વધેલી ફેલાવાની ક્ષમતા એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે એન્ટિસેપ્ટિક ઘાના તમામ ભાગો સુધી પહોંચે છે,જે બેક્ટેરિયાને અસરકારક રીતે મારી નાખે છે અને ઝડપી રૂઝ આવવામાં મદદ કરે છે.
0 likes
View Solution77
Medium
ગરમ સૂપ ઠંડા સૂપ કરતા વધુ સ્વાદિષ્ટ કેમ લાગે છે,તે સમજાવો.
Solution
(N/A) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ તેના તાપમાનમાં વધારો થતાં ઘટે છે.
ગરમ સૂપનું પૃષ્ઠતાણ ઓછું હોવાથી,તે જીભની સપાટી પર વધુ મોટા વિસ્તારમાં સરળતાથી ફેલાઈ જાય છે.
આના કારણે સૂપ જીભના વધુ સ્વાદકલિકાઓ (taste buds) ના સંપર્કમાં આવે છે,જે સ્વાદની અનુભૂતિને વધારે છે,તેથી તે ઠંડા સૂપ કરતા વધુ સ્વાદિષ્ટ લાગે છે.
ગરમ સૂપનું પૃષ્ઠતાણ ઓછું હોવાથી,તે જીભની સપાટી પર વધુ મોટા વિસ્તારમાં સરળતાથી ફેલાઈ જાય છે.
આના કારણે સૂપ જીભના વધુ સ્વાદકલિકાઓ (taste buds) ના સંપર્કમાં આવે છે,જે સ્વાદની અનુભૂતિને વધારે છે,તેથી તે ઠંડા સૂપ કરતા વધુ સ્વાદિષ્ટ લાગે છે.
0 likes
View Solution78
Easy
ઠંડા પાણી કરતા ગરમ પાણીમાં કપડાં ધોવા વધુ સારા છે. સમજાવો.
Solution
(N/A) જેમ તાપમાન વધે છે તેમ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે. જ્યારે પાણી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે,જે પાણીને કપડાંના ઝીણા છિદ્રો અને રેસાઓમાં વધુ અસરકારક રીતે પ્રવેશવા દે છે. આ વધેલી ભીંજવવાની ક્ષમતા ઠંડા પાણીની સરખામણીમાં ગંદકી અને તેલના કણોને વધુ સારી રીતે છૂટા પાડવામાં અને દૂર કરવામાં મદદ કરે છે. તેથી,ગરમ પાણીમાં કપડાં ધોવા વધુ અસરકારક છે.
0 likes
View Solution79
Medium
કપડામાંથી મેલ દૂર કરવા માટે પાણીમાં ડિટર્જન્ટ ઉમેરવામાં આવે છે. સમજાવો.
Solution
(N/A) જ્યારે પાણીમાં ડિટર્જન્ટ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીનું પૃષ્ઠતાણ (surface tension) ઘટે છે,જેના કારણે પાણી કપડાંને વધુ સારી રીતે ભીંજવી શકે છે. ડિટર્જન્ટના અણુઓ હેરપિન આકારના હોય છે,જેમાં એક જળરાગી (hydrophilic) શીર્ષ અને એક જળવિરાગી (hydrophobic) પૂંછડી હોય છે. જળવિરાગી પૂંછડીઓ મેલ (તેલ/ગ્રીસ) સાથે જોડાય છે,જ્યારે જળરાગી શીર્ષ પાણીમાં રહે છે. આ પ્રક્રિયા મેલને કપડાની સપાટી પરથી દૂર કરવામાં અને તેને પાણીમાં મિશ્રિત કરવામાં મદદ કરે છે,જેથી કપડાં સરળતાથી સાફ થઈ જાય છે.
0 likes
View Solution80
EasyMCQ
શા માટે રંગો અને લ્યુબ્રિકેટિંગ ઓઈલનું પૃષ્ઠતાણ (surface tension) ઓછું હોય છે?
A
તેમની સ્નિગ્ધતા વધારવા માટે
B
સપાટી પર સરળતાથી ફેલાવા માટે
C
તેમની ઘનતા ઘટાડવા માટે
D
તેમનું ઉત્કલનબિંદુ વધારવા માટે
Solution
(B) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીની સપાટીનો એક ગુણધર્મ છે જે તેને બાહ્ય બળનો પ્રતિકાર કરવા દે છે,જે પ્રવાહીના અણુઓના આંતરિક આકર્ષણ (cohesion) ને કારણે હોય છે.
રંગો (paints) અને લ્યુબ્રિકેટિંગ ઓઈલને એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે તેમનું પૃષ્ઠતાણ ઓછું હોય,જેથી તેઓ સપાટી પર સમાન રીતે અને સરળતાથી ફેલાઈને એક પાતળું અને સતત પડ બનાવી શકે.
જો પૃષ્ઠતાણ વધારે હોત,તો આ પદાર્થો ફેલાવાને બદલે ટીપાં સ્વરૂપે રહી જાત,જે તેમનો કોટિંગ અથવા લ્યુબ્રિકેશનનો હેતુ નિષ્ફળ બનાવત.
રંગો (paints) અને લ્યુબ્રિકેટિંગ ઓઈલને એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે તેમનું પૃષ્ઠતાણ ઓછું હોય,જેથી તેઓ સપાટી પર સમાન રીતે અને સરળતાથી ફેલાઈને એક પાતળું અને સતત પડ બનાવી શકે.
જો પૃષ્ઠતાણ વધારે હોત,તો આ પદાર્થો ફેલાવાને બદલે ટીપાં સ્વરૂપે રહી જાત,જે તેમનો કોટિંગ અથવા લ્યુબ્રિકેશનનો હેતુ નિષ્ફળ બનાવત.
0 likes
View Solution81
EasyMCQ
નીચેના પ્રવાહીઓને પૃષ્ઠતાણના વધતા ક્રમમાં ગોઠવો: પાણી,પારો,સાબુનું દ્રાવણ.
A
સાબુનું દ્રાવણ < પાણી < પારો
B
પાણી < સાબુનું દ્રાવણ < પારો
C
પારો < પાણી < સાબુનું દ્રાવણ
D
સાબુનું દ્રાવણ < પારો < પાણી
Solution
(A) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ તેના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળો પર આધાર રાખે છે.
$1$. સાબુનું દ્રાવણ: પાણીમાં સાબુ ઉમેરવાથી તેનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે,તેથી આ ત્રણેયમાં તેનું પૃષ્ઠતાણ સૌથી ઓછું હોય છે.
$2$. પાણી: શુદ્ધ પાણીમાં મજબૂત હાઇડ્રોજન બંધને કારણે પૃષ્ઠતાણ પ્રમાણમાં ઊંચું હોય છે.
$3$. પારો: પારો એ પ્રવાહી ધાતુ છે જેમાં ખૂબ જ મજબૂત ધાત્વિક બંધ હોય છે,જેના પરિણામે આ પદાર્થોમાં તેનું પૃષ્ઠતાણ સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,વધતો ક્રમ આ મુજબ છે: સાબુનું દ્રાવણ < પાણી < પારો.
$1$. સાબુનું દ્રાવણ: પાણીમાં સાબુ ઉમેરવાથી તેનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે,તેથી આ ત્રણેયમાં તેનું પૃષ્ઠતાણ સૌથી ઓછું હોય છે.
$2$. પાણી: શુદ્ધ પાણીમાં મજબૂત હાઇડ્રોજન બંધને કારણે પૃષ્ઠતાણ પ્રમાણમાં ઊંચું હોય છે.
$3$. પારો: પારો એ પ્રવાહી ધાતુ છે જેમાં ખૂબ જ મજબૂત ધાત્વિક બંધ હોય છે,જેના પરિણામે આ પદાર્થોમાં તેનું પૃષ્ઠતાણ સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,વધતો ક્રમ આ મુજબ છે: સાબુનું દ્રાવણ < પાણી < પારો.
0 likes
View Solution82
Medium
શું પૃષ્ઠતાણ (surface tension) સદિશ છે કે અદિશ? સમજાવો.
Solution
(N/A) પૃષ્ઠતાણ એ અદિશ રાશિ છે.
પૃષ્ઠતાણ $= \frac{\text{કાર્ય}}{\text{સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}}$.
પ્રવાહીની સપાટીનું એકમ ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવતા કાર્યને પૃષ્ઠતાણ કહેવામાં આવે છે.
કાર્ય એ અદિશ રાશિ છે અને ક્ષેત્રફળ પણ અદિશ રાશિ છે,તેથી તેમનો ગુણોત્તર,જે પૃષ્ઠતાણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે,તે પણ અદિશ રાશિ છે.
પૃષ્ઠતાણ $= \frac{\text{કાર્ય}}{\text{સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}}$.
પ્રવાહીની સપાટીનું એકમ ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવતા કાર્યને પૃષ્ઠતાણ કહેવામાં આવે છે.
કાર્ય એ અદિશ રાશિ છે અને ક્ષેત્રફળ પણ અદિશ રાશિ છે,તેથી તેમનો ગુણોત્તર,જે પૃષ્ઠતાણને વ્યાખ્યાયિત કરે છે,તે પણ અદિશ રાશિ છે.
0 likes
View Solution83
Difficult
જો પ્રવાહીનું એક ટીપું નાના ટીપાંમાં વિભાજિત થાય,તો તેના પરિણામે ટીપાંનું તાપમાન ઘટે છે. ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાનું એક ટીપું $N$ નાના ટીપાંમાં વિભાજિત થાય છે,જે દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે. તાપમાનમાં થતો ઘટાડો અંદાજો.
Solution
(N/A) પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે.
મોટા ટીપાનું કદ = $N \times$ નાના ટીપાનું કદ
$\frac{4}{3} \pi R^3 = N \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = N r^3 \implies N = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A$ એ અંતિમ પૃષ્ઠફળ અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળનો તફાવત છે:
$\Delta A = N(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (N r^2 - R^2)$.
$N = R^3/r^3$ હોવાથી,$\Delta A = 4 \pi (\frac{R^3}{r^3} r^2 - R^2) = 4 \pi R^2 (\frac{R}{r} - 1)$.
પૃષ્ઠફળમાં વધારાને કારણે મુક્ત થતી ઉર્જા $E = S \Delta A = 4 \pi S R^2 (\frac{R}{r} - 1)$ છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આ ઉર્જા પ્રવાહીની આંતરિક ઉર્જામાંથી શોષાય છે,જેના કારણે તાપમાનમાં $\Delta \theta$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.
$E = m C \Delta \theta$,જ્યાં $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi R^3)$ અને $C$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $4 \pi S R^2 (\frac{R}{r} - 1) = \rho (\frac{4}{3} \pi R^3) C \Delta \theta$.
$\Delta \theta$ માટે ઉકેલતા: $\Delta \theta = \frac{3 S}{\rho C R} (\frac{R}{r} - 1) = \frac{3 S}{\rho C} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
મોટા ટીપાનું કદ = $N \times$ નાના ટીપાનું કદ
$\frac{4}{3} \pi R^3 = N \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = N r^3 \implies N = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A$ એ અંતિમ પૃષ્ઠફળ અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળનો તફાવત છે:
$\Delta A = N(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (N r^2 - R^2)$.
$N = R^3/r^3$ હોવાથી,$\Delta A = 4 \pi (\frac{R^3}{r^3} r^2 - R^2) = 4 \pi R^2 (\frac{R}{r} - 1)$.
પૃષ્ઠફળમાં વધારાને કારણે મુક્ત થતી ઉર્જા $E = S \Delta A = 4 \pi S R^2 (\frac{R}{r} - 1)$ છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આ ઉર્જા પ્રવાહીની આંતરિક ઉર્જામાંથી શોષાય છે,જેના કારણે તાપમાનમાં $\Delta \theta$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.
$E = m C \Delta \theta$,જ્યાં $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi R^3)$ અને $C$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $4 \pi S R^2 (\frac{R}{r} - 1) = \rho (\frac{4}{3} \pi R^3) C \Delta \theta$.
$\Delta \theta$ માટે ઉકેલતા: $\Delta \theta = \frac{3 S}{\rho C R} (\frac{R}{r} - 1) = \frac{3 S}{\rho C} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
0 likes
View Solution84
Medium
પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળને કારણે પૃષ્ઠતાણ ઉદ્ભવે છે. તાપમાન વધવાની સાથે પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે અને ઉત્કલન બિંદુએ શૂન્ય થઈ જાય છે. પાણીની બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા $L_v = 540 \text{ kcal/kg}$,ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક $J = 4.2 \text{ J/cal}$,પાણીની ઘનતા $\rho_w = 10^3 \text{ kg/m}^3$,એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.0 \times 10^{26} \text{ molecules/kmol}$ અને પાણીનું આણ્વીય દળ $M_A = 18 \text{ kg/kmol}$ આપેલ છે.
$(a)$ પાણીના એક અણુને બાષ્પીભવન કરવા માટે જરૂરી ઉર્જાનો અંદાજ લગાવો.
$(b)$ દર્શાવો કે પાણી માટે આંતર-આણ્વીય અંતર $d = \left( \frac{M_A}{N_A \rho_w} \right)^{1/3}$ છે અને તેનું મૂલ્ય શોધો.
$(c)$ $1 \text{ atm}$ દબાણે $1 \text{ g}$ પાણીની વરાળ $1601 \text{ cm}^3$ કદ રોકે છે. ઉત્કલન બિંદુએ વરાળ અવસ્થામાં આંતર-આણ્વીય અંતરનો અંદાજ લગાવો.
$(d)$ બાષ્પીભવન દરમિયાન,એક અણુ આંતર-આણ્વીય અંતર $d$ થી $d'$ સુધી જવા માટે અચળ બળ $F$ નો સામનો કરે છે. $F$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(e)$ $\frac{F}{d}$ ની ગણતરી કરો,જે પૃષ્ઠતાણનું માપ છે.
$(a)$ પાણીના એક અણુને બાષ્પીભવન કરવા માટે જરૂરી ઉર્જાનો અંદાજ લગાવો.
$(b)$ દર્શાવો કે પાણી માટે આંતર-આણ્વીય અંતર $d = \left( \frac{M_A}{N_A \rho_w} \right)^{1/3}$ છે અને તેનું મૂલ્ય શોધો.
$(c)$ $1 \text{ atm}$ દબાણે $1 \text{ g}$ પાણીની વરાળ $1601 \text{ cm}^3$ કદ રોકે છે. ઉત્કલન બિંદુએ વરાળ અવસ્થામાં આંતર-આણ્વીય અંતરનો અંદાજ લગાવો.
$(d)$ બાષ્પીભવન દરમિયાન,એક અણુ આંતર-આણ્વીય અંતર $d$ થી $d'$ સુધી જવા માટે અચળ બળ $F$ નો સામનો કરે છે. $F$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(e)$ $\frac{F}{d}$ ની ગણતરી કરો,જે પૃષ્ઠતાણનું માપ છે.
Solution
(N/A) અણુ દીઠ ઉર્જા $U = \frac{M_A L_v}{N_A} = \frac{18 \times 540 \times 10^3 \times 4.2}{6.0 \times 10^{26}} = 6.8 \times 10^{-20} \text{ J}$.
$(b)$ $N_A$ અણુઓનું કદ $\frac{M_A}{\rho_w}$ છે. એક અણુનું કદ $d^3 = \frac{M_A}{N_A \rho_w}$ થાય. તેથી $d = (\frac{18}{6 \times 10^{29}})^{1/3} \approx 3.1 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$(c)$ વરાળમાં અણુ દીઠ કદ $d'^3 = \frac{V}{N} = \frac{1601 \times 10^{-6}}{N_A / 18000} \approx 3.0 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$(d)$ કાર્ય $F(d' - d) = U$. $d' \gg d$ હોવાથી,$F \approx \frac{U}{d'} = \frac{6.8 \times 10^{-20}}{3.0 \times 10^{-9}} \approx 2.3 \times 10^{-11} \text{ N}$.
$(e)$ $\frac{F}{d} = \frac{2.3 \times 10^{-11}}{3.1 \times 10^{-10}} \approx 0.074 \text{ N/m}$.
$(b)$ $N_A$ અણુઓનું કદ $\frac{M_A}{\rho_w}$ છે. એક અણુનું કદ $d^3 = \frac{M_A}{N_A \rho_w}$ થાય. તેથી $d = (\frac{18}{6 \times 10^{29}})^{1/3} \approx 3.1 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$(c)$ વરાળમાં અણુ દીઠ કદ $d'^3 = \frac{V}{N} = \frac{1601 \times 10^{-6}}{N_A / 18000} \approx 3.0 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$(d)$ કાર્ય $F(d' - d) = U$. $d' \gg d$ હોવાથી,$F \approx \frac{U}{d'} = \frac{6.8 \times 10^{-20}}{3.0 \times 10^{-9}} \approx 2.3 \times 10^{-11} \text{ N}$.
$(e)$ $\frac{F}{d} = \frac{2.3 \times 10^{-11}}{3.1 \times 10^{-10}} \approx 0.074 \text{ N/m}$.
0 likes
View Solution85
DifficultMCQ
$\rho$ ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહીનું એક ટીપું $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં અડધું ડૂબેલું તરે છે. પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ $T = 7.5 \times 10^{-4} \, N \, cm^{-1}$ છે. ટીપાની ત્રિજ્યા $cm$ માં કેટલી હશે? (લો: $g = 10 \, m/s^2$)
A
$\frac{15}{\sqrt{2\rho - \sigma}}$
B
$\frac{15}{\sqrt{\rho - \sigma}}$
C
$\frac{3}{2\sqrt{\rho - \sigma}}$
D
$\frac{3}{20\sqrt{2\rho - \sigma}}$
Solution
(A) ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતા બળો (પ્લવન બળ અને પૃષ્ઠતાણ બળ) નીચેની તરફ લાગતા બળ (ટીપાનું વજન) ને સંતુલિત કરવા જોઈએ.
ધારો કે $R$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે. ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
પ્લવન બળ $F_b = \text{ડૂબેલું કદ} \times \sigma \times g = \frac{V}{2} \sigma g = \frac{2}{3}\pi R^3 \sigma g$.
પૃષ્ઠતાણ બળ $F_T = T \times (2\pi R) = 2\pi RT$.
ટીપાનું વજન $W = mg = V \rho g = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g$.
બળોને સરખાવતા: $F_b + F_T = W$
$\frac{2}{3}\pi R^3 \sigma g + 2\pi RT = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g$
$2\pi RT = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g - \frac{2}{3}\pi R^3 \sigma g = \frac{2}{3}\pi R^3 g (2\rho - \sigma)$
$T = \frac{R^2 g (2\rho - \sigma)}{3} \Rightarrow R^2 = \frac{3T}{g(2\rho - \sigma)}$
આપેલ છે $T = 7.5 \times 10^{-4} \, N/cm = 7.5 \times 10^{-2} \, N/m$ અને $g = 10 \, m/s^2$:
$R = \sqrt{\frac{3 \times 7.5 \times 10^{-2}}{10(2\rho - \sigma)}} = \sqrt{\frac{22.5 \times 10^{-2}}{10(2\rho - \sigma)}} = \sqrt{\frac{2.25 \times 10^{-2}}{2\rho - \sigma}} = \frac{0.15}{\sqrt{2\rho - \sigma}} \, m$
$cm$ માં ફેરવતા $(1 \, m = 100 \, cm)$:
$R = \frac{0.15 \times 100}{\sqrt{2\rho - \sigma}} \, cm = \frac{15}{\sqrt{2\rho - \sigma}} \, cm$.
ધારો કે $R$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે. ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
પ્લવન બળ $F_b = \text{ડૂબેલું કદ} \times \sigma \times g = \frac{V}{2} \sigma g = \frac{2}{3}\pi R^3 \sigma g$.
પૃષ્ઠતાણ બળ $F_T = T \times (2\pi R) = 2\pi RT$.
ટીપાનું વજન $W = mg = V \rho g = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g$.
બળોને સરખાવતા: $F_b + F_T = W$
$\frac{2}{3}\pi R^3 \sigma g + 2\pi RT = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g$
$2\pi RT = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g - \frac{2}{3}\pi R^3 \sigma g = \frac{2}{3}\pi R^3 g (2\rho - \sigma)$
$T = \frac{R^2 g (2\rho - \sigma)}{3} \Rightarrow R^2 = \frac{3T}{g(2\rho - \sigma)}$
આપેલ છે $T = 7.5 \times 10^{-4} \, N/cm = 7.5 \times 10^{-2} \, N/m$ અને $g = 10 \, m/s^2$:
$R = \sqrt{\frac{3 \times 7.5 \times 10^{-2}}{10(2\rho - \sigma)}} = \sqrt{\frac{22.5 \times 10^{-2}}{10(2\rho - \sigma)}} = \sqrt{\frac{2.25 \times 10^{-2}}{2\rho - \sigma}} = \frac{0.15}{\sqrt{2\rho - \sigma}} \, m$
$cm$ માં ફેરવતા $(1 \, m = 100 \, cm)$:
$R = \frac{0.15 \times 100}{\sqrt{2\rho - \sigma}} \, cm = \frac{15}{\sqrt{2\rho - \sigma}} \, cm$.
0 likes
View Solution86
AdvancedMCQ
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાઇપ દ્વારા સાબુના પડ (પૃષ્ઠતાણ $T$) પર હવા (ઘનતા $\rho$) ફૂંકવામાં આવે છે,જેનું મુખ પડની બિલકુલ નજીક છે. પડ વિકૃત થાય છે અને જ્યારે વિકૃત સપાટીનો આકાર અર્ધગોળાકાર બને છે ત્યારે તેમાંથી પરપોટો અલગ પડે છે. જો $v$ ઝડપે ફૂંકાતી હવાને કારણે પડ પર લાગતું ગતિશીલ દબાણ $\frac{1}{2} \rho v^{2}$ હોય,તો પરપોટો બનવા માટેની ઝડપ કેટલી હશે?
A
$\frac{T}{\sqrt{\rho R}}$
B
$\sqrt{\frac{2 T}{\rho R}}$
C
$\sqrt{\frac{4 T}{\rho R}}$
D
$\sqrt{\frac{8 T}{\rho R}}$
Solution
(D) જ્યારે ગતિશીલ દબાણને કારણે લાગતું બળ પાઇપની પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણના બળ કરતાં વધી જાય ત્યારે પરપોટો પડમાંથી અલગ થાય છે.
ગતિશીલ દબાણને કારણે લાગતું બળ $F_{\text{dynamic}} = P_{\text{dynamic}} \times A = (\frac{1}{2} \rho v^2) \times (\pi R^2)$ છે.
પૃષ્ઠતાણનું બળ પાઇપના પરિઘ પર લાગે છે. સાબુના પડને બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ પૃષ્ઠતાણ બળ $F_{\text{surface tension}} = 2 \times (T \times 2 \pi R) = 4 \pi R T$ થાય છે.
પરપોટો અલગ થવા માટે,ગતિશીલ બળ ઓછામાં ઓછું પૃષ્ઠતાણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{1}{2} \rho v^2 \times \pi R^2 = 4 \pi R T$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} \rho v^2 R = 4 T$
$v^2 = \frac{8 T}{\rho R}$
$v = \sqrt{\frac{8 T}{\rho R}}$
આમ,પરપોટો બનવા માટેની લઘુત્તમ ઝડપ $v = \sqrt{\frac{8 T}{\rho R}}$ છે.
ગતિશીલ દબાણને કારણે લાગતું બળ $F_{\text{dynamic}} = P_{\text{dynamic}} \times A = (\frac{1}{2} \rho v^2) \times (\pi R^2)$ છે.
પૃષ્ઠતાણનું બળ પાઇપના પરિઘ પર લાગે છે. સાબુના પડને બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ પૃષ્ઠતાણ બળ $F_{\text{surface tension}} = 2 \times (T \times 2 \pi R) = 4 \pi R T$ થાય છે.
પરપોટો અલગ થવા માટે,ગતિશીલ બળ ઓછામાં ઓછું પૃષ્ઠતાણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{1}{2} \rho v^2 \times \pi R^2 = 4 \pi R T$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} \rho v^2 R = 4 T$
$v^2 = \frac{8 T}{\rho R}$
$v = \sqrt{\frac{8 T}{\rho R}}$
આમ,પરપોટો બનવા માટેની લઘુત્તમ ઝડપ $v = \sqrt{\frac{8 T}{\rho R}}$ છે.
0 likes
View Solution87
MediumMCQ
એક વાટકી પાણીથી ભરેલી છે,જેના પર થોડો કાળા મરીનો પાવડર સમાન રીતે છાંટવામાં આવ્યો છે. હવે,પાણીની સપાટીના કેન્દ્રમાં પ્રવાહી સાબુનું એક ટીપું ઉમેરવામાં આવે છે. આ પછી તરત જ સપાટીનું ચિત્ર કેવું દેખાશે?
A
B
C
D
Solution
(C) જ્યારે પાણીની સપાટી પર પ્રવાહી સાબુનું એક ટીપું ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સર્ફેક્ટન્ટ તરીકે કાર્ય કરે છે અને તે બિંદુ પર પાણીનું પૃષ્ઠતાણ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે.
આસપાસના પાણીનું પૃષ્ઠતાણ વધારે હોવાથી,પાણીની સપાટી પર કેન્દ્રથી વાટકીની કિનારીઓ તરફ બહારની તરફ ખેંચાતું ચોખ્ખું બળ અનુભવાય છે.
જેમ જેમ પાણીની સપાટી બહારની તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તે કાળા મરીના પાવડરના કણોને પણ પોતાની સાથે લઈ જાય છે,જેના કારણે પાવડર વાટકીની પરિઘ તરફ ધકેલાઈ જાય છે અને કેન્દ્ર ખાલી થઈ જાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
આસપાસના પાણીનું પૃષ્ઠતાણ વધારે હોવાથી,પાણીની સપાટી પર કેન્દ્રથી વાટકીની કિનારીઓ તરફ બહારની તરફ ખેંચાતું ચોખ્ખું બળ અનુભવાય છે.
જેમ જેમ પાણીની સપાટી બહારની તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તે કાળા મરીના પાવડરના કણોને પણ પોતાની સાથે લઈ જાય છે,જેના કારણે પાવડર વાટકીની પરિઘ તરફ ધકેલાઈ જાય છે અને કેન્દ્ર ખાલી થઈ જાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likes
View Solution88
EasyMCQ
પાણીની સપાટી પર ધીમેથી મૂકવામાં આવેલી લોખંડની સોય તરે છે કારણ કે
A
તે તેના વજન કરતા વધુ પાણીનું વિસ્થાપન કરે છે
B
સોયના દ્રવ્યની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી છે
C
પૃષ્ઠતાણને કારણે
D
તેના આકારને કારણે
Solution
(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
જ્યારે લોખંડની સોયને પાણીની સપાટી પર હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ડૂબતી નથી કારણ કે પાણીનું પૃષ્ઠતાણ એક પડ (membrane) તરીકે કાર્ય કરે છે.
પૃષ્ઠતાણ બળ $F$ સોય અને પાણીની સપાટીના સંપર્ક રેખા પર લાગે છે. આ બળનો શિરોલંબ ઘટક $2F \sin \theta$ ઉપરની તરફ લાગે છે અને સોયના વજન $mg$ ને સંતુલિત કરે છે,જ્યાં $\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે.
આમ,સંતુલન સ્થિતિમાં: $2F \sin \theta = mg$.
જ્યારે લોખંડની સોયને પાણીની સપાટી પર હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ડૂબતી નથી કારણ કે પાણીનું પૃષ્ઠતાણ એક પડ (membrane) તરીકે કાર્ય કરે છે.
પૃષ્ઠતાણ બળ $F$ સોય અને પાણીની સપાટીના સંપર્ક રેખા પર લાગે છે. આ બળનો શિરોલંબ ઘટક $2F \sin \theta$ ઉપરની તરફ લાગે છે અને સોયના વજન $mg$ ને સંતુલિત કરે છે,જ્યાં $\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે.
આમ,સંતુલન સ્થિતિમાં: $2F \sin \theta = mg$.
0 likes
View Solution89
MediumMCQ
એક લૂપના સ્વરૂપમાં રહેલી દળરહિત અવિસ્તૃત દોરીને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા સાબુના દ્રાવણની આડી ફિલ્મ પર મૂકવામાં આવે છે. જો લૂપની અંદરની ફિલ્મ તોડી નાખવામાં આવે અને તે $d$ વ્યાસના વર્તુળાકાર લૂપમાં ફેરવાય,તો દોરીમાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ .......... છે.
A
$Td$
B
$\pi T d$
C
$\pi d^2 T$
D
$\frac{\pi d^2 T}{4}$
Solution
(A) ધારો કે દોરીનો એક નાનો ભાગ જેની લંબાઈ $\Delta l$ છે,તે વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર $2\theta$ ખૂણો આંતરે છે.
સાબુના દ્રાવણની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોવાથી,દોરી પર લાગતું પૃષ્ઠતાણ $S$ ને કારણે બળ $F_s = 2 \times S \times \Delta l$ થશે.
નાના ખૂણા $2\theta$ માટે,લંબાઈ $\Delta l = r(2\theta)$ થાય,જ્યાં $r$ એ લૂપની ત્રિજ્યા છે.
દોરીમાં રહેલા તણાવ $T_{str}$ નો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક પૃષ્ઠતાણના બળને સંતુલિત કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$2 T_{str} \sin \theta = 2 S \Delta l$
ખૂણો $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta$ અને $\Delta l = 2r\theta$ લેતા.
$2 T_{str} \theta = 2 S (2r\theta)$
$T_{str} = 2Sr$
અહીં $d = 2r$ હોવાથી,$T_{str} = S d$ મળે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ આપેલ હોવાથી,દોરીમાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ $T_{str} = Td$ થશે.
સાબુના દ્રાવણની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોવાથી,દોરી પર લાગતું પૃષ્ઠતાણ $S$ ને કારણે બળ $F_s = 2 \times S \times \Delta l$ થશે.
નાના ખૂણા $2\theta$ માટે,લંબાઈ $\Delta l = r(2\theta)$ થાય,જ્યાં $r$ એ લૂપની ત્રિજ્યા છે.
દોરીમાં રહેલા તણાવ $T_{str}$ નો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક પૃષ્ઠતાણના બળને સંતુલિત કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$2 T_{str} \sin \theta = 2 S \Delta l$
ખૂણો $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta$ અને $\Delta l = 2r\theta$ લેતા.
$2 T_{str} \theta = 2 S (2r\theta)$
$T_{str} = 2Sr$
અહીં $d = 2r$ હોવાથી,$T_{str} = S d$ મળે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ આપેલ હોવાથી,દોરીમાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ $T_{str} = Td$ થશે.
0 likes
View Solution90
MediumMCQ
$4.5 \,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક પાતળી સપાટ વર્તુળાકાર તકતીને પાણીની સપાટી પર હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે. જો પાણીનું પૃષ્ઠતાણ $0.07 \,N \,m^{-1}$ હોય, તો તેને સપાટી પરથી દૂર કરવા માટે જરૂરી વધારાનું બળ કેટલું હશે?
A
$198 \,N$
B
$1.98 \,mN$
C
$99 \,N$
D
$19.8 \,mN$
Solution
(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતીને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીની સપાટી પરથી ખેંચવા માટે જરૂરી વધારાનું બળ એ તકતીના પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણના બળ જેટલું હોય છે.
વધારાનું બળ $F = T \times (2 \pi R)$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $R = 4.5 \,cm = 4.5 \times 10^{-2} \,m$
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.07 \,N \,m^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 0.07 \times 2 \times 3.14 \times 4.5 \times 10^{-2}$
$F = 0.07 \times 28.26 \times 10^{-2}$
$F = 1.9782 \times 10^{-2} \,N$
$F \approx 19.8 \times 10^{-3} \,N$
$F = 19.8 \,mN$
વધારાનું બળ $F = T \times (2 \pi R)$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $R = 4.5 \,cm = 4.5 \times 10^{-2} \,m$
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.07 \,N \,m^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 0.07 \times 2 \times 3.14 \times 4.5 \times 10^{-2}$
$F = 0.07 \times 28.26 \times 10^{-2}$
$F = 1.9782 \times 10^{-2} \,N$
$F \approx 19.8 \times 10^{-3} \,N$
$F = 19.8 \,mN$
0 likes
View Solution91
AdvancedMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $R$ ત્રિજ્યાના બીકરમાં $h$ ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરેલું છે. પાણીની ઘનતા $\rho$ છે,પાણીનું પૃષ્ઠતાણ $T$ છે અને વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ છે. બીકરના વ્યાસમાંથી પસાર થતા પાણીના સ્તંભના ઉભા વિભાગ $ABCD$ નો વિચાર કરો. આ વિભાગની એક બાજુના પાણી પર બીજી બાજુના પાણી દ્વારા લાગતા બળનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$\left|2 P_0 Rh+\pi R^2 \rho gh-2 RT\right|$
B
$\left|2 P_0 Rh+R \rho gh^2-2 RT\right|$
C
$\left|P_0 \pi R^2+R \rho g h^2-2 RT\right|$
D
$\left|P_0 \pi R^2+R \rho g h^2+2 RT\right|$
Solution
(B) પાણીની મુક્ત સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ $dx$ ઊંચાઈની એક ઉભી લંબચોરસ પટ્ટીનો વિચાર કરો. આ પટ્ટીની પહોળાઈ બીકરનો વ્યાસ છે,જે $2R$ છે.
$x$ ઊંડાઈએ દબાણ $P(x) = P_0 + \rho g x$ છે.
આ પટ્ટી પર દબાણ દ્વારા લાગતું બળ $dF_p = P(x) \cdot (2R) dx = (P_0 + \rho g x) 2R dx$ છે.
આનું $x = 0$ થી $x = h$ સુધી સંકલન કરતા,દબાણને કારણે લાગતું કુલ બળ $F_p = \int_0^h (P_0 + \rho g x) 2R dx = 2R [P_0 x + \frac{1}{2} \rho g x^2]_0^h = 2 P_0 R h + R \rho g h^2$ મળે છે.
વધુમાં,વિભાગની ઉપરની ધાર પર પૃષ્ઠતાણને કારણે બળ લાગે છે. સપાટી પર વિભાગની લંબાઈ $2R$ છે,તેથી પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_T = T \cdot (2R) = 2RT$ છે.
પૃષ્ઠતાણનું બળ દબાણના બળની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી,બળનું કુલ મૂલ્ય $F = |F_p - F_T| = |2 P_0 R h + R \rho g h^2 - 2 RT|$ થશે.
$x$ ઊંડાઈએ દબાણ $P(x) = P_0 + \rho g x$ છે.
આ પટ્ટી પર દબાણ દ્વારા લાગતું બળ $dF_p = P(x) \cdot (2R) dx = (P_0 + \rho g x) 2R dx$ છે.
આનું $x = 0$ થી $x = h$ સુધી સંકલન કરતા,દબાણને કારણે લાગતું કુલ બળ $F_p = \int_0^h (P_0 + \rho g x) 2R dx = 2R [P_0 x + \frac{1}{2} \rho g x^2]_0^h = 2 P_0 R h + R \rho g h^2$ મળે છે.
વધુમાં,વિભાગની ઉપરની ધાર પર પૃષ્ઠતાણને કારણે બળ લાગે છે. સપાટી પર વિભાગની લંબાઈ $2R$ છે,તેથી પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_T = T \cdot (2R) = 2RT$ છે.
પૃષ્ઠતાણનું બળ દબાણના બળની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી,બળનું કુલ મૂલ્ય $F = |F_p - F_T| = |2 P_0 R h + R \rho g h^2 - 2 RT|$ થશે.
0 likes
View Solution92
AdvancedMCQ
જ્યારે $\rho$ ઘનતા ધરાવતી પ્રવાહી દવા આંખમાં નાખવાની હોય, ત્યારે તે ડ્રોપરની મદદથી કરવામાં આવે છે। જેમ ડ્રોપરની ટોચ પરનો બલ્બ દબાવવામાં આવે છે, તેમ ડ્રોપરના મુખ પર એક ટીપું બને છે। આપણે ટીપાનું કદ અંદાજવા માંગીએ છીએ। આપણે પહેલા ધારીએ છીએ કે મુખ પર બનેલું ટીપું ગોળાકાર છે કારણ કે તેના માટે તેની સપાટીની ઉર્જામાં ન્યૂનતમ વધારો જરૂરી છે। કદ નક્કી કરવા માટે, આપણે સપાટીના તણાવ $T$ ને કારણે લાગતું ચોખ્ખું ઉર્ધ્વ બળ ગણીએ છીએ જ્યારે ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ હોય છે। જ્યારે બળ ટીપાના વજન કરતા ઓછું થાય છે, ત્યારે ટીપું ડ્રોપરથી અલગ થઈ જાય છે।
$1.$ જો ડ્રોપરના મુખની ત્રિજ્યા $r$ હોય, તો $R$ ત્રિજ્યાના ટીપા પર સપાટીના તણાવને કારણે લાગતું ઉર્ધ્વ બળ ($r \ll R$ ધારીને) કેટલું હશે?
$(A)$ $2 \pi r T$ $(B)$ $2 \pi R T$ $(C)$ $\frac{2 \pi r^2 T}{R}$ $(D)$ $\frac{2 \pi R^2 T}{r}$
$2.$ જો $r=5 \times 10^{-4} \, m, \rho=10^3 \, kg \, m^{-3}, g=10 \, m/s^2, T=0.11 \, Nm^{-1}$ હોય, તો જ્યારે ટીપું ડ્રોપરથી અલગ થાય ત્યારે તેની ત્રિજ્યા આશરે કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-3} \, m$ $(B)$ $3.3 \times 10^{-3} \, m$
$(C)$ $2.0 \times 10^{-3} \, m$ $(D)$ $4.1 \times 10^{-3} \, m$
$3.$ ટીપું અલગ થયા પછી, તેની સપાટીની ઉર્જા કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-6} \, J$ $(B)$ $2.7 \times 10^{-6} \, J$
$(C)$ $5.4 \times 10^{-6} \, J$ $(D)$ $8.1 \times 10^{-6} \, J$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો।
$1.$ જો ડ્રોપરના મુખની ત્રિજ્યા $r$ હોય, તો $R$ ત્રિજ્યાના ટીપા પર સપાટીના તણાવને કારણે લાગતું ઉર્ધ્વ બળ ($r \ll R$ ધારીને) કેટલું હશે?
$(A)$ $2 \pi r T$ $(B)$ $2 \pi R T$ $(C)$ $\frac{2 \pi r^2 T}{R}$ $(D)$ $\frac{2 \pi R^2 T}{r}$
$2.$ જો $r=5 \times 10^{-4} \, m, \rho=10^3 \, kg \, m^{-3}, g=10 \, m/s^2, T=0.11 \, Nm^{-1}$ હોય, તો જ્યારે ટીપું ડ્રોપરથી અલગ થાય ત્યારે તેની ત્રિજ્યા આશરે કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-3} \, m$ $(B)$ $3.3 \times 10^{-3} \, m$
$(C)$ $2.0 \times 10^{-3} \, m$ $(D)$ $4.1 \times 10^{-3} \, m$
$3.$ ટીપું અલગ થયા પછી, તેની સપાટીની ઉર્જા કેટલી હશે?
$(A)$ $1.4 \times 10^{-6} \, J$ $(B)$ $2.7 \times 10^{-6} \, J$
$(C)$ $5.4 \times 10^{-6} \, J$ $(D)$ $8.1 \times 10^{-6} \, J$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો।
A
$(C, A, B)$
B
$(A, B, C)$
C
$(A, D, A)$
D
$(D, B, B)$
Solution
(A) $1.$ સપાટીના તણાવને કારણે ઉર્ધ્વ બળ $F = T \cdot (2 \pi r) \cdot \sin \theta$ છે। $r \ll R$ હોવાથી, $\sin \theta \approx \frac{r}{R}$। તેથી, $F = 2 \pi r T \cdot \frac{r}{R} = \frac{2 \pi r^2 T}{R}$। સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે।
$2.$ અલગ થતી વખતે, $F = mg$। તેથી, $\frac{2 \pi r^2 T}{R} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$। પુનઃગોઠવણ કરતા $R^4 = \frac{3 r^2 T}{2 \rho g} = \frac{3 \times (5 \times 10^{-4})^2 \times 0.11}{2 \times 10^3 \times 10} = 4.125 \times 10^{-12} \, m^4$। ચતુર્થ મૂળ લેતા, $R \approx 1.42 \times 10^{-3} \, m$। સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે।
$3.$ સપાટીની ઉર્જા $U = T \times (\text{સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}) = T \times (4 \pi R^2) = 0.11 \times 4 \times 3.14 \times (1.42 \times 10^{-3})^2 \approx 2.78 \times 10^{-6} \, J$। સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે।
$2.$ અલગ થતી વખતે, $F = mg$। તેથી, $\frac{2 \pi r^2 T}{R} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$। પુનઃગોઠવણ કરતા $R^4 = \frac{3 r^2 T}{2 \rho g} = \frac{3 \times (5 \times 10^{-4})^2 \times 0.11}{2 \times 10^3 \times 10} = 4.125 \times 10^{-12} \, m^4$। ચતુર્થ મૂળ લેતા, $R \approx 1.42 \times 10^{-3} \, m$। સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે।
$3.$ સપાટીની ઉર્જા $U = T \times (\text{સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}) = T \times (4 \pi R^2) = 0.11 \times 4 \times 3.14 \times (1.42 \times 10^{-3})^2 \approx 2.78 \times 10^{-6} \, J$। સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે।
0 likes
View Solution93
AdvancedMCQ
જ્યારે ગ્લાસમાં પાણી કાળજીપૂર્વક ભરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીના પૃષ્ઠતાણને કારણે તેને ગ્લાસની ધારથી $h$ ઊંચાઈ સુધી ભરી શકાય છે. પાણી વહેવાનું શરૂ કરે તે પહેલાં $h$ ની ગણતરી કરવા માટે,ગ્લાસની ઉપરના પાણીના આકારને $h$ જાડાઈની ડિસ્ક તરીકે મોડેલ કરો,જેની કિનારીઓ અર્ધવર્તુળાકાર છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. જ્યારે આ ડિસ્કના તળિયે પાણીનું દબાણ પૃષ્ઠતાણને કારણે સહન કરી શકાય તેવા દબાણ કરતાં વધી જાય છે,ત્યારે પાણીની સપાટી ધાર પાસે તૂટી જાય છે અને ત્યાંથી પાણી વહેવાનું શરૂ થાય છે. જો પાણીની ઘનતા,તેનું પૃષ્ઠતાણ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ અનુક્રમે $10^3 \ kg \ m^{-3}$,$0.07 \ N \ m^{-1}$ અને $10 \ m \ s^{-2}$ હોય,તો $h$ નું મૂલ્ય ($mm$ માં) કેટલું હશે?
A
$3.60$
B
$3.65$
C
$3.70$
D
$3.75$
Solution
(D) પાણીની ડિસ્કના તળિયે તેના વજનને કારણે દબાણ $P = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દબાણ વક્ર સપાટી પર પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાના દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે યંગ-લાપ્લેસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = T \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$.
અહીં,$R_1$ એ ગ્લાસની ત્રિજ્યા છે (જે જાડાઈ $h$ ની તુલનામાં ખૂબ મોટી છે) અને $R_2$ એ અર્ધવર્તુળાકાર ધારની ત્રિજ્યા છે,જે $h/2$ છે.
કારણ કે $R_1 \gg R_2$,તેથી $\frac{1}{R_1} \approx 0$ થાય.
આમ,દબાણ સંતુલન સમીકરણ $\rho g h = T \left(0 + \frac{1}{h/2}\right) = \frac{2T}{h}$ બને છે.
$h$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $h^2 = \frac{2T}{\rho g}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $h = \sqrt{\frac{2 \times 0.07}{10^3 \times 10}} = \sqrt{\frac{0.14}{10^4}} = \sqrt{14 \times 10^{-6}} \ m$.
$h = \sqrt{14} \times 10^{-3} \ m \approx 3.741 \times 10^{-3} \ m$.
$mm$ માં રૂપાંતરિત કરતા,$h \approx 3.741 \ mm$,જે $3.75 \ mm$ ની સૌથી નજીક છે.
આ દબાણ વક્ર સપાટી પર પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાના દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે યંગ-લાપ્લેસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = T \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$.
અહીં,$R_1$ એ ગ્લાસની ત્રિજ્યા છે (જે જાડાઈ $h$ ની તુલનામાં ખૂબ મોટી છે) અને $R_2$ એ અર્ધવર્તુળાકાર ધારની ત્રિજ્યા છે,જે $h/2$ છે.
કારણ કે $R_1 \gg R_2$,તેથી $\frac{1}{R_1} \approx 0$ થાય.
આમ,દબાણ સંતુલન સમીકરણ $\rho g h = T \left(0 + \frac{1}{h/2}\right) = \frac{2T}{h}$ બને છે.
$h$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $h^2 = \frac{2T}{\rho g}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $h = \sqrt{\frac{2 \times 0.07}{10^3 \times 10}} = \sqrt{\frac{0.14}{10^4}} = \sqrt{14 \times 10^{-6}} \ m$.
$h = \sqrt{14} \times 10^{-3} \ m \approx 3.741 \times 10^{-3} \ m$.
$mm$ માં રૂપાંતરિત કરતા,$h \approx 3.741 \ mm$,જે $3.75 \ mm$ ની સૌથી નજીક છે.
0 likes
View Solution94
DifficultMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવેલ પાણીની ટાંકીનો વિચાર કરો. તેની એક દીવાલ $x=L$ પર છે અને તેને $z$ દિશામાં ખૂબ જ પહોળી ગણી શકાય છે. જ્યારે તેને $S$ પૃષ્ઠતાણ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીની સપાટી $x=L$ આગળ $x$-અક્ષ સાથે $\theta_0 \left(\theta_0 \ll 1\right)$ ખૂણો બનાવે છે. જો $y(x)$ એ સપાટીની ઊંચાઈ હોય,તો $y(x)$ માટેનું સમીકરણ શું છે?
($\theta(x) \approx \sin \theta(x) \approx \tan \theta(x) = \frac{dy}{dx}$ લો,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.)
($\theta(x) \approx \sin \theta(x) \approx \tan \theta(x) = \frac{dy}{dx}$ લો,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.)
A
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\rho g}{S} x$
B
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\rho g}{S} y$
C
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \sqrt{\frac{\rho g}{S}}$
D
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{\rho g}{S}} x$
Solution
(B) વક્ર પ્રવાહી સપાટી પરના દબાણનો તફાવત યંગ-લાપ્લેસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = S \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$.
ટાંકી $z$ દિશામાં ખૂબ જ પહોળી હોવાથી,તે દિશામાં વક્રતા ત્રિજ્યા અનંત છે $(R_2 \to \infty)$.
આમ,દબાણનો તફાવત $\Delta P = \frac{S}{R}$ છે,જ્યાં $R$ એ $xy$-સમતલમાં વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
નાના ખૂણા $\theta$ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R \approx \frac{1}{d^2y/dx^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\Delta P = S \frac{d^2y}{dx^2}$.
સપાટીની નીચે $y$ ઊંડાઈએ,પ્રવાહી સ્તંભને કારણે દબાણનો તફાવત $\Delta P = \rho g y$ છે.
દબાણના તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\rho g y = S \frac{d^2y}{dx^2}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\rho g}{S} y$.
ટાંકી $z$ દિશામાં ખૂબ જ પહોળી હોવાથી,તે દિશામાં વક્રતા ત્રિજ્યા અનંત છે $(R_2 \to \infty)$.
આમ,દબાણનો તફાવત $\Delta P = \frac{S}{R}$ છે,જ્યાં $R$ એ $xy$-સમતલમાં વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
નાના ખૂણા $\theta$ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R \approx \frac{1}{d^2y/dx^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\Delta P = S \frac{d^2y}{dx^2}$.
સપાટીની નીચે $y$ ઊંડાઈએ,પ્રવાહી સ્તંભને કારણે દબાણનો તફાવત $\Delta P = \rho g y$ છે.
દબાણના તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\rho g y = S \frac{d^2y}{dx^2}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\rho g}{S} y$.
0 likes
View Solution95
DifficultMCQ
$n$ જેટલા પ્રવાહીના ટીપાં, જે દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે, તે જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે. આ પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા મોટા ટીપાની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. મોટા ટીપાની ઝડપ કેટલી હશે? [$T = \text{પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ}, \rho = \text{પ્રવાહીની ઘનતા}$.]
A
$\sqrt{\frac{T}{\rho}\left[\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right]}$
B
$\sqrt{\frac{2T}{\rho}\left[\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right]}$
C
$\sqrt{\frac{4T}{\rho}\left[\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right]}$
D
$\sqrt{\frac{6T}{\rho}\left[\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right]}$
Solution
(D) કદનું સંરક્ષણ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = n r^3$.
પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડાને કારણે મુક્ત થતી ઉર્જા: $\Delta U = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ હોવાથી, $\Delta U = 4 \pi T \left( \frac{R^3}{r} - R^2 \right) = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
આ ઉર્જા મોટા ટીપાની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે: $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$, જ્યાં $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} (\rho \times \frac{4}{3} \pi R^3) v^2 = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2}{3} \rho \pi R^3 v^2 = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
$v^2 = \frac{4 \pi T R^3 \times 3}{2 \pi \rho R^3} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) = \frac{6 T}{\rho} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
તેથી, $v = \sqrt{\frac{6 T}{\rho} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)}$.
પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડાને કારણે મુક્ત થતી ઉર્જા: $\Delta U = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ હોવાથી, $\Delta U = 4 \pi T \left( \frac{R^3}{r} - R^2 \right) = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
આ ઉર્જા મોટા ટીપાની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે: $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$, જ્યાં $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} (\rho \times \frac{4}{3} \pi R^3) v^2 = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2}{3} \rho \pi R^3 v^2 = 4 \pi T R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
$v^2 = \frac{4 \pi T R^3 \times 3}{2 \pi \rho R^3} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) = \frac{6 T}{\rho} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
તેથી, $v = \sqrt{\frac{6 T}{\rho} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)}$.
0 likes
View Solution96
MediumMCQ
$\rho$ ઘનતા ધરાવતો એક ધાતુનો તાર પાણીની સપાટી પર આડો તરે છે. જો તે પાણીમાં ડૂબે નહીં,તો તારની મહત્તમ ત્રિજ્યા કેટલી હશે? ($T$ = પાણીનું પૃષ્ઠતાણ,$g$ = ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ)
A
$\frac{\pi \rho g}{T}$
B
$\frac{T}{\pi \rho g}$
C
$\sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$
D
$\sqrt{\frac{\pi \rho g}{T}}$
Solution
(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
$L$ લંબાઈ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તાર માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_g = mg = (\text{ઘનતા} \times \text{કદ}) \times g = \rho (\pi r^2 L) g$ છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉપરની તરફ લાગતું બળ તારની લંબાઈ $L$ ની બંને બાજુઓ પર લાગે છે. તેથી,કુલ ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F_T = 2TL$ છે.
તાર ડૂબ્યા વિના તરે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું બળ નીચેની તરફ લાગતા બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$2TL = \rho \pi r^2 L g$
$2T = \rho \pi r^2 g$
$r^2 = \frac{2T}{\pi \rho g}$
$r = \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$
પાતળા તાર માટે પૃષ્ઠતાણ બળની સરખામણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ નગણ્ય હોવાથી આપણે તેને અવગણીએ છીએ.
$L$ લંબાઈ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તાર માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_g = mg = (\text{ઘનતા} \times \text{કદ}) \times g = \rho (\pi r^2 L) g$ છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉપરની તરફ લાગતું બળ તારની લંબાઈ $L$ ની બંને બાજુઓ પર લાગે છે. તેથી,કુલ ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F_T = 2TL$ છે.
તાર ડૂબ્યા વિના તરે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું બળ નીચેની તરફ લાગતા બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$2TL = \rho \pi r^2 L g$
$2T = \rho \pi r^2 g$
$r^2 = \frac{2T}{\pi \rho g}$
$r = \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$
પાતળા તાર માટે પૃષ્ઠતાણ બળની સરખામણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ નગણ્ય હોવાથી આપણે તેને અવગણીએ છીએ.
0 likes
View Solution97
DifficultMCQ
$\rho$ ઘનતા ધરાવતો એક પાતળો ધાતુનો તાર પાણીની સપાટી પર આડો તરે છે. જો તે પાણીમાં ડૂબે નહીં,તો તારની મહત્તમ ત્રિજ્યા કોના પ્રમાણસર હશે? $(T = \text{પાણીનું પૃષ્ઠતાણ}, g = \text{ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ})$
A
$\sqrt{\frac{2 T}{\pi \rho g}}$
B
$\sqrt{\frac{\pi \rho g}{T}}$
C
$\frac{T}{\pi \rho g}$
D
$\frac{\pi \rho g}{T}$
Solution
(A) તાર તરે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા ઉપરના બળ દ્વારા સંતુલિત હોવું જોઈએ.
તાર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) $W = mg = (\text{કદ} \times \rho) g = (\pi r^2 l) \rho g$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તારની લંબાઈ છે.
પૃષ્ઠતાણ બળ પાણીની સપાટી પર તારની બંને બાજુઓ પર લાગે છે,તેથી ઉપરની તરફનું બળ $F_s = 2Tl$ છે.
તરવાની મર્યાદા માટે બળોને સરખાવતા: $Mg = 2Tl$.
કિંમતો મૂકતા: $(\pi r^2 l) \rho g = 2Tl$.
બંને બાજુથી $l$ ને દૂર કરતા: $\pi r^2 \rho g = 2T$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r^2 = \frac{2T}{\pi \rho g}$,જે આપે છે $r = \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$.
આમ,મહત્તમ ત્રિજ્યા $\sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$ ના પ્રમાણમાં છે.
તાર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) $W = mg = (\text{કદ} \times \rho) g = (\pi r^2 l) \rho g$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તારની લંબાઈ છે.
પૃષ્ઠતાણ બળ પાણીની સપાટી પર તારની બંને બાજુઓ પર લાગે છે,તેથી ઉપરની તરફનું બળ $F_s = 2Tl$ છે.
તરવાની મર્યાદા માટે બળોને સરખાવતા: $Mg = 2Tl$.
કિંમતો મૂકતા: $(\pi r^2 l) \rho g = 2Tl$.
બંને બાજુથી $l$ ને દૂર કરતા: $\pi r^2 \rho g = 2T$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r^2 = \frac{2T}{\pi \rho g}$,જે આપે છે $r = \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$.
આમ,મહત્તમ ત્રિજ્યા $\sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$ ના પ્રમાણમાં છે.
0 likes
View Solution98
EasyMCQ
પ્રવાહીની એક લંબચોરસ ફિલ્મનું વિસ્તરણ $(5 \text{ cm} \times 4 \text{ cm})$ થી $(7 \text{ cm} \times 8 \text{ cm})$ કરવામાં આવે છે. જો થયેલું કાર્ય $3 \times 10^{-4} \text{ J}$ હોય,તો પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ (આશરે) કેટલું હશે?
A
$0.4 \text{ N/m}$
B
$0.04 \text{ N/m}$
C
$0.4 \text{ dyne/cm}$
D
$4.0 \text{ N/m}$
Solution
(B) પ્રવાહીની ફિલ્મનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે થયેલું કાર્ય $(W)$ $W = T \times \Delta A \times 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $2$ નો ગુણાંક ફિલ્મની બે સપાટીઓ માટે છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 5 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 7 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 56 \text{ cm}^2 = 56 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (56 - 20) \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 36 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
આપેલ છે $W = 3 \times 10^{-4} \text{ J}$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-4} = T \times (36 \times 10^{-4}) \times 2$.
$3 = T \times 72$.
$T = 3 / 72 = 1 / 24 \approx 0.0416 \text{ N/m}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$T \approx 0.04 \text{ N/m}$.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 5 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 7 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 56 \text{ cm}^2 = 56 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (56 - 20) \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 36 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
આપેલ છે $W = 3 \times 10^{-4} \text{ J}$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-4} = T \times (36 \times 10^{-4}) \times 2$.
$3 = T \times 72$.
$T = 3 / 72 = 1 / 24 \approx 0.0416 \text{ N/m}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$T \approx 0.04 \text{ N/m}$.
0 likes
View Solution99
EasyMCQ
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કાગળની તકતીમાં $r$ ત્રિજ્યાનું કાણું છે. તે $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહી પર તરે છે. તકતી પર લાગતું પૃષ્ઠતાણનું બળ કેટલું હશે?
A
$2 \pi T(R-r)$
B
$2 \pi T(R+r)$
C
$3 \pi T R$
D
$4 \pi T(R+r)$
Solution
(B) કોઈ પદાર્થ પર લાગતું પૃષ્ઠતાણનું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = T \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ પ્રવાહીના સંપર્કમાં રહેલી સીમાની કુલ લંબાઈ છે.
પ્રવાહી પર તરતી $R$ ત્રિજ્યાની અને $r$ ત્રિજ્યાનું કાણું ધરાવતી તકતી માટે,પ્રવાહી બહારની પરિઘ અને અંદરના કાણાના પરિઘ બંનેના સંપર્કમાં હોય છે.
બહારનો પરિઘ $L_1 = 2 \pi R$ છે.
અંદરનો પરિઘ $L_2 = 2 \pi r$ છે.
પ્રવાહીના સંપર્કમાં રહેલી સીમાની કુલ લંબાઈ $L = L_1 + L_2 = 2 \pi R + 2 \pi r = 2 \pi (R + r)$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણનું કુલ બળ $F = T \times 2 \pi (R + r) = 2 \pi T (R + r)$ થાય.
પ્રવાહી પર તરતી $R$ ત્રિજ્યાની અને $r$ ત્રિજ્યાનું કાણું ધરાવતી તકતી માટે,પ્રવાહી બહારની પરિઘ અને અંદરના કાણાના પરિઘ બંનેના સંપર્કમાં હોય છે.
બહારનો પરિઘ $L_1 = 2 \pi R$ છે.
અંદરનો પરિઘ $L_2 = 2 \pi r$ છે.
પ્રવાહીના સંપર્કમાં રહેલી સીમાની કુલ લંબાઈ $L = L_1 + L_2 = 2 \pi R + 2 \pi r = 2 \pi (R + r)$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણનું કુલ બળ $F = T \times 2 \pi (R + r) = 2 \pi T (R + r)$ થાય.
0 likes
View SolutionFluid Mechanics and Surface Tension — Surface Tension · Frequently Asked Questions
1Are these Fluid Mechanics and Surface Tension questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Fluid Mechanics and Surface Tension Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.