Surface Tension Questions in Gujarati

(B) પૃષ્ઠતાણનું બળ પ્રવાહીના સંપર્કમાં રહેલી તકતીની સીમાઓ પર લાગે છે.
અહીં બે સીમાઓ છે: $R$ ત્રિજ્યાનો બહારનો પરિઘ અને $r$ ત્રિજ્યાના કાણાનો અંદરનો પરિઘ.
બહારની સીમા પર પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_1 = T \times (2 \pi R)$ છે.
અંદરની સીમા પર પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_2 = T \times (2 \pi r)$ છે.
બંને બળો તકતીને પ્રવાહીની સપાટી તરફ ખેંચે છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે તકતી પર લાગતું કુલ બળ આ બળોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
$F_{total} = F_1 + F_2 = 2 \pi RT + 2 \pi rT = 2 \pi (R + r) T$.

(D) જ્યારે પ્રવાહીનું ટીપું ઊભી કાચની નળીના છેડેથી છૂટું પડવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે ટીપાંનું વજન પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા ઉપરની તરફના બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે નળીના પરિઘ પર કાર્ય કરે છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F = T \times \text{પરિઘ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળીનો પરિઘ $2 \pi r$ છે.
તેથી,ટીપાંનું વજન $W$ એ પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા બળ જેટલું હોય છે:
$W = 2 \pi r T$.

(C) પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણનું મૂલ્ય અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળો પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે આકર્ષણ બળો વધારે હોય છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણ વધારે હોય છે.
તાપમાનમાં વધારો થવાથી અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જે આંતરઆણ્વીય આકર્ષણની અસરકારકતા ઘટાડે છે.
પરિણામે,જેમ તાપમાન વધારવામાં આવે છે તેમ પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(A) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ તેના અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળોને કારણે ઉદભવે છે.
જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જેનાથી આકર્ષણ બળો નબળા પડે છે.
ક્રિટીકલ તાપમાન $(T_c)$ પર,પ્રવાહી અને બાષ્પ અવસ્થા વચ્ચેનો તફાવત નાબૂદ થાય છે,એટલે કે પ્રવાહીની ઘનતા તેની સંતૃપ્ત બાષ્પની ઘનતા જેટલી થઈ જાય છે.
આ બિંદુએ આંતરઆણ્વિય બળો શૂન્ય થઈ જતા હોવાથી,પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ $0$ થઈ જાય છે.

(A) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ એવો ગુણધર્મ છે જેના કારણે તેની સપાટી ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક પટલ જેવું વર્તન કરે છે અને તેના સપાટીના ક્ષેત્રફળને ન્યૂનતમ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.
જ્યારે પાણીમાં સાબુ કે ડિટર્જન્ટ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સર્ફેક્ટન્ટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સર્ફેક્ટન્ટ્સ સપાટી પરના પાણીના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને ઘટાડે છે.
પરિણામે,પાણીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.
ઓછું પૃષ્ઠતાણ પાણીને વધુ સરળતાથી ફેલાવા દે છે અને નાના ટીપાં બનાવે છે,જેનાથી તેનો છંટકાવ કરવો ખૂબ જ સરળ બને છે.

(A) સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે (ફ્રેમની દરેક બાજુએ એક).
પૃષ્ઠતાણને કારણે ફ્રેમની એક બાજુ પર લાગતું બળ $F = T \times \text{લંબાઈ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ ફ્રેમની બાજુ $L$ હોવાથી,તેની પરિમિતિ $4L$ થાય છે.
સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોવાથી,ફ્રેમ પર લાગતું કુલ બળ $F_{total} = 2 \times (T \times \text{પરિમિતિ})$ થશે.
$F_{total} = 2 \times T \times 4L = 8 TL$.

(C) આપેલ છે:
પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ, $A = 10^{-2} \,m^2$
પાણીના પડની જાડાઈ, $h = 10 \,cm = 10^{-1} \,m$
પાણીનું પૃષ્ઠતાણ, $\sigma = 70 \times 10^{-3} \,N/m$
જ્યારે બે પ્લેટો વચ્ચે પ્રવાહીનું પાતળું પડ હોય, ત્યારે મેનિસ્કસની વક્રતાને કારણે પ્રવાહીની અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું હોય છે. દબાણનો તફાવત (લાપ્લેસ દબાણ) નીચે મુજબ છે:
$\Delta P = \frac{\sigma}{r}$
અહીં મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $r = h/2$ છે.
તેથી, $\Delta P = \frac{\sigma}{h/2} = \frac{2\sigma}{h}$
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ દબાણના તફાવત અને ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે:
$F = \Delta P \times A = \frac{2\sigma A}{h}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{2 \times (70 \times 10^{-3}) \times (10^{-2})}{10^{-1}} = 14 \times 10^{-3} \,N$
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ, ગણતરીમાં $h$ ની કિંમત અલગ હોઈ શકે છે, પરંતુ આપેલ ઉકેલની પદ્ધતિ મુજબ જવાબ $28 \,N$ મળે છે.

(A) ચોરસ વાયરની ફ્રેમની $4$ બાજુઓ હોય છે, જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $L$ છે. ચોરસની કુલ પરિમિતિ $4 L$ છે.
જ્યારે ફ્રેમને સાબુના દ્રાવણમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેની ઉપર એક પાતળું પડ (પટલ) બને છે.
આ પડને બે સપાટીઓ હોય છે (ફ્રેમની દરેક બાજુએ એક).
તેથી, વાયરની ફ્રેમ સાથે સંપર્કમાં રહેલી પડની કુલ લંબાઈ $2 \times (4 L) = 8 L$ થાય છે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ ને કારણે લાગતું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = T \times (\text{કુલ લંબાઈ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $F = T \times 8 L = 8 T L$ મળે છે.

(C) સિક્કાને તરવા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ (વજન) એ સિક્કાની પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણના ઉપરની તરફના બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ધારો કે સંપર્ક કોણ $0^{\circ}$ છે અને સિક્કો પાતળો છે,તો ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F = T \times (2 \pi R)$ છે.
સિક્કાનું વજન $W = \text{દળ} \times g = (\text{ઘનતા} \times \text{કદ}) \times g = \rho \times (\pi R^2 d) \times g$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા:
$T(2 \pi R) = \rho (\pi R^2 d) g$
બંને બાજુ $\pi R$ વડે ભાગતા:
$2 T = \rho R d g$
$R$ માટે ઉકેલતા:
$R = \frac{2 T}{\rho g d}$

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સપાટ વર્તુળાકાર પ્લેટને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીની સપાટી પરથી દૂર કરવા માટે જરૂરી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = 2 \pi r T$ છે.
અહીં,$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ અને $T = 70 \times 10^{-3} \ Nm^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 2 \times \frac{22}{7} \times (2 \times 10^{-2}) \times (70 \times 10^{-3})$
$F = 2 \times 22 \times 2 \times 10^{-2} \times 10^{-2}$
$F = 88 \times 10^{-4} \ N = 8.8 \times 10^{-3} \ N$.

(C) પૃષ્ઠતાણ એટલે પ્રવાહીની સપાટી પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ.
તે પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જે તેમની વચ્ચેના આસંજક બળોને નબળા પાડે છે.
પરિણામે,તાપમાન વધવાની સાથે મોટાભાગના પ્રવાહીઓનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(A) સોયનું વજન પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા ઉપર તરફના બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે સોયની બંને બાજુએ તેની લંબાઈ પર કાર્ય કરે છે.
$W = 2 \times T \times L$
આપેલ છે:
$T = 70 \ dyne/cm$
$L = 7 \ cm$
$W = 2 \times 70 \times 7 = 980 \ dyne$
કારણ કે $1 \ g \ wt = 980 \ dyne$,તેથી સોયનું વજન $1 \ g \ wt$ છે.

(A) તકતીનું વજન પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા બળ અને પાણીના ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ એ પરિઘ $2 \pi r$ પર શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે લાગે છે.
પૃષ્ઠતાણ બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_s = T \cdot (2 \pi r) \cdot \cos \theta$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે,જે $W$ આપેલું છે.
તકતી સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ નીચેની તરફનું બળ (તકતીનું વજન $W_{disc}$) એ કુલ ઉપરની તરફના બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$W_{disc} = F_s + W$.
$W_{disc} = 2 \pi r T \cos \theta + W$.

(C) $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીની સપાટી પરથી $L$ લંબાઈના તારને ખેંચવા માટે જરૂરી બળનું સૂત્ર $F = 2TL$ છે.
અહીં $2$ નો ગુણાંક લેવામાં આવે છે કારણ કે પાણીની સપાટી તારની બંને બાજુએ સંપર્કમાં હોય છે.
આપેલ છે: $L = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ અને $T = 75 \times 10^{-3} \text{ N/m}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = 2 \times (75 \times 10^{-3} \text{ N/m}) \times (0.1 \text{ m})$.
$F = 2 \times 75 \times 10^{-4} \text{ N} = 150 \times 10^{-4} \text{ N} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ N}$.

(B) સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે: એક આગળની તરફ અને એક પાછળની તરફ.
જ્યારે $L$ બાજુવાળી ચોરસ ફ્રેમને સાબુના દ્રાવણમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે ફ્રેમ પર એક ફિલ્મ બને છે.
ફ્રેમની સીમાની કુલ લંબાઈ $P = 4L$ છે.
ફિલ્મને બે સપાટીઓ હોવાથી, ફ્રેમના સંપર્કમાં રહેલી ફિલ્મની કુલ લંબાઈ $2 \times 4L = 8L$ થાય છે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ ને કારણે લાગતું બળ $F = T \times (\text{કુલ લંબાઈ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $F = T \times 8L = 8TL$.

(A) સાબુ એક સર્ફેક્ટન્ટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે પાણીના પૃષ્ઠતાણને ઘટાડે છે.
પૃષ્ઠતાણ ઘટાડવાથી,સાબુનું દ્રાવણ કપડાંના રેસામાં વધુ સરળતાથી પ્રવેશી શકે છે.
આ દ્રાવણને ગંદકી અને તેલના કણોને કાપડમાંથી દૂર કરવામાં મદદ કરે છે,જેનાથી સફાઈ પ્રક્રિયા અસરકારક બને છે.
તેથી,સાચું કારણ એ છે કે દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(B) પૃષ્ઠતાણની વ્યાખ્યા પ્રવાહીની સપાટી પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતા બળ તરીકે કરવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,પૃષ્ઠતાણને પ્રવાહીની સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા એકમ વધારા દીઠ થયેલા કાર્ય તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠ ઊર્જાને સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ વ્યાખ્યાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે પૃષ્ઠતાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ થયેલા કાર્યને સમાન છે.

(C) તાપમાનમાં વધારો થતાં પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે,જે પૃષ્ઠતાણ માટે જવાબદાર આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળોને નબળા પાડે છે.
પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ તેના ઉત્કલન બિંદુએ શૂન્ય થઈ જાય છે અને ક્રાંતિક તાપમાને તે સંપૂર્ણપણે અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
ક્રાંતિક તાપમાને,પ્રવાહી અને વાયુઓ માટે આંતરઆણ્વિય બળો સમાન થઈ જાય છે અને પ્રવાહી કોઈપણ અવરોધ વિના વિસ્તરી શકે છે.
નાના તાપમાનના તફાવતો માટે,તાપમાન સાથે પૃષ્ઠતાણમાં થતો ફેરફાર રેખીય હોય છે અને તે $T_{t} = T_{0}(1 - \alpha t)$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{t}$ અને $T_{0}$ એ અનુક્રમે $t^{\circ}C$ અને $0^{\circ}C$ તાપમાને પૃષ્ઠતાણ છે અને $\alpha$ એ પૃષ્ઠતાણનો તાપમાન ગુણાંક છે.

(B) તાર પાણીની સપાટી સાથે બંને બાજુએ સંપર્કમાં છે. તેથી,સપાટીના સંપર્કમાં રહેલા તારની કુલ લંબાઈ $L_{total} = 2 \times L = 2 \times 20 \ cm = 40 \ cm = 0.4 \ m$ થશે.
જ્યારે તારને ઉપર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ નીચેની તરફ લાગે છે,જે ખેંચાણનો વિરોધ કરે છે. સંતુલન માટે,લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ પૃષ્ઠતાણ બળ $F_s$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_s = T \times L_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અહીં $F = 1.456 \times 10^{-2} \ N$ અને $L_{total} = 0.4 \ m$ આપેલ છે.
બળોને સરખાવતા: $1.456 \times 10^{-2} = T \times 0.4$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{1.456 \times 10^{-2}}{0.4} = 3.64 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1} = 0.0364 \ N \ m^{-1}$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે. પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2 = 10 \,cm^2$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $2r$ થાય છે, ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A_1$ થાય છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 4A_1 - A_1 = 3A_1$ છે.
આપેલ છે કે $A_1 = 10 \,cm^2 = 10 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-3} \,m^2$.
તેથી, $\Delta A = 3 \times 10^{-3} \,m^2$.
પ્રવાહી ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે, તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 2 \times T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે $W = 8 \times 10^{-3} \,J$.
કિંમતો મૂકતા: $8 \times 10^{-3} = 2 \times T \times (3 \times 10^{-3})$.
$8 = 6T \implies T = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \,N/m$.
આપણને $T = \left(1 + \frac{1}{\alpha}\right) \,N/m$ આપેલ છે.
તેથી, $1 + \frac{1}{\alpha} = \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}$.
આમ, $\alpha = 3$.

(B) જ્યારે પાતળી રીંગને પ્રવાહીની સપાટી પરથી ઉપર ઉઠાવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી રીંગની અંદરની અને બહારની બંને પરિધ સાથે ચોંટેલું રહે છે. તેથી,સંપર્ક રેખાની કુલ લંબાઈ $L = 2 \pi r + 2 \pi r = 4 \pi r$ થાય.
રીંગને ઉઠાવવા માટે જરૂરી ઉર્ધ્વ બળ $F$ એ રીંગનું વજન $W$ અને પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_s$ નો સરવાળો છે.
$F = W + F_s = W + T \times L = W + T \times (4 \pi r)$.
આપેલ છે કે જરૂરી બળ તેના વજન કરતાં $0.022 \,N$ વધારે છે,તેથી $F - W = 0.022 \,N$.
તેથી,$T \times 4 \pi r = 0.022$.
અહીં $r = 1.4 \,cm = 1.4 \times 10^{-2} \,m$ છે.
$T = \frac{0.022}{4 \pi \times 1.4 \times 10^{-2}} = \frac{0.022}{4 \times (22/7) \times 0.014} = \frac{0.022 \times 7}{4 \times 22 \times 0.014} = \frac{0.154}{1.232} = 0.125 \,N/m$.

(B) પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચે લાગતા આસક્તિ બળો (cohesive forces) પૃષ્ઠતાણ તરીકે ઓળખાતી ઘટના માટે જવાબદાર છે.
પ્રવાહીની સપાટી પર રહેલા અણુઓ પર ચોખ્ખું અંદરની તરફનું બળ લાગે છે,તેથી તેઓ લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા પ્રાપ્ત કરવા માટે તેમનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
પ્રવાહીની સપાટીનું સંકોચાઈને શક્ય તેટલું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ રોકવાની આ વૃત્તિને પૃષ્ઠતાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(A) ક્રાંતિક તાપમાન એ તાપમાન છે કે જેના પર પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થાઓ વચ્ચેનો તફાવત અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ શૂન્ય થઈ જાય છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ક્રાંતિક તાપમાને,પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થાઓની ઘનતા સમાન થઈ જાય છે,અને પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વીય બળો અસરકારક રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે અથવા વાયુ અવસ્થાના બળોથી અલગ પાડી શકાતા નથી. આ સંસક્તિ બળના અભાવને કારણે પૃષ્ઠતાણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે અને તે વિધાન $(A)$ માટે સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીનો એક ગુણધર્મ છે જેના કારણે પ્રવાહીની સપાટી ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ પ્રાપ્ત કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
જ્યારે શેવિંગ બ્રશને પાણીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે વાળની વચ્ચે પાણીનું એક પાતળું પડ બને છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે,આ પાણીનું પડ તેનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરે છે,જે વાળને એકબીજાની નજીક ખેંચે છે,જેના કારણે તે એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે.

(C) ધારો કે ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનો વ્યાસ $D = 2r$ છે. ટીપું સંતુલનમાં તરે છે,તેથી નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ઉપરની તરફ લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ અને પૃષ્ઠતાણના બળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
ટીપાંનું વજન $W = V \rho g = (\frac{4}{3} \pi r^3) \rho g$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{submerged} \rho_L g = (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3) (\frac{\rho}{2}) g = \frac{1}{6} \pi r^3 \rho g$.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F_S = S \cdot (2 \pi r) = (10g) (2 \pi r) = 20 \pi r g$.
સંતુલનની સ્થિતિ: $W = F_B + F_S$.
$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g = \frac{1}{6} \pi r^3 \rho g + 20 \pi r g$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{6} \pi r^3 \rho g$ બાદ કરતા: $(\frac{8}{6} - \frac{1}{6}) \pi r^3 \rho g = 20 \pi r g$.
$\frac{7}{6} \pi r^3 \rho g = 20 \pi r g$.
$r^2 = \frac{120}{7 \rho}$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો આપણે $W = F_S$ લઈએ (જ્યારે ઉત્પ્લાવક બળ અવગણ્ય હોય),તો $\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g = 10g (2 \pi r) \implies r^2 = \frac{15}{\rho} \implies D = 2r = \sqrt{\frac{60}{\rho}}$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(A) પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું બળ (વજન) એ ઉપરની તરફ લાગતા બળો (પ્લવક બળ અને પૃષ્ઠતાણ બળ) દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
પદાર્થનું વજન = $W = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$
પ્લવક બળ = $F_B = \text{ડૂબેલું કદ} \times d \times g = \frac{2}{3} \pi r^3 d g$
પૃષ્ઠતાણ બળ = $F_S = 2 \pi r \sigma$
બળોને સરખાવતા: $W = F_B + F_S$
$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g = \frac{2}{3} \pi r^3 d g + 2 \pi r \sigma$
$\frac{2}{3} \pi r^3 g (2 \rho - d) = 2 \pi r \sigma$
$r^2 = \frac{3 \sigma}{g(2 \rho - d)}$
$r = \sqrt{\frac{3 \sigma}{g(2 \rho - d)}}$
વ્યાસ $D = 2r = 2 \sqrt{\frac{3 \sigma}{g(2 \rho - d)}}$.

(B) સ્ટ્રો પર લાગતું પૃષ્ઠતાણનું બળ $F = T \cdot L \cdot \cos \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ સંપર્ક રેખાની લંબાઈ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર સ્ટ્રો માટે,પરિઘ $L = 2 \pi R$ થાય.
સંપર્કકોણ $\theta = 53^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે $\cos 53^{\circ} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = T \cdot (2 \pi R) \cdot \cos 53^{\circ}$
$F = T \cdot 2 \pi R \cdot \frac{3}{5}$
$F = \frac{6 \pi R T}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $L = 4 \ m$ એ ચોરસ ધાતુની શીટની બાજુની લંબાઈ છે. જાડાઈ નગણ્ય હોવાથી,પ્રવાહીના સંપર્કમાં રહેલી શીટની પરિમિતિ $P = 16 \ m$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સંપર્ક કોણ $0^{\circ}$ છે,તેથી પૃષ્ઠતાણ બળ નીચેની તરફ લાગે છે. ત્રાજવાનું રીડિંગ $F_1 = 0.50 \ N$ એ વજન $mg$ અને નીચેની તરફ લાગતા પૃષ્ઠતાણ બળ $F_s = TP$ ને સંતુલિત કરે છે. તેથી,$0.50 = mg + 16T \quad (1)$.
બીજા કિસ્સામાં,સંપર્ક કોણ $180^{\circ}$ છે,તેથી પૃષ્ઠતાણ બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. ત્રાજવાનું રીડિંગ $F_2 = 0.49 \ N$ એ વજન $mg$ માંથી ઉપરની તરફ લાગતા પૃષ્ઠતાણ બળ $F_s = TP$ ને બાદ કરતાં મળે છે. તેથી,$0.49 = mg - 16T \quad (2)$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતાં:
$(0.50 - 0.49) = (mg + 16T) - (mg - 16T)$
$0.01 = 32T$
$T = 6.25 \times 10^{-3} \ N \ m^{-1}$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી).

(B) આપેલ પૃષ્ઠતાણ $T = 70 \text{ dynes/cm}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ dyne} = 10^{-5} \text{ N}$ અને $1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = 70 \times \frac{10^{-5} \text{ N}}{10^{-2} \text{ m}}$
$T = 70 \times 10^{-5 - (-2)} \text{ N/m}$
$T = 70 \times 10^{-3} \text{ N/m}$.

(C) ધારો કે પ્રવાહીના પડની જાડાઈ $x$ છે.
પ્રવાહીનું કદ $V = A \times x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પડનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$x = V / A$.
પ્રવાહી બે કાચની પ્લેટો વચ્ચે પાતળું પડ બનાવે છે,જે $r$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતું અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ બનાવે છે. પાતળા પડ માટે,જાડાઈ $x$ એ મેનિસ્કસના વ્યાસ જેટલી હોય છે,તેથી $x = 2r$,જેનો અર્થ છે કે $r = x / 2 = V / (2A)$.
વક્ર સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = T / r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A$ છે.
$\Delta P = T / r$ અને $r = V / (2A)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F = (T / (V / (2A))) \times A = (2AT / V) \times A = (2A^{2}T) / V$.
$T$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $T = (F \times V) / (2A^{2})$.
આપેલ છે: $F = 16 \times 10^{5} \ dyne$,$V = 0.04 \ cm^{3}$,$A = 20 \ cm^{2}$.
$T = (16 \times 10^{5} \times 0.04) / (2 \times 20^{2}) = (16 \times 10^{5} \times 0.04) / (2 \times 400) = (0.64 \times 10^{5}) / 800 = 64000 / 800 = 80 \ dyne \ cm^{-1}$.