Surface Tension Questions in Gujarati

(B) પૃષ્ઠતાણ એટલે પ્રવાહીની સપાટી પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ.
ગાણિતિક રીતે,$\text{પૃષ્ઠતાણ} = \frac{\text{બળ}}{\text{લંબાઈ}}$.
$SI$ પદ્ધતિમાં,બળનો એકમ $Newton$ $(N)$ છે અને લંબાઈનો એકમ $metre$ $(m)$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણનો $SI$ એકમ $Newton/metre$ $(N/m)$ થાય છે.

(A) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે ઉદ્ભવતો ગુણધર્મ છે.
જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિજ ઉર્જા વધે છે,જે આસંજક બળોને નબળા પાડે છે.
ક્રાંતિક તાપમાને,પ્રવાહી અવસ્થા અને બાષ્પ અવસ્થા વચ્ચેનો તફાવત અદ્રશ્ય થઈ જાય છે અને પ્રવાહીની ઘનતા બાષ્પની ઘનતા જેટલી થઈ જાય છે.
પરિણામે,આસંજક બળો નહિવત બની જાય છે અને પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટીને $0$ થઈ જાય છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે,પ્રવાહીની સપાટી આપેલ કદ માટે તેનું પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
બધા ભૌમિતિક આકારોમાં,નિશ્ચિત કદ માટે ગોળાનું પૃષ્ઠફળ સૌથી ઓછું હોય છે.
તેથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળ સાથે સંકળાયેલી સ્થિતિ ઊર્જાને ઘટાડવા માટે,વરસાદના ટીપાં કુદરતી રીતે ગોળાકાર આકાર ધારણ કરે છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ જેવા બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીમાં,પ્રવાહીના ટીપાંની સપાટી પર કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ પૃષ્ઠતાણ છે.
પૃષ્ઠતાણ આપેલ કદ માટે પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવાનું કાર્ય કરે છે.
નિશ્ચિત કદ માટે,ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણને કારણે પ્રવાહીનું ટીપું ગોળાકાર આકાર ધારણ કરે છે.

(D) સાબુના અણુઓ ઉભયધર્મી (amphiphilic) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની પાસે જલરાગી (hydrophilic) શીર્ષ અને જલવિરાગી (hydrophobic) પૂંછડી હોય છે. જ્યારે સાબુને પાણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ ઘટાડે છે. પૃષ્ઠતાણમાં આ ઘટાડો પાણીને કાપડના રેસાઓમાં વધુ અસરકારક રીતે પ્રવેશવા દે છે. સાબુના અણુઓની જલવિરાગી પૂંછડીઓ ગ્રીસ અને ધૂળના કણો સાથે જોડાઈ જાય છે,જ્યારે જલરાગી શીર્ષ પાણીમાં રહે છે,જેનાથી ગંદકી દૂર થાય છે અને પાણીના પ્રવાહ સાથે ધોવાઈ જાય છે.

(A) પિન અથવા સોય પૃષ્ઠતાણ (Surface tension) ની ઘટનાને કારણે પાણીની સપાટી પર તરી શકે છે.
પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીની સપાટીનો એવો ગુણધર્મ છે જે તેના અણુઓના આસંજક બળને કારણે બાહ્ય બળનો સામનો કરવાની ક્ષમતા આપે છે.
જ્યારે સોયને કાળજીપૂર્વક પાણીની સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સપાટી એક ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક પટલ જેવું કામ કરે છે,જે સોયના વજનને ટેકો આપે છે અને તેને ડૂબતા અટકાવે છે.

(B) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ તેના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જેના કારણે અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે.
આંતર-આણ્વીય અંતરમાં થતો આ વધારો અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને નબળા પાડે છે.
પૃષ્ઠતાણ આ આસંજક બળોની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,તાપમાન વધતા પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(D) જેમ તાપમાન વધે છે તેમ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.
ક્રાંતિક તાપમાન $(T_c)$ પર,પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થા વચ્ચેનો તફાવત અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને પૃષ્ઠતાણ શૂન્ય થઈ જાય છે.
પાણી માટે,ક્રાંતિક તાપમાન આશરે $374^\circ C$ (કેટલાક સંદર્ભોમાં $370^\circ C$ તરીકે દર્શાવેલ છે) અથવા $647 \, K$ છે.
તેથી,$370^\circ C$ (જે $643 \, K$ છે) તાપમાને પાણીનું પૃષ્ઠતાણ શૂન્ય હોય છે.
$370^\circ C$ એ $643 \, K$ ને સમાન હોવાથી,જે $647 \, K$ કરતા થોડું ઓછું છે,તેથી વિકલ્પ $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) પ્રવાહીના ટીપાંનો આકાર પૃષ્ઠતાણના બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વચ્ચેની સ્પર્ધા દ્વારા નક્કી થાય છે.
પૃષ્ઠતાણ પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવા માટે કાર્ય કરે છે,જે ટીપાંને ગોળાકાર આકારમાં રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ટીપાંને નીચેની તરફ ખેંચીને તેનો આકાર બદલવા માટે કાર્ય કરે છે.
નાના ટીપાં માટે,સપાટી અને કદનો ગુણોત્તર ઊંચો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પૃષ્ઠતાણનું બળ પ્રમાણમાં નાના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે પૂરતું મજબૂત હોય છે,તેથી ટીપું ગોળાકાર રહે છે.
મોટા ટીપાં માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (જે દળ/કદ પર આધાર રાખે છે) નોંધપાત્ર રીતે વધે છે,જે અંતે પૃષ્ઠતાણના બળ પર પ્રભુત્વ મેળવે છે અને ટીપાંને ફૂલેલું અથવા ચપટું બનાવે છે.

(C) ચોરસ ફ્રેમને $4$ બાજુઓ હોય છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $L$ છે.
જ્યારે ફ્રેમને પ્રવાહીમાં ડુબાડીને બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્રેમ પર એક પાતળું પડ (પટલ) બને છે.
આ પડને બે સપાટીઓ હોય છે (ફ્રેમની બંને બાજુએ એક-એક).
$L$ લંબાઈની એક બાજુ પર પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F = 2 \times (T \times L)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $2$ નો ગુણાંક પડની બે સપાટીઓને દર્શાવે છે.
ફ્રેમને $4$ બાજુઓ હોવાથી,ફ્રેમ પર લાગતું કુલ બળ $F_{total} = 4 \times (2 TL) = 8 TL$ થશે.

(D) પૃષ્ઠતાણ $T$ એ વર્તુળાકાર પ્લેટના પરિઘ પર કાર્ય કરે છે.
જ્યારે પ્લેટને પાણીની સપાટી પરથી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણને દૂર કરવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ સૂત્ર $F = T \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ સંપર્કની અસરકારક લંબાઈ છે.
વર્તુળાકાર પ્લેટ માટે,પરિઘ $L = 2\pi R$ છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 5\, cm$ અને પૃષ્ઠતાણ $T = 75\, dynes/cm$.
કિંમતો મૂકતા: $F = 75 \times (2 \times \pi \times 5)$.
$F = 75 \times 10\pi = 750\pi\, dynes$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પૃષ્ઠતાણ એ એક એવી ઘટના છે જે ફક્ત પ્રવાહી અને અન્ય કોઈ કલા (જેમ કે હવા અથવા અન્ય પ્રવાહી) વચ્ચેના સંપર્ક સપાટી પર જ જોવા મળે છે. તે પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે,જે સપાટી પરના અન્ય બળો કરતા વધુ મજબૂત હોય છે,જેના કારણે સપાટી એક ખેંચાયેલી સ્થિતિસ્થાપક પટલ જેવું વર્તન કરે છે. તેથી,પૃષ્ઠતાણનો ગુણધર્મ પ્રવાહીમાં જોવા મળે છે.

(D) સામાન્ય રીતે તાપમાન વધતા પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે. આનું કારણ એ છે કે તાપમાન વધવાથી અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જેનાથી આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો નબળા પડે છે. આ સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $T = T_0(1 - \alpha t)$,જ્યાં $T$ એ $t$ તાપમાને પૃષ્ઠતાણ છે,$T_0$ એ $0^{\circ}C$ તાપમાને પૃષ્ઠતાણ છે,અને $\alpha$ એ અચળાંક છે.

(A) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ તેમાં ઓગળેલા પદાર્થોના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે પાણીમાં મીઠું $(NaCl)$ જેવા અત્યંત દ્રાવ્ય પદાર્થો ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે દ્રાવ્યના કણો અને પાણીના અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળો પ્રવાહીની અંદરના સંસક્તિ બળોમાં વધારો કરે છે.
પરિણામે,પાણીનું પૃષ્ઠતાણ વધે છે.

(C) જ્યારે કોઈ તારને પ્રવાહીની સપાટી પરથી બહાર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણ તારની બંને બાજુઓ પર કાર્ય કરે છે. તેથી,જે કુલ લંબાઈ પર પૃષ્ઠતાણ કાર્ય કરે છે તે $2l$ છે.
પૃષ્ઠતાણને દૂર કરવા માટે જરૂરી બળ $F$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$F = T \times (2l)$
જ્યાં:
$F = 728 \, dynes$
$l = 5.0 \, cm$
પૃષ્ઠતાણ $T$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$T = \frac{F}{2l}$
$T = \frac{728}{2 \times 5.0}$
$T = \frac{728}{10}$
$T = 72.8 \, dyne/cm$
આમ,પાણીનું પૃષ્ઠતાણ $72.8 \, dyne/cm$ છે.

(D) સામાન્ય રીતે તાપમાન વધવાની સાથે પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે. આનું કારણ એ છે કે તાપમાન વધવાથી અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે,જેનાથી પૃષ્ઠતાણ માટે જવાબદાર આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો નબળા પડે છે. આપેલા વિકલ્પો $(4 \ ^oC, 25 \ ^oC, 50 \ ^oC, 75 \ ^oC)$ માંથી,પૃષ્ઠતાણ સૌથી વધુ તાપમાને એટલે કે $75 \ ^oC$ પર ન્યૂનતમ હશે.

(C) જ્યારે બે કાચની પ્લેટો વચ્ચે પાણીનું પાતળું પડ હોય,ત્યારે પાણી કિનારીઓ પર અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ બનાવે છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે,પ્રવાહીના સ્તરની અંદરનું દબાણ બહારના વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું થઈ જાય છે.
આ દબાણનો તફાવત પ્લેટો વચ્ચે એક મજબૂત આકર્ષણ બળ પેદા કરે છે,જેના કારણે તેમને અલગ કરવી મુશ્કેલ બને છે.

(D) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીનો એક ગુણધર્મ છે જે અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
તે આપેલા કદ માટે પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવા માટે કાર્ય કરે છે.
બધા ભૌમિતિક આકારોમાં,નિશ્ચિત કદ માટે ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,પ્રવાહીના નાના ટીપાં તેમની પૃષ્ઠ ઊર્જા ઘટાડવા માટે કુદરતી રીતે ગોળાકાર આકાર ધારણ કરે છે.

(C) તકતી સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ અધોદિશાનું બળ (તકતીનું વજન) એ કુલ ઉર્ધ્વદિશાના બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
કુલ ઉર્ધ્વદિશાનું બળ નીચે મુજબ છે:
$1$. તકતી પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ,જે સ્થાનાંતરિત પાણીના વજન $W$ જેટલું છે.
$2$. તકતીના પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણ બળનો શિરોલંબ ઘટક.
પૃષ્ઠતાણ બળ $F_s$ એ $2\pi r$ પરિઘ પર શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે લાગે છે. આ બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_{s,v} = T \times (2\pi r) \times \cos \theta$ છે.
તેથી,ધાતુની તકતીનું વજન $Mg = W + 2\pi rT \cos \theta$ થાય.

(A) તાર પાણીની સપાટી સાથે બંને બાજુએ સંપર્કમાં છે. તેથી,તારના સંપર્કમાં રહેલી પાણીની સપાટીની કુલ લંબાઈ $L = 2l$ છે,જ્યાં $l = 10\, cm = 0.1\, m$ છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F = T \times (2l)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે $F = 2 \times 10^{-2}\, N$ અને $l = 0.1\, m$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{-2} = T \times (2 \times 0.1)$.
$2 \times 10^{-2} = T \times 0.2$.
$T = \frac{2 \times 10^{-2}}{0.2} = \frac{0.02}{0.2} = 0.1\, N/m$.

(B) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ તેના તાપમાનમાં વધારો થતાં ઘટે છે.
જ્યારે પાણીને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે,જે તેને કપડાંના રેસામાં ઊંડે સુધી પ્રવેશવા અને ગંદકી તથા તેલના ડાઘાને અસરકારક રીતે દૂર કરવામાં મદદ કરે છે.
તેથી,ગરમ પાણીમાં કપડાં ધોવા સરળ છે.

(B) જ્યારે કપૂરના કણોને પાણીની સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે થોડા ઓગળે છે,જે કણની આસપાસના પાણીના પૃષ્ઠતાણને ઘટાડે છે.
આસપાસના પાણીનું પૃષ્ઠતાણ વધારે હોવાથી,તે કપૂરના કણને વિવિધ દિશાઓમાં ખેંચે છે,જેના કારણે તે સપાટી પર અનિયમિત રીતે ગતિ કરે છે અથવા 'નાચે' છે.
તેથી,આ ઘટના મુખ્યત્વે પૃષ્ઠતાણના ગુણધર્મને કારણે થાય છે.

(A) એક પ્રવાહીનું બીજા સપાટી પર ફેલાવવું એ સંસક્તિ (cohesive) અને આસક્તિ (adhesive) બળો પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે તેલને પાણી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેલ અને પાણીના અણુઓ વચ્ચેનું આસક્તિ બળ તેલના અણુઓ વચ્ચેના સંસક્તિ બળ કરતા વધારે હોય છે,જેના કારણે તે ફેલાય છે.
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે પાણીને તેલ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીનું સંસક્તિ બળ (તેના ઉચ્ચ પૃષ્ઠતાણને કારણે) પાણી અને તેલ વચ્ચેના આસક્તિ બળ કરતા ઘણું વધારે હોય છે.
તેથી,પાણી ફેલાવાને બદલે ટીપાં બનાવવાનું વલણ ધરાવે છે,કારણ કે પાણીનું પૃષ્ઠતાણ તેલ કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધારે છે.

(D) સીસાના છરા બનાવવા માટે પ્રવાહી સીસાના પૃષ્ઠતાણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ થાય છે.
આ પ્રક્રિયામાં,પીગળેલા સીસાને એક ઊંચા ટાવર પરથી ચાળણી દ્વારા પસાર કરવામાં આવે છે અને તેને પાણીમાં પડવા દેવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે,પ્રવાહીની સપાટી આપેલ કદ માટે તેનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે,જેના પરિણામે નીચે પડતી વખતે પીગળેલા સીસાના કણો ગોળાકાર આકાર ધારણ કરે છે.
આ ટીપાં પાણીમાં પડે તે પહેલાં આ ગોળાકાર સ્વરૂપમાં જ જામી જાય છે,જેનાથી ગોળાકાર સીસાના છરા તૈયાર થાય છે.

(D) લાકડીની એક બાજુ પર પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F = T \times l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $l$ એ લાકડીની લંબાઈ છે.
કારણ કે લાકડીની બે બાજુઓ છે (અથવા કહી શકાય કે પૃષ્ઠતાણ લાકડીની લંબાઈની બંને બાજુઓ પર કાર્ય કરે છે),પરિણામી બળ એ બંને બાજુઓ પર લાગતા બળોનો તફાવત છે.
ધારો કે $T_1 = 0.07 \, N/m$ અને $T_2 = 0.06 \, N/m$.
પરિણામી બળ $F_{net} = (T_1 - T_2) \times l$.
કિંમતો મૂકતા: $F_{net} = (0.07 - 0.06) \times 2$.
$F_{net} = 0.01 \times 2 = 0.02 \, N$.

(A) જ્યારે ભાગ $A$ માં રહેલું સાબુનું પડ પિન વડે તોડવામાં આવે છે,ત્યારે ભાગ $B$ માં બાકી રહેલા પડનું પૃષ્ઠતાણ દોરા પર કાર્ય કરે છે.
પૃષ્ઠતાણ હંમેશા પ્રવાહીના પડના પૃષ્ઠફળને ન્યૂનતમ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.
ભાગ $A$ માંથી પડ દૂર થઈ જવાથી,ભાગ $B$ માં રહેલું પડ દોરાને બહારની તરફ એટલે કે $A$ ની બાજુ ખેંચે છે.
પરિણામે,બાકી રહેલા પડનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે દોરો વર્તુળાકાર આકાર ધારણ કરે છે,જેના કારણે દોરો કાણું પાડેલા ભાગ $A$ તરફ અંતર્ગોળ દેખાય છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સપાટ ગોળાકાર પ્લેટને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીની સપાટી પરથી ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = 2\pi rT$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 2 \, cm$ અને પૃષ્ઠતાણ $T = 70 \, dyne/cm$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 2 \times \pi \times 2 \times 70$
$F = 280\pi \, dyne$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણને સમતાપી સ્થિતિમાં પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ કરવા પડતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,પૃષ્ઠતાણ $T$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{W}{\Delta A}$
જ્યાં $W$ એ અચળ તાપમાને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\Delta A$ જેટલું વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય છે.

(A) જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ તેના અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે,જે આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળોને નબળા પાડે છે.
પૃષ્ઠતાણ એ આ આસંજક બળોનું પરિણામ છે. જેમ તાપમાન ઉત્કલન બિંદુની નજીક પહોંચે છે,તેમ ઉષ્મીય ગતિ એટલી તીવ્ર બની જાય છે કે સપાટી પરના અણુઓ પર લાગતું ચોખ્ખું આંતરિક બળ નાબૂદ થઈ જાય છે.
ઉત્કલન બિંદુએ,પ્રવાહી બાષ્પ અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે,અને સપાટી તથા અંદરના ભાગ વચ્ચેનો તફાવત દૂર થાય છે.
તેથી,ઉત્કલન બિંદુએ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ શૂન્ય થઈ જાય છે.

(B) સાબુના ફિલ્મનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $W = T \times \Delta A_{total}$ છે.
સાબુના ફિલ્મને બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A_{total} = 2 \times (A_{final} - A_{initial})$ થાય.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_i = 10 \, cm \times 6 \, cm = 60 \, cm^2 = 60 \times 10^{-4} \, m^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_f = 10 \, cm \times 11 \, cm = 110 \, cm^2 = 110 \times 10^{-4} \, m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = (110 - 60) \times 10^{-4} \, m^2 = 50 \times 10^{-4} \, m^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A_{total} = 2 \times 50 \times 10^{-4} \, m^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$.
આપેલ છે કે $W = 3 \times 10^{-4} \, J$.
$W = T \times \Delta A_{total}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{W}{\Delta A_{total}} = \frac{3 \times 10^{-4}}{10^{-2}} = 3 \times 10^{-2} \, N/m$ મળે છે.

(A) સાબુના પડનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A \times 2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $2$ એ સાબુના પડની બે સપાટીઓ દર્શાવે છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 10\;cm \times 6\;cm = 60\;cm^2 = 60 \times 10^{-4}\;m^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 10\;cm \times 11\;cm = 110\;cm^2 = 110 \times 10^{-4}\;m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (110 - 60) \times 10^{-4}\;m^2 = 50 \times 10^{-4}\;m^2$.
આપેલ છે $W = 2 \times 10^{-4}\;J$.
સૂત્ર $W = 2T \Delta A$ નો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{W}{2 \Delta A}$ મળે.
$T = \frac{2 \times 10^{-4}}{2 \times (50 \times 10^{-4})} = \frac{1}{50} = 0.02\;N/m = 2 \times 10^{-2}\;N/m$.

(B) જ્યારે પ્રવાહીનું ટીપું ઉભી નળીમાંથી છૂટું પડવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે ટીપાંનું વજન $W$ એ નળીની પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણના બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F$ એ $F = T \times \text{પરિઘ} = T \times (2\pi r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંપર્કકોણ શૂન્ય હોવાથી,આ બળ નળીની દીવાલની સાથે ઉર્ધ્વ દિશામાં લાગે છે.
ટીપું છૂટું પડે તે ક્ષણે,ટીપાંનું વજન $W$ એ આ પૃષ્ઠતાણ બળ જેટલું હોય છે.
તેથી,$W = 2\pi r T$.

(B) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ $(T)$ તાપમાનમાં વધારો થવાથી ઘટે છે. તાપમાનના નાના ગાળા માટે,આ ફેરફાર આશરે રેખીય હોય છે અને તેને નીચેના સંબંધ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે: $T_t = T_0(1 - \alpha t)$,જ્યાં $T_t$ એ $t$ તાપમાને પૃષ્ઠતાણ છે,$T_0$ એ $0 \ ^\circ\text{C}$ તાપમાને પૃષ્ઠતાણ છે,અને $\alpha$ એ ધન અચળાંક છે.
આ સમીકરણ ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,જે આલેખ તાપમાનમાં વધારા સાથે પૃષ્ઠતાણમાં રેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે તે સાચો છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $B$ રેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે.

(D) પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F = T \times L$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ સળીની લંબાઈ છે.
પાણી દ્વારા એક બાજુ પર લાગતું બળ $F_1 = T_1 \times L = 0.07 \times 2 = 0.14 \ N$ છે.
સાબુના દ્રાવણ દ્વારા બીજી બાજુ પર લાગતું બળ $F_2 = T_2 \times L = 0.06 \times 2 = 0.12 \ N$ છે.
સળી પર લાગતું પરિણામી બળ આ બંને બળોનો તફાવત છે:
$F_{net} = F_1 - F_2 = 0.14 \ N - 0.12 \ N = 0.02 \ N$.

(A) વક્રભાગની લંબાઈ $L_c = \frac{\pi (a + b)}{2}$ છે.
સમતલ ભાગની લંબાઈ $L_f = 2b$ છે.
વક્રભાગ પર લાગતું પૃષ્ઠતાણબળ $F_c = T \times L_c = T \times \frac{\pi (a + b)}{2}$ છે.
સમતલ ભાગ પર લાગતું પૃષ્ઠતાણબળ $F_f = T \times L_f = T \times 2b$ છે.
વક્રભાગ પરના બળ અને સમતલ ભાગ પરના બળનો ગુણોત્તર:
$Ratio = \frac{F_c}{F_f} = \frac{T \times \frac{\pi (a + b)}{2}}{T \times 2b} = \frac{\pi (a + b)}{4b}$.

(B) પ્રવાહીની ફિલ્મની બે સપાટીઓ (આગળ અને પાછળ) હોય છે. પૃષ્ઠતાણનું બળ તાર $CD$ ની બંને બાજુએ લંબાઈ $l$ પર લાગે છે.
તેથી,પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું કુલ ઉપરની તરફનું બળ $F = T \times l + T \times l = 2Tl$ થાય.
તાર $CD$ સમતોલનમાં રહે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આ ઉપરની તરફના પૃષ્ઠતાણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$mg = 2Tl$
$m = \frac{2Tl}{g}$

(D) પ્રવાહીની ફિલ્મ ખેંચવા માટે થયેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહીની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A_{total} = 2 \times (A_2 - A_1)$ થાય છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 4 \, cm \times 2 \, cm = 8 \, cm^2 = 8 \times 10^{-4} \, m^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 5 \, cm \times 4 \, cm = 20 \, cm^2 = 20 \times 10^{-4} \, m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 12 \, cm^2 = 12 \times 10^{-4} \, m^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A_{total} = 2 \times 12 \times 10^{-4} \, m^2 = 24 \times 10^{-4} \, m^2$.
આપેલ કાર્ય $W = 3 \times 10^{-4} \, J$.
$W = T \times \Delta A_{total}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $T = \frac{W}{\Delta A_{total}} = \frac{3 \times 10^{-4}}{24 \times 10^{-4}} = \frac{1}{8} = 0.125 \, N \, m^{-1}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, dyne = 10^{-5} \, N$ અને $1 \, cm = 10^{-2} \, m$ થાય છે.
પૃષ્ઠતાણને $CGS$ માંથી $MKS$ એકમમાં ફેરવવા માટે:
$70 \, dyne/cm = 70 \times \frac{10^{-5} \, N}{10^{-2} \, m}$
$= 70 \times 10^{-3} \, N/m$
$= 7 \times 10^{-2} \, N/m$.

(B) સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે,તેથી પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું કુલ ઉપરની તરફનું બળ $F = 2Tl$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $l$ એ સ્ટ્રોની લંબાઈ છે.
સ્ટ્રોને ટેકો આપવા માટે,સ્ટ્રોનું વજન આ બળ દ્વારા સંતુલિત હોવું જોઈએ: $mg = 2Tl$.
આપેલ છે: $T = 3 \times 10^{-2} \, N/m$,$l = 10 \, cm = 0.1 \, m$,અને ગણતરીની સરળતા માટે $g \approx 10 \, m/s^2$ લેતા.
$m = \frac{2Tl}{g} = \frac{2 \times (3 \times 10^{-2}) \times 0.1}{10} = \frac{0.6 \times 10^{-2}}{10} = 0.6 \times 10^{-3} \, kg$.
ગ્રામમાં ફેરવતા: $m = 0.6 \times 10^{-3} \times 10^3 \, g = 0.6 \, g$.

(B) દોરાના $\Delta l$ લંબાઈના એક નાના ભાગનો વિચાર કરો જે કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરે છે,જ્યાં $\Delta l = R\theta$ છે.
સાબુની ફિલ્મ દોરાની બંને બાજુએ પૃષ્ઠતાણને કારણે બળ લગાડે છે. ફિલ્મ ફક્ત બહારની બાજુએ હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $T$ છે. સાબુની ફિલ્મ માટે બે સપાટીઓ હોય છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $2T$ થાય છે.
$\Delta l$ લંબાઈના ભાગ પર લાગતું કુલ અંદરની તરફનું બળ $F_{net} = (2T) \Delta l = 2TR\theta$ છે.
આ બળ દોરામાં રહેલા તણાવ $F$ ના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $2F \sin(\theta/2) = 2TR\theta$.
નાના $\theta$ માટે,$\sin(\theta/2) \approx \theta/2$ લેતા,$2F(\theta/2) = 2TR\theta$ મળે છે.
$F\theta = 2TR\theta$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $F = 2RT$ મળે છે.

(B) જ્યારે પરપોટો છૂટો પડવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ નીચેની તરફ લાગતા પૃષ્ઠતાણના બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
પરપોટા પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B} = V \rho_{w} g = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{w} g$ છે.
પૃષ્ઠતાણ બળ $F_{S}$ એ $r$ ત્રિજ્યાના સંપર્ક વર્તુળના પરિઘ પર લાગે છે. આ બળ $F_{S} = T \times (2 \pi r) \times \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ત્રિજ્યા શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. $r << R$ હોવાથી,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{r}{R}$ થાય.
તેથી,$F_{S} = T \times 2 \pi r \times \frac{r}{R} = \frac{2 \pi T r^{2}}{R}$.
બળોને સરખાવતા: $\frac{2 \pi T r^{2}}{R} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{w} g$.
$r^{2}$ માટે ઉકેલતા: $r^{2} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{w} g \times \frac{R}{2 \pi T} = \frac{2 R^{4} \rho_{w} g}{3 T}$.
તેથી,$r = R^{2} \sqrt{\frac{2 \rho_{w} g}{3 T}}$.

(A) પ્રવાહી ફિલ્મની બે સપાટીઓ (આગળ અને પાછળ) હોય છે. તેથી,સ્લાઇડર પર ઉપરની તરફ લાગતું પૃષ્ઠતાણનું કુલ બળ $F = 2TL$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ સ્લાઇડરની લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
વજન $W = mg = 1.5 \times 10^{-2} \; N$
લંબાઈ $L = 30 \; cm = 0.3 \; m$
સંતુલન માટે,પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ઉપરનું બળ નીચે તરફ લાગતા વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$2TL = mg$
કિંમતો મૂકતા:
$2 \times T \times 0.3 = 1.5 \times 10^{-2}$
$0.6 \times T = 0.015$
$T = \frac{0.015}{0.6} = 0.025 \; N m^{-1}$

(D) જ્યારે ઉપર તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા નીચેના બળ જેટલું થાય ત્યારે પરપોટો છૂટો પડે છે.
$1$. પરપોટા પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = V \rho_w g = (\frac{4}{3} \pi R^3) \rho_w g$.
$2$. પૃષ્ઠતાણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_T$ એ $r$ ત્રિજ્યાના સંપર્ક વર્તુળના પરિઘ પર લાગે છે: $F_T = T \cdot (2 \pi r)$.
$3$. છૂટા પડવા માટે બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g = 2 \pi r T$.
$4$. $r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{4 \pi R^3 \rho_w g}{3 \cdot 2 \pi T} = \frac{2 R^3 \rho_w g}{3T}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં પરિમાણીય વિસંગતતા જણાય છે,પરંતુ બળના સંતુલન મુજબ સાચું સૂત્ર $r = \frac{2 R^3 \rho_w g}{3T}$ મળે છે.

(C) છાયાંકિત અર્ધગોળાકાર ભાગની સીમા પર લાગતું પૃષ્ઠતાણનું બળ $F = \sigma \cdot L$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ સીમા પરના વર્તુળાકાર આડછેદની પરિમિતિ છે.
આ વર્તુળાકાર આડછેદની ત્રિજ્યા $r = R \sin(\theta/2)$ છે.
પરિમિતિ $L = 2\pi r = 2\pi R \sin(\theta/2)$ છે.
આમ,બળ $F = \sigma \cdot 2\pi R \sin(\theta/2)$ છે.
આપેલ છે કે $F = 0.5\,\pi \sigma R$,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવીએ:
$2\pi \sigma R \sin(\theta/2) = 0.5\,\pi \sigma R$
$2 \sin(\theta/2) = 0.5$
$\sin(\theta/2) = 0.25 = 1/4$.
ભૂમિતિ મુજબ,જો બળ $F = \pi R \sigma \sin(\theta)$ હોય,તો $\pi R \sigma \sin(\theta) = 0.5\,\pi \sigma R$ લેતા,$\sin(\theta) = 0.5$ મળે,તેથી $\theta = 30^o$.

(D) પ્રવાહીની સપાટી પર $\ell$ લંબાઈની કાલ્પનિક રેખા પર લાગતું બળ $F = T \times \ell$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
કાલ્પનિક વ્યાસ માટે,લંબાઈ $\ell$ એ બીકરના વ્યાસ જેટલી હોય છે.
આપેલ છે,ત્રિજ્યા $r = 15\, cm = 0.15\, m$.
તેથી,વ્યાસ $\ell = 2r = 2 \times 0.15 = 0.30\, m$.
આપેલ પૃષ્ઠતાણ $T = 0.075\, N/m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = 0.075 \times 0.30$
$F = 0.0225\, N$
$F = 2.25 \times 10^{-2}\, N$.

(B) સાબુના પરપોટાને હવાના સંપર્કમાં બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે.
જ્યારે આપણે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા આડછેદને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, ત્યારે તે છેદનો પરિઘ $2\pi R$ થાય છે.
અહીં બે સપાટીઓ હોવાથી, પૃષ્ઠતાણ $T$ જે કુલ લંબાઈ પર કાર્ય કરે છે તે $2 \times (2\pi R) = 4\pi R$ છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F = T \times (\text{કુલ લંબાઈ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $F = T \times 4\pi R = 4\pi RT$.

(A) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે. જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જે આંતર-આણ્વીય આસંજક બળોને નબળા પાડે છે. પરિણામે,પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(C) જ્યારે દોરાના લૂપની અંદરનું પડ તૂટી જાય છે,ત્યારે લૂપની બહારના બાકીના પડનું પૃષ્ઠતાણ દોરાને બધી દિશામાં બહારની તરફ ખેંચે છે,જેનાથી તે વર્તુળાકાર બને છે.
દોરાના $\delta \ell$ લંબાઈના એક નાના ભાગનો વિચાર કરો. પૃષ્ઠતાણ $T$ આ ભાગ પર ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ લાગે છે. પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F = T \cdot \delta \ell$ છે.
ધારો કે દોરામાં તણાવ $T'$ છે. ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં નાના ભાગ $\delta \ell$ પર બળનું સંતુલન નીચે મુજબ છે:
$2 T' \sin \theta = T \delta \ell$
કારણ કે $\theta$ ખૂબ નાનો છે,$\sin \theta \approx \theta$. વળી,ચાપની લંબાઈ $\delta \ell = R(2\theta)$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 T' \theta = T(2 \theta R)$
$T' = RT$
આમ,દોરામાં તણાવ $RT$ હશે.

(C) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીનો એક ગુણધર્મ છે જે પ્રવાહીના પ્રકાર અને આસપાસના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેને પ્રવાહીની સપાટી પર લાગતા એકમ લંબાઈ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીનો આંતરિક ગુણધર્મ હોવાથી,તે પ્રવાહીની સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો સાબુના દ્રાવણની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવામાં આવે,તો તેનું પૃષ્ઠતાણ અચળ રહે છે.