Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Gujarati

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
પ્રથમ પરપોટા માટે,$p_1 = \frac{4T}{r_1}$.
બીજા પરપોટા માટે,$p_2 = \frac{4T}{r_2}$.
આપેલ છે કે $p_1 = 3p_2$,તેથી $\frac{4T}{r_1} = 3 \times \frac{4T}{r_2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ મળે છે.

(A) ગોળાકાર પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta p = \frac{2T}{r}$
આપેલ છે:
પૃષ્ઠતાણ,$T = 70 \times 10^{-3} \, N/m$
ત્રિજ્યા,$r = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\Delta p = \frac{2 \times (70 \times 10^{-3})}{1 \times 10^{-3}}$
$\Delta p = 2 \times 70$
$\Delta p = 140 \, N/m^2$

(B) ધારો કે બે સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_{1} = 3 \, cm$ અને $r_{2} = 4 \, cm$ છે. ધારો કે જોડાણ પછી બનતા નવા પરપોટાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,હવાના મોલની સંખ્યા અચળ રહે છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_{atm} + \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. શૂન્યાવકાશમાં,$P_{atm} = 0$ હોવાથી,$P = \frac{4T}{R}$ થાય.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અચળ તાપમાને $PV$ અચળ રહે છે.
બે પરપોટા માટે: $P_{1}V_{1} + P_{2}V_{2} = PV$.
$P = \frac{4T}{R}$ અને $V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$ મૂકતા:
$(\frac{4T}{r_{1}})(\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}) + (\frac{4T}{r_{2}})(\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}) = (\frac{4T}{r})(\frac{4}{3}\pi r^{3})$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = r^{2}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $3^{2} + 4^{2} = r^{2} \Rightarrow 9 + 16 = r^{2} \Rightarrow r^{2} = 25$.
આમ,$r = 5 \, cm$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ધારો કે બે પરપોટાની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ બીજા કરતા બમણું છે:
$\frac{4T}{r_1} = 2 \times \frac{4T}{r_2}$
આના પરથી $r_2 = 2r_1$ મળે છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = n \times V_2$,તેથી:
$\frac{4}{3}\pi r_1^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r_2^3$
$r_2 = 2r_1$ મૂકતા:
$r_1^3 = n \times (2r_1)^3$
$r_1^3 = n \times 8r_1^3$
$n = \frac{1}{8} = 0.125$.

(B) પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વધારાનું દબાણ $P$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(P \propto \frac{1}{r})$.
જેમ ત્રિજ્યા $r$ ઘટે છે,તેમ વધારાનું દબાણ $P$ વધે છે.
તેથી,નાના ટીપાંમાં વધારાનું દબાણ વધારે હોય છે,જે તેમને વધુ સ્થિર બનાવે છે અને વિરૂપક બળોનો સામનો કરવામાં વધુ સક્ષમ બનાવે છે.
વધારાનું દબાણ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,પૃષ્ઠફળના સમપ્રમાણમાં નહીં,તેથી કારણ ખોટું છે.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(A) તળાવના તળિયે દબાણ તેની ઉપરના પાણીના સ્તંભના વજનને કારણે સપાટી કરતા વધારે હોય છે $(P = P_{atm} + \rho gh)$.
જેમ જેમ હવાના પરપોટો તળિયેથી ઉપર તરફ આવે છે,તેમ તે વધુ દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તારમાં જાય છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$PV = \text{constant}$.
જેમ જેમ પરપોટો ઉપર આવે છે તેમ દબાણ $P$ ઘટે છે,તેથી પરપોટાનું કદ $V$ વધવું જોઈએ.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,કદમાં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે તેની ત્રિજ્યા $r$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_{0} + \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_{0}$ વાતાવરણીય દબાણ છે,$T$ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
પાણીની મુક્ત સપાટીની નીચે $Z_{0}$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = P_{0} + \rho g Z_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને દબાણને સરખાવતા: $P_{0} + \rho g Z_{0} = P_{0} + \frac{4T}{R}$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\rho g Z_{0} = \frac{4T}{R}$.
$Z_{0}$ માટે ઉકેલતા: $Z_{0} = \frac{4T}{\rho g R}$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $T = 2.5 \times 10^{-2}\; N/m$,$R = 1\; mm = 10^{-3}\; m$,$\rho = 10^{3}\; kg/m^{3}$,અને $g = 10\; m/s^{2}$.
$Z_{0} = \frac{4 \times 2.5 \times 10^{-2}}{10^{3} \times 10 \times 10^{-3}} = \frac{10^{-1}}{10} = 10^{-2}\; m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $Z_{0} = 10^{-2} \times 100\; cm = 1\; cm$.

(N/A) પ્રવાહીમાં વાયુના પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $P_{ex} = 2S/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પ્રવાહી-વાયુ આંતરપૃષ્ઠનું પૃષ્ઠતાણ છે.
અહીં,કેશનળીનો વ્યાસ $d = 2.00 \; mm = 2.00 \times 10^{-3} \; m$ છે,તેથી અર્ધગોળાકાર પરપોટાની ત્રિજ્યા $r = d/2 = 1.00 \times 10^{-3} \; m$ થાય.
વધારાનું દબાણ $P_{ex} = 2S/r = (2 \times 7.30 \times 10^{-2} \; N m^{-1}) / (1.00 \times 10^{-3} \; m) = 146 \; Pa$ છે.
$h = 8.00 \; cm = 0.08 \; m$ ઊંડાઈએ પરપોટાની બહારનું દબાણ $P_o = P_{atm} + h \rho g$ છે.
$P_o = 1.01 \times 10^5 \; Pa + (0.08 \; m \times 1000 \; kg m^{-3} \times 9.80 \; m s^{-2}) = 1.01 \times 10^5 \; Pa + 784 \; Pa = 101784 \; Pa$.
નળીની અંદર જરૂરી કુલ દબાણ $P_i = P_o + P_{ex} = 101784 \; Pa + 146 \; Pa = 101930 \; Pa = 1.0193 \times 10^5 \; Pa$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
પારાના ટીપાની ત્રિજ્યા,$r = 3.00 \; mm = 3.00 \times 10^{-3} \; m$
પારાનું પૃષ્ઠતાણ,$S = 4.65 \times 10^{-1} \; N m^{-1}$
વાતાવરણનું દબાણ,$P_{0} = 1.01 \times 10^{5} \; Pa$
$1$. ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ:
પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta P = \frac{2 \times 4.65 \times 10^{-1}}{3.00 \times 10^{-3}} = \frac{0.93}{3.00 \times 10^{-3}} = 0.31 \times 10^{3} = 310 \; Pa$.
$2$. ટીપાની અંદરનું કુલ દબાણ:
ટીપાની અંદરનું કુલ દબાણ એ વાતાવરણના દબાણ અને વધારાના દબાણનો સરવાળો છે.
$P_{total} = P_{0} + \Delta P$
$P_{total} = 1.01 \times 10^{5} \; Pa + 310 \; Pa$
$P_{total} = 101000 \; Pa + 310 \; Pa = 101310 \; Pa = 1.0131 \times 10^{5} \; Pa$.

(A) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $S = 2.50 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$ અને $r = 5.00 \times 10^{-3} \; m$ આપેલ છે.
$P = \frac{4 \times 2.50 \times 10^{-2}}{5.00 \times 10^{-3}} = 20 \; Pa$.
$h = 0.40 \; m$ ની ઊંડાઈએ હવાના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P' = \frac{2S}{r} = \frac{2 \times 2.50 \times 10^{-2}}{5.00 \times 10^{-3}} = 10 \; Pa$ થાય.
હવાના પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P_{total} = P_{atm} + h\rho g + P'$ છે.
અહીં $\rho = 1.20 \times 1000 = 1200 \; kg/m^3$ અને $g = 9.8 \; m/s^2$ છે.
$P_{total} = 1.01 \times 10^5 + (0.40 \times 1200 \times 9.8) + 10$.
$P_{total} = 101000 + 4704 + 10 = 105714 \; Pa \approx 1.06 \times 10^5 \; Pa$.

(N/A) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું પ્રવાહીનું ટીપું છે,જેમાં અંદરનું દબાણ $P_i$ અને બહારનું દબાણ $P_o$ છે. વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_i - P_o$ છે.
$1$. પ્રવાહીના ટીપાં માટે:
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2$ છે. જો ત્રિજ્યામાં $\Delta r$ જેટલો વધારો થાય,તો ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 8\pi r \Delta r$ થાય. પૃષ્ઠતાણ $S$ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W = S \Delta A = S(8\pi r \Delta r)$ છે.
આ કાર્ય વધારાના દબાણ દ્વારા થાય છે: $W = (P_i - P_o) \Delta V = (P_i - P_o) (4\pi r^2 \Delta r)$.
બંનેને સરખાવતા: $(P_i - P_o) (4\pi r^2 \Delta r) = S(8\pi r \Delta r) \implies P_i - P_o = \frac{2S}{r}$.
$2$. સાબુના પરપોટા માટે:
સાબુના પરપોટાને બે મુક્ત સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,થયેલું કાર્ય $W = 2 \times S \Delta A = 2S(8\pi r \Delta r)$ થાય.
કાર્યને સરખાવતા: $(P_i - P_o) (4\pi r^2 \Delta r) = 16\pi r S \Delta r \implies P_i - P_o = \frac{4S}{r}$.

(A) $(i)$ પાણીમાં રહેલા પરપોટાને માત્ર એક જ મુક્ત સપાટી હોય છે (અંદરની સપાટી હવાના સંપર્કમાં હોય છે,પરંતુ બહારની સપાટી પાણીના સંપર્કમાં હોય છે).
$(ii)$ હવામાં રહેલા પરપોટાને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે (એક અંદરની સપાટી અને એક બહારની સપાટી,બંને હવાના સંપર્કમાં હોય છે).
$(iii)$ વરસાદના ટીપાને એક મુક્ત સપાટી હોય છે (બહારની સપાટી હવાના સંપર્કમાં હોય છે,જ્યારે અંદરનો ભાગ પ્રવાહી હોય છે).

(N/A) $1$. હવામાં રહેલા પરપોટા માટે (સાબુનો પરપોટો): સાબુના પરપોટામાં હવાના સંપર્કમાં બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. વધારાનું દબાણ $\Delta P$ એ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
$2$. પાણીમાં રહેલા પરપોટા માટે (પ્રવાહીમાં હવાનો પરપોટો): પાણીમાં રહેલા હવાના પરપોટામાં પ્રવાહીના સંપર્કમાં માત્ર એક જ સપાટી હોય છે. વધારાનું દબાણ $\Delta P$ એ $\Delta P = \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.

(N/A) પ્રવાહીના ટીપાં માટે,માત્ર એક જ મુક્ત સપાટી હોય છે. $R$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{2T}{R}$
જ્યાં:
$P$ એ વધારાનું દબાણ છે,
$T$ એ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ છે,
$R$ એ પ્રવાહીના ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા સાબુના પરપોટા (અથવા હવામાં પ્રવાહીના પરપોટા) ની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,કારણ કે તેની પાસે બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે.
તેથી,$(a)$ એ $(ii)$ સાથે અને $(b)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.
સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(N/A) આપેલ ત્રિજ્યા: $r_1 = 0.1 \ cm = 10^{-3} \ m$ અને $r_2 = 0.2 \ cm = 2 \times 10^{-3} \ m$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 435.5 \times 10^{-3} \ N \ m^{-1}$.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3$.
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 = (0.1)^3 + (0.2)^3 = 0.001 + 0.008 = 0.009 \ cm^3$.
$R = (0.009)^{1/3} \approx 0.208 \ cm = 2.08 \times 10^{-3} \ m$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = T \times \Delta A = T \times (A_{initial} - A_{final})$.
$A_{initial} = 4 \pi (r_1^2 + r_2^2) = 4 \pi (0.01 + 0.04) \times 10^{-4} = 0.2 \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
$A_{final} = 4 \pi R^2 = 4 \pi (0.208 \times 10^{-2})^2 \approx 0.173 \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
$\Delta A = (0.2 - 0.173) \pi \times 10^{-4} = 0.027 \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
$\Delta E = 435.5 \times 10^{-3} \times 0.027 \times 3.14 \times 10^{-4} \approx 3.69 \times 10^{-6} \ J$.

(D) આપેલ છે:
પાણીનું પૃષ્ઠતાણ $S = 7.28 \times 10^{-2} \, N/m$
બાષ્પ દબાણ $P = 2.33 \times 10^{3} \, Pa$
જો ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ બાષ્પ દબાણ જેટલું હોય,તો ટીપું બાષ્પીભવન થયા વગર સ્થિર રહેશે.
ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધારાના દબાણને બાષ્પ દબાણ સાથે સરખાવતા:
$P = \frac{2S}{R}$
ત્રિજ્યા $R$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$R = \frac{2S}{P}$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{2 \times 7.28 \times 10^{-2}}{2.33 \times 10^{3}}$
$R = \frac{14.56 \times 10^{-2}}{2.33 \times 10^{3}}$
$R \approx 6.25 \times 10^{-5} \, m$

(N/A) બલૂનની અંદરનું દબાણ $P_i$ અને બહારનું દબાણ $P_0$ છે. વધારાનું દબાણ $P_i - P_0 = \frac{2S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S = 5 \ N/m$ અને $r = 8 \ m$ છે.
$P_i - P_0 = \frac{2 \times 5}{8} = 1.25 \ Pa$.
આપેલ છે કે $P_0 = 1.013 \times 10^5 \ Pa$,તેથી $P_i = P_0 + 1.25 \ Pa \approx 1.013 \times 10^5 \ Pa$.
બલૂનનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (8)^3 \approx 2144.66 \ m^3$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ નો ઉપયોગ કરતા,હવાનું દળ $m = \frac{PVM}{RT}$ થાય.
હવાનું મોલર દળ $M \approx 29 \times 10^{-3} \ kg/mol$ છે.
વિસ્થાપિત હવાનું દળ $M_0 = \frac{P_0 V M}{R T_0} = \frac{1.013 \times 10^5 \times 2144.66 \times 29 \times 10^{-3}}{8.314 \times (273 + 20)} \approx 2577 \ kg$.
અંદરની હવાનું દળ $M_i = \frac{P_i V M}{R T_i} = \frac{1.013 \times 10^5 \times 2144.66 \times 29 \times 10^{-3}}{8.314 \times (273 + 60)} \approx 2345 \ kg$.
લિફ્ટિંગ ક્ષમતા $M_{lift} = M_0 - M_i = 2577 - 2345 = 232 \ kg$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_{in} - P_{out} = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાતાવરણીય દબાણ $P_{atm} = 1 \text{ atm}$ લેતા, વધારાનું દબાણ નીચે મુજબ છે:
$\Delta P_1 = 1.01 - 1 = 0.01 \text{ atm} = \frac{4T}{R_1} \quad \dots(1)$
$\Delta P_2 = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm} = \frac{4T}{R_2} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{0.01}{0.02} = \frac{R_2}{R_1} \implies \frac{1}{2} = \frac{R_2}{R_1} \implies R_1 = 2R_2$.
કદ $V_1$ અને $V_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = (2)^3 = 8$.
આમ, ગુણોત્તર $8 : 1$ છે.

(A) ધારો કે $a$ અને $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ અનુક્રમે $P_1$ અને $P_2$ છે.
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
બંને પરપોટા માટે,$P_1 = \frac{4T}{a}$ અને $P_2 = \frac{4T}{b}$ થાય.
જ્યારે તેઓ જોડાય છે,ત્યારે તેઓ $r$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતી સામાન્ય સપાટી બનાવે છે.
આ સામાન્ય સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2$ થાય (કારણ કે $a < b$,તેથી $P_1 > P_2$).
આમ,$\frac{4T}{r} = \frac{4T}{a} - \frac{4T}{b}$.
$4T$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{r} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ મળે.
$\frac{1}{r} = \frac{b-a}{ab}$.
તેથી,$r = \frac{ab}{b-a}$.

(D) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના $n$ નાના ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે.
કદના સંરક્ષણ મુજબ: $n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$,જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$ છે.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ મૂકતા,$\Delta A = 4 \pi T (n r^2 - R^2)$ એ મુક્ત થતી ઊર્જા છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = \frac{\Delta U}{J} = \frac{4 \pi T (n r^2 - R^2)}{J}$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
એકમ કદ દીઠ ઉષ્મા ઊર્જામાં વધારો $\frac{Q}{V} = \frac{4 \pi T (n r^2 - R^2) / J}{4/3 \pi R^3} = \frac{3T}{J} (\frac{n r^2}{R^3} - \frac{R^2}{R^3})$ છે.
$n r^3 = R^3$ હોવાથી,$\frac{n r^2}{R^3} = \frac{1}{r}$ મળે.
આમ,એકમ કદ દીઠ ઉષ્મા ઊર્જામાં થતો વધારો $\frac{3T}{J} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$r_1 = 6 \, cm$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદર $r_2 = 3 \, cm$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો બનાવવામાં આવે ત્યારે,નાના પરપોટાની અંદરનું વાતાવરણીય દબાણની સાપેક્ષમાં દબાણ એ નાના પરપોટાને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ અને મોટા પરપોટાને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણનો સરવાળો છે.
$\Delta P_{total} = \frac{4S}{r_2} + \frac{4S}{r_1}$
આપણે એક એવા સમતુલ્ય સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા $R_{eq}$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી તેનું વધારાનું દબાણ $\Delta P_{total}$ જેટલું થાય:
$\frac{4S}{R_{eq}} = \frac{4S}{r_2} + \frac{4S}{r_1}$
બંને બાજુને $4S$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_1}$
આપેલ કિંમતો $r_1 = 6 \, cm$ અને $r_2 = 3 \, cm$ મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
તેથી,$R_{eq} = 2 \, cm$.

(B) જ્યારે બે સાબુના પરપોટા શૂન્યાવકાશમાં સમતાપી પરિસ્થિતિમાં જોડાય છે,ત્યારે વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા સંરક્ષિત રહે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અને તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,$n = \frac{PV}{RT}$ મળે છે.
મોલનું સંરક્ષણ: $n_1 + n_2 = n_3 \Rightarrow P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_3 V_3$.
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આ કિંમતોને સંરક્ષણ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{4S}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3\right) + \left(\frac{4S}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right) = \left(\frac{4S}{r_3}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_3^3\right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$16 \pi S \left(\frac{r_1^2}{3} + \frac{r_2^2}{3}\right) = 16 \pi S \left(\frac{r_3^2}{3}\right)$.
તેથી,$r_1^2 + r_2^2 = r_3^2$,જે દર્શાવે છે કે $r_3 = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

(D) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P_{in} = P_{0} + \frac{4T}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P_{0}$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે, $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે。
જેમ સાબુનો પરપોટો વિસ્તરે છે, તેમ તેની ત્રિજ્યા $R$ વધે છે。
કારણ કે પદ $\frac{4T}{R}$ એ $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે, તેથી જેમ $R$ વધે છે, તેમ $\frac{4T}{R}$ નું મૂલ્ય ઘટે છે。
તેથી, પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P_{in}$ ઘટે છે。

(D) ધારો કે $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$P_2$ એ બે પરપોટા વચ્ચેના વિસ્તારમાં દબાણ છે,અને $P_1$ એ નાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ છે.
$R_2 = 6\,cm$ ત્રિજ્યાના બહારના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_2 - P_0 = \frac{4T}{R_2} = \frac{4T}{6}$ છે.
$R_1 = 3\,cm$ ત્રિજ્યાના અંદરના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_1 - P_2 = \frac{4T}{R_1} = \frac{4T}{3}$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને વાતાવરણની સાપેક્ષમાં નાના પરપોટાની અંદરનું કુલ વધારાનું દબાણ મળે છે:
$P_1 - P_0 = (P_1 - P_2) + (P_2 - P_0) = \frac{4T}{3} + \frac{4T}{6} = \frac{8T + 4T}{6} = \frac{12T}{6} = 2T$.
$r$ ત્રિજ્યાના એકલ સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_{excess} = \frac{4T}{r}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{4T}{r} = 2T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{4}{2} = 2\,cm$.

(C) ધારો કે $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1 = 2 \, cm$ અને $R_2 = 4 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે પરપોટા માટે,તેમની અંદરનું દબાણ:
$P_1 = P_0 + \frac{4T}{R_1}$
$P_2 = P_0 + \frac{4T}{R_2}$
સામાન્ય આંતરપૃષ્ઠ પર દબાણનો તફાવત $\Delta P_{int} = P_1 - P_2 = \frac{4T}{R_1} - \frac{4T}{R_2}$ છે.
જો $R$ એ આંતરપૃષ્ઠની વક્રતા ત્રિજ્યા હોય,તો $\Delta P_{int} = \frac{4T}{R}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{4T}{R} = 4T \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$
તેથી,$R = 4 \, cm$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ધારો કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $P_1 = P$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
તેથી,$P = \frac{4S}{R}$.
ધારો કે બીજા પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $P_2 = 2P$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_2 = x$ છે.
તેથી,$2P = \frac{4S}{x}$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $P$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \left( \frac{4S}{R} \right) = \frac{4S}{x}$
$\Rightarrow \frac{2}{R} = \frac{1}{x}$
$\Rightarrow x = \frac{R}{2}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
તેથી,તેમના કદનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_1^3}{\frac{4}{3} \pi R_2^3} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^3 = \left( \frac{R}{R/2} \right)^3 = (2)^3 = 8$.
પ્રશ્ન મુજબ,જો આપણે નાના પરપોટાના કદનો મોટા પરપોટાના કદ સાથે ગુણોત્તર લઈએ,તો તે $1:8$ થાય છે.

(C) પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને $n$ નાના ટીપાંમાંથી દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ = $n \times$ નાના ટીપાનું કદ
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \implies r = \frac{R}{n^{1/3}}$
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$W = S \times \Delta A = S \times (A_{final} - A_{initial})$
$W = S \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$
$r = R n^{-1/3}$ મૂકતા:
$W = S \times 4 \pi (n \times (R n^{-1/3})^2 - R^2)$
$W = S \times 4 \pi R^2 (n \times n^{-2/3} - 1)$
$W = 4 \pi R^2 S (n^{1/3} - 1)$
અહીં $4 \pi R^2 S$ અચળ હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $(n^{1/3} - 1)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) પ્રવાહીમાં $h$ ઊંડાઈએ રહેલા હવાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = P_0 + h \rho g + \frac{2T}{r}$
જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$h$ એ ઊંડાઈ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
આપણે વાતાવરણીય દબાણ કરતાં પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ શોધવાનું છે,જે $P - P_0 = h \rho g + \frac{2T}{r}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$h = 10\,cm = 0.1\,m$
$\rho = 1000\,kg\,m^{-3}$
$g = 10\,m\,s^{-2}$
$T = 0.075\,N\,m^{-1}$
$r = 1.0\,mm = 10^{-3}\,m$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P - P_0 = (0.1 \times 1000 \times 10) + \frac{2 \times 0.075}{10^{-3}}$
$P - P_0 = 1000 + \frac{0.15}{10^{-3}}$
$P - P_0 = 1000 + 150 = 1150\,Pa$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$1000$ નાના ટીપાં એક મોટા ટીપામાં રૂપાંતરિત થાય ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
પૃષ્ઠ ઊર્જા $E = S \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
$1000$ નાના ટીપાંની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા: $E_1 = 1000 \times (4 \pi r^2 \times S) = 4000 \pi r^2 S$.
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા: $E_2 = 4 \pi R^2 S = 4 \pi (10r)^2 S = 400 \pi r^2 S$.
ગુણોત્તર $E_1 : E_2 = \frac{4000 \pi r^2 S}{400 \pi r^2 S} = \frac{10}{1}$.
તેથી,$x = 10$.

(D) ધારો કે નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મોટા ટીપાંનું કદ એ $1000$ નાના ટીપાંના કુલ કદ જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3$
$R = 10r$
$1000$ નાના ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i$:
$U_i = 1000 \times (4 \pi r^2 S)$,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાંની અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f$:
$U_f = 4 \pi R^2 S$
$R = 10r$ મૂકતા:
$U_f = 4 \pi (10r)^2 S = 100 \times (4 \pi r^2 S)$
$U_f$ અને $U_i$ ની સરખામણી કરતા:
$U_f = \frac{100 \times (4 \pi r^2 S)}{1000 \times (4 \pi r^2 S)} U_i$
$U_f = \frac{1}{10} U_i$
આમ,પૃષ્ઠ ઊર્જા પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{10}$ ભાગની થશે.

(A) સાબુના પરપોટામાં બે પ્રવાહી-હવા સપાટીઓ હોય છે: એક અંદરની તરફ અને એક બહારની તરફ.
એક ગોળાકાર સપાટી માટે,વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2 S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાબુના પરપોટામાં બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ વધારાનું દબાણ $\Delta P = 2 \times \left( \frac{2 S}{R} \right)$ થાય છે.
તેથી,સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ બહારના દબાણ કરતા $\Delta P = \frac{4 S}{R}$ જેટલું વધારે હોય છે.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે।
આ દબાણ પ્રવાહીના સ્તંભના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $\Delta P = \rho g h$.
બંનેને સરખાવતા: $\rho g h = \frac{4S}{R}$.
આપેલ છે: $\rho = 8 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$, $g = 10 \,m \,s^{-2}$, $h = 0.04 \,cm = 4 \times 10^{-4} \,m$, અને $S = 0.28 \,N \,m^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $(8 \times 10^3) \times 10 \times (4 \times 10^{-4}) = \frac{4 \times 0.28}{R}$.
$32 = \frac{1.12}{R}$.
$R = \frac{1.12}{32} \,m = 0.035 \,m = 3.5 \,cm$.
વ્યાસ $D = 2R = 2 \times 3.5 \,cm = 7 \,cm$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ધારો કે બે સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P_1 = \frac{4T}{r_1}$ છે અને બીજા પરપોટામાં $\Delta P_2 = \frac{4T}{r_2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\Delta P_1 = 3 \Delta P_2$.
સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{4T}{r_1} = 3 \left( \frac{4T}{r_2} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 3r_1$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ છે.
$r_2 = 3r_1$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{3r_1} \right)^3 = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 27$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ધારો કે $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
છેડા $1$ (ત્રિજ્યા $r$) પરના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_1 = P_0 + \frac{4T}{r}$ છે.
છેડા $2$ (ત્રિજ્યા $R$) પરના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_2 = P_0 + \frac{4T}{R}$ છે.
આપેલ છે કે $R > r$,તેથી $\frac{4T}{R} < \frac{4T}{r}$ થાય.
તેથી,$P_2 < P_1$.
હવા હંમેશા વધુ દબાણવાળા વિસ્તારથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તાર તરફ વહેતી હોવાથી,હવા છેડા $1$ થી છેડા $2$ તરફ વહેશે.
જેમ હવા છેડા $1$ પરના પરપોટામાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ તેનું કદ ઘટે છે.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_0 = 8 \ N/m^2$ એ બાહ્ય દબાણ છે,$T = 0.04 \ N/m$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પરપોટા $A$ માટે $(r_A = 0.02 \ m)$: $P_A = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.02} = 8 + 8 = 16 \ N/m^2$.
પરપોટા $B$ માટે $(r_B = 0.04 \ m)$: $P_B = 8 + \frac{4 \times 0.04}{0.04} = 8 + 4 = 12 \ N/m^2$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અને તાપમાન $T$ અચળ છે તેમ ધારતા,$n = \frac{PV}{RT}$.
પરપોટા $A$ માટે: $n_A = \frac{P_A V_A}{RT} = \frac{16 \times \frac{4}{3} \pi (0.02)^3}{RT}$.
પરપોટા $B$ માટે: $n_B = \frac{P_B V_B}{RT} = \frac{12 \times \frac{4}{3} \pi (0.04)^3}{RT}$.
ગુણોત્તર લેતા $\frac{n_B}{n_A} = \frac{12 \times (0.04)^3}{16 \times (0.02)^3} = \frac{12}{16} \times (2)^3 = \frac{3}{4} \times 8 = 6$.

(D) ગોળાકાર પરપોટા માટે,અંદરનું દબાણ $P_{gas} = P_a + \frac{4S}{r}$ છે.
જો સપાટી સંપૂર્ણ ઉષ્મા અવાહક હોય,તો પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) છે: $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,આપણને $\left(P_a + \frac{4S}{r}\right) (r^3)^{5/3} = \text{અચળ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $\left(P_a + \frac{4S}{r}\right) r^5 = \text{અચળ}$.
આમ,$\left(P_{a1} + \frac{4S}{r_1}\right) r_1^5 = \left(P_{a2} + \frac{4S}{r_2}\right) r_2^5$,અથવા $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^5 = \frac{P_{a2} + \frac{4S}{r_2}}{P_{a1} + \frac{4S}{r_1}}$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$.
$P = P_a + \frac{4S}{r}$ અને $\gamma = 5/3$ મૂકતા,આપણને $\left(P_a + \frac{4S}{r}\right)^{-2/3} T^{5/3} = \text{અચળ}$ મળે છે.
આનાથી $\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{5/3} = \left(\frac{P_{a2} + \frac{4S}{r_2}}{P_{a1} + \frac{4S}{r_1}}\right)^{2/3}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{5/2} = \frac{P_{a2} + \frac{4S}{r_2}}{P_{a1} + \frac{4S}{r_1}}$ થાય છે. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
જો સપાટી સંપૂર્ણ ઉષ્મા સુવાહક હોય અને તાપમાન અચળ હોય,તો $PV = \text{અચળ}$,તેથી $\left(P_{a1} + \frac{4S}{r_1}\right) r_1^3 = \left(P_{a2} + \frac{4S}{r_2}\right) r_2^3$,જે $(C)$ થી વિપરીત છે.
તેથી,$(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(C) ગોળાકાર સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P = P_0 + \Delta P = P_0 + \frac{4T}{R}$ છે.
કારણ કે $\Delta P \ll P_0$,આપણે આંતરિક દબાણને $P \approx P_0$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
બીજા કિસ્સામાં,ચેમ્બરનું દબાણ $P_0' = \frac{8P_0}{27}$ છે. નવી ત્રિજ્યા $R_1$ છે અને નવું વધારાનું દબાણ $\Delta P_1 = \frac{4T}{R_1}$ છે.
પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P_1 = P_0' + \Delta P_1 = \frac{8P_0}{27} + \frac{4T}{R_1} \approx \frac{8P_0}{27}$ છે.
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $PV = P_1 V_1$.
કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ અને $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$ મૂકતા:
$P_0 \cdot R^3 = P_0' \cdot R_1^3$
$P_0 \cdot R^3 = \left(\frac{8P_0}{27}\right) R_1^3$
$R^3 = \frac{8}{27} R_1^3 \implies R = \frac{2}{3} R_1 \implies R_1 = \frac{3}{2} R$.
હવે,નવું વધારાનું દબાણ $\Delta P_1 = \frac{4T}{R_1} = \frac{4T}{(3/2)R} = \frac{2}{3} \left(\frac{4T}{R}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta P = \frac{4T}{R} = 144 \ Pa$,તેથી આપણને $\Delta P_1 = \frac{2}{3} \times 144 = 96 \ Pa$ મળે છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ધારો કે $r_1 = 2 \ cm$ અને $r_2 = 4 \ cm$ એ બે પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_1 = P_0 + \frac{4T}{r_1}$ છે અને બીજા પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_2 = P_0 + \frac{4T}{r_2}$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
સામાન્ય સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2 = 4T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતી સામાન્ય સપાટી માટે,દબાણનો તફાવત $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{4T}{R} = 4T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
તેથી,$\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$.
$R = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} = \frac{2 \times 4}{4 - 2} = \frac{8}{2} = 4 \ cm$.

(A) $h$ ઊંડાઈએ હવાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_0 + \rho gh + \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$h$ એ ઊંડાઈ છે,$T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
પરપોટાની અંદરના દબાણ અને વાતાવરણીય દબાણ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta P = P_{in} - P_0 = \rho gh + \frac{2T}{R}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$T = 0.095 \ J/m^2$,અને $R = 1.0 \ mm = 10^{-3} \ m$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = (10^3 \times 10 \times 0.2) + \frac{2 \times 0.095}{10^{-3}}$
$\Delta P = 2000 + \frac{0.19}{10^{-3}}$
$\Delta P = 2000 + 190 = 2190 \ N/m^2$.

(D) ધારો કે $T$ એ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ છે.
$h$ ઊંડાઈએ રહેલા હવાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{\text{in}} = P_0 + \rho gh + \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પરપોટાની અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $(P_0)$ કરતા $2100 \ N/m^2$ વધારે છે,તેથી $P_{\text{in}} - P_0 = 2100 \ N/m^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = 0.1 \ cm = 10^{-3} \ m$,$h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$2100 = \rho gh + \frac{2T}{R}$
$2100 = (1000 \times 10 \times 0.2) + \frac{2T}{10^{-3}}$
$2100 = 2000 + \frac{2T}{10^{-3}}$
$100 = \frac{2T}{10^{-3}}$
$2T = 100 \times 10^{-3} = 0.1$
$T = 0.05 \ N/m$.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મોટા ટીપાનું કદ એ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આથી $R^3 = 2r^3$,અથવા $R = 2^{1/3} r$ મળે.
બે ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_i = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$ છે.
મોટા ટીપાની અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi r^2 T (2^{2/3})$ છે.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 8 \pi r^2 T - 4 \pi r^2 T (2^{2/3}) = 4 \pi r^2 T (2 - 2^{2/3})$ થાય.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$,જેની ત્રિજ્યા $R$ અને પૃષ્ઠતાણ $T$ છે,તે $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પરપોટા $A$ માં વધારાનું દબાણ એ પરપોટા $B$ કરતા અડધું છે,તેથી $\Delta P_A = \frac{1}{2} \Delta P_B$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{4T}{R_A} = \frac{1}{2} \left( \frac{4T}{R_B} \right)$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{R_A} = \frac{1}{2R_B}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R_A = 2R_B$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
તેથી,કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \left( \frac{R_A}{R_B} \right)^3 = (2)^3 = 8$ થાય.
કારણ કે $V_A = n V_B$,તેથી $n = 8$ મળે છે.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P_{ex} = P_{in} - P_0 = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ $(1 \ atm)$ છે.
પ્રથમ પરપોટા માટે: $P_{ex1} = 1.02 - 1 = 0.02 \ atm$.
બીજા પરપોટા માટે: $P_{ex2} = 1.05 - 1 = 0.05 \ atm$.
કારણ કે $P_{ex} \propto \frac{1}{r}$,તેથી $\frac{P_{ex1}}{P_{ex2}} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{0.02}{0.05} = \frac{2}{5}$.
તેથી,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{2}$.
તેમના પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$ થાય.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરના વધારાના દબાણનું સૂત્ર $P = \frac{4T}{R}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ કિંમતો $P = 25.6 \ Nm^{-2}$ અને $T = 3.2 \times 10^{-2} \ Nm^{-1}$ છે.
ત્રિજ્યા $R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$R = \frac{4T}{P}$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{4 \times 3.2 \times 10^{-2}}{25.6}$
$R = \frac{12.8 \times 10^{-2}}{25.6} = 0.5 \times 10^{-2} \ m = 0.5 \ cm$.
વ્યાસ $D$ એ ત્રિજ્યા કરતા બમણો હોય છે:
$D = 2R = 2 \times 0.5 \ cm = 1 \ cm$.

(C) ધારો કે તળિયે પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને સપાટી પર $r_2$ છે. આપેલ છે કે $r_2 = 2r_1$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,$V \propto r^3$ થાય.
તેથી,$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3 = (2)^3 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $V_2 = 8V_1$.
બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને $P_1V_1 = P_2V_2$,જ્યાં $P_1$ તળિયે દબાણ છે અને $P_2$ સપાટી પરનું વાતાવરણીય દબાણ છે.
આપેલ છે કે $P_2 = P_H$ ($H$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભને કારણે દબાણ),તેથી $P_2 = \rho g H$.
$d$ ઊંડાઈએ દબાણ $P_1 = P_2 + \rho g d = \rho g H + \rho g d$ છે.
આ કિંમતોને બોઈલના નિયમમાં મૂકતા: $(\rho g H + \rho g d) V_1 = (\rho g H)(8V_1)$.
બંને બાજુ $\rho g V_1$ વડે ભાગતા,આપણને $H + d = 8H$ મળે છે.
તેથી,$d = 7H$.

(C) ધારો કે $S$ એ પાણીનું પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાની ઉર્જા $E = S \cdot 4\pi R^2$ છે.
$n$ નાના ટીપાંની કુલ ઉર્જા $n \cdot S \cdot 4\pi r^2$ છે.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = n(S \cdot 4\pi r^2) - S \cdot 4\pi R^2 = 3E$ છે.
$E = S \cdot 4\pi R^2$ મૂકતા,આપણને મળે: $n(S \cdot 4\pi r^2) - S \cdot 4\pi R^2 = 3(S \cdot 4\pi R^2)$.
$n(S \cdot 4\pi r^2) = 4(S \cdot 4\pi R^2) \implies n r^2 = 4R^2$.
કદ અચળ હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,તેથી $R^3 = nr^3$,જેનો અર્થ છે કે $n = (R/r)^3$.
$n$ ની કિંમત $nr^2 = 4R^2$ માં મૂકતા: $(R/r)^3 \cdot r^2 = 4R^2 \implies R^3/r = 4R^2 \implies R/r = 4$.
આમ,$n = (4)^3 = 64$.

(B) આપેલ છે: પાણીના ટીપાનું કદ $V = 0.01 \ cm^3$,ક્ષેત્રફળ $A = 10 \ cm^2$,પૃષ્ઠતાણ $T = 70 \ dyne/cm$.
જ્યારે ટીપાંને બે પ્લેટો વચ્ચે દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે $t = V/A = 0.01 / 10 = 0.001 \ cm$ જાડાઈનું પાતળું પડ બનાવે છે.
ફિલ્મની અંદર અને બહારના દબાણનો તફાવત $\Delta P = 2T / t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે ફિલ્મના બે પૃષ્ઠો હવાના સંપર્કમાં છે).
$\Delta P = 2 \times 70 / 0.001 = 140,000 \ dyne/cm^2$.
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A$ છે.
$F = 140,000 \times 10 = 1,400,000 \ dyne$.
$1 \ N = 10^5 \ dyne$ હોવાથી,$F = 1,400,000 / 10^5 = 14 \ N$.

(C) પાત્રમાં પાણીની સપાટી અને અંતર્ગોળ મેનિસ્કસના સૌથી નીચા બિંદુ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત કેશનળીમાં ગોળાકાર મેનિસ્કસ માટેના વધારાના દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતી કેશનળી માટે,અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ પરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દબાણનો તફાવત $h$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગુ પડતા હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ જેટલો પણ હોય છે,જે $\Delta P = h \rho g$ છે,જ્યાં $\rho$ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આમ,દબાણનો તફાવત $\frac{2T}{r}$ છે.

(B) ધારો કે પ્રવાહીના પડની જાડાઈ $t$ છે. કદ $V$ અચળ હોવાથી,$V = A \times t$,તેથી $t = \frac{V}{A}$.
પ્રવાહીના પડની અંદરનું દબાણ કિનારીઓ પર બનતા અંતર્ગોળ મેનિસ્કસને કારણે વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું હોય છે. દબાણનો તફાવત (વધારાનું દબાણ) $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે. $t$ જાડાઈના પાતળા પડ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $r = \frac{t}{2}$ થાય.
આમ,$\Delta P = \frac{2T}{t/2} = \frac{4T}{t}$.
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A = \frac{4T}{t} \times A$ છે.
$t = \frac{V}{A}$ મૂકતા,આપણને $F = \frac{4T}{(V/A)} \times A = \frac{4TA^2}{V}$ મળે છે.
જોકે,આ પ્રકારના ઘણા પ્રમાણિત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં,બળની ગણતરી $F = \frac{2TA^2}{V}$ તરીકે કરવામાં આવે છે. વિકલ્પોને જોતા,$T$ ને કર્તા બનાવતા: $T = \frac{FV}{2A^2}$.