Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Gujarati

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ અને વિદ્યુતભાર $q$ છે. ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ અને વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
$64$ ટીપાં ભેગા થતા હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 64q$ થાય.
મોટા ટીપાનું કદ એ $64$ નાના ટીપાના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જે પરથી $R^3 = 64r^3$ મળે,તેથી $R = 4r$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{\text{વિદ્યુતભાર}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{q}{4\pi r^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
નાના ટીપા માટે,$\sigma_{small} = \frac{q}{4\pi r^2}$.
મોટા ટીપા માટે,$\sigma_{large} = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{64q}{4\pi (4r)^2} = \frac{64q}{4\pi (16r^2)} = \frac{4q}{4\pi r^2}$.
ગુણોત્તર $\frac{\sigma_{small}}{\sigma_{large}} = \frac{q / 4\pi r^2}{4q / 4\pi r^2} = \frac{1}{4}$ થાય.

(D) ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $R = \left( \frac{3V}{4\pi} \right)^{1/3}$.
તેથી,$R^2 = \left( \frac{3}{4\pi} \right)^{2/3} V^{2/3}$,જેનો અર્થ છે કે $R^2 \propto V^{2/3}$.
સાબુના પરપોટા (જેની બે સપાટી હોય છે) બનાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A = T \times 2(4\pi R^2) = 8\pi R^2 T$ છે.
કારણ કે $W \propto R^2$ અને $R^2 \propto V^{2/3}$,તેથી $W \propto V^{2/3}$ થાય.
આમ,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{2V}{V} \right)^{2/3} = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = \sqrt[3]{4}$.
તેથી,$W_2 = \sqrt[3]{4} \, W$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = \frac{4T}{r}$.
બંને પરપોટા માટે $T$ અચળ હોવાથી,વધારાનું દબાણ એ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે બે પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_1 = 4r$ અને $r_2 = r$ છે.
તેથી,વધારાના દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{r}{4r} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_{in} - P_{out}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાતાવરણનું દબાણ $P_{out} = 1 \text{ atm}$ લેતા, વધારાનું દબાણ નીચે મુજબ મળે:
$\Delta P_1 = 1.01 \text{ atm} - 1 \text{ atm} = 0.01 \text{ atm}$
$\Delta P_2 = 1.02 \text{ atm} - 1 \text{ atm} = 0.02 \text{ atm}$
વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ હોવાથી, $\Delta P \propto \frac{1}{r}$, જેનો અર્થ છે કે $r \propto \frac{1}{\Delta P}$.
પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે, તેથી $V \propto r^3$.
$r \propto \frac{1}{\Delta P}$ મૂકતા, આપણને $V \propto \frac{1}{(\Delta P)^3}$ મળે છે.
તેથી, કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} \right)^3$ થાય.
$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{0.02}{0.01} \right)^3 = (2)^3 = 8$.
આમ, ગુણોત્તર $8 : 1$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P_2 = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીમાં રહેલા $r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા હવાના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ પણ $P_1 = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે તેની પાસે માત્ર એક જ મુક્ત સપાટી હોય છે).
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $P_1 = P_2$ મળે છે.

(C) જ્યારે બે સાબુના પરપોટા શૂન્યાવકાશમાં સમતાપીય સ્થિતિમાં જોડાય છે,ત્યારે કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
સાબુના પરપોટાનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A = 8\pi r^2$ છે (કારણ કે તેને બે સપાટી હોય છે).
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = T(8\pi r_1^2) + T(8\pi r_2^2)$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = T(8\pi R^2)$ છે.
$U_i = U_f$ હોવાથી,$8\pi r_1^2T + 8\pi r_2^2T = 8\pi R^2T$ મળે.
બંને બાજુ $8\pi T$ વડે ભાગતા,આપણને $R^2 = r_1^2 + r_2^2$ મળે છે.

(B) જ્યારે $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સાબુના પરપોટા ભેગા થાય,ત્યારે સામાન્ય સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$
અહીં $r_1 = 4 \, cm$ અને $r_2 = 5 \, cm$ આપેલ છે (જ્યાં $r_2 > r_1$):
$r = \frac{5 \times 4}{5 - 4}$
$r = \frac{20}{1} = 20 \, cm$
આમ,સામાન્ય સપાટીની ત્રિજ્યા $20 \, cm$ થાય.

(C) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે.
સાબુના પરપોટા માટે,અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ છે,તેથી કુલ દબાણ $P_{in} = P + \frac{4T}{R}$ થાય,જ્યાં $P$ એ વાતાવરણનું દબાણ છે અને $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
આમ,મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{P_{in} V}{RT} = \frac{(P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{RT}$ દ્વારા મળે છે.
$R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે પરપોટા માટે,મોલની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_1}{\mu_2}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{(P + \frac{4T}{R_1}) \cdot \frac{4}{3}\pi R_1^3}{(P + \frac{4T}{R_2}) \cdot \frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left( \frac{P + \frac{4T}{R_1}}{P + \frac{4T}{R_2}} \right) \frac{R_1^3}{R_2^3}$.

(D) ધારો કે નાના બૂંદની ત્રિજ્યા $r$ અને વિદ્યુતભાર $q$ છે. મોટા બૂંદની ત્રિજ્યા $R$ અને વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
$64$ નાના બૂંદ ભેગા મળીને એક મોટું બૂંદ બનાવે છે,તેથી કદનું સંરક્ષણ થાય છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જે પરથી $R^3 = 64r^3$,એટલે કે $R = 4r$ મળે.
વિદ્યુતભારનું પણ સંરક્ષણ થાય છે: $Q = 64q$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{\text{વિદ્યુતભાર}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{q}{4\pi r^2}$.
નાના બૂંદ માટે,$\sigma_{small} = \frac{q}{4\pi r^2}$.
મોટા બૂંદ માટે,$\sigma_{large} = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{64q}{4\pi (4r)^2} = \frac{64q}{4\pi (16r^2)} = 4 \times \frac{q}{4\pi r^2} = 4\sigma_{small}$.
તેથી,નાના બૂંદ અને મોટા બૂંદની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_{small}}{\sigma_{large}} = \frac{\sigma_{small}}{4\sigma_{small}} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
આપેલ છે કે વધારાના દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = 3$ છે,તેથી $\frac{r_2}{r_1} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે,તેથી તેમના કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ થશે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$.

(B) સાબુના પરપોટાનો વ્યાસ $d = 8 \text{ mm} = 0.8 \text{ cm}$ છે.
સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.4 \text{ cm}$ છે.
સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ $T = 30 \text{ dynes/cm}$ છે.
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ શોધવાનું સૂત્ર $\Delta P = \frac{4T}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta P = \frac{4 \times 30}{0.4} = \frac{120}{0.4} = 300 \text{ dynes/cm}^2$ મળે છે.

(A) પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ સૂત્ર $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 0.02 \, cm = 0.02 \times 10^{-2} \, m = 2 \times 10^{-4} \, m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.01 \, cm = 10^{-4} \, m$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 72 \times 10^{-3} \, N/m$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = \frac{2 \times 72 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 144 \times 10^1 = 1440 \, N/m^2$.
$N/m^2$ ને $dyne/cm^2$ માં ફેરવવા માટે: $1 \, N/m^2 = 10 \, dyne/cm^2$.
તેથી,$\Delta P = 1440 \times 10 = 14400 \, dyne/cm^2 = 1.44 \times 10^4 \, dyne/cm^2$.

(C) ધારો કે તળિયે હવાના પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે અને સપાટી પર $r_2 = 2r$ છે.
ધારો કે પાણીના જળાશયની ઊંચાઈ $h$ છે.
જળાશયના તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + h \rho g$ છે,જ્યાં $P_{atm}$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
આપેલ છે કે $P_{atm} = 10 \, m$ પાણી,તેથી આપણે લખી શકીએ $P_1 = (10 + h) \rho g$.
સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_{atm} = 10 \rho g$ છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(10 + h) \rho g \times \frac{4}{3} \pi r^3 = 10 \rho g \times \frac{4}{3} \pi (2r)^3$.
$(10 + h) = 10 \times 8$.
$10 + h = 80$.
$h = 70 \, m$.

(C) પાણી છિદ્રોમાંથી લીક ન થાય તે માટેની શરત એ છે કે પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ એ પાણીના સ્તંભના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ગોળાકાર મેનિસ્કસની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ છિદ્રની ત્રિજ્યા છે.
તળિયે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ $P = \rho g h$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(10^3 \ kg/m^3)$ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{2T}{R} = \rho g h$.
આપેલ છે: $T = 75 \times 10^{-3} \ N/m$,વ્યાસ $d = 0.1 \ mm = 10^{-4} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 0.05 \times 10^{-3} \ m = 5 \times 10^{-5} \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \times 75 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-5}} = 10^3 \times 10 \times h$.
$\frac{150 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-5}} = 10^4 \times h$.
$30 \times 10^2 = 10^4 \times h$.
$3000 = 10000 \times h$.
$h = 0.3 \ m = 30 \ cm$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_{in} - P_{out} = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે પરપોટા માટે,જ્યાં $R_1 < R_2$ છે,નાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_1 = P_{atm} + \frac{4T}{R_1}$ છે અને મોટા પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_2 = P_{atm} + \frac{4T}{R_2}$ છે.
જેহেতু $R_1 < R_2$ છે,તેથી $\frac{4T}{R_1} > \frac{4T}{R_2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $P_1 > P_2$.
હવા હંમેશા વધુ દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તાર તરફ વહે છે.
તેથી,હવા નાના પરપોટામાંથી મોટા પરપોટા તરફ વહે છે.

(C) ધારો કે બનેલા પાણીના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પરપોટો અને ટીપું બનાવવા માટે વપરાતા પાણીનું કદ સમાન હોવાથી,સાબુના પડનું કદ $V = 4\pi R^2 d$ થાય.
આને ગોળાકાર ટીપાના કદ સાથે સરખાવતા: $4\pi R^2 d = \frac{4}{3} \pi r^3$.
આમ,$r^3 = 3R^2d$,જેનો અર્થ છે કે $r = (3R^2d)^{1/3}$.
ગોળાકાર ટીપામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P_{\text{drop}} = \frac{2\sigma}{r}$ છે.
સાબુના પરપોટાની અંદર વધારાનું દબાણ $\Delta P_{\text{bubble}} = \frac{4\sigma}{R}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\Delta P_{\text{drop}}}{\Delta P_{\text{bubble}}} = \frac{2\sigma/r}{4\sigma/R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{R}{r}$ થાય.
$r = (3R^2d)^{1/3}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને ગુણોત્તર $= \frac{1}{2} \cdot \frac{R}{(3R^2d)^{1/3}} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{R^3}{3R^2d})^{1/3} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{R}{3d})^{1/3} = (\frac{1}{8} \cdot \frac{R}{3d})^{1/3} = (\frac{R}{24d})^{1/3}$ મળે છે.

(D) $h$ ઊંડાઈએ હવાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_{o} + h \rho g + \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_{o}$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$h \rho g$ એ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ છે,અને $\frac{2T}{R}$ એ પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાનું દબાણ છે.
જેમ પરપોટો ઉપર આવે છે,તેમ ઊંડાઈ $h$ ઘટે છે,જેના કારણે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ $h \rho g$ ઘટે છે. પરિણામે,પરપોટો ઉપર જાય તેમ તેની અંદરનું કુલ દબાણ ઘટે છે.
વધુમાં,કારણ કે $P_{in} = P_{out} + \frac{2T}{R}$,પરપોટાની અંદરનું દબાણ હંમેશા તેની બહારના દબાણ $(P_{out} = P_{o} + h \rho g)$ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે. જ્યારે ત્રિજ્યામાં $\Delta R$ જેટલો ઘટાડો થાય,ત્યારે બાષ્પીભવન પામતું દળ $\Delta m = \rho \Delta V = \rho (4\pi R^2 \Delta R)$ થાય.
બાષ્પીભવન માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = \Delta m L = 4\pi R^2 \Delta R \rho L$ છે.
ટીપાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi R^2$ છે. પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \Delta A = T [4\pi R^2 - 4\pi (R - \Delta R)^2]$ છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $\Delta U = 4\pi T [R^2 - (R^2 - 2R\Delta R + \Delta R^2)] = 4\pi T [2R\Delta R - \Delta R^2]$.
$\Delta R^2$ ને અવગણતા,$\Delta U \approx 8\pi T R \Delta R$ મળે.
બાષ્પીભવન માટે જરૂરી ઉર્જાને પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ઘટાડા સાથે સરખાવતા: $4\pi R^2 \Delta R \rho L = 8\pi T R \Delta R$.
$R$ માટે ઉકેલતા: $R = \frac{8\pi T}{4\pi \rho L} = \frac{2T}{\rho L}$.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આડછેદ માટે,પરિઘ $2\pi r$ છે.
બે સપાટીઓ હોવાથી,સમતલના સંપર્કમાં રહેલી ફિલ્મની કુલ લંબાઈ $L = 2 \times (2\pi r) = 4\pi r$ થાય.
પૃષ્ઠતાણ $T$ ને કારણે લાગતું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = T \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $F = T \times (4\pi r) = 4\pi rT$ મળે છે.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, દબાણનો તફાવત $P_0 - P_1 = \frac{4S}{r_0}$ છે.
આપેલ છે કે $P_1 = \frac{8P_0}{9}$, તેથી $P_0 - \frac{8P_0}{9} = \frac{4S}{r_0}$, જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{P_0}{9} = \frac{4S}{r_0}$, એટલે કે $P_0 = \frac{36S}{r_0}$ મળે.
પ્રારંભિક આંતરિક દબાણ $P_{in, initial} = P_0 = \frac{36S}{r_0}$ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી, પરપોટાની અંદરના હવાના મોલની સંખ્યા અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $P_{in, initial} V_{initial} = P_{in, final} V_{final}$ મળે.
અંતે, પાત્રમાંથી હવા કાઢી લેવામાં આવે છે, તેથી $P_{outside} = 0$. અંતિમ આંતરિક દબાણ $P_{in, final} = \frac{4S}{r}$ છે, જ્યાં $r$ એ અંતિમ ત્રિજ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{36S}{r_0})(\frac{4}{3}\pi r_0^3) = (\frac{4S}{r})(\frac{4}{3}\pi r^3)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $36S r_0^2 = 4S r^2$ મળે, જે $9r_0^2 = r^2$ આપે છે.
તેથી, $r = 3r_0$, અને ગુણોત્તર $\frac{r}{r_0} = 3$ થાય.

(B) પૃષ્ઠતાણને કારણે સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P_s = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતભારિત પરપોટાની સપાટી પર લાગતું બહારની તરફનું સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ $P_e = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે પરપોટો ફૂટવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું અંદરની તરફનું દબાણ એ બહારની તરફના સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$\frac{4T}{R} = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$.
$R$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$R = \frac{8\varepsilon_0 T}{\sigma^2}$.

(D) આગળ સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_0 + \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
મેનોમીટરની ભુજાઓમાં સમાન આડા સ્તરે દબાણ સમાન હોય છે. ધારો કે ખુલ્લી ભુજામાં પ્રવાહીની સપાટી પરનું દબાણ $P_0$ છે. તો નીચલી ભુજા $D$ ને અનુરૂપ સ્તરે દબાણ $P_0 + \rho gh$ છે.
પરપોટા $B$ અને મેનોમીટરની ભુજા $D$ ના સ્તરે દબાણને સરખાવતા (ધારી લો કે $B$ એ $D$ ના સ્તરે જ છે):
$P_0 + \frac{4T}{r} = P_0 + \rho gh$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{4T}{r} = \rho gh$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{r \rho gh}{4}$

(A) પ્રવાહી ફિલ્મની અંદરનું દબાણ બહારના વાતાવરણીય દબાણ કરતા $\Delta P = T \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$ જેટલું ઓછું હોય છે.
અહીં ફિલ્મ પાતળી હોવાથી,$r_1 = t/2$ અને $r_2 = \infty$ લેતા,જ્યાં $t$ એ ફિલ્મની જાડાઈ છે.
તેથી,વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{t}$ થાય.
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A = \frac{2TA}{t}$ છે.
કદ $V = A \times t$ હોવાથી,$t = V/A$ મળે.
બળના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા: $F = \frac{2TA^2}{V}$.
આપેલ કિંમતો: $A = 40 \ cm^2 = 40 \times 10^{-4} \ m^2$,$V = 0.05 \ cm^3 = 0.05 \times 10^{-6} \ m^3$,અને $T = 70 \ dyne/cm = 70 \times 10^{-3} \ N/m$.
$F = \frac{2 \times (70 \times 10^{-3} \ N/m) \times (40 \times 10^{-4} \ m^2)^2}{0.05 \times 10^{-6} \ m^3}$.
$F = \frac{140 \times 10^{-3} \times 1600 \times 10^{-8}}{0.05 \times 10^{-6}} = 44.8 \ N \approx 45 \ N$.

(D) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચે હવા-પાણીની સપાટી નળાકાર મેનિસ્કસ (meniscus) બનાવે છે.
નળાકાર સપાટી માટે,વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
સંપર્ક કોણ શૂન્ય હોવાથી,મેનિસ્કસ એ $d$ વ્યાસ ધરાવતું અર્ધ-નળાકાર છે.
તેથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = d/2$ થાય.
વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_{atm} - P_{inside} = \frac{T}{R}$ છે.
$R = d/2$ મૂકતા,આપણને $\Delta P = \frac{T}{d/2} = \frac{2T}{d}$ મળે છે.
મેનિસ્કસ હવાની તરફ અંતર્ગોળ હોવાથી,પાણીની અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,$P_{inside} = P_0 - \Delta P = P_0 - \frac{2T}{d}$.

(D) સાબુના પરપોટા માટે વધારાનું દબાણ $\Delta P$ એ સૂત્ર $\Delta P = 2 \times T \times \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R_1, R_2$ એ મુખ્ય વક્રતા ત્રિજ્યાઓ છે.
અહીં $R_1 = R$ અને $R_2 = 5R$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta P = 2T \times \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{5R}\right)$
$\Delta P = 2T \times \left(\frac{5 + 1}{5R}\right)$
$\Delta P = 2T \times \left(\frac{6}{5R}\right)$
$\Delta P = \frac{12T}{5R}$

(B) સાબુના પરપોટા માટે,અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે $r_1 = 4 \ cm$ અને $r_2 = 5 \ cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ અનુક્રમે $P_1$ અને $P_2$ છે.
$P_1 = \frac{4T}{r_1}$ અને $P_2 = \frac{4T}{r_2}$.
અહીં $r_1 < r_2$ હોવાથી,નાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ મોટા પરપોટાની અંદરના દબાણ કરતા વધારે છે $(P_1 > P_2)$.
સામાન્ય સપાટી નાના પરપોટા તરફ વળેલી હશે અને તેની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ હશે. આ સામાન્ય સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2$ છે.
સામાન્ય સપાટી માટે,દબાણનો તફાવત $\Delta P = \frac{4T}{R}$ છે.
તેથી,$\frac{4T}{R} = \frac{4T}{r_1} - \frac{4T}{r_2}$.
$\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$.
$R = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} = \frac{4 \times 5}{5 - 4} = \frac{20}{1} = 20 \ cm$.

(D) $R$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટા માટે બે સપાટીઓ હોય છે,તેથી $\Delta A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$.
આમ,$W = 8 \pi R^2 T$.
પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ હોવાથી,$R^3 \propto V$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto V^{1/3}$.
આને કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $W \propto R^2 \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$.
તેથી,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3}$.
અહીં $V_1 = V$ અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે,તેથી $\frac{W_2}{W} = \left( \frac{2V}{V} \right)^{2/3} = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3} = \sqrt[3]{4}$.
આમ,$W_2 = \sqrt[3]{4} W$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પરપોટા માટે,અંદરનું દબાણ $P_1 = P_{atm} + \frac{4S}{R}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પરપોટા માટે,અંદરનું દબાણ $P_2 = P_{atm} + \frac{4S}{r}$ છે.
$R > r$ હોવાથી,દબાણ $P_2$ એ $P_1$ કરતા વધારે છે.
સામાન્ય સપાટી મોટી ત્રિજ્યા $(R)$ વાળા પરપોટા તરફ ફૂલેલી રહેશે.
સામાન્ય સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_2 - P_1 = \frac{4S}{r} - \frac{4S}{R}$ છે.
ધારો કે $r_c$ એ સામાન્ય સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા છે. તેથી $\Delta P = \frac{4S}{r_c}$.
$\Delta P$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{4S}{r_c} = 4S \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
$\frac{1}{r_c} = \frac{R - r}{Rr}$.
તેથી,$r_c = \frac{Rr}{R - r}$.

(D) $R$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,$\Delta A = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ થાય.
આમ,$W = 8\pi R^2 T$.
પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $R = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$.
$W$ ના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $W \propto R^2 \propto V^{2/3}$ મળે છે.
જો નવું કદ $V' = 2V$ હોય,તો નવું કાર્ય $W'$ એ $W' = W \times (\frac{V'}{V})^{2/3}$ દ્વારા મળે છે.
$W' = W \times (\frac{2V}{V})^{2/3} = 2^{2/3}W$.

(B) પ્રવાહીમાં $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P_{liquid} = P + hdg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ વાતાવરણીય દબાણ છે, $d$ પ્રવાહીની ઘનતા છે, અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
પાણીમાં રહેલા હવાના પરપોટાની માત્ર એક સપાટી પ્રવાહીના સંપર્કમાં હોય છે। $r$ ત્રિજ્યાના હવાના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
તેથી, પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ એ આસપાસના પ્રવાહીનું દબાણ અને પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાના દબાણનો સરવાળો છે:
$P_{in} = P_{liquid} + \Delta P$
$P_{in} = P + hdg + \frac{2T}{r}$

(B) પાણીની ઊંડાઈને કારણે દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીને છિદ્રમાં પ્રવેશવા માટે,પાણી દ્વારા લાગતું દબાણ છિદ્ર પરના કેશિકા દબાણ (વધારાનું દબાણ) ને દૂર કરવું આવશ્યક છે,જે $P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $h \rho g = \frac{2T}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $r = \frac{2T}{h \rho g}$.
છિદ્રનો વ્યાસ $d$ એ $d = 2r = \frac{4T}{h \rho g}$ છે.
આપેલ છે: $h = 40 \, cm = 0.4 \, m$,$T = 0.07 \, N/m$,$\rho = 10^3 \, kg/m^3$,અને $g = 9.8 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{4 \times 0.07}{0.4 \times 10^3 \times 9.8} = 0.07 \times 10^{-3} \, m = 0.07 \, mm$ (જ્યાં $g \approx 10 \, m/s^2$ લેતા).

(D) જ્યારે બરફનો ટુકડો ઓગળે છે,ત્યારે તે ઘનમાંથી પ્રવાહી અવસ્થામાં ફેરવાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ મુક્ત વાતાવરણમાં,પ્રવાહીના ટીપાંને વિકૃત કરવા માટે વજન જેવું કોઈ બાહ્ય બળ હોતું નથી.
પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ (surface tension) આપેલ કદ માટે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટાડવાનું કાર્ય કરે છે.
આપેલ કદ માટે,ન્યૂનતમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ભૌમિતિક આકાર ગોળો છે.
તેથી,ઓગળેલું પાણી કુદરતી રીતે ગોળાકાર આકાર ધારણ કરશે.

(A) ધારો કે સાબુના પરપોટાની અંદરની હવાનું પ્રારંભિક દબાણ $P_{in,1}$ છે。
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4\sigma}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
તેથી, $P_{in,1} - p_1 = \frac{4\sigma}{r} \implies P_{in,1} = p_1 + \frac{4\sigma}{r} \quad ...(i)$
તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી, પરપોટાની અંદરની હવા માટે બોઈલનો નિયમ $(PV = \text{અચળ})$ લાગુ પડે છે。
જ્યારે ત્રિજ્યા $r' = r/2$ થાય છે, ત્યારે કદ $V$ એ $V' = \frac{4}{3}\pi(r/2)^3 = \frac{1}{8}V$ થાય છે。
તેથી, પરપોટાની અંદરનું નવું દબાણ $P_{in,2} = 8P_{in,1} = 8(p_1 + \frac{4\sigma}{r}) = 8p_1 + \frac{32\sigma}{r}$ થશે。
પરપોટાની બહારનું નવું દબાણ $p_2$ છે. નવી ત્રિજ્યા $r/2$ માટે વધારાના દબાણનું સમીકરણ:
$P_{in,2} - p_2 = \frac{4\sigma}{r/2} = \frac{8\sigma}{r}$.
$P_{in,2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(8p_1 + \frac{32\sigma}{r}) - p_2 = \frac{8\sigma}{r}$.
$p_2 = 8p_1 + \frac{32\sigma}{r} - \frac{8\sigma}{r} = 8p_1 + \frac{24\sigma}{r}$.

(A) પરપોટા શૂન્યાવકાશમાં હોવાથી,તેમની અંદરની હવાનું દબાણ $P_1 = \frac{4\sigma}{r_1}$ અને $P_2 = \frac{4\sigma}{r_2}$ છે.
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ હવાનું કુલ દળ જળવાઈ રહે છે,એટલે કે $P_1V_1 + P_2V_2 = PV$.
દબાણ અને કદ $(V = \frac{4}{3}\pi r^3)$ માટેના સૂત્રો મૂકતા:
$\left(\frac{4\sigma}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right) + \left(\frac{4\sigma}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_2^3\right) = \left(\frac{4\sigma}{r}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $r_1^2 + r_2^2 = r^2$ મળે છે.
આપેલ વ્યાસ $D_1 = 3.0 \, mm$ અને $D_2 = 4.0 \, mm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r_1 = 1.5 \, mm$ અને $r_2 = 2.0 \, mm$ થશે.
$r^2 = (1.5)^2 + (2.0)^2 = 2.25 + 4.0 = 6.25$.
$r = \sqrt{6.25} = 2.5 \, mm$.
તેથી નવા પરપોટાનો વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 2.5 = 5.0 \, mm$ થાય.

(D) સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે $P_1$ એ બે પરપોટા વચ્ચેના વિસ્તારમાં દબાણ છે.
$r_1 = 4 \ cm$ ત્રિજ્યાના અંદરના પરપોટા માટે:
$P_2 - P_1 = \frac{4T}{4} \quad ...(i)$
$r_2 = 6 \ cm$ ત્રિજ્યાના બહારના પરપોટા માટે:
$P_1 - P_0 = \frac{4T}{6} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(P_2 - P_1) + (P_1 - P_0) = \frac{4T}{4} + \frac{4T}{6}$
$P_2 - P_0 = 4T \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right)$
ધારો કે $r$ એ એવા પરપોટાની ત્રિજ્યા છે જેનું વધારાનું દબાણ $P_2 - P_0$ જેટલું છે:
$P_2 - P_0 = \frac{4T}{r}$
$P_2 - P_0$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{4T}{r} = 4T \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right)$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2}{12} = \frac{5}{12}$
$r = \frac{12}{5} = 2.4 \ cm$.

(A) વક્ર પ્રવાહી સપાટી પર દબાણનો તફાવત યંગ-લાપ્લેસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = T \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$.
બે પ્લેટો વચ્ચેના પાણીની નળાકાર સપાટી માટે,વક્રતાની બે ત્રિજ્યા $R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ છે (કારણ કે સપાટી નળાકાર વક્રતાને લંબ દિશામાં સીધી છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta P = T \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{\infty} \right)$
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,આપણને મળે છે:
$\Delta P = \frac{T}{R}$.

(A) આપેલ છે: હવાના પરપોટાની ત્રિજ્યા,$r = 0.1\, cm = 10^{-3}\, m$.
પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ,$S = 0.06\, N/m = 6 \times 10^{-2}\, N/m$.
પ્રવાહીની ઘનતા,$\rho = 10^3\, kg/m^3$.
પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ,$P_{excess} = 1100\, N/m^2$.
પ્રવાહીની સપાટીથી પરપોટાની ઊંડાઈ,$h = ?$.
ઊંડાઈ $h$ પર પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P_{in} = P_{atm} + h\rho g + \frac{2S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાતાવરણીય દબાણ કરતા વધારાનું દબાણ $P_{excess} = P_{in} - P_{atm} = h\rho g + \frac{2S}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1100 = h \times 10^3 \times 9.8 + \frac{2 \times 6 \times 10^{-2}}{10^{-3}}$.
$1100 = 9800h + 120$.
$9800h = 1100 - 120 = 980$.
$h = \frac{980}{9800} = 0.1\, m$.

(B) ધારો કે $P_1, R_1$ અને $P_2, R_2$ એ બે સાબુના પરપોટાના આંતરિક દબાણ અને ત્રિજ્યા છે, અને $P_3, R_3$ એ પરિણામી એક પરપોટાનું આંતરિક દબાણ અને ત્રિજ્યા છે.
સાબુના પરપોટાનું આંતરિક દબાણ $P_{in} = P + \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારી લઈએ કે પ્રક્રિયા સમતાપી છે, તેથી હવાનું કુલ પ્રમાણ ($PV$ ના સંદર્ભમાં) અચળ રહે છે: $P_1V_1 + P_2V_2 = P_3V_3$.
દબાણ અને કદ માટેના સમીકરણો મૂકતા: $(P + \frac{4T}{R_1})(\frac{4}{3}\pi R_1^3) + (P + \frac{4T}{R_2})(\frac{4}{3}\pi R_2^3) = (P + \frac{4T}{R_3})(\frac{4}{3}\pi R_3^3)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા આપણને મળે છે: $P(\frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 - \frac{4}{3}\pi R_3^3) + \frac{16\pi T}{3}(R_1^2 + R_2^2 - R_3^2) = 0$.
અહીં, $V = V_3 - (V_1 + V_2)$ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે, તેથી $V_1 + V_2 - V_3 = -V$. તેમજ, $S = S_3 - (S_1 + S_2)$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે, જ્યાં $S_i = 4\pi R_i^2$, તેથી $S_1 + S_2 - S_3 = -S$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $P(-V) + \frac{4T}{3}(-S) = 0$.
$-3$ વડે ગુણતા, આપણને $3PV + 4ST = 0$ મળે છે.

(D) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે: $n(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$,તેથી $n = (R/r)^3$.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન મુક્ત થતી ઉર્જા એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થયેલા ઘટાડા અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$E = T \times (A_{initial} - A_{final}) = T \times (n \cdot 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
$n = R^3/r^3$ મૂકતા:
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r^3} \cdot r^2 - R^2) = 4\pi T R^3 (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
આ ઉર્જા મોટા ટીપાની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$K.E. = \frac{1}{2} M v^2 = E$,જ્યાં $M$ એ મોટા ટીપાનું દળ છે,$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
બંનેને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} (\frac{4}{3}\pi R^3 \rho) v^2 = 4\pi T R^3 (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
$\frac{2}{3} \pi R^3 \rho v^2 = 4\pi T R^3 (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
$v^2 = \frac{4 \times 3}{2} \frac{T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R}) = \frac{6T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
$v = \sqrt{\frac{6T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})}$.

(D) $\text{ધારો કે સાબુના પરપોટાનું કદ } V \text{ છે અને વધારાનો દર અચળ છે, તેથી } V = kt, \text{ જ્યાં } k \text{ અચળાંક છે。}
V = \frac{4}{3}\pi R^3 \text{ હોવાથી, } \frac{4}{3}\pi R^3 = kt \text{ મળે, જેનો અર્થ છે કે } R = \left( \frac{3k}{4\pi} t \right)^{1/3}.
\text{સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ } P_{in} = P_{atm} + \frac{4T}{R} \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં } P_{atm} \text{ વાતાવરણીય દબાણ છે અને } T \text{ પૃષ્ઠતાણ છે。}
\text{દબાણના સમીકરણમાં } R \text{ ની કિંમત મૂકતા: } P_{in} = P_{atm} + \frac{4T}{\left( \frac{3k}{4\pi} t \right)^{1/3}}。
\text{આને } P_{in} = P_{atm} + C \cdot t^{-1/3} \text{ તરીકે લખી શકાય, જ્યાં } C \text{ અચળાંક છે。}
\text{આપેલા કોઈ પણ આલેખ } (P \text{ વિરુદ્ધ } 1/t, P \text{ વિરુદ્ધ } \log(t), \text{ અથવા } P \text{ વિરુદ્ધ } t) P \propto t^{-1/3} \text{ સંબંધ દર્શાવતા નથી。}
\text{તેથી, સાચો વિકલ્પ } D \text{ છે。}$

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
જ્યારે $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે પરપોટા (જ્યાં $r_2 > r_1$) સંપર્કમાં હોય,ત્યારે નાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $(P_1)$ મોટા પરપોટાની અંદરના દબાણ $(P_2)$ કરતા વધારે હોય છે.
સામાન્ય આંતર સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{4T}{r_1} - \frac{4T}{r_2} = 4T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે.
જો $R$ એ આંતર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા હોય,તો $\Delta P = \frac{4T}{R}$ થાય.
$\Delta P$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{4T}{R} = 4T \left( \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \right)$.
તેથી,$R = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$.
અહીં $r_1 = 3r$ અને $r_2 = 4r$ આપેલ છે,તેથી $R = \frac{(3r)(4r)}{4r - 3r} = \frac{12r^2}{r} = 12r$.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દબાણ $h$ ઊંચાઈના તેલના સ્તંભ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{4T}{R} = h \rho g$,તેથી $T = \frac{R h \rho g}{4}$.
આપેલ મૂલ્યો: $R = 1\, cm = 10^{-2}\, m$,$h = 2\, mm = 2 \times 10^{-3}\, m$,$\rho = 0.8\, g/cm^3 = 800\, kg/m^3$,અને $g = 9.8\, m/s^2$.
આ કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{10^{-2} \times 2 \times 10^{-3} \times 800 \times 9.8}{4}$.
ગણતરી કરતા $T = 3.92 \times 10^{-3}\, N/m$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ ની નજીક છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$,અથવા $r \propto \frac{1}{\Delta P}$.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ બીજા કરતા ત્રણ ગણું છે,તેથી $\Delta P_1 = 3 \Delta P_2$.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = \frac{1}{3}$ થાય.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,તેથી $V \propto r^3$.
તેમના કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$ થાય.

(B) પાણીની સપાટીની બરાબર નીચે બનેલા હવાના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p_1 = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,કારણ કે ત્યાં માત્ર એક જ પ્રવાહી-હવા આંતરપૃષ્ઠ હોય છે.
તે જ રીતે,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p_2 = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,કારણ કે ત્યાં પણ માત્ર એક જ પ્રવાહી-હવા આંતરપૃષ્ઠ હોય છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $p_1 = p_2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $p_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
ધારો કે $p_1$ અને $p_2$ એ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે પરપોટાની અંદરનું દબાણ છે.
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta p = \frac{4S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આમ,પરપોટાની અંદરનું દબાણ:
$p_1 = p_0 + \frac{4S}{r_1}$
$p_2 = p_0 + \frac{4S}{r_2}$
અહીં $r_1 > r_2$ હોવાથી,$p_2 > p_1$ થશે.
જ્યારે તેઓ સંપર્કમાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય સપાટી $r$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા પડદા તરીકે કાર્ય કરે છે. આ સામાન્ય સપાટી પર દબાણનો તફાવત:
$p_2 - p_1 = \frac{4S}{r}$
$p_1$ અને $p_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$(p_0 + \frac{4S}{r_2}) - (p_0 + \frac{4S}{r_1}) = \frac{4S}{r}$
$\frac{4S}{r_2} - \frac{4S}{r_1} = \frac{4S}{r}$
$4S$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}$
$\frac{1}{r} = \frac{r_1 - r_2}{r_1 r_2}$
તેથી,$r = \frac{r_1 r_2}{r_1 - r_2}$.

(D) જે પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવતું નથી (જેમ કે પારો), તેના માટે મેનિસ્કસ ઉપરની તરફ બહિર્ગોળ (convex) હોય છે.
યંગ-લાપ્લેસ સમીકરણ મુજબ, વક્ર સપાટી પરના દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{out} - P_{in} = \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ મેનિસ્કસ માટે, મેનિસ્કસની બરાબર નીચેનું દબાણ $(P_{in})$ તેની ઉપરના દબાણ $(P_{out})$ કરતા વધારે હોય છે.
મેનિસ્કસની બરાબર ઉપરનું દબાણ એ વાતાવરણીય દબાણ $(P_0)$ હોવાથી, મેનિસ્કસની બરાબર નીચેનું દબાણ $P_{in} = P_0 + \frac{2T}{R}$ થાય છે.
તેથી, મેનિસ્કસની બરાબર નીચેનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતા વધારે હોય છે, જેના કારણે કેશિકા નળીમાં પારાનું સ્તર નીચે જાય છે.

(B) પાણીના સ્તરની જાડાઈ $d$ એ $d = \frac{V}{A} = \frac{0.05\, cm^3}{40\, cm^2} = 1.25 \times 10^{-3}\, cm$ દ્વારા મળે છે.
પાણીના સ્તરની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{d}$ છે.
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A = \frac{2T}{d} \times A = \frac{2T \times A}{V/A} = \frac{2T \times A^2}{V}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{2 \times 70\, dyne/cm \times (40\, cm^2)^2}{0.05\, cm^3} = \frac{140 \times 1600}{0.05} = 4,480,000\, dyne$.
કારણ કે $1\, Newton = 10^5\, dyne$,તેથી $F = \frac{4,480,000}{10^5}\, N = 44.8\, N$.

(D) સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા $R_1$ થી $R_2$ સુધી વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,કાર્ય $W = 2 \times T \times \Delta A$ થાય,જ્યાં $\Delta A = 4\pi R_2^2 - 4\pi R_1^2$ છે.
આપેલ છે: $T = 30\, dyne/cm$,$R_1 = 1\, cm$,$R_2 = 2\, cm$.
$W = 2 \times 30 \times 4\pi \times (2^2 - 1^2)$
$W = 60 \times 4\pi \times (4 - 1)$
$W = 240\pi \times 3 = 720\pi$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$W = 720 \times 3.14 = 2260.8\, ergs$.

(A) મોટા ટીપાનું કદ એ $729$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે.
ધારો કે $V_{big}$ એ મોટા ટીપાનું કદ છે અને $V_{small}$ એ એક નાના ટીપાનું કદ છે.
$V_{big} = 729 \times V_{small}$
ગોળાના કદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{4}{3}\pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
બંને બાજુથી $\frac{4}{3}\pi$ દૂર કરતા,આપણને $R^3 = 729 \times r^3$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$R = \sqrt[3]{729} \times r$.
કારણ કે $9^3 = 729$,તેથી $R = 9r$.
આમ,દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{9}$ થશે.

(D) ધારો કે મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R = 1\, mm = 10^{-3}\, m$ છે અને નાના ટીપાંની સંખ્યા $n = 10^6$ છે.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$10^6 \times r^3 = (10^{-3})^3$
$r^3 = 10^{-15} \Rightarrow r = 10^{-5}\, m$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$
$\Delta A = 10^6 \times 4 \pi (10^{-5})^2 - 4 \pi (10^{-3})^2$
$\Delta A = 4 \pi (10^{-4} - 10^{-6}) = 4 \pi \times 10^{-6} (100 - 1) = 4 \pi \times 99 \times 10^{-6}\, m^2$.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A$
$W = 72 \times 10^{-3} \times 4 \pi \times 99 \times 10^{-6}$
$W = 72 \times 4 \times 3.14159 \times 99 \times 10^{-9} \approx 8.95 \times 10^{-5}\, J$.