Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Gujarati

(C) સમતાપી સ્થિતિમાં,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,પરપોટાની અંદર રહેલા હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે.
ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ છે,જ્યાં $P_0$ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $S$ પૃષ્ઠતાણ છે.
નાના પરપોટા માટે,$P \approx \frac{4S}{r}$.
$PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અચળ $T$ અને $n$ માટે,$PV$ અચળ રહે છે.
$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_R V_R$
$\left(\frac{4S}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3\right) + \left(\frac{4S}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right) = \left(\frac{4S}{R}\right) \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right)$
$\frac{16}{3} \pi S r_1^2 + \frac{16}{3} \pi S r_2^2 = \frac{16}{3} \pi S R^2$
$r_1^2 + r_2^2 = R^2$
$R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$

(C) જ્યારે બે ટીપાં જોડાય છે ત્યારે પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે. ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
બે નાના ટીપાંનું કદ = મોટા ટીપાનું કદ
$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3} r$
પૃષ્ઠ ઊર્જા $W$ એ $W = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા,$W_1 = T \times (4 \pi R^2) = 4 \pi T (2^{1/3} r)^2 = 2^{2/3} (4 \pi r^2 T)$.
એક નાના ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા,$W_2 = T \times (4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 T$.
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા અને નાના ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{W_1}{W_2} = \frac{2^{2/3} (4 \pi r^2 T)}{4 \pi r^2 T} = 2^{2/3} : 1$.

(A) જ્યારે સાબુના પરપોટાને વિદ્યુતભારિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર તેની સપાટી પર સમાન રીતે વહેંચાઈ જાય છે.
સપાટી પરના સમાન વિદ્યુતભારો વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણને કારણે,પરપોટા પર બહારની તરફનું દબાણ લાગે છે.
આ વધારાનું બહારની તરફનું દબાણ પરપોટાની અંદરની હવાના દબાણની દિશામાં જ કાર્ય કરે છે.
પરિણામે,આ બળોને સંતુલિત કરવા માટે પરપોટો વિસ્તરે છે,જેના કારણે તેની ત્રિજ્યામાં વધારો થાય છે.

(D) પૃષ્ઠતાણને કારણે સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p_i = \frac{4S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પરપોટાને ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સપાટી પર બહારની તરફ સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ લાગે છે,જે $p_e = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
ચાર્જ થયેલા ગોળાકાર પરપોટાનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ છે. $Q = \sigma(4\pi r^2)$ હોવાથી,આપણને $V = \frac{\sigma r}{\varepsilon_0}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{r}$.
સ્થિત-વિદ્યુત દબાણના સૂત્રમાં $\sigma$ ની કિંમત મૂકતા: $p_e = \frac{(\varepsilon_0 V / r)^2}{2\varepsilon_0} = \frac{\varepsilon_0 V^2}{2r^2}$.
પરપોટાની અંદરનું દબાણ બહારના દબાણ જેટલું કરવા માટે,પૃષ્ઠતાણને કારણે થતું વધારાનું દબાણ સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ: $\frac{4S}{r} = \frac{\varepsilon_0 V^2}{2r^2}$.
$V$ માટે ઉકેલતા: $V^2 = \frac{8Sr}{\varepsilon_0} \Rightarrow V = \sqrt{\frac{8Sr}{\varepsilon_0}}$.

(B) ધારો કે $P_1$ અને $V_1$ એ તળિયે પરપોટાનું દબાણ અને કદ છે,અને $P_2$ અને $V_2$ એ ઉપરની સપાટી પર દબાણ અને કદ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + h \rho g = 10 \ m + 7.28 \ m = 17.28 \ m$ પાણી જેટલું છે.
ઉપરની સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_{atm} = 10 \ m$ પાણી જેટલું છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,તેથી $V \propto r^3$.
આને બોઈલના નિયમમાં મૂકતા: $P_1 r_1^3 = P_2 r_2^3$.
તેથી,$\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{P_2}{P_1} = \frac{10}{17.28} = \frac{1000}{1728}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{1000}{1728}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $5: 6$ છે.

(B) સાબુના પરપોટા માટે,અંદરનું વધારાનું દબાણ $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P = P_{atm} + P_{ex}$ છે. પરપોટા શૂન્યાવકાશમાં હોવાથી,$P_{atm} = 0$.
તેથી,$P = \frac{4T}{r}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ ($m$ એ હવાનું દળ છે,$M$ એ હવાનું મોલર દળ છે),આપણને $P = \frac{mRT}{MV}$ મળે છે.
$P = \frac{4T}{r}$ અને $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ મૂકતા,આપણને $\frac{4T}{r} = \frac{mRT}{M(\frac{4}{3}\pi r^3)}$ મળે છે.
દળ $m$ માટે ગોઠવતા,$m = \frac{4T}{r} \cdot \frac{M \cdot 4\pi r^3}{3RT} = \frac{16\pi TM}{3RT} \cdot r^2$ મળે છે.
અહીં $T$,$M$,$R$ અને તાપમાન અચળ હોવાથી,$m \propto r^2$.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ થાય છે.

(B) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના બે સાબુના પરપોટા શૂન્યાવકાશમાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનો એક પરપોટો બનાવે છે,ત્યારે પરપોટાની અંદર રહેલા હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે. પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,તાપમાન $T$ અચળ છે. $r$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ છે,જ્યાં $P_0$ એ બાહ્ય દબાણ છે (જે શૂન્યાવકાશમાં $0$ છે) અને $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે. તેથી,$P = \frac{4S}{r}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,સાબુના પરપોટા માટે,$n = \frac{PV}{RT} = \frac{(4S/r) \cdot (4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{16 \pi S r^2}{3RT}$.
મોલની કુલ સંખ્યા સંરક્ષિત હોવાથી,$n_{total} = n_1 + n_2$. આપેલ છે કે $r_1 = r_2 = r = 2 \ cm$,તેથી $n_{total} = 2n = \frac{32 \pi S r^2}{3RT}$.
$R$ ત્રિજ્યાના નવા પરપોટા માટે,$n_{total} = \frac{16 \pi S R^2}{3RT}$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $R^2 = 2r^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R = r\sqrt{2}$.
$r = 2 \ cm$ મૂકતા,આપણને $R = 2\sqrt{2} \ cm$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
એક નાના ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$216 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R^3 = 216 r^3 \Rightarrow R = 6r$.
$216$ ટીપાંનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ = $216 \times A$.
મોટા ટીપાનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ = $4 \pi R^2 = 4 \pi (6r)^2 = 36 \times (4 \pi r^2) = 36A$.
મુક્ત થતી ઉર્જા = (પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ - અંતિમ પૃષ્ઠફળ) $\times T$.
મુક્ત થતી ઉર્જા = $(216A - 36A) \times T = 180 AT$.

(A) જ્યારે પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ એ બાષ્પ દબાણ $P$ જેટલું થાય ત્યારે ટીપું સંતુલનમાં રહેશે.
ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
ટીપું બાષ્પીભવન થયા વગર અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે,અંદરનું દબાણ બાષ્પ દબાણ $P$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,$P = \frac{2S}{R}$.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{2S}{P}$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{2 \times (8 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1})}{2.5 \times 10^3 \text{ Pa}}$.
$R = \frac{16 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^3} = 6.4 \times 10^{-5} \text{ m}$.
માઇક્રોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $R = 64 \times 10^{-6} \text{ m} = 64 \mu m$.

(A) $\text{આપેલ છે,પિનહોલનો વ્યાસ } d = 0.2 \,mm
\text{પિનહોલની ત્રિજ્યા } r = d/2 = 0.1 \,mm = 0.1 \times 10^{-3} \,m
\text{જ્યાં સુધી તળિયે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાના દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,ત્યાં સુધી પાણી પાત્રમાં પ્રવેશશે નહીં।}
\text{સંતુલન માટેની શરત } h \rho g = \frac{2T}{r} \text{ છે।}
\text{અહીં, } h \text{ એ નિમજ્જનની ઊંડાઈ છે, } \rho = 10^3 \,kg/m^3 \text{ એ પાણીની ઘનતા છે, } T = 0.07 \,N/m \text{ એ પૃષ્ઠતાણ છે,અને } g = 10 \,m/s^2 \text{ છે।}
\text{કિંમતો મૂકતા: } h = \frac{2T}{\rho g r} = \frac{2 \times 0.07}{10^3 \times 10 \times 0.1 \times 10^{-3}}
h = \frac{0.14}{1} = 0.14 \,m = 14 \,cm
\text{આમ,પાત્રને પાણી અંદર પ્રવેશ્યા વગર } 14 \,cm \text{ ની ઊંડાઈ સુધી નીચે ઉતારી શકાય છે।}$

(C) ધારો કે '$r$' ત્રિજ્યાના '$n$' નાના ટીપાં ભેગા થઈને '$R$' ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે.
કદના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$,જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{R^3}{r^3}$.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (n r^2 - R^2)$ છે.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ મૂકતા,$\Delta A = 4 \pi (\frac{R^3}{r} - R^2) = 4 \pi R^2 (\frac{R}{r} - 1)$ મળે છે.
મુક્ત થતી ઉર્જા $E = T \cdot \Delta A = 4 \pi T R^2 (\frac{R-r}{r})$ છે.
આ ઉર્જા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $E = \frac{1}{2} M v^2$,જ્યાં $M$ એ મોટા ટીપાંનું દળ છે.
$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
બંનેને સરખાવતા: $4 \pi T R^2 (\frac{R-r}{r}) = \frac{1}{2} (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3) v^2$.
$v^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $v^2 = \frac{6 T (R-r)}{\rho R r}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{6 T}{\rho} \left( \frac{R-r}{rR} \right)}$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_{ext} + \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
શરૂઆતમાં, પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in,1} = P_1 + \frac{4T}{r}$ છે।
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી, પરપોટાની અંદરની હવા બોઈલના નિયમનું પાલન કરે છે, $P_{in,1} V_1 = P_{in,2} V_2$.
પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે।
તેથી, $(P_1 + \frac{4T}{r}) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = (P_2 + \frac{4T}{r/2}) \cdot \frac{4}{3} \pi (r/2)^3$.
$(P_1 + \frac{4T}{r}) r^3 = (P_2 + \frac{8T}{r}) \frac{r^3}{8}$.
$8(P_1 + \frac{4T}{r}) = P_2 + \frac{8T}{r}$.
$8P_1 + \frac{32T}{r} = P_2 + \frac{8T}{r}$.
$P_2 = 8P_1 + \frac{24T}{r}$.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
વધારાનું દબાણ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(P \propto \frac{1}{r})$,મોટા પરપોટાની સરખામણીમાં નાના પરપોટામાં આંતરિક દબાણ વધારે હોય છે.
જ્યારે નળી દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે હવા ઊંચા દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી નીચા દબાણવાળા વિસ્તારમાં વહે છે.
તેથી,હવા નાના પરપોટામાંથી મોટા પરપોટામાં વહે છે.

(D) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દબાણ તેલના સ્તંભ દ્વારા લાગતા દબાણ $p = h \rho g$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
બંનેને સરખાવતા, આપણને મળે છે $h \rho g = \frac{4T}{R}$.
પૃષ્ઠતાણ $T$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $T = \frac{R h \rho g}{4}$.
આપેલ કિંમતો:
ત્રિજ્યા $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$.
ઊંચાઈ $h = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
તેલની ઘનતા $\rho = 0.8 \times 10^3 \,kg/m^3$.
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{10^{-2} \times 2 \times 10^{-3} \times 0.8 \times 10^3 \times 9.8}{4}$.
$T = \frac{1.568 \times 10^{-2}}{4} = 0.392 \times 10^{-2} \,N/m = 0.00392 \,N/m$.

(D) ધારો કે બે સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે અને મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $c$ છે.
સાબુના પરપોટા માટે વધારાનું દબાણ $\frac{4 T}{r}$ છે અને બહારનું દબાણ $P$ છે.
તેથી,$P_a = P + \frac{4 T}{a}$,$P_b = P + \frac{4 T}{b}$ અને $P_c = P + \frac{4 T}{c}$ ...$(i)$
કદ $V_a = \frac{4}{3} \pi a^3$,$V_b = \frac{4}{3} \pi b^3$ અને $V_c = \frac{4}{3} \pi c^3$ છે ...(ii)
હવામાનના મોલનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$P_a V_a + P_b V_b = P_c V_c$.
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ની કિંમતો મૂકતા:
$(P + \frac{4 T}{a})(\frac{4}{3} \pi a^3) + (P + \frac{4 T}{b})(\frac{4}{3} \pi b^3) = (P + \frac{4 T}{c})(\frac{4}{3} \pi c^3)$
$P(\frac{4}{3} \pi)(a^3 + b^3 - c^3) + \frac{16}{3} \pi T(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
અહીં કદમાં ફેરફાર $V = \frac{4}{3} \pi(c^3 - a^3 - b^3)$ અને ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $A = 4 \pi(c^2 - a^2 - b^2)$ લેતા:
$-P V + \frac{4}{3} T A = 0$ એટલે કે $3 P V + 4 T A = 0$.

(D) પ્રથમ સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p_1 = \frac{4T}{r_1}$ છે.
તે જ રીતે,બીજા પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p_2 = \frac{4T}{r_2}$ છે.
ધારો કે પરિણામી મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $R$ છે. આ પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p = \frac{4T}{R}$ છે.
સમતાપી પરિસ્થિતિમાં,હવાનું કુલ મોલ પ્રમાણ અચળ રહે છે અને $PV = nRT$ હોવાથી,$PV$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
તેથી,$PV = p_1 V_1 + p_2 V_2$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{4T}{R}\right) \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right) = \left(\frac{4T}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3\right) + \left(\frac{4T}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $R^2 = r_1^2 + r_2^2$.
તેથી,$R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

(D) ધારો કે તળિયે પરપોટાનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ છે અને ઉપરની સપાટી પર $A_2$ છે. આપેલ છે કે $A_2 = A_1 + 1.25 A_1 = 2.25 A_1$.
પરપોટો ગોળાકાર હોવાથી,$A = 4 \pi r^2$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto \sqrt{A}$. તેથી,$r_2 = \sqrt{2.25} r_1 = 1.5 r_1$.
કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી,$V_2 = (1.5)^3 V_1 = 3.375 V_1$.
તાપમાન સમાન હોવાથી,બોઈલનો નિયમ લાગુ પડે છે: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં,$P_2 = P_{atm} = 10 \ m$ પાણીનો સ્તંભ.
$P_1 = P_{atm} + h = 10 + h$,જ્યાં $h$ એ ટાંકીની ઊંડાઈ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(10 + h) V_1 = 10 \times (3.375 V_1)$.
$10 + h = 33.75$.
$h = 33.75 - 10 = 23.75 \ m$.

(D) પાણી છિદ્રમાંથી બહાર ન નીકળે તે માટે, પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈને કારણે લાગતું દબાણ એ છિદ્ર પરના કેશિકા દબાણ (વધારાનું દબાણ) દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ।
પાણીના સ્તંભને કારણે દબાણ $P = h \rho g$ છે।
પૃષ્ઠતાણને કારણે છિદ્ર પર વધારાનું દબાણ $P_s = \frac{2T \cos \theta}{r}$ છે।
આ બંનેને સરખાવતા, $h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$.
આપેલ છે: $h = 7 \text{ cm} = 0.07 \text{ m}$, $T = 0.07 \text{ N/m}$, $\theta = 0^{\circ}$ (તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$), $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$, અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર:
$r = \frac{2T \cos \theta}{h \rho g}$
$r = \frac{2 \times 0.07 \times 1}{0.07 \times 1000 \times 10}$
$r = \frac{0.14}{700} = 0.0002 \text{ m} = 0.2 \text{ mm}$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$n \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$,જે આપણને $R = n^{1/3} r$ આપે છે.
$n$ ટીપાંનું પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_i = n \times 4 \pi r^2$ છે.
મોટા ટીપાનું અંતિમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 = 4 \pi n^{2/3} r^2$ છે.
$n > 1$ માટે $n^{2/3} < n$ હોવાથી,અંતિમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_f$ એ પ્રારંભિક સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A_i$ કરતા ઓછું છે. આમ,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે.
સપાટી ઉર્જા $U = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે. સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટતું હોવાથી,સિસ્ટમની સપાટી ઉર્જા ઘટે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી ઉર્જામાં થયેલો ઘટાડો ઉષ્મા તરીકે મુક્ત થાય છે. તેથી,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે અને ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.

(C) આપેલ છે:
સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા,$R = 0.5 \ cm = 0.5 \times 10^{-2} \ m$
તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ,$h = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$
તેલની ઘનતા,$\rho = 900 \ kg \ m^{-3}$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 10 \ m \ s^{-2}$
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
તેલના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P' = \rho g h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વધારાનું દબાણ તેલના સ્તંભના દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$\frac{4S}{R} = \rho g h$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4S}{0.5 \times 10^{-2}} = 900 \times 10 \times 4 \times 10^{-3}$
$\frac{4S}{0.5 \times 10^{-2}} = 36$
$4S = 36 \times 0.5 \times 10^{-2}$
$4S = 18 \times 10^{-2}$
$S = 4.5 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1}$

(C) જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું પ્રવાહીનું ટીપું $r$ ત્રિજ્યાના $n$ નાના ટીપાંમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$,જે સૂચવે છે કે $R = n^{1/3} r$.
$n > 1$ હોવાથી,$n$ નાના ટીપાંનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(A_{final} = n \times 4 \pi r^2)$ એ મૂળ મોટા ટીપાંના સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(A_{initial} = 4 \pi R^2)$ કરતા વધારે હોય છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જા એ સપાટીના ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે $(U = T \times A)$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધતું હોવાથી,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે જરૂરી કાર્ય કરવા માટે સિસ્ટમે આસપાસમાંથી ઉર્જાનું શોષણ કરવું પડે છે.

(B) પ્રવાહીમાં $h$ ઊંડાઈએ રહેલા હવાના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ એ પ્રવાહી સ્તંભને કારણે લાગતા દબાણ અને પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા વધારાના દબાણનો સરવાળો છે.
પ્રવાહીમાં રહેલા હવાના પરપોટા માટે માત્ર એક જ મુક્ત સપાટી હોય છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાનું દબાણ $\Delta P_s = \frac{2S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંડાઈને કારણે દબાણ $\Delta P_h = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2S}{R} + \rho g h$.
આપેલ છે: $S = 0.1 \ N \ m^{-1}$,$R = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,$\rho = 2000 \ kg \ m^{-3}$,$h = 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{2 \times 0.1}{1 \times 10^{-3}} + (2000 \times 10 \times 8 \times 10^{-2})$
$\Delta P = 200 + 1600 = 1800 \ N \ m^{-2}$.

(D) મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $= R$.
નાના ટીપાની સંખ્યા,$n = 64$.
ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ટીપાને તોડવાની પ્રક્રિયામાં,પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે.
$V_i = V_f$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 64 r^3 \Rightarrow R = 4r \Rightarrow r = \frac{R}{4}$
મોટા ટીપાને $64$ નાના ટીપામાં તોડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે.
$W = \text{અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા} - \text{પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા}$
$W = T(n \cdot 4 \pi r^2) - T(4 \pi R^2)$
$W = 4 \pi T [64 r^2 - R^2]$
$r = \frac{R}{4}$ મૂકતા:
$W = 4 \pi T [64 (\frac{R}{4})^2 - R^2]$
$W = 4 \pi T [64 (\frac{R^2}{16}) - R^2]$
$W = 4 \pi T [4 R^2 - R^2] = 4 \pi T [3 R^2] = 12 \pi R^2 T$.

(D) આપેલ છે, પાણીના ટીપાંનો વ્યાસ $d = 0.2 \,mm$.
ત્રિજ્યા, $r = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$.
ટીપાંની બહારનું દબાણ, $p_0 = 1.5 \,N / cm^2 = 1.5 \times 10^4 \,N / m^2$.
પૃષ્ઠતાણ, $T = 0.08 \,N / m$.
ગોળાકાર ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta p = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, ટીપાંની અંદરનું કુલ દબાણ $p = p_0 + \frac{2T}{r}$ થશે।
કિંમતો મૂકતા:
$p = 1.5 \times 10^4 + \frac{2 \times 0.08}{10^{-4}}$
$p = 1.5 \times 10^4 + 0.16 \times 10^4$
$p = 1.66 \times 10^4 \,N / m^2$
$N / cm^2$ માં ફેરવતા:
$p = 1.66 \,N / cm^2$.

(B) $h$ ઊંડાઈએ હવાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_{atm} + \rho gh + \frac{2S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મુક્ત સપાટી પરનું દબાણ $P_{atm}$ છે.
તેથી,મુક્ત સપાટી પરના દબાણની સાપેક્ષમાં પરપોટાની અંદરનું દબાણ $\Delta P = P_{in} - P_{atm} = \rho gh + \frac{2S}{R}$ થાય.
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 1000 \,kg/m^3$
ઊંડાઈ $h = 5 \,cm = 0.05 \,m$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$
પૃષ્ઠતાણ $S = 0.1 \,N/m$
ત્રિજ્યા $R = 2 \,mm = 0.002 \,m$
પગલું $1$: પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણની ગણતરી કરો:
$P_{hydro} = \rho gh = 1000 \times 10 \times 0.05 = 500 \,Pa$.
પગલું $2$: પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાના દબાણની ગણતરી કરો:
$P_{excess} = \frac{2S}{R} = \frac{2 \times 0.1}{0.002} = \frac{0.2}{0.002} = 100 \,Pa$.
પગલું $3$: કુલ દબાણ તફાવતની ગણતરી કરો:
$\Delta P = 500 \,Pa + 100 \,Pa = 600 \,Pa$.

(A) $R$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે।
ધારો કે $R_1 = 2.0 \text{ cm}$ અને $R_2 = 1.0 \text{ cm}$.
નાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_0 + \frac{4T}{R_2}$ છે.
બે પરપોટા વચ્ચેનું દબાણ $P_{mid} = P_0 + \frac{4T}{R_1}$ છે.
નાના પરપોટાની અંદર અને મોટા પરપોટાની બહારના દબાણનો તફાવત $\Delta P_{total} = \frac{4T}{R_2} + \frac{4T}{R_1} = 4T(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$ છે.
ધારો કે સમતુલ્ય પરપોટાની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી $\frac{4T}{R} = 4T(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$.
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$.
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2.0 \times 1.0}{2.0 + 1.0} \text{ cm} = \frac{2}{3} \text{ cm} = 0.667 \text{ cm}$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $R = 0.667 \times 10^{-2} \text{ m} = 6.67 \times 10^{-3} \text{ m}$.

(B) ધારો કે $n = 1000$ એ નાના ટીપાંની સંખ્યા છે અને $r$ એ દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા છે. વ્યાસ $10^{-8} \ m$ છે,તેથી $r = 0.5 \times 10^{-8} \ m$.
$n$ નાના ટીપાંનું કદ = $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક મોટા ટીપાંનું કદ.
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$R = (1000)^{1/3} \times (0.5 \times 10^{-8} \ m) = 10 \times 0.5 \times 10^{-8} \ m = 5 \times 10^{-8} \ m$.
મુક્ત થતી ઊર્જા $\Delta U = T \times \Delta A$,જ્યાં $\Delta A = (n \times 4 \pi r^2) - (4 \pi R^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (n r^2 - R^2) = 4 \pi (1000 \times (0.5 \times 10^{-8})^2 - (5 \times 10^{-8})^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (1000 \times 0.25 \times 10^{-16} - 25 \times 10^{-16}) = 4 \pi (250 - 25) \times 10^{-16} = 4 \pi \times 225 \times 10^{-16} = 900 \pi \times 10^{-16} = 9 \pi \times 10^{-14} \ m^2$.
મુક્ત થતી ઊર્જા $\Delta U = 0.075 \times 9 \pi \times 10^{-14} = 0.675 \pi \times 10^{-14} = 6.75 \pi \times 10^{-15} \ J$.

(D) ટીપાની ઉર્જા $U = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
$n$ નાના ટીપાંની ઉર્જા: $U_i = n \times (4\pi r^2 T)$.
મોટા ટીપાની ઉર્જા: $E = 4\pi R^2 T$.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - E = 3E$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
કિંમતો મૂકતા: $n(4\pi r^2 T) - 4\pi R^2 T = 3(4\pi R^2 T)$.
$n(4\pi r^2 T) = 4\pi R^2 T + 12\pi R^2 T$.
$n(4\pi r^2 T) = 16\pi R^2 T$.
$n = \frac{16\pi R^2 T}{4\pi r^2 T} = 4\frac{R^2}{r^2}$.

(B) $h$ ઊંડાઈએ હવાના પરપોટાને ફૂલાવવા માટે જરૂરી કુલ દબાણ એ તે ઊંડાઈએ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ અને પરપોટાની સપાટી પર પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતા વધારાના દબાણનો સરવાળો છે.
$1$. $h = 1 \ cm = 0.01 \ m$ ઊંડાઈએ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ $P_h = \rho g h = 10^3 \times 10 \times 0.01 = 100 \ N/m^2$ છે.
$2$. $r = 0.025 \ cm = 2.5 \times 10^{-4} \ m$ ત્રિજ્યાના પરપોટા માટે પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાનું દબાણ $P_s = \frac{2T}{r} = \frac{2 \times 7 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-4}} = \frac{14 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-4}} = 5.6 \times 10^2 = 560 \ N/m^2$ છે.
$3$. કુલ વધારાનું દબાણ $P = P_h + P_s = 100 + 560 = 660 \ N/m^2$ થાય.
$4$. વૈજ્ઞાનિક સંકેતમાં ફેરવતા: $660 \ N/m^2 = 0.0066 \times 10^5 \ N/m^2$.

(D) કેશનળીમાં પાણીનો ચઢાવ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેશનળીમાં પાણીનું સ્તર પાત્રના સ્તર જેટલું લાવવા માટે,આપણે કેશનળીમાં વધારાનું દબાણ $P$ લગાડવું પડે જે કેશિકા દબાણ $h \rho g$ જેટલું હોય.
તેથી,$P = h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$.
આપેલ છે: $T = 0.07 \ N/m$,$d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$,તેથી $r = 0.14 \times 10^{-3} \ m$,અને પાણી માટે $\theta = 0^{\circ}$ (તેથી $\cos \theta = 1$).
$P = \frac{2 \times 0.07}{0.14 \times 10^{-3}} = \frac{0.14}{0.14 \times 10^{-3}} = 10^3 \ N/m^2$.
આ જરૂરી વધારાનું દબાણ છે. કેશનળીમાં પાણીની સપાટી પર લગાડવું પડતું કુલ દબાણ એ વાતાવરણના દબાણ અને આ વધારાના દબાણનો સરવાળો છે.
કુલ દબાણ $= P_{atm} + P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \ N/m^2$.

(C) શરૂઆતનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = 4 \pi r^2$ છે. શરૂઆતની પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = S \times 4 \pi r^2$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ $8$ નાના ટીપાના કદના સરવાળા જેટલું થાય: $\frac{4}{3} \pi r^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi (r')^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $r^3 = 8(r')^3$,તેથી $r = 2r'$,એટલે કે $r' = r/2$.
$8$ ટીપાનું અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = 8 \times 4 \pi (r')^2 = 8 \times 4 \pi (r/2)^2 = 8 \times 4 \pi (r^2/4) = 8 \pi r^2$ થાય.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = S \times 8 \pi r^2$ છે.
થયેલું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = U_f - U_i = S(8 \pi r^2 - 4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 S$.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$V_{big} = 27 \times V_{small}$.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow R^3 = 27r^3 \Rightarrow R = 3r$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_i = 27 \times (S \times 4 \pi r^2) = 108 \pi r^2 S$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_f = S \times 4 \pi R^2 = S \times 4 \pi (3r)^2 = 36 \pi r^2 S$ છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જામાં સાપેક્ષ વધારો $\frac{\Delta U}{U_i} = \frac{U_f - U_i}{U_i} = \frac{36 \pi r^2 S - 108 \pi r^2 S}{108 \pi r^2 S}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{\Delta U}{U_i} = \frac{-72 \pi r^2 S}{108 \pi r^2 S} = -\frac{72}{108} = -\frac{2}{3}$.

(B) સમતાપી પરિસ્થિતિઓ માટે, હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે। $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ એ બાહ્ય દબાણ છે અને $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે।
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, તાપમાન અચળ હોવાથી $PV$ એ મોલની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે।
તેથી, $P_1V_1 + P_2V_2 = P_cV_c$.
કિંમતો મૂકતા: $(P + \frac{4T}{a}) \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 + (P + \frac{4T}{b}) \cdot \frac{4}{3}\pi b^3 = (P + \frac{4T}{c}) \cdot \frac{4}{3}\pi c^3$.
$\frac{4}{3}\pi$ વડે ભાગતા: $P(a^3 + b^3 - c^3) = 4T(c^2 - a^2 - b^2)$.
$T$ માટે ગોઠવતા: $T = \frac{P(a^3 + b^3 - c^3)}{4(c^2 - a^2 - b^2)} = \frac{P(c^3 - a^3 - b^3)}{4(a^2 + b^2 - c^2)}$.

(A) ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$ છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ એ $1000$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r = 10 \times 10^{-3} \ m = 10^{-2} \ m$.
$1000$ ટીપાંનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 1000 \times 4 \pi r^2$ છે.
મોટા ટીપાનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (10r)^2 = 400 \pi r^2$ છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 400 \pi r^2 - 1000 \times 4 \pi r^2 = -3600 \pi r^2$ છે.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta E = S \times |\Delta A| = S \times 3600 \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 0.072 \times 3600 \times \pi \times (10^{-3})^2$.
$\Delta E = 0.072 \times 3600 \times 3.14159 \times 10^{-6} \approx 8.143 \times 10^{-4} \ J$.
આપેલ વિકલ્પ મુજબ,ઉર્જાનો વ્યય $8.146 \times 10^{-4} \ J$ છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના નાના પરપોટા માટે,અંદરનું દબાણ $P_1 = P_{atm} + \frac{4T}{r}$ છે.
$2r$ ત્રિજ્યાના મોટા પરપોટા માટે,અંદરનું દબાણ $P_2 = P_{atm} + \frac{4T}{2r} = P_{atm} + \frac{2T}{r}$ છે.
જેથી $P_1 > P_2$,જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે હવા ઊંચા દબાણવાળા વિસ્તાર (નાના પરપોટા) થી નીચા દબાણવાળા વિસ્તાર (મોટા પરપોટા) તરફ વહે છે.
પરિણામે,નાના પરપોટાની ત્રિજ્યા ઘટે છે અને મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા વધે છે.

(A) જ્યારે શૂન્યાવકાશમાં બે સાબુના પરપોટા જોડાય છે,ત્યારે હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે. જો પ્રક્રિયા સમતાપી (isothermal) હોય,તો આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અહીં $n$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$PV$ અચળ રહેશે.
સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે. શૂન્યાવકાશમાં,પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
પ્રારંભિક બે પરપોટા માટે,$P_1 V_1 = (\frac{4T}{x})(\frac{4}{3}\pi x^3) = \frac{16}{3}\pi T x^2$ અને $P_2 V_2 = (\frac{4T}{y})(\frac{4}{3}\pi y^3) = \frac{16}{3}\pi T y^2$.
અંતિમ પરપોટા માટે,$P V = (\frac{4T}{z})(\frac{4}{3}\pi z^3) = \frac{16}{3}\pi T z^2$.
હવાનું કુલ પ્રમાણ જળવાઈ રહેતું હોવાથી,$P_1 V_1 + P_2 V_2 = PV$.
$\frac{16}{3}\pi T x^2 + \frac{16}{3}\pi T y^2 = \frac{16}{3}\pi T z^2$.
બંને બાજુ $\frac{16}{3}\pi T$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 = z^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $z = \sqrt{x^2 + y^2}$.

(D) ધારો કે દરેક નાના પરપોટાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. દરેક નાના પરપોટાનું સ્થિતિમાન $V_i = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે આવા ત્રણ પરપોટા જોડાય છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે. ધારો કે મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$3 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies R^3 = 3r^3 \implies R = 3^{1/3}r$.
મોટા પરપોટા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 3q$ છે. મોટા પરપોટાનું સ્થિતિમાન $V_f = \frac{kQ}{R} = \frac{k(3q)}{3^{1/3}r}$ છે.
સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V_i}{V_f} = \frac{kq/r}{3kq / (3^{1/3}r)} = \frac{1}{3 / 3^{1/3}} = \frac{3^{1/3}}{3} = \frac{1}{3^{1 - 1/3}} = \frac{1}{3^{2/3}}$ થાય.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે।
સંયોજન દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R$ માટે ઉકેલતા, આપણને $R^3 = 8r^3$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $R = 2r$.
આઠ નાના ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = 8 \times (4 \pi r^2 S) = 32 \pi r^2 S$ છે।
મોટા ટીપાંની અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = 4 \pi R^2 S = 4 \pi (2r)^2 S = 16 \pi r^2 S$ છે।
આ પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી પૃષ્ઠ ઊર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 32 \pi r^2 S - 16 \pi r^2 S = 16 \pi r^2 S$ છે।

(D) સાબુના પરપોટાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A \times 2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $2$ એ સાબુના પરપોટાની બે સપાટીઓ દર્શાવે છે.
$\Delta A = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
આપેલ છે: $T = 0.03 \text{ N/m}$,$r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$,$r_2 = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$.
$\Delta A = 4 \times 3.14 \times ((0.03)^2 - (0.01)^2) = 4 \times 3.14 \times (0.0009 - 0.0001) = 12.56 \times 0.0008 = 0.010048 \text{ m}^2$.
$W = 0.03 \times 0.010048 \times 2 = 0.06 \times 0.010048 = 0.00060288 \text{ J} = 6.0288 \times 10^{-4} \text{ J}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ગણતરીમાં તફાવત જણાય છે. જો આપણે પ્રમાણિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ,તો $\alpha \approx 6.03$ મળે છે.