Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Gujarati

(A) ક્ષેત્રફળ ધરાવતી અને $t$ જાડાઈના પ્રવાહીના પડથી અલગ થયેલી બે પ્લેટોને છૂટી પાડવા માટે જરૂરી બળ $F$,જ્યાં $T$ પૃષ્ઠતાણ છે,તે નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{2TA}{t}$
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-2} \, m^2$
જાડાઈ $t = 0.05 \, mm = 0.05 \times 10^{-3} \, m$
પૃષ્ઠતાણ $T = 70 \times 10^{-3} \, N/m$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{2 \times (70 \times 10^{-3}) \times 10^{-2}}{0.05 \times 10^{-3}}$
$F = \frac{140 \times 10^{-5}}{0.05 \times 10^{-3}}$
$F = \frac{140}{0.05} \times 10^{-2} = 2800 \times 10^{-2} = 28 \, N$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) એક મોટા ટીપાને નાના ટીપામાં તોડવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ સિસ્ટમની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલી હોય છે.
$1$. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ટીપાની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા: $U_i = 4\pi R^2 T$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$2$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા $n$ નાના ટીપાની અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા: $U_f = n(4\pi r^2 T) = 4\pi n r^2 T$.
$3$. જરૂરી ઉર્જા એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta U = U_f - U_i$.
$4$. તેથી,$\Delta U = 4\pi n r^2 T - 4\pi R^2 T = 4\pi T(n r^2 - R^2)$.

(A) જ્યારે બે ટીપાં ભળીને એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે તંત્રનું કુલ પૃષ્ઠફળ ઘટે છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે),તેથી પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડો થવાથી તંત્રની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થયેલો આ ઘટાડો આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે મુક્ત થાય છે.
તેથી,આ પ્રક્રિયા દરમિયાન ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(D) આપેલ છે: મોટા ટીપાનો વ્યાસ $D = 2.8\, mm$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 1.4\, mm = 0.14\, cm$.
નાના ટીપાંની સંખ્યા $n = 125$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 75\, dynes/cm$.
જ્યારે મોટું ટીપું $n$ નાના ટીપાંમાં તૂટે છે,ત્યારે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r = R / n^{1/3}$ દ્વારા મળે છે.
$r = 0.14 / (125)^{1/3} = 0.14 / 5 = 0.028\, cm$.
પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = n(4\pi r^2 T) - 4\pi R^2 T = 4\pi T (nr^2 - R^2)$ છે.
કારણ કે $n = (R/r)^3$,તેથી $nr^2 = R^3/r = R^3 / (R/n^{1/3}) = R^2 n^{1/3}$.
આમ,$\Delta E = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 4 \times 3.14 \times (0.14)^2 \times 75 \times (125^{1/3} - 1)$.
$\Delta E = 4 \times 3.14 \times 0.0196 \times 75 \times (5 - 1) = 4 \times 3.14 \times 0.0196 \times 75 \times 4$.
$\Delta E \approx 73.85\, erg \approx 74\, erg$.

(B) મોટા ટીપાને $n$ નાના ટીપામાં વિભાજિત કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતા ફેરફાર અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$W = T \times \Delta A = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$,તેથી $r = R / n^{1/3}$.
આ કિંમત મૂકતા,$W = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$.
અહીં $R = 10^{-3} \, m$,$n = 10^6$,અને $T = 72 \times 10^{-3} \, J/m^2$ આપેલ છે.
$W = 4 \times 3.1416 \times (10^{-3})^2 \times 72 \times 10^{-3} \times ( (10^6)^{1/3} - 1)$.
$W = 4 \times 3.1416 \times 10^{-6} \times 72 \times 10^{-3} \times (100 - 1)$.
$W = 4 \times 3.1416 \times 72 \times 99 \times 10^{-9} \approx 8.95 \times 10^{-5} \, J$.

(C) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ $8$ નાના ટીપાંના કદ જેટલું થાય:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies r = \frac{R}{2}$
થયેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = T \times (\Delta A) = T \times (A_{final} - A_{initial})$
$A_{initial} = 4\pi R^2$
$A_{final} = 8 \times (4\pi r^2) = 32\pi (\frac{R}{2})^2 = 32\pi \times \frac{R^2}{4} = 8\pi R^2$
$W = T \times (8\pi R^2 - 4\pi R^2) = 4\pi R^2 T$

(C) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે $R = 1\, cm$,$n = 1000$,અને પૃષ્ઠતાણ $T = 50\, dynes/cm$.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ $1000$ નાના ટીપાના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies r = \frac{R}{10} = 0.1\, cm$.
થયેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે:
$W = T \times \Delta A = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$
$W = 4\pi T (n r^2 - R^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 4\pi \times 50 \times (1000 \times (0.1)^2 - 1^2)$
$W = 200\pi \times (1000 \times 0.01 - 1)$
$W = 200\pi \times (10 - 1) = 200\pi \times 9 = 1800\pi \, ergs$.

(B) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના બે સમાન ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $2 \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$,જે આપણને $R = 2^{1/3} r$ આપે છે.
પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ છે.
અંતિમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4 \pi R^2 = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 = 4 \pi (2^{2/3}) r^2 \approx 6.35 \pi r^2$ છે.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટતું હોવાથી,તંત્રની કુલ સપાટી ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,આ મુક્ત થયેલી સપાટી ઉર્જા આંતરિક ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના કારણે ટીપાનું તાપમાન વધે છે.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ થાય.
પરપોટો બનાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = T \times \Delta A$.
આપેલ છે: પૃષ્ઠતાણ $T = 2 \times 10^{-2} \ N/m$ અને ત્રિજ્યા $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = T \times 8\pi R^2$
$W = (2 \times 10^{-2}) \times 8\pi \times (10^{-2})^2$
$W = 16\pi \times 10^{-2} \times 10^{-4}$
$W = 16\pi \times 10^{-6} \ J$.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = D/2$ છે. ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ $27$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3 \implies r = R/3 = D/6$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_i = 4\pi R^2 \sigma$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_f = 27 \times 4\pi r^2 \sigma = 27 \times 4\pi (R/3)^2 \sigma = 27 \times 4\pi (R^2/9) \sigma = 3 \times 4\pi R^2 \sigma = 12\pi R^2 \sigma$ છે.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_f - E_i = 12\pi R^2 \sigma - 4\pi R^2 \sigma = 8\pi R^2 \sigma$ છે.
$R = D/2$ મૂકતા:
$\Delta E = 8\pi (D/2)^2 \sigma = 8\pi (D^2/4) \sigma = 2\pi D^2 \sigma$.

(D) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના $1000$ નાના ટીપાંઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કુલ કદ અચળ રહે છે.
મોટા ટીપાનું કદ = $1000 \times$ નાના ટીપાનું કદ.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$R^3 = 1000 r^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $R = 10r$.
તેથી,નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{10}$ થાય.

(C) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના $n$ નાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે: $n \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3} r$.
અહીં $n = 10^6$ હોવાથી,$R = (10^6)^{1/3} r = 100r$.
નાના ટીપાંનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A_i = n \times 4 \pi r^2$ છે અને મોટા ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 = n^{2/3} 4 \pi r^2$ છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 4 \pi r^2 (n^{2/3} - n)$ છે.
અહીં $n^{2/3} < n$ હોવાથી,પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડો થાય છે $(\Delta A < 0)$.
પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = T \times A$ (જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે) હોવાથી,પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડો થવાથી પૃષ્ઠ ઉર્જા મુક્ત થાય છે.
આ મુક્ત થયેલી ઉર્જા આંતરિક ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના કારણે ટીપાનું તાપમાન વધે છે.

(D) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાણીના બે નાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે: $2 \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$,જે પરથી $R = 2^{1/3} r$ મળે છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 = 4 \pi (2^{2/3}) r^2 \approx 6.35 \pi r^2$ છે.
અહીં $A_f < A_i$ હોવાથી,પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડો થાય છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = T \times A$ (જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે) હોવાથી,પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડો થવાથી પૃષ્ઠ ઉર્જામાં પણ ઘટાડો થાય છે.
આ મુક્ત થયેલી ઉર્જા સામાન્ય રીતે ઉષ્મા સ્વરૂપે બહાર આવે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$8$ નાના ટીપાંનું કદ = મોટા ટીપાનું કદ:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$.
ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = A \times T = 4 \pi r^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$8$ નાના ટીપાંની પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = 8 \times (4 \pi r^2 T) = 32 \pi r^2 T$.
મોટા ટીપાની અંતિમ ઉર્જા: $E_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2r)^2 T = 16 \pi r^2 T$.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $E_i - E_f = 16 \pi r^2 T$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,ઉર્જાના ફેરફારનો ગુણોત્તર $4$ ના પરિબળ સાથે સંબંધિત છે.

(A) જ્યારે $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે નાના પરપોટા જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનો એક મોટો પરપોટો બનાવે છે,ત્યારે સિસ્ટમનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે.
સપાટી ઉર્જા $U = T \times A$ હોવાથી (જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે),કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો થવાથી સિસ્ટમની કુલ સપાટી ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી ઉર્જામાં થયેલો આ ઘટાડો આસપાસના વાતાવરણમાં મુક્ત થાય છે,જે સામાન્ય રીતે ગરમી અથવા ગતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં હોય છે.
તેથી,આ પ્રક્રિયા દરમિયાન ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. બે નાના ટીપાંનું કદ $V_{initial} = 2 \times (\frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{8}{3}\pi R^3$ થાય.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R'$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi (R')^3 = \frac{8}{3}\pi R^3$,જે પરથી $R' = 2^{1/3}R$ મળે.
ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા $E = T \times A$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T$ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_i = 2 \times (T \times 4\pi R^2) = 8\pi R^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_f = T \times 4\pi (R')^2 = 4\pi (2^{1/3}R)^2 T = 4\pi 2^{2/3} R^2 T$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_i}{E_f} = \frac{8\pi R^2 T}{4\pi 2^{2/3} R^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2^{1/3}:1$ છે.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા $R_1$ થી $R_2$ સુધી વધારવા માટે થયેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = T \times \Delta A \times 2$
જ્યાં $T = S$ (પૃષ્ઠતાણ) અને $\Delta A = 4\pi R_2^2 - 4\pi R_1^2$ છે.
$W = S \times 2 \times (4\pi R_2^2 - 4\pi R_1^2) = 8\pi S(R_2^2 - R_1^2)$.
અહીં $R_1 = R$ અને $R_2 = 2R$ આપેલ છે:
$W = 8\pi S((2R)^2 - R^2) = 8\pi S(4R^2 - R^2) = 8\pi S(3R^2) = 24\pi R^2 S$.

(C) જ્યારે $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સાબુના પરપોટા એકબીજામાં ભળી જાય છે,ત્યારે તેમની સામાન્ય સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે બંને પરપોટાની ત્રિજ્યા સમાન છે,એટલે કે $r_1 = r_2 = r$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{R} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r} = 0$.
તેથી,$\frac{1}{R} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $R = \infty$.
આમ,સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા બે પરપોટા વચ્ચેની સપાટી એક સમતલ સપાટી બને છે,અને તેની વક્રતા ત્રિજ્યા અનંત હોય છે.

(C) સાબુના પરપોટા માટે, અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_{in} - P_{out} = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે. આ સૂચવે છે કે $P_{in} = P_{out} + \frac{4T}{R}$. કારણ કે $\frac{4T}{R} > 0$, પરપોટાની અંદરનું દબાણ હંમેશા વાતાવરણીય દબાણ કરતા વધારે હોય છે. તેથી, વિધાન $(C)$ ખોટું છે કારણ કે તે ખોટી રીતે દાવો કરે છે કે આંતરિક દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
$\Delta P \propto \frac{1}{R}$ હોવાથી,મોટા પરપોટાની સરખામણીમાં નાના પરપોટામાં વધારાનું દબાણ વધારે હોય છે.
જ્યારે બે પરપોટાને નળી દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે હવા વધુ દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તાર તરફ વહે છે.
તેથી,હવા નાના પરપોટામાંથી મોટા પરપોટામાં વહે છે,જેના કારણે નાનો પરપોટો સંકોચાય છે અને મોટો પરપોટો મોટો થાય છે.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરના વધારાના દબાણનું સૂત્ર $\Delta P = \frac{4T}{r}$ છે.
આપેલ છે:
પૃષ્ઠતાણ $T = 25 \times 10^{-3} \, N/m$.
વ્યાસ $d = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.5 \times 10^{-2} \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{4 \times 25 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-2}}$
$\Delta P = \frac{100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-2}} = \frac{0.1}{0.005} = 20 \, Pa$.
આમ,વધારાનું દબાણ $20 \, Pa$ છે.

(C) ધારો કે $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ અનુક્રમે $P_1$ અને $P_2$ છે.
સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_1 = \frac{4T}{r_1}$ અને $P_2 = \frac{4T}{r_2}$.
જ્યારે તેઓ એકબીજામાં ભળી જાય છે,ત્યારે સામાન્ય સપાટી $r$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતી સપાટી તરીકે વર્તે છે. આ સામાન્ય સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2$ છે (કારણ કે $r_1 < r_2$,તેથી $P_1 > P_2$).
તેથી,$\frac{4T}{r} = \frac{4T}{r_1} - \frac{4T}{r_2}$.
$4T$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}$ મળે છે.
$\frac{1}{r} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$.
આમ,$r = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા ગોળાકાર પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta p$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta p = \frac{2T}{r}$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વધારાનું દબાણ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\Delta p \propto \frac{1}{r}$ અથવા $\Delta p \propto r^{-1}$.

(C) પાણીને પાત્રમાં પ્રવેશતું અટકાવવા માટે,છિદ્ર પર પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ તે ઊંડાઈએ પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગતા હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
'$r$' ત્રિજ્યાના ગોળાકાર મેનિસ્કસ (meniscus) પર વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$h$' ઊંડાઈએ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ $P = h\rho g$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
સીમાંત સ્થિતિ માટે બંને દબાણોને સરખાવતા:
$h\rho g = \frac{2T}{r}$
'$h$' માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{2T}{\rho rg}$

(D) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ સૂત્ર $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પૃષ્ઠતાણ $T = 0.03 \, N/m$ આપેલ છે.
પરપોટાનો વ્યાસ $d = 6 \, mm = 6 \times 10^{-3} \, m$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 3 \times 10^{-3} \, m$ થશે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta P = \frac{4 \times 0.03}{3 \times 10^{-3}}$
$\Delta P = \frac{0.12}{0.003} = 40 \, N/m^2$.
ગણતરી કરેલ વધારાનું દબાણ $40 \, N/m^2$ છે,જે $20 \, N/m^2$ કરતા વધારે છે (વિકલ્પ $D$).

(B) સાબુના પરપોટામાં હવાના સંપર્કમાં બે સપાટીઓ હોય છે: અંદરની સપાટી અને બહારની સપાટી.
ગોળાકાર પ્રવાહીના ટીપાં માટે,વધારાનું દબાણ $\Delta P = 2T/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કે,સાબુના પરપોટા માટે બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,વધારાનું દબાણ બમણું થાય છે.
તેથી,સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = 2 \times (2T/r) = 4T/r$ છે.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વ્યાસ $d = 0.7 \ cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.35 \ cm$.
વધારાનું દબાણ $\Delta P = h \rho g$,જ્યાં $h = 8 \ mm = 0.8 \ cm$,$\rho = 1 \ g/cm^3$,અને $g = 980 \ cm/s^2$.
$\Delta P = 0.8 \times 1 \times 980 = 784 \ dyne/cm^2$.
$\Delta P = \frac{4T}{r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{\Delta P \times r}{4}$ મળે.
$T = \frac{784 \times 0.35}{4} = 196 \times 0.35 = 68.6 \ dyne/cm$.
આમ,નજીકની કિંમત $68.66 \ dyne/cm$ છે.

(C) બહારનું દબાણ $P_0 = 1 \, atm$ છે.
પ્રથમ પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_1 = 1.01 \, atm$ છે.
બીજા પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_2 = 1.02 \, atm$ છે.
પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P_1 = P_1 - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \, atm$ છે.
બીજા પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P_2 = P_2 - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \, atm$ છે.
સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$ અથવા $r \propto \frac{1}{\Delta P}$.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$ છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે,તેથી $V \propto r^3$.
તેમના કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{2}{1} \right)^3 = \frac{8}{1}$ થાય.

(B) વક્ર પ્રવાહી સપાટી પરનો દબાણનો તફાવત એ વધારાના દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કેશ નળી માટે,મેનિસ્કસની ત્રિજ્યા $R$ એ નળીની ત્રિજ્યા સાથે $R = \frac{r}{\cos \theta}$ સંબંધ ધરાવે છે.
કેશ નળીની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ એ $\Delta P = \frac{2S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta P = \frac{2S}{r/\cos \theta} = \frac{2S}{r} \cos \theta$ મળે છે.
આમ,બીકરમાં રહેલી પ્રવાહી સપાટી (વાતાવરણીય દબાણ) અને કેશ નળીની અંદરની પ્રવાહી સપાટી વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $\frac{2S}{r} \cos \theta$ છે.

(C) જ્યારે $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યાના બે સાબુના પરપોટા સમતાપી સ્થિતિમાં શૂન્યાવકાશમાં જોડાય છે,ત્યારે હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે. તાપમાન અચળ હોવાથી,પરપોટાની અંદરની હવા માટે દબાણ અને કદનો ગુણાકાર $(PV)$ અચળ રહે છે.
સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે. અંદરનું નિરપેક્ષ દબાણ $P = P_{atm} + \frac{4T}{r}$ છે. શૂન્યાવકાશમાં,$P_{atm} = 0$ હોવાથી,$P = \frac{4T}{r}$ થાય.
પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
પ્રથમ પરપોટા માટે: $P_1 V_1 = (\frac{4T}{r_1})(\frac{4}{3}\pi r_1^3) = \frac{16}{3}\pi T r_1^2$.
બીજા પરપોટા માટે: $P_2 V_2 = (\frac{4T}{r_2})(\frac{4}{3}\pi r_2^3) = \frac{16}{3}\pi T r_2^2$.
$R$ ત્રિજ્યાના પરિણામી પરપોટા માટે: $P_R V_R = (\frac{4T}{R})(\frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
હવાનો કુલ જથ્થો સંરક્ષિત હોવાથી: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_R V_R$.
$\frac{16}{3}\pi T r_1^2 + \frac{16}{3}\pi T r_2^2 = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
$\frac{16}{3}\pi T$ વડે ભાગતા,આપણને $R^2 = r_1^2 + r_2^2$ મળે છે,એટલે કે $R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
આનો અર્થ એ છે કે વધારાનું દબાણ એ પરપોટાની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે પરપોટા $B$ ની ત્રિજ્યા પરપોટા $A$ અને $C$ ની ત્રિજ્યા કરતા મોટી છે ($r_B > r_A$ અને $r_B > r_C$).
તેથી,$A$ અને $C$ ની અંદરનું વધારાનું દબાણ $B$ ની અંદરના વધારાના દબાણ કરતા વધારે છે.
જ્યારે સ્ટોપ કોક $S_1, S_2$ અને $S_3$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે હવા વધુ દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તાર તરફ વહેશે.
પરિણામે,હવા પરપોટા $A$ અને $C$ માંથી પરપોટા $B$ તરફ જશે.
આથી,પરપોટા $A$ અને $C$ સંકોચાવા લાગશે (તેમનું કદ ઘટશે),અને પરપોટો $B$ ફૂલવા લાગશે (તેનું કદ વધશે).

(C) જ્યારે બે સાબુના પરપોટા શૂન્યાવકાશમાં સમતાપી સ્થિતિમાં એકબીજા સાથે જોડાય છે,ત્યારે હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે. તાપમાન અચળ હોવાથી,પરપોટાની અંદરની હવા માટે દબાણ અને કદનો ગુણાકાર $(PV)$ અચળ રહે છે.
સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પરપોટા શૂન્યાવકાશમાં હોવાથી,આંતરિક દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
પ્રથમ પરપોટા માટે: $P_1 V_1 = \left(\frac{4T}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right) = \frac{16}{3}\pi T r_1^2$.
બીજા પરપોટા માટે: $P_2 V_2 = \left(\frac{4T}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_2^3\right) = \frac{16}{3}\pi T r_2^2$.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નવા પરપોટા માટે: $P V = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
હવાનો કુલ જથ્થો સંરક્ષિત રહેતો હોવાથી: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = PV$.
$\frac{16}{3}\pi T r_1^2 + \frac{16}{3}\pi T r_2^2 = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
$r_1^2 + r_2^2 = R^2$.
અહીં $r_1 = 3 \, cm$ અને $r_2 = 4 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, cm$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે $\Delta P_1 = 4 \Delta P_2$,તેથી $\frac{4T}{r_1} = 4 \times \frac{4T}{r_2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{4}{r_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_2}{r_1} = 4$ અથવા $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1:64$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = \frac{2T}{r}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
આનો અર્થ એ છે કે વધારાનું દબાણ એ ટીપાની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,નાની ત્રિજ્યા માટે,વધારાનું દબાણ વધારે હશે.
આમ,નાના ટીપામાં વધારાનું દબાણ વધારે હોય છે.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$,જેની ત્રિજ્યા $r$ છે,તે સૂત્ર $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે પ્રથમ પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે અને બીજા પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_2 = 4r$ છે.
તેમના વધારાના દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4r}{r} = \frac{4}{1}$ થશે.
આમ,સાચો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ એ સૂત્ર $\Delta P = \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પૃષ્ઠતાણ $T = 70 \times 10^{-3}\, N/m$
ત્રિજ્યા $R = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{2 \times 70 \times 10^{-3}}{1 \times 10^{-3}}$
$\Delta P = 2 \times 70 = 140\, N/m^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પ્રવાહીમાં $r$ ત્રિજ્યાના હવાના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,$T = 70 \times 10^{-3} \, N/m$ અને $r = 0.1 \, mm = 0.1 \times 10^{-3} \, m = 10^{-4} \, m$.
વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2 \times 70 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 140 \times 10^1 = 1400 \, Pa$.
પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_0 + \Delta P$ છે.
$P_{in} = 1.013 \times 10^5 + 1400 = 1.013 \times 10^5 + 0.014 \times 10^5 = 1.027 \times 10^5 \, Pa$.

(A) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
$r_A > r_B$ હોવાથી,પરપોટા $A$ ની અંદરનું દબાણ $(P_A)$ એ પરપોટા $B$ ની અંદરના દબાણ $(P_B)$ કરતા ઓછું છે કારણ કે $P \propto \frac{1}{r}$.
જ્યારે બે પરપોટાને સાંકડી નળી દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે હવા વધુ દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તાર તરફ વહે છે.
તેથી,હવા પરપોટા $B$ માંથી પરપોટા $A$ માં વહેશે.
પરિણામે,પરપોટા $B$ નું કદ ઘટશે અને પરપોટા $A$ નું કદ વધશે.

(A) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P$ સૂત્ર $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
કારણ કે બંને પરપોટા માટે પૃષ્ઠતાણ $T$ સમાન છે,તેથી વધારાનું દબાણ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\Delta P \propto \frac{1}{R}$.
તેથી,નાની ત્રિજ્યા $R$ ને કારણે વધારાનું દબાણ $\Delta P$ વધારે મળે છે.
આમ,નાના પરપોટાનું આંતરિક દબાણ મોટા પરપોટાના આંતરિક દબાણ કરતા વધારે હોય છે.

(A) જેગરની પદ્ધતિમાં,પ્રવાહીમાં ડૂબેલી કેશિકા નળીના છેડે પરપોટો રચાય છે.
જેમ જેમ પરપોટો મોટો થાય છે,તેમ તેની વક્રતા ત્રિજ્યા ઘટતી જાય છે જ્યાં સુધી તે કેશિકા નળીની ત્રિજ્યા જેટલી ન થાય.
પરપોટો ફૂટવાના સમયે,સ્થિરતા જાળવી રાખવા માટે પરપોટાનું આંતરિક દબાણ બાહ્ય દબાણ અને પૃષ્ઠતાણની અસરોને દૂર કરવા માટે પૂરતું હોવું જોઈએ.
તેથી,પરપોટાનું આંતરિક દબાણ હંમેશા બાહ્ય દબાણ કરતા વધારે હોય છે.

(D) પાણી છિદ્રોમાંથી બહાર ન નીકળે તે માટેની શરત એ છે કે પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ એ છિદ્ર પરના કેશિકા દબાણ (વધારાનું દબાણ) દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ છિદ્રની ત્રિજ્યા છે.
પાણીના સ્તંભને કારણે દબાણ $P = h \rho g$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $h \rho g = \frac{2T}{r}$.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 0.1 \, mm = 0.01 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.005 \, cm$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 75 \, dyne/cm$.
પાણીની ઘનતા $\rho = 1 \, g/cm^3$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 1000 \, cm/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{2T}{r \rho g} = \frac{2 \times 75}{0.005 \times 1 \times 1000} = \frac{150}{5} = 30 \, cm$.

(A) છિદ્રમાં રહેલા પાણીની વક્ર સપાટી પરનું દબાણ તફાવત ગોળાકાર મેનિસ્કસ માટેના વધારાના દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\Delta P = \frac{2T}{r}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,આ વધારાનું દબાણ $h$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગુ પડતા હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ સાથે સંતુલિત થવું જોઈએ,જે $P = hdg$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{2T}{r} = hdg$ મળે છે.
$r$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $r = \frac{2T}{hdg}$ મળે છે.

(D) ટાંકીના તળિયે દબાણ $P = P_{atm} + \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ ઊંડાઈ છે. તળિયે દબાણ સપાટી પરના દબાણ કરતા વધારે હોવાથી $(P_{Bottom} > P_{Surface})$,પરપોટા પર ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે,જેના કારણે તે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને,વાયુનું કદ $V$ એ દબાણ $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto \frac{1}{P})$.
જેમ પરપોટો સપાટી તરફ ઉપર જાય છે,તેમ હાઈડ્રોસ્ટેટિક દબાણ ઘટે છે. પરિણામે,પરપોટાનું કદ વધે છે,એટલે કે તેનું કદ વધતું જાય છે.

(A) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
પંપ પરપોટાના કદ $V$ માં અચળ દરે વધારો કરતું હોવાથી,$\frac{dV}{dt} = k$ (અચળ).
આનું સંકલન કરતા,$V = kt + C$. જો $t = 0$ સમયે પરપોટાનું કદ શૂન્ય હોય,તો $V = kt$.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi r^3 = kt$,જેનો અર્થ છે કે $r = \left(\frac{3kt}{4\pi}\right)^{1/3}$.
આ કિંમતને વધારાના દબાણના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta P = \frac{4T}{r} = 4T \left(\frac{4\pi}{3kt}\right)^{1/3}$.
આમ,$\Delta P \propto t^{-1/3}$.
પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P = P_{atm} + \Delta P = P_{atm} + \frac{C'}{t^{1/3}}$,જ્યાં $C'$ એક અચળાંક છે.
જેમ $t$ વધે છે,તેમ $P$ ઘટે છે. આ સંબંધ દર્શાવતો આલેખ એક વક્ર છે જે ઊંચા મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને જેમ $t$ વધે છે તેમ $P_{atm}$ તરફ ઘટે છે,જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(C) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. તળાવના તળિયે દબાણ $P_1 = P_0 + h\rho g$ છે,જ્યાં $P_0$ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $\rho$ પાણીની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = H\rho g$.
તેથી,$P_1 = H\rho g + h\rho g = (H + h)\rho g$.
તળિયે પરપોટાનું કદ $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
સપાટી પર,દબાણ $P_2 = P_0 = H\rho g$ છે અને ત્રિજ્યા $2r$ થાય છે,તેથી કદ $V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$ થાય છે.
તાપમાન અચળ રહે છે તેમ ધારીને,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1V_1 = P_2V_2$.
$(H + h)\rho g \times \frac{4}{3}\pi r^3 = H\rho g \times 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$(H + h) = 8H$.
$h = 7H$.

(B) ધારો કે $n = 1000$ એ નાના ટીપાંની સંખ્યા છે.
દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ અને વિદ્યુતભાર $q$ છે.
નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R = n^{1/3} r$.
મોટા ટીપાનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3} v$.
$n = 1000$ મૂકતા:
$V = (1000)^{2/3} v = (10^3)^{2/3} v = 10^2 v = 100 v$.
આમ,મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન નાના ટીપા કરતા $100$ ગણું વધારે છે.

(C) તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ધારો કે સમુદ્રની ઊંડાઈ $h$ છે.
સપાટી પરનું દબાણ $P_2 = P_{atm} = 10 \, dg$ (જ્યાં $d$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે).
તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + h \, dg = (10 + h) \, dg$ થશે.
તળિયે પરપોટાનું કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સપાટી પર પરપોટાનું કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = 8 V_1$ થશે.
$P_1 V_1 = P_2 V_2$ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$(10 + h) \, dg \times V_1 = 10 \, dg \times 8 V_1$.
બંને બાજુ $dg \times V_1$ વડે ભાગતા:
$10 + h = 80$.
$h = 80 - 10 = 70 \, m$.

(B) ધારો કે $n = 64$ એ નાના ટીપાંઓની સંખ્યા છે.
દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ અને વિદ્યુતભાર $q$ છે.
મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ અને વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3} r$.
વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$Q = nq$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{\text{વિદ્યુતભાર}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{q}{4\pi r^2}$.
નાના ટીપા માટે,$\sigma_{\text{small}} = \frac{q}{4\pi r^2}$.
મોટા ટીપા માટે,$\sigma_{\text{large}} = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{nq}{4\pi (n^{1/3}r)^2} = \frac{nq}{4\pi n^{2/3}r^2} = n^{1/3} \frac{q}{4\pi r^2} = n^{1/3} \sigma_{\text{small}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\sigma_{\text{small}}}{\sigma_{\text{large}}} = \frac{1}{n^{1/3}}$.
$n = 64$ મુકતા,$\frac{\sigma_{\text{small}}}{\sigma_{\text{large}}} = \frac{1}{(64)^{1/3}} = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 4$ છે.