Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Gujarati

(NONE) ધારો કે મોટા પરપોટા પરનો વીજભાર $Q$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. વીજભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ છે.
વીજભારિત પરપોટા પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ યાંત્રિક બળ (સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ) $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પરપોટો $64$ નાના પરપોટામાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે કદ જળવાઈ રહે છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જે $R = 4r$ આપે છે.
કુલ વીજભાર $Q$ જળવાઈ રહે છે,તેથી દરેક નાના પરપોટા પરનો વીજભાર $q = \frac{Q}{64}$ છે.
નાના પરપોટા પરનું સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ $p = \frac{q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 r^4} = \frac{(Q/64)^2}{32\pi^2 \epsilon_0 (R/4)^4} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4} \times \frac{256}{4096} = P \times \frac{1}{16}$ થાય છે.
તેથી,મોટા પરપોટાના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ યાંત્રિક બળ અને નાના પરપોટાના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ યાંત્રિક બળનો ગુણોત્તર $P/p = 16:1$ છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = 4T/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ધારો કે $R_1$ અને $R_2$ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ બીજા પરપોટામાં વધારાના દબાણ કરતાં $1.5$ ગણું છે:
$P_1 = 1.5 P_2$
$\frac{4T}{R_1} = 1.5 \times \frac{4T}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{2R_2} \implies R_2 = 1.5 R_1 = \frac{3}{2} R_1$
સાબુના પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
$V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ અને $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
આપેલ છે કે $V_2 = x V_1$,તેથી:
$x = \frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$.

(A) મોટા ટીપાંનું કદ એ $n$ નાના ટીપાંઓના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R^3 = n r^3$ અથવા $n = \frac{R^3}{r^3}$.
મોટા ટીપાંનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = 4 \pi R^2$ છે.
$n$ નાના ટીપાંઓનું અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = n \cdot 4 \pi r^2$ છે.
પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$ છે.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta A = \left(\frac{R^3}{r^3}\right) 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^3 \left(\frac{1}{r}\right) - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$.
જરૂરી ઉર્જા $W = T \cdot \Delta A = 4 \pi T R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટાનું વધારાનું દબાણ $(P_1)$ એ બીજા પરપોટાના દબાણ $(P_2)$ કરતા ત્રણ ગણું છે,તેથી $P_1 = 3P_2$.
વધારાના દબાણનું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{4T}{r_1} = 3 \times \frac{4T}{r_2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 3r_1$ અથવા $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$.
આમ,કદનો ગુણોત્તર $1: 27$ છે.

(D) મોટા ટીપાંનું કદ એ $216$ નાના ટીપાંના કુલ કદ જેટલું હોય છે.
$V_{large} = 216 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 216 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 216 r^3$
$R = 6r \implies r = \frac{R}{6}$
જરૂરી ઉર્જા એ પૃષ્ઠફળમાં થતા વધારા અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
$E = T \times (A_{final} - A_{initial})$
$A_{initial} = 4 \pi R^2$
$A_{final} = 216 \times (4 \pi r^2) = 216 \times 4 \pi \left(\frac{R}{6}\right)^2 = 216 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{36} = 6 \times 4 \pi R^2 = 24 \pi R^2$
$E = T \times (24 \pi R^2 - 4 \pi R^2) = T \times 20 \pi R^2$
આને $x \times T \times R^2$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 20 \pi$ મળે છે.

(A) જ્યારે $R_1, R_2$ અને $R_3$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ પારાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કુલ કદ જળવાઈ રહે છે કારણ કે પારાની ઘનતા અચળ હોય છે.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણ નાના ટીપાંના કદના સરવાળાને મોટા ટીપાના કદ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 + \frac{4}{3}\pi R_3^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$
બંને બાજુ $\frac{4}{3}\pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$R_1^3 + R_2^3 + R_3^3 = R^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$R = (R_1^3 + R_2^3 + R_3^3)^{\frac{1}{3}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સાબુના પરપોટા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2$ છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $8\pi r^2$ થાય છે.
સમતાપી પરિસ્થિતિમાં,હવાના જથ્થા (મોલની સંખ્યા) અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $P$ એ પરપોટાની અંદરનું દબાણ છે,$V$ એ કદ છે અને $T$ અચળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
આમ,$n = \frac{PV}{RT} = \frac{(P_0 + 4S/r)(4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{4\pi}{3RT} (P_0 r^3 + 4Sr^2)$.
કુલ મોલની સંખ્યા સંરક્ષિત રહેતી હોવાથી: $n_1 + n_2 = n_{final}$.
જો $P_0$ એ વધારાના દબાણની સરખામણીમાં ખૂબ મોટું હોય,તો કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$,જે $R = (r_1^3 + r_2^3)^{1/3}$ આપે છે.
જો કે,આ પ્રકારના પ્રમાણભૂત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં જ્યાં સપાટીના ક્ષેત્રફળની ઉર્જા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે,ત્યાં સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સંરક્ષિત રહે છે: $8\pi r_1^2 + 8\pi r_2^2 = 8\pi R^2$.
તેથી,$R^2 = r_1^2 + r_2^2$,જેનો અર્થ છે કે $R = (r_1^2 + r_2^2)^{1/2}$.

(C) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી, મોટા ટીપાનું કદ $64$ નાના ટીપાના કદના સરવાળા જેટલું થાય: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$r$ માટે ઉકેલતા, આપણને $R^3 = 64r^3$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{4}$.
કરેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = T \times \Delta A$, જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4 \pi R^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 64 \times (4 \pi r^2) = 64 \times 4 \pi (\frac{R}{4})^2 = 64 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{16} = 16 \pi R^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 16 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 12 \pi R^2$.
તેથી, કરેલું કાર્ય $W = T \times 12 \pi R^2 = 12 \pi TR^2$.

(A) ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મૂળ ટીપાનું કદ એ $729$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 729 r^3$
$R = 9r$ અથવા $r = \frac{R}{9}$.
મૂળ ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = T \times 4 \pi R^2$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$729$ નાના ટીપાંની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = 729 \times (T \times 4 \pi r^2)$ છે.
$U$ ના સમીકરણમાં $r = \frac{R}{9}$ મૂકતા:
$U = 729 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{9}\right)^2$
$U = 729 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{81}$
$U = 9 \times (T \times 4 \pi R^2) = 9E$.
તેથી,$\frac{E}{U} = \frac{E}{9E} = \frac{1}{9}$.
$\frac{E}{U} = \frac{1}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(B) બહારનું દબાણ $P_0 = 1 \text{ atm}$.
સાબુના પરપોટા $A$ ની અંદરનું દબાણ $P_A = 1.01 \text{ atm}$.
સાબુના પરપોટા $B$ ની અંદરનું દબાણ $P_B = 1.02 \text{ atm}$.
સાબુના પરપોટા માટે વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પરપોટા $A$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \text{ atm}$.
પરપોટા $B$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm}$.
$\Delta P \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,$r \propto \frac{1}{\Delta P}$ મળે.
તેથી,$\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,$V \propto r^3$.
આમ,કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$ થાય.

(A) બહારનું દબાણ $P_0 = 1 \,atm$.
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે।
પરપોટા $A$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \,atm$.
પરપોટા $B$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \,atm$.
કારણ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$, તેથી $r \propto \frac{1}{\Delta P}$.
તેથી, ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$ થાય.

(C) બહારનું દબાણ $P_0 = 1 \text{ atm}$ છે.
પરપોટા $A$ ની અંદરનું દબાણ $P_A = 1.01 \text{ atm}$ છે.
પરપોટા $B$ ની અંદરનું દબાણ $P_B = 1.02 \text{ atm}$ છે.
સાબુના પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પરપોટા $A$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \text{ atm}$.
પરપોટા $B$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm}$.
કારણ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$,તેથી $r \propto \frac{1}{\Delta P}$.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = 2$ થાય.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે,તેથી $V \propto r^3$.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = (2)^3 = 8$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ટીપા $A$ માટે,$P_A = \frac{2T}{r_A}$.
ટીપા $B$ માટે,$P_B = \frac{2T}{r_B}$.
આપેલ છે કે $P_A = 4P_B$,તેથી $\frac{2T}{r_A} = 4 \left( \frac{2T}{r_B} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_A} = \frac{4}{r_B}$,અથવા $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
ટીપાનું દળ $m = V \rho = \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પાણીના ટીપા હોવાથી,ઘનતા $\rho$ સમાન રહેશે.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{r_A^3}{r_B^3} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^3$ થાય.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા,$\frac{m_A}{m_B} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કુલ કદ સમાન રહેતું હોવાથી:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$\therefore r^3 = \frac{R^3}{64} \implies r = \frac{R}{4}$
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_1 = 4 \pi R^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_2 = 64 \times (4 \pi r^2 T) = 64 \times 4 \pi \times (\frac{R}{4})^2 \times T = 64 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{16} \times T = 16 \pi R^2 T$.
કરવામાં આવતું કાર્ય $W = E_2 - E_1 = 16 \pi R^2 T - 4 \pi R^2 T = 12 \pi R^2 T$.

(C) ધારો કે $r$ એ દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
તેથી,$R = n^{1/3} r$ ... $(i)$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા,$E_1 = n \times (4 \pi r^2 T) = nE$ (જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે).
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા,$E_2 = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 T = n^{2/3} (4 \pi r^2 T) = n^{2/3} E$.
મુક્ત થતી ઊર્જા = $E_1 - E_2 = nE - n^{2/3} E = E(n - n^{2/3})$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_i - P_0 = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $(P_i - P_0) \propto \frac{1}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto \frac{1}{(P_i - P_0)}$.
બે પરપોટા માટે,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{(P_2 - P_0)}{(P_1 - P_0)}$ થાય છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે,તેથી $V \propto R^3$.
તેથી,તેમના કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ થાય.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{P_2 - P_0}{P_1 - P_0} \right)^3$ મળે છે.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$8$ નાના ટીપાનું કદ $=$ મોટા ટીપાનું કદ.
$8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3 \Rightarrow R = 2r$ અથવા $r = \frac{R}{2}$.
ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપા માટે,$\Delta P_B = \frac{2T}{R}$.
નાના ટીપા માટે,$\Delta P_s = \frac{2T}{r}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\Delta P_B}{\Delta P_s} = \frac{r}{R} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\Delta P_B = \frac{1}{2} \Delta P_s$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P_1$ છે અને બીજા પરપોટામાં $\Delta P_2$ છે. આપેલ છે કે $\Delta P_1 = 3 \Delta P_2$.
તેથી,$\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = 3$.
કારણ કે $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1}$,તેથી $\frac{r_2}{r_1} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $V \propto r^3$.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા,$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$.

(B) મૂળ ટીપાનું કદ એ $n$ નાના ટીપાંના કુલ કદ જેટલું હોય છે.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$r^3 = \frac{R^3}{n} \implies r = \frac{R}{n^{1/3}}$
થયેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતા ફેરફાર અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$W = (A_{\text{final}} - A_{\text{initial}}) T$
$W = (n \cdot 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) T$
$r = R \cdot n^{-1/3}$ કિંમત મૂકતા:
$W = (n \cdot 4 \pi (R \cdot n^{-1/3})^2 - 4 \pi R^2) T$
$W = (4 \pi R^2 \cdot n \cdot n^{-2/3} - 4 \pi R^2) T$
$W = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1) T$

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $r_1$ અને $r_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ટીપામાં વધારાનું દબાણ બીજા ટીપા કરતાં ત્રણ ગણું છે: $P_1 = 3P_2$.
સૂત્ર મૂકતા: $\frac{2T}{r_1} = 3 \left( \frac{2T}{r_2} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ટીપાનું દળ $m = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
બંને ટીપાં પાણીના હોવાથી,ઘનતા $\rho$ બંને માટે સમાન છે.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3 \rho}{\frac{4}{3} \pi r_2^3 \rho} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{m_1}{m_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3$
$R = 2r$
પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_1 = 8 \times (T \times 4 \pi r^2) = 32 \pi r^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_2 = T \times 4 \pi R^2 = T \times 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi r^2 T$.
ફેરફાર પહેલાં અને પછીની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{32 \pi r^2 T}{16 \pi r^2 T} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(C) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના $n$ નાના ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies n = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ઘટાડો $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^3 \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $W = T \cdot \Delta A = 4 \pi R^3 T \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = \frac{W}{J} = \frac{4 \pi R^3 T}{J} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
ઉષ્મા $Q = m \cdot s \cdot \Delta \theta$,જ્યાં $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot s \cdot \Delta \theta = \frac{4 \pi R^3 T}{J} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
તેથી,$\Delta \theta = \frac{3T}{\rho s J} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(C) પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,પરપોટાની અંદર રહેલા હવાના મોલની સંખ્યા અચળ રહે છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અને નોંધતા કે $T$ અને $R$ અચળ છે,આપણને $PV \propto n$ મળે છે. $n$ નું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,બે પરપોટા માટે દબાણ અને કદના ગુણાકારનો સરવાળો અંતિમ પરપોટા માટેના દબાણ અને કદના ગુણાકાર જેટલો થાય છે:
$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_3 V_3$
$P = \frac{4T}{r}$ અને $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ મૂકતા:
$\left(\frac{4T}{a}\right) \left(\frac{4}{3}\pi a^3\right) + \left(\frac{4T}{b}\right) \left(\frac{4}{3}\pi b^3\right) = \left(\frac{4T}{c}\right) \left(\frac{4}{3}\pi c^3\right)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$a^2 + b^2 = c^2$
તેથી,પરિણામી પરપોટાની ત્રિજ્યા $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ મળે છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4\sigma}{r}$ છે,જ્યાં $P_0$ એ બહારનું દબાણ છે. શૂન્યાવકાશમાં,$P_0 = 0$ હોવાથી,$P = \frac{4\sigma}{r}$ થાય.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,વાયુના મોલની સંખ્યા $n = \frac{PV}{RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = \frac{4\sigma}{r}$ અને $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ મૂકતા:
$n = \frac{(4\sigma/r) \cdot (4/3)\pi r^3}{RT} = \frac{16\pi\sigma}{3RT} r^2$.
અહીં $n \propto r^2$ હોવાથી,જ્યારે બે પરપોટા ભળી જાય છે,ત્યારે કુલ મોલની સંખ્યા જળવાઈ રહે છે:
$n_{total} = n_1 + n_2 \implies R^2 = r_1^2 + r_2^2$.
તેથી,પરિણામી પરપોટાની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$ થશે.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે, કારણ કે સાબુના પરપોટામાં બે પ્રવાહી-વાયુ સપાટીઓ હોય છે.
$h$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \rho h g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વધારાનું દબાણ એ પાણીના સ્તંભના દબાણ જેટલું છે, તેથી $\frac{4T}{r} = \rho h g$.
પૃષ્ઠતાણ $T$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $T = \frac{r \rho h g}{4}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, $h = 0.8 \,cm = 8 \times 10^{-3} \,m$, $\rho = 1000 \,kg/m^3$, અને $g = 9.8 \,m/s^2$.
$T = \frac{(3 \times 10^{-3} \,m) \times (1000 \,kg/m^3) \times (8 \times 10^{-3} \,m) \times (9.8 \,m/s^2)}{4}$.
$T = \frac{3 \times 10^{-3} \times 10^3 \times 8 \times 10^{-3} \times 9.8}{4} \,N/m$.
$T = \frac{3 \times 8 \times 10^{-3} \times 9.8}{4} \,N/m = 6 \times 9.8 \times 10^{-3} \,N/m = 58.8 \times 10^{-3} \,N/m$.

(A) ધારો કે પ્રવાહી કાચની પ્લેટોને સંપૂર્ણપણે ભીંજવે છે.
પ્રવાહીની વક્ર સપાટી પરનું દબાણ તફાવત (લાપ્લેસ દબાણ) $\Delta P = \frac{T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
આ દબાણ તફાવત પ્લેટો વચ્ચે આકર્ષણ બળ ઉત્પન્ન કરે છે,જે $F = \Delta P \cdot A = \frac{T}{R} \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\frac{T}{R} = \frac{F}{A} \quad \dots(1)$
ધારો કે પ્રવાહી $d$ જાડાઈ અને $A$ ક્ષેત્રફળનું પાતળું નળાકાર સ્તર બનાવે છે,તો કદ $V = A \cdot d$ થાય.
$R$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા મેનિસ્કસ માટે,સ્તરની જાડાઈ $d = 2R$ છે,તેથી $V = A(2R)$.
આમ,$R = \frac{V}{2A} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{T}{(V / 2A)} = \frac{F}{A}$
$T = \frac{F \cdot V}{2A^2}$

(C) પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $E = T(\Delta A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = n(4\pi r^2)$ અને અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = 4\pi R^2$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$n(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$,જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_i - A_f = 4\pi(nr^2 - R^2)$ છે.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ મૂકતા,આપણને $\Delta A = 4\pi(\frac{R^3}{r} - R^2) = 4\pi R^3(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ મળે છે.
કારણ કે $V = \frac{4}{3}\pi R^3$,તેથી $4\pi R^3 = 3V$ થાય.
આમ,$\Delta A = 3V(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
અહીં $r < R$ હોવાથી,$\Delta A > 0$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉર્જા મુક્ત થાય છે.
તેથી,$E = 3VT(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2\sigma}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નાના ટીપાં માટે, વધારાનું દબાણ $P_s = \frac{2\sigma}{r} = 9$ એકમ છે.
જ્યારે $27$ નાના ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$V_{big} = 27 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27r^3 \implies R = 3r$.
મોટા ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P_B = \frac{2\sigma}{R}$ છે.
$R = 3r$ મૂકતા:
$P_B = \frac{2\sigma}{3r} = \frac{1}{3} \left( \frac{2\sigma}{r} \right) = \frac{1}{3} \times 9 = 3$ એકમ.

(A) આપેલ છે:
વધારાનું દબાણ,$\Delta P = 50 \ dyne/cm^2$
ત્રિજ્યા,$r = 2 \ cm$
સાબુના પરપોટા માટે,પ્રવાહી-હવા વચ્ચેની સપાટી બે વાર ઓળંગાય છે,તેથી વધારાનું દબાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta P = \frac{4T}{r}$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$T$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$T = \frac{\Delta P \times r}{4}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{50 \ dyne/cm^2 \times 2 \ cm}{4} = \frac{100}{4} \ dyne/cm = 25 \ dyne/cm$

(D) પ્રક્રિયા સમતાપી સ્થિતિમાં થતી હોવાથી અને પારોનું કુલ દળ અચળ રહેતું હોવાથી,બે ટીપાંનું કુલ કદ તેમાંથી બનતા એક મોટા ટીપાંના કદ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ ટીપાંનું કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ છે અને બીજા ટીપાંનું કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$ છે.
પરિણામી મોટા ટીપાંનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
કદ સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ: $V = V_1 + V_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 + \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $R^3 = R_1^3 + R_2^3$.

(B) પાણીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{2T}{R}$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
વધારાનું દબાણ $P = 72 \ Nm^{-2}$
પૃષ્ઠતાણ $T = 7.2 \times 10^{-2} \ Nm^{-1}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$72 = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{R}$
$R = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{72}$
$R = \frac{14.4 \times 10^{-2}}{72}$
$R = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$
કારણ કે $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,તેથી $R = 2 \ mm$.

(B) જ્યારે પારોના બે ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે પારોનું કુલ કદ જળવાઈ રહે છે.
ધારો કે $R$ એ પરિણામી મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ ટીપાનું કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ છે.
બીજા ટીપાનું કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$ છે.
પરિણામી ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
કુલ કદ જળવાઈ રહેતું હોવાથી,$V = V_1 + V_2$.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 + \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $R^3 = R_1^3 + R_2^3$ મળે છે.
તેથી,પરિણામી ટીપાની ત્રિજ્યા $R = (R_1^3 + R_2^3)^{1/3}$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ (excess pressure) $P_{excess} = \frac{4T}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P_{in} = P_{atm} + P_{excess} = P_{atm} + \frac{4T}{R}$ હોવાથી, તે સ્પષ્ટ છે કે પરપોટાની અંદરનું દબાણ તેની ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $R$ થી વધીને $2R$ થાય છે, ત્યારે વધારાનું દબાણ ઘટે છે.
તેથી, પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ ઘટે છે.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3$
$2r = R \implies r = \frac{R}{2}$
ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
નાના ટીપા માટે: $\Delta P_{S} = \frac{2T}{r}$
મોટા ટીપા માટે: $\Delta P_{B} = \frac{2T}{R}$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\Delta P_{B}}{\Delta P_{S}} = \frac{2T/R}{2T/r} = \frac{r}{R}$
$r = \frac{R}{2}$ મૂકતા:
$\frac{\Delta P_{B}}{\Delta P_{S}} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\Delta P_{B} = \frac{1}{2} \Delta P_{S}$.

(C) સાબુના પરપોટા માટે, વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ છે. અંદરનું કુલ દબાણ $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ છે.
સમતાપી પરિસ્થિતિમાં, હવાના મોલની સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે, અને $PV = nR_g\theta$ (જ્યાં $R_g$ વાયુ અચળાંક છે).
પ્રથમ પરપોટા માટે: $(P + \frac{4T}{r_1}) \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3 = n_1 R_g \theta$.
બીજા પરપોટા માટે: $(P + \frac{4T}{r_2}) \cdot \frac{4}{3}\pi r_2^3 = n_2 R_g \theta$.
સંયુક્ત પરપોટા માટે: $(P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = (n_1 + n_2) R_g \theta$.
$n_1$ અને $n_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(P + \frac{4T}{R}) R^3 = (P + \frac{4T}{r_1}) r_1^3 + (P + \frac{4T}{r_2}) r_2^3$.
$PR^3 + 4TR^2 = Pr_1^3 + 4Tr_1^2 + Pr_2^3 + 4Tr_2^2$.
$P(R^3 - r_1^3 - r_2^3) = 4T(r_1^2 + r_2^2 - R^2)$.
$T = \frac{P(R^3 - r_1^3 - r_2^3)}{4(r_1^2 + r_2^2 - R^2)}$.

(A) આપેલ છે કે,સમઘનની ધાર $x = 1 \ cm$ છે.
સમઘનનું કદ $V = x^3 = (1 \ cm)^3 = 1 \ cm^3$.
ગુરુત્વાકર્ષણ મુક્ત પાત્રમાં બરફ ઓગળતો હોવાથી,પાણી ગોળાકાર ટીપાનું સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.
ગોળાકાર ટીપાનું કદ = સમઘનનું કદ = $1 \ cm^3$.
ધારો કે ગોળાકાર ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 1 \implies r^3 = \frac{3}{4 \pi} \implies r = \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{1/3}$.
ગોળાકાર ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$.
$A = 4 \pi \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{2/3} = 4 \pi \frac{3^{2/3}}{(4 \pi)^{2/3}}$.
$A = (4 \pi)^{1/3} \times (3^2)^{1/3} = (4 \pi \times 9)^{1/3} = (36 \pi)^{1/3} \ cm^2$.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_{i} - P_{0} = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P_{0} = 1 \, atm$, તેથી વધારાનું દબાણ:
$\Delta P_{1} = 1.01 \, atm - 1 \, atm = 0.01 \, atm$
$\Delta P_{2} = 1.03 \, atm - 1 \, atm = 0.03 \, atm$
કારણ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$, તેથી $\frac{\Delta P_{1}}{\Delta P_{2}} = \frac{r_{2}}{r_{1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{0.03}{0.01} = 3$.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}$ છે.
અહીં $\frac{r_{2}}{r_{1}} = 3$ હોવાથી, $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી, $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1}{27}$.
આમ, તેમના કદનો ગુણોત્તર $V_{1}:V_{2} = 1:27$ અથવા $V_{2}:V_{1} = 27:1$ છે.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R'$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R'^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
$R'^3 = 2 R^3 \implies R' = 2^{1/3} R$
ફેરફાર પહેલાંની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $(E_i)$ = $2 \times (4 \pi R^2 T)$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ફેરફાર પછીની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $(E_f)$ = $4 \pi R'^2 T$.
પૃષ્ઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_i}{E_f} = \frac{2 \times 4 \pi R^2 T}{4 \pi R'^2 T} = \frac{2 R^2}{R'^2}$ છે.
$R' = 2^{1/3} R$ કિંમત મૂકતા:
ગુણોત્તર = $\frac{2 R^2}{(2^{1/3} R)^2} = \frac{2 R^2}{2^{2/3} R^2} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
આમ,ગુણોત્તર $2^{1/3} : 1$ છે.

(C) સમતાપી પરિસ્થિતિમાં,તાપમાન અને પૃષ્ઠતાણ $T$ અચળ રહે છે. જ્યારે બે સાબુના પરપોટા જોડાઈને એક મોટો પરપોટો બનાવે છે,ત્યારે કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોય છે,તેથી તેની પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = 2 \times (4\pi r^{2}T) = 8\pi r^{2}T$ થાય છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જાને સરખાવતા: $8\pi r^{2}T = 8\pi r_{1}^{2}T + 8\pi r_{2}^{2}T$.
$8\pi T$ વડે ભાગતા,આપણને $r^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}$ મળે છે.
તેથી,મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $r = (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})^{1/2}$ થાય છે.

(C) ટીપાંના વિભાજનની પ્રક્રિયા દરમિયાન પારાનું કુલ કદ અચળ રહે છે.
મોટા ટીપાનું કદ = $n \times$ એક નાના ટીપાનું કદ.
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = n \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
બંને બાજુથી $\frac{4}{3} \pi$ દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$R^{3} = n r^{3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$R = n^{\frac{1}{3}} r$
તેથી,દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા:
$r = \frac{R}{n^{\frac{1}{3}}}$

(B) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના $n$ નાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે. અહીં,$n = 2$ છે.
કદના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$n = 2$ મૂકતા: $2r^3 = R^3$,જે આપણને $R = 2^{1/3} r$ આપે છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જા $E$ એ $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_1 = n \times (4 \pi r^2 T) = 2 \times 4 \pi r^2 T = 8 \pi r^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_2 = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$.
ફેરફાર પછી અને પહેલાની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T}{8 \pi r^2 T} = \frac{2^{2/3}}{2} = 2^{2/3 - 1} = 2^{-1/3}$.
આમ,ગુણોત્તર $2^{-1/3} : 1$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ટીપાનું વધારાનું દબાણ બીજા ટીપા કરતા ત્રણ ગણું છે,તેથી $p_1 = 3p_2$.
વધારાના દબાણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2T}{r_1} = 3 \times \frac{2T}{r_2}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 3r_1$ અથવા $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ગોળાકાર ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ છે.
તેમના પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ થાય.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $(P_{1})$ એ બીજા પરપોટા $(P_{2})$ કરતા બમણું છે,તેથી $P_{1} = 2P_{2}$.
વધારાના દબાણનું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{4T}{R_{1}} = 2 \times \frac{4T}{R_{2}}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{R_{1}} = \frac{2}{R_{2}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R_{2}}{R_{1}} = 2$ અથવા $R_{2} = 2R_{1}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}} = \left( \frac{R_{1}}{R_{2}} \right)^{3}$ થાય.
કારણ કે $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$,તેથી કદનો ગુણોત્તર $\left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{1}{8}$ થાય.

(D) જ્યારે બે પારાના ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે પારાનું કુલ કદ જળવાઈ રહે છે.
ધારો કે $R$ એ પરિણામી મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ ટીપાનું કદ $V_{1} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}$ છે.
બીજા ટીપાનું કદ $V_{2} = \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$ છે.
પરિણામી ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ છે.
કુલ કદ જળવાઈ રહેતું હોવાથી,$V = V_{1} + V_{2}$.
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3} + \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$.
બંને બાજુથી $\frac{4}{3} \pi$ દૂર કરતા,આપણને $R^{3} = R_{1}^{3} + R_{2}^{3}$ મળે છે.
તેથી,$R = (R_{1}^{3} + R_{2}^{3})^{\frac{1}{3}}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r} = 9$ એકમ છે.
ધારો કે નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જ્યારે $27$ નાના ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે:
$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$27 r^3 = R^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા, આપણને $R = 3r$ મળે છે.
મોટા ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P' = \frac{2T}{R} = \frac{2T}{3r}$ થશે.
કારણ કે $\frac{2T}{r} = 9$ છે, તેથી કિંમત મૂકતા:
$\Delta P' = \frac{9}{3} = 3$ એકમ.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. પારોનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3} r$
બે નાના ટીપાંની પ્રારંભિક કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_i$:
$E_i = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$
એક મોટા ટીપાની અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_f$:
$E_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
ફેરફાર પહેલાં અને પછીની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_i}{E_f} = \frac{8 \pi r^2 T}{4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3} = 2^{1/3} : 1$

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર પ્રવાહીના ટીપાં પર પૃષ્ઠતાણ $(T)$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ $(p)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$p = \frac{2T}{R}$
અહીં,$T$ એ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વધારાનું દબાણ એ ટીપાંની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$p \propto \frac{1}{R}$ અથવા $p \propto R^{-1}$.

(D) મોટા પરપોટાનું કદ $27$ નાના પરપોટાના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $R = 3r$.
વીજભારિત સાબુના પરપોટા પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ યાંત્રિક બળ (સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ) $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$.
કુલ વીજભાર $Q$ અચળ હોવાથી,પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા $\sigma \propto \frac{1}{R^2}$.
આમ,દબાણ $P \propto \frac{1}{R^4}$.
મોટા પરપોટા માટે: $P_B = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$.
નાના પરપોટા માટે: $q = Q/27$,તેથી $P_S = \frac{(Q/27)^2}{32\pi^2 \epsilon_0 r^4} = \frac{Q^2}{729 \times 32\pi^2 \epsilon_0 (R/3)^4} = \frac{Q^2}{9 \times 32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_B}{P_S} = \frac{1/R^4}{1/(9R^4)} = 9/1$.

(B) જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાનું એક ટીપું $n$ નાના ટીપાંમાં (દરેકની ત્રિજ્યા $r$) વિભાજિત થાય છે,ત્યારે પ્રવાહીની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધે છે. તેથી,પૃષ્ઠતાણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. પ્રવાહીનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = n \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) \implies R^{3} = n r^{3} \implies r = R n^{-1/3}$.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર (કરેલું કાર્ય) $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
$W = T [n(4 \pi r^{2}) - 4 \pi R^{2}]$
$r = R n^{-1/3}$ મૂકતા:
$W = T [n(4 \pi (R n^{-1/3})^{2}) - 4 \pi R^{2}]$
$W = T [4 \pi R^{2} n (n^{-2/3}) - 4 \pi R^{2}]$
$W = 4 \pi R^{2} T [n^{1/3} - 1]$.