Mix Examples-Trigonometrical Equations and Inequations, Properties of Triangles, Height and Distance Questions in Hindi

(B) मान लीजिए समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $c$ कर्ण है। अतः,$c^2 = a^2 + b^2$.
दिया गया है कि भुजाओं के व्युत्क्रम से बना त्रिभुज भी एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ में सबसे बड़ी भुजा कर्ण होगी। चूँकि $c$ सबसे बड़ी भुजा है,$\frac{1}{c}$ सबसे छोटी है,इसलिए $\frac{1}{a}$ सबसे बड़ी है।
अतः,$(\frac{1}{a})^2 = (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2$.
$a = c \sin \theta$ और $b = c \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{c^2 \sin^2 \theta} = \frac{1}{c^2 \cos^2 \theta} + \frac{1}{c^2}$
$\frac{1}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} + 1$
$1 = \tan^2 \theta + \sin^2 \theta$
$1 = \frac{\sin^2 \theta}{1 - \sin^2 \theta} + \sin^2 \theta$
मान लीजिए $x = \sin^2 \theta$. तब $x^2 - 3x + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
$\sin \theta = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin \theta \tan \theta + \tan \theta = \sin 2 \theta$
$\tan \theta (\sin \theta + 1) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta$
स्थिति $1$: $\tan \theta = 0 \implies \theta = 0, \pi, -\pi$ (चूंकि $\theta \in [-\pi, \pi]$).
स्थिति $2$: $\sin \theta + 1 = 2 \cos^2 \theta = 2(1 - \sin^2 \theta) = 2(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)$.
यदि $\sin \theta = -1$ है,तो $\theta = -\frac{\pi}{2}$,जिसे हटा दिया गया है।
यदि $\sin \theta \neq -1$ है,तो $1 = 2(1 - \sin \theta) \implies 1 = 2 - 2 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
समुच्चय $S = \{0, \pi, -\pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \}$,इसलिए $n(S) = 5$.
$T = \sum_{\theta \in S} \cos 2 \theta = \cos(0) + \cos(2\pi) + \cos(-2\pi) + \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{5\pi}{3})$
$T = 1 + 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4$.
अतः,$T + n(S) = 4 + 5 = 9$.

(D) दिया गया समीकरण: $7 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta - 2 \cos^2 2\theta = 2$ है।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$7 \cos^2 \theta - 3(1 - \cos^2 \theta) - 2 \cos^2 2\theta = 2$,जो $10 \cos^2 \theta - 3 - 2 \cos^2 2\theta = 2$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$,हमारे पास $5(1 + \cos 2\theta) - 3 - 2 \cos^2 2\theta = 2$ है,जो $5 + 5 \cos 2\theta - 3 - 2 \cos^2 2\theta = 2$ में सरल हो जाता है।
यह $2 \cos^2 2\theta - 5 \cos 2\theta = 0$ में बदल जाता है,अतः $\cos 2\theta(2 \cos 2\theta - 5) = 0$ है।
चूंकि $\cos 2\theta$ का मान $2.5$ नहीं हो सकता,इसलिए $\cos 2\theta = 0$,जो $2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$ देता है।
अतः,$S = \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ है।
किसी भी $\theta \in S$ के लिए,$\tan^2 \theta = 1$ और $\cot^2 \theta = 1$,इसलिए $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 2$ है।
साथ ही,$\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$ है।
समीकरण $x^2 - 2(2)x + 6(\frac{1}{2}) = 0$ यानी $x^2 - 4x + 3 = 0$ बन जाता है।
प्रत्येक समीकरण के लिए मूलों का योग $4$ है।
चूंकि ऐसे $4$ समीकरण हैं,इसलिए मूलों का कुल योग $4 \times 4 = 16$ है।

(A) मान लीजिए $\angle CAD = \theta_2$ और $\angle BAD = \theta_1$ है। हमें $\cot \theta_2 : \cot \theta_1 = 2 : 1$ दिया गया है,इसलिए $\cot \theta_2 = 2 \cot \theta_1$ है।
$\triangle ADC$ और $\triangle ADB$ में कोटि-ज्या नियम का उपयोग करने पर,जहाँ $AD$ एक उभयनिष्ठ भुजा है और $BD = DC = a/2$ है:
$\cot \theta_2 = \frac{AD^2 + b^2 - a^2/4}{2 \cdot \text{Area}(\triangle ADC)}$
चूंकि $\text{Area}(\triangle ADC) = \text{Area}(\triangle ADB)$ है,इसलिए $\cot \theta_2 = 2 \cot \theta_1$ की शर्त यह दर्शाती है:
$AD^2 + b^2 - a^2/4 = 2(AD^2 + c^2 - a^2/4)$
$AD^2 = b^2 - 2c^2 + a^2/4$
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,$AD^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$ है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$10c^2 = 2b^2 + 2a^2 \Rightarrow b^2 + a^2 = 5c^2$ प्राप्त होता है।
$\triangle BGA$ में,कोसाइन नियम के अनुसार:
$\cos(\angle BGA) = \frac{AG^2 + BG^2 - AB^2}{2 \cdot AG \cdot BG} = 0$ है।
अतः,$\angle BGA = 90^{\circ}$।

(D) दिया गया समीकरण $\sin(\pi \sin^2 \theta) + \sin(\pi \cos^2 \theta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$ है।
सर्वसमिका $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(\frac{\pi(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)}{2}) \cos(\frac{\pi(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$.
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos 2\theta$,हमारे पास है:
$2 \sin(\frac{\pi}{2}) \cos(-\frac{\pi}{2} \cos 2\theta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$.
चूँकि $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ और $\cos(-x) = \cos x$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:
$\cos(\frac{\pi}{2} \cos 2\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$.
इसका अर्थ है $\frac{\pi}{2} \cos 2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{2} \cos \theta$,अतः $n \in Z$ के लिए $\cos 2\theta = 4n \pm \cos \theta$.
स्थिति $I$: $\cos 2\theta - \cos \theta = 4n$. $n=0$ के लिए,$2\cos^2 \theta - 1 - \cos \theta = 0$,अतः $(2\cos \theta + 1)(\cos \theta - 1) = 0$. इस प्रकार $\cos \theta = 1$ या $\cos \theta = -1/2$. $[0, 2\pi]$ में हल $\theta = 0, 2\pi, 2\pi/3, 4\pi/3$ हैं।
स्थिति $II$: $\cos 2\theta + \cos \theta = 4n$. $n=0$ के लिए,$2\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$,अतः $(2\cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$. इस प्रकार $\cos \theta = 1/2$ या $\cos \theta = -1$. $[0, 2\pi]$ में हल $\theta = \pi, \pi/3, 5\pi/3$ हैं।
कुल हल ${0, 2\pi, 2\pi/3, 4\pi/3, \pi, \pi/3, 5\pi/3}$ हैं,जो कुल $7$ हल हैं।

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ एक त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$।
दिए गए समीकरण:
$(i) \quad 2 \sin \alpha + 3 \cos \beta = 3 \sqrt{2}$
$(ii) \quad 3 \sin \beta + 2 \cos \alpha = 1$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(2 \sin \alpha + 3 \cos \beta)^2 = 18$
$4 \sin^2 \alpha + 9 \cos^2 \beta + 12 \sin \alpha \cos \beta = 18$
$(3 \sin \beta + 2 \cos \alpha)^2 = 1$
$9 \sin^2 \beta + 4 \cos^2 \alpha + 12 \sin \beta \cos \alpha = 1$
दोनों को जोड़ने पर:
$4(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 9(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 12 \sin(\alpha + \beta) = 19$
$13 + 12 \sin(\alpha + \beta) = 19$
$\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$
चूंकि $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$,इसलिए $\sin \gamma = \frac{1}{2}$,अतः $\gamma = 30^{\circ}$।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ $(i)$
$4 \sin B + 3 \cos A = 1$ $(ii)$
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B + 16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{1}{2}$
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $A + B = 180^{\circ} - C$ है।
$\sin(180^{\circ} - C) = \frac{1}{2}$
$\sin C = \frac{1}{2}$
अतः,$C = 30^{\circ}$ या $C = 150^{\circ}$।
मूल समीकरणों में $C = 150^{\circ}$ की जांच करने पर विरोधाभास प्राप्त होता है,इसलिए $C = 30^{\circ}$।

(C) $0 \leq x \leq 12 \pi$ अंतराल में $\sin x = \frac{6}{x}$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $y = \sin x$ और $y = \frac{6}{x}$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$1$. फलन $y = \sin x$,$2 \pi$ के आवर्तकाल के साथ $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है।
$2$. फलन $y = \frac{6}{x}$ एक अतिपरवलय है जो $x$ के बढ़ने पर घटता है।
$3$. $x > 0$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $\sin x = \frac{6}{x}$ हो। चूँकि $|\sin x| \leq 1$,इसलिए $|\frac{6}{x}| \leq 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq 6$.
$4$. $[0, 12 \pi]$ अंतराल में,$y = \frac{6}{x}$ का वक्र साइन तरंग के शिखरों को काटता है। ग्राफ का अवलोकन करने पर,$y = \frac{6}{x}$ वक्र साइन तरंग को प्रत्येक $2 \pi$ के अंतराल में दो बार काटता है।
$5$. ग्राफ से प्रतिच्छेदन बिंदुओं को गिनने पर,कुल $10$ बिंदु प्राप्त होते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) त्रिभुज की भुजाओं के लिए दिए गए संबंध हैं:
$c^2 = 2ab$ $(i)$
$a^2 + c^2 = 3b^2$ $(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 + 2ab = 3b^2$
$a^2 + 2ab - 3b^2 = 0$
$(a + 3b)(a - b) = 0$
चूँकि $a$ और $b$ भुजा की लंबाई हैं,$a, b > 0$,इसलिए $a = b$.
$a = b$ को $(i)$ में रखने पर:
$c^2 = 2(b)(b) = 2b^2$
$c = \sqrt{2}b$
अब,हमारे पास भुजाएँ $a = b$,$b = b$,और $c = \sqrt{2}b$ हैं।
चूँकि $a^2 + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2 = c^2$,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसमें समकोण $C$ पर है (अर्थात $\angle C = 90^{\circ}$)।
चूँकि $a = b$,यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle A = \angle B = 45^{\circ}$।
$\angle BAC$ का माप $45^{\circ}$ है।

(D) मान लीजिए $O$ नियमित नौभुज $A_1 A_2 \ldots A_9$ के परिवृत्त का केंद्र है। भुजा की लंबाई $s = 2$ है।
प्रत्येक भुजा द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण $\theta = \frac{2\pi}{9}$ है।
मान लीजिए $r$ परिवृत्त की त्रिज्या है। $\triangle O A_1 A_2$ में,कोज्या नियम (law of cosines) के अनुसार:
$s^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(\frac{2\pi}{9}) = 2r^2(1 - \cos(\frac{2\pi}{9})) = 4r^2 \sin^2(\frac{\pi}{9})$.
चूंकि $s = 2$,हमारे पास $4 = 4r^2 \sin^2(\frac{\pi}{9})$ है,इसलिए $r = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})}$.
केंद्रीय कोण $\phi$ अंतरित करने वाली जीवा $A_i A_j$ की लंबाई $2r \sin(\frac{\phi}{2})$ होती है।
$A_1 A_5$ के लिए,केंद्रीय कोण $4 \times \frac{2\pi}{9} = \frac{8\pi}{9}$ है,इसलिए $A_1 A_5 = 2r \sin(\frac{4\pi}{9})$.
$A_2 A_4$ के लिए,केंद्रीय कोण $2 \times \frac{2\pi}{9} = \frac{4\pi}{9}$ है,इसलिए $A_2 A_4 = 2r \sin(\frac{2\pi}{9})$.
अंतर $A_1 A_5 - A_2 A_4 = 2r(\sin(\frac{4\pi}{9}) - \sin(\frac{2\pi}{9}))$ है।
सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$A_1 A_5 - A_2 A_4 = 2r \cdot 2 \sin(\frac{\pi}{9}) \cos(\frac{3\pi}{9}) = 4r \sin(\frac{\pi}{9}) \cos(\frac{\pi}{3})$.
$r = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})}$ और $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$A_1 A_5 - A_2 A_4 = 4 \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})} \cdot \sin(\frac{\pi}{9}) \cdot \frac{1}{2} = 2$.

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,कोण समद्विभाजकों $BD$ और $CE$ को अंतःकेंद्र $I$ द्वारा क्रमशः $3:2$ और $2:1$ के अनुपात में विभाजित किया जाता है।
$\frac{BI}{ID} = \frac{3}{2}$ और $\frac{CI}{IE} = \frac{2}{1}$.
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ के अंतःकेंद्र $I$ के लिए,जहाँ भुजाएँ $a, b, c$ क्रमशः शीर्ष $A, B, C$ के सम्मुख हैं,कोण समद्विभाजकों का विभाजन इस प्रकार होता है:
$\frac{AI}{IF} = \frac{b+c}{a}$,$\frac{BI}{ID} = \frac{a+c}{b}$,और $\frac{CI}{IE} = \frac{a+b}{c}$.
दिया गया है $\frac{a+c}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2a + 2c = 3b \quad \dots(i)$
दिया गया है $\frac{a+b}{c} = \frac{2}{1} \Rightarrow a + b = 2c \quad \dots(ii)$
$(ii)$ से,$c = \frac{a+b}{2}$. इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2a + 2(\frac{a+b}{2}) = 3b$
$2a + a + b = 3b$
$3a = 2b \Rightarrow b = \frac{3}{2}a$
अब,$b = \frac{3}{2}a$ को $(ii)$ में रखने पर:
$a + \frac{3}{2}a = 2c$
$\frac{5}{2}a = 2c \Rightarrow c = \frac{5}{4}a$
अंत में,अनुपात $\frac{AI}{IF} = \frac{b+c}{a} = \frac{\frac{3}{2}a + \frac{5}{4}a}{a} = \frac{6+5}{4} = \frac{11}{4}$.
अतः,अनुपात $11:4$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $E = \frac{\sin A \cot C + \cos A}{\sin B \cot C + \cos B}$ है।
$\cot C = \frac{\cos C}{\sin C}$ प्रतिस्थापित करने पर,$E = \frac{\sin(A+C)}{\sin(B+C)} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{a} = r$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज के अस्तित्व की शर्तों के अनुसार,$r \in \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $b$,$c$ (लंब और आधार) और $x$ (कर्ण) हैं।
दिया है $b + c + x = 42$ --- $(1)$
समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर माध्यिका कर्ण की आधी होती है,इसलिए $M = \frac{x}{2}$।
कर्ण पर शीर्षलंब $h = \frac{bc}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $M - h = 2$,इसलिए $\frac{x}{2} - \frac{bc}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2bc = 4x$ --- $(2)$
$(1)$ से,$b + c = 42 - x$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $b^2 + c^2 + 2bc = (42 - x)^2$।
चूंकि $b^2 + c^2 = x^2$,हमारे पास है $x^2 + 2bc = (42 - x)^2$ --- $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $2x^2 = (42 - x)^2 + 4x$।
$2x^2 = 1764 - 84x + x^2 + 4x \Rightarrow x^2 + 80x - 1764 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(x + 98)(x - 18) = 0$। चूंकि $x > 0$,$x = 18$।
$x = 18$ को $(2)$ में रखने पर: $18^2 - 2bc = 4(18)$ $\Rightarrow 324 - 2bc = 72$ $\Rightarrow 2bc = 252$ $\Rightarrow bc = 126$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}bc = \frac{1}{2} \times 126 = 63$ है।

(D) दिया गया है $\tan (\pi \cos \theta) + \tan (\pi \sin \theta) = 0$.
इसका अर्थ है $\tan (\pi \cos \theta) = -\tan (\pi \sin \theta) = \tan (-\pi \sin \theta)$.
अतः,$\pi \cos \theta = n\pi - \pi \sin \theta$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
$\pi$ से भाग देने पर,हमें $\sin \theta + \cos \theta = n$ प्राप्त होता है।
चूँकि $-\sqrt{2} \leq \sin \theta + \cos \theta \leq \sqrt{2}$,$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-1, 0, 1$ हैं।
स्थिति $1$: $\sin \theta + \cos \theta = 0 \implies \tan \theta = -1$. $[0, 2\pi)$ में,$\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\sin \theta + \cos \theta = 1 \implies \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $[0, 2\pi)$ में,$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$.
स्थिति $3$: $\sin \theta + \cos \theta = -1 \implies \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. $[0, 2\pi)$ में,$\theta = \pi, \frac{3\pi}{2}$.
समुच्चय $S = \{0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\}$ है।
हमें $\sum_{\theta \in S} \sin^2(\theta + \frac{\pi}{4})$ की गणना करनी है।
$\theta \in \{0, \frac{\pi}{2}\}$ के लिए,$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.
$\theta \in \{\pi, \frac{3\pi}{2}\}$ के लिए,$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.
$\theta \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ के लिए,$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = (0)^2 = 0$.
योग $= 4 \times \frac{1}{2} + 2 \times 0 = 2$.

(D) $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$ का मान तब न्यूनतम होता है जब $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज हो,अर्थात $A = B = C = 60^{\circ}$।
अंतःत्रिज्या $r = 3$ दी गई है। समबाहु त्रिभुज के लिए,$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$,अतः $a = 6\sqrt{3}$।
परिमाप $= 3a = 18\sqrt{3}$। (विकल्प $A$ सही है)।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 27\sqrt{3}$। (विकल्प $D$ गलत है)।
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ और $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{3\sqrt{3}}{2}$,अतः विकल्प $B$ सही है।
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -2r^2 = -18$। (विकल्प $C$ सही है)।

(C) दिया गया है $\cos A + \cos C = 2(1 - \cos B)$।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर,$2 \cos \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$।
चूंकि $\cos \frac{A+C}{2} = \sin \frac{B}{2}$,इसलिए $2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{A-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$,जो सरल होकर $\cos \frac{A-C}{2} = 2 \sin \frac{B}{2}$ देता है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\sin A + \sin C = 2 \sin B$,जिसका अर्थ है $a + c = 2b$।
$a = 3$ और $c = 7$ दिए गए हैं,इसलिए $3 + 7 = 2b$,जिससे $b = 5$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos A - \cos C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
मान रखने पर: $\cos A - \cos C = \frac{25 + 49 - 9}{2(5)(7)} - \frac{9 + 25 - 49}{2(3)(5)}$।
$= \frac{65}{70} - \frac{-15}{30} = \frac{13}{14} + \frac{1}{2} = \frac{13 + 7}{14} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$।

(D) दिया गया है $2 \tan ^2 \theta - 5 \sec \theta = 1$.
$\tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2(\sec ^2 \theta - 1) - 5 \sec \theta - 1 = 0$.
$2 \sec ^2 \theta - 5 \sec \theta - 3 = 0$.
$(2 \sec \theta + 1)(\sec \theta - 3) = 0$.
$\sec \theta = -\frac{1}{2}$ संभव नहीं है,इसलिए $\sec \theta = 3$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{3}$.
$[0, 2\pi]$ अंतराल में $\cos \theta = \frac{1}{3}$ के लिए $2$ हल हैं.
$7$ हलों के लिए,$n = 13$ प्राप्त होता है.
हमें $S = \sum_{k=1}^{13} \frac{k}{2^k}$ की गणना करनी है.
$S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \dots + \frac{13}{2^{13}}$.
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{12}{2^{13}} + \frac{13}{2^{14}}$.
घटाने पर $\frac{S}{2} = 1 - \frac{15}{2^{14}}$ प्राप्त होता है.
अतः $S = 2 - \frac{15}{2^{13}} = \frac{2^{14} - 15}{2^{13}}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^2 x + (2 + 2x - x^2) \sin x - 3(x - 1)^2 = 0$
मध्य पद को फिर से लिखने पर: $2 + 2x - x^2 = 3 - (x^2 - 2x + 1) = 3 - (x - 1)^2$
मान लीजिए $u = \sin x$ और $v = (x - 1)^2$ है। समीकरण $u^2 + (3 - v)u - 3v = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $u^2 + 3u - vu - 3v = 0 \implies u(u + 3) - v(u + 3) = 0 \implies (u - v)(u + 3) = 0$.
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $\sin x = -3$ (जो असंभव है क्योंकि $-1 \leq \sin x \leq 1$) या $\sin x = (x - 1)^2$.
हमें $[-\pi, \pi]$ अंतराल में $\sin x = (x - 1)^2$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
ग्राफ के अनुसार,वक्र $y = \sin x$ और $y = (x - 1)^2$ दिए गए अंतराल में $2$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(B) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
दिया है $a=7$,$b=8$,$c=\alpha$,और $\cos A = \frac{2}{3}$:
$\frac{2}{3} = \frac{8^2+\alpha^2-7^2}{2 \times 8 \times \alpha} = \frac{64+\alpha^2-49}{16\alpha} = \frac{15+\alpha^2}{16\alpha}$.
$32\alpha = 45 + 3\alpha^2 \implies 3\alpha^2 - 32\alpha + 45 = 0$.
$(3\alpha - 5)(\alpha - 9) = 0$. चूँकि $\alpha \in N$,इसलिए $\alpha = 9$.
अब,$\cos C$ ज्ञात करें: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{7^2+8^2-9^2}{2 \times 7 \times 8} = \frac{49+64-81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$.
हमें $49 \cos(3C) + 42$ का मान ज्ञात करना है।
$\cos(3C) = 4\cos^3 C - 3\cos C$ का उपयोग करते हुए:
$49(4(\frac{2}{7})^3 - 3(\frac{2}{7})) + 42 = 49(4 \times \frac{8}{343} - \frac{6}{7}) + 42 = 49(\frac{32}{343} - \frac{6}{7}) + 42 = \frac{32 - 294}{7} + 42 = \frac{-262 + 294}{7} = \frac{32}{7}$.
अतः,$\frac{m}{n} = \frac{32}{7}$,इसलिए $m=32$ और $n=7$ है। चूँकि $\operatorname{gcd}(32, 7)=1$,इसलिए $m+n = 32+7 = 39$.

(C) $\triangle ABC$ में,$A + B + C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $\frac{B+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$।
दिया है $\cos B + \cos C = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$।
योग-से-गुणन सूत्र का उपयोग करने पर: $2 \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$।
चूंकि $\cos \frac{B+C}{2} = \sin \frac{A}{2}$,इसलिए $2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 4 \sin^2 \frac{A}{2}$।
$2 \sin \frac{A}{2}$ से विभाजित करने पर,$\cos \frac{B-C}{2} = 2 \sin \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2 \cos \frac{A}{2}$ से गुणा करने पर,$2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
$2 \cos \frac{A}{2} = 2 \sin \frac{B+C}{2}$ का उपयोग करने पर,$2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} = 2 \sin A$ प्राप्त होता है।
यह $\sin B + \sin C = 2 \sin A$ में सरल हो जाता है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$b + c = 2a$ होता है।
चूंकि $b + c = AB + AC = 2BC$,अतः बिंदु $A$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।

(A) मान लीजिए त्रिभुज के कोण $A, C, B$ हैं जैसे कि $A < C < B$। दिया गया है $B - A = \frac{\pi}{2}$।
मान लीजिए भुजाएँ $n-d, n, n+d$ समांतर श्रेणी में हैं।
परिवृत्त त्रिज्या $R=1$ के साथ ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,भुजाएँ $2R \sin A, 2R \sin C, 2R \sin B$ हैं।
अतः,$n-d = 2 \sin A$,$n = 2 \sin C$,$n+d = 2 \sin B$।
चूंकि $A+B+C = \pi$ और $B = A + \frac{\pi}{2}$,हमारे पास $C = \pi - (A + B) = \pi - (2A + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2A$ है।
$2n = (n-d) + (n+d) = 2 \sin A + 2 \sin B$ से,हमें $n = \sin A + \sin B = \sin A + \cos A$ प्राप्त होता है।
साथ ही $n = 2 \sin C = 2 \sin(\frac{\pi}{2} - 2A) = 2 \cos 2A$।
$n$ की तुलना करने पर: $\sin A + \cos A = 2 \cos 2A = 2(\cos^2 A - \sin^2 A) = 2(\cos A - \sin A)(\cos A + \sin A)$।
चूंकि $\sin A + \cos A \neq 0$,हमारे पास $1 = 2(\cos A - \sin A) \Rightarrow \cos A - \sin A = \frac{1}{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 - 2 \sin A \cos A = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2A = \frac{3}{4}$।
क्षेत्रफल $a = \frac{1}{2} (n-d)(n+d) \sin C = \frac{1}{2} (2 \sin A)(2 \sin B) \sin C = 2 \sin A \cos A \sin C = \sin 2A \cos 2A$।
चूंकि $\sin 2A = \frac{3}{4}$,$\cos 2A = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।
$a = \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$।
$(64a)^2 = (64 \times \frac{3\sqrt{7}}{16})^2 = (4 \times 3\sqrt{7})^2 = 144 \times 7 = 1008$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{a}{s} = \frac{a}{(3n/2)} = \frac{2a}{3n} = \frac{2 \sin 2A \cos 2A}{3(2 \cos 2A)} = \frac{\sin 2A}{3} = \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4} = 0.25$।

(A) दिया गया है $\tan \theta = \cot 5 \theta = \tan\left(\frac{\pi}{2} - 5\theta\right)$.
इसका अर्थ है $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - 5\theta$,अतः $6\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$,या $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{12}$.
साथ ही,$\sin 2\theta = \cos 4\theta = 1 - 2\sin^2 2\theta$.
माना $x = \sin 2\theta$,तब $2x^2 + x - 1 = 0$,जो $(2x-1)(x+1) = 0$ देता है।
अतः $\sin 2\theta = \frac{1}{2}$ या $\sin 2\theta = -1$.
यदि $\sin 2\theta = -1$,तो $2\theta = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{4}$.
यदि $\sin 2\theta = \frac{1}{2}$,तो $2\theta = \frac{\pi}{6}$ या $\frac{5\pi}{6} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$ या $\frac{5\pi}{12}$.
शर्त $\theta \neq \frac{n\pi}{5}$ ($n=0, \pm 1, \pm 2$ के लिए) की जाँच करने पर:
$\theta = -\frac{\pi}{4}$,$\theta = \frac{\pi}{12}$,और $\theta = \frac{5\pi}{12}$ में से कोई भी $0, \pm \frac{\pi}{5}, \pm \frac{2\pi}{5}$ के बराबर नहीं है।
अतः,ऐसे $3$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2R_{c} = 2(1) = 2$.
दिया है $p=\sqrt{3}, q=1$, अतः $\sin P = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin Q = \frac{1}{2}$.
चूंकि $p > q$, इसलिए $P > Q$. $P$ के संभावित मान $60^{\circ}$ या $120^{\circ}$ हैं, और $Q$ के $30^{\circ}$ या $150^{\circ}$ हैं।
यदि $P=60^{\circ}, Q=30^{\circ}$ हो, तो $R=90^{\circ}$ होगा (जो गैर-समकोण होने के कारण संभव नहीं है)।
यदि $P=120^{\circ}, Q=30^{\circ}$ हो, तो $R=30^{\circ}$ होगा। अतः, $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $q=r=1$.
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}qr \sin P = \frac{1}{2}(1)(1)\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{\sqrt{3}+1+1}{2} = \frac{\sqrt{3}+2}{2}$.
अंतःत्रिज्या $r_{in} = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{3}/4}{(\sqrt{3}+2)/2} = \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$. (विकल्प $2$ सही है)।
माध्यिका $RS$ की लंबाई $= \frac{1}{2}\sqrt{2p^2+2q^2-r^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2(3)+2(1)-1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$. (विकल्प $3$ सही है)।
$PE$ भुजा $QR$ पर शीर्षलंब है। $PE = q \sin R = 1 \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$O$ त्रिभुज $\triangle PQR$ का केंद्रक है (चूंकि $PQR$ समद्विबाहु है), इसलिए $OE = \frac{1}{3}PE = \frac{1}{6}$. (विकल्प $4$ सही है)।
$\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \Delta = \frac{\sqrt{3}}{24}$. (विकल्प $1$ गलत है)।

(B) दिया गया है $\tan \frac{X}{2} + \tan \frac{Z}{2} = \frac{2y}{x+y+z}$।
सूत्र $\tan \frac{X}{2} = \frac{\Delta}{S(S-x)}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $S = \frac{x+y+z}{2}$ और $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\Delta}{S(S-x)} + \frac{\Delta}{S(S-z)} = \frac{2y}{2S} = \frac{y}{S}$
$\frac{\Delta}{S} \left( \frac{S-z + S-x}{(S-x)(S-z)} \right) = \frac{y}{S}$
$\Delta \left( \frac{2S - (x+z)}{(S-x)(S-z)} \right) = y$
चूँकि $2S = x+y+z$,इसलिए $2S - (x+z) = y$।
$\Delta \left( \frac{y}{(S-x)(S-z)} \right) = y \implies \Delta = (S-x)(S-z)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\Delta^2 = (S-x)^2(S-z)^2$
$S(S-x)(S-y)(S-z) = (S-x)^2(S-z)^2$
$S(S-y) = (S-x)(S-z)$
$S = \frac{x+y+z}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = x^2 + z^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\angle Y = 90^\circ$।
चूँकि $X+Y+Z = 180^\circ$,$X+Z = 90^\circ$,इसलिए $Y = X+Z$। अतः $(B)$ सत्य है।
साथ ही,$Y$ पर समकोण वाले त्रिभुज के लिए,$\tan \frac{X}{2} = \sqrt{\frac{(S-y)(S-z)}{S(S-x)}} = \frac{x}{y+z}$। अतः $(C)$ भी सत्य है।
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(D) कोसाइन के नियम के अनुसार,$\cos P = \frac{q^2+r^2-p^2}{2qr} = \frac{q^2+r^2}{2qr} - \frac{p^2}{2qr}$. चूँकि $q^2+r^2 \geq 2qr$ ($AM \geq GM$ द्वारा),हमारे पास $\frac{q^2+r^2}{2qr} \geq 1$ है। अतः,$\cos P \geq 1 - \frac{p^2}{2qr}$। इसलिए,$(A)$ सही है।
$(B)$ असमानता $(p+q) \cos R \geq (q-r) \cos P + (p-r) \cos Q$ को $(p \cos R + r \cos P) + (q \cos R + r \cos Q) \geq q \cos P + p \cos Q$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। प्रोजेक्शन सूत्र का उपयोग करते हुए,यह $q + p \geq r$ में सरल हो जाता है,जो त्रिभुज असमानता द्वारा सत्य है। इसलिए,$(B)$ सही है।
$(C)$ साइन के नियम के अनुसार,$\frac{q+r}{p} = \frac{\sin Q + \sin R}{\sin P}$। चूँकि $\sin Q + \sin R \geq 2 \sqrt{\sin Q \sin R}$,हमारे पास $\frac{q+r}{p} \geq 2 \frac{\sqrt{\sin Q \sin R}}{\sin P}$ है। इसलिए,$(C)$ गलत है।
$(D)$ शर्त $\cos Q > \frac{p}{r}$ का अर्थ है $\sin R \cos Q > \sin P$,जो $\sin P + \sin(R-Q) > 2 \sin P$,या $\sin(R-Q) > \sin P$ में सरल हो जाता है। यह उन सभी त्रिभुजों के लिए आवश्यक रूप से सत्य नहीं है जहाँ $p < q$ और $p < r$ है। इसलिए,$(D)$ गलत है।
अतः,सही कथन $(A)$ और $(B)$ हैं।

(A) दिया है $a=2, b=\frac{7}{2}, c=\frac{5}{2}$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = 4$.
व्यंजक $\frac{2 \sin P - \sin 2P}{2 \sin P + \sin 2P} = \frac{2 \sin P(1 - \cos P)}{2 \sin P(1 + \cos P)} = \tan^2(P/2)$.
सूत्रानुसार $\tan^2(P/2) = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$.
मान रखने पर: $s-a = 2, s-b = 0.5, s-c = 1.5$.
$\tan^2(P/2) = \frac{0.5 \times 1.5}{4 \times 2} = \frac{0.75}{8} = \frac{3}{32}$.
यहाँ $\Delta = \sqrt{4 \times 2 \times 0.5 \times 1.5} = \sqrt{6}$.
अतः,$\left(\frac{3}{4 \Delta}\right)^2 = \frac{9}{16 \times 6} = \frac{3}{32}$.
अतः सही उत्तर $\left(\frac{3}{4 \Delta}\right)^2$ है।

(B) माना शीर्षों से स्पर्श रेखाओं की लंबाई $x, y, z$ है। दिया गया है कि $PN=x, QL=y, RM=z$ लगातार सम पूर्णांक हैं। माना $x=2n, y=2n+2, z=2n+4$ है।
चूंकि $P$ सबसे बड़ा कोण है,$P$ के सम्मुख भुजा $(QR = y+z)$ सबसे बड़ी भुजा होगी।
$QR = (2n+2) + (2n+4) = 4n+6$
$PQ = x+y = 4n+2$
$PR = x+z = 4n+4$
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos P = \frac{PQ^2 + PR^2 - QR^2}{2(PQ)(PR)} = \frac{1}{3}$
समीकरण को हल करने पर $n=4$ प्राप्त होता है।
अतः भुजाएं $PQ = 18, PR = 20, QR = 22$ हैं। संभावित लंबाइयां $18$ और $22$ हैं।

(B) माना कि दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। दिया है $a+b=x$ और $ab=y$.
दिया है $x^2-c^2=y$,$x=a+b$ और $y=ab$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $(a+b)^2-c^2=ab$.
$a^2+b^2+2ab-c^2=ab \implies a^2+b^2-c^2=-ab$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{-ab}{2ab} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$C = 120^\circ$ या $\frac{2\pi}{3}$.
अंतःत्रिज्या $r$ और परिवृत्त त्रिज्या $R$ का अनुपात $\frac{r}{R} = \frac{4\Delta^2}{sabc}$ है।
$\frac{r}{R} = \frac{a^2b^2 \sin^2 C}{(\frac{a+b+c}{2})abc} = \frac{y^2 \cdot (3/4)}{(\frac{x+c}{2})abc} = \frac{3y^2}{2(x+c)abc} = \frac{3y^2}{2(x+c)yc} = \frac{3y}{2c(x+c)}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin x + 2 \sin 2x - \sin 3x = 3$.
सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर:
$\sin x + 4 \sin x \cos x - (3 \sin x - 4 \sin^3 x) = 3$.
$-2 \sin x + 4 \sin x \cos x + 4 \sin^3 x = 3$.
$x \in (0, \pi)$ के लिए,$f(x) = \sin x + 2 \sin 2x - \sin 3x$ का अधिकतम मान $3$ से कम है।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(C) $\triangle PQR$ में,$\angle PRQ = \angle QRS - \angle PRS = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$\triangle QRS$ में,$\angle RQS = \angle PQR - \angle PQS = 70^{\circ} - 15^{\circ} = 55^{\circ}$ है।
अतः $\angle QSR = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 55^{\circ} = 55^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\angle RQS = \angle QSR = 55^{\circ}$,इसलिए $QR = RS = 1$ है।
$\triangle PQR$ में,$\angle QPR = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ}$ है।
$\triangle PQR$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{\sin 80^{\circ}} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2 \sin 80^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
$\triangle PRS$ में ज्या नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\beta}{\sin 40^{\circ}} = \frac{1}{\sin \theta} \Rightarrow \beta \sin \theta = \sin 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,$4 \alpha \beta \sin \theta = 4 \left( \frac{1}{2 \sin 80^{\circ}} \right) \sin 40^{\circ} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}} = \sec 40^{\circ}$ है।
चूँकि $30^{\circ} < 40^{\circ} < 45^{\circ}$ है,इसलिए $\sec 30^{\circ} < \sec 40^{\circ} < \sec 45^{\circ}$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{2}{\sqrt{3}} < \sec 40^{\circ} < \sqrt{2}$।
चूँकि $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ है,इसलिए $\sec 40^{\circ}$ का मान $(0, \sqrt{2})$ और $(1, 2)$ अंतरालों में स्थित है।
अतः,सही विकल्प $(A)$ और $(B)$ हैं।

(D) दिए गए समीकरण $2 \sin^2 \theta = \cos 2\theta$ और $2 \cos^2 \theta = 3 \sin \theta$ हैं।
पहले समीकरण से: $2 \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
दूसरे समीकरण से: $2(1 - \sin^2 \theta) = 3 \sin \theta \implies 2 - 2 \sin^2 \theta = 3 \sin \theta \implies 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$.
चूंकि $\sin \theta = -2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,सामान्य हल $\sin \theta = \frac{1}{2}$ है।
$\theta \in [0, 2\pi]$ के लिए,मान $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ हैं।
इन मानों का योग $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \pi$ है।

(A) दिया गया है कि $\tan A, \tan B, \tan C$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
$\frac{2}{\tan B} = \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$
$\frac{2 \cos B}{\sin B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos C}{\sin C}$
ज्या नियम (sine rule) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$ है।
साथ ही,$\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}, \cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}, \cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \left( \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \right) \cdot \frac{2R}{b} = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \cdot \frac{2R}{a} + \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \cdot \frac{2R}{c}$
दोनों पक्षों को $\frac{abc}{2R}$ से गुणा करने पर:
$2(a^{2}+c^{2}-b^{2}) = (b^{2}+c^{2}-a^{2}) + (a^{2}+b^{2}-c^{2})$
$2a^{2} + 2c^{2} - 2b^{2} = 2b^{2}$
$2a^{2} + 2c^{2} = 4b^{2}$
$a^{2} + c^{2} = 2b^{2}$
अतः,$a^{2}, b^{2}, c^{2}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(B) हम ज्या नियम (Sine Rule) से जानते हैं कि $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$।
दिया गया है कि $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$।
ज्या नियम के समीकरण को दिए गए समीकरण से विभाजित करने पर,हमें $\tan A = \tan B = \tan C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसका अर्थ है कि $A = B = C = 60^{\circ}$,अतः त्रिभुज समबाहु है।
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
$a = \sqrt{6}$ दिया गया है,अतः क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिए गए घन समीकरण $x^3-11x^2+38x-40=0$ के मूल $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$a+b+c = 11$
$ab+bc+ca = 38$
$abc = 40$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$।
इसे $\frac{\cos A}{a} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$ में प्रतिस्थापित करने पर।
इसी प्रकार,$\frac{\cos B}{b} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}$ और $\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$।
योग करने पर,$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$।
हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$।
$11^2 = a^2+b^2+c^2+2(38) \implies 121 = a^2+b^2+c^2+76 \implies a^2+b^2+c^2 = 45$।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{45}{2(40)} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$ है।

(B) दिया गया है $a \cos B = b \cos A$। ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$2R \sin A \cos B = 2R \sin B \cos A$,जिसका अर्थ है $\sin A \cos B - \cos A \sin B = 0$,इसलिए $\sin(A - B) = 0$।
चूंकि $A$ और $B$ त्रिभुज के कोण हैं,$A = B$,जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समद्विबाहु है जहाँ $a = b$ है।
हालाँकि,शर्त $a \cos C \neq c \cos A$ यह दर्शाती है कि $\sin A \cos C \neq \sin C \cos A$,इसलिए $\sin(A - C) \neq 0$,जिसका अर्थ है $A \neq C$।
अतः,त्रिभुज $a = b$ और $a \neq c$ के साथ समद्विबाहु है।
$a, a, c$ भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
आधार $c$ है। ऊंचाई $h = \sqrt{a^2 - (c/2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4a^2 - c^2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times c \times \frac{1}{2} \sqrt{4a^2 - c^2} = \frac{c}{4} \sqrt{4a^2 - c^2}$।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a-d$,$a$,और $a+d$ हैं,जहाँ $d > 0$ है। सबसे बड़ी भुजा $a+d = 7$ है।
सबसे बड़ी भुजा के सामने का कोण $120^{\circ}$ है,अतः कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 - 2a(a-d) \cos(120^{\circ})$.
$a+d=7$ रखने पर,$d = 7-a$ प्राप्त होता है।
$49 = (2a-7)^2 + a^2 + a(2a-7)$.
$49 = 4a^2 - 28a + 49 + a^2 + 2a^2 - 7a$.
$7a^2 - 35a = 0$.
$a=5$ प्राप्त होता है।
भुजाएँ $3, 5, 7$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin(120^{\circ}) = \frac{15 \sqrt{3}}{4} \ m^2$.

(A) भुजाएँ $a, b, c$ त्रिघात समीकरण $x^3-11x^2+38x-40=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$a+b+c = 11$
$ab+bc+ca = 38$
$abc = 40$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
अतः,$\frac{\cos A}{a} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$.
इसी प्रकार,$\frac{\cos B}{b} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}$ और $\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$.
इन पदों को जोड़ने पर:
$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$.
हम जानते हैं कि $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 11^2 - 2(38) = 121 - 76 = 45$.
इसलिए,योग $\frac{45}{2(40)} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$ है।

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc} = \frac{k+7}{30}$
$\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc} = \frac{k+7}{30}$
यहाँ $a=2, b=3, c=5$ दिया गया है,इसलिए $a^2+b^2+c^2 = 4+9+25 = 38$ और $2abc = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60$.
अतः,$\frac{38}{60} = \frac{k+7}{30}$
$\frac{38}{60} = \frac{2(k+7)}{60}$
$38 = 2k + 14$
$2k = 24 \Rightarrow k = 12$.

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
व्यंजक $E = a \cos^2\left(\frac{C}{2}\right) + c \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$ है।
सर्वसमिका $2 \cos^2\theta = 1 + \cos(2\theta)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{a}{2}(1 + \cos C) + \frac{c}{2}(1 + \cos A)$
$E = \frac{1}{2}(a + a \cos C + c + c \cos A)$
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) के अनुसार,$a \cos C + c \cos A = b$।
$E = \frac{1}{2}(a + c + b)$
चूंकि $a + c = 2b$,इसलिए:
$E = \frac{1}{2}(2b + b) = \frac{3b}{2}$।

(A) $\triangle PQR$ में,$\angle R = \frac{\pi}{2}$,अतः $P + Q = \frac{\pi}{2}$ है।
इस प्रकार,$\frac{P+Q}{2} = \frac{\pi}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \frac{P}{2}$ और $\tan \frac{Q}{2}$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2} = -\frac{b}{a}$ है।
मूलों का गुणनफल: $\tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2} = \frac{c}{a}$ है।
सर्वसमिका $\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \frac{\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}}{1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}}$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $\frac{P+Q}{2} = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
अतः,$1 = \frac{-b/a}{1 - c/a} = \frac{-b/a}{(a-c)/a} = \frac{-b}{a-c}$ है।
$a - c = -b$,जो दर्शाता है कि $a + b = c$ है।

(A) $\triangle ABC$ में,हमारे पास $\frac{a+b}{7}=\frac{b+c}{8}=\frac{c+a}{9}=k$ है।
इससे हमें प्राप्त होता है:
$a+b=7k$ $(i)$
$b+c=8k$ $(ii)$
$c+a=9k$ $(iii)$
इन समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2(a+b+c)=24k$ प्राप्त होता है,इसलिए $a+b+c=12k$ $(iv)$।
समीकरण $(iv)$ से क्रमशः $(i), (ii), (iii)$ को घटाने पर:
$c = (a+b+c) - (a+b) = 12k - 7k = 5k$
$a = (a+b+c) - (b+c) = 12k - 8k = 4k$
$b = (a+b+c) - (c+a) = 12k - 9k = 3k$
चूंकि $a^2+b^2 = (4k)^2 + (3k)^2 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2 = (5k)^2 = c^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c$ है।
अतः,$\angle C = 90^{\circ}$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 4k \times 3k = 6k^2$।
इसलिए,$\frac{(A(\triangle ABC))^2}{k^4} = \frac{(6k^2)^2}{k^4} = \frac{36k^4}{k^4} = 36$।

(D) दिया गया है $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमारे पास $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$,जिसका अर्थ है $\cot A = \cot B = \cot C$।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B = C = 60^\circ$,अतः त्रिभुज समबाहु है।
$a = \frac{1}{\sqrt{6}}$ दिया गया है,समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{6}} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{\sqrt{3}}{24} = \frac{1}{8 \sqrt{3}}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$,अतः $\sin A = ak, \sin B = bk, \sin C = ck$।
व्यंजक $E = \frac{a}{c} \sin 2C + \frac{c}{a} \sin 2A$ है।
$E = \frac{a}{c} (2 \sin C \cos C) + \frac{c}{a} (2 \sin A \cos A)$।
$\sin C = ck$ और $\sin A = ak$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{a}{c} (2 ck \cos C) + \frac{c}{a} (2 ak \cos A) = 2ak \cos C + 2ck \cos A$।
$E = 2k (a \cos C + c \cos A)$।
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) $b = a \cos C + c \cos A$ का उपयोग करने पर:
$E = 2kb = 2 \sin B$।
चूंकि $B = 60^{\circ}$,इसलिए $E = 2 \sin 60^{\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।

(D) दी गई व्यंजक $\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ है।
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$= \left(\frac{c+a+b}{c}\right) \left(\frac{b+c-a}{b}\right)$
$= \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b}$
$= \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$
$= \frac{b^2 + c^2 + 2bc - a^2}{bc}$
$= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} + 2$
कोसाइन नियम $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} = 2 \cos A$.
$= 2 \cos A + 2$
दिया गया है $\angle A = 60^{\circ}$,इसलिए $\cos 60^{\circ} = 1/2$.
$= 2(1/2) + 2 = 1 + 2 = 3$.

(A) दिया गया है $b \cos ^{2} \frac{C}{2}+c \cos ^{2} \frac{B}{2}=\frac{3 a}{2}$।
सर्वसमिका $\cos ^{2} \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$b \left( \frac{1+\cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1+\cos B}{2} \right) = \frac{3 a}{2}$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$b(1+\cos C) + c(1+\cos B) = 3a$।
$b + b \cos C + c + c \cos B = 3a$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(b \cos C + c \cos B) + b + c = 3a$।
प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार,$b \cos C + c \cos B = a$,इसलिए:
$a + b + c = 3a$।
$b + c = 2a$।
यह दर्शाता है कि $b, a, c$ $A$.$P$. में हैं।

(C) दिया गया है $\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 C$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमें प्राप्त होता है $\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(\frac{a}{2R})^2 + (\frac{b}{2R})^2 = (\frac{c}{2R})^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = c^2$।
यह दर्शाता है कि $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c = l(AB) = 10$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $Area = \frac{1}{2}ab$ है।
चूंकि $c = 10$,इसलिए $a = 10 \sin A$ और $b = 10 \cos A$ है।
$Area = \frac{1}{2}(10 \sin A)(10 \cos A) = 50 \sin A \cos A = 25 \sin(2A)$।
$\sin(2A)$ का अधिकतम मान $1$ है (जब $2A = 90^{\circ}$ या $A = 45^{\circ}$)।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $25 \times 1 = 25$ है।

(B) त्रिभुज $ABC$ में $A$ पर समकोण है,अतः $B+C = 90^\circ$,इसलिए $\frac{B+C}{2} = 45^\circ$ है।
चूंकि $\tan \frac{B}{2}$ और $\tan \frac{C}{2}$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं,मूलों का योग $\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{c}{a}$ है।
सर्वसमिका $\tan(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = \frac{\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}}$ का उपयोग करते हुए,$\tan 45^\circ = 1$ रखने पर:
$1 = \frac{-b/a}{1 - c/a} = \frac{-b}{a-c}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $a-c = -b$,अर्थात $a+b=c$ प्राप्त होता है।

(A) $\triangle ABC$ में,चूंकि $\angle B = \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $A + C = \frac{\pi}{2}$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{A}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan(\frac{A}{2} + \frac{C}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = \tan \frac{A}{2}$ और $\beta = \tan \frac{C}{2}$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha \beta = \frac{r}{p}$.
इन मानों को समीकरण $\alpha + \beta = 1 - \alpha \beta$ में रखने पर,हमें $-\frac{q}{p} = 1 - \frac{r}{p}$ प्राप्त होता है।
$p$ से गुणा करने पर,$-q = p - r$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $r = p + q$ या $p + q = r$ हो जाता है।

(A) $\triangle PQR$ में,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle R = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$,इसलिए $\angle P + \angle Q = 90^{\circ}$ है।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\tan \left(\frac{P}{2}\right)$ और $\tan \left(\frac{Q}{2}\right)$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,अतः:
मूलों का योग: $\tan \left(\frac{P}{2}\right) + \tan \left(\frac{Q}{2}\right) = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $\tan \left(\frac{P}{2}\right) \tan \left(\frac{Q}{2}\right) = \frac{c}{a}$.
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \left(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}\right) = \frac{\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}}{1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}}$.
मान रखने पर: $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-b/a}{1 - c/a}$.
$1 = \frac{-b}{a-c}$.
$a - c = -b$,जिसका अर्थ है $a + b = c$.