Mix Examples-Trigonometrical Equations and Inequations, Properties of Triangles, Height and Distance Questions in Hindi

(A) $\triangle ABC$ में,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle C = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$ होगा।
अतः,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\tan \left(\frac{A}{2}\right)$ और $\tan \left(\frac{B}{2}\right)$ समीकरण $a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0$ के मूल हैं,मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $\tan \left(\frac{A}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right) = -\frac{b_1}{a_1}$।
मूलों का गुणनफल: $\tan \left(\frac{A}{2}\right) \cdot \tan \left(\frac{B}{2}\right) = \frac{c_1}{a_1}$।
सूत्र $\tan \left(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}\right) = \frac{\tan \left(\frac{A}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right)}{1 - \tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{B}{2}\right)}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-\frac{b_1}{a_1}}{1 - \frac{c_1}{a_1}}$।
$1 = \frac{-b_1}{a_1 - c_1}$।
$a_1 - c_1 = -b_1$,जिसका अर्थ है कि $a_1 + b_1 = c_1$।

(C) दिए गए समीकरण $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\tan \theta = -1$ हैं,जहाँ $\theta \in [0, 2\pi]$ है।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,$\theta$ के संभावित मान $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{7\pi}{4}$ हैं।
$\tan \theta = -1$ के लिए,$\theta$ के संभावित मान $\frac{3\pi}{4}$ और $\frac{7\pi}{4}$ हैं।
दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ मान $\theta = \frac{7\pi}{4}$ है।

(D) $\triangle ABC$ में प्रोजेक्शन नियम का उपयोग करते हुए,हमारे पास $c = a \cos B + b \cos A$ और $b = a \cos C + c \cos A$ है।
दिया गया व्यंजक $E = \frac{\cos B+\cos C}{b+c}+\frac{\cos A}{a}$ है।
सामान्य हर लेने पर: $E = \frac{a(\cos B+\cos C) + (b+c)\cos A}{a(b+c)}$.
अंश का विस्तार करने पर: $E = \frac{a \cos B + a \cos C + b \cos A + c \cos A}{a(b+c)}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E = \frac{(a \cos B + b \cos A) + (a \cos C + c \cos A)}{a(b+c)}$.
प्रोजेक्शन नियमों को प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{c + b}{a(b+c)}$.
सरल करने पर: $E = \frac{b+c}{a(b+c)} = \frac{1}{a}$.

(A) दिया गया समीकरण: $a \cos 2 \theta + b \sin 2 \theta = c$
सर्वसमिकाओं $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = c$
दोनों पक्षों को $(1 + \tan^2 \theta)$ से गुणा करने पर:
$a(1 - \tan^2 \theta) + 2b \tan \theta = c(1 + \tan^2 \theta)$
$a - a \tan^2 \theta + 2b \tan \theta = c + c \tan^2 \theta$
$\tan \theta$ में द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(a + c) \tan^2 \theta - 2b \tan \theta + (c - a) = 0$
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ होता है:
$\tan \alpha + \tan \beta = -\frac{-2b}{a + c} = \frac{2b}{c + a}$

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$.
हमें $a \cos ^2 \frac{C}{2} + c \cos ^2 \frac{A}{2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos ^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right)$
$= \frac{a + a \cos C + c + c \cos A}{2}$
$= \frac{(a + c) + (a \cos C + c \cos A)}{2}$
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) के अनुसार,$b = a \cos C + c \cos A$.
$a + c = 2b$ और $a \cos C + c \cos A = b$ रखने पर:
$= \frac{2b + b}{2} = \frac{3b}{2}$.

(D) चूंकि चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है,इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$A + C = 180^{\circ}$ और $B + D = 180^{\circ}$।
इसका अर्थ है $A = 180^{\circ} - C$ और $B = 180^{\circ} - D$।
गुणधर्म $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos A = \cos(180^{\circ} - C) = -\cos C \implies \cos A + \cos C = 0$।
$\cos B = \cos(180^{\circ} - D) = -\cos D \implies \cos B + \cos D = 0$।
इनका योग करने पर,$\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2b^2 = a^2 + c^2$ है।
सर्वसमिका $\sin 3B = 3\sin B - 4\sin^3 B$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\sin 3B}{\sin B} = 3 - 4\sin^2 B$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 - 4(1 - \cos^2 B) = 4\cos^2 B - 1$ मिलता है।
कोसाइन नियम $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ का उपयोग करके,$a^2 + c^2 = 2b^2$ रखने पर:
$\cos B = \frac{2b^2 - b^2}{2ac} = \frac{b^2}{2ac}$।
अतः,$4\cos^2 B - 1 = 4\left(\frac{b^2}{2ac}\right)^2 - 1 = \frac{4b^4}{4a^2c^2} - 1 = \frac{b^4 - a^2c^2}{a^2c^2}$।
चूंकि $b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}$,इसलिए $b^4 = \frac{(a^2 + c^2)^2}{4}$।
यह मान रखने पर: $\frac{\frac{(a^2 + c^2)^2}{4} - a^2c^2}{a^2c^2} = \frac{(a^2 + c^2)^2 - 4a^2c^2}{4a^2c^2} = \frac{(a^2 - c^2)^2}{4a^2c^2} = \left(\frac{a^2 - c^2}{2ac}\right)^2$।

(A) किसी भी $\triangle ABC$ में,टेंजेंट के योग के लिए सर्वसमिका $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होती है।
दिया गया है कि $\tan A + \tan B + \tan C = 6$,इसलिए $\tan A \tan B \tan C = 6$ होगा।
हमें $\tan A \cdot \tan B = 2$ भी दिया गया है।
इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,$2 \cdot \tan C = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan C = \frac{6}{2} = 3$।

(B) माना भुजाएँ $a = \sin \theta$,$b = \cos \theta$,और $c = \sqrt{1 + \sin \theta \cos \theta}$ हैं।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,$\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों धनात्मक हैं और $1$ से कम हैं।
भुजाओं के वर्गों की तुलना करने पर: $a^2 = \sin^2 \theta$,$b^2 = \cos^2 \theta$,और $c^2 = 1 + \sin \theta \cos \theta$।
चूँकि $c^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta$,यह स्पष्ट है कि $c^2 > a^2$ और $c^2 > b^2$,इसलिए $c$ सबसे बड़ी भुजा है।
सबसे बड़ा कोण $C$,भुजा $c$ के सम्मुख है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
$\cos C = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - (1 + \sin \theta \cos \theta)}{2 \sin \theta \cos \theta}$।
$\cos C = \frac{1 - 1 - \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{-\sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = -\frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos C = -\frac{1}{2}$,इसलिए $C = 120^{\circ} = \frac{2 \pi}{3}$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \sec x+\operatorname{cosec} x+2(\tan x-\cot x)=0$
$2$ से भाग देने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sec x+\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x=\cot x-\tan x$
$\sin x$ और $\cos x$ में बदलने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2 \cos x}+\frac{1}{2 \sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}$
$\sin x \cos x$ से गुणा करने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\cos^2 x-\sin^2 x$
$\cos(A-B)$ और $\cos 2x$ सूत्रों का उपयोग करने पर: $\cos(x-\frac{\pi}{6})=\cos 2x$
व्यापक हल: $2x = 2n\pi \pm (x-\frac{\pi}{6})$
स्थिति $1$: $2x = 2n\pi + x - \frac{\pi}{6} \implies x = 2n\pi - \frac{\pi}{6}$
$n=0$ के लिए,$x=-\frac{\pi}{6} \in S$. $n=1$ के लिए,$x=\frac{11\pi}{6} \notin S$.
स्थिति $2$: $2x = 2n\pi - (x - \frac{\pi}{6}) \implies 3x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$
$n=0$ के लिए,$x=\frac{\pi}{18} \in S$. $n=1$ के लिए,$x=\frac{13\pi}{18} \in S$. $n=-1$ के लिए,$x=-\frac{11\pi}{18} \in S$.
हलों का योग: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{18} + \frac{13\pi}{18} - \frac{11\pi}{18} = \frac{-3\pi + \pi + 13\pi - 11\pi}{18} = 0$.

(C) $\triangle ABC$ में,$C$ समकोण है,कोण $A, B, C$ के सम्मुख भुजाएँ क्रमशः $a, b, c$ हैं।
$\tan A = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{a}{b}$
$\tan B = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{b}{a}$
$\tan A + \tan B = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
$= \frac{a^2 + b^2}{ab}$
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + b^2 = c^2$ है।
अतः,$\tan A + \tan B = \frac{c^2}{ab}$.

(C) दिया गया है,$a=2$.
$\triangle ABC$ में,$B=\tan ^{-1}(\frac{1}{2})$ और $C=\tan ^{-1}(\frac{1}{3})$ है।
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A+B+C=\pi$ होता है।
$A = \pi - (B+C) = \pi - (\tan ^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{3}))$.
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करने पर:
$B+C = \tan ^{-1}(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \tan ^{-1}(\frac{5/6}{5/6}) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$A = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
अब,$\sin A = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(135^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\tan B = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin B = \frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
$b = a \cdot \frac{\sin B}{\sin A} = 2 \cdot \frac{1/\sqrt{5}}{1/\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
अतः,$(A, b) = (\frac{3\pi}{4}, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}})$.

(A) दिया है,$R = \frac{\pi}{4}$.
चूंकि $P+Q+R = \pi$,इसलिए $P+Q = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$3$ से भाग देने पर,$\frac{P}{3} + \frac{Q}{3} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में टैनजेंट लेने पर,$\tan(\frac{P}{3} + \frac{Q}{3}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\tan(\frac{P}{3}) + \tan(\frac{Q}{3})}{1 - \tan(\frac{P}{3})\tan(\frac{Q}{3})} = 1$.
चूंकि $\tan(\frac{P}{3})$ और $\tan(\frac{Q}{3})$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ और गुणनफल $\frac{c}{a}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$.
यह $\frac{-b}{a-c} = 1$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $-b = a - c$,या $a+b = c$.

(A) दिया गया है कि $r_1, r_2, r_3$ $HP$ में हैं।
चूंकि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,जहाँ $\Delta$ क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
$r_1, r_2, r_3$ के $HP$ में होने के लिए:
$\frac{2}{r_2} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3}$
मान रखने पर:
$\frac{2(s-b)}{\Delta} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-c}{\Delta}$
$2s - 2b = s - a + s - c$
$2s - 2b = 2s - (a + c)$
$-2b = -(a + c)$
$2b = a + c$
यह दर्शाता है कि $a, b$ और $c$ $AP$ में हैं।

(B) दिया है: $\sin^2 B = \sin A$ और $2 \cos^2 A = 3 \cos^2 B$।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$2(1 - \sin^2 A) = 3(1 - \sin^2 B)$।
$\sin^2 B = \sin A$ रखने पर,$2 - 2 \sin^2 A = 3 - 3 \sin A$।
अतः $2 \sin^2 A - 3 \sin A + 1 = 0$।
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(2 \sin A - 1)(\sin A - 1) = 0$।
इससे $\sin A = 1/2$ या $\sin A = 1$ प्राप्त होता है।
यदि $\sin A = 1$,तो $A = 90^\circ$। यदि $A = 90^\circ$,तो $\sin^2 B = 1$,अतः $B = 90^\circ$। त्रिभुज में $A+B+C = 180^\circ$ होता है,इसलिए यह संभव नहीं है।
यदि $\sin A = 1/2$,तो $A = 30^\circ$ या $150^\circ$।
यदि $A = 30^\circ$,तो $\sin^2 B = 1/2$,अतः $\cos^2 B = 1/2$।
दूसरे समीकरण में मान रखने पर: $2 \cos^2 30^\circ = 2(3/4) = 3/2$ और $3 \cos^2 B = 3(1/2) = 3/2$।
दोनों समान हैं,अतः त्रिभुज अधिककोण त्रिभुज है।

(C) दिया गया है $\cos ^2 A + \cos ^2 B + \cos ^2 C = 1$.
$\cos ^2 C = 1 - \sin ^2 C$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\cos ^2 A + \cos ^2 B + 1 - \sin ^2 C = 1$
$\Rightarrow \cos ^2 A + \cos ^2 B = \sin ^2 C$
$\triangle ABC$ में $C = 180^{\circ} - (A + B)$,इसलिए $\sin C = \sin(A + B)$।
$\Rightarrow \cos ^2 A + \cos ^2 B = \sin ^2(A + B)$
इस समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$2 \cos A \cos B \cos C = 0$
अतः,$\cos A = 0$ या $\cos B = 0$ या $\cos C = 0$।
इसका अर्थ है कि $A = 90^{\circ}$ या $B = 90^{\circ}$ या $C = 90^{\circ}$।
इसलिए,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

(C) दिया गया है $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C + \cos 3\pi = 0$। चूँकि $\cos 3\pi = -1$,इसलिए $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$।
$A+B+C = \pi$ के लिए सर्वसमिका $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 1$
$\Rightarrow 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\cos \frac{3A}{2} = 0$ या $\cos \frac{3B}{2} = 0$ या $\cos \frac{3C}{2} = 0$।
$\triangle ABC$ के लिए,$0 < A, B, C < \pi$,इसलिए $0 < \frac{3A}{2} < \frac{3\pi}{2}$।
$\cos \frac{3A}{2} = 0$ $\Rightarrow \frac{3A}{2} = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow A = \frac{\pi}{3}$।
यदि एक कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो अन्य दो कोणों का योग $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होगा।
हालाँकि,यदि हम वह स्थिति लें जहाँ एक कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो अन्य दो का योग $\frac{\pi}{3}$ होगा।
अतः,दो कोणों के योग का न्यूनतम मान $\frac{\pi}{3}$ है।

(B) माना त्रिभुज $ABC$ है।
चूंकि वृत्त के केंद्र पर जीवा द्वारा बनाया गया कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है,इसलिए $\angle A = \frac{\alpha}{2}$,$\angle B = \frac{\beta}{2}$,$\angle C = \frac{\gamma}{2}$।
$A+B+C = \pi$ होने के कारण,$\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$ प्राप्त होता है।
दिए गए पदों का $A.M.$ $\frac{1}{3} [\cos (\alpha + \frac{\pi}{2}) + \cos (\beta + \frac{\pi}{2}) + \cos (\gamma + \frac{\pi}{2})]$ है।
$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,यह $-\frac{1}{3} [\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma]$ हो जाता है।
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर,$A.M. = -\frac{4}{3} \sin A \sin B \sin C$ प्राप्त होता है।
$A+B+C = \pi$ के लिए,$\sin A \sin B \sin C$ का अधिकतम मान $A=B=C = \frac{\pi}{3}$ पर होता है।
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{4}{3} (\sin \frac{\pi}{3})^3 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(A) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$r r_1 \cot \frac{A}{2} = \left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{s(s-a)}{\Delta}\right) = \Delta$.
इसी प्रकार,$r r_2 \cot \frac{B}{2} = \Delta$ और $r r_3 \cot \frac{C}{2} = \Delta$.
अतः,योग $\Delta + \Delta + \Delta = 3 \Delta$ है।

(B) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,अतः $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
$B = 60^{\circ}$ को समीकरण में रखने पर: $\cos A + \cos 60^{\circ} + \cos C = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$।
$\cos A + \cos C = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $2 \cos \left( \frac{A+C}{2} \right) \cos \left( \frac{A-C}{2} \right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$।
चूँकि $A+C = 120^{\circ}$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = 60^{\circ}$,अतः $\cos \left( \frac{A-C}{2} \right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \cos 75^{\circ}$।
इस प्रकार,$\frac{A-C}{2} = 15^{\circ}$,अर्थात $A-C = 30^{\circ}$।
$A+C = 120^{\circ}$ और $A-C = 30^{\circ}$ को हल करने पर $A = 75^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अंततः,$\tan A = \tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin ^2 \frac{A}{2}-\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2}-1}$
$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ और $\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर,अंश $2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{C}{2})$ हो जाता है।
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A+B}{2}$।
अंश $= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A+B}{2}) = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$।
हर के लिए: $\sin ^2 \frac{A}{2} - \sin ^2 \frac{B}{2} + \sin ^2 \frac{C}{2} - 1 = \sin ^2 \frac{A}{2} - \sin ^2 \frac{B}{2} - \cos ^2 \frac{C}{2} = \sin(\frac{A-B}{2}) \sin(\frac{A+B}{2}) - \cos^2 \frac{C}{2}$।
$\sin(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर,हर $= \cos \frac{C}{2} (\sin \frac{A-B}{2} - \sin \frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} (-2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})$।
अंश को हर से विभाजित करने पर: $\frac{4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}{-2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}} = -2 \cot \frac{B}{2}$।

(D) दिया गया है $3 \cos^2 B = 2 \cos^2 C$।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$3(1 - \sin^2 B) = 2(1 - \sin^2 C)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 B = \sin C$,समीकरण में मान रखने पर:
$3(1 - \sin C) = 2(1 - \sin^2 C)$।
$3 - 3 \sin C = 2 - 2 \sin^2 C$।
$2 \sin^2 C - 3 \sin C + 1 = 0$।
$(2 \sin C - 1)(\sin C - 1) = 0$।
अतः,$\sin C = \frac{1}{2}$ या $\sin C = 1$।
यदि $\sin C = 1$ है,तो $C = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 B = \sin C = 1$,इसलिए $B = \frac{\pi}{2}$। त्रिभुज में $B+C = \pi$ होने के कारण यह संभव नहीं है।
इसलिए,$\sin C = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $C = \frac{\pi}{6}$ या $C = \frac{5\pi}{6}$।
यदि $C = \frac{\pi}{6}$ है,तो $\sin^2 B = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $B = \frac{\pi}{4}$ या $B = \frac{3\pi}{4}$।
यदि $B = \frac{\pi}{4}$ और $C = \frac{\pi}{6}$ है,तो $A = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{12}$।
चूंकि सभी कोण $A, B, C$ अलग-अलग हैं,$\triangle ABC$ एक विषमबाहु त्रिभुज है।

(B) दिया गया है $7 \cos \theta - \sin \theta = 5$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sin \theta = 7 \cos \theta - 5$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,$\sin \theta$ का मान रखने पर:
$(7 \cos \theta - 5)^2 + \cos^2 \theta = 1$।
$49 \cos^2 \theta - 70 \cos \theta + 25 + \cos^2 \theta = 1$।
$50 \cos^2 \theta - 70 \cos \theta + 24 = 0$।
$2$ से विभाजित करने पर,$25 \cos^2 \theta - 35 \cos \theta + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5 \cos \theta - 3)(5 \cos \theta - 4) = 0$।
अतः,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ या $\cos \theta = \frac{4}{5}$।
यदि $\cos \theta = \frac{3}{5}$ है,तो $\sin \theta = 7(\frac{3}{5}) - 5 = -\frac{4}{5}$। यहाँ $\tan \theta = -\frac{4}{3} < 0$।
यदि $\cos \theta = \frac{4}{5}$ है,तो $\sin \theta = 7(\frac{4}{5}) - 5 = \frac{3}{5}$। यहाँ $\tan \theta = \frac{3}{4} > 0$।
चूंकि $\tan \theta > 0$ है,इसलिए सही उत्तर $\tan \theta = \frac{3}{4}$ है।

(A) कथन-$I$ के लिए:
समीकरण $1$: $2 \sin^2 \theta - \cos 2\theta = 0$
$\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$2 \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 0 \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
समीकरण $2$: $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$2(1 - \sin^2 \theta) - 3 \sin \theta = 0 \implies 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$.
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$.
चूंकि $\sin \theta \neq -2$,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
उभयनिष्ठ हल $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{5\pi}{6}$ हैं,अतः दो उभयनिष्ठ हल हैं। कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$ के लिए:
$[0, \pi]$ में $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ के हल $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ हैं। दो हल हैं। कथन-$II$ सत्य है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \sin x - \cos 2x = 1$।
सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x - (1 - 2 \sin^2 x) = 1$
$2 \sin x - 1 + 2 \sin^2 x = 1$
$2 \sin^2 x + 2 \sin x - 2 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
$\sin^2 x = 1 - \sin x$
हमें $(3 - 2 \sin^2 x)$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin^2 x = 1 - \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3 - 2(1 - \sin x) = 3 - 2 + 2 \sin x = 1 + 2 \sin x$।
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ से,$\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूंकि $\sin x \in [-1, 1]$,हम $\sin x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ लेते हैं।
अतः $1 + 2 \sin x = 1 + 2(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) = 1 + \sqrt{5} - 1 = \sqrt{5}$।

(C) दिया गया है: $\cos A \cos B \cos C = \frac{1}{5}$.
$\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$,इसलिए $A+B = \pi - C$.
दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर: $\cos(A+B) = \cos(\pi - C) = -\cos C$.
$\cos A \cos B - \sin A \sin B = -\cos C$.
$\sin A \sin B = \cos A \cos B + \cos C$.
$\cos A \cos B$ से भाग देने पर,$\tan A \tan B = 1 + \frac{\cos C}{\cos A \cos B}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\tan B \tan C = 1 + \frac{\cos A}{\cos B \cos C}$ और $\tan C \tan A = 1 + \frac{\cos B}{\cos C \cos A}$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\sum \tan A \tan B = 3 + \frac{\cos^2 C + \cos^2 A + \cos^2 B}{\cos A \cos B \cos C}$.
$\triangle ABC$ के लिए सर्वसमिका $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2 \cos A \cos B \cos C$ का उपयोग करने पर:
$\sum \tan A \tan B = 3 + \frac{1 - 2 \cos A \cos B \cos C}{\cos A \cos B \cos C} = 3 + \frac{1}{\cos A \cos B \cos C} - 2$.
$\cos A \cos B \cos C = \frac{1}{5}$ रखने पर:
$\sum \tan A \tan B = 3 + 5 - 2 = 6$.

(C) दिया गया समीकरण $4 \sin^3 x - 3 \sin x + a = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर,समीकरण $\sin 3x = a$ बन जाता है।
चूंकि $\angle P$ और $\angle Q$ इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं,इसलिए $\sin 3P = a$ और $\sin 3Q = a$ है।
अतः,$\sin 3P = \sin 3Q$ है।
$\angle P > \angle Q$ होने के कारण,हम जानते हैं कि $3P + 3Q = \pi$ होगा।
इसलिए,$3(P + Q) = \pi$,जिसका अर्थ है $P + Q = \frac{\pi}{3}$।
$\triangle PQR$ में,$P + Q + R = \pi$ होता है।
$P + Q = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,$R = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण $\tan x - x = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम $y = \tan x$ और $y = x$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$x = 0$ पर,दोनों फलन शून्य हैं,लेकिन हमें सबसे छोटा धनात्मक मूल ज्ञात करना है।
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$\tan x > x$ है,इसलिए इस अंतराल में कोई मूल नहीं है।
$x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ के लिए,$\tan x$ ऋणात्मक है जबकि $x$ धनात्मक है,इसलिए कोई मूल नहीं है।
$x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ के लिए,$y = \tan x$ का ग्राफ $-\infty$ से शुरू होकर $+\infty$ तक बढ़ता है,जबकि $y = x$ एक धनात्मक ढाल वाली रेखा है। वे $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ अंतराल में एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,सबसे छोटा धनात्मक मूल $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ अंतराल में स्थित है।

(B) $\triangle ABC$ में,नेपियर के सादृश्य (Napier's analogy) का उपयोग करते हुए: $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$।
दिया गया है $x = \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) \tan \frac{A}{2}$,मान रखने पर $x = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2} \tan \frac{A}{2} = \frac{b-c}{b+c}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$y = \frac{c-a}{c+a}$ और $z = \frac{a-b}{a+b}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{1+x}{1-x} = \frac{1 + \frac{b-c}{b+c}}{1 - \frac{b-c}{b+c}} = \frac{b+c+b-c}{b+c-b+c} = \frac{b}{c}$ होता है।
इसी प्रकार,$\frac{1+y}{1-y} = \frac{c}{a}$ और $\frac{1+z}{1-z} = \frac{a}{b}$ होता है।
इनका गुणा करने पर,$\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \left(\frac{1+y}{1-y}\right) \left(\frac{1+z}{1-z}\right) = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः $(1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $1 + (x+y+z) + (xy+yz+zx) + xyz = 1 - (x+y+z) + (xy+yz+zx) - xyz$।
सरल करने पर,$2(x+y+z) = -2xyz$,जिसका अर्थ है $x+y+z = -xyz$।

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$x+y = \frac{2 \pi}{3}$ $(i)$
$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$ (ii)
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$.
$(i)$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$2 \left(\frac{1}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए समीकरण $\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,समीकरणों के निकाय का हल समुच्चय रिक्त है।

(A) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ के लिए,$\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{B}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right) + \tan \left(\frac{C}{2}\right) \tan \left(\frac{A}{2}\right) = 1$ होता है।
त्रिभुज के लिए,$\tan \left(\frac{A}{2}\right), \tan \left(\frac{B}{2}\right), \tan \left(\frac{C}{2}\right) > 0$ है।
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{B}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right) + \tan \left(\frac{C}{2}\right) \tan \left(\frac{A}{2}\right)}{3} \geq \left[\tan^2 \left(\frac{A}{2}\right) \tan^2 \left(\frac{B}{2}\right) \tan^2 \left(\frac{C}{2}\right)\right]^{\frac{1}{3}}$.
अतः,$\frac{1}{3} \geq \left[\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{B}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right)\right]^{\frac{2}{3}}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$\left(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}\right)^2 \leq \frac{1}{27}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan A + \tan B + \tan C = \cot A + \cot B + \cot C$ है।
किसी भी त्रिभुज के लिए,$A + B + C = 180^{\circ}$ होता है।
यह शर्त किसी भी वास्तविक त्रिभुज के लिए संभव नहीं है।
अतः,ऐसे त्रिभुजों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए $1/a, 1/b, 1/c$ समांतर श्रेणी में हैं।
सूत्र $\operatorname{cosec}^2(A/2) = \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ है।
चूँकि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,$b = \frac{2ac}{a+c}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\operatorname{cosec}^2(A/2), \operatorname{cosec}^2(B/2), \operatorname{cosec}^2(C/2)$ समांतर श्रेणी में हैं।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$2 \sin B = \sin A + \sin C$।
चूंकि $A = 2C$ है,इसलिए $2 \sin B = \sin 2C + \sin C = 2 \sin C \cos C + \sin C = \sin C (2 \cos C + 1)$।
$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3C$ होने के कारण,$\sin B = \sin 3C = 3 \sin C - 4 \sin^3 C$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$2(3 \sin C - 4 \sin^3 C) = \sin C (2 \cos C + 1)$।
$\sin C$ से विभाजित करने पर $(\sin C \neq 0)$,$6 - 8 \sin^2 C = 2 \cos C + 1$।
$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$ का उपयोग करने पर,$6 - 8(1 - \cos^2 C) = 2 \cos C + 1$,जो सरल होकर $8 \cos^2 C - 2 \cos C - 3 = 0$ हो जाता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(4 \cos C + 3)(2 \cos C - 1) = 0$।
चूंकि $C$ त्रिभुज का एक कोण है,इसलिए $\cos C = 3/4$ प्राप्त होता है।
अतः $\cos A = 1/8$,$\cos B = 9/16$,और $\cos C = 3/4$।
इसलिए $\cos A : \cos B : \cos C = 1/8 : 9/16 : 3/4 = 2 : 9 : 12$।

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
$rr_3 = r_1 r_2$ की शर्त से,$(s-a)(s-b) = s(s-c)$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर $a^2 + b^2 = c^2$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि यह एक समकोण त्रिभुज है।
$B = 60^{\circ}$ होने के कारण,$A = 30^{\circ}$ और $C = 90^{\circ}$ होगा।
भुजाओं का अनुपात $a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$ है।
$c = 10$ होने पर,$a = 5$ और $b = 5\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $a^2 + b^2 + c^2 = 25 + 75 + 100 = 200$।

(C) दिया है,$\triangle ABC$ में,$B=90^{\circ}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{1}{2R}$.
चूंकि $B=90^{\circ}$,$\frac{\sin 90^{\circ}}{b} = \frac{1}{2R} \implies b = 2R$.
अंतःत्रिज्या $r$ का सूत्र $r = (s-b) \tan(\frac{B}{2})$ है।
$B=90^{\circ}$ रखने पर,$r = (s-b) \tan(45^{\circ}) = s-b$.
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $r = \frac{a+b+c}{2} - b = \frac{a-b+c}{2}$.
अतः,$2r = a-b+c$.
अंत में,$2(r+R) = 2r + 2R = (a-b+c) + b = a+c$.

(D) दिया गया है $r: R: r_2 = 1: 3: 7$. मान लीजिए $r = k, R = 3k, r_2 = 7k$.
हम जानते हैं कि $r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos \left( \frac{A+C}{2} \right)$.
मान रखने पर: $7k - k = 4(3k) \sin \frac{B}{2} \sin \frac{B}{2}$.
$6k = 12k \sin^2 \frac{B}{2} \Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः $\cos B = 0$,जिसका अर्थ है $B = 90^{\circ}$.
अब,$\sin(A+C) + \sin B = \sin(\pi - B) + \sin B = 2 \sin 90^{\circ} = 2$.

(B) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$ है।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$ है,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
अतः,$a = 2R \sin A$,$c = 2R \sin C$।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{c}{a} \sin 2A + \frac{a}{c} \sin 2C = \frac{\sin C}{\sin A} (2 \sin A \cos A) + \frac{\sin A}{\sin C} (2 \sin C \cos C)$
$= 2 \sin C \cos A + 2 \sin A \cos C$
$= 2 \sin(A + C)$।
चूंकि $A + C = 180^{\circ} - B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है,
$= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ ... $(i)$
$4 \sin B + 3 \cos A = 1$ ... (ii)
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$(9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B) + (16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A) = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{1}{2}$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$।
अतः,$\sin C = \frac{1}{2}$।
त्रिभुज के कोणों के लिए,$C = \frac{\pi}{6}$ या $\frac{5\pi}{6}$ हो सकता है।
हालाँकि,यदि $C = \frac{5\pi}{6}$ है,तो $A+B = \frac{\pi}{6}$ होगा,जो दिए गए समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।
इसलिए,$C = \frac{\pi}{6}$।

(C) दिया है,$\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$.
चूंकि $BC=a, AC=b, AB=c$,इसलिए $\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$.
सरल करने पर,$a^2+b^2-c^2=ab$ प्राप्त होता है।
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{1}{2}$,अतः $C = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$.
हमें $\tan \frac{\pi}{24}$ ज्ञात करना है।
$\tan \frac{\pi}{24} = \sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2$.

(B) दिया गया है कि $AD$,$\triangle ABC$ का शीर्षलंब है,इसलिए $\angle ADB = 90^{\circ}$।
$\triangle BDP$ में,$\angle BPD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \frac{B}{3} = 90^{\circ} - \frac{B}{3}$।
अतः,$\angle APB = 180^{\circ} - \angle BPD = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{B}{3}) = 90^{\circ} + \frac{B}{3}$।
$\triangle ABP$ में,ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{AP}{\sin(\angle ABP)} = \frac{AB}{\sin(\angle APB)}$
$\frac{AP}{\sin(\frac{2B}{3})} = \frac{c}{\sin(90^{\circ} + \frac{B}{3})}$
$AP = \frac{c \sin(\frac{2B}{3})}{\cos(\frac{B}{3})}$
$AP = \frac{c \cdot 2 \sin(\frac{B}{3}) \cos(\frac{B}{3})}{\cos(\frac{B}{3})}$
$AP = 2c \sin \frac{B}{3}$

(B) त्रिभुज $ABC$ में,दिया गया है कि $\frac{\tan A}{2} = \frac{\tan B}{3} = \frac{\tan C}{4} = k$.
अतः,$\tan A = 2k$,$\tan B = 3k$,और $\tan C = 4k$.
किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
मान रखने पर,$2k + 3k + 4k = (2k)(3k)(4k)$,अर्थात $9k = 24k^3$.
चूंकि $k \neq 0$,इसलिए $k^2 = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.
हमें $\sec^2 A + \sec^2 B + \sec^2 C = 3 + \tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$3 + (2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2 = 3 + k^2(4 + 9 + 16) = 3 + 29k^2$.
$k^2 = \frac{3}{8}$ रखने पर,$3 + 29 \times \frac{3}{8} = 3 + \frac{87}{8} = \frac{24 + 87}{8} = \frac{111}{8}$.

(C) के लिए,$r_1 r_2 \sqrt{\frac{4R-r_1-r_2}{r_1+r_2}} = \Delta$ है।
$(B)$ के लिए,$\frac{r_2(r_3+r_1)}{\sqrt{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}} = b$ है।
$(C)$ के लिए,$\frac{a}{c} = \frac{\sin(A-B)}{\sin(B-C)} \implies a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
$(D)$ के लिए,$bc \cos^2 \frac{A}{2} = s(s-a)$ है।
अतः,सही मिलान $A-3, B-1, C-2, D-5$ है,जो विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।

(D) $\triangle ABC$ में,भुजाएँ $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,अतः $b^2 = ac$.
दिया गया है $C - A = 60^{\circ}$.
कोसाइन और साइन नियम का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2 B = \sin A \sin C$ प्राप्त होता है।
$2 \sin^2 B = \cos(A - C) - \cos(A + C) = \cos(60^{\circ}) - \cos(180^{\circ} - B) = \frac{1}{2} + \cos B$.
$2(1 - \cos^2 B) = \frac{1}{2} + \cos B$.
$4 \cos^2 B + 2 \cos B - 3 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{\sqrt{13}-1}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि शीर्षलंबों की लंबाई $P_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$P_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $P_3 = \frac{2\Delta}{c}$ होती है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\cos A}{P_1} + \frac{\cos B}{P_2} + \frac{\cos C}{P_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$
$= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$
सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{R(4 \sin A \sin B \sin C)}{2\Delta}$
चूंकि $\Delta = \frac{abc}{4R}$,इसलिए $\frac{1}{2\Delta} = \frac{2R}{abc}$:
$= \frac{4R \sin A \sin B \sin C}{2 \cdot \frac{abc}{4R}} = \frac{8R^2 \sin A \sin B \sin C}{abc}$
$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,$\sin C = \frac{c}{2R}$ रखने पर:
$= \frac{8R^2 (\frac{a}{2R}) (\frac{b}{2R}) (\frac{c}{2R})}{abc} = \frac{8R^2 \cdot \frac{abc}{8R^3}}{abc} = \frac{1}{R}$

(D) हमें व्यंजक $b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B$ दिया गया है।
द्वि-कोण सूत्र $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$= b^2 (2 \sin C \cos C) + c^2 (2 \sin B \cos B)$
ज्या (Sine) नियम के अनुसार,$\sin C = \frac{c}{2R}$ और $\sin B = \frac{b}{2R}$:
$= 2b^2 \left(\frac{c}{2R}\right) \cos C + 2c^2 \left(\frac{b}{2R}\right) \cos B$
$= \frac{b^2 c \cos C}{R} + \frac{c^2 b \cos B}{R} = \frac{bc}{R} (b \cos C + c \cos B)$
प्रोजेक्शन सूत्र के अनुसार,$b \cos C + c \cos B = a$:
$= \frac{bc}{R} (a) = \frac{abc}{R}$
चूंकि $R = \frac{abc}{4\Delta}$,इसलिए $\frac{abc}{R} = 4\Delta$ होगा।