Mix Examples-Trigonometrical Equations and Inequations, Properties of Triangles, Height and Distance Questions in Hindi

(C) माना मीनार $AB$ की ऊँचाई $h$ है और $B$ की $A$ से क्षैतिज दूरी $x$ है। $H = h \cos \alpha$ बिंदु $B$ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
$H \cot \beta = d + x$ और $H \cot \gamma = 3d + x$ प्राप्त होता है।
घटाने पर,$H(\cot \gamma - \cot \beta) = 2d$ प्राप्त होता है।
$d = H(\cot \beta - \tan \alpha)$ और $3d = H(\cot \gamma - \tan \alpha)$ का उपयोग करने पर,
$3H(\cot \beta - \tan \alpha) = H(\cot \gamma - \tan \alpha)$,
अतः $3 \cot \beta - 3 \tan \alpha = \cot \gamma - \tan \alpha$,
जिससे $2 \tan \alpha = 3 \cot \beta - \cot \gamma$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $b \cos^2 \frac{A}{2} + a \cos^2 \frac{B}{2} = \frac{3}{2} c$ है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{b}{2}(1 + \cos A) + \frac{a}{2}(1 + \cos B) = \frac{3c}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर:
$b + b \cos A + a + a \cos B = 3c$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $b \cos A + a \cos B = c$ होता है।
अतः,$(a + b) + c = 3c$ होगा।
$a + b = 2c$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $a, c, b$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(C) त्रिभुज $ABC$ में,भुजाएँ $a = 10, b = 26, c = 32$ हैं।
कोसाइन नियम का उपयोग करके $\cos B$ ज्ञात करते हैं:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{10^2 + 32^2 - 26^2}{2 \times 10 \times 32} = \frac{100 + 1024 - 676}{640} = \frac{448}{640} = 0.7 = \frac{7}{10}$.
समकोण त्रिभुज $\triangle CHB$ में,$\cos B = \frac{BH}{BC} = \frac{BH}{a}$.
अतः,$BH = a \cos B = 10 \times \frac{7}{10} = 7$.
चूँकि $CM$,$AB$ पर माध्यिका है,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BM = \frac{c}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
लंबाई $HM = |BM - BH| = |16 - 7| = 9$.

(D) दिया गया समीकरण $\sin 3\theta = 4 \sin \theta \sin 2\theta \sin 4\theta$ है।
$\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर,$3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = 4 \sin \theta \sin 2\theta \sin 4\theta$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\sin \theta = 0$. $0 \le \theta \le \pi$ में,हल $\theta = 0, \pi$ ($2$ हल) हैं।
स्थिति $2$: $3 - 4 \sin^2 \theta = 4 \sin 2\theta \sin 4\theta$.
$4 \sin^2 \theta = 2(1 - \cos 2\theta)$ का उपयोग करने पर,$3 - 2(1 - \cos 2\theta) = 2(2 \sin 2\theta \sin 4\theta)$ प्राप्त होता है।
$1 + 2 \cos 2\theta = 2(\cos 2\theta - \cos 6\theta)$.
$1 = -2 \cos 6\theta \Rightarrow \cos 6\theta = -\frac{1}{2}$.
$6\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}$.
$n=0, 1, 2, 3$ के लिए हल $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{8\pi}{9}$ प्राप्त होते हैं।
कुल हलों की संख्या $8$ है।

(B) माना $AM$,$BC$ पर माध्यिका है। दिया है $AM \perp AB$,अतः $\angle BAM = 90^\circ$.
$\triangle ABM$ में,$\angle AMB = 90^\circ - B$.
माध्यिका होने के कारण $BM = MC = \frac{a}{2}$.
$\triangle ABM$ में,$\tan B = \frac{AM}{a/2} \implies AM = \frac{a}{2} \tan B$.
$\triangle AMC$ में,$\angle AMC = 90^\circ + B$ और $\angle MAC = A - 90^\circ$.
कोटेंजेंट प्रमेय का उपयोग करने पर: $(1+1) \cot(90^\circ - B) = 1 \cot(90^\circ) - 1 \cot(A-90^\circ)$.
$2 \tan B = 0 - (-\tan A) = \tan A$.
अतः,$\frac{\tan A}{\tan B} = 2$.

(A) हम जानते हैं कि $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
व्यंजक $S = a \cos(B - C) + b \cos(C - A) + c \cos(A - B)$ में इनका मान रखने पर:
$S = 2R \sin A \cos(B - C) + 2R \sin B \cos(C - A) + 2R \sin C \cos(A - B)$.
चूंकि $A = 180^{\circ} - (B + C)$,इसलिए $\sin A = \sin(B + C)$ है।
$S = 2R [\sin(B + C) \cos(B - C) + \sin(C + A) \cos(C - A) + \sin(A + B) \cos(A - B)]$.
$2 \sin X \cos Y = \sin(X + Y) + \sin(X - Y)$ का उपयोग करने पर:
$S = R [(\sin 2B + \sin 2C) + (\sin 2C + \sin 2A) + (\sin 2A + \sin 2B)]$.
$S = 2R (\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$.
सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर:
$S = 2R (4 \sin A \sin B \sin C) = 8R \sin A \sin B \sin C$.
चूंकि $\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$ है:
$S = 8R \left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right) \left(\frac{c}{2R}\right) = \frac{8abc}{8R^2} = \frac{abc}{R^2}$.

(D) त्रिभुज $ABC$ में,$I$ अंतःकेंद्र है और $I_1, I_2, I_3$ क्रमशः शीर्ष $A, B, C$ के विपरीत बाह्यकेंद्र हैं।
हम जानते हैं कि $I I_1 = 4R \sin(\frac{A}{2})$,$I I_2 = 4R \sin(\frac{B}{2})$,और $I I_3 = 4R \sin(\frac{C}{2})$ होता है।
अतः,गुणनफल:
$(I I_1) \cdot (I I_2) \cdot (I I_3) = (4R \sin \frac{A}{2}) \cdot (4R \sin \frac{B}{2}) \cdot (4R \sin \frac{C}{2})$
$= 64R^3 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
सर्वसमिका $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$64R^3 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = 16R^2 (4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}) = 16R^2r$.

(C) दिए गए समीकरण $2 \tan x - k (1 + \tan^2 x) = 0$ को $k = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin 2x = k$ प्राप्त होता है।
चूँकि $B$ और $C$ इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं,$\sin 2B = k$ और $\sin 2C = k$,अतः $\sin 2B = \sin 2C$ है।
इसका अर्थ है $2C = 2B$ (जो संभव नहीं है क्योंकि $B < C$) या $2C = \pi - 2B$ है।
अतः,$2B + 2C = \pi$,जो सरल होकर $B + C = \pi / 2$ हो जाता है।
त्रिभुज $ABC$ में,$A + B + C = \pi$ होता है।
$B + C = \pi / 2$ रखने पर,$A + \pi / 2 = \pi$,अतः $A = \pi / 2$।

(C) हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-b}{\Delta} = \frac{2s - a - b}{\Delta} = \frac{c}{\Delta}$.
इसी प्रकार,$\frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{a}{\Delta}$ और $\frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_1} = \frac{b}{\Delta}$.
अतः,$LHS = \left( \frac{c}{\Delta} \right) \left( \frac{a}{\Delta} \right) \left( \frac{b}{\Delta} \right) = \frac{abc}{\Delta^3}$.
$\Delta = \frac{abc}{4R}$ संबंध का उपयोग करने पर,$\Delta^3 = \frac{a^3 b^3 c^3}{64 R^3}$ प्राप्त होता है।
इसे $LHS$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{abc}{\frac{a^3 b^3 c^3}{64 R^3}} = \frac{64 R^3}{a^2 b^2 c^2}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{K R^3}{a^2 b^2 c^2}$ से करने पर,$K = 64$ प्राप्त होता है।

(B) माना $AD = h$ है। $\triangle ADC$ में,$h = b \sin C$ है। $\triangle ADB$ में,$h = c \sin B$ है।
दिया है $h = \frac{abc}{b^2 - c^2}$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को $h$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$h = \frac{(2R \sin A)(2R \sin B)(2R \sin C)}{4R^2 \sin^2 B - 4R^2 \sin^2 C} = \frac{8R^3 \sin A \sin B \sin C}{4R^2 (\sin^2 B - \sin^2 C)} = \frac{2R \sin A \sin B \sin C}{\sin(B-C)\sin(B+C)}$।
चूंकि $\sin(B+C) = \sin A$ है,इसलिए $h = \frac{2R \sin B \sin C}{\sin(B-C)}$ है।
साथ ही,$h = c \sin B = (2R \sin C) \sin B$ है।
$h$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2R \sin B \sin C = \frac{2R \sin B \sin C}{\sin(B-C)}$।
इसका अर्थ है कि $\sin(B-C) = 1$,इसलिए $B - C = 90^o$ है।
चूंकि $C = 23^o$ दिया गया है,इसलिए $B - 23^o = 90^o$,जिससे $B = 113^o$ प्राप्त होता है।

(C) $\Delta MIN$ में,भुजाएँ $IM = IN = r$ और $MN = 2r \sin(\frac{A}{2})$ हैं। $\Delta MIN$ की परिवृत्त त्रिज्या $x = \frac{MN}{2 \sin(\angle MIN)}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $\angle MIN = 180^\circ - A$,इसलिए $\sin(\angle MIN) = \sin A = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ है।
अतः,$x = \frac{2r \sin(\frac{A}{2})}{2 \cdot 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})} = \frac{r}{2 \cos(\frac{A}{2})}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$y = \frac{r}{2 \cos(\frac{B}{2})}$ और $z = \frac{r}{2 \cos(\frac{C}{2})}$ प्राप्त होते हैं।
गुणनफल $xyz = \frac{r^3}{8 \cos(\frac{A}{2}) \cos(\frac{B}{2}) \cos(\frac{C}{2})}$ होता है।
इस व्यंजक को सरल करने पर $\frac{1}{2} R r^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $cos\, 2x + a\, sin\, x = 2a - 7$
$cos\, 2x = 1 - 2\, sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2\, sin^2 x + a\, sin\, x = 2a - 7$
$2\, sin^2 x - a\, sin\, x + 2a - 8 = 0$
$sin\, x$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$sin\, x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16a + 64}}{4} = \frac{a \pm (a - 8)}{4}$
$sin\, x = \frac{a - 4}{2}$ या $sin\, x = 2$
चूंकि $sin\, x = 2$ संभव नहीं है,इसलिए $sin\, x = \frac{a - 4}{2}$ होना चाहिए।
हल के अस्तित्व के लिए $-1 \leq \frac{a - 4}{2} \leq 1$ होना चाहिए।
$-2 \leq a - 4 \leq 2$
$2 \leq a \leq 6$
अतः,$a$ के मानों का समुच्चय $[2, 6]$ है।

(B) माना $I$,$\Delta ABC$ का अंतःकेंद्र है। अंतःकेंद्र से शीर्षों की दूरियाँ $IA = \frac{r}{\sin(A/2)}$,$IB = \frac{r}{\sin(B/2)}$,और $IC = \frac{r}{\sin(C/2)}$ द्वारा दी जाती हैं।
इन दूरियों का गुणनफल $IA \cdot IB \cdot IC = \frac{r^3}{\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = \frac{r}{4R}$ होता है।
अतः,$IA \cdot IB \cdot IC = \frac{r^3}{r/(4R)} = 4 R r^2$.

(D) दिया है $a_1 = 2$. $p = 1$ के लिए:
$a_2 = \frac{5^1}{3^{2-1}} a_1 \left( 2^{2-1} - \frac{4(1)-2}{5^1} a_1 \right) = \frac{5}{3} \cdot 2 \left( 2 - \frac{2}{5} \cdot 2 \right) = \frac{10}{3} \left( 2 - \frac{4}{5} \right) = \frac{10}{3} \cdot \frac{6}{5} = 4$.
अतः,$b = 4$.
$p = 2$ के लिए:
$a_3 = \frac{5^2}{3^{2-2}} a_2 \left( 2^{2-2} - \frac{4(2)-2}{5^2} a_2 \right) = \frac{25}{1} \cdot 4 \left( 1 - \frac{6}{25} \cdot 4 \right) = 100 \left( 1 - \frac{24}{25} \right) = 100 \cdot \frac{1}{25} = 4$.
अतः,$c = 4$.
त्रिभुज की भुजाएँ $a = 2$,$b = 4$,$c = 4$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{2+4+4}{2} = 5$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5(5-2)(5-4)(5-4)} = \sqrt{5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1} = \sqrt{15}$.
बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = \frac{\sqrt{15}}{5-2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\sqrt{15}}{5-4} = \sqrt{15}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = \frac{\sqrt{15}}{5-4} = \sqrt{15}$.
इस प्रकार,$r_2 = r_3 = 3 \left( \frac{\sqrt{15}}{3} \right) = 3r_1$.
अतः,$r_2 = 3r_1$.

(D) माना $I$ अंतःकेंद्र है और $r$ $\triangle ABC$ की अंतःत्रिज्या है।
अंतःकेंद्र से शीर्षों की दूरियाँ $x = IA = r \csc \frac{A}{2}$,$y = IB = r \csc \frac{B}{2}$,और $z = IC = r \csc \frac{C}{2}$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $a = r(\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2})$,$b = r(\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2})$,और $c = r(\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2})$ है।
अतः,$\frac{abc}{xyz} = \prod \cot \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x$ है।
माना $t = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$,तब $t^2 = 1 - \sin x$ है।
अतः $t = t^2 \implies t(t - 1) = 0$ है।
इससे $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 0$ या $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $n = 1, 2, 4, 5$ प्राप्त होते हैं जो असमिका को संतुष्ट करते हैं।

(A) मान लीजिए अर्धवृत्त की त्रिज्या $r$ है। अर्धवृत्त का केंद्र भुजा $AB$ (भुजा $c$) पर स्थित है।
मान लीजिए केंद्र $I$ है। अर्धवृत्त भुजाओं $AC$ और $BC$ को स्पर्श करता है।
इस प्रकार,$I$ से $AC$ की दूरी $r$ है और $I$ से $BC$ की दूरी $r$ है।
$\Delta ABC$ के क्षेत्रफल को $\Delta AIC$ और $\Delta BIC$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$\Delta = \text{Area}(\Delta AIC) + \text{Area}(\Delta BIC)$
$\Delta = \frac{1}{2} \times AC \times r + \frac{1}{2} \times BC \times r$
$\Delta = \frac{1}{2} \times b \times r + \frac{1}{2} \times a \times r$
$\Delta = \frac{r}{2} (a + b)$
$r = \frac{2\Delta}{a + b}$

(A) दिया है $\cos A + \cos B + 2\cos C = 2$.
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ और $2\cos C = 2 - 4\sin^2 \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर.
समीकरण में मान रखने पर: $2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2 - 4\sin^2 \frac{C}{2} = 2$.
चूँकि $\frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$,इसलिए $\cos \frac{A+B}{2} = \sin \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} - 4\sin^2 \frac{C}{2} = 0$.
$2 \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} - 2\sin \frac{C}{2}) = 0$.
चूँकि $\sin \frac{C}{2} \neq 0$,इसलिए $\cos \frac{A-B}{2} = 2\sin \frac{C}{2} = 2\cos \frac{A+B}{2}$.
इससे $\sin A + \sin B = 2\sin C$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$a + b = 2c$.
अतः,भुजाएँ $a, c, b$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) दिया गया है $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin^2 C = 1$.
चूंकि $\sin^2 C \le 1$,हमारे पास $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin^2 C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B)$ है।
अतः,$\cos(A - B) \ge 1$,जिसका अर्थ है $\cos(A - B) = 1$,इसलिए $A = B$ है।
मूल समीकरण में $A = B$ रखने पर: $\cos^2 A + \sin^2 A \sin^2 C = 1$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 A \sin^2 C = 1 - \cos^2 A = \sin^2 A$।
चूंकि $A$ त्रिभुज का एक कोण है,$\sin A \neq 0$,इसलिए $\sin^2 C = 1$,जिसका अर्थ है $C = \frac{\pi}{2}$।
चूंकि $A + B + C = \pi$ और $A = B$ है,इसलिए $2A + \frac{\pi}{2} = \pi$,जिससे $A = B = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिभुज $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ कोणों वाला एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
कथन $(A)$ गलत है क्योंकि त्रिभुज समकोण है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं और संगत शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ हैं।
हम जानते हैं कि $a h_1 = b h_2 = c h_3 = 2 \Delta$।
अतः,$h_1 = \frac{2 \Delta}{a}$,$h_2 = \frac{2 \Delta}{b}$,और $h_3 = \frac{2 \Delta}{c}$।
भुजाओं का समांतर माध्य $AM = \frac{a + b + c}{3}$ है।
शीर्षलंबों का हरात्मक माध्य $HM = \frac{3}{\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3}}$ है।
$h_1, h_2, h_3$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2 \Delta} + \frac{b}{2 \Delta} + \frac{c}{2 \Delta} = \frac{a + b + c}{2 \Delta}$।
इसलिए,$HM = \frac{3}{\frac{a + b + c}{2 \Delta}} = \frac{6 \Delta}{a + b + c}$।
गुणनफल $AM \times HM = \left(\frac{a + b + c}{3}\right) \times \left(\frac{6 \Delta}{a + b + c}\right) = 2 \Delta$।

(D) दिया गया है $2 \cos \theta + \sin \theta = 1$,अतः $2 \cos \theta = 1 - \sin \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 \cos^2 \theta = (1 - \sin \theta)^2$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर: $4(1 - \sin^2 \theta) = 1 - 2 \sin \theta + \sin^2 \theta$.
$4 - 4 \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta + \sin^2 \theta \Rightarrow 5 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5 \sin \theta + 3)(\sin \theta - 1) = 0$.
अतः,$\sin \theta = 1$ या $\sin \theta = -\frac{3}{5}$.
स्थिति $1$: यदि $\sin \theta = 1$,तो $\cos \theta = 0$.
तब $4 \cos \theta + 3 \sin \theta = 4(0) + 3(1) = 3$.
स्थिति $2$: यदि $\sin \theta = -\frac{3}{5}$,तो $\cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$,अतः $\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$.
चूंकि $2 \cos \theta = 1 - \sin \theta = 1 - (-\frac{3}{5}) = \frac{8}{5}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{4}{5}$ लेना होगा।
तब $4 \cos \theta + 3 \sin \theta = 4(\frac{4}{5}) + 3(-\frac{3}{5}) = \frac{16}{5} - \frac{9}{5} = \frac{7}{5}$.
अतः,संभावित मान $3$ और $\frac{7}{5}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $\left( \frac{2 \sin x - 1}{2 \sin x} \right) \cos^2 2x = \frac{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1}{\sin x}$ है।
दाहिनी ओर के अंश का गुणनखंड करने पर: $2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = (2 \sin x - 1)(\sin x - 1)$.
अतः,$\left( \frac{2 \sin x - 1}{2 \sin x} \right) \cos^2 2x = \frac{(2 \sin x - 1)(\sin x - 1)}{\sin x}$.
इसका अर्थ है कि या तो $2 \sin x - 1 = 0$ या $\frac{1}{2} \cos^2 2x = \sin x - 1$.
स्थिति $1$: $\sin x = \frac{1}{2}$. $[0, 4\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ के $4$ हल हैं $(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6})$.
स्थिति $2$: $\frac{1}{2} \cos^2 2x = \sin x - 1$. चूंकि $\frac{1}{2} \cos^2 2x \ge 0$ और $\sin x - 1 \le 0$,इसलिए एकमात्र संभावना $\cos^2 2x = 0$ और $\sin x - 1 = 0$ है।
यदि $\sin x = 1$ है,तो $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = -1$,अतः $\cos^2 2x = 1 \neq 0$. इस प्रकार,स्थिति $2$ में कोई हल नहीं है।
अतः,कुल हलों की संख्या $4$ है।

(A) दिया गया है $R = 4r$। किसी भी त्रिभुज में,$r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ होता है।
चूंकि $A = B$,इसलिए $C = 180^{\circ} - 2A$। अतः,$r = 4R \sin^2(\frac{A}{2}) \sin(\frac{180^{\circ}-2A}{2}) = 4R \sin^2(\frac{A}{2}) \cos A$।
$R = 4r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r = 4(4r) \sin^2(\frac{A}{2}) \cos A$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $1 = 16 \sin^2(\frac{A}{2}) \cos A$ हो जाता है।
सर्वसमिका $2 \sin^2(\frac{A}{2}) = 1 - \cos A$ का उपयोग करने पर,$1 = 8(1 - \cos A) \cos A$।
$1 = 8 \cos A - 8 \cos^2 A$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $8 \cos^2 A - 8 \cos A + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $5 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta + 6 \sin \theta \cos \theta = 7$
सर्वसमिकाओं $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$,$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ और $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$5 \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right) - 3 \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right) + 3 \sin 2\theta = 7$
$2$ से गुणा करने पर:
$5(1 + \cos 2\theta) - 3(1 - \cos 2\theta) + 6 \sin 2\theta = 14$
$5 + 5 \cos 2\theta - 3 + 3 \cos 2\theta + 6 \sin 2\theta = 14$
$8 \cos 2\theta + 6 \sin 2\theta = 12$
$4 \cos 2\theta + 3 \sin 2\theta = 6$
हम जानते हैं कि $a \cos x + b \sin x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 4$ और $b = 3$ है,इसलिए अधिकतम मान $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
चूंकि $6 > 5$,समीकरण $4 \cos 2\theta + 3 \sin 2\theta = 6$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(C) हम जानते हैं कि $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a \cot A + b \cot B + c \cot C = 2R \sin A \frac{\cos A}{\sin A} + 2R \sin B \frac{\cos B}{\sin B} + 2R \sin C \frac{\cos C}{\sin C}$
$= 2R(\cos A + \cos B + \cos C) \cdots (i)$
सर्वसमिका $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ और संबंध $r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R} = \frac{R + r}{R}$
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2R(\frac{R + r}{R}) = 2(R + r)$.

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
अतः,$\sin A, \sin B, \sin C$ $a, b, c$ के समानुपाती हैं,इसलिए वे $A.P.$ में हैं।
शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ को $h_1 = \frac{2 \Delta}{a}, h_2 = \frac{2 \Delta}{b}, h_3 = \frac{2 \Delta}{c}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $h_1, h_2, h_3$ $H.P.$ में हैं।
बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ हैं। चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,$s-a, s-b, s-c$ उल्टे क्रम में $A.P.$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $H.P.$ में हैं।
अतः,$r_1, r_2, r_3$ $H.P.$ में हैं,न कि $A.P.$ में।
इस प्रकार,विकल्प $C$ में दिया गया कथन गलत है।

(A) दिया गया है $\cot^3\theta = -3\sqrt{3} = -(\sqrt{3})^3$,इसलिए $\cot\theta = -\sqrt{3}$.
इसका अर्थ है $\tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $\theta = n\pi - \frac{\pi}{6}$.
दिया गया है $\csc^5\theta = -32 = (-2)^5$,इसलिए $\csc\theta = -2$.
इसका अर्थ है $\sin\theta = -\frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = n\pi + (-1)^n(-\frac{\pi}{6}) = n\pi - (-1)^n\frac{\pi}{6}$.
$\cot\theta = -\sqrt{3}$ और $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ के लिए,$\theta$ को चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
चौथे चतुर्थांश में,व्यापक हल $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{6}$ है।

(A) एक $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
चूँकि $A = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan A = 1$ है।
अतः,$1 + \tan B + \tan C = \tan B \tan C = K$ है।
$\tan B + \tan C = K - 1$ है।
हम जानते हैं कि $\tan B$ और $\tan C$ द्विघात समीकरण $x^2 - (\tan B + \tan C)x + \tan B \tan C = 0$ के मूल हैं।
मान रखने पर,$x^2 - (K - 1)x + K = 0$ प्राप्त होता है।
$\tan B$ और $\tan C$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geqslant 0$ होना चाहिए।
$D = (K - 1)^2 - 4K \geqslant 0$ है।
$K^2 - 2K + 1 - 4K \geqslant 0$ है।
$K^2 - 6K + 1 \geqslant 0$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समीकरण $x^3 - 11x^2 + 38x - 40 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$a + b + c = 11$
$ab + bc + ca = 38$
$abc = 40$
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2abc} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2abc} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2abc}$
$= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2abc}$
हम जानते हैं कि $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = (11)^2 - 2(38) = 121 - 76 = 45$.
अतः,व्यंजक का मान $\frac{45}{2(40)} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$ है।

(C) माना $I$,$\triangle ABC$ का अंतःकेंद्र है और $BD$,भुजा $AC$ पर माध्यिका है। चूँकि $AB = BC$,माध्यिका $BD$,$\angle B$ का कोण समद्विभाजक और $AC$ पर लंब भी है।
$\triangle ABC$ में,$I$,$BD$ पर स्थित है। दूरी $ID = r$,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
$\triangle ABD$ में,$\angle BDA = 90^{\circ}$,इसलिए $BD = AD \cot \frac{B}{2}$.
साथ ही,$ID = r = (s-b) \tan \frac{B}{2}$.
दिया गया है कि $I$,माध्यिका $BD$ को $B$ से $D$ की ओर $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\frac{BI}{ID} = \frac{3}{1}$.
चूँकि $BD = BI + ID$,इसलिए $BI = 3ID = 3r$.
$\triangle ABD$ में,$BD = BI + ID = 3r + r = 4r$.
गुणधर्म $BI = r \csc \frac{B}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{BI}{ID} = \frac{r \csc \frac{B}{2}}{r} = \csc \frac{B}{2}$.
चूँकि $\frac{BI}{ID} = 3$ दिया गया है,इसलिए $\csc \frac{B}{2} = 3$ होगा।

(B) $\Delta OBC : \Delta COA : \Delta AOB$ के क्षेत्रफलों का अनुपात $\sin 2A : \sin 2B : \sin 2C$ होता है।
दिया गया है $A = 75^o$,$B = 45^o$,और $C = 60^o$।
अतः,अनुपात $\sin(2 \times 75^o) : \sin(2 \times 45^o) : \sin(2 \times 60^o)$ होगा।
$= \sin 150^o : \sin 90^o : \sin 120^o$।
$= \sin(180^o - 30^o) : 1 : \sin(180^o - 60^o)$।
$= \sin 30^o : 1 : \sin 60^o$।
$= \frac{1}{2} : 1 : \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $1 : 2 : \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\cos A + \cos C = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
सूत्र का उपयोग करने पर,$2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,$\frac{A+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$,इसलिए $\cos \left(\frac{A+C}{2}\right) = \sin \frac{B}{2}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$2 \sin \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
$2 \sin \frac{B}{2}$ से विभाजित करने पर,$\cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \sin \frac{B}{2}$.
$\sin \frac{B}{2} = \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$ का उपयोग करने पर,$\cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$.
विस्तार करने पर,$3 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।
इससे $a+c = 2b$ सिद्ध होता है,अतः $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।

(D) माना $f(x) = \tan(e^x)$ और $g(x) = e^x + e^{-x}$ है।
हमें $x > 0$ के लिए $f(x) = g(x)$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
चूँकि $x > 0$ है,माना $u = e^x$ है। जैसे-जैसे $x$ का मान $(0, \infty)$ में बदलता है,$u$ का मान $(1, \infty)$ में बदलता है।
समीकरण $\tan(u) = u + \frac{1}{u}$ बन जाता है।
हम जानते हैं कि $u > 0$ के लिए $u + \frac{1}{u} \ge 2$ होता है।
फलन $h(u) = \tan(u)$ के $u = \frac{(2n+1)\pi}{2}$ (जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$) पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (asymptotes) हैं।
प्रत्येक अंतराल $(\frac{(2n-1)\pi}{2}, \frac{(2n+1)\pi}{2})$ में,फलन $\tan(u)$ का मान $-\infty$ से $+\infty$ तक बढ़ता है।
चूँकि $g(u) = u + \frac{1}{u}$ एक सतत फलन है जो हमेशा $\ge 2$ है,और $\tan(u)$ प्रत्येक शाखा में सभी वास्तविक मान प्राप्त करता है,इसलिए प्रत्येक अंतराल $(\frac{(2n-1)\pi}{2}, \frac{(2n+1)\pi}{2})$ में जहाँ $\tan(u) > 2$ है,कम से कम एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलेगा।
जैसे-जैसे $n \to \infty$,ऐसे अनंत अंतराल मिलते हैं,और इसलिए अनंत हल प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण $2 \sin^2 x + \frac{\sin 2x}{2} = k$ है।
सर्वसमिका $2 \sin^2 x = 1 - \cos 2x$ का उपयोग करने पर,$1 - \cos 2x + \frac{\sin 2x}{2} = k$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{1}{2} \sin 2x - \cos 2x = k - 1$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $a \sin \theta + b \cos \theta$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = \frac{1}{2}$ और $b = -1$ है,इसलिए $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
अतः,$-\frac{\sqrt{5}}{2} \leq k - 1 \leq \frac{\sqrt{5}}{2}$।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1 - \frac{\sqrt{5}}{2} \leq k \leq 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sqrt{5} \approx 2.236$ है,इसलिए $-0.118 \leq k \leq 2.118$ है।
$k$ के पूर्णांक मान $0, 1, 2$ हैं।
अतः,योग $0 + 1 + 2 = 3$ है।

(A) माना समचतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। माना $AO = y$ और $BO = x$ है। समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $\Delta AOB$ एक समकोण त्रिभुज है।
$\Delta ABD$ में,परिवृत्त त्रिज्या $R_1 = \frac{x}{\sin 2\theta} = \frac{25}{2}$ है,जिससे $x = \frac{25}{2} \sin 2\theta = 25 \sin \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$\Delta ACD$ में,परिवृत्त त्रिज्या $R_2 = \frac{y}{\sin 2\theta} = 25$ है,जिससे $y = 25 \sin 2\theta = 50 \sin \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर,$\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,अर्थात $y = 2x$ है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $2xy$ है। $\frac{x^2+y^2}{2y} = \frac{25}{2}$ में $y=2x$ रखने पर,$\frac{5x}{4} = \frac{25}{2}$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 10$ और $y = 20$ मिलता है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= 2(10)(20) = 400 \, sq. \, unit$.

(A) दिए गए समीकरण निकाय:
$1) \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = 0$ $\Rightarrow \frac{x+y}{2} = n\pi$ $\Rightarrow x+y = 2n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$2) |x| + |y| = 1$.
$n=0$ के लिए,हमें $x+y=0$ प्राप्त होता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।
$|x| + |y| = 1$ का आलेख $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$ शीर्षों वाला एक वर्ग है।
रेखा $x+y=0$ इस वर्ग की भुजाओं को दो बिंदुओं पर काटती है: $(-0.5, 0.5)$ और $(0.5, -0.5)$।
किसी अन्य पूर्णांक $n \neq 0$ के लिए,$x+y = 2n\pi$ का अर्थ है कि $|x+y| = |2n\pi| \geq 2\pi \approx 6.28$।
हालाँकि,वर्ग $|x| + |y| = 1$ के लिए,$|x+y|$ का अधिकतम मान $|x| + |y| = 1$ है।
चूँकि $1 < 6.28$,इसलिए $n \neq 0$ के लिए कोई हल नहीं है।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(B) त्रिभुज $ABC$ में,$AD$,$BC$ पर माध्यिका है,इसलिए $BD = DC$ है।
दिया है $AD \perp AB$,इसलिए $\angle BAD = 90^{\circ}$ है।
$\triangle ABD$ में,$\tan B = \frac{AD}{AB}$ है।
कोटैंजेंट प्रमेय का उपयोग करने पर,$\tan A + 2\tan B = 0$ प्राप्त होता है।

(A) हमें दिया गया है,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$।
दिए गए संबंध से,$\sin C = \frac{1 - \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \leq 1$।
इसका अर्थ है $1 - \cos A \cos B \leq \sin A \sin B$,जो $1 \leq \cos A \cos B + \sin A \sin B$ में सरल हो जाता है।
अतः,$1 \leq \cos(A - B)$। चूँकि $\cos(A - B) \leq 1$,इसलिए $\cos(A - B) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A - B = 0$,या $A = B$।
मूल समीकरण में $A = B$ रखने पर,हमें $\cos^2 A + \sin^2 A \sin C = 1$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 A \sin C = 1 - \cos^2 A = \sin^2 A$।
चूँकि $A$ त्रिभुज का एक कोण है,$\sin A \neq 0$,इसलिए $\sin C = 1$,जिसका अर्थ है $C = 90^{\circ}$।
चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$ और $A = B$,इसलिए $2A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$,यानी $A = B = 45^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Law) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$।
$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$।
$\frac{a}{1/\sqrt{2}} = \frac{b}{1/\sqrt{2}} = \frac{c}{1}$।
अतः,$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$।

(D) दिया गया है $a \cos A = b \cos B$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $2R \sin A \cos A = 2R \sin B \cos B$।
$\Rightarrow \sin 2A = \sin 2B$।
इसका अर्थ है $2A = 2B$ या $2A = \pi - 2B$।
$\Rightarrow A = B$ या $A + B = \frac{\pi}{2}$।
यदि $A = B$ है,तो त्रिभुज समद्विबाहु है।
यदि $A + B = \frac{\pi}{2}$ है,तो $C = \pi - (A + B) = \frac{\pi}{2}$,अतः त्रिभुज समकोण है।
इसलिए,त्रिभुज समकोण या समद्विबाहु है।

(D) दी गई शर्त के अनुसार,$\sin \alpha + \sin \beta = -a$ और $\cos \alpha + \cos \beta = -c$ है।
योग से गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = -a$ $(1)$
$2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = -c$ $(2)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \frac{a}{c}$
$\sin(\alpha + \beta) = \frac{2 \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)}{1 + \tan^2 \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} = \frac{2ac}{a^2 + c^2}$.

(C) माना भुजाएँ $2, 5, a, b$ हैं। $2$ और $5$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। माना $c$ विकर्ण है।
प्रथम त्रिभुज में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:
$c^2 = 2^2 + 5^2 - 2(2)(5)\cos(60^{\circ}) = 4 + 25 - 10 = 19 \implies c = \sqrt{19}$.
चूंकि चतुर्भुज चक्रीय है,सम्मुख कोण $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा।
दूसरे त्रिभुज में कोज्या नियम का उपयोग करने पर:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(120^{\circ}) \implies 19 = a^2 + b^2 + ab$.
चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग है:
$\text{Area} = \frac{1}{2}(2)(5)\sin(60^{\circ}) + \frac{1}{2}ab\sin(120^{\circ}) = 4\sqrt{3}$.
$5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{ab}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\sqrt{3} \implies 5 + \frac{ab}{2} = 8 \implies ab = 6$.
अब,$a^2 + b^2 = 19 - 6 = 13$.
$a=2, b=3$ प्राप्त होता है,अतः परिमाप $= 2 + 5 + 2 + 3 = 12$.

(B) कथन $-1$ के लिए: $2\sin^2\theta - \cos 2\theta = 0$ को हल करें।
$2\sin^2\theta - (1 - 2\sin^2\theta) = 0$ $\Rightarrow 4\sin^2\theta = 1$ $\Rightarrow \sin\theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\theta \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}$.
$2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ को हल करें।
$2(1 - \sin^2\theta) - 3\sin\theta = 0 \Rightarrow 2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 = 0$.
$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 2) = 0$.
चूंकि $\sin\theta = -2$ संभव नहीं है,$\sin\theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.
उभयनिष्ठ हल $\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$ हैं,इसलिए कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए: $[0, \pi]$ में $2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ को हल करें।
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है,$\sin\theta = \frac{1}{2}$ से $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होते हैं। दोनों $[0, \pi]$ में हैं।
अतः,कथन $-2$ सत्य है। हालाँकि,कथन $-2$ एक समीकरण का हल सेट बताता है,जो यह स्पष्ट नहीं करता है कि दोनों समीकरणों के उभयनिष्ठ हल दो क्यों हैं। इसलिए,कथन $-2$ सही स्पष्टीकरण नहीं है।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,अतः $2b = a + c$.
कोण $A, B, C$ हैं,जहाँ $C = 2A$ और $A < B < C$.
त्रिभुज के गुणधर्म से $A + B + C = 180^{\circ}$,अतः $B = 180^{\circ} - 3A$.
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$2\sin B = \sin A + \sin C$.
$2\sin(180^{\circ} - 3A) = \sin A + \sin 2A$.
इस समीकरण को हल करने पर,$8\cos^2 A - 2\cos A - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
जिससे $\cos A = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
भुजाओं का अनुपात $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ है।

(A) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ मिलता है,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$।
$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूँकि $B = 60^{\circ}$,$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $A = 30^{\circ}$।
अतः $C = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}$।
$c = 4$ दिया गया है,इसलिए $a = c \sin A = 4 \sin 30^{\circ} = 2$ और $b = c \sin B = 4 \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} \times \sin 90^{\circ} = 2\sqrt{3} \text{ sq. cm}$।

(B) दिया गया समीकरण: $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$.
चूंकि $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$,इसलिए $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{1 - \sin ^{2} x} = 30$.
$(81)^{\sin ^{2} x} + \frac{81}{(81)^{\sin ^{2} x}} = 30$.
माना $t = (81)^{\sin ^{2} x}$. तब $t + \frac{81}{t} = 30$,जो $t^{2} - 30t + 81 = 0$ देता है।
$(t - 3)(t - 27) = 0$,इसलिए $t = 3$ या $t = 27$.
स्थिति $1$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{1} \implies 4 \sin ^{2} x = 1 \implies \sin ^{2} x = \frac{1}{4}$.
$[0, \pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -\frac{1}{2}$. चूंकि $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$,इसलिए $\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ हल)।
स्थिति $2$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{3} \implies 4 \sin ^{2} x = 3 \implies \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$.
$[0, \pi]$ में,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. चूंकि $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ ($2$ हल)।
कुल हलों की संख्या = $2 + 2 = 4$.

(D) दी गई असमिका: $\sin 2\theta + \tan 2\theta > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta + \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta \left(1 + \frac{1}{\cos 2\theta}\right) > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta \left(\frac{\cos 2\theta + 1}{\cos 2\theta}\right) > 0$
$\Rightarrow \tan 2\theta (2 \cos^2 \theta) > 0$
चूंकि $2 \cos^2 \theta \ge 0$,व्यंजक के $> 0$ होने के लिए $\tan 2\theta > 0$ और $\cos 2\theta \neq 0$ होना चाहिए।
$\tan 2\theta > 0$ तब होता है जब $2\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi, \frac{3\pi}{2}) \cup (2\pi, \frac{5\pi}{2}) \cup (3\pi, \frac{7\pi}{2})$.
$2$ से भाग देने पर,$\theta \in (0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4})$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{\cos x}{1+\sin x} = |\tan 2x|$ है।
ध्यान दें कि $\frac{\cos x}{1+\sin x} = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$.
अतः,$\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = |\tan 2x|$.
चूँकि बायाँ पक्ष अ-ऋणात्मक होना चाहिए,$\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \ge 0$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\tan^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \tan^2 2x$.
इससे $\tan 2x = \pm \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $x = \frac{2n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$। $n=0$ के लिए $x=\frac{\pi}{10}$,$n=-1$ के लिए $x=-\frac{3\pi}{10}$।
स्थिति $2$: $x = \frac{2n\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$। $n=0$ के लिए $x=-\frac{\pi}{6}$।
हलों का योग $\frac{\pi}{10} - \frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{30}$ है।

(B) दिया गया है $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.
चूँकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$A+B+C = \pi$,अतः $A = \pi - (B+C)$ और $\sin A = \sin (B+C)$.
इसी प्रकार,$B = \pi - (A+C)$ और $\sin B = \sin (A+C)$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{\sin (B+C)}{\sin (A+C)} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$\sin (B+C) \sin (C-B) = \sin (A+C) \sin (A-C)$.
सर्वसमिका $\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^{2} x - \sin^{2} y$ का उपयोग करने पर:
$\sin^{2} C - \sin^{2} B = \sin^{2} A - \sin^{2} C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \sin^{2} C = \sin^{2} A + \sin^{2} B$.
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$.
अतः,$2c^{2} = a^{2} + b^{2}$.
यह दर्शाता है कि $a^{2}, c^{2}, b^{2}$ $A.P.$ में हैं (या $b^{2}, c^{2}, a^{2}$ $A.P.$ में हैं)।

(A) दिया है $\cos B = \frac{3}{5}$,अतः $\sin B = \frac{4}{5}$.
ज्या नियम (sine rule) से,$\frac{b}{\sin B} = 2R$,जहाँ $R=5$ है।
$b = 2(5)\left(\frac{4}{5}\right) = 8$.
कोज्या नियम (cosine rule) से:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\frac{3}{5} = \frac{a^2 + 25 - 64}{10a}$ $\Rightarrow 6a = a^2 - 39$ $\Rightarrow a^2 - 6a - 39 = 0$.
$a = 3 + 4\sqrt{3}$ (धनात्मक मान लेने पर)।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}(3 + 4\sqrt{3})(5)\left(\frac{4}{5}\right) = 6 + 8\sqrt{3}$.