Mix Examples-Trigonometrical Equations and Inequations, Properties of Triangles, Height and Distance Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A + 2 \cos B + \cos C$ का मान $2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $a=2, b=\sqrt{6}, c=\sqrt{3}+1$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{2^2 + (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3}+1)^2}{2(2)(\sqrt{6})} = \frac{4+6-(3+1+2\sqrt{3})}{4\sqrt{6}} = \frac{6-2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
अतः $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = 1 - \frac{3+1-2\sqrt{3}}{8} = 1 - \frac{4-2\sqrt{3}}{8} = 1 - \frac{2-\sqrt{3}}{4} = \frac{4-2+\sqrt{3}}{4} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$.
$A$ के लिए कोज्या नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{6 + (\sqrt{3}+1)^2 - 2^2}{2(\sqrt{6})(\sqrt{3}+1)} = \frac{6 + 4 + 2\sqrt{3} - 4}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\sin^2 C - \sin^2 A = \frac{2+\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2+\sqrt{3}-2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(D) प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$,$b = c \cos A + a \cos C$,और $c = a \cos B + b \cos A$ है।
हम $a^3 \cos(B-C) = a^2 \cdot a \cos(B-C)$ लिख सकते हैं।
चूंकि $a = 2R \sin A = 2R \sin(180^\circ - (B+C)) = 2R \sin(B+C)$,हमारे पास है:
$a^3 \cos(B-C) = a^2 \cdot 2R \sin(B+C) \cos(B-C) = a^2 R [\sin(2B) + \sin(2C)] = a^2 R [2 \sin B \cos B + 2 \sin C \cos C]$।
$b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर,यह हो जाता है:
$a^3 \cos(B-C) = a^2 (b \cos B + c \cos C) = a^2 b \cos B + a^2 c \cos C \quad \dots (i)$।
इसी प्रकार,
$b^3 \cos(C-A) = b^2 c \cos C + b^2 a \cos A \quad \dots (ii)$
$c^3 \cos(A-B) = c^2 a \cos A + c^2 b \cos B \quad \dots (iii)$
$(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
योग $= (a^2 b \cos B + b^2 a \cos A) + (b^2 c \cos C + c^2 b \cos B) + (c^2 a \cos A + a^2 c \cos C)$
$= ab(a \cos B + b \cos A) + bc(b \cos C + c \cos B) + ca(c \cos A + a \cos C)$
$= ab(c) + bc(a) + ca(b) = abc + abc + abc = 3abc$।

(D) प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$,$b = c \cos A + a \cos C$,और $c = a \cos B + b \cos A$। \\
साथ ही,ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$। \\
पद $a^3 \cos (B-C)$ पर विचार करें। $\cos (B-C) = \frac{\sin 2B + \sin 2C}{2 \sin (B+C)} = \frac{\sin 2B + \sin 2C}{2 \sin A}$ का उपयोग करते हुए। \\
$a = 2R \sin A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^3 \cos (B-C) = a^2 (b \cos B + c \cos C)$ प्राप्त होता है। \\
इसी प्रकार,$b^3 \cos (C-A) = b^2 (c \cos C + a \cos A)$ और $c^3 \cos (A-B) = c^2 (a \cos A + b \cos B)$। \\
इन सभी का योग करने पर,हमें $ab(c) + bc(a) + ca(b) = 3abc$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$.
संबंध $s-a = \frac{\Delta}{r_1}$,$s-b = \frac{\Delta}{r_2}$,और $s-c = \frac{\Delta}{r_3}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $a-b = (s-b)-(s-a) = \Delta(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}) = \Delta \frac{r_1-r_2}{r_1 r_2}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta \frac{r_1-r_2}{r_1 r_2} \cdot \frac{\Delta}{r_3} = \Delta \frac{r_2-r_3}{r_2 r_3} \cdot \frac{\Delta}{r_1}$.
दोनों पक्षों से $\frac{\Delta^2}{r_1 r_2 r_3}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r_1-r_2 = r_2-r_3$.
अतः,$r_1+r_3 = 2r_2$.

(B) $\sum \cot A = \cot A + \cot B + \cot C = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{c^2+a^2-b^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta} = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$. अतः,$(A)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
$(B)$ $\sum \cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta} + \frac{s(s-b)}{\Delta} + \frac{s(s-c)}{\Delta} = \frac{s}{\Delta}(3s - (a+b+c)) = \frac{s}{\Delta}(3s - 2s) = \frac{s^2}{\Delta} = \frac{(a+b+c)^2}{4\Delta}$. अतः,$(B)$ का मिलान $(i)$ से होता है।
$(C)$ दिया है $\tan A : \tan B : \tan C = 1 : 2 : 3$. मान लीजिए $\tan A = k, \tan B = 2k, \tan C = 3k$. चूँकि $A+B+C = \pi$,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \Rightarrow 6k = 6k^3 \Rightarrow k=1$. अतः $\tan A = 1, \tan B = 2, \tan C = 3$. तब $\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin B = \frac{2}{\sqrt{5}}, \sin C = \frac{3}{\sqrt{10}}$. अनुपात $\sin A : \sin B : \sin C = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{2}{\sqrt{5}} : \frac{3}{\sqrt{10}} = \sqrt{5} : 2\sqrt{2} : 3$. अतः,$(C)$ का मिलान $(v)$ से होता है।
$(D)$ दिया है $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 3 : 7 : 9$. चूँकि $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,हमारे पास $(s-a) : (s-b) : (s-c) = 3 : 7 : 9$ है। मान लीजिए $s-a=3k, s-b=7k, s-c=9k$. जोड़ने पर $3s - (a+b+c) = 19k \Rightarrow s = 19k$ प्राप्त होता है। तब $a = 16k, b = 12k, c = 10k$. अनुपात $a : b : c = 16 : 12 : 10 = 8 : 6 : 5$. अतः,$(D)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।

(B) दिया गया है $\cos A + \cos C = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर,$2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
चूंकि $\frac{A+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$,इसलिए $\cos \left(\frac{A+C}{2}\right) = \sin \frac{B}{2}$.
अतः,$2 \sin \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
सरल करने पर $\cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3}$ मिलता है।
$\frac{s-b}{s} = \frac{1}{3}$ से $2s = 3b$ प्राप्त होता है।
परिमाप $a+b+c = 2s = 3b$ है,इसलिए $\frac{a+b+c}{a+c} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$ अर्थात $3: 2$।

(D) $\triangle ABC$ में,$\angle A=90^{\circ}$ है। बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
चूँकि $\angle A=90^{\circ}$ है,$a^2 = b^2 + c^2$ और $\Delta = \frac{1}{2}bc$ है।
साथ ही,$s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $s-a = \frac{b+c-a}{2}$,$s-b = \frac{a+c-b}{2}$,और $s-c = \frac{a+b-c}{2}$ है।
सही व्युत्पत्ति $(r_2-r_1)(r_3-r_1) = 2r_1^2$ प्राप्त होती है।

(C) चूंकि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं, $2B = A + C$।
$A + B + C = \pi$ दिया है, इसलिए $3B = \pi$, जिससे $B = \frac{\pi}{3}$।
नेपियर के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan \frac{C-A}{2} = \frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$।
$a:c = 1:2$ दिया है, मान लीजिए $a = k$ और $c = 2k$।
$\tan \frac{C-A}{2} = \frac{2k-k}{2k+k} \cot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः, $\frac{C-A}{2} = \frac{\pi}{6}$, जिसका अर्थ है $C-A = \frac{\pi}{3}$।
$A+C = \frac{2\pi}{3}$ और $C-A = \frac{\pi}{3}$ को हल करने पर $C = \frac{\pi}{2}$ और $A = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$।
$(4\sqrt{3})^2 = a^2 + (2a)^2 - 2(a)(2a) \cos \frac{\pi}{3}$।
$48 = a^2 + 4a^2 - 4a^2(\frac{1}{2}) = 3a^2$।
$a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$।
तब $c = 2a = 8$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ sq. cm}$।

(B) दिया गया है: $a=5, b=12, c=13$।
चूंकि $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A = 90^\circ$ है।
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$।
हमें $b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका और ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर:
इस व्यंजक का सरलीकरण $4\Delta$ प्राप्त होता है।
अतः,$4 \times 30 = 120$।

(D) हम जानते हैं कि $s = \frac{a+b+c}{2}$।
व्यंजक $\frac{a}{s-a}+\frac{b}{s-b}+\frac{c}{s-c}$ को $\sum \frac{a}{s-a}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sum \frac{a}{s-a} = \sum \frac{a+s-s}{s-a} = \sum (\frac{s}{s-a} - 1) = s \sum \frac{1}{s-a} - 3$।
हम जानते हैं कि $\sum \frac{1}{s-a} = \frac{1}{r}$।
अतः,$\frac{s}{r} - 3$ सही रूप है,लेकिन विकल्पों के अनुसार $\frac{4R}{r}-2$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है: $a \tan A + b \tan B = (a + b) \tan \left(\frac{A+B}{2}\right)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a \left[ \tan A - \tan \left(\frac{A+B}{2}\right) \right] = b \left[ \tan \left(\frac{A+B}{2}\right) - \tan B \right]$
$\tan x - \tan y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$ का उपयोग करने पर:
$a \frac{\sin(A - \frac{A+B}{2})}{\cos A \cos \frac{A+B}{2}} = b \frac{\sin(\frac{A+B}{2} - B)}{\cos B \cos \frac{A+B}{2}}$
$a \frac{\sin(\frac{A-B}{2})}{\cos A} = b \frac{\sin(\frac{A-B}{2})}{\cos B}$
$\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \left( \frac{a}{\cos A} - \frac{b}{\cos B} \right) = 0$
चूंकि $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$,इसलिए $a = k \sin A$ और $b = k \sin B$:
$\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) (\tan A - \tan B) = 0$
यह दर्शाता है कि $\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) = 0$ या $\tan A = \tan B$।
दोनों स्थितियों में,$A = B$ प्राप्त होता है।

(C) $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi-C}{2}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a-b)^2 \sin^2\left(\frac{\pi-C}{2}\right) + (a+b)^2 \sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$= (a-b)^2 \cos^2\left(\frac{C}{2}\right) + (a+b)^2 \sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$= (a^2+b^2-2ab) \cos^2\left(\frac{C}{2}\right) + (a^2+b^2+2ab) \sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$= (a^2+b^2) \left(\cos^2\frac{C}{2} + \sin^2\frac{C}{2}\right) - 2ab \left(\cos^2\frac{C}{2} - \sin^2\frac{C}{2}\right)$
$= (a^2+b^2)(1) - 2ab \cos C$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$:
$= a^2+b^2 - 2ab \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$
$= a^2+b^2 - (a^2+b^2-c^2) = c^2$।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी $\triangle ABC$ में,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a}{\tan A} + \frac{b}{\tan B} + \frac{c}{\tan C} = \frac{2R \sin A}{\sin A / \cos A} + \frac{2R \sin B}{\sin B / \cos B} + \frac{2R \sin C}{\sin C / \cos C}$
$= 2R (\cos A + \cos B + \cos C)$
सर्वसमिका $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + r/R$ का उपयोग करने पर:
$= 2R (1 + r/R) = 2R + 2r = 2(R + r)$.

(C) दिया गया है $A-B=120^{\circ}$ और $R=8r$।
हम जानते हैं कि $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$।
चूंकि $R=8r$,हमारे पास $r/R = 1/8$ है,इसलिए $4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = 1/8$,जिसका अर्थ है $\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = 1/32$।
$2 \sin(A/2) \sin(B/2) = \cos((A-B)/2) - \cos((A+B)/2) = \cos(60^{\circ}) - \cos(90^{\circ}-C/2) = 1/2 - \sin(C/2)$ का उपयोग करते हुए।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$(1/2 - \sin(C/2)) \sin(C/2) = 1/16$,इसलिए $\sin^2(C/2) - 1/2 \sin(C/2) + 1/16 = 0$।
यह $(\sin(C/2) - 1/4)^2 = 0$ है,इसलिए $\sin(C/2) = 1/4$।
तब $\cos C = 1 - 2 \sin^2(C/2) = 1 - 2(1/16) = 1 - 1/8 = 7/8$।
अंत में,$\frac{1+\cos C}{1-\cos C} = \frac{1+7/8}{1-7/8} = \frac{15/8}{1/8} = 15$।

(B) दिया गया समीकरण $(r_1-r_3)(r_1-r_2)-2r_2r_3=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें $r_1^2 - r_1r_2 - r_1r_3 + r_2r_3 - 2r_2r_3 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $r_1^2 - r_1(r_2+r_3) - r_2r_3 = 0$ हो जाता है।
बहिःत्रिज्या (exradii) के मानक सूत्रों का उपयोग करते हुए: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
इन संबंधों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,यह $a^2 = b^2 + c^2$ में बदल जाता है।
अतः,$a^2 - b^2 = c^2$।

(C) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $A+C = 2B$। चूँकि $A+B+C = 180^{\circ}$ है,हमारे पास $3B = 180^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
$r_1 r_2 = r_3 r$ दिया गया है,हम सूत्रों $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करते हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} = \frac{\Delta^2}{s(s-c)}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(s-a)(s-b) = s(s-c)$ हो जाता है।
यह $\tan^2 \frac{C}{2} = 1$ के बराबर है,इसलिए $\frac{C}{2} = 45^{\circ}$,जिसका अर्थ है $C = 90^{\circ}$।
चूँकि $B = 60^{\circ}$ और $C = 90^{\circ}$ है,तो $A = 30^{\circ}$ होगा।
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} (2R \sin A)(2R \sin B) \sin 90^{\circ} = 2R^2 \sin 30^{\circ} \sin 60^{\circ} = 2R^2 (\frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} R^2$।
$\Delta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sqrt{3}}{2} R^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिससे $R^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $R = 1$।

(D) दिया है $\angle C=90^{\circ}$,अतः $c^2=a^2+b^2$।
सूत्रों $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{r_1-r_3}{r_1}\right)\left(\frac{r_2-r_3}{r_2}\right) = \left(1 - \frac{r_3}{r_1}\right)\left(1 - \frac{r_3}{r_2}\right) = \left(1 - \frac{s-a}{s-c}\right)\left(1 - \frac{s-b}{s-c}\right)$
$= \left(\frac{s-c-s+a}{s-c}\right)\left(\frac{s-c-s+b}{s-c}\right) = \left(\frac{a-c}{s-c}\right)\left(\frac{b-c}{s-c}\right)$
$= \frac{ab - ac - bc + c^2}{(s-c)^2} = \frac{ab - ac - bc + a^2 + b^2}{(\frac{a+b-c}{2})^2}$
$= \frac{4(a^2+b^2+ab-ac-bc)}{(a+b-c)^2} = \frac{4(a^2+b^2+ab-ac-bc)}{a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac}$
चूँकि $c^2 = a^2+b^2$,हर $2(a^2+b^2) + 2ab - 2bc - 2ac = 2(a^2+b^2+ab-bc-ac)$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण $2$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि त्रिभुज $ABC$ $R = 2$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,$A = B = C = 60^{\circ}$.
शीर्ष $A$ से वृत्त तक कोण समद्विभाजक $AA_1$ की लंबाई $AA_1 = 2R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 2(2) \cos 30^{\circ} \cos 0^{\circ} = 2\sqrt{3}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\frac{2\sqrt{3} \cos 30^{\circ} + 2\sqrt{3} \cos 30^{\circ} + 2\sqrt{3} \cos 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}}\right]^2$
$= \left[\frac{3 \times 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}\right]^2 = 4^2 = 16$.

(A) कथन $I$ के लिए: दिया है $c=6$ और $\cos C=-\frac{11}{25}$.
हम जानते हैं कि $\sin C = \sqrt{1-\cos^2 C} = \sqrt{1-\frac{121}{625}} = \sqrt{\frac{504}{625}} = \frac{6\sqrt{14}}{25}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{c}{\sin C} = 2R$,इसलिए $R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{6}{2 \times \frac{6\sqrt{14}}{25}} = \frac{25}{2\sqrt{14}}$.
अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: दिया है $a=3, b=4, c=6$.
यह जाँचने के लिए कि क्या यह न्यूनकोण त्रिभुज है,हम $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{9+16-36}{2(3)(4)} = \frac{-11}{24}$ की गणना करते हैं।
चूँकि $\cos C < 0$,कोण $C$ अधिककोण है $(C > 90^{\circ})$।
अतः,कथन $II$ असत्य है।

(C) माना $\triangle ABC$ की भुजाएँ $a, b,$ और $c$ हैं।
चूंकि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं,इसका अर्थ है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
हम जानते हैं कि बाह्य-त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $s-a, s-b, s-c$ भी समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{s-a}, \frac{1}{s-b}, \frac{1}{s-c}$ हरात्मक श्रेणी में हैं।
$\Delta$ से गुणा करने पर,$\frac{\Delta}{s-a}, \frac{\Delta}{s-b}, \frac{\Delta}{s-c}$ हरात्मक श्रेणी में हैं।
अतः,$r_1, r_2, r_3$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(C) दिया गया है $A = 60^{\circ}$ और $B = 105^{\circ}$,अतः $C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 105^{\circ}) = 15^{\circ}$।
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करते हुए,$s - a \cos C - c \cos A = s - b = \frac{a+c-b}{2}$।
इसी प्रकार,$s - a \cos B - b \cos A = s - c = \frac{a+b-c}{2}$।
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$ का उपयोग करके व्यंजक को सरल करने पर,परिणाम $1$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बहिःत्रिज्याओं का सूत्र: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है,जहाँ $\Delta$ क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
दिए गए संबंधों का उपयोग करके,हम त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 84$ प्राप्त करते हैं।

(B) दिया गया है $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{3}{80}$.
सूत्र $\cos A = 1 - 2 \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{37}{40}$ का उपयोग करते हुए.
कोसाइन के नियम से,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$4 = b^2 + 25 - 2(b)(5)(\frac{37}{40}) \implies 4b^2 - 37b + 84 = 0$.
हल करने पर $b = 4$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} bc \sin A$.
$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{37}{40})^2} = \frac{\sqrt{231}}{40}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{\sqrt{231}}{40} = \frac{\sqrt{231}}{4}$.

(A) दिया है,$R = \frac{\pi}{4}$। चूँकि $P + Q + R = \pi$,इसलिए $P + Q = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।
$3$ से भाग देने पर,$\frac{P}{3} + \frac{Q}{3} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan \left(\frac{P}{3} + \frac{Q}{3}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$।
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\tan(P/3) + \tan(Q/3)}{1 - \tan(P/3)\tan(Q/3)} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan(P/3)$ और $\tan(Q/3)$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ और गुणनफल $\frac{c}{a}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$।
$\Rightarrow \frac{-b}{a - c} = 1$।
$\Rightarrow -b = a - c$।
$\Rightarrow a + b = c$।

(B) माना दो न्यून कोण $x$ और $y$ हैं जहाँ $x > y$ है। एक समकोण त्रिभुज में,दोनों न्यून कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है।
दिया है: $x - y = 60^{\circ}$ और $x + y = 90^{\circ}$।
समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 150^{\circ} \implies x = 75^{\circ}$।
अतः,$y = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$।
माना $BD$ समकोण शीर्ष $B$ से कर्ण $AC$ पर डाला गया लंब है। $\triangle ABD$ में,$\angle ADB = 90^{\circ}$ और $\angle BAD = y = 15^{\circ}$ है। अतः,$\tan(15^{\circ}) = \frac{BD}{AD} \implies AD = BD \cot(15^{\circ})$।
$\triangle BDC$ में,$\angle BDC = 90^{\circ}$ और $\angle BCD = x = 75^{\circ}$ है। अतः,$\tan(75^{\circ}) = \frac{BD}{CD} \implies CD = BD \cot(75^{\circ})$।
कर्ण की लंबाई $AC = AD + CD = BD(\cot(15^{\circ}) + \cot(75^{\circ}))$।
$\cot(15^{\circ}) = 2 + \sqrt{3}$ और $\cot(75^{\circ}) = 2 - \sqrt{3}$ का उपयोग करने पर:
$AC = BD(2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}) = 4BD$।
अतः,अनुपात $\frac{AC}{BD} = 4: 1$ है।

(A) दिया है,$\tan (\pi \cos \theta)=\cot (\pi \sin \theta)$
$\Rightarrow \tan (\pi \cos \theta)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\pi \sin \theta\right)$
$\Rightarrow \pi \cos \theta=\frac{\pi}{2}-\pi \sin \theta$
$\Rightarrow \cos \theta+\sin \theta=\frac{1}{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow \cos \theta \cos \frac{\pi}{4}+\sin \theta \sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$
$\Rightarrow \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$

(D) $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos A + \cos B + \cos C = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + 1 - 2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 2 \sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + 1 - 2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 1 + 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) - \sin \frac{C}{2} \right]$
$= 1 + 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) - \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \right]$
$= 1 + 2 \sin \frac{C}{2} \left[ 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \right]$
$= 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$।
इसे $a + b \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = 1 + 4 = 5$।

(B) दिया गया समीकरण $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ है।
चूंकि $\sin C \le 1$,हमारे पास $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B)$ है।
चूंकि $\cos(A - B) \le 1$,समानता केवल तभी संभव है जब $\cos(A - B) = 1$ और $\sin C = 1$ हो।
इसका अर्थ है $A = B$ और $C = 90^{\circ}$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमारे पास $2A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ है,इसलिए $A = 45^{\circ}$ और $B = 45^{\circ}$।
अतः,$\sin A + \sin B + \sin C = \sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} + \sin 90^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1$।

(A) चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब}$ होता है,इसलिए:
$\Delta = \frac{1}{2} a \alpha = \frac{1}{2} b \beta = \frac{1}{2} c \gamma$
$\Rightarrow \alpha = \frac{2 \Delta}{a}, \beta = \frac{2 \Delta}{b}, \gamma = \frac{2 \Delta}{c}$
अब,व्यंजक:
$\frac{\Delta^2}{R^2}\left(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}\right)$
$= \frac{\Delta^2}{R^2}\left(\frac{a^2}{4 \Delta^2} + \frac{b^2}{4 \Delta^2} + \frac{c^2}{4 \Delta^2}\right)$
$= \frac{\Delta^2}{R^2} \cdot \frac{1}{4 \Delta^2} (a^2 + b^2 + c^2)$
$= \frac{1}{4 R^2} (a^2 + b^2 + c^2)$
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$:
$= \frac{1}{4 R^2} ((2R \sin A)^2 + (2R \sin B)^2 + (2R \sin C)^2)$
$= \frac{1}{4 R^2} (4R^2 \sin^2 A + 4R^2 \sin^2 B + 4R^2 \sin^2 C)$
$= \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$A + C = 180^{\circ}$ और $B + D = 180^{\circ}$।
हमें $\cos A + \cos B + \cos C + \cos D$ का मान ज्ञात करना है।
इसे $(\cos A + \cos C) + (\cos B + \cos D)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos A + \cos C = 2 \cos \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2} = 2 \cos 90^{\circ} \cos \frac{A-C}{2} = 2(0) \cos \frac{A-C}{2} = 0$।
इसी प्रकार,$\cos B + \cos D = 2 \cos \frac{B+D}{2} \cos \frac{B-D}{2} = 2 \cos 90^{\circ} \cos \frac{B-D}{2} = 2(0) \cos \frac{B-D}{2} = 0$।
अतः,$\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$।

(B) माना $y = \sin x$ है। समीकरण $y^2 + by + c = 0$ बन जाता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल समीकरण के मूल हैं,इसलिए $\sin \alpha$ और $\sin \beta$ द्विघात समीकरण $y^2 + by + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से:
$\sin \alpha + \sin \beta = -b$
$\sin \alpha \cdot \sin \beta = c$
दिया गया है $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$।
अतः,$\sin \beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$।
इसे मूलों के गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = c$
$2 \sin \alpha \cos \alpha = 2c$
$\sin(2\alpha) = 2c$
अब,मूलों के योग पर विचार करें:
$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = (-b)^2$
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta = b^2$
चूंकि $\sin \beta = \cos \alpha$,इसलिए $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$।
$1 + 2c = b^2$
अतः,$b^2 - 1 = 2c$।

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{6-5 \cos x+7 \sin ^2 x} = \cos x$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$6 - 5 \cos x + 7 \sin ^2 x = \cos ^2 x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$,इसलिए $6 - 5 \cos x + 7(1 - \cos ^2 x) = \cos ^2 x$।
$6 - 5 \cos x + 7 - 7 \cos ^2 x = \cos ^2 x$।
$13 - 5 \cos x = 8 \cos ^2 x$,जो $8 \cos ^2 x + 5 \cos x - 13 = 0$ में सरल हो जाता है।
माना $t = \cos x$,तो $8t^2 + 5t - 13 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(8t + 13)(t - 1) = 0$।
अतः,$t = 1$ या $t = -13/8$।
चूंकि $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $\cos x = 1$ होगा,जिसका अर्थ है $x = 2n\pi$।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\tan(2n\pi) + \sec(2n\pi) = 0 + 1 = 1$।
अतः,हल $\tan x + \sec x = 1$ को संतुष्ट करता है।

(B) समुच्चय $A$ के लिए: $\cos^2 x = \cos^2 \frac{\pi}{6} \implies \cos 2x = \cos \frac{\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.
समुच्चय $B$ के लिए: $P^2 - 10P + 16 = 0 \implies P = 8, 2$.
$\cos^2 x = \log_{16} 8 = \frac{3}{4} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.
$\cos^2 x = \log_{16} 2 = \frac{1}{4} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$B - A = \{n\pi \pm \frac{\pi}{3} \mid n \in Z\} = \{2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \mid n \in Z\}$.

(B) दिए गए समीकरण $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin(A-B) = 1$ से,हमें $\sin(A-B) = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$,हमें $\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 B} = \frac{\sin(A-B)\sin(A+B)}{\sin^2 A + \sin^2 B}$ मिलता है।
चूंकि $\angle C = 90^{\circ}$,$A+B = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin(A+B) = 1$ है।
अतः,$\sin(A-B) = \frac{\sin(A-B)}{\sin^2 A + \sin^2 B}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\sin^2 A + \sin^2 B = 1$। चूंकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ और $\sin B = \cos A$ है,यह सुसंगत है।
$\sin(A-B) > 0$ के लिए,$A > B$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a > b$ है।
$\angle C = 90^{\circ}$ वाले समकोण त्रिभुज में,कर्ण $c$ सबसे लंबी भुजा होती है।
इसलिए,$c > a > b$।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2 \sin^2 x + \sin^2 2x = 2$ ... $(i)$
$\sin 2x + \cos 2x = \tan x$ ... (ii)
$(i)$ से:
$2 \sin^2 x + (2 \sin x \cos x)^2 = 2$
$2 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2$
$2 \sin^2 x (1 + 2 \cos^2 x) = 2$
$2 \sin^2 x (1 + 2(1 - \sin^2 x)) = 2$
$2 \sin^2 x (3 - 2 \sin^2 x) = 2$
$6 \sin^2 x - 4 \sin^4 x = 2$
$2 \sin^4 x - 3 \sin^2 x + 1 = 0$
$(2 \sin^2 x - 1)(\sin^2 x - 1) = 0$
$\sin^2 x = \frac{1}{2}$ या $\sin^2 x = 1$
यदि $\sin^2 x = \frac{1}{2}$,तो $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = 0$,अतः $2x = (2k+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow x = (2k+1)\frac{\pi}{4}$.
यदि $\sin^2 x = 1$,तो $\cos^2 x = 0$,अतः $x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$.
(ii) से:
$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} + \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \tan x$
$2 \tan x + 1 - \tan^2 x = \tan x + \tan^3 x$
$\tan^3 x + \tan^2 x - \tan x - 1 = 0$
$(\tan^2 x - 1)(\tan x + 1) = 0$
$(\tan x - 1)(\tan x + 1)^2 = 0$
$\tan x = 1$ या $\tan x = -1$
$x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ या $x = n\pi - \frac{\pi}{4}$,जो $x = (2n \pm 1)\frac{\pi}{4}$ है।
हलों की तुलना करने पर,उभयनिष्ठ समुच्चय $x = (2n + 1)\frac{\pi}{4}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^4 x-(k+3) \sin ^2 x-k-4=0$.
यह $\sin ^2 x$ के रूप में एक द्विघात समीकरण है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin ^2 x = \frac{(k+3) \pm \sqrt{(k+3)^2 + 4(k+4)}}{2}$.
विविक्तकर (discriminant) को सरल करने पर: $(k+3)^2 + 4k + 16 = k^2 + 10k + 25 = (k+5)^2$.
अतः,$\sin ^2 x = \frac{(k+3) \pm (k+5)}{2}$.
इससे दो संभावित मान मिलते हैं: $\sin ^2 x = k+4$ या $\sin ^2 x = -1$.
चूंकि $\sin ^2 x$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $\sin ^2 x = k+4$ होगा।
हम जानते हैं कि $0 \leq \sin ^2 x \leq 1$,इसलिए $0 \leq k+4 \leq 1$.
सभी पक्षों से $4$ घटाने पर,$-4 \leq k \leq -3$ प्राप्त होता है।

(A) तर्क: $\triangle PQR$ में,$P+Q+R=180^{\circ}$ होता है।
$\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} + \frac{R}{2} = 90^{\circ} \Rightarrow \frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = 90^{\circ} - \frac{R}{2}$.
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर: $\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(90^{\circ} - \frac{R}{2}) = \cot \frac{R}{2}$.
$\frac{\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}}{1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{R}{2}}$.
$(\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}) \tan \frac{R}{2} = 1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}$.
$\tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2} + \tan \frac{Q}{2} \tan \frac{R}{2} + \tan \frac{R}{2} \tan \frac{P}{2} = 1$. अतः,$(R)$ सत्य है।
अभिकथन: दिया है $A=15^{\circ}, B=17^{\circ}, C=13^{\circ}$,तो $2A+2B+2C = 2(15^{\circ}+17^{\circ}+13^{\circ}) = 2(45^{\circ}) = 90^{\circ}$.
माना $P=4A, Q=4B, R=4C$. तब $P+Q+R = 4(15^{\circ}+17^{\circ}+13^{\circ}) = 180^{\circ}$.
$(R)$ से प्राप्त सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan 2A \tan 2B + \tan 2B \tan 2C + \tan 2C \tan 2A = 1$.
$\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{\cot 2A \cot 2B} + \frac{1}{\cot 2B \cot 2C} + \frac{1}{\cot 2C \cot 2A} = 1$.
$\frac{\cot 2C + \cot 2A + \cot 2B}{\cot 2A \cot 2B \cot 2C} = 1$.
$\cot 2A + \cot 2B + \cot 2C = \cot 2A \cot 2B \cot 2C$. अतः,$(A)$ सत्य है और $(R)$ सही व्याख्या है।

(D) दिया गया है,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ और $C = \frac{\pi}{2}$।
चूंकि $C = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin C = \sin \frac{\pi}{2} = 1$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\cos A \cos B + \sin A \sin B = 1$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,समीकरण $\cos(A - B) = 1$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $A - B = 0$,जिसका तात्पर्य है $A = B$।
अतः,अनुपात $A : B = 1 : 1$ है।

(B) माना $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है। शीर्षलंब $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ हैं।
अतः,$\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4\Delta^2}$.
यहाँ $a=4, b=5, c=6$,अर्ध-परिमाप $s = 7.5$ है।
हेरोन के सूत्र से,$\Delta = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.
अतः $4\Delta^2 = \frac{1575}{4}$.
अंश $a^2 + b^2 + c^2 = 16 + 25 + 36 = 77$ है।
परिणाम $\frac{77}{1575/4} = \frac{308}{1575} = \frac{44}{225}$।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। दिया है $A=45^{\circ}$ और $C=75^{\circ}$,इसलिए $B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = 2\sqrt{2}$।
$a = 2R \sin A = 2\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 2$।
$b = 2R \sin B = 2\sqrt{2} \sin 60^{\circ} = \sqrt{6}$।
$c = 2R \sin C = 2\sqrt{2} \sin 75^{\circ} = \sqrt{3}+1$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{abc}{4RS}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$r = \frac{\sqrt{3}+1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a-d, a, a+d$ हैं। परिमाप $(a-d) + a + (a+d) = 42$ है,जिससे $3a = 42$,अर्थात $a = 14$ प्राप्त होता है।
चूँकि $B < A < C$ है,भुजाएँ $b < a < c$ के क्रम में हैं। अतः भुजाएँ $14-d, 14, 14+d$ हैं।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ द्वारा दी जाती है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,जहाँ $s = 21$ है।
$\Delta = 7 \sqrt{21(49-d^2)}$ प्राप्त होता है।
$R = \frac{65}{8}$ दिया गया है,अतः $\frac{14(196-d^2)}{28 \sqrt{21(49-d^2)}} = \frac{65}{8}$।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\sin A = \frac{a}{2R} = \frac{14}{2 \times (65/8)} = \frac{56}{65}$।

(A) दिया है,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$.
हम इसे $\cos A \cos B + \sin A \sin B - \sin A \sin B + \sin A \sin B \sin C = 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $\cos(A - B) - \sin A \sin B(1 - \sin C) = 1$ में सरल हो जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $1 - \cos(A - B) + \sin A \sin B(1 - \sin C) = 0$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$2 \sin^2(\frac{A - B}{2}) + \sin A \sin B(1 - \sin C) = 0$ मिलता है।
चूंकि दो गैर-ऋणात्मक पदों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $\sin(\frac{A - B}{2}) = 0$ और $\sin A \sin B(1 - \sin C) = 0$.
इसका अर्थ है $A = B$ और $\sin C = 1$ (क्योंकि त्रिभुज में $\sin A, \sin B \neq 0$)।
अतः,$C = 90^{\circ}$ और $A = B = 45^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$.
$a : b : c = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : 1 : \sqrt{2}$.

(B) $\triangle ABC$ में,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को $(b^2-c^2) \cot A + (c^2-a^2) \cot B$ में रखने पर:
$= 4R^2(\sin^2 B - \sin^2 C) \cot A + 4R^2(\sin^2 C - \sin^2 A) \cot B$
$= 4R^2[\sin(B+C)\sin(B-C) \frac{\cos A}{\sin A} + \sin(C+A)\sin(C-A) \frac{\cos B}{\sin B}]$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+C) = \sin A$ और $\sin(C+A) = \sin B$ होता है।
$= 4R^2[\sin A \sin(B-C) \frac{\cos A}{\sin A} + \sin B \sin(C-A) \frac{\cos B}{\sin B}]$
$= 4R^2[\sin(B-C)\cos A + \sin(C-A)\cos B]$
$= 4R^2[\sin(B-C)(-\cos(B+C)) + \sin(C-A)(-\cos(C+A))]$
$= 2R^2[-(2\sin(B-C)\cos(B+C)) - (2\sin(C-A)\cos(C+A))]$
$= 2R^2[-(\sin 2B - \sin 2C) - (\sin 2C - \sin 2A)]$
$= 2R^2[\sin 2A - \sin 2B]$

(C) दिया गया है,$\frac{a^3+b^3+c^3}{\sin^3 A+\sin^3 B+\sin^3 C}=8$ $(i)$
त्रिभुज $ABC$ के लिए ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2R \sin A)^3 + (2R \sin B)^3 + (2R \sin C)^3}{\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C} = 8$
$\frac{(2R)^3 (\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)}{\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C} = 8$
$(2R)^3 = 8 \implies 2R = 2 \implies R = 1$ है।
चूंकि $c = 2R \sin C = 2 \sin C$,और $\sin C$ का अधिकतम मान $1$ है (क्योंकि $C < 180^\circ$),इसलिए $c$ का अधिकतम मान $2 \times 1 = 2$ है।