Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Gujarati

(B) આપેલી રેખા $2x - 3y + 7 = 0$ છે.
આપેલી રેખાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા: $3x + k = 0 \Rightarrow x = -\frac{k}{3}$.
$x = 0$ લેતા: $2y + k = 0 \Rightarrow y = -\frac{k}{2}$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_{intercept} \cdot y_{intercept}| = 3$ છે.
$\frac{1}{2} |(-\frac{k}{3}) \cdot (-\frac{k}{2})| = 3$.
$\frac{1}{2} |\frac{k^2}{6}| = 3$.
$|k^2| = 36 \Rightarrow k = \pm 6$.
$k$ ની કિંમત $3x + 2y + k = 0$ માં મૂકતા,આપણને $3x + 2y = \pm 6$ મળે છે.

(A) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-4, 5)$ અને $B(3, 4)$ છે. વિકર્ણ $L$ એ $7x - y + 8 = 0$ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (-0.5, 4.5)$ છે,જે $L$ પર આવેલું છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = -1/7$ છે અને $L$ નો ઢાળ $m_2 = 7$ છે.
વિકર્ણની લંબાઈ $AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
$M$ થી $L$ પરના બિંદુઓનું અંતર $5/\sqrt{2}$ છે.
ગણતરી કરતા,શિરોબિંદુઓ $(0, 8)$ અને $(-1, 1)$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+2y+3=0$,$L_2: 2x+4y+9=0$,$L_3: x-2y+3=0$,અને $L_4: 3x-6y+11=0$ છે.
અહીં $L_1$ અને $L_2$ સમાંતર છે,અને $L_3$ અને $L_4$ સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધતા,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{|c_1-c_2||d_1-d_2|}{|a_1b_2-a_2b_1|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ગણતરી કરતા ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4}$ મળે છે.

(D) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(4,3)$ અને $C(1,-2)$ વિકર્ણના અંત્યબિંદુઓ છે. ચોરસના વિકર્ણ અને કોઈપણ બાજુ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોય છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - (-2)}{4 - 1} = \frac{5}{3}$.
ધારો કે બાજુનો ઢાળ $m$ છે. તો,$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - 5/3}{1 + m(5/3)} \right|$.
$1 = \left| \frac{3m - 5}{3 + 5m} \right|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{3m - 5}{3 + 5m} = 1$ $\Rightarrow 3m - 5 = 3 + 5m$ $\Rightarrow 2m = -8$ $\Rightarrow m = -4$.
$(1,-2)$ માંથી પસાર થતી અને $-4$ ઢાળ ધરાવતી બાજુનું સમીકરણ $y - (-2) = -4(x - 1)$ $\Rightarrow y + 2 = -4x + 4$ $\Rightarrow 4x + y - 2 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{3m - 5}{3 + 5m} = -1$ $\Rightarrow 3m - 5 = -3 - 5m$ $\Rightarrow 8m = 2$ $\Rightarrow m = \frac{1}{4}$.
$(1,-2)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{1}{4}$ ઢાળ ધરાવતી બાજુનું સમીકરણ $y - (-2) = \frac{1}{4}(x - 1)$ $\Rightarrow 4y + 8 = x - 1$ $\Rightarrow x - 4y - 9 = 0$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x - 4y - 9 = 0$ મળે છે.

(D) રેખાઓ સંગામી છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે પ્રથમ બે સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવીએ:
$x+y = -4$ $(1)$
$x-2y = 4$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $3y = -8 \implies y = -8/3$.
$y = -8/3$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $x = -4/3$.
છેદબિંદુ $(-4/3, -8/3)$ છે.
આ બિંદુ ત્રીજા સમીકરણ $3x+4y-2=0$ માં મૂકતા: $3(-4/3) + 4(-8/3) - 2 = -50/3 \neq 0$.
તેથી રેખાઓ સંગામી નથી.
રેખાઓના ઢાળ: $m_1 = -1, m_2 = 1/2, m_3 = -3/4$.
કોઈપણ બે ઢાળ સમાન નથી કે ગુણાકાર $-1$ થતો નથી.
બાજુઓની લંબાઈ શોધતા,ત્રણેય બાજુઓ અલગ હોવાથી તે વિષમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1,7)$,$B(-5,-1)$ અને $C(7,4)$ છે.
ધારો કે $\angle ABC$ નો આંતરિક ખૂણાનો દ્વિભાજક બાજુ $AC$ ને બિંદુ $D$ માં મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$D$ એ $AC$ નું વિભાજન $\frac{AD}{DC} = \frac{BA}{BC}$ ગુણોત્તરમાં કરે છે.
બાજુઓ $BA$ અને $BC$ ની લંબાઈની ગણતરી કરતા:
$BA = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
$BC = \sqrt{(7 - (-5))^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$.
તેથી,$\frac{AD}{DC} = \frac{10}{13}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{83}{23}, \frac{131}{23} \right)$.
બિંદુ $B(-5, -1)$ અને $D\left(\frac{83}{23}, \frac{131}{23}\right)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y + 1 = \frac{7}{9} (x + 5)$
$7x - 9y + 26 = 0$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે. આપેલ છે કે $a = 17 \text{ cm}$ અને પરિમિતિ $P = a + b + c = 40 \text{ cm}$.
બે બાજુઓનો સરવાળો $a + b = 35 \text{ cm}$ છે.
$a = 17$ મૂકતા, $17 + b = 35$, તેથી $b = 18 \text{ cm}$.
$a + b + c = 40$ હોવાથી, $17 + 18 + c = 40$, જે $c = 5 \text{ cm}$ આપે છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$A = \sqrt{20(20-17)(20-18)(20-5)} = \sqrt{20 \times 3 \times 2 \times 15}$.
$A = \sqrt{1800} = 30 \sqrt{2} \text{ cm}^2$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. $AD$ અને $BE$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$G$ એ $AD$ અને $BE$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{8}{3}$ અને $BG = \frac{2}{3} BE$.
$\triangle ABG$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ: $\frac{AG}{\sin(\angle ABG)} = \frac{BG}{\sin(\angle BAG)}$.
આપેલ છે કે $\angle BAG = \frac{\pi}{6}$ અને $\angle ABG = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\frac{8/3}{\sin(\pi/3)} = \frac{BG}{\sin(\pi/6)}$.
$BG = \frac{8}{3 \sqrt{3}}$.
$\triangle ABG$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AG \times BG \times \sin(\angle AGB)$.
$\angle AGB = \pi/2$ હોવાથી,$\sin(\angle AGB) = 1$.
$\triangle ABG$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{32}{9 \sqrt{3}}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 3 \times \triangle ABG$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{32}{3 \sqrt{3}}$.

(B) આપેલ છે કે પરિમિતિ $2s = 16 \text{ cm}$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = 8 \text{ cm}$.
ધારો કે બાજુઓ $a, b, c$ છે. $a = 6 \text{ cm}$ અને ક્ષેત્રફળ $\Delta = 12 \text{ cm}^2$ આપેલ છે.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
$144 = 8(8-6)(8-b)(8-c)$.
$144 = 16(8-b)(8-c) \Rightarrow 9 = (8-b)(8-c)$.
$a+b+c = 16$ અને $a=6$ હોવાથી,$b+c = 10$ અથવા $c = 10-b$.
કિંમત મૂકતા: $9 = (8-b)(8-(10-b)) = (8-b)(b-2)$.
$9 = 8b - 16 - b^2 + 2b \Rightarrow b^2 - 10b + 25 = 0$.
$(b-5)^2 = 0 \Rightarrow b = 5 \text{ cm}$.
તેથી $c = 10 - 5 = 5 \text{ cm}$.
બે બાજુઓ સમાન હોવાથી $(b=c=5 \text{ cm})$,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(a, 1)$,$B(1, b)$,અને $D(-1, d)$ છે. $AD$ એ $y=2x$ ને સમાંતર હોવાથી,$AD$ નો ઢાળ $2$ છે. તેથી,$\frac{d-1}{-1-a} = 2$ $\Rightarrow d-1 = -2-2a$ $\Rightarrow d = -1-2a$. $AB$ એ $AD$ ને લંબ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે. તેથી,$\frac{b-1}{1-a} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2b-2 = a-1$ $\Rightarrow b = \frac{a+1}{2}$. $ABCD$ લંબચોરસ હોવાથી,વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન છે. $BD$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{1-1}{2}, \frac{b+d}{2}) = (0, \frac{b+d}{2})$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{a+x_c}{2}, \frac{1+y_c}{2})$. આને સરખાવતા,આપણને $x_c = -a$ અને $y_c = b+d-1 = \frac{a+1}{2} - 1 - 2a - 1 = \frac{-3a-3}{2}$ મળે છે. આમ,$C$ એ $(-a, \frac{-3(a+1)}{2})$ છે. વિકલ્પો તપાસતા,કોઈ પણ વાસ્તવિક $a$ માટે આપેલા યામ આ સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાતા નથી.

(B) ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ નીચે મુજબ છે:
$x+8y-22=0$ $(i)$
$5x+2y-34=0$ $(ii)$
$2x-3y+13=0$ $(iii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા:
$x=6, y=2$. શિરોબિંદુ $A = (6, 2)$.
$(ii)$ અને $(iii)$ ને ઉકેલતા:
$x=4, y=7$. શિરોબિંદુ $B = (4, 7)$.
$(i)$ અને $(iii)$ ને ઉકેલતા:
$x=-2, y=3$. શિરોબિંદુ $C = (-2, 3)$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |6(7-3) + 4(3-2) + (-2)(2-7)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |24 + 4 + 10|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |38| = 19$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$,$y = -\sqrt{3}x$ અને $y = 1$ છે.
આ રેખાઓ $y = \tan(60^{\circ})x$,$y = \tan(120^{\circ})x$ અને $y = 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
રેખાઓ $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $60^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
રેખા $y = 1$ એ $y = \sqrt{3}x$ ને $(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)$ પર અને $y = -\sqrt{3}x$ ને $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)$ પર છેદે છે.
રેખા $y = 1$ પરના પાયાની લંબાઈ $\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
બાકીની બે બાજુઓની લંબાઈ $\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + 1} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A, C) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$C(-a \sin \alpha, a \cos \alpha)$ અને $B(a(\cos \alpha - \sin \alpha), a(\sin \alpha + \cos \alpha))$ છે.
પ્રથમ વિકર્ણ $O(0,0)$ અને $B$ માંથી પસાર થાય છે.
તેનો ઢાળ $m_1 = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$ છે.
સમીકરણ: $y(\cos \alpha - \sin \alpha) = x(\sin \alpha + \cos \alpha)$.
બીજો વિકર્ણ $A$ અને $C$ માંથી પસાર થાય છે.
તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$ છે.
સમીકરણ: $y(\cos \alpha + \sin \alpha) + x(\cos \alpha - \sin \alpha) = a$.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+y=0$,$L_2: 5x+y=4$,અને $L_3: x+5y=4$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલતા: $A = (1, -1)$ મળે છે.
$L_1$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $C = (-1, 1)$ મળે છે.
$L_2$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $B = (2/3, 2/3)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$AB = \frac{\sqrt{26}}{3}$
$BC = \frac{\sqrt{26}}{3}$
$CA = 2\sqrt{2}$
અહીં $AB = BC$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે આપેલ શિરોબિંદુ $V = (-4, 5)$ છે અને આપેલ વિકર્ણ $L_1: 7x - y + 8 = 0$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણો એકબીજાને લંબ હોય છે.
બીજો વિકર્ણ $L_2$ એ શિરોબિંદુ $V(-4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_1$ ને લંબ છે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = 7$ છે.
તેથી,$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -1/7$ થશે.
$(-4, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2$ નું સમીકરણ:
$y - 5 = -\frac{1}{7}(x + 4)$
$7y - 35 = -x - 4$
$x + 7y = 31$
આમ,બીજા વિકર્ણનું સમીકરણ $7y + x = 31$ છે.

(D) બિંદુ $P(3,6)$ નું રેખા $y=x$ પર પ્રતિબિંબ બિંદુ $Q(6,3)$ આપે છે.
બિંદુ $Q(6,3)$ નું રેખા $y=-x$ પર પ્રતિબિંબ બિંદુ $Q^{\prime}(-3,-6)$ આપે છે.
હવે,$PQ$ નો ઢાળ $= \frac{3-6}{6-3} = \frac{-3}{3} = -1$.
$QQ^{\prime}$ નો ઢાળ $= \frac{-6-3}{-3-6} = \frac{-9}{-9} = 1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $(-1) \times (1) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $PQ$ અને $QQ^{\prime}$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\Delta PQQ^{\prime}$ એ $Q$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર તેના કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
કર્ણ $PQ^{\prime}$ છે,જેના અંત્યબિંદુઓ $P(3,6)$ અને $Q^{\prime}(-3,-6)$ છે.
$PQ^{\prime}$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{6+(-6)}{2}\right) = (0,0)$.

(A) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A(-a,-b)$,$B(a, b)$,$C(0,0)$ અને $D(a^{2}, ab)$ છે.
$A, B$ અને $C$ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે નિશ્ચાયક ગણીએ:
$\left|\begin{array}{ccc}-a & -b & 1 \\ a & b & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = -a(b-0) + b(a-0) + 1(0) = -ab + ab = 0$.
નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
હવે,તપાસો કે $B, C$ અને $D$ સમરેખ છે કે નહીં:
$\left|\begin{array}{ccc}a & b & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ a^{2} & ab & 1\end{array}\right| = a(0-ab) - b(0-a^{2}) + 1(0) = -a^{2}b + a^{2}b = 0$.
નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,બિંદુઓ $B, C$ અને $D$ સમરેખ છે.
આમ,$A, B, C$ અને $D$ ચારેય બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા છે.

(B) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો છે:
$x-y=7$ ...$(i)$
$x+4y=2$ ...(ii)
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $B(6,-1)$ મળે છે.
ધારો કે રેખા $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $A(2,-7)$ એ $x-y=7$ પર આવેલું છે,તેથી રેખા $AC$ એ $A(2,-7)$ માંથી પસાર થાય છે.
$AB=AC$ હોવાથી,$\triangle ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી $\angle ABC = \angle ACB$. બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
$\left| \frac{m-1}{1+m} \right| = \left| \frac{4m+1}{4-m} \right|$.
આને ઉકેલતા $m=1$ અથવા $m=-23/7$ મળે છે.
$m=1$ માટે,રેખાનું સમીકરણ $y-(-7)=1(x-2) \Rightarrow x-y-9=0$ છે.
$m=-23/7$ માટે,રેખાનું સમીકરણ $y-(-7)=-\frac{23}{7}(x-2) \Rightarrow 23x+7y+3=0$ છે.

(B) બાજુઓની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-7))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
$BC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle ABC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $AC$ ને $AB:BC = 10:5 = 2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $P$ એ $AC$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{2(1) + 1(-1)}{2 + 1}, \frac{2(4) + 1(-7)}{2 + 1} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$
બિંદુ $B(5, 1)$ અને $P(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = \frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} - 5}(x - 5)$
$y - 1 = \frac{1}{7}(x - 5)$
$7y - 7 = x - 5$
$7y = x + 2$

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે. ધારો કે $O$ એ વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ નું છેદબિંદુ છે. $O$ ના યામ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે:
$O = \left(\frac{1-3}{2}, \frac{2-6}{2}\right) = (-1, -2)$.
કારણ કે $O$ એ $BD$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે,તેથી આપણી પાસે છે:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = -1 \implies \alpha+\gamma = -2$
$\frac{\beta+\delta}{2} = -2 \implies \beta+\delta = -4$
આપણે $|\alpha+\beta+\gamma+\delta|$ શોધવાનું છે.
$|\alpha+\beta+\gamma+\delta| = |(\alpha+\gamma) + (\beta+\delta)| = |-2 + (-4)| = |-6| = 6$.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. સમાંતર રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનું અંતર $6 + 3 = 9$ એકમ છે.
ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જે બાજુ $BC$ રેખા $L_2$ સાથે બનાવે છે. $C$ એ $L_2$ પર હોવાથી,$A$ થી $L_2$ નું લંબ અંતર $9$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\sin \theta = \frac{3}{a}$ અને $\sin(60^{\circ} + \theta) = \frac{9}{a}$ મળે.
$\sin(60^{\circ} + \theta) = \sin 60^{\circ} \cos \theta + \cos 60^{\circ} \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{9}{a}$.
$\sin \theta = \frac{3}{a}$ અને $\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{9}{a^2}}$ મૂકતા,$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{9}{a^2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{a} = \frac{9}{a}$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$\sqrt{3} \sqrt{a^2 - 9} = 15 \implies a^2 = 84$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 84 = 21 \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $D(\frac{5}{2}, 7)$,$E(\frac{5}{2}, 3)$ અને $F(4, 5)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. મૂળ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ મેળવવા માટેના સૂત્રો $A = E+F-D$,$B = D+F-E$,અને $C = D+E-F$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = (\frac{5}{2}+4-\frac{5}{2}, 3+5-7) = (4, 1)$
$B = (\frac{5}{2}+4-\frac{5}{2}, 7+5-3) = (4, 9)$
$C = (\frac{5}{2}+\frac{5}{2}-4, 7+3-5) = (1, 5)$
બાજુઓની લંબાઈ $a = BC = \sqrt{(4-1)^2 + (9-5)^2} = 5$,$b = AC = \sqrt{(4-1)^2 + (1-5)^2} = 5$,અને $c = AB = \sqrt{(4-4)^2 + (9-1)^2} = 8$ છે.
અહીં $a=b=5$ હોવાથી,આ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. અંતઃકેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c})$ છે.
$h = \frac{5(4)+5(4)+8(1)}{18} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$.
$k = \frac{5(1)+5(9)+8(5)}{18} = \frac{90}{18} = 5$.
તેથી,$3h + k = 3(\frac{8}{3}) + 5 = 8 + 5 = 13$.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ બિંદુ હોય છે.
ધારો કે $P = (3, 5)$ અને રેખા $QR$ એ $x + y - 4 = 0$ છે.
$P$ માંથી $QR$ પરનો વેધ એ $x + y = 4$ ને લંબ છે. $QR$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $1$ થાય.
$(3, 5)$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - 5 = 1(x - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 2$ થાય.
વેધનો લંબપાદ $F$ એ $x + y = 4$ અને $y = x + 2$ નું છેદબિંદુ છે. $y$ ની કિંમત મૂકતા,$x + (x + 2) = 4$,તેથી $2x = 2$,$x = 1$. તેથી $y = 3$. આમ,$F = (1, 3)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G(\alpha, \beta)$ એ વેધ $PF$ ને શિરોબિંદુ $P$ થી $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G = \left( \frac{2(1) + 1(3)}{2 + 1}, \frac{2(3) + 1(5)}{2 + 1} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{11}{3} \right)$.
આમ,$\alpha = 5/3$ અને $\beta = 11/3$.
તેથી,$9(\alpha + \beta) = 9(5/3 + 11/3) = 9(16/3) = 48$.

(A) આપેલ રેખાઓ $x - \sqrt{3}y = \alpha$ ($y \ge 0$ માટે) અને $x + \sqrt{3}y = \alpha$ ($y < 0$ માટે) છે.
છેદબિંદુ $P$ એ $(\alpha, 0)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે કારણ કે ઢાળ $m_1 = 1/\sqrt{3}$ અને $m_2 = -1/\sqrt{3}$ છે.
$PA = PB = \alpha$ અને ખૂણો $\angle APB = 60^\circ$ હોવાથી,$\triangle PAB$ એ બાજુની લંબાઈ $a = \alpha$ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $PQ = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha$ છે.
$PQ = \frac{9}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha = \frac{9}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 3\sqrt{3}$.
સમબાજુ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$R = \frac{\alpha}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$.
અંતે,$\frac{\alpha^2}{R} = \frac{(3\sqrt{3})^2}{3} = \frac{27}{3} = 9$.