Bisector of angle between two lines Questions in Hindi

(C) माना रेखाएँ $L_1: 2x + 3y + 4 = 0$ और $L_2: 3x - 2y + 4 = 0$ हैं।
बिंदु $(a, b)$ से $L_1$ पर लंब की लंबाई $d_1 = \frac{|2a + 3b + 4|}{\sqrt{13}}$ है।
बिंदु $(a, b)$ से $L_2$ पर लंब की लंबाई $d_2 = \frac{|3a - 2b + 4|}{\sqrt{13}}$ है।
दिया गया है कि $d_1 = d_2$,इसलिए $|2a + 3b + 4| = |3a - 2b + 4|$।
इसका अर्थ है $2a + 3b + 4 = 3a - 2b + 4$ या $2a + 3b + 4 = -(3a - 2b + 4)$।
स्थिति $1$: $2a + 3b + 4 = 3a - 2b + 4 \Rightarrow a - 5b = 0$।
स्थिति $2$: $2a + 3b + 4 = -3a + 2b - 4 \Rightarrow 5a + b + 8 = 0$।
अतः,$(a, b)$ का बिंदु पथ $x - 5y = 0$ या $5x + y + 8 = 0$ है।

(A) समद्विबाहु त्रिभुज की तीसरी भुजा दो समान भुजाओं के कोण समद्विभाजक के लंबवत होती है।
दी गई रेखाएँ $7x-y+3=0$ और $x+y-3=0$ हैं।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{7x-y+3}{\sqrt{50}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{2}}$ है।
इसे हल करने पर $x-3y+9=0$ और $3x+y-3=0$ प्राप्त होता है।
चूँकि तीसरी भुजा इन समद्विभाजकों के लंबवत है,इसका समीकरण $3x+y+k=0$ या $x-3y+k=0$ के रूप में होगा।
बिंदु $(2,-5)$ से गुजरने वाली रेखा के लिए,$x-3y=17$ प्राप्त होता है।

(C) माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है।
चूंकि रेखा $x+y+1=0$ कोण समद्विभाजक है,इसलिए समद्विभाजक और दी गई रेखा $2x+3y-4=0$ के बीच का कोण,समद्विभाजक और अभीष्ट रेखा के बीच के कोण के बराबर होगा।
समद्विभाजक की ढाल $m_1 = -1$ है। दी गई रेखा की ढाल $m_2 = -2/3$ है।
समद्विभाजक और दी गई रेखा के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{-2/3 - (-1)}{1 + (-2/3)(-1)} \right| = \frac{1}{5}$।
अब,अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ लेते हुए,$\tan \theta = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$।
दोनों को बराबर करने पर: $\left| \frac{m+1}{1-m} \right| = \frac{1}{5}$।
हल करने पर $m = -3/2$ प्राप्त होता है।
$x+y+1=0$ और $2x+3y-4=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-7, 6)$ है।
ढाल $m = -3/2$ और बिंदु $(-7, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 6 = -\frac{3}{2}(x + 7) \implies 3x + 2y + 9 = 0$।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 7)$,$B(-5, -1)$ और $C(-1, 2)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण जो $(1, 7)$ और $(-5, -1)$ से गुजरती है:
$y - 7 = \frac{-1 - 7}{-5 - 1}(x - 1)$ $\Rightarrow y - 7 = \frac{-8}{-6}(x - 1)$ $\Rightarrow y - 7 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3y - 21 = 4x - 4 \Rightarrow 4x - 3y + 17 = 0$.
रेखा $BC$ का समीकरण जो $(-5, -1)$ और $(-1, 2)$ से गुजरती है:
$y + 1 = \frac{2 - (-1)}{-1 - (-5)}(x + 5) \Rightarrow y + 1 = \frac{3}{4}(x + 5)$
$4y + 4 = 3x + 15 \Rightarrow 3x - 4y + 11 = 0$.
$\angle ABC$ के कोण समद्विभाजक का समीकरण:
$\frac{4x - 3y + 17}{5} = \pm \frac{3x - 4y + 11}{5}$
स्थिति $1$: $4x - 3y + 17 = 3x - 4y + 11 \Rightarrow x + y + 6 = 0$.
स्थिति $2$: $4x - 3y + 17 = -(3x - 4y + 11)$ $\Rightarrow 4x - 3y + 17 = -3x + 4y - 11$ $\Rightarrow 7x - 7y + 28 = 0$ $\Rightarrow x - y + 4 = 0$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x - y + 4 = 0$ सही समीकरण है।

(D) सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $BC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(\frac{7}{3}-2)^2 + (\frac{4}{3}-(-1))^2} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle ABC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $AC$ को $AB:BC = 3:5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$D = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ प्राप्त होता है।
समद्विभाजक $B(2,-1)$ और $D(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है।
इसका ढाल $m = -3$ है।
रेखा का समीकरण $3x + y = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 3$ और $\beta = 1$ है।
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = 3^2 + 1^2 = 10$।

(D) रेखा $L_1$ का समीकरण $x = -3$ है।
$L_1$ और $L_2$ $(y = x)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-3, -3)$ है।
$L_1$ और $L_3$ $(y = -3x)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(-3, 9)$ है।
$L_2$ $(x - y = 0)$ और $L_3$ $(3x + y = 0)$ के कोण समद्विभाजक $\frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{3x + y}{\sqrt{3^2 + 1^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जो $\frac{x - y}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3x + y}{\sqrt{10}}$ या $\sqrt{5}(x - y) = \pm (3x + y)$ में सरल होते हैं।
स्थिति $1$: $\sqrt{5}x - \sqrt{5}y = 3x + y \implies y = \frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 1}x$.
स्थिति $2$: $\sqrt{5}x - \sqrt{5}y = -3x - y \implies y = \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} - 1}x$.
अधिक कोण समद्विभाजक की जाँच करने पर,$x = -3$ को समद्विभाजक समीकरण में रखने पर बिंदु $C$ प्राप्त होता है। दूरियों $AC$ और $BC$ की गणना करने पर,अनुपात $BC^2 : AC^2 = 3 : 2$ प्राप्त होता है।