$3x - 4y + 7 = 0$ और $12x + 5y - 2 = 0$ रेखाओं के बीच के न्यूनकोण के समद्विभाजक का समीकरण क्या है?

एक $\triangle ABC$ में,मान लीजिए कि $y=x$ कोण $\angle B$ के समद्विभाजक का समीकरण है और भुजा $AC$ का समीकरण $2x-y=2$ है। यदि $2AB=BC$ है और बिंदु $A$ और $B$ क्रमशः $(4,6)$ और $(\alpha, \beta)$ हैं,तो $\alpha+2\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ $L_1: y-x=0$ और $L_2: 2x+y=0$,रेखा $L_3: y+2=0$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $L_1$ और $L_2$ के बीच के कोण का समद्विभाजक रेखाखंड $PQ$ को $R$ पर आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
कथन-$I$: $PR:RQ = 2\sqrt{2}:\sqrt{5}$
कथन-$II$: किसी भी त्रिभुज में,एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को कोण बनाने वाली भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।

रेखाएँ $L_1: y-x=0$ और $L_2: 2x+y=0$ रेखा $L_3: y+2=0$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $L_1$ और $L_2$ के बीच के न्यूनकोण का समद्विभाजक $L_3$ को $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$\text{कथन}-1$ : अनुपात $PR:RQ$,$2\sqrt{2}:\sqrt{5}$ के बराबर है।
$\text{कथन}-2$ : किसी भी त्रिभुज में,कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को कोण बनाने वाली भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।

मान लीजिए $u \equiv ax + by + a \sqrt[3]{b} = 0$ और $v \equiv bx - ay + b \sqrt[3]{a} = 0$ जहाँ $a, b \in R$ दो सीधी रेखाएँ हैं। शून्येतर वास्तविक $k_1$ और $k_2$ के लिए $k_1u - k_2v = 0$ और $k_1u + k_2v = 0$ द्वारा निर्मित कोण के समद्विभाजकों का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $'C'$ उन वृत्तों के केंद्र का बिंदु पथ है जो रेखाओं $x + 2y - 5 = 0$ और $2x - 4y + 7 = 0$ को स्पर्श करते हैं। यदि वक्र $'C'$ द्वारा रेखा $x - y - 5 = 0$ के साथ घिरा हुआ क्षेत्रफल $\frac{P^2}{2Q^2}$ है,जहाँ $P$ और $Q$ सापेक्ष अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $P + Q$ का मान ज्ञात कीजिए।