प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (varianc | vedclass

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Question

(A) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2$ है। प्रथम $n$ प्राकृतिक

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n^2 - 1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2$ है। प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sigma^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - \left( \frac{n(n+1)}{2n} \right)^2$ $\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$ $\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$ $\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n + 2 - 3n - 3]}{12}$ $\sigma^2 = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

	अनुभाग $A$	अनुभाग $B$
छात्रों की संख्या	$50$	$60$
परीक्षा में औसत अंक	$45$	$45$
अंकों के वितरण का प्रसरण	$64$	$81$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (variance) क्या है?

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