प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (varianc | vedclass

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Question

(A) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2$ है। प्रथम $n$ प्राकृतिक

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$\frac{n^2 - 1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2$ है। प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sigma^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - \left( \frac{n(n+1)}{2n} \right)^2$ $\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$ $\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$ $\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n + 2 - 3n - 3]}{12}$ $\sigma^2 = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

वर्ग अंतराल ($C$.$I$.)	$0$ - $6$	$6$ - $12$	$12$ - $18$
बारंबारता (f_i)	$2$	$4$	$6$

$x_i$	$5$	$7$	$9$	$11$
$f_i$	$3$	$2$	$1$	$2$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (variance) क्या है?

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निम्नलिखित डेटा का प्रसरण (variance) ज्ञात कीजिए: $6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24$

निम्नलिखित वितरण का मानक विचलन ज्ञात कीजिए:
वर्ग अंतराल ($C$.$I$.) $0$ - $6$ $6$ - $12$ $12$ - $18$
बारंबारता (f_i) $2$ $4$ $6$

निम्नलिखित डेटा के लिए विचरण गुणांक (Coefficient of variation) ज्ञात कीजिए:
$x_i$ $5$ $7$ $9$ $11$
$f_i$ $3$ $2$ $1$ $2$

यदि विचरण गुणांक और मानक विचलन क्रमशः $ 60 $ और $ 21 $ हैं,तो वितरण का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

यदि प्रत्येक प्रेक्षण $x_1, x_2, \ldots, x_n$ को $k$ से बढ़ाया या घटाया जाता है,जहाँ $k$ एक धनात्मक संख्या है,तो डेटा का प्रसरण:

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