Word Problem - Set Theory Questions in Hindi

(C) अभाज्य गुणनखंडन:
$X = 10^{60} = 2^{60} \times 5^{60} \implies n(X) = 61^2 = 3721$
$Y = 20^{50} = 2^{100} \times 5^{50} \implies n(Y) = 101 \times 51 = 5151$
$Z = 30^{40} = 2^{40} \times 3^{40} \times 5^{40} \implies n(Z) = 41^3 = 68921$
सर्वनिष्ठ (Intersections):
$n(X \cap Y) = 61 \times 51 = 3111$
$n(Y \cap Z) = 41^2 = 1681$
$n(Z \cap X) = 41^2 = 1681$
$n(X \cap Y \cap Z) = 41^2 = 1681$
गणना:
$n(X \cup Y \cup Z) = 3721 + 5151 + 68921 - (3111 + 1681 + 1681) + 1681 = 73001$

(A) $\bigcup_{r=1}^{24} X_r$ में अवयवों की कुल संख्या (पुनरावृत्ति के साथ) $5 \times 24 = 120$ है।
चूंकि $S$ का प्रत्येक अवयव ठीक $10$ $X_r$ में आता है,इसलिए $S$ में भिन्न अवयवों की संख्या $\frac{120}{10} = 12$ है।
इसी प्रकार,$\bigcup_{r=1}^{n} Y_r$ के लिए,अवयवों की कुल संख्या (पुनरावृत्ति के साथ) $4n$ है।
चूंकि $S$ का प्रत्येक अवयव ठीक $6$ $Y_r$ में आता है,इसलिए $S$ में भिन्न अवयवों की संख्या $\frac{4n}{6}$ है।
$S$ में भिन्न अवयवों की संख्या के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$12 = \frac{4n}{6}$
$72 = 4n$
$n = 18$.

(B) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$n(\bar{A} \cap \bar{B}) = n(\overline{A \cup B})$ है।
समुच्चय के पूरक के गुण का उपयोग करते हुए,$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ होता है।
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n(A \cup B) = 100 + 200 - 50 = 250$ प्राप्त होता है।
अतः,$n(\bar{A} \cap \bar{B}) = 600 - 250 = 350$ है।

(C) हमें उस घटना की प्रायिकता ज्ञात करनी है जिसमें $A$ या $B$ में से ठीक एक घटित हो और $C$ घटित न हो। यह वेन आरेख में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है,जो $(A \cup B) \setminus (A \cap B) \setminus C$ है।
दिया गया है $P(A \cup B \cup C) = P(A \cup B) + P(C) - P((A \cup B) \cap C)$.
चूंकि $P(A \cap B \cap C) = 0$,इसलिए $P((A \cup B) \cap C) = P(A \cap C) + P(B \cap C)$ है।
वांछित प्रायिकता $P(A \cup B) - P(A \cap B) - P((A \cup B) \cap C)$ है।
$P(A \cup B) - P((A \cup B) \cap C) = P(A \cup B \cup C) - P(C) = \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{7}{12}$.
अतः,वांछित प्रायिकता = $\frac{7}{12} - P(A \cap B) = \frac{7}{12} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

(D) मान लीजिए $n_x, n_y, n_z$ होटल $x, y, z$ में व्यक्तियों की संख्या है। $n_x + n_y + n_z = 20$ है। हमें ऐसी स्थितियाँ ज्ञात करनी हैं जहाँ $n_x \geq 2, n_y \geq 1, n_z \geq 1$ हो।
कुल तरीके = $3^{20}$ हैं।
पूरक समुच्चय का उपयोग करके,अनुकूल मामलों की संख्या $3^{20} - 13 \cdot 2^{20} + 43$ प्राप्त होती है।
अतः,प्रायिकता $\frac{3^{20} - 13 \cdot 2^{20} + 43}{3^{20}}$ है।

(B) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$x + y = \frac{2\pi}{3}$
$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$
योग से गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
$x+y = \frac{2\pi}{3}$ को समीकरण में रखने पर:
$2 \cos \left(\frac{2\pi/3}{2}\right) \cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
$2 \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
चूंकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$2 \left(\frac{1}{2}\right) \cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
$\cos \frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$
कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है और $\frac{3}{2} > 1$ है,इसलिए $x$ और $y$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।

(B) प्रत्येक अवयव $x \in A$ के लिए,$P$ और $Q$ में इसकी सदस्यता के संबंध में $4$ संभावनाएं हैं: $x \in P \cap Q$,$x \in P \setminus Q$,$x \in Q \setminus P$,या $x \notin P \cup Q$।
हम चाहते हैं कि $(P - Q)$ में ठीक $2$ अवयव हों।
सबसे पहले,हम $n$ में से $2$ अवयवों को चुनते हैं जो $(P - Q)$ में होंगे,जिसे $^nC_2$ तरीकों से किया जा सकता है।
इन $2$ चुने गए अवयवों के लिए,उन्हें $P$ में होना चाहिए लेकिन $Q$ में नहीं,इसलिए प्रत्येक के लिए केवल $1$ तरीका है।
शेष $(n - 2)$ अवयवों के लिए,प्रत्येक अवयव या तो $Q \setminus P$ में,$P \cap Q$ में,या $P \cup Q$ में नहीं हो सकता है। इस प्रकार,शेष $(n - 2)$ अवयवों में से प्रत्येक के लिए $3$ विकल्प हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^nC_2 \times 3^{n-2}$ है।

(C) मान लीजिए $P$ फोन वाले परिवारों का समुच्चय है और $C$ कार वाले परिवारों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$,और $n(P' \cap C') = 65\%$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$.
अतः,कथन $(B)$ सही है।
अब,$n(P \cap C) = 25\% + 15\% - 35\% = 5\%$.
अतः,कथन $(A)$ सही है।
यह दिया गया है कि कुल परिवारों $x$ का $5\%$,$2,000$ है,इसलिए $0.05x = 2,000$.
$x = 40,000$.
अतः,कथन $(C)$ सही है।
इसलिए,सभी कथन $(A), (B)$ और $(C)$ सही हैं।

(D) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(x,0)$,और $B(0,y)$ हैं,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x| |y| = 50$ द्वारा दिया गया है,जिसका अर्थ है $|xy| = 100$ है।
चूंकि $x$ और $y$ गैर-शून्य पूर्णांक हैं,हमें $(x, y)$ के उन जोड़ों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $|x| |y| = 100$ है।
$100 = 2^2 \times 5^2$ के भाजकों की संख्या $(2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ है।
$100$ के प्रत्येक भाजक $d$ के लिए,हमारे पास $|x| = d$ और $|y| = 100/d$ है। चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं,इसलिए प्रत्येक जोड़े $(|x|, |y|)$ के लिए $4$ संभावित चिह्न संयोजन हैं (जैसे $(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)$)।
अतः,त्रिभुजों की कुल संख्या $4 \times 9 = 36$ है।

(D) गुणनफल सम तब होता है जब उपसमुच्चय का कम से कम एक अवयव सम हो।
$S$ के कुल अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^{100} - 1$ है।
केवल विषम अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $S$ में मौजूद विषम संख्याओं के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर है।
$S = \{1, 2, \dots, 100\}$ में $50$ विषम संख्याएँ हैं।
केवल विषम अवयवों वाले अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^{50} - 1$ है।
अतः,सम गुणनफल वाले उपसमुच्चयों की संख्या = (कुल अरिक्त उपसमुच्चय) - (केवल विषम अवयवों वाले अरिक्त उपसमुच्चय)।
$= (2^{100} - 1) - (2^{50} - 1) = 2^{100} - 2^{50}$.

(A) माना $A$ उन छात्रों का समुच्चय है जिन्होंने $NCC$ चुना है और $B$ उन छात्रों का समुच्चय है जिन्होंने $NSS$ चुना है।
दिया गया है: $n(U) = 60$,$n(A) = 40$,$n(B) = 30$,$n(A \cap B) = 20$.
कम से कम एक विषय चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$n(A \cup B) = 40 + 30 - 20 = 50$.
न तो $NCC$ और न ही $NSS$ चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A^c \cap B^c) = n(U) - n(A \cup B) = 60 - 50 = 10$ है।
चुने गए छात्र द्वारा कुछ भी न चुनने की प्रायिकता $\frac{n(A^c \cap B^c)}{n(U)} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ है।

(A) दिया गया है $A = \{ x \in Z : 2^{(x + 2)(x^2 - 5x + 6)} = 1 \}$.
चूंकि $2^0 = 1$,इसलिए $(x + 2)(x^2 - 5x + 6) = 0$.
$(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 0$,अतः $x = -2, 2, 3$.
इस प्रकार,$A = \{-2, 2, 3\}$,इसलिए $n(A) = 3$.
दिया गया है $B = \{ x \in Z : -3 < 2x - 1 < 9 \}$.
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $-2 < 2x < 10$.
$2$ से विभाजित करने पर: $-1 < x < 5$.
चूंकि $x \in Z$,इसलिए $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$,अतः $n(B) = 5$.
$A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A) \times n(B) = 3 \times 5 = 15$ है।
$A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^{n(A \times B)} = 2^{15}$ है।

(C) मान लीजिए कुल जनसंख्या $100$ है।
$n(A) = 25$,$n(B) = 20$,और $n(A \cap B) = 8$.
$A$ पढ़ने वाले लेकिन $B$ न पढ़ने वाले लोगों की संख्या $n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B) = 25 - 8 = 17$.
$B$ पढ़ने वाले लेकिन $A$ न पढ़ने वाले लोगों की संख्या $n(B \setminus A) = n(B) - n(A \cap B) = 20 - 8 = 12$.
$A$ और $B$ दोनों पढ़ने वाले लोगों की संख्या $n(A \cap B) = 8$.
विज्ञापन देखने वाली जनसंख्या का प्रतिशत:
$= (17 \text{ का } 30\%) + (12 \text{ का } 40\%) + (8 \text{ का } 50\%)$
$= (0.30 \times 17) + (0.40 \times 12) + (0.50 \times 8)$
$= 5.1 + 4.8 + 4.0 = 13.9$.

(A) समुच्चय $X$ में $50$ अवयव हैं।
$A = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$,इसलिए $n(A) = \lfloor 50/2 \rfloor = 25$.
$B = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\}$,इसलिए $n(B) = \lfloor 50/7 \rfloor = 7$.
$A \cap B$ में $\text{lcm}(2, 7) = 14$ के गुणज शामिल हैं,जो $\{14, 28, 42\}$ हैं। अतः,$n(A \cap B) = 3$.
$A$ और $B$ दोनों को समाहित करने वाला $X$ का सबसे छोटा उपसमुच्चय $A \cup B$ है।
सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,
$n(A \cup B) = 25 + 7 - 3 = 29$.

(A) माना $H$ हिंदी समाचार पत्र पढ़ने वाले छात्रों का समुच्चय है और $E$ अंग्रेजी समाचार पत्र पढ़ने वाले छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है:
$P(H) = 60 \% = 0.60$
$P(E) = 40 \% = 0.40$
$P(H \cap E) = 20 \% = 0.20$
प्रायिकता कि एक छात्र कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ता है:
$P(H \cup E) = P(H) + P(E) - P(H \cap E)$
$P(H \cup E) = 0.60 + 0.40 - 0.20 = 0.80$
प्रायिकता कि छात्र न तो हिंदी और न ही अंग्रेजी समाचार पत्र पढ़ता है:
$P((H \cup E)') = 1 - P(H \cup E)$
$P((H \cup E)') = 1 - 0.80 = 0.20$
भिन्न में बदलने पर:
$0.20 = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं।
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
घटना '$A$ लेकिन $C$ नहीं' को समुच्चय अंतर $A - C$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$C$ के उन तत्वों को जो $A$ में भी हैं (अर्थात $(2,1), (2,2), (2,3), (4,1)$) को $A$ से घटाने पर:
$A - C = \{(2,4), (2,5), (2,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$

(A) मान लीजिए $E_A$ वह घटना है कि $A$ विफल होता है और $E_B$ वह घटना है कि $B$ विफल होता है।
दिया गया है:
$P(E_A) = 0.2$
$P(E_A \cap E_B) = 0.15$
$A$ के अकेले विफल होने की प्रायिकता,$A$ के विफल होने की प्रायिकता में से $A$ और $B$ दोनों के विफल होने की प्रायिकता को घटाने पर प्राप्त होती है।
$P(A \text{ अकेले विफल होता है}) = P(E_A) - P(E_A \cap E_B)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$P(A \text{ अकेले विफल होता है}) = 0.2 - 0.15$
$P(A \text{ अकेले विफल होता है}) = 0.05$

(A) दिया गया है कि
$n(X \cup Y) = 50, n(X) = 28, n(Y) = 32$
हमें $n(X \cap Y)$ ज्ञात करना है।
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$50 = 28 + 32 - n(X \cap Y)$
$50 = 60 - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y) = 60 - 50 = 10$
अतः,$X \cap Y$ में अवयवों की संख्या $10$ है.

(C) माना $M$ गणित पढ़ाने वाले शिक्षकों का समुच्चय है और $P$ भौतिकी पढ़ाने वाले शिक्षकों का समुच्चय है।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास है:
$n(M \cup P) = 20$
$n(M) = 12$
$n(M \cap P) = 4$
हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
$n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$
मान रखने पर:
$20 = 12 + n(P) - 4$
$20 = 8 + n(P)$
$n(P) = 20 - 8$
$n(P) = 12$
अतः,$12$ शिक्षक भौतिकी पढ़ाते हैं।

(A) माना $X$ उन छात्रों का समुच्चय है जो क्रिकेट खेलना पसंद करते हैं और $Y$ उन छात्रों का समुच्चय है जो फुटबॉल खेलना पसंद करते हैं।
चूंकि प्रत्येक छात्र कम से कम एक खेल खेलना पसंद करता है,इसलिए $n(X \cup Y) = 35$ है।
हमें दिया गया है $n(X) = 24$ और $n(Y) = 16$।
सूत्र $n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$ का उपयोग करने पर:
$35 = 24 + 16 - n(X \cap Y)$
$35 = 40 - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y) = 40 - 35 = 5$।
अतः,$5$ छात्र क्रिकेट और फुटबॉल दोनों खेलना पसंद करते हैं।

(A) मान लीजिए $U$ सर्वेक्षण किए गए सभी छात्रों का समुच्चय है,$A$ सेब का रस लेने वाले छात्रों का समुच्चय है,और $B$ संतरे का रस लेने वाले छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(U) = 400$,$n(A) = 100$,$n(B) = 150$,और $n(A \cap B) = 75$.
हमें उन छात्रों की संख्या ज्ञात करनी है जो न तो सेब का रस ले रहे थे और न ही संतरे का रस,जो $n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(U) - n(A \cup B)$ है।
सबसे पहले,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 100 + 150 - 75 = 175$ की गणना करें।
फिर,$n(A' \cap B') = 400 - 175 = 225$.
अतः,$225$ छात्र न तो सेब का रस ले रहे थे और न ही संतरे का रस।

(A) मान लीजिए $U$ त्वचा विकार से पीड़ित व्यक्तियों का सार्वत्रिक समुच्चय है,$A$ रसायन $C_{1}$ के संपर्क में आने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है और $B$ रसायन $C_{2}$ के संपर्क में आने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है।
यहाँ,$n(U) = 200$,$n(A) = 120$,$n(B) = 50$ और $n(A \cap B) = 30$ है।
हमें उन व्यक्तियों की संख्या ज्ञात करनी है जो रसायन $C_{1}$ के संपर्क में आए हैं लेकिन रसायन $C_{2}$ के संपर्क में नहीं आए हैं,जिसे $n(A - B)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
समुच्चयों के गुणों से,$A = (A - B) \cup (A \cap B)$ होता है।
चूंकि $(A - B)$ और $(A \cap B)$ असंयुक्त समुच्चय हैं,इसलिए:
$n(A) = n(A - B) + n(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$120 = n(A - B) + 30$
$n(A - B) = 120 - 30 = 90$
अतः,रसायन $C_{1}$ के संपर्क में आने वाले लेकिन रसायन $C_{2}$ के संपर्क में न आने वाले व्यक्तियों की संख्या $90$ है।

(A) मान लीजिए $U$ त्वचा विकार से पीड़ित व्यक्तियों का सार्वत्रिक समुच्चय है,$A$ रसायन $C_{1}$ के संपर्क में आने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है और $B$ रसायन $C_{2}$ के संपर्क में आने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है।
यहाँ,$n(U) = 200$,$n(A) = 120$,$n(B) = 50$ और $n(A \cap B) = 30$ है।
हमें उन व्यक्तियों की संख्या ज्ञात करनी है जो रसायन $C_{2}$ के संपर्क में थे लेकिन रसायन $C_{1}$ के संपर्क में नहीं थे,जिसे $n(B - A)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
समुच्चय सिद्धांत के अनुसार,$B = (B - A) \cup (A \cap B)$ होता है।
चूंकि $(B - A)$ और $(A \cap B)$ असंयुक्त समुच्चय हैं,इसलिए:
$n(B) = n(B - A) + n(A \cap B)$
$n(B - A)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$n(B - A) = n(B) - n(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n(B - A) = 50 - 30 = 20$.
अतः,रसायन $C_{2}$ के संपर्क में आने वाले लेकिन रसायन $C_{1}$ के संपर्क में न आने वाले व्यक्तियों की संख्या $20$ है।

(A) मान लीजिए $A$ रसायन $C_{1}$ के संपर्क में आने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है और $B$ रसायन $C_{2}$ के संपर्क में आने वाले व्यक्तियों का समुच्चय है।
दिया गया है:
$n(A) = 120$
$n(B) = 50$
$n(A \cap B) = 30$
हमें रसायन $C_{1}$ या रसायन $C_{2}$ के संपर्क में आने वाले व्यक्तियों की संख्या ज्ञात करनी है,जो $n(A \cup B)$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 120 + 50 - 30$
$n(A \cup B) = 140$
अतः,रसायन $C_{1}$ या रसायन $C_{2}$ के संपर्क में आने वाले व्यक्तियों की संख्या $140$ है।

(A) यह दिया गया है कि:
$n(X) = 17, n(Y) = 23, n(X \cup Y) = 38$
हम जानते हैं कि:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
सूत्र में मान रखने पर:
$38 = 17 + 23 - n(X \cap Y)$
$38 = 40 - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y) = 40 - 38$
$n(X \cap Y) = 2$

(A) माना कि $H$ हिंदी बोलने वाले लोगों का समुच्चय है और $E$ अंग्रेजी बोलने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है:
$n(H \cup E) = 400$
$n(H) = 250$
$n(E) = 200$
हमें $n(H \cap E)$ ज्ञात करना है।
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(H \cup E) = n(H) + n(E) - n(H \cap E)$
मान रखने पर:
$400 = 250 + 200 - n(H \cap E)$
$400 = 450 - n(H \cap E)$
$n(H \cap E) = 450 - 400$
$n(H \cap E) = 50$
अतः,$50$ लोग हिंदी और अंग्रेजी दोनों बोल सकते हैं।

(A) यह दिया गया है कि:
$n(S) = 21, n(T) = 32, n(S \cap T) = 11$
हम जानते हैं कि:
$n(S \cup T) = n(S) + n(T) - n(S \cap T)$
मान रखने पर:
$n(S \cup T) = 21 + 32 - 11$
$n(S \cup T) = 53 - 11$
$n(S \cup T) = 42$
अतः,समुच्चय $S \cup T$ में $42$ अवयव हैं।

(B) दिया गया है:
$n(X) = 40$,$n(X \cup Y) = 60$,$n(X \cap Y) = 10$
हम जानते हैं कि:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
मान रखने पर:
$60 = 40 + n(Y) - 10$
$60 = 30 + n(Y)$
$n(Y) = 60 - 30 = 30$
अतः,समुच्चय $Y$ में $30$ अवयव हैं.

(C) मान लीजिए $C$ उन लोगों का समूह है जो कॉफी पसंद करते हैं और $T$ उन लोगों का समूह है जो चाय पसंद करते हैं।
दिया गया है:
$n(C \cup T) = 70$
$n(C) = 37$
$n(T) = 52$
हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
$n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$
मान रखने पर:
$70 = 37 + 52 - n(C \cap T)$
$70 = 89 - n(C \cap T)$
$n(C \cap T) = 89 - 70 = 19$
अतः,$19$ लोग कॉफी और चाय दोनों पसंद करते हैं।

(A) माना $C$ क्रिकेट पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है और $T$ टेनिस पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(C \cup T) = 65$,$n(C) = 40$,और $n(C \cap T) = 10$.
सूत्र $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$ का उपयोग करने पर:
$65 = 40 + n(T) - 10$
$65 = 30 + n(T)$
$n(T) = 65 - 30 = 35$.
अतः,टेनिस पसंद करने वाले लोगों की कुल संख्या $35$ है।
केवल टेनिस (क्रिकेट नहीं) पसंद करने वाले लोगों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $n(T - C)$ की गणना करते हैं:
$n(T - C) = n(T) - n(C \cap T)$
$n(T - C) = 35 - 10 = 25$.
इस प्रकार,$25$ लोग केवल टेनिस पसंद करते हैं और $35$ लोग कुल टेनिस पसंद करते हैं।

(A) मान लीजिए $F$ फ्रेंच बोलने वाले लोगों का समूह है और $S$ स्पेनिश बोलने वाले लोगों का समूह है।
दिया गया है:
$n(F) = 50$
$n(S) = 20$
$n(S \cap F) = 10$
हमें उन लोगों की संख्या ज्ञात करनी है जो इन दो भाषाओं में से कम से कम एक भाषा बोलते हैं,जो $n(S \cup F)$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(S \cup F) = n(S) + n(F) - n(S \cap F)$
मान रखने पर:
$n(S \cup F) = 20 + 50 - 10$
$n(S \cup F) = 70 - 10 = 60$
अतः,$60$ लोग इन दो भाषाओं में से कम से कम एक भाषा बोलते हैं।

(A) माना $U$ सर्वेक्षण किए गए उपभोक्ताओं का समूह है,$S$ उत्पाद $A$ पसंद करने वाले उपभोक्ताओं का समूह है,और $T$ उत्पाद $B$ पसंद करने वाले उपभोक्ताओं का समूह है।
दिया गया है कि $n(U) = 1000$,$n(S) = 720$,और $n(T) = 450.$
हम जानते हैं कि दो समुच्चयों के संघ का सूत्र $n(S \cup T) = n(S) + n(T) - n(S \cap T)$ है।
मान रखने पर,$n(S \cup T) = 720 + 450 - n(S \cap T) = 1170 - n(S \cap T).$
चूंकि $S \cup T$,$U$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए $n(S \cup T)$ का अधिकतम मान $n(U) = 1000$ है।
अतः,$1000 \geq 1170 - n(S \cap T).$
असमानता को व्यवस्थित करने पर,हमें $n(S \cap T) \geq 1170 - 1000 = 170$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दोनों उत्पादों को पसंद करने वाले उपभोक्ताओं की न्यूनतम संख्या $170$ है।

(B) मान लीजिए $U$ जांचे गए कार मालिकों का समुच्चय है,$A$ कार $A$ के मालिकों का समुच्चय है और $B$ कार $B$ के मालिकों का समुच्चय है।
दिया गया है कि $n(U) = 500$,$n(A) = 400$,$n(B) = 200$ और $n(A \cap B) = 50$ है।
दो समुच्चयों के संघ (union) के सूत्र का उपयोग करने पर:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 400 + 200 - 50 = 550$
चूंकि $A \cup B$,$U$ का उपसमुच्चय होना चाहिए,इसलिए $n(A \cup B) \leq n(U)$ होना चाहिए।
यहाँ,$550 \leq 500$ असत्य है।
अतः,दिया गया डेटा गलत है।

(B) मान लीजिए $F, B$ और $C$ फुटबॉल,बास्केटबॉल और क्रिकेट में पदक प्राप्त करने वाले पुरुषों के समुच्चय हैं।
दिया गया है:
$n(F) = 38, n(B) = 15, n(C) = 20$
$n(F \cup B \cup C) = 58$
$n(F \cap B \cap C) = 3$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(F \cup B \cup C) = n(F) + n(B) + n(C) - [n(F \cap B) + n(F \cap C) + n(B \cap C)] + n(F \cap B \cap C)$
मान रखने पर:
$58 = 38 + 15 + 20 - [n(F \cap B) + n(F \cap C) + n(B \cap C)] + 3$
$58 = 76 - [n(F \cap B) + n(F \cap C) + n(B \cap C)]$
$n(F \cap B) + n(F \cap C) + n(B \cap C) = 18$
मान लीजिए $a, b, c$ ठीक दो खेलों में पदक प्राप्त करने वाले पुरुषों की संख्या है और $d$ तीनों खेलों में पदक प्राप्त करने वाले पुरुषों की संख्या है।
$a + b + c + 3d = 18$
चूंकि $d = 3$ है:
$a + b + c + 3(3) = 18$
$a + b + c = 9$
अतः,$9$ पुरुषों को ठीक दो खेलों में पदक मिले।

(A) माना $U$ सर्वेक्षण में भाग लेने वाले सभी छात्रों का समुच्चय है।
माना $T$ चाय लेने वाले छात्रों का समुच्चय है।
माना $C$ कॉफी लेने वाले छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(U) = 600, n(T) = 150, n(C) = 225, n(T \cap C) = 100$.
हमें उन छात्रों की संख्या ज्ञात करनी है जो न तो चाय और न ही कॉफी ले रहे हैं,अर्थात $n(T' \cap C')$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$n(T' \cap C') = n(T \cup C)' = n(U) - n(T \cup C)$.
सबसे पहले,$n(T \cup C) = n(T) + n(C) - n(T \cap C) = 150 + 225 - 100 = 275$.
अब,$n(T' \cap C') = 600 - 275 = 325$.
अतः,$325$ छात्र न तो चाय और न ही कॉफी ले रहे थे।

(A) माना $H$ हिंदी जानने वाले छात्रों का समुच्चय है और $E$ अंग्रेजी जानने वाले छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है:
$n(H) = 100$
$n(E) = 50$
$n(H \cap E) = 25$
चूंकि प्रत्येक छात्र कम से कम एक भाषा जानता है,इसलिए छात्रों की कुल संख्या $n(H \cup E)$ है।
सूत्र $n(H \cup E) = n(H) + n(E) - n(H \cap E)$ का उपयोग करने पर:
$n(H \cup E) = 100 + 50 - 25$
$n(H \cup E) = 125$
अतः,समूह में कुल $125$ छात्र हैं.

(A) मान लीजिए कि $H, T,$ और $I$ उन लोगों के समुच्चय हैं जो क्रमशः समाचार पत्र $H, T,$ और $I$ पढ़ते हैं।
दिया गया है:
$n(H) = 25, n(T) = 26, n(I) = 26$
$n(H \cap I) = 9, n(H \cap T) = 11, n(T \cap I) = 8$
$n(H \cap T \cap I) = 3$
हमें उन लोगों की संख्या ज्ञात करनी है जो कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ते हैं,जो $n(H \cup T \cup I)$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(H \cup T \cup I) = n(H) + n(T) + n(I) - n(H \cap T) - n(T \cap I) - n(H \cap I) + n(H \cap T \cap I)$
$n(H \cup T \cup I) = 25 + 26 + 26 - 11 - 8 - 9 + 3$
$n(H \cup T \cup I) = 77 - 28 + 3$
$n(H \cup T \cup I) = 52$
अतः,$52$ लोग कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ते हैं।

(A) माना $n(H)=25, n(T)=26, n(I)=26$.
दिए गए सर्वनिष्ठ: $n(H \cap I)=9, n(H \cap T)=11, n(T \cap I)=8, n(H \cap T \cap I)=3$.
माना $x, y, z$ क्रमशः केवल $H, T, I$ पढ़ने वाले लोगों की संख्या है।
केवल दो समाचार पत्र पढ़ने वाले लोगों की संख्या:
केवल $H$ और $T = n(H \cap T) - n(H \cap T \cap I) = 11 - 3 = 8$.
केवल $H$ और $I = n(H \cap I) - n(H \cap T \cap I) = 9 - 3 = 6$.
केवल $T$ और $I = n(T \cap I) - n(H \cap T \cap I) = 8 - 3 = 5$.
केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वाले लोगों की संख्या:
केवल $H = n(H) - (8 + 6 + 3) = 25 - 17 = 8$.
केवल $T = n(T) - (8 + 5 + 3) = 26 - 16 = 10$.
केवल $I = n(I) - (6 + 5 + 3) = 26 - 14 = 12$.
केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वाले लोगों की कुल संख्या $= 8 + 10 + 12 = 30$.

(B) मान लीजिए $A, B$ और $C$ उन लोगों के समुच्चय हैं जो क्रमशः उत्पाद $A$,उत्पाद $B$ और उत्पाद $C$ पसंद करते हैं।
दिया गया है:
$n(A) = 21, n(B) = 26, n(C) = 29$
$n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 12, n(B \cap C) = 14$
$n(A \cap B \cap C) = 8$
केवल उत्पाद $C$ पसंद करने वाले लोगों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
$n(C \text{ only}) = n(C) - [n(A \cap C) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C)]$
$n(C \text{ only}) = 29 - [12 + 14 - 8]$
$n(C \text{ only}) = 29 - [26 - 8]$
$n(C \text{ only}) = 29 - 18 = 11$
अतः,$11$ लोग केवल उत्पाद $C$ पसंद करते हैं।

(B) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम हैं।
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी होती हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त हो,अर्थात $A \cap C = \phi$।
हम देखते हैं कि $A \cap C = \{(2,1), (2,2), (2,3), (4,1)\}$ है।
चूँकि $A \cap C \neq \phi$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $C$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चयनित छात्र ने $NCC$ चुना है और $B$ वह घटना है जिसमें चयनित छात्र ने $NSS$ चुना है।
कुल छात्रों की संख्या $n(S) = 60$ है।
$NCC$ चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A) = 30$ है।
$NSS$ चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(B) = 32$ है।
$NCC$ और $NSS$ दोनों को चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A \cap B) = 24$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि छात्र ने $NCC$ या $NSS$ चुना है,जो $P(A \cup B)$ है।
सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$n(A \cup B) = 30 + 32 - 24 = 38$ है।
अतः,$P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}$ है।

(A) माना $A$ वह घटना है जिसमें चयनित छात्र ने $NCC$ चुना है और $B$ वह घटना है जिसमें चयनित छात्र ने $NSS$ चुना है।
कुल छात्रों की संख्या $n(S) = 60$ है।
$NCC$ चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A) = 30$ है।
$NSS$ चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(B) = 32$ है।
दोनों को चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A \cap B) = 24$ है।
$NCC$ या $NSS$ चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 30 + 32 - 24 = 38$ है।
न तो $NCC$ और न ही $NSS$ चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A' \cap B') = n(S) - n(A \cup B) = 60 - 38 = 22$ है।
छात्र द्वारा न तो $NCC$ और न ही $NSS$ चुनने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = \frac{n(A' \cap B')}{n(S)} = \frac{22}{60} = \frac{11}{30}$ है।

(D) मान लीजिए $n(T)$ समुच्चय $T$ में अवयवों की संख्या है।
दिया गया है कि $\bigcup_{i=1}^{50} X_{i} = T$ और प्रत्येक $X_{i}$ में $10$ अवयव हैं,इसलिए सभी $X_{i}$ के अवयवों का योग $50 \times 10 = 500$ है।
चूंकि $T$ का प्रत्येक अवयव ठीक $20$ समुच्चयों $X_{i}$ में है,इसलिए $20 \times n(T) = 500$,जिससे $n(T) = \frac{500}{20} = 25$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,समुच्चयों $Y_{i}$ के लिए,$\bigcup_{i=1}^{n} Y_{i} = T$ और प्रत्येक $Y_{i}$ में $5$ अवयव हैं,इसलिए सभी $Y_{i}$ के अवयवों का योग $n \times 5 = 5n$ है।
चूंकि $T$ का प्रत्येक अवयव ठीक $6$ समुच्चयों $Y_{i}$ में है,इसलिए $6 \times n(T) = 5n$।
$n(T) = 25$ रखने पर,हमें $6 \times 25 = 5n$ प्राप्त होता है,जो $150 = 5n$ में सरल हो जाता है,अतः $n = 30$।

(D) माना $n(A) = 63$ और $n(B) = 76$ क्रमशः समाचार पत्र $A$ और $B$ पढ़ने वाले लोगों का प्रतिशत दर्शाते हैं।
समुच्चय सिद्धांत के अनुसार,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 63 + 76 - x = 139 - x$.
हम जानते हैं कि कुल प्रतिशत $100$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $n(A \cup B) \leq 100$.
साथ ही,चूंकि $B \subseteq (A \cup B)$,इसलिए $n(A \cup B) \geq n(B)$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $n(A \cup B) \geq 76$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $76 \leq 139 - x \leq 100$ प्राप्त होता है।
सभी भागों से $139$ घटाने पर: $76 - 139 \leq -x \leq 100 - 139$,जो $-63 \leq -x \leq -39$ देता है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $39 \leq x \leq 63$.
दिए गए विकल्पों में से,केवल $39$ ही $[39, 63]$ की सीमा में आता है।

(D) मान लीजिए $C$ कॉफी पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है और $T$ चाय पसंद करने वाले लोगों का समुच्चय है।
दिया गया है $n(C) = 73$ और $n(T) = 65$।
मान लीजिए $x = n(C \cap T)$ उन लोगों का प्रतिशत है जो दोनों पसंद करते हैं।
हम जानते हैं कि $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T) = 73 + 65 - x = 138 - x$।
चूंकि $n(C \cup T) \leq 100$,इसलिए $138 - x \leq 100$,जिसका अर्थ है $x \geq 38$।
साथ ही,केवल कॉफी पसंद करने वाले लोगों की संख्या $n(C) - x = 73 - x \geq 0$ है,इसलिए $x \leq 73$।
और केवल चाय पसंद करने वाले लोगों की संख्या $n(T) - x = 65 - x \geq 0$ है,इसलिए $x \leq 65$।
इन सबको मिलाने पर,हमें $38 \leq x \leq 65$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x$ को $[38, 65]$ की सीमा में होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$36$ सीमा $[38, 65]$ में नहीं है।
इसलिए,$x$ का मान $36$ नहीं हो सकता है।

(C) दिया गया है $P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(C)=0.5, P(A \cup B)=0.8, P(A \cap C)=0.3, P(A \cap B \cap C)=0.2$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,$0.8 = 0.6 + 0.4 - P(A \cap B)$,अतः $P(A \cap B) = 0.2$.
सूत्र $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = 0.6 + 0.4 + 0.5 - 0.2 - \beta - 0.3 + 0.2 = 1.2 - \beta$.
दिया गया है $0.85 \leq \alpha \leq 0.95$,इसलिए $0.85 \leq 1.2 - \beta \leq 0.95$.
सभी पदों से $1.2$ घटाने पर: $-0.35 \leq -\beta \leq -0.25$.
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाएगी: $0.25 \leq \beta \leq 0.35$.
अतः,$\beta \in [0.25, 0.35]$.

(D) समुच्चय $A$ में सभी $3$-अंकीय संख्याएँ हैं,अर्थात $A = \{100, 101, \dots, 999\}$।
$B = \{9k + 2 : k \in N\} \cap A = \{101, 110, \dots, 992\}$। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 101$,$d = 9$,और $l_n = 992$ है। पदों की संख्या $n_B = 100$ है।
योग $S(B) = \frac{100}{2}(101 + 992) = 50 \times 1093 = 54650$।
इसी प्रकार,$C = \{9k + l : k \in N\} \cap A$। $3$-अंकीय संख्याओं के लिए,$k$ का मान $11$ से $110$ तक है।
योग $S(C) = \sum_{k=11}^{110} (9k + l) = 9 \times \frac{100}{2}(11 + 110) + 100l = 54450 + 100l$।
दिया गया है कि $S(B \cup C) = S(B) + S(C) - S(B \cap C) = 109600$।
यदि $l \neq 2$ है,तो $B \cap C = \phi$,इसलिए $S(B \cup C) = 54650 + 54450 + 100l = 109100 + 100l = 109600$।
$100l = 500 \Rightarrow l = 5$।

(A) माना $A$ हृदय रोग वाले रोगियों का समुच्चय है और $B$ फेफड़ों के संक्रमण वाले रोगियों का समुच्चय है।
दिया गया है कि $n(A) = 89\%$ और $n(B) = 98\%$.
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
चूंकि $n(A \cup B) \leq 100\%$,इसलिए $89 + 98 - n(A \cap B) \leq 100$.
$187 - n(A \cap B) \leq 100 \implies n(A \cap B) \geq 87$.
साथ ही,$n(A \cap B)$ दोनों समुच्चयों में से छोटे से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $n(A \cap B) \leq 89$.
अतः,$87 \leq K \leq 89$.
इसलिए,$K$ को $[87, 89]$ अंतराल में होना चाहिए।
विकल्पों की जांच करने पर,समुच्चय $\{79, 81, 83, 85\}$ में ऐसे मान हैं जो $[87, 89]$ अंतराल में नहीं हैं।

(A) प्रत्येक समुच्चय के लिए हल करें:
$A = (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
$B = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$
$C = (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$
सर्वनिष्ठ $A \cap B \cap C = (-\infty, -2) \cup [6, \infty)$
पूरक समुच्चय $(A \cap B \cap C)^c = [-2, 6)$
पूर्णांकों के साथ सर्वनिष्ठ $\mathbb{Z} \cap [-2, 6) = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
अवयवों की संख्या $8$ है।
अतः,उपसमुच्चयों की संख्या $= 2^8 = 256$.

(C) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9\}$ है। अवयवों को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर वर्गीकृत करते हैं:
$P = \{3, 6, 9\}$ (शेषफल $0$,संख्या $3$)
$Q = \{2, 5\}$ (शेषफल $2$,संख्या $2$)
$R = \{1, 4\}$ (शेषफल $1$,संख्या $2$)
कुल उपसमुच्चय $2^7 = 128$ हैं।
गणना करने पर,$3$ से विभाज्य योग वाले उपसमुच्चयों की संख्या $44$ है (रिक्त समुच्चय सहित)।
रिक्त समुच्चय को घटाने पर,$44 - 1 = 43$।
कुल उपसमुच्चय $127$ हैं।
$3$ से अविभाज्य योग वाले उपसमुच्चय $= 127 - 43 = 84$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $80$ है।