Word Problem - Set Theory Questions in Hindi

(C) माना $S$ सभी $4$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है। कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $9000$ हैं।
माना $A$,$3$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है। सबसे छोटी संख्या $1002$ और सबसे बड़ी $9999$ है। सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$9999 = 1002 + (n-1)3$,जिससे $n = 3000$ प्राप्त होता है।
माना $B$,$7$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है। सबसे छोटी संख्या $1001$ और सबसे बड़ी $9996$ है। $9996 = 1001 + (n-1)7$ का उपयोग करने पर,$n = 1286$ प्राप्त होता है।
माना $A \cap B$,$3$ और $7$ दोनों से विभाज्य (अर्थात $21$ से विभाज्य) $4$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है। सबसे छोटी संख्या $1008$ और सबसे बड़ी $9996$ है। $9996 = 1008 + (n-1)21$ का उपयोग करने पर,$n = 429$ प्राप्त होता है।
$3$ या $7$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 3000 + 1286 - 429 = 3857$ है।
$4$-अंकीय ऐसी संख्याएँ जो न तो $3$ का गुणज हैं और न ही $7$ का,उनकी संख्या $9000 - 3857 = 5143$ है।

(A) दी गई असमिका: $11^{n} > 10^{n} + 9^{n}$
$10^{n}$ से भाग देने पर: $(1.1)^{n} > 1 + (0.9)^{n}$
$n=1$ के लिए: $1.1 > 1 + 0.9 = 1.9$ (असत्य)
$n=2$ के लिए: $1.21 > 1 + 0.81 = 1.81$ (असत्य)
$n=3$ के लिए: $1.331 > 1 + 0.729 = 1.729$ (असत्य)
$n=4$ के लिए: $1.4641 > 1 + 0.6561 = 1.6561$ (असत्य)
$n=5$ के लिए: $1.61051 > 1 + 0.59049 = 1.59049$ (सत्य)
$n \ge 5$ के लिए,फलन $f(n) = (1.1)^{n} - (0.9)^{n}$ निरंतर वर्धमान है।
चूंकि $f(5) > 1$,असमिका सभी $n \in \{5, 6, 7, \ldots, 100\}$ के लिए सत्य है।
ऐसे अवयवों की संख्या $100 - 5 + 1 = 96$ है।

(A) $2040$ का अभाज्य गुणनखंडन $2040 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 17$ है।
$n$ और $2040$ का $H.C.F. 1$ होने के लिए,$n$ को $2, 3, 5,$ या $17$ का गुणज नहीं होना चाहिए।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करके गणना करने पर,$1$ से $100$ के बीच ऐसी संख्याओं का योग $1251$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,समुच्चय $A$ ज्ञात करें: $n^{2} - n \leq 10,000$। $n(n-1) \leq 10,000$ को हल करने पर,हमें $n \approx 100.5$ प्राप्त होता है,इसलिए $A = \{1, 2, \ldots, 100\}$ है।
अगला,$B - C$ ज्ञात करें: $B$ में $3k+1$ के रूप की संख्याएँ हैं (जैसे $4, 7, 10, 13, 16, 19, \ldots$)। $C$ में सम संख्याएँ हैं। अतः,$B - C$ में $3k+1$ के रूप की विषम संख्याएँ हैं,जो $7, 13, 19, \ldots$ हैं।
$B - C$ का सामान्य पद $m \geq 1$ के लिए $6m + 1$ है।
हमें $A \cap (B - C) = \{n \in \{1, \ldots, 100\} \mid n = 6m + 1\}$ चाहिए।
$m=1$ के लिए,$n=7$; $m=16$ के लिए,$n=97$ है। पदों की संख्या $16$ है।
योग एक समांतर श्रेणी है: $S = \frac{16}{2}(7 + 97) = 8 \times 104 = 832$।

(B) हमें उन सभी $\alpha \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ का योग ज्ञात करना है जिनके लिए $\operatorname{HCF}(\alpha, 24) = 1$ है।
चूंकि $24 = 2^3 \times 3$,$\operatorname{HCF}(\alpha, 24) = 1$ का अर्थ है कि $\alpha$,$2$ और $3$ से विभाज्य नहीं है।
$1$ से $100$ तक की सभी संख्याओं का योग: $S(100) = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$.
$2$ के गुणजों का योग: $2550$.
$3$ के गुणजों का योग: $1683$.
$6$ के गुणजों का योग: $816$.
अभीष्ट योग $= 5050 - (2550 + 1683 - 816) = 5050 - 3417 = 1633$.

(B) सबसे पहले,समुच्चय $A$ के लिए हल करें: $|x + 1| < 2 \implies -2 < x + 1 < 2 \implies -3 < x < 1$. अतः,$A = (-3, 1)$.
इसके बाद,समुच्चय $B$ के लिए हल करें: $|x - 1| \geq 2 \implies x - 1 \leq -2$ या $x - 1 \geq 2 \implies x \leq -1$ या $x \geq 3$. अतः,$B = (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$A - B = (-3, 1) - ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-1, 1)$. यह सत्य है।
$B - A = ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) - (-3, 1) = (-\infty, -3] \cup [3, \infty) = R - (-3, 3)$. कथन $B - A = R - (-3, 1)$ असत्य है।
$A \cap B = (-3, 1) \cap ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-3, -1]$. यह सत्य है।
$A \cup B = (-3, 1) \cup (-\infty, -1] \cup [3, \infty) = (-\infty, 1) \cup [3, \infty) = R - [1, 3)$. यह सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह विकल्प $B$ है।

(A) समुच्चय $B$ में $2$ से $200$ तक की सम संख्याएँ हैं। समुच्चय $A$ में ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $H.C.F.(n, 45) = 1$ है। चूँकि $45 = 3^2 \times 5$ है,$H.C.F.(n, 45) = 1$ का अर्थ है कि $n$,$3$ और $5$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,$A \cap B$ में $[2, 200]$ की वे सम संख्याएँ हैं जो $3$ और $5$ से विभाज्य नहीं हैं।
मान लीजिए $S$,$2$ से $200$ तक की सभी सम संख्याओं का योग है: $S = 2(1 + 2 + \ldots + 100) = 10100$.
मान लीजिए $S_3$,$3$ से विभाज्य सम संख्याओं का योग है (अर्थात $6$ के गुणज): $6 + 12 + \ldots + 198 = 3366$.
मान लीजिए $S_5$,$5$ से विभाज्य सम संख्याओं का योग है (अर्थात $10$ के गुणज): $10 + 20 + \ldots + 200 = 2100$.
मान लीजिए $S_{15}$,$3$ और $5$ दोनों से विभाज्य सम संख्याओं का योग है (अर्थात $30$ के गुणज): $30 + 60 + 90 + 120 + 150 + 180 = 630$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,$A \cap B$ के तत्वों का योग $S - (S_3 + S_5 - S_{15}) = 10100 - (3366 + 2100 - 630) = 5264$ है।

(A) के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^7 = 128$ है।
हमें $n(B \cup C) = n(A) - n(B^c \cap C^c)$ ज्ञात करना है।
$B^c = \{T \subseteq A : 1 \in T \text{ और } 2 \notin T\}$।
$C^c = \{T \subseteq A : T \text{ के अवयवों का योग अभाज्य संख्या नहीं है (0 सहित)}\}$।
$B^c$ के लिए,$T = \{1\} \cup S$,जहाँ $S \subseteq \{3, 4, 5, 6, 7\}$ है।
$T$ के अवयवों का योग $1 + \text{sum}(S)$ है।
हमें $1 + \text{sum}(S)$ के अभाज्य न होने की स्थिति ज्ञात करनी है।
गणना करने पर,$n(B^c \cap C^c) = 21$ प्राप्त होता है।
अतः,$n(B \cup C) = 128 - 21 = 107$।

(B) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ और $B = \{3, 6, 7, 9\}$।
$A$ के उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^{|A|} = 2^7 = 128$ है।
हमें उन उपसमुच्चयों $C \subseteq A$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $C \cap B \neq \phi$ है।
यह $A$ के कुल उपसमुच्चयों में से उन उपसमुच्चयों $C \subseteq A$ को घटाने पर प्राप्त होता है जिनके लिए $C \cap B = \phi$ है।
$C \cap B = \phi$ का अर्थ है कि $C$ को $A \setminus B$ का उपसमुच्चय होना चाहिए।
$A \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{3, 6, 7, 9\} = \{1, 2, 4, 5\}$।
ऐसे उपसमुच्चयों $C$ की संख्या $2^{|A \setminus B|} = 2^4 = 16$ है।
अतः,उन उपसमुच्चयों $C \subseteq A$ की संख्या जिनके लिए $C \cap B \neq \phi$ है,$128 - 16 = 112$ है।

(D) मान लीजिए कि कुल उम्मीदवारों की संख्या $100$ है।
दिया गया है कि $60 \%$ महिलाएं और $40 \%$ पुरुष हैं,इसलिए $60$ महिलाएं और $40$ पुरुष हैं।
परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले कुल उम्मीदवार $= 100$ का $60 \% = 60$ हैं।
मान लीजिए कि परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले पुरुषों की संख्या $x$ है।
तो परीक्षा उत्तीर्ण करने वाली महिलाओं की संख्या $2x$ है।
चूंकि कुल उत्तीर्ण उम्मीदवार $60$ हैं,इसलिए $x + 2x = 60$,जिससे $3x = 60$ प्राप्त होता है,अतः $x = 20$ है।
इस प्रकार,उत्तीर्ण होने वाले पुरुषों की संख्या $20$ है और उत्तीर्ण होने वाली महिलाओं की संख्या $2 \times 20 = 40$ है।
$60$ उत्तीर्ण उम्मीदवारों में से एक उम्मीदवार को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है।
चुने गए उम्मीदवार के महिला होने की प्रायिकता $= \frac{\text{उत्तीर्ण महिलाओं की संख्या}}{\text{कुल उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या}} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.

(D) $S$ में कुल अवयवों की संख्या $2022$ है।
$2022$ का अभाज्य गुणनखंड $2 \times 3 \times 337$ है।
हमें ऐसे $n \in S$ खोजने हैं जिनके लिए $\operatorname{HCF}(n, 2022) = 1$ हो।
इसका अर्थ है कि हमें ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो $2, 3,$ या $337$ से विभाज्य न हों।
गणना के अनुसार,$2, 3,$ या $337$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $1350$ हैं।
अनुकूल परिणाम $= 2022 - 1350 = 672$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{672}{2022} = \frac{112}{337}$.

(C) दिया गया है $S = \{4, 6, 9\}$ और $T = \{9, 10, 11, \ldots, 1000\}$।
समुच्चय $A$,$S$ के तत्वों के सभी संभावित योगों का समुच्चय है। यह उन सभी पूर्णांकों $n$ को खोजने के बराबर है जिन्हें $n = 4x + 6y + 9z$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $x, y, z \in \{0, 1, 2, \ldots\}$ और $x+y+z \geq 1$ है।
हम $T$ के तत्वों की जाँच करते हैं:
$9 = 9$ ($A$ में है)
$10 = 4 + 6$ ($A$ में है)
$11$: यदि $11 = 4x + 6y + 9z$ है,तो $z=0$ के लिए $4x+6y=11$ (संभव नहीं) और $z=1$ के लिए $4x+6y=2$ (संभव नहीं)। अतः,$11 \notin A$ है।
$12 = 4 + 4 + 4$ ($A$ में है)।
$12$ से बड़ी सभी संख्याएँ $A$ में हैं। अतः,$T - A = \{11\}$ है।
इस प्रकार,$T - A$ के तत्वों का योग $11$ है।

(A) $26$ अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले चार अक्षरों वाले कुल शब्दों की संख्या $26^4 = 456976$ है।
केवल $V$ (स्वर) के अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए चार अक्षरों वाले शब्दों की संख्या $5^4 = 625$ है।
केवल $C$ (व्यंजन) के अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए चार अक्षरों वाले शब्दों की संख्या $21^4 = 194481$ है।
कम से कम एक स्वर और कम से कम एक व्यंजन वाले शब्दों की संख्या कुल शब्दों में से केवल स्वरों वाले शब्दों और केवल व्यंजनों वाले शब्दों को घटाकर प्राप्त की जाती है।
शब्दों की संख्या $= 26^4 - 5^4 - 21^4$
$= 456976 - 625 - 194481$
$= 261870$.

(B) हमें $S = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leq x, y \leq 18\}$ दिया गया है।
हमें $(x, y) \in S$ के ऐसे युग्मों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $3x + 4y + 5 \equiv 0 \pmod{19}$ हो।
यह $3x + 4y \equiv 14 \pmod{19}$ के बराबर है।
प्रत्येक $x \in \{0, 1, \dots, 18\}$ के लिए,$4y \equiv 14 - 3x \pmod{19}$ होता है।
चूंकि $\gcd(4, 19) = 1$,प्रत्येक $x$ के लिए $y$ का एक अद्वितीय मान प्राप्त होता है।
$4$ का $19$ के सापेक्ष प्रतिलोम $5$ है,इसलिए $y \equiv 5(14 - 3x) \equiv 13 + 4x \pmod{19}$।
$x$ के $19$ संभावित मानों के लिए,$y$ के भी $19$ संभावित मान प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल $19$ युग्म संभव हैं।

(D) मान लीजिए $n = 5$ है। प्रत्येक तत्व $x \in X$ के लिए चार संभावनाएं हैं। कुल युग्म $4^5 = 1024$ हैं। समावेशन-अपवर्जन (Inclusion-Exclusion) सिद्धांत का उपयोग करने पर,$d = 781$ प्राप्त होता है। अतः,$d > 201$ होने के कारण विकल्प $(D)$ सही है।

(A) माना समद्विबाहु समलंब की समांतर भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,और असमांतर भुजाएँ $c$ हैं। विकर्ण $d$ है। लंबाइयों का समुच्चय $\{a, b, c, d\} = \{a, b\}$ है।
चूँकि $a > b$ है,भुजाएँ $a, b, a, a$ और विकर्ण $d = a$ या $d = b$ होने चाहिए।
यदि $c=b$ और $d=a$ है,तो $a^2 = b^2 + ab$ प्राप्त होता है।
$b^2$ से विभाजित करने पर,$(a/b)^2 - (a/b) - 1 = 0$ मिलता है।
$x = a/b$ लेने पर,$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $n$ एक संख्या है जिसे $10a + b$ के रूप में दर्शाया गया है,जहाँ $b \in \{1, 2, \dots, 9\}$ इकाई अंक है और $a$ इकाई अंक को हटाने के बाद बनी संख्या है।
यह दिया गया है कि $a$,$n$ को विभाजित करता है,इसलिए $a | (10a + b)$।
इसका अर्थ है $a | b$।
चूंकि $b$ एक गैर-शून्य अंक है,$b \in \{1, 2, \dots, 9\}$।
दिए गए $b$ के लिए,$a$ को $b$ का भाजक होना चाहिए।
यदि $a$ एक $k$-अंकीय संख्या है,तो $10^{k-1} \leq a < 10^k$।
$k=1$ के लिए,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$। $a|b$ वाली जोड़ियाँ $(a, b)$ इस प्रकार हैं:
$b=1: a=1 \implies n=11$
$b=2: a=1, 2 \implies n=12, 22$
$b=3: a=1, 3 \implies n=13, 33$
$b=4: a=1, 2, 4 \implies n=14, 24, 44$
$b=5: a=1, 5 \implies n=15, 55$
$b=6: a=1, 2, 3, 6 \implies n=16, 26, 36, 66$
$b=7: a=1, 7 \implies n=17, 77$
$b=8: a=1, 2, 4, 8 \implies n=18, 28, 48, 88$
$b=9: a=1, 3, 9 \implies n=19, 39, 99$
इनकी गणना करने पर,हमें $1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 = 23$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
$k \geq 2$ के लिए,$a \geq 10$,इसलिए $a$,$b$ को विभाजित नहीं कर सकता क्योंकि $a > b$। अतः,$k \geq 2$ के लिए कोई समाधान नहीं है।
इसलिए,$K = 23$,जो $K < 25$ को संतुष्ट करता है।

(C) जनवरी $1$ से मार्च $31$ तक की अवधि में सामान्य वर्ष में $31$ (जनवरी) $+ 28$ (फरवरी) $+ 31$ (मार्च) $= 90$ दिन होते हैं,या लीप वर्ष में $31 + 29 + 31 = 91$ दिन होते हैं।
यदि यह लीप वर्ष है,तो कुल $91$ दिन होंगे,जो ठीक $13$ सप्ताह हैं। इसका मतलब है कि $13$ रविवार होंगे,जो दी गई जानकारी ($12$ रविवार) के विपरीत है।
इसलिए,यह एक सामान्य वर्ष होना चाहिए जिसमें $90$ दिन हों। चूंकि $90 = 12 \times 7 + 6$,इसलिए $12$ पूर्ण सप्ताह और $6$ अतिरिक्त दिन होते हैं।
ठीक $12$ रविवार होने के लिए,$6$ अतिरिक्त दिनों में रविवार नहीं आना चाहिए। इसका मतलब है कि अवधि सोमवार से शुरू होकर शनिवार को समाप्त होनी चाहिए।
यदि जनवरी $1$ सोमवार है,तो फरवरी $15$ गुरुवार होगा।

(D) माना तीन अंकों की संख्या $N = 100x + 10y + z$ है।
गुण $I$ से: $(100x + 10z + y) - (100x + 10y + z) = 36$
$\Rightarrow 9z - 9y = 36$ $\Rightarrow z - y = 4$ (समीकरण $1$)
गुण $II$ से: $(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 198$
$\Rightarrow 99x - 99z = 198$ $\Rightarrow x - z = 2$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(x - z) + (z - y) = 2 + 4 \Rightarrow x - y = 6$.
अब,हमें वह परिवर्तन ज्ञात करना है जब दहाई और सैकड़े के अंकों को आपस में बदला जाता है:
नई संख्या $N' = 100y + 10x + z$.
परिवर्तन $= N - N' = (100x + 10y + z) - (100y + 10x + z) = 90x - 90y = 90(x - y)$.
$x - y = 6$ रखने पर: परिवर्तन $= 90 \times 6 = 540$.
अतः,संख्या $540$ कम हो जाती है।

(B) माना लड़कों की प्रारंभिक संख्या $x$ और लड़कियों की $y$ है।
$1/5$ लड़कों के जाने के बाद,शेष लड़के $4x/5$ हैं।
अनुपात $4x/5 : y = 2:3$ है,जिससे $y = 1.2x$ प्राप्त होता है।
$44$ लड़कियों के जाने के बाद,लड़कियों की संख्या $y - 44$ हो जाती है।
नया अनुपात $(4x/5) / (y - 44) = 5/2$ है।
हल करने पर $x=50$ और $y=60$ प्राप्त होता है।
शेष लड़के $40$ और लड़कियाँ $60-44=16$ हैं।
संख्या बराबर करने के लिए $40-z=16$,अतः $z=24$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 = 12345678$ है,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
इसे $(x - y)(x + y) = 12345678$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
ध्यान दें कि $(x - y)$ और $(x + y)$ की समता समान होनी चाहिए क्योंकि उनका योग $(x - y) + (x + y) = 2x$ एक सम संख्या है।
यदि $(x - y)$ और $(x + y)$ दोनों सम हैं,तो उनका गुणनफल $(x - y)(x + y)$ को $4$ से विभाज्य होना चाहिए।
$12345678$ की $4$ से विभाज्यता की जाँच करने पर: $78$,$4$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए $12345678$ भी $4$ से विभाज्य नहीं है।
चूंकि गुणनफल $4$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए $x$ और $y$ के लिए कोई पूर्णांक हल नहीं है।
अतः,$S$ एक रिक्त समुच्चय है।

(A) मान लीजिए $|A_i| = n_i$ जहाँ $i = 1, 2, \ldots, m$ है। चूँकि समुच्चय युग्मवार असंयुक्त हैं और $100$ तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय हैं,उनके आकारों का योग निम्नलिखित होना चाहिए:
$\sum_{i=1}^{m} |A_i| \leq 100$.
चूँकि $|A_i|$ भिन्न धनात्मक पूर्णांक हैं,$m$ को अधिकतम करने के लिए,हम $|A_i|$ के लिए सबसे छोटे संभव भिन्न धनात्मक पूर्णांक चुनते हैं।
अतः,$1 + 2 + 3 + \ldots + m \leq 100$ होना चाहिए।
प्रथम $m$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{m(m+1)}{2}$ है।
इसलिए,$\frac{m(m+1)}{2} \leq 100$,जिसका अर्थ है $m(m+1) \leq 200$।
$m = 13$ के लिए,$13 \times 14 = 182 \leq 200$ (सत्य)।
$m = 14$ के लिए,$14 \times 15 = 210 > 200$ (असत्य)।
अतः,$m$ का अधिकतम मान $13$ है।

(D) मान लीजिए कि कुल सीटों की संख्या $x$ है।
प्रति सीट टिकट की कीमत $= ₹ 200$ है।
पहले दिन,$60 \%$ सीटें भरी थीं,इसलिए दर्शकों की संख्या $= 0.6x$ है।
पहले दिन का कुल राजस्व $= 0.6x \times 200 = 120x$ है।
दूसरे दिन,कीमत में $20 \%$ की कमी की गई,इसलिए नई कीमत $= 200 - (0.20 \times 200) = ₹ 160$ है।
दर्शकों की संख्या में $50 \%$ की वृद्धि हुई,इसलिए दर्शकों की नई संख्या $= 0.6x + (0.50 \times 0.6x) = 0.6x + 0.3x = 0.9x$ है।
दूसरे दिन का कुल राजस्व $= 0.9x \times 160 = 144x$ है।
राजस्व में प्रतिशत वृद्धि $= \frac{144x - 120x}{120x} \times 100 = \frac{24x}{120x} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20 \%$ है।

(C) में तत्वों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $S$ को $5$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर विभाजित करते हैं:
$R_0 = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40\}$ (शेषफल $0$,आकार $8$)
$R_1 = \{1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36\}$ (शेषफल $1$,आकार $8$)
$R_2 = \{2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37\}$ (शेषफल $2$,आकार $8$)
$R_3 = \{3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38\}$ (शेषफल $3$,आकार $8$)
$R_4 = \{4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39\}$ (शेषफल $4$,आकार $8$)
$A$ के किन्हीं भी दो तत्वों का योग $5$ से विभाज्य न हो,इसके लिए हमें ऐसे तत्वों का चयन करना होगा जिनका शेषफल योग $5$ या $0$ (mod $5$) न हो।
$1$. हम $R_0$ से अधिकतम एक तत्व चुन सकते हैं।
$2$. हम $R_1$ से सभी तत्व चुन सकते हैं।
$3$. हम $R_2$ से सभी तत्व चुन सकते हैं।
अतः,कुल तत्व = $8 + 8 + 1 = 17$.

(A) $12$-घंटे की घड़ी $12$ घंटे और $60$ मिनट के चक्र में चलती है। एक पूरा दिन $24$ घंटे या $1440$ मिनट का होता है।
सबसे पहले,एक घंटे में उन मिनटों की पहचान करें जिनमें अंक $1$ दिखाई देता है: $01, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51$। ऐसे $15$ मिनट हैं।
प्रत्येक घंटे में,घड़ी इन $15$ मिनटों के लिए गलत समय दिखाती है। इसके अतिरिक्त,$01, 10, 11, 12$ घंटों में,घड़ी सभी $60$ मिनटों के लिए गलत समय दिखाती है।
$12$-घंटे के चक्र में कुल गलत मिनट:
उन $8$ घंटों के लिए जहाँ घंटे के अंक में $1$ नहीं दिखाई देता है $(02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09)$,घड़ी प्रति घंटे $15$ मिनट के लिए गलत है: $8 \times 15 = 120$ मिनट।
उन $4$ घंटों के लिए जहाँ $1$ दिखाई देता है $(01, 10, 11, 12)$,घड़ी सभी $60$ मिनटों के लिए गलत है: $4 \times 60 = 240$ मिनट।
$12$ घंटों में कुल गलत मिनट = $120 + 240 = 360$ मिनट।
चूंकि एक दिन में दो $12$-घंटे के चक्र होते हैं,इसलिए एक दिन में कुल गलत मिनट = $360 \times 2 = 720$ मिनट।
एक दिन में कुल मिनट = $24 \times 60 = 1440$ मिनट।
सही मिनट = $1440 - 720 = 720$ मिनट।
सही समय दिखाने वाले दिन का भाग = $\frac{720}{1440} = \frac{1}{2}$।

(D) माना बेची गई कुल $CDs$ की संख्या $x$ है। प्राप्त कुल धन $x^2$ रुपये है।
वे बारी-बारी से $10$ रुपये लेते हैं,जो $x^2$ को $10$ से भाग देने के समान है।
$x^2 = 10q + r$,जहाँ $0 \leq r < 10$ है।
लीला पहले $10$ रुपये लेती है,इसलिए क्रम है: लीला,मदन,लीला,मदन,...
यदि $q$ विषम है,तो अंतिम $10$ रुपये लीला लेती है और शेष राशि $r$ मदन को मिलती है।
यदि $x=4$ है,तो $x^2=16 = 10(1)+6$। यहाँ $q=1$ (विषम) है,इसलिए $r=6$ मदन को मिलता है।
अतः,मदन के पास $6$ रुपये बचेंगे।

(B) मान लीजिए कि $C, F,$ और $T$ क्रमशः क्रिकेट,फुटबॉल और टेनिस पसंद करने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
दिया गया है: $n(C) = 74 \%$,$n(F) = 76 \%$,$n(T) = 82 \%$.
जो छात्र इन खेलों को पसंद नहीं करते हैं,उनका प्रतिशत है:
$n(C^c) = 100 \% - 74 \% = 26 \%$
$n(F^c) = 100 \% - 76 \% = 24 \%$
$n(T^c) = 100 \% - 82 \% = 18 \%$
पूरक समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,जो छात्र कम से कम एक खेल पसंद नहीं करते हैं,उनका प्रतिशत अधिकतम $n(C^c) + n(F^c) + n(T^c) = 26 \% + 24 \% + 18 \% = 68 \%$ है।
जो छात्र तीनों खेल पसंद करते हैं,उनका प्रतिशत कम से कम $100 \% - (n(C^c) + n(F^c) + n(T^c)) = 100 \% - 68 \% = 32 \%$ है।

(B) टीम $A$ द्वारा एक दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{12}$.
टीम $B$ द्वारा एक दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{36}$.
पहले $4$ दिनों में टीम $A$ द्वारा किया गया कार्य $= 4 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$.
अगले $2$ दिनों में टीम $A$ और $B$ द्वारा एक साथ किया गया कार्य $= 2 \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{36}) = 2 \times (\frac{3+1}{36}) = 2 \times \frac{4}{36} = \frac{2}{9}$.
$6$ दिनों में किया गया कुल कार्य $= \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3+2}{9} = \frac{5}{9}$.
शेष कार्य $= 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
टीम $B$ अपनी दक्षता दोगुनी कर देती है,इसलिए नई दक्षता $= 2 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{18}$.
टीम $B$ को शेष कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त दिन $= \frac{4/9}{1/18} = \frac{4}{9} \times 18 = 8$ दिन।

(C) मान लीजिए $2$-अंकीय संख्या $10a + b$ है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$10a + b = 4(a! + b!)$ है।
चूँकि $10a + b \leq 99$,इसलिए $4(a! + b!) \leq 99$,जिसका अर्थ है $a! + b! \leq 24.75$ है।
यह $a$ और $b$ को $4$ से कम या उसके बराबर मानों तक सीमित करता है।
संभावित मानों की जाँच करने पर,$a=1$ के लिए $12$ और $a=3$ के लिए $32$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = \{12, 32\}$ है।
योग $= 12 + 32 = 44$ है।

(B) मान लीजिए कि $x$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने तीनों विषय चुने हैं।
वेन आरेख दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए,कुल छात्रों की संख्या सभी अलग-अलग क्षेत्रों का योग है:
$100 = 15 + 3 + 45 + (23 - x) + (20 - x) + (12 - x) + x$
$100 = 63 + 55 - 2x$
$100 = 118 - 2x$
$2x = 118 - 100$
$2x = 18$
$x = 9$
अतः,तीनों विषयों को चुनने वाले छात्रों की संख्या $9$ है।

(A) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 5, 7, 10, 11\}$ है। अवयवों को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर वर्गीकृत करते हैं:
$R_0 = \{3\}$ (संख्या $n_0 = 1$)
$R_1 = \{1, 7, 10\}$ (संख्या $n_1 = 3$)
$R_2 = \{2, 5, 11\}$ (संख्या $n_2 = 3$)
गणना करने पर,$3$ के गुणज योग वाले कुल उपसमुच्चयों की संख्या $43$ प्राप्त होती है।
रिक्त समुच्चय को घटाने पर,अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $43 - 1 = 42$ होगी।

(B) $3$ अंकों की कुल संख्याएँ $900$ हैं।
$3$ से विभाज्य संख्याएँ $= 300$ हैं।
$4$ से विभाज्य संख्याएँ $= 225$ हैं।
$3$ और $4$ दोनों से विभाज्य (अर्थात $12$ से विभाज्य) संख्याएँ $= 75$ हैं।
$3$ या $4$ से विभाज्य संख्याएँ $= 300 + 225 - 75 = 450$ हैं।
अब,हमें $48$ से विभाज्य संख्याओं को हटाना होगा,जिनकी संख्या $18$ है।
अतः,अभीष्ट संख्या $= 450 - 18 = 432$ है।

(A) हमें $1000 \le x \le 2800$ के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो $3$ या $11$ से विभाज्य हों।
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ सूत्र का उपयोग करते हुए।
$3$ से विभाज्य संख्याएँ $(A)$: $1002$ से $2799$ तक,$n = 600$.
$11$ से विभाज्य संख्याएँ $(B)$: $1000$ से $2800$ तक,$254 - 90 = 164$.
$33$ से विभाज्य संख्याएँ $(A \cap B)$: $1000$ से $2800$ तक,$84 - 30 = 54$.
कुल संख्या = $600 + 164 - 54 = 710$.

(C) माना $S$,$3$-अंकों की संख्याओं का समुच्चय है,$|S| = 900$.
$A$,$2$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,$|A| = 450$.
$B$,$3$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,$|B| = 300$.
$C$,$7$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,$|C| = 128$.
$|A \cap B| = 150$,$|A \cap C| = 64$,$|B \cap C| = 43$,$|A \cap B \cap C| = 21$.
हमें $|(A \cup B) \setminus C|$ ज्ञात करना है।
$|A \cup B| = 450 + 300 - 150 = 600$.
$|(A \cup B) \cap C| = 64 + 43 - 21 = 86$.
परिणाम $= 600 - 86 = 514$.

(C) माना $|A|=48$,$|B|=25$,और $|C|=18$ है।
कम से कम एक पदक प्राप्त करने वाले पुरुषों की कुल संख्या $|A \cup B \cup C|=60$ है।
तीनों इवेंट में पदक प्राप्त करने वाले पुरुषों की संख्या $|A \cap B \cap C|=5$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$|A \cup B \cup C| = (|A| |B| |C|) - (|A \cap B| |B \cap C| |C \cap A|) |A \cap B \cap C|$.
$S_1 = |A| |B| |C| = 48 25 18 = 91$।
$S_2 = |A \cap B| |B \cap C| |C \cap A|$।
$60 = 91 - S_2 5$।
$S_2 = 91 5 - 60 = 36$।
ठीक दो इवेंट में पदक प्राप्त करने वाले पुरुषों की संख्या:
$N({\text{ठीक दो}}) = S_2 - 3|A \cap B \cap C|$।
$N({\text{ठीक दो}}) = 36 - 3(5) = 36 - 15 = 21$।

(A) हमें $n \in \mathbb{N}$ ज्ञात करना है ताकि $10 \leq n \leq 100$ और $3^n - 3 \equiv 0 \pmod{7}$ हो।
यह $3^n \equiv 3 \pmod{7}$ के बराबर है।
$n=1$ के लिए,$3^1 = 3 \equiv 3 \pmod{7}$।
$n=2$ के लिए,$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$।
$n=3$ के लिए,$3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$।
$n=4$ के लिए,$3^4 = 81 \equiv 4 \pmod{7}$।
$n=5$ के लिए,$3^5 = 243 \equiv 5 \pmod{7}$।
$n=6$ के लिए,$3^6 = 729 \equiv 1 \pmod{7}$।
$3 \pmod{7}$ की घातें $6$ के चक्र में दोहराती हैं: $(3, 2, 6, 4, 5, 1)$।
हमें $3^n \equiv 3 \pmod{7}$ चाहिए,जो तब होता है जब $n \equiv 1 \pmod{6}$ हो।
अतः,$n$ को किसी पूर्णांक $k$ के लिए $6k + 1$ के रूप में होना चाहिए।
हमारे पास $10 \leq 6k + 1 \leq 100$ है।
$9 \leq 6k \leq 99$।
$1.5 \leq k \leq 16.5$।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,$k \in \{2, 3, 4, \dots, 16\}$।
मानों की संख्या $16 - 2 + 1 = 15$ है।

(B) माना $S = \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,अतः कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 50$ है।
माना $A, B,$ और $C$ क्रमशः $S$ में $4, 6,$ और $7$ के गुणजों के समुच्चय हैं।
$A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48\} \implies n(A) = 12$.
$B = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\} \implies n(B) = 8$.
$C = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\} \implies n(C) = 7$.
अब,सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$A \cap B = \{12, 24, 36, 48\} \implies n(A \cap B) = 4$.
$B \cap C = \{42\} \implies n(B \cap C) = 1$.
$A \cap C = \{28\} \implies n(A \cap C) = 1$.
$A \cap B \cap C = \emptyset \implies n(A \cap B \cap C) = 0$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) का उपयोग करते हुए:
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$.
$n(A \cup B \cup C) = 12 + 8 + 7 - 4 - 1 - 1 + 0 = 21$.
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{n(A \cup B \cup C)}{n(S)} = \frac{21}{50}$ है।

(A) माना $n(M)=20$,$n(P)=25$,$n(C)=16$,और $n(M \cup P \cup C)=40$ है। माना $x$ उन छात्रों की संख्या है जो तीनों विषयों में उत्तीर्ण हुए हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$n(M \cup P \cup C) = n(M) + n(P) + n(C) - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + n(M \cap P \cap C)$
$40 = 20 + 25 + 16 - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + x$
$40 = 61 - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + x$
$[n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] = 21 + x$
हमें दिया गया है कि $n(M \cap P) \leq 11$,$n(P \cap C) \leq 15$,और $n(M \cap C) \leq 15$ है।
इन असमिकाओं को जोड़ने पर: $n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C) \leq 11 + 15 + 15 = 41$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत से प्राप्त व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$21 + x \leq 41 \Rightarrow x \leq 20$.
साथ ही,$x$ को किसी भी दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए,इसलिए $x \leq 11$। वेन आरेख तर्क के साथ शर्तों की जांच करने पर,सभी शर्तों को संतुष्ट करने वाला अधिकतम मान $x = 10$ है।

(B) हमें $x + 2y + 3z = 42$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
एक निश्चित $z$ के लिए,$x + 2y = 42 - 3z$ के हलों की संख्या $y$ के संभावित मानों की संख्या है,जो $\lfloor \frac{42 - 3z}{2} \rfloor + 1$ है।
हम $z = 0, 1, 2, \dots, 14$ के लिए योग करते हैं:
कुल योग = $22 + 20 + 19 + 17 + 16 + 14 + 13 + 11 + 10 + 8 + 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 169$.

(B) मान लीजिए $x$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने तीनों विषयों का अध्ययन किया है। तीन समुच्चयों $M, P, C$ के संघ के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$|M \cup P \cup C| = 220 - 10 = 210$.
हमें दिया गया है $|M \cap P| = 40$,$|P \cap C| = 30$,$|C \cap M| = 50$.
केवल $M$ का अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $|M| - (40-x) - (50-x) - x = |M| - 90 x$ है।
इसी प्रकार,केवल $P$ के लिए $|P| - 70 x$ और केवल $C$ के लिए $|C| - 80 x$ है।
कुल छात्रों की संख्या:
$|M \cup P \cup C| = (|M| |P| |C|) - (|M \cap P| |P \cap C| |C \cap M|) |M \cap P \cap C| = 210$.
$|M| |P| |C| - (40 30 50) x = 210 \Rightarrow |M| |P| |C| = 330 - x$.
दिया गया है $125 \leq |M| \leq 130$,$85 \leq |P| \leq 95$,$75 \leq |C| \leq 90$.
योग करने पर: $285 \leq |M| |P| |C| \leq 315$.
$|M| |P| |C| = 330 - x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$285 \leq 330 - x \leq 315$.
$-45 \leq -x \leq -15 \Rightarrow 15 \leq x \leq 45$.
इसके अलावा,वेन आरेख के अनुसार,प्रत्येक क्षेत्र में छात्रों की संख्या गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए:
$40-x \geq 0, 30-x \geq 0, 50-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 30$.
$15 \leq x \leq 45$ और $x \leq 30$ को संयोजित करने पर,हमें $15 \leq x \leq 30$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 15$ और $n = 30$.
$m n = 15 30 = 45$.

(A) समुच्चय $[100, 700]$ में पूर्णांकों की कुल संख्या $700 - 100 + 1 = 601$ है।
माना $S_3$,$[100, 700]$ में $3$ के गुणजों का समुच्चय है। गुणज $102, 105, \dots, 699$ हैं। $T_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$699 = 102 + (n-1)3$,जिससे $n = 200$ प्राप्त होता है।
माना $S_4$,$[100, 700]$ में $4$ के गुणजों का समुच्चय है। गुणज $100, 104, \dots, 700$ हैं। $700 = 100 + (n-1)4$,जिससे $n = 151$ प्राप्त होता है।
माना $S_{12}$,$[100, 700]$ में $3$ और $4$ दोनों के गुणजों (अर्थात $12$ के गुणज) का समुच्चय है। गुणज $108, 120, \dots, 696$ हैं। $696 = 108 + (n-1)12$,जिससे $n = 50$ प्राप्त होता है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) द्वारा,$3$ या $4$ के गुणज होने वाले अवयवों की संख्या $n(S_3 \cup S_4) = n(S_3) + n(S_4) - n(S_{12}) = 200 + 151 - 50 = 301$ है।
$A$ में अवयवों की संख्या कुल अवयवों में से $3$ या $4$ के गुणजों को घटाने पर प्राप्त होती है: $601 - 301 = 300$.

(B) $X$ का $n$-वां पद $a_n = 1 + (n-1)5 = 5n - 4$ है। $n=2018$ के लिए,$a_{2018} = 10086$ है।
$Y$ का $n$-वां पद $b_n = 9 + (n-1)7 = 7n + 2$ है। $n=2018$ के लिए,$b_{2018} = 14128$ है।
उभयनिष्ठ पद $X \cap Y$ के लिए $5n - 4 = 7m + 2$ होता है,जो $5n = 7m + 6$ दर्शाता है। सबसे छोटा हल $n=4, m=2$ है,जो $16$ देता है। सार्व अंतर $\text{lcm}(5, 7) = 35$ है।
उभयनिष्ठ पद $16, 51, 86, \dots$ हैं। सामान्य पद $c_k = 16 + (k-1)35 = 35k - 19$ है।
हमें $c_k \leq 10086$ चाहिए: $35k - 19 \leq 10086 \implies 35k \leq 10105 \implies k \leq 288.71$।
अतः,$n(X \cap Y) = 288$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार: $n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y) = 2018 + 2018 - 288 = 3748$।

(B) मान लीजिए $A$,$\{1, 2, \ldots, 2000\}$ सीमा में $3$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है।
$n(A) = \lfloor \frac{2000}{3} \rfloor = 666$.
मान लीजिए $B$,$\{1, 2, \ldots, 2000\}$ सीमा में $7$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है।
$n(B) = \lfloor \frac{2000}{7} \rfloor = 285$.
मान लीजिए $A \cap B$,$3$ और $7$ दोनों से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात $\text{lcm}(3, 7) = 21$ से विभाज्य।
$n(A \cap B) = \lfloor \frac{2000}{21} \rfloor = 95$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 666 + 285 - 95 = 856$.
प्रायिकता $p = \frac{n(A \cup B)}{2000} = \frac{856}{2000}$.
अतः,$500p = 500 \times \frac{856}{2000} = \frac{856}{4} = 214$.

(A) $n(U) = 900$
माना $A \equiv \text{बुखार}$,$B \equiv \text{खांसी}$,$C \equiv \text{सांस लेने में समस्या}$.
दिया है: $n(A) = 190, n(B) = 220, n(C) = 220$,
$n(A \cup B) = 330, n(B \cup C) = 350, n(A \cup C) = 340, n(A \cap B \cap C) = 30$.
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$330 = 190 + 220 - n(A \cap B) \Rightarrow n(A \cap B) = 80$.
इसी प्रकार,$350 = 220 + 220 - n(B \cap C) \Rightarrow n(B \cap C) = 90$.
और $340 = 190 + 220 - n(A \cap C) \Rightarrow n(A \cap C) = 70$.
अब,$n(A \cup B \cup C) = (n(A) + n(B) + n(C)) - (n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - (80 + 90 + 70) + 30 = 630 - 240 + 30 = 420$.
बिना किसी लक्षण वाले व्यक्तियों की संख्या $= n(U) - n(A \cup B \cup C) = 900 - 420 = 480$.
ठीक एक लक्षण वाले व्यक्तियों की संख्या $= (n(A) + n(B) + n(C)) - 2(n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + 3n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - 2(80 + 90 + 70) + 3(30) = 630 - 480 + 90 = 240$.
अधिकतम एक लक्षण वाले व्यक्तियों की संख्या $= 480 + 240 = 720$.
प्रायिकता $= \frac{720}{900} = \frac{8}{10} = 0.80$.

(A) मान लीजिए $S = \{p_1, p_2, \ldots, p_{10}\}$। समुच्चय $P$,$S$ के भिन्न अवयवों के गुणनफलों से बना है। समुच्चय $A = S \cup P$ में $S$ के $k$ भिन्न अवयवों के सभी गुणनफल शामिल हैं,जहाँ $k = 1, 2, \ldots, 10$।
एक निश्चित $x \in S$ के लिए,हमें $y \in A$ की संख्या ज्ञात करनी है ताकि $x, y$ को विभाजित करे।
यदि $y = p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_k}$ है,तो $x, y$ को तभी विभाजित करेगा यदि $x \in \{p_{i_1}, \ldots, p_{i_k}\}$ हो।
एक निश्चित $x = p_j$ के लिए,ऐसे गुणनफलों $y$ की संख्या $S$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या है जिनमें $p_j$ शामिल है।
चूंकि $S$ में $10$ अवयव हैं,एक विशिष्ट अवयव $p_j$ वाले उपसमुच्चयों की संख्या $2^{10-1} = 2^9 = 512$ है।
$x \in S$ के लिए $10$ विकल्प होने के कारण,क्रमित युग्मों $(x, y)$ की कुल संख्या $10 \times 512 = 5120$ है।

(C) समुच्चय $A$ एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = 1$ और सार्व अंतर $d_1 = 5$ है। $2025$ वां पद $T_{2025} = 1 + (2025 - 1) \times 5 = 10121$ है।
समुच्चय $B$ एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = 9$ और सार्व अंतर $d_2 = 7$ है। $2025$ वां पद $T'_{2025} = 9 + (2025 - 1) \times 7 = 14177$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में दोनों में उभयनिष्ठ पद हैं। पहला उभयनिष्ठ पद $16$ है। $A \cap B$ का सार्व अंतर $\text{lcm}(5, 7) = 35$ है।
$A \cap B$ का सामान्य पद $T_n = 16 + (n - 1) \times 35$ है।
हमें $T_n \leq 10121$ की आवश्यकता है।
$16 + (n - 1) \times 35 \leq 10121$ $\Rightarrow n - 1 \leq 288.71$ $\Rightarrow n \leq 289.71$।
अतः,$289$ उभयनिष्ठ पद हैं।
सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,$n(A \cup B) = 2025 + 2025 - 289 = 3761$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए समाचार पत्रों की संख्या $N$ है।
छात्रों द्वारा किए गए कुल पठन सत्र $= 300 \times 5 = 1500$।
चूंकि प्रत्येक समाचार पत्र $60$ छात्रों द्वारा पढ़ा जाता है,इसलिए कुल पठन सत्र $60 \times N$ के बराबर भी है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$60 \times N = 1500$
$N = \frac{1500}{60} = 25$।
अतः,समाचार पत्रों की संख्या $25$ है।

(D) दिया गया है कि $P(A \cup B) = 0.6$ और $P(A \cap B) = 0.2$ है।
हम जानते हैं कि $P(A') = 1 - P(A)$ और $P(B') = 1 - P(B)$ होता है।
अतः,$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,हमें $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A) + P(B) = 0.6 + 0.2 = 0.8$।
अंततः,$P(A') + P(B') = 2 - 0.8 = 1.2$।

(C) दिया गया है कि $P(E_1 \cup E_2) = 0.6$ और $P(E_1 \cap E_2) = 0.2$ है।
हम जानते हैं कि $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ होता है।
मान रखने पर: $0.6 = P(E_1) + P(E_2) - 0.2$,जिसका अर्थ है कि $P(E_1) + P(E_2) = 0.8$ है।
हमें $P(E_1') + P(E_2')$ का मान ज्ञात करना है।
पूरक घटना के नियम $P(E') = 1 - P(E)$ का उपयोग करने पर:
$P(E_1') + P(E_2') = (1 - P(E_1)) + (1 - P(E_2)) = 2 - (P(E_1) + P(E_2))$।
योग $P(E_1) + P(E_2) = 0.8$ रखने पर:
$P(E_1') + P(E_2') = 2 - 0.8 = 1.2$।

(A) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(X) - n(A \cup B)$.
सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$n(A \cup B) = 200 + 300 - 100 = 400$.
अब,$n(A' \cap B') = n(X) - n(A \cup B) = 700 - 400 = 300$.