Word Problem - Set Theory Questions in Hindi

(D) दिया गया है: $P(A) = \frac{2}{5}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,$P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B)$.
सबसे पहले,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ सूत्र का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{2} = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} - P(A \cap B)$
$\frac{1}{2} = \frac{13}{20} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = \frac{13}{20} - \frac{10}{20} = \frac{3}{20}$.
अब,$P(A' \cup B') = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

(C) $5$ विषयों में से प्रत्येक के लिए,उम्मीदवार के पास $2$ संभावनाएं हैं: या तो उत्तीर्ण होना या अनुत्तीर्ण होना।
चूंकि $5$ विषय हैं,इसलिए संभावित परिणामों की कुल संख्या $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$ है।
उम्मीदवार परीक्षा में केवल तभी उत्तीर्ण होता है यदि वह सभी $5$ विषयों में उत्तीर्ण हो। ऐसा केवल $1$ तरीका है (उत्तीर्ण,उत्तीर्ण,उत्तीर्ण,उत्तीर्ण,उत्तीर्ण)।
इसलिए,उम्मीदवार के अनुत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या (अर्थात,कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होना) कुल परिणामों में से सभी विषयों में उत्तीर्ण होने के मामले को घटाने पर प्राप्त होती है।
अनुत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या $= 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.

(B) दिया गया है कि $n(X)=200, n(A)=90, n(B)=80$ और $n(A' \cap B')=40$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(X) - n(A \cup B)$।
अतः,$40 = 200 - n(A \cup B)$,जिसका अर्थ है कि $n(A \cup B) = 160$।
हम जानते हैं कि $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$।
$160 = 90 + 80 - n(A \cap B) \implies 160 = 170 - n(A \cap B) \implies n(A \cap B) = 10$।
अब,$n(A \cap B') = n(A) - n(A \cap B) = 90 - 10 = 80$।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
$A$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है,जहाँ $n = 6$,अतः $2^6 = 64$ है।
कम से कम दो अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करने के लिए,कुल उपसमुच्चयों में से शून्य अवयव वाले (रिक्त समुच्चय) और ठीक एक अवयव वाले उपसमुच्चयों को घटाना होगा।
शून्य अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या = ${}^6C_0 = 1$ है।
एक अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या = ${}^6C_1 = 6$ है।
अतः,कम से कम दो अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $64 - (1 + 6) = 64 - 7 = 57$ है।

(D) माना $n(U) = 60$ कुल छात्रों की संख्या है।
माना $C$ क्रिकेट खेलने वाले छात्रों का समुच्चय है,$n(C) = 25$।
माना $T$ टेनिस खेलने वाले छात्रों का समुच्चय है,$n(T) = 20$।
दिया गया है $n(C \cap T) = 10$।
कम से कम एक खेल खेलने वाले छात्रों की संख्या $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$ है।
$n(C \cup T) = 25 + 20 - 10 = 35$।
कोई भी खेल न खेलने वाले छात्रों की संख्या $n(U) - n(C \cup T)$ है।
$60 - 35 = 25$।

(C) दिया गया है $|A| = 3$ और $|B| = 6$।
$A \cup B$ के लिए,सूत्र $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ है।
$|A \cup B|$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $|A \cap B|$ को अधिकतम करना होगा। $|A \cap B|$ का अधिकतम मान $\min(|A|, |B|) = 3$ है।
अतः,$\min |A \cup B| = 3 + 6 - 3 = 6$। इसलिए,कथन $(I)$ सही है।
$A \cap B$ के लिए,अधिकतम मान $\min(|A|, |B|) = 3$ है।
अतः,$\max |A \cap B| = 3$। इसलिए,कथन $(II)$ सही है।

(D) दिया गया है,$n(A \times B) = 35$ और $B \subset A$ है।
चूंकि $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 35$,तो $35$ के संभावित गुणनखंड $(35, 1)$ या $(7, 5)$ हैं।
चूंकि $B \subset A$ और $A, B$ गैर-एकल समुच्चय हैं,इसलिए $n(A) > n(B) > 1$ होगा।
अतः,$n(A) = 7$ और $n(B) = 5$ है।
अब,${}^{n(A)}C_{n(B)} = {}^{7}C_{5}$ की गणना करते हैं।
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करने पर,${}^{7}C_{5} = {}^{7}C_{2}$ प्राप्त होता है।
${}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

(B) दिया है: $n(U)=100$,$n(A)=50$,$n(B)=60$,$n(A \cap B)=20$.
दो समुच्चयों के संघ (union) के सूत्र का उपयोग करने पर:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 50 + 60 - 20 = 90$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$ होता है।
अतः,$n(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = n(U) - n(A \cup B)$.
$n(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 100 - 90 = 10$.

(B) मान लीजिए परिवारों की कुल संख्या $x$ है।
मान लीजिए $A$ सेल फोन वाले परिवारों का सेट है,इसलिए $n(A) = \frac{65}{100}x$ है।
मान लीजिए $B$ स्कूटर वाले परिवारों का सेट है,इसलिए $n(B) = 15000$ है।
दोनों रखने वाले परिवारों की संख्या $n(A \cap B) = \frac{15}{100}x$ है।
चूंकि प्रत्येक परिवार के पास कम से कम एक है,इसलिए $n(A \cup B) = x$ है।
सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{65x}{100} + 15000 - \frac{15x}{100}$
$x = \frac{50x}{100} + 15000$
$x = 0.5x + 15000$
$0.5x = 15000$
$x = \frac{15000}{0.5} = 30000$ है।
अतः,शहर में परिवारों की कुल संख्या $30000$ है।

(B) माना $A$,$1$ से $1000$ तक के $2$ से विभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय है,और $B$,$1$ से $1000$ तक के $3$ से विभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय है।
हमें $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ ज्ञात करना है।
$|A| = \lfloor \frac{1000}{2} \rfloor = 500$.
$|B| = \lfloor \frac{1000}{3} \rfloor = 333$.
$|A \cap B|$ उन पूर्णांकों की संख्या है जो $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हैं,अर्थात $\text{lcm}(2, 3) = 6$ से विभाज्य हैं।
$|A \cap B| = \lfloor \frac{1000}{6} \rfloor = 166$.
अतः,$|A \cup B| = 500 + 333 - 166 = 667$.

(C) माना $S = \{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}$ है। सभी अवयवों का योग $S_{total} = 8$ है।
माना $x = a+b+c+d$ और $y = e+f+g+h$ है।
चूँकि $x+y = 8$ है,$x^2+y^2$ को न्यूनतम करने के लिए $|x-y|$ को न्यूनतम करना होगा।
$x$ का मान $4$ के सबसे निकट लेने पर,$x=5$ प्राप्त होता है,जिससे $y=3$ होता है।
अतः,$x^2+y^2 = 5^2+3^2 = 25+9 = 34$।

(C) माना $n(M)$ गणित में कुशल सदस्यों की संख्या है और $n(S)$ सांख्यिकी में कुशल सदस्यों की संख्या है।
दिया गया है $n(M \cup S) = 25$,$n(M) = 19$,और $n(S) = 16$।
सूत्र $n(M \cup S) = n(M) + n(S) - n(M \cap S)$ का उपयोग करने पर:
$25 = 19 + 16 - n(M \cap S)$
$25 = 35 - n(M \cap S)$
$n(M \cap S) = 35 - 25 = 10$।
यादृच्छिक रूप से चुने गए व्यक्ति के दोनों में कुशल होने की प्रायिकता $P(M \cap S) = \frac{n(M \cap S)}{n(M \cup S)} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ है।

(A) माना $E$ अंग्रेजी में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है और $M$ गणित में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है:
कुल छात्र $= 205$
$n(E) = 105$
$n(M) = 70$
$n(E \cap M) = 30$
हमें कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण छात्रों की संख्या ज्ञात करनी है,जो $n(E \cup M)$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $n(E \cup M) = n(E) + n(M) - n(E \cap M)$
$n(E \cup M) = 105 + 70 - 30 = 145$
अब,दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण छात्रों की संख्या कुल छात्रों में से कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण छात्रों को घटाकर प्राप्त की जाती है।
दोनों में अनुत्तीर्ण छात्र $= 205 - 145 = 60$

(C) माना $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ है। कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 1000$ है।
माना $A$,$S$ में पूर्ण घन संख्याओं का समुच्चय है। चूँकि $10^3 = 1000$,$A = \{1^3, 2^3, \ldots, 10^3\}$,इसलिए $n(A) = 10$ है।
माना $B$,विषम संख्या में भाजक रखने वाली प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। एक संख्या के भाजकों की संख्या विषम तभी होती है जब वह एक पूर्ण वर्ग हो। $1000$ तक की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या $31^2 = 961$ है। अतः,$B = \{1^2, 2^2, \ldots, 31^2\}$,इसलिए $n(B) = 31$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे संख्याएँ हैं जो पूर्ण घन और पूर्ण वर्ग दोनों हैं,अर्थात पूर्ण छठी घात। ये संख्याएँ $1^6 = 1$,$2^6 = 64$,और $3^6 = 729$ हैं। अतः,$n(A \cap B) = 3$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 10 + 31 - 3 = 38$ है।
प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{38}{1000} = \frac{19}{500}$ है।

(B) दिया गया है कि $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$,इसलिए $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
दो घटनाओं के संघ का सूत्र: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B)$ के लिए हल करने पर: $P(B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
हमें $P(\bar{A} \cap B)$ ज्ञात करना है। समुच्चय सिद्धांत के अनुसार,$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $P(\bar{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) हम जानते हैं कि दो घटनाओं के संघ की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$।
न तो $A$ और न ही $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)$ है।
अतः,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.6 = 0.4$।

(D) दी गई जानकारी के अनुसार:
$P(A \text{ fails}) = 0.2$
$P(A \cap B \text{ fail}) = 0.15$
$A$ के अकेले विफल होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, हमें $A$ की कुल विफलता में से $A$ और $B$ दोनों के विफल होने की प्रायिकता को घटाना होगा।
$P(A \text{ fails alone}) = P(A \text{ fails}) - P(A \cap B \text{ fail})$
$P(A \text{ fails alone}) = 0.2 - 0.15 = 0.05$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(B) हमें व्यंजक $[x - |x|] = 5$ दिया गया है।
स्थिति $1$: यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[x - x] = [0] = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \neq 5$,इसलिए $x \geq 0$ के लिए कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[x - (-x)] = [2x] = 5$ प्राप्त होता है।
$[2x] = 5$ के लिए,$5 \leq 2x < 6$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2.5 \leq x < 3$।
हालाँकि,यह हमारी धारणा $x < 0$ का खंडन करता है।
इसलिए,ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,यह समुच्चय एक रिक्त समुच्चय,$\phi$ है।

(B) दिया गया है $S = \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,इसलिए $n(S) = 50$.
समुच्चय $A$ के लिए,$n + \frac{50}{n} > 27$ को हल करने पर:
$n^2 - 27n + 50 > 0$.
$(n - 25)(n - 2) > 0$.
यह $n < 2$ या $n > 25$ के लिए सत्य है।
चूंकि $n \in S$,इसलिए $n=1$ या $n \in \{26, 27, \ldots, 50\}$।
अतः,$A = \{1, 26, 27, \ldots, 50\}$,जिससे $n(A) = 1 + 25 = 26$।
समुच्चय $B$ के लिए,$S$ में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ हैं,इसलिए $n(B) = 15$।
समुच्चय $C$ के लिए,$S$ में पूर्ण वर्ग संख्याएँ $\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\}$ हैं,इसलिए $n(C) = 7$।
प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{26}{50}$,$P(B) = \frac{15}{50}$,$P(C) = \frac{7}{50}$ हैं।
इसलिए,$P(A) > P(B) > P(C)$।

(D) के प्रत्येक अवयव $x$ के लिए,$P \cap Q = \phi$ होने की स्थिति में $P$ और $Q$ में उसकी सदस्यता के संबंध में तीन परस्पर अपवर्जी संभावनाएं हैं:
$1$. $x \in P$ और $x \notin Q$
$2$. $x \notin P$ और $x \in Q$
$3$. $x \notin P$ और $x \notin Q$
चूंकि $A$ में $n$ अवयव हैं और प्रत्येक अवयव के लिए $3$ स्वतंत्र विकल्प हैं,इसलिए उपसमुच्चय $P$ और $Q$ को चुनने के कुल तरीके $3 \times 3 \times \dots \times 3$ ($n$ बार) = $3^n$ हैं।

(A) मान लीजिए $S$,$D$,और $P$ क्रमशः गाना,नाचना और पेंटिंग पसंद करने वाले व्यक्तियों के समुच्चय हैं।
दिया गया है: $n(S \cup D \cup P) = 265$,$n(S) = 200$,$n(D) = 110$,$n(P) = 55$,$n(S \cap D) = 60$,$n(S \cap P) = 30$,और $n(S \cap D \cap P) = 10$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (inclusion-exclusion principle) का उपयोग करते हुए:
$n(S \cup D \cup P) = n(S) + n(D) + n(P) - n(S \cap D) - n(S \cap P) - n(D \cap P) + n(S \cap D \cap P)$
$265 = 200 + 110 + 55 - 60 - 30 - n(D \cap P) + 10$
$265 = 285 - n(D \cap P)$
$n(D \cap P) = 285 - 265 = 20$
केवल नाचना और पेंटिंग पसंद करने वाले व्यक्तियों की संख्या $n(D \cap P) - n(S \cap D \cap P)$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$20 - 10 = 10$।

(C) मान लीजिए $M, P, B$ क्रमशः गणित,भौतिकी और जीव विज्ञान में अनुत्तीर्ण छात्रों के समुच्चय हैं। वेन आरेख में दिखाए गए क्षेत्रों को $a, b, c, d, e, f, g$ द्वारा दर्शाया गया है,और $h$ उन छात्रों की संख्या है जो सभी विषयों में उत्तीर्ण हुए।
कुल छात्र = $100$,इसलिए $a+b+c+d+e+f+g+h = 100$। दिया गया है $h = 1$,इसलिए $a+b+c+d+e+f+g = 99$।
दिया गया है:
$1) \text{ गणित में अनुत्तीर्ण: } a+b+d+e = 50$
$2) \text{ भौतिकी में अनुत्तीर्ण: } b+c+d+f = 45$
$3) \text{ जीव विज्ञान में अनुत्तीर्ण: } d+e+f+g = 40$
$4) \text{ ठीक दो विषयों में अनुत्तीर्ण: } b+e+f = 32$
समीकरणों $(1), (2), (3)$ को जोड़ने पर:
$(a+b+d+e) + (b+c+d+f) + (d+e+f+g) = 50 + 45 + 40 = 135$
$(a+b+c+d+e+f+g) + (b+e+f) + 2d = 135$
$99 + 32 + 2d = 135$
$131 + 2d = 135$
$2d = 4 \implies d = 2$।
अतः,तीनों विषयों में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या $2$ है।

(A) दिया गया है $(A \cap C) \cup (B \cap C^{\prime}) = \phi$।
चूँकि दो समुच्चयों का संघ रिक्त समुच्चय $\phi$ है,इसलिए प्रत्येक समुच्चय रिक्त होना चाहिए।
अतः,$A \cap C = \phi$ और $B \cap C^{\prime} = \phi$।
$B \cap C^{\prime} = \phi$ से,हमें $B \subseteq C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A \cap C = \phi$ और $B \subseteq C$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $A \cap B = \phi$।

(C) हमारे पास $A = 5^{n} - 4n - 1 = (1 + 4)^{n} - 4n - 1$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1 + 4)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(4) + {}^{n}C_{2}(4^{2}) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n})$।
अतः,$A = (1 + 4n + 16({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(4) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n-2}))) - 4n - 1$।
$A = 16({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(4) + \dots + {}^{n}C_{n}(4^{n-2}))$।
यह दर्शाता है कि $A$ का प्रत्येक अवयव $16$ का गुणज है।
$n=1$ के लिए,$5^{1}-4(1)-1 = 0$।
$n=2$ के लिए,$5^{2}-4(2)-1 = 16$।
$n=3$ के लिए,$5^{3}-4(3)-1 = 112 = 16 \times 7$।
इस प्रकार,$A = \{0, 16, 112, \dots\}$।
$B = \{16(n-1) : n \in N\} = \{0, 16, 32, 48, \dots\}$।
चूंकि $A$ का प्रत्येक अवयव $16$ का गुणज है,इसलिए $A \subseteq B$ है।

(A) मान लीजिए $A$ उन परिवारों का समुच्चय है जिनके पास कार है और $B$ उन परिवारों का समुच्चय है जिनके पास घर है।
दिया गया है: $P(A) = 0.60$,$P(B) = 0.30$,और $P(A \cap B) = 0.20$।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि परिवार के पास कार या घर है लेकिन दोनों नहीं,जिसे सममित अंतर $P(A \Delta B)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सममित अंतर का सूत्र $P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$ है।
सबसे पहले,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.60 + 0.30 - 0.20 = 0.70$ की गणना करें।
अब,$P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B) = 0.70 - 0.20 = 0.50$।
अतः,प्रायिकता $0.5$ है।

(C) दिया गया है कि $P(A \cup B) = 0.6$ और $P(A \cap B) = 0.3$ है।
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
अतः,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 = 0.9$।
हमें $P(A') + P(B')$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $P(A') = 1 - P(A)$ और $P(B') = 1 - P(B)$,
$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
मान रखने पर,$P(A') + P(B') = 2 - 0.9 = 1.1$।

(C) $|x^{2} - 10| \le 6$ दिया गया है,इसलिए $-6 \le x^{2} - 10 \le 6$।
सभी पक्षों में $10$ जोड़ने पर,$4 \le x^{2} \le 16$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$x \in [-4, -2] \cup [2, 4]$,इसलिए $A = [-4, -2] \cup [2, 4]$।
$|x - 2| > 1$ दिया गया है,इसलिए $x - 2 > 1$ या $x - 2 < -1$।
इसका अर्थ है $x > 3$ या $x < 1$,इसलिए $B = (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$।
अब,$A \cap B = ([-4, -2] \cup [2, 4]) \cap ((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) = [-4, -2] \cup (3, 4]$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, . . . , 11\}$ में $6$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ और $5$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ हैं।
$S$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{11} = 2048$ है।
एक उपसमुच्चय $B$ का गुणनफल विषम होता है यदि और केवल यदि $B$ के सभी अवयव विषम हों। ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या $2^6 = 64$ है।
एक उपसमुच्चय $B$ का गुणनफल सम होता है यदि इसमें कम से कम एक सम संख्या हो। ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या $2^{11} - 2^6 = 2048 - 64 = 1984$ है।
प्रतिबंध $n(B) \ge 2$ उन उपसमुच्चयों को बाहर करता है जिनमें $0$ या $1$ अवयव है।
$0$ अवयव वाले उपसमुच्चय: $\emptyset$ (गुणनफल परिभाषित नहीं है या विषम माना जाता है,इसलिए इसे बाहर रखा गया है)।
$1$ अवयव वाले उपसमुच्चय: $\{1\}, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \{9\}, \{11\}$ (सभी विषम गुणनफल) और $\{2\}, \{4\}, \{6\}, \{8\}, \{10\}$ (सभी सम गुणनफल)।
हमें उन $5$ उपसमुच्चयों को बाहर करना होगा जिनमें केवल एक सम संख्या है (क्योंकि उनका गुणनफल सम है लेकिन $n(B) < 2$ है)।
अतः,आवश्यक उपसमुच्चयों की संख्या $1984 - 5 = 1979$ है।