Mix Examples of Set Theory Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $A \cup B = A \cup C$ और $A \cap B = A \cap C$ है।
समुच्चय $B$ पर विचार करें। हम लिख सकते हैं $B = B \cap (A \cup B)$।
चूंकि $A \cup B = A \cup C$,इसलिए $B = B \cap (A \cup C)$।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$।
चूंकि $A \cap B = A \cap C$,इसलिए $B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$।
वितरण नियम के अनुसार,$B = (A \cup B) \cap C$।
चूंकि $A \cup B = A \cup C$,इसलिए $B = (A \cup C) \cap C$।
चूंकि $(A \cup C) \cap C = C$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $B = C$।

(B) माना $S = \sum_{k=0}^{99} \left[ \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \right]$.
$0 \le k \le 49$ के लिए,हमारे पास $0 \le \frac{k}{100} \le 0.49$ है,इसलिए $\frac{1}{2} + \frac{k}{100} = 0.5 + \frac{k}{100} < 1$ है। अतः,$k = 0, 1, \dots, 49$ के लिए $\left[ \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \right] = 0$ होगा।
$50 \le k \le 99$ के लिए,हमारे पास $0.50 \le \frac{k}{100} \le 0.99$ है,इसलिए $1 \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} < 1.49$ है। अतः,$k = 50, 51, \dots, 99$ के लिए $\left[ \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \right] = 1$ होगा।
$k = 50$ से $k = 99$ तक पदों की संख्या $99 - 50 + 1 = 50$ है।
अतः,योग $0 \times 50 + 1 \times 50 = 50$ होगा।

(B) दिया गया है कि $A \cap B = A \cap C$ और $A \cup B = A \cup C$ है।
$B = B \cap (A \cup B)$ पर विचार करें।
चूंकि $A \cup B = A \cup C$,इसलिए $B = B \cap (A \cup C)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A \cap B = A \cap C$,इसलिए $B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ है।
$B = (A \cup B) \cap C$ है।
चूंकि $A \cup B = A \cup C$,इसलिए $B = (A \cup C) \cap C$ है।
चूंकि $(A \cup C) \cap C = C$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $B = C$।

(B) माना $t = \sqrt{x}$,जहाँ $t \ge 0$ है। समीकरण $2|t - 3| + t(t - 6) + 6 = 0$ हो जाता है।
स्थिति $I$: $0 \le t < 3$ (अर्थात $0 \le x < 9$)
$2(3 - t) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 8t + 12 = 0$
$(t - 6)(t - 2) = 0$
$t = 6$ या $t = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 \le t < 3$ है,इसलिए $t = 2$,जिसका अर्थ है $x = 4$ है।
स्थिति $II$: $t \ge 3$ (अर्थात $x \ge 9$)
$2(t - 3) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 4t = 0$
$t(t - 4) = 0$
$t = 0$ या $t = 4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t \ge 3$ है,इसलिए $t = 4$,जिसका अर्थ है $x = 16$ है।
अतः,$S = \{4, 16\}$,जिसमें ठीक दो अवयव हैं।

(B) दिया गया है कि $A \cup B = A \cup C$ और $A \cap B = A \cap C$ है।
समुच्चय $B$ पर विचार करें। हम लिख सकते हैं $B = B \cap (A \cup B)$।
चूंकि $A \cup B = A \cup C$,इसलिए $B = B \cap (A \cup C)$।
वितरण नियम का उपयोग करने पर,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$।
चूंकि $A \cap B = A \cap C$,इसलिए $B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$।
अब समुच्चय $C$ पर विचार करें। हम लिख सकते हैं $C = C \cap (A \cup C)$।
चूंकि $A \cup C = A \cup B$,इसलिए $C = C \cap (A \cup B)$।
वितरण नियम का उपयोग करने पर,$C = (C \cap A) \cup (C \cap B)$।
चूंकि $A \cap C = A \cap B$,इसलिए $C = (A \cap B) \cup (C \cap B)$।
$B$ और $C$ के व्यंजकों की तुलना करने पर,$B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ और $C = (A \cap B) \cup (C \cap B)$।
चूंकि $A \cap C = A \cap B$,अतः यह सिद्ध होता है कि $B = C$।

(B) माना $S = (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)$.
हम जानते हैं कि $A - B = A \cap B^c$,$B - C = B \cap C^c$,और $C - A = C \cap A^c$.
अतः,$S = (A \cap B^c) \cup (B \cap C^c) \cup (C \cap A^c)$.
डी मॉर्गन के नियम और समुच्चय के गुणों के अनुसार,पूरक समुच्चय $S'$ इस प्रकार है:
$S' = (A \cap B^c)' \cap (B \cap C^c)' \cap (C \cap A^c)'$
$S' = (A^c \cup B) \cap (B^c \cup C) \cap (C^c \cup A)$.
इस व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(A^c \cup B) \cap (B^c \cup C) = (A^c \cap B^c) \cup (A^c \cap C) \cup (B \cap B^c) \cup (B \cap C) = (A^c \cap B^c) \cup (A^c \cap C) \cup (B \cap C)$.
$(C^c \cup A)$ के साथ गुणा करने पर परिणाम $A \cap B \cap C$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात समीकरण $x^{2} - (m+1)x + m+4 = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (m+1)^{2} - 4(m+4) \geq 0$
$m^{2} + 2m + 1 - 4m - 16 \geq 0$
$m^{2} - 2m - 15 \geq 0$
$(m-5)(m+3) \geq 0$
अतः,$m \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$,यानी $A = (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.
दिया गया है $B = [-3, 5)$।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर,सभी विकल्प सत्य हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $x^3 - [x]^3 = (x - [x])^3$.
मान लीजिए ${x} = x - [x]$. तब समीकरण $x^3 - [x]^3 = {x}^3$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $x^3 - [x]^3 = (x - [x])(x^2 + x[x] + [x]^2)$.
अतः,$(x - [x])(x^2 + x[x] + [x]^2) = (x - [x])^3$.
इसका अर्थ है $(x - [x])[(x^2 + x[x] + [x]^2) - (x - [x])^2] = 0$.
$(x - [x])[x^2 + x[x] + [x]^2 - (x^2 - 2x[x] + [x]^2)] = 0$.
$(x - [x])[3x[x]] = 0$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $x - [x] = 0 \implies x \in \mathbb{Z}$.
स्थिति $2$: $3x[x] = 0 \implies x = 0$ या $[x] = 0$.
यदि $[x] = 0$ है,तो $0 \le x < 1$.
इन दोनों को मिलाने पर,$A = \mathbb{Z} \cup [0, 1)$.
चूंकि $A$ में अंतराल $[0, 1)$ शामिल है लेकिन इसमें $\dots, -2, -1, 2, 3, \dots$ जैसे अलग-अलग बिंदु भी हैं,इसलिए यह एक अंतराल नहीं है।
अतः,$A$ में एक अंतराल शामिल है,लेकिन यह एक अंतराल नहीं है।

(A) मान लीजिए $n = 2018$ है। हमें $N = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ दिया गया है।
असमानता $I$ के लिए,हम कोशी-श्वार्ट्ज असमानता का उपयोग करते हैं: $(\sum a_k b_k)^2 \leq (\sum a_k^2)(\sum b_k^2)$।
मान लीजिए $a_k = \sqrt{k}$ और $b_k = \sqrt{k} x_k$ है। तब:
$\left(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \cdot \sqrt{k} x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k})^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k} x_k)^2\right)$
$\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} k\right) \left(\sum_{k=1}^{n} k x_k^2\right) = N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$।
अतः,$I$ सत्य है।
असमानता $II$ के लिए,हम देखते हैं कि चूंकि $k \geq 1$ है,इसलिए सभी $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ के लिए $k^2 \geq k$ है।
इसलिए,$\sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2 \geq \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$।
चूंकि $I$ सत्य है,हमारे पास $\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2$ है।
अतः,$II$ भी सत्य है।
इसलिए,$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

(A) समुच्चय $A$ के लिए,$\cos^2(\sin \theta) + \sin^2(\cos \theta) = 1$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,यह समीकरण तभी सत्य है जब $\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ हो,जिसका अर्थ है $\tan^2 \theta = 1$,अतः $\tan \theta = \pm 1$।
इस प्रकार,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$।
समुच्चय $B$ के लिए,$\cos(\sin \theta) \sin(\cos \theta) = 0$ है।
इसका अर्थ है $\cos(\sin \theta) = 0$ या $\sin(\cos \theta) = 0$।
चूंकि $-1 \le \sin \theta \le 1$,$\cos(\sin \theta)$ कभी भी $0$ नहीं हो सकता क्योंकि $\cos x = 0$ का मान $x = \pm \frac{\pi}{2} \approx \pm 1.57$ पर होता है,जो $[-1, 1]$ के बाहर है।
इसी प्रकार,$\sin(\cos \theta) = 0$ का अर्थ है $\cos \theta = n\pi$। चूंकि $-1 \le \cos \theta \le 1$,एकमात्र संभव मान $\cos \theta = 0$ है।
अतः,$\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$।
दोनों समुच्चयों की तुलना करने पर,$A = \{n\pi \pm \frac{\pi}{4}\}$ और $B = \{(2n+1)\frac{\pi}{2}\}$,कोई भी उभयनिष्ठ मान नहीं है।
इसलिए,$A \cap B = \emptyset$।

(D) एक दो अंकों की संख्या $\overline{ab}$ ऑलमोस्ट प्राइम है यदि इसे अधिकतम एक अंक बदलकर अभाज्य संख्या में बदला जा सके।
कुल $90$ दो अंकों की संख्याएँ हैं ($10$ से $99$ तक)।
प्रत्येक अभाज्य संख्या स्वयं ऑलमोस्ट प्राइम है।
जाँच करने पर पता चलता है कि सभी $90$ दो अंकों की संख्याएँ इस शर्त को पूरा करती हैं।
अतः,कुल संख्या $90$ है।

(A) माना $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ जहाँ $a_i \in \mathbb{Z}$ है।
दिया गया है कि $p(2) = 2$ और $p(4) = 5$ है।
पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों के गुणधर्म के अनुसार,किन्हीं दो भिन्न पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,$(a-b)$,$(p(a) - p(b))$ को विभाजित करना चाहिए।
यहाँ,$a = 4$ और $b = 2$ है।
अतः,$(4-2)$ को $(p(4) - p(2))$ को विभाजित करना चाहिए।
$(4-2) = 2$ और $(p(4) - p(2)) = 5 - 2 = 3$ है।
चूंकि $2$,$3$ को विभाजित नहीं करता है,इसलिए ऐसा कोई पूर्णांक गुणांक वाला बहुपद मौजूद नहीं है।
अतः,ऐसे बहुपदों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया है $\text{HCF}(x, y) = 16$ और $\text{LCM}(x, y) = 48000$।
मान लीजिए $x = 16a$ और $y = 16b$,जहाँ $\text{HCF}(a, b) = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\text{LCM}(x, y) = \text{HCF}(x, y) \times a \times b$।
$48000 = 16 \times a \times b
\implies ab = \frac{48000}{16} = 3000$।
$3000$ का अभाज्य गुणनखंडन $3^1 \times 2^3 \times 5^3$ है।
चूंकि $\text{HCF}(a, b) = 1$ है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडों $2^3, 3^1, 5^3$ को $a$ और $b$ के बीच इस प्रकार वितरित किया जाना चाहिए कि कोई भी अभाज्य गुणनखंड दोनों में उभयनिष्ठ न हो।
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड $p^k$ के लिए,हमारे पास दो विकल्प हैं: या तो वह $a$ का गुणनखंड है या वह $b$ का गुणनखंड है।
यहाँ $3$ अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड $(2, 3, 5)$ हैं।
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए $2$ विकल्प हैं।
कुल युग्मों की संख्या $(a, b) = 2^3 = 8$।
चूंकि प्रत्येक युग्म $(a, b)$ एक अद्वितीय युग्म $(x, y)$ के अनुरूप है,इसलिए $S$ में अवयवों की संख्या $8$ है।

(B) समुच्चय $A$ के लिए: $[x + 3] + [x + 4] \leq 3 \implies [x] + 3 + [x] + 4 \leq 3$.
$2[x] + 7 \leq 3 \implies 2[x] \leq -4 \implies [x] \leq -2$.
चूँकि $[x] \leq -2$,इसलिए $x < -1$,अतः $A = (-\infty, -1)$.
समुच्चय $B$ के लिए: योग एक गुणोत्तर श्रेणी है $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^n} = 3 \left( \frac{1/10}{1 - 1/10} \right) = 3 \left( \frac{1/10}{9/10} \right) = 3 \left( \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{3} = 3^{-1}$.
असमिका $3^x (3^{-1})^{x-3} < 3^{-3x}$ बन जाती है।
$3^x \cdot 3^{-x+3} < 3^{-3x} \implies 3^3 < 3^{-3x}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $3 < -3x \implies x < -1$.
अतः,$B = (-\infty, -1)$.
इसलिए,$A = B$.

(D) समुच्चय $S$ के प्रत्येक अवयव के लिए,दो असंयुक्त उपसमुच्चयों $A$ और $B$ में उसकी सदस्यता के संबंध में $3$ संभावनाएं हैं:
$1$. अवयव $A$ में है लेकिन $B$ में नहीं है।
$2$. अवयव $B$ में है लेकिन $A$ में नहीं है।
$3$. अवयव न तो $A$ में है और न ही $B$ में है।
चूंकि $n = 4$ अवयव हैं,इसलिए असंयुक्त उपसमुच्चयों के क्रमित युग्मों $(A, B)$ की कुल संख्या $3^n = 3^4 = 81$ है।
अव्यवस्थित युग्मों ${A, B}$ की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें उस स्थिति पर विचार करना होगा जहाँ $A = B$ हो। चूंकि $A$ और $B$ असंयुक्त होने चाहिए,इसलिए $A = B$ का अर्थ है $A = B = \emptyset$। यह केवल $1$ स्थिति में होता है।
अन्य सभी स्थितियों में जहाँ $A \neq B$ है,युग्म ${A, B}$ को क्रमित सूची में दो बार गिना जाता है (जैसे $(A, B)$ और $(B, A)$)।
अतः,अव्यवस्थित युग्मों की संख्या $\frac{3^n + 1}{2} = \frac{3^4 + 1}{2} = \frac{81 + 1}{2} = 41$ है।

(D) हमें समुच्चय $A = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : |x + y| \geq 3\}$ और $B = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : |x| + |y| \leq 3\}$ दिए गए हैं।
हमें समुच्चय $C = \{(x, y) \in A \cap B : x = 0 \text{ या } y = 0\}$ ज्ञात करना है।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$ है,तो $(0, y) \in A \cap B$.
$B$ से,$|0| + |y| \leq 3 \implies |y| \leq 3 \implies -3 \leq y \leq 3$.
$A$ से,$|0 + y| \geq 3 \implies |y| \geq 3$.
इन दोनों को मिलाने पर,$|y| = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 3$ या $y = -3$ है। अतः,$(0, 3)$ और $(0, -3)$ समुच्चय $C$ में हैं।
स्थिति $2$: यदि $y = 0$ है,तो $(x, 0) \in A \cap B$.
$B$ से,$|x| + |0| \leq 3 \implies |x| \leq 3 \implies -3 \leq x \leq 3$.
$A$ से,$|x + 0| \geq 3 \implies |x| \geq 3$.
इन दोनों को मिलाने पर,$|x| = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 3$ या $x = -3$ है। अतः,$(3, 0)$ और $(-3, 0)$ समुच्चय $C$ में हैं।
इसलिए,$C = \{(3, 0), (-3, 0), (0, 3), (0, -3)\}$.
अब,हम $\sum_{(x, y) \in C} |x + y| = |3 + 0| + |-3 + 0| + |0 + 3| + |0 - 3| = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$ की गणना करते हैं।

(C) समुच्चय $A$ के लिए: $\log_{(2/\pi)}|\sin x| + \log_{(2/\pi)}|\cos x| = 2$
$\Rightarrow \log_{(2/\pi)}|\sin x \cos x| = 2$
$\Rightarrow |\sin x \cos x| = (2/\pi)^2 = 4/\pi^2$
$\Rightarrow |\frac{1}{2} \sin 2x| = 4/\pi^2$
$\Rightarrow |\sin 2x| = 8/\pi^2$
चूँकि $8/\pi^2 < 1$,समीकरण $|\sin 2x| = 8/\pi^2$ के $(0, \pi) - \{\pi/2\}$ में $4$ हल हैं।
समुच्चय $B$ के लिए: माना $t = \sqrt{x} \geq 0$ है। समीकरण $t(t - 4) - 3|t - 2| + 6 = 0$ है।
स्थिति $1$: $0 \leq t < 2$. $|t - 2| = 2 - t$.
$t^2 - 4t - 3(2 - t) + 6 = 0$ $\Rightarrow t^2 - t = 0$ $\Rightarrow t = 0, 1$। अतः $x = 0, 1$।
स्थिति $2$: $t \geq 2$. $|t - 2| = t - 2$.
$t^2 - 4t - 3(t - 2) + 6 = 0$ $\Rightarrow t^2 - 7t + 12 = 0$ $\Rightarrow t = 3, 4$। अतः $x = 9, 16$।
समुच्चय $B = \{0, 1, 9, 16\}$,अतः $n(B) = 4$ है।
चूँकि $A$ और $B$ असंयुक्त हैं,$n(A \cup B) = 4 + 4 = 8$ है।

(D) माना कि दिया गया योग $S = \sum_{k=0}^{99} \left[\frac{1}{2} + \frac{k}{100}\right]$ है।
प्रत्येक पद $\left[\frac{1}{2} + \frac{k}{100}\right]$ का मान देखने पर:
$0 \le k \le 49$ के लिए,$\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \le 0.99$ होता है। अतः,महत्तम पूर्णांक भाग $0$ है। ऐसे $50$ पद हैं।
$50 \le k \le 99$ के लिए,$1 \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \le 1.49$ होता है। अतः,महत्तम पूर्णांक भाग $1$ है। ऐसे $50$ पद हैं।
इस प्रकार,$S = (50 \times 0) + (50 \times 1) = 50$.

(C) $x = 0, 1, 2, 4$ पर दिए गए मानों को देखते हुए,हम मानते हैं कि फलन $f(x)$ $3$ या उससे कम घात का बहुपद है,जिसका अर्थ है कि चौथा अंतर शून्य है: $\Delta^{4} f(0) = 0$.
$E$ ऑपरेटर का उपयोग करते हुए,जहाँ $Ef(x) = f(x+1)$,हमें मिलता है $(E-1)^{4} f(0) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें मिलता है $(E^{4}-4E^{3}+6E^{2}-4E+1) f(0) = 0$.
यह समीकरण $f(4) - 4f(3) + 6f(2) - 4f(1) + f(0) = 0$ में बदल जाता है।
ज्ञात मानों $f(0)=1, f(1)=3, f(2)=9, f(4)=81$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$81 - 4f(3) + 6(9) - 4(3) + 1 = 0$.
$81 - 4f(3) + 54 - 12 + 1 = 0$.
$124 - 4f(3) = 0$.
$4f(3) = 124$.
$f(3) = 31$.

(C) माना प्रत्येक शीर्ष की डिग्री $K$ है।
चूंकि ग्राफ नियमित है,इसलिए प्रत्येक शीर्ष की डिग्री $K$ समान है।
ग्राफ में सभी शीर्षों की डिग्री का योग शीर्षों की संख्या और प्रत्येक शीर्ष की डिग्री के गुणनफल के बराबर होता है।
यहाँ $15$ शीर्ष हैं और उनकी डिग्री का योग $60$ है,इसलिए:
$15 \times K = 60$
दोनों पक्षों को $15$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K = \frac{60}{15} = 4$
अतः,प्रत्येक शीर्ष की डिग्री $4$ है।

(B) दिया गया है $P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$।
मानों में पैटर्न देखें: $x = 0, 1, 2, 3, 4$ के लिए $P(x) = x^2 + 1$ है।
माना $Q(x) = P(x) - (x^2 + 1)$।
चूँकि $P(x)$ $5$ घात का बहुपद है,$Q(x)$ $0, 1, 2, 3, 4$ मूलों वाला $5$ घात का बहुपद है।
अतः,$Q(x) = k(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ जहाँ $k = 1$ है।
इस प्रकार,$P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2 + 1$।
$P(5)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 5$ प्रतिस्थापित करें:
$P(5) = 5(4)(3)(2)(1) + 25 + 1 = 120 + 26 = 146$।

(C) समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव के लिए $3$ संभावनाएं हैं:
$1$. अवयव उपसमुच्चय $P$ में है।
$2$. अवयव उपसमुच्चय $Q$ में है।
$3$. अवयव न तो $P$ में है और न ही $Q$ में।
चूंकि उपसमुच्चय $P$ और $Q$ परस्पर असंयुक्त होने चाहिए,इसलिए कोई भी अवयव $P$ और $Q$ दोनों में नहीं हो सकता है।
दिया गया है कि समुच्चय $A$ में $n = 5$ अवयव हैं,प्रत्येक $5$ अवयव के लिए $3$ विकल्प हैं।
अतः,उपसमुच्चय $P$ और $Q$ को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $3^n = 3^5 = 243$ है।

(D) मान लीजिए $n(A) = m$ और $n(B) = n$ है।
दिया गया है कि $P_B$ में $P_A$ से $112$ अवयव अधिक हैं,इसलिए $n(P_B) - n(P_A) = 112$ है।
चूंकि $n(P_A) = 2^m$ और $n(P_B) = 2^n$ होता है,इसलिए $2^n - 2^m = 112$ प्राप्त होता है।
$2^m$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$2^m(2^{n-m} - 1) = 112$ प्राप्त होता है।
हम $112$ को $16 \times 7 = 2^4 \times (8 - 1) = 2^4(2^3 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $m = 4$ और $n - m = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 7$।
$A$ से $B$ तक के एकैकी फलनों की संख्या $^n P_m$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$^7 P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$।

(B) समुच्चय $A$ के लिए,हमें $x^2-8x+15 \geq 0$ की आवश्यकता है।
$(x-3)(x-5) \geq 0$,जो $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$ देता है।
समुच्चय $B$ के लिए,हम $\frac{x-3}{2x-5} - \frac{x-6}{2x-11} < 0$ को हल करते हैं।
$\frac{(x-3)(2x-11) - (x-6)(2x-5)}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
$\frac{(2x^2-17x+33) - (2x^2-17x+30)}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
$\frac{3}{(2x-5)(2x-11)} < 0$.
यह दर्शाता है कि $(2x-5)(2x-11) < 0$,इसलिए $x \in \left(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
अंत में,$A \cap B = ((-\infty, 3] \cup [5, \infty)) \cap \left(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right] \cup \left[5, \frac{11}{2}\right)$.

(A) $p$ के लिए: $6^m + 9^n \equiv 1^m + (-1)^n \equiv 1 + (-1)^n \pmod{5}$.
इसके $5$ का गुणज होने के लिए $1 + (-1)^n \equiv 0 \pmod{5}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $(-1)^n = -1$.
यह तब होता है जब $n$ विषम हो। समुच्चय $\{1, 2, \ldots, 50\}$ में $n$ के लिए $25$ विषम मान और $m$ के लिए $50$ मान हैं।
अतः,$p = 50 \times 25 = 1250$.
$q$ के लिए: $m + n$ एक अभाज्य संख्या का वर्ग होना चाहिए। अभाज्य संख्याओं के संभावित वर्ग $2^2 = 4$,$3^2 = 9$,$5^2 = 25$,और $7^2 = 49$ हैं।

$m + n = 4$	$3$ युग्म: $(1,3), (2,2), (3,1)$
$m + n = 9$	$8$ युग्म: $(1,8), \ldots, (8,1)$
$m + n = 25$	$24$ युग्म: $(1,24), \ldots, (24,1)$
$m + n = 49$	$48$ युग्म: $(1,48), \ldots, (48,1)$

$q = 3 + 8 + 24 + 48 = 83$.
$p + q = 1250 + 83 = 1333$.

(B) समुच्चय $A$ के पद $a_n = 1 + (n-1)5 = 5n - 4$ हैं,जहाँ $n = 1, 2, \dots, 101$ है। अधिकतम मान $5(101) - 4 = 501$ है।
समुच्चय $B$ के पद $b_m = 9 + (m-1)7 = 7m + 2$ हैं,जहाँ $m = 1, 2, \dots, 71$ है। अधिकतम मान $7(71) + 2 = 499$ है।
किसी अवयव $x$ के $A \cap B$ में होने के लिए,$x = 5n - 4 = 7m + 2$,जिसका अर्थ है $5n = 7m + 6$ है।
$m$ के मानों की जाँच करने पर: यदि $m=2$ है,तो $x=16$ ($16 = 5(4)-4$,अतः $16 \in A$ है)।
उभयनिष्ठ पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसका सार्व अंतर $\text{lcm}(5, 7) = 35$ है। अतः,$x = 35k + 16$ है।
हमें $16 \le 35k + 16 \le 499$ की शर्त पूरी करनी है,जो $0 \le k \le 13.8$ देता है,इसलिए $k \in \{0, 1, 2, \dots, 13\}$ है।
हम चाहते हैं कि $x$,$3$ से विभाज्य हो: $35k + 16 \equiv 2k + 1 \equiv 0 \pmod 3$ है।
इसका अर्थ है $2k \equiv 2 \pmod 3$,इसलिए $k \equiv 1 \pmod 3$ है।
$k$ के लिए संभावित मान $1, 4, 7, 10, 13$ हैं।
इस प्रकार,कुल $5$ मान प्राप्त होते हैं।