Relation between A.P., G.P. Questions in Gujarati

(B) ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે $A.M. > G.M.$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{a + b}{2} > \sqrt{ab}$
$\frac{b + c}{2} > \sqrt{bc}$
$\frac{c + a}{2} > \sqrt{ca}$
આ ત્રણેય અસમતાઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > \sqrt{ab \cdot bc \cdot ca}$
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > \sqrt{a^2 b^2 c^2}$
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > abc$
$(a + b)(b + c)(c + a) > 8abc$.

(A) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
શરત $I$: $\frac{a}{r} + a + ar = 14$
$\Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$ ... $(i)$
શરત $II$: $\frac{a}{r} + 1, a + 1, ar - 1$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(a + 1) = (\frac{a}{r} + 1) + (ar - 1)$
$2a + 2 = \frac{a}{r} + ar$
$2a + 2 = a(\frac{1}{r} + r)$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$a(\frac{1}{r} + r) = 14 - a$. આ કિંમત $(ii)$ માં મુકતા:
$2a + 2 = 14 - a$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$.
$a = 4$ ને $(i)$ માં મુકતા:
$4(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$
$\frac{1}{r} + 1 + r = 3.5$
$r + \frac{1}{r} = 2.5$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
તેથી,$r = 2$ અથવા $r = 0.5$.
જો $r = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $2, 4, 8$ છે.
જો $r = 0.5$ હોય,તો સંખ્યાઓ $8, 4, 2$ છે.
બંને કિસ્સામાં,સૌથી મોટી સંખ્યા $8$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$a, {A_1}, {A_2}, b$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,${A_1} + {A_2} = a + b$ ......$(i)$
$a, {G_1}, {G_2}, b$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,${G_1}{G_2} = ab$ ......$(ii)$
$a, {H_1}, {H_2}, b$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,$\frac{1}{{{H_1}}} + \frac{1}{{{H_2}}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{{H_1} + {H_2}}}{{{H_1}{H_2}}} = \frac{{{A_1} + {A_2}}}{{{G_1}{G_2}}}$.
તેથી,$\frac{{{G_1}{G_2}}}{{{H_1}{H_2}}} = \frac{{{A_1} + {A_2}}}{{{H_1} + {H_2}}}$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
અંકગણિતીય મધ્યક $A = \frac{x+y}{2}$ અને ભૌમિતિક મધ્યક $G = \sqrt{xy}$ છે.
હાર્મોનિક મધ્યક $H = \frac{2xy}{x+y} = 4$ આપેલ છે.
$A = \frac{x+y}{2}$ હોવાથી,$x+y = 2A$ થાય. હાર્મોનિક મધ્યકના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{2xy}{2A} = 4$ $\Rightarrow \frac{xy}{A} = 4$ $\Rightarrow xy = 4A$.
$G^2 = xy$ હોવાથી,$G^2 = 4A$ થાય.
સંબંધ $2A + G^2 = 27$ માં $G^2 = 4A$ મૂકતા:
$2A + 4A = 27$ $\Rightarrow 6A = 27$ $\Rightarrow A = \frac{27}{6} = 4.5$.
હવે,$x+y = 2A = 2(4.5) = 9$ અને $xy = 4A = 4(4.5) = 18$.
$x$ અને $y$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 9t + 18 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(t-6)(t-3) = 0$.
આમ,સંખ્યાઓ $6$ અને $3$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $4:1$ છે,તેથી $a = 4b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A.M. = \frac{a+b}{2}$ અને $G.M. = \sqrt{ab}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$A.M. = G.M. + 2$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{4b+b}{2} = \sqrt{4b \times b} + 2$.
$\frac{5b}{2} = \sqrt{4b^2} + 2$.
$\frac{5b}{2} = 2b + 2$.
$2$ વડે ગુણતા,$5b = 4b + 4$.
$b = 4$.
$a = 4b$ હોવાથી,$a = 4(4) = 16$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $16$ અને $4$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ માટે $A.M. > G.M. > H.M.$ થાય.
આપેલ કિંમતો $\frac{144}{15} = 9.6$,$15$,અને $12$ છે.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$15 > 12 > 9.6$ મળે છે.
તેથી,$A.M. = 15$,$G.M. = 12$,અને $H.M. = \frac{144}{15}$ થાય.
પ્રશ્નમાં $H.M., G.M., A.M.$ ના ક્રમમાં કિંમતો પૂછવામાં આવી છે.
આમ,જરૂરી ક્રમ $\frac{144}{15}, 12, 15$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a = \frac{x + y}{2}$,$g = \sqrt{xy}$,અને $h = \frac{2xy}{x + y}$.
$g^2$ ની ગણતરી કરતા:
$g^2 = (\sqrt{xy})^2 = xy$ ... $(i)$
$ah$ નો ગુણાકાર કરતા:
$ah = \left(\frac{x + y}{2}\right) \times \left(\frac{2xy}{x + y}\right) = xy$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $g^2 = ah$,જેનો અર્થ છે કે $g = \sqrt{ah}$.
તેથી,$g$ એ $a$ અને $h$ વચ્ચેનો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $b = a + d$ અને $c = a + 2d$ લો,જ્યાં $d > 0$ કારણ કે $a < b < c$.
આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $(b^2)^2 = a^2 c^2$,જેનો અર્થ છે કે $b^4 = a^2 c^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$b^2 = \pm ac$.
જો $b^2 = ac$ હોય,તો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં થાય. કારણ કે તેઓ $A.P.$ માં પણ છે,તેથી $a = b = c$,જે $a < b < c$ નો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$b^2 = -ac$.
$b = a + d$ અને $c = a + 2d$ મૂકતા:
$(a + d)^2 = -a(a + 2d)$
$a^2 + d^2 + 2ad = -a^2 - 2ad$
$2a^2 + 4ad + d^2 = 0$.
$a + b + c = \frac{3}{2}$ આપેલ હોવાથી,$3a + 3d = \frac{3}{2}$,તેથી $a + d = \frac{1}{2}$,એટલે કે $d = \frac{1}{2} - a$.
$d$ ની કિંમત $2a^2 + 4ad + d^2 = 0$ માં મૂકતા:
$4a^2 - 4a - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$d = \frac{1}{2} - a > 0$ હોવાથી,$a < \frac{1}{2}$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$a = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ છે કે $a^2(b + c), b^2(c + a), c^2(a + b)$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
દરેક પદને $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^2(b + c)}{abc}, \frac{b^2(c + a)}{abc}, \frac{c^2(a + b)}{abc}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{a(b + c)}{bc}, \frac{b(c + a)}{ac}, \frac{c(a + b)}{ab}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$\frac{ab + ac}{bc}, \frac{bc + ab}{ac}, \frac{ca + bc}{ab}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
દરેક પદમાં $1$ ઉમેરતા:
$\frac{ab + ac}{bc} + 1, \frac{bc + ab}{ac} + 1, \frac{ca + bc}{ab} + 1$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$\frac{ab + ac + bc}{bc}, \frac{bc + ab + ac}{ac}, \frac{ca + bc + ab}{ab}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$(ab + bc + ca)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{bc}, \frac{1}{ac}, \frac{1}{ab}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$abc$ વડે ગુણતા:
$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(A) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $AP$ માં છે,તેથી $2y = x + z$.
આથી $z = 2y - x$.
આપેલ છે કે $x, y, t$ એ $GP$ માં છે,તેથી $y^2 = xt$.
આથી $t = \frac{y^2}{x}$.
હવે,શ્રેણી $x, x - y, t - z$ ધ્યાનમાં લો.
$t$ અને $z$ ની કિંમત મૂકતા:
$t - z = \frac{y^2}{x} - (2y - x) = \frac{y^2 - 2xy + x^2}{x} = \frac{(x - y)^2}{x}$.
શ્રેણી $x, x - y, t - z$ એ $GP$ માં હોય તે માટે,મધ્યમ પદનો વર્ગ એ પ્રથમ અને ત્રીજા પદના ગુણાકાર જેટલો હોવો જોઈએ:
$(x - y)^2 = x \times (t - z)$.
$(t - z)$ માટેનું પદ મૂકતા:
$x \times \frac{(x - y)^2}{x} = (x - y)^2$.
આ શરત સંતોષાતી હોવાથી,$x, x - y, t - z$ એ $GP$ માં છે.

(B) અને $b$ વચ્ચેનો સમગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^n + b^n} = (ab)^{1/2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$a^{n+1} + b^{n+1} = (ab)^{1/2} (a^n + b^n)$.
$a^{n+1} + b^{n+1} = a^{n+1/2} b^{1/2} + a^{1/2} b^{n+1/2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $a^{n+1} - a^{n+1/2} b^{1/2} = a^{1/2} b^{n+1/2} - b^{n+1}$.
$a^{n+1/2} (a^{1/2} - b^{1/2}) = b^{n+1/2} (a^{1/2} - b^{1/2})$.
જો $a \neq b$ હોય,તો $(a^{1/2} - b^{1/2})$ વડે ભાગતા:
$a^{n+1/2} = b^{n+1/2}$.
$(a/b)^{n+1/2} = 1 = (a/b)^0$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$n + 1/2 = 0$,તેથી $n = -1/2$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $A = \frac{a+b}{2}$ અને $G = \sqrt{ab}$.
તેથી,$a+b = 2A$ અને $ab = G^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.
કિંમતો મૂકતા,$(a-b)^2 = (2A)^2 - 4G^2 = 4(A^2 - G^2)$.
તેથી,$a-b = 2\sqrt{A^2 - G^2}$ (ધારો કે $a > b$).
સમીકરણો $a+b = 2A$ અને $a-b = 2\sqrt{A^2 - G^2}$ નો સરવાળો કરતા,$2a = 2A + 2\sqrt{A^2 - G^2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = A + \sqrt{A^2 - G^2}$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$2b = 2A - 2\sqrt{A^2 - G^2}$,જેનો અર્થ છે કે $b = A - \sqrt{A^2 - G^2}$.
આમ,માંગેલ સંખ્યાઓ $A \pm \sqrt{A^2 - G^2}$ છે.

(D) $a > 0$ માટે,આપેલ પદાવલિ $S = a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + 1 + a^8 + a^{10}$ છે.
બધા પદ ધન હોવાથી,આપણે સમાંતર મધ્યક અને સમગુણોત્તર મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં $7$ પદ છે: $a^{-5}, a^{-4}, a^{-3}, a^{-3}, a^{-3}, a^8, a^{10}$.
$\frac{a^{-5} + a^{-4} + a^{-3} + a^{-3} + a^{-3} + a^8 + a^{10}}{7} \geq (a^{-5} \cdot a^{-4} \cdot a^{-3} \cdot a^{-3} \cdot a^{-3} \cdot a^8 \cdot a^{10})^{1/7}$
$\frac{a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + a^8 + a^{10}}{7} \geq (a^{-5-4-3-3-3+8+10})^{1/7}$
$\frac{a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + a^8 + a^{10}}{7} \geq (a^0)^{1/7} = 1$
$a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + a^8 + a^{10} \geq 7$
મૂળ પદાવલિમાં $1$ ઉમેરતા:
$S = (a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + a^8 + a^{10}) + 1 \geq 7 + 1 = 8$
આમ,લઘુત્તમ મૂલ્ય $8$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પદો $t_n = a + (n-1)d$ મુજબ મળે.
તેથી,$t_2 = 1 + d$,$t_{10} = 1 + 9d$,અને $t_{34} = 1 + 33d$.
$t_2, t_{10}, t_{34}$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$(t_{10})^2 = t_2 \times t_{34}$ થાય.
$(1 + 9d)^2 = (1 + d)(1 + 33d)$.
$1 + 18d + 81d^2 = 1 + 33d + d + 33d^2$.
$1 + 18d + 81d^2 = 1 + 34d + 33d^2$.
$81d^2 - 33d^2 + 18d - 34d = 0$.
$48d^2 - 16d = 0$.
$16d(3d - 1) = 0$.
અહીં $d \neq 0$ હોવાથી,$3d - 1 = 0$,એટલે કે $d = 1/3$.

(D) આપેલ છે કે $a, b$ અને $c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2b = a + c$.
પદો $2^{ax + 1}, 2^{bx + 1}$ અને $2^{cx + 1}$ ને ધ્યાનમાં લો.
આ પદો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવા માટે,ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{2^{bx + 1}}{2^{ax + 1}} = \frac{2^{cx + 1}}{2^{bx + 1}}$
$2^{(b - a)x} = 2^{(c - b)x}$
કારણ કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b - a = c - b = d$ (સામાન્ય તફાવત).
આમ,$2^{dx} = 2^{dx}$,જે દરેક $x \neq 0$ માટે હંમેશા સાચું છે.
તેથી,$2^{ax + 1}, 2^{bx + 1}$ અને $2^{cx + 1}$ એ દરેક $x \neq 0$ માટે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab} = 4$,તેથી $ab = 16$.
આપેલ છે કે સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a+b}{2} = 5$,તેથી $a+b = 10$.
સમાંતર મધ્યક $(A)$,સમગુણોત્તર મધ્યક $(G)$ અને સ્વરિત મધ્યક $(H)$ વચ્ચેનો સંબંધ $G^2 = AH$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$4^2 = 5 \times H$.
$16 = 5H$.
તેથી,$H = \frac{16}{5}$.

(D) $p$ અને $q$ નો સમાંતર મધ્યક $(AM)$ $\frac{p+q}{2}$ છે.
$p$ અને $q$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ $\sqrt{pq}$ છે.
આપેલ છે કે $AM = 2 \times GM$,તેથી $\frac{p+q}{2} = 2\sqrt{pq}$.
આથી $p+q = 4\sqrt{pq}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(p+q)^2 = 16pq$,જેનું સાદું રૂપ $p^2 + 2pq + q^2 = 16pq$ અથવા $p^2 - 14pq + q^2 = 0$ થાય છે.
$q^2$ વડે ભાગતા,$(\frac{p}{q})^2 - 14(\frac{p}{q}) + 1 = 0$ મળે.
ધારો કે $x = \frac{p}{q}$. તો $x^2 - 14x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}$.
$p > q$ હોવાથી,$x > 1$,તેથી $x = 7 + 4\sqrt{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $p:q$ એ $(7 + 4\sqrt{3}) : 1$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓ માટે સમાંતર મધ્યક $(AM)$,સમગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ અને સ્વરીત મધ્યક $(HM)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$GM^2 = AM \times HM$
આપેલ છે:
$AM = 16$
$HM = \frac{63}{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$GM^2 = 16 \times \frac{63}{4}$
$GM^2 = 4 \times 63$
$GM^2 = 252$
$GM = \sqrt{252}$
$GM = \sqrt{36 \times 7}$
$GM = 6\sqrt{7}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ છે.
$a + (p - 1)d = A R^{p - 1} = x$
$a + (q - 1)d = A R^{q - 1} = y$
$a + (r - 1)d = A R^{r - 1} = z$
દરેક સમીકરણ માટે બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\ln(x) = \ln(A) + (p - 1)\ln(R)$
$\ln(y) = \ln(A) + (q - 1)\ln(R)$
$\ln(z) = \ln(A) + (r - 1)\ln(R)$
પદ $E = x^{y - z} \cdot y^{z - x} \cdot z^{x - y}$ ધ્યાનમાં લો.
$\ln(E) = (y - z)\ln(x) + (z - x)\ln(y) + (x - y)\ln(z)$ લેતા.
$\ln(x), \ln(y), \ln(z)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\ln(E) = (y - z)(\ln(A) + (p - 1)\ln(R)) + (z - x)(\ln(A) + (q - 1)\ln(R)) + (x - y)(\ln(A) + (r - 1)\ln(R))$
$\ln(E) = \ln(A)(y - z + z - x + x - y) + \ln(R)((p - 1)(y - z) + (q - 1)(z - x) + (r - 1)(x - y))$
અહીં $(y - z + z - x + x - y) = 0$ અને બીજું પદ પણ $0$ થાય છે,તેથી:
$\ln(E) = 0 \implies E = e^0 = 1$.

(B) અહીં,$A = 2G$ આપેલ છે.
$\frac{a+b}{2} = 2\sqrt{ab} \implies \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{2}{1}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ લેતા:
$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{2+1}{2-1} = 3$.
$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = 3 \implies \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \sqrt{3}$.
ફરીથી યોગ-વિયોગ પ્રમાણ લેતા:
$\frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
$\frac{a}{b} = \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right)^2 = \frac{4+2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$.

(C) અને $b$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{a+b}{2}$ છે.
આપેલ છે કે,$\frac{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^n + b^n} = \frac{a+b}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$2(a^{n+1} + b^{n+1}) = (a+b)(a^n + b^n)$.
$2a^{n+1} + 2b^{n+1} = a^{n+1} + ab^n + ba^n + b^{n+1}$.
પદોને ગોઠવતા: $a^{n+1} - ab^n - ba^n + b^{n+1} = 0$.
$a^n(a - b) - b^n(a - b) = 0$.
$(a^n - b^n)(a - b) = 0$.
અહીં $a \neq b$ હોવાથી,$a^n - b^n = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a^n = b^n$.
આમ,$(\frac{a}{b})^n = 1 = (\frac{a}{b})^0$.
તેથી,$n = 0$.

(C) કોઈપણ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a+b}{2}$,સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab}$,અને સ્વરીત મધ્યક $H = \frac{2ab}{a+b}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ માટે,$A \ge G \ge H$ થાય.
ખાસ કરીને,$A \times H = \frac{a+b}{2} \times \frac{2ab}{a+b} = ab = G^2$.
કારણ કે $G^2 = AH$,તે સૂચવે છે કે $G$ એ $A$ અને $H$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે,જે ભિન્ન સંખ્યાઓ માટે $A > G > H$ સાબિત કરે છે.

(A) કોઈપણ બે અલગ અલગ ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $A_1 > G_1 > H_1$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$A_2 = \frac{A_1 + H_1}{2}$.
$A_1 > H_1$ હોવાથી,$A_1 > A_2 > H_1$ મળે છે.
તે જ રીતે,$A_3 = \frac{A_2 + H_2}{2}$.
$A_2 > H_2$ હોવાથી,$A_2 > A_3 > H_2$ મળે છે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,આપણને શ્રેણી $A_1 > A_2 > A_3 > \dots > A_n > \dots$ મળે છે.

(C) ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a_1, a_2, \dots, a_n$ માટે,સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ $AM \ge GM$ થાય.
$\therefore \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge (a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n)^{\frac{1}{n}}$
અહીં $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = 1$ આપેલ છે,તેથી:
$\therefore \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge (1)^{\frac{1}{n}}$
$\therefore \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge 1$
$\therefore a_1 + a_2 + \dots + a_n \ge n$
આમ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $n$ થી ઓછો શક્ય નથી.

(D) સમાંતર મધ્યક $(AM)$ = $\frac{a+b}{2}$ અને સ્વરિત મધ્યક $(HM)$ = $\frac{2ab}{a+b}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{AM}{HM} = \frac{m}{n}$,તેથી $\frac{(a+b)^2}{4ab} = \frac{m}{n}$.
આના પરથી $\frac{a}{b} = \frac{m + \sqrt{m^2 - n^2}}{m - \sqrt{m^2 - n^2}}$ મળે છે.

(D) જો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $2b = a + c$.
જો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય,તો $b^2 = ac$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$c = 2b - a$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $b^2 = a(2b - a)$.
$b^2 = 2ab - a^2$.
$a^2 - 2ab + b^2 = 0$.
$(a - b)^2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a = b$.
$a = b$ હોવાથી,$2b = a + c$ માં મૂકતા $2a = a + c$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = c$.
તેથી,$a = b = c$.

(A) ધારો કે $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z} = k$ (જ્યાં $k \neq 1$).
તેથી $a = k^x, b = k^y, c = k^z$.
$a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$b^2 = ac$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$(k^y)^2 = k^x \cdot k^z$ મળે.
$k^{2y} = k^{x+z}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$2y = x + z$ મળે.
આ દર્શાવે છે કે $x, y, z$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(C) ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
સમગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ = $\sqrt{ab}$ અને સ્વરીત મધ્યક $(HM)$ = $\frac{2ab}{a+b}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{HM}{GM} = \frac{4}{5}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{\frac{2ab}{a+b}}{\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{4}{5}$,એટલે કે $\frac{\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{2}{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{ab}{(a+b)^2} = \frac{4}{25}$.
ધારો કે $x = \frac{a}{b}$. તેથી $\frac{x}{(x+1)^2} = \frac{4}{25}$.
$25x = 4(x^2 + 2x + 1) \implies 4x^2 - 17x + 4 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(4x - 1)(x - 4) = 0$.
$a > b$ હોવાથી,$x = \frac{a}{b} > 1$,તેથી $x = 4$.
આમ,$a : b = 4 : 1$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$p$ અને $q$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના બે સમાંતર મધ્યકો હોવાથી,શ્રેણી $a, p, q, b$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે.
ધારો કે સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તેથી $p = a + d$,$q = a + 2d$,અને $b = a + 3d$.
આના પરથી,$d = q - p$,તેથી $a = p - d = p - (q - p) = 2p - q$.
તે જ રીતે,$b = a + 3d = (2p - q) + 3(q - p) = 2p - q + 3q - 3p = 2q - p$.
$G$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સમગુણોત્તર મધ્યક હોવાથી,$G^2 = ab$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $G^2 = (2p - q)(2q - p)$ મળે છે.

(D) ધારો કે બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
તો,સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a+b}{2}$ છે.
સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab}$ છે.
સ્વરિત મધ્યક $H = \frac{2ab}{a+b}$ છે.
હવે,ગુણાકાર $AH = \left( \frac{a+b}{2} \right) \times \left( \frac{2ab}{a+b} \right) = ab$ થાય.
વળી,$G^2 = (\sqrt{ab})^2 = ab$ થાય.
તેથી,$G^2 = AH$.

(C) અને $b$ નો સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a + b}{2}$ છે.
$a$ અને $b$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab}$ છે.
તેથી,$A - G = \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab}$.
$A - G = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2}$.
$a = (\sqrt{a})^2$ અને $b = (\sqrt{b})^2$ હોવાથી,$A - G = \frac{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b}}{2}$.
$A - G = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} = \left[ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2}} \right]^2$.

(A) $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$a + c = 2b$ અથવા $c - b = b - a$ થાય. ધારો કે $d = b - a = c - b$.
આપેલ છે કે $b - a, c - b, a$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $(c - b)^2 = (b - a)a$ થાય.
સમીકરણમાં $d$ ની કિંમત મૂકતા,$d^2 = da$ મળે. સંખ્યાઓ ભિન્ન હોવાથી $d \neq 0$,તેથી $d = a$ થાય.
હવે,$b - a = a \implies b = 2a$.
તેમજ,$c - b = a \implies c = b + a = 2a + a = 3a$.
તેથી,$a : b : c = a : 2a : 3a = 1 : 2 : 3$.

(C) ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a+b}{2}$,સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab} = 12$,સ્વરીત મધ્યક $H = \frac{2ab}{a+b}$.
આપેલ છે કે $A + H = 25$ અને $G = 12$.
$G^2 = AH$ હોવાથી,$AH = 12^2 = 144$.
$H = \frac{144}{A}$ ને $A + H = 25$ માં મૂકતા:
$A + \frac{144}{A} = 25 \implies A^2 - 25A + 144 = 0$.
$(A - 16)(A - 9) = 0$,તેથી $A = 16$ અથવા $A = 9$.
$A \geq G$ હોવાથી,$A = 16$ લેતા.
તેથી,$\frac{a+b}{2} = 16 \implies a+b = 32$.

(C) સમાંતર શ્રેણી $a, x, y, z, b$ માટે,સરવાળો $x + y + z = 15$ છે. $x, y, z$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના પદો હોવાથી,$x+z = a+b$ અને $y = \frac{a+b}{2}$ થાય.
તેથી,$x+y+z = \frac{3}{2}(a+b) = 15$,જેનો અર્થ છે કે $a+b = 10$ (સમીકરણ $1$).
સ્વરિત શ્રેણી $a, x, y, z, b$ માટે,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{b}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તે જ રીતે,$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{5}{3}$.
આનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{10}{9}$,તેથી $\frac{a+b}{ab} = \frac{10}{9}$.
$a+b=10$ મૂકતા,આપણને $\frac{10}{ab} = \frac{10}{9}$ મળે,તેથી $ab = 9$ (સમીકરણ $2$).
$a+b=10$ અને $ab=9$ ઉકેલતા,દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 10t + 9 = 0$ મળે,જેના ઉકેલ $(t-9)(t-1) = 0$ છે.
આમ,$a, b$ ની કિંમતો $9, 1$ છે.

(B) ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
અહીં,$\sqrt{ab} = 6$ અને $\frac{a+b}{2} = 6.5$ આપેલ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$ab = 36$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$a+b = 13$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.
કિંમતો મૂકતા,$(a-b)^2 = (13)^2 - 4(36) = 169 - 144 = 25$.
તેથી,$a-b = 5$ (ધારો કે $a > b$).
સમીકરણો $a+b = 13$ અને $a-b = 5$ ને ઉકેલતા:
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2a = 18 \implies a = 9$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2b = 8 \implies b = 4$.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $4$ અને $9$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $AP$ માં છે,તેથી $\frac{a + c}{2} = b$,જેનો અર્થ છે કે $a + c = 2b$.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $GP$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
પ્રથમ સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $(a + c)^2 = (2b)^2 = 4b^2$.
$b^2 = ac$ ની કિંમત મૂકતા: $(a + c)^2 = 4ac$.
આનું સાદુંરૂપ $(a + c)^2 - 4ac = 0$ એટલે કે $(a - c)^2 = 0$ થાય છે.
તેથી,$a = c$.
$a = c$ ને $a + c = 2b$ માં મૂકતા,આપણને $c + c = 2b$ મળે,એટલે કે $2c = 2b$,જેનો અર્થ છે કે $b = c$.
આમ,$a = b = c$ મળે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
સ્વરિત મધ્યક $H = 4$ આપેલ છે,તેથી $H = \frac{2xy}{x+y} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $xy = 2(x+y)$.
સમાંતર મધ્યક $A = \frac{x+y}{2}$ હોવાથી,$x+y = 2A$,તેથી $xy = 2(2A) = 4A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $G^2 = xy$,તેથી $G^2 = 4A$.
આપેલ સમીકરણ $2A + G^2 = 27$ માં $G^2 = 4A$ મૂકતા:
$2A + 4A = 27$ $\Rightarrow 6A = 27$ $\Rightarrow A = 4.5$.
$A = \frac{x+y}{2} = 4.5$ હોવાથી,$x+y = 9$ મળે.
$xy = 4A = 4(4.5) = 18$ હોવાથી,આપણી પાસે $x+y = 9$ અને $xy = 18$ સમીકરણો છે.
$x$ અને $y$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 9t + 18 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(t-6)(t-3) = 0$,તેથી $t = 6$ અથવા $t = 3$.
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $6$ અને $3$ છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x > y$.
આપેલ છે કે $x - y = 48$,તેથી $x = 48 + y$ $(1)$.
તેમના સમાંતર મધ્યક અને સમગુણોત્તર મધ્યકનો તફાવત $18$ છે:
$\frac{x + y}{2} - \sqrt{xy} = 18$
$x + y - 2\sqrt{xy} = 36$ $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ માં $x = 48 + y$ મૂકતા:
$(48 + y) + y - 2\sqrt{(48 + y)y} = 36$
$48 + 2y - 36 = 2\sqrt{y^2 + 48y}$
$12 + 2y = 2\sqrt{y^2 + 48y}$
$2$ વડે ભાગતા:
$6 + y = \sqrt{y^2 + 48y}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(6 + y)^2 = y^2 + 48y$
$36 + 12y + y^2 = y^2 + 48y$
$36 = 36y$
$y = 1$.
તેથી $x = 48 + y = 48 + 1 = 49$.
મોટી સંખ્યા $49$ છે.

(A) $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b^2 = ac$.
સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ને $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ તરીકે લખી શકાય,જે $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ છે.
આમ,બીજ $x = -\sqrt{\frac{c}{a}}, -\sqrt{\frac{c}{a}}$ છે.
જો સમીકરણ $dx^2 + 2ex + f = 0$ ના બીજ સમાન હોય,તો તે બીજ $-\sqrt{\frac{c}{a}}$ હોવા જોઈએ.
$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ ને $dx^2 + 2ex + f = 0$ માં મૂકતા,$d(\frac{c}{a}) - 2e\sqrt{\frac{c}{a}} + f = 0$ મળે.
$c$ વડે ભાગતા,$\frac{d}{a} - \frac{2e}{c}\sqrt{\frac{c}{a}} + \frac{f}{c} = 0$ મળે.
કારણ કે $\sqrt{\frac{c}{a}} = \frac{c}{\sqrt{ac}} = \frac{c}{b}$,તેથી $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{2e}{b}$ મળે.
આ શરત દર્શાવે છે કે $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(C) અમે સમાંતર મધ્યક-હરાત્મક મધ્યક અસમતા $(AM \geq HM)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ત્રણ ધન સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે,સમાંતર મધ્યક $\frac{a+b+c}{3}$ છે અને હરાત્મક મધ્યક $\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$ છે.
અસમતા મુજબ,$\frac{a+b+c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$.
બંને બાજુ $3 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ વડે ગુણતા,આપણને $(a+b+c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 3 \times 3 = 9$ મળે છે.
આમ,ન્યૂનતમ મૂલ્ય $9$ છે.

(B) ધારો કે $x_1, x_2, \dots, x_n$ એ $n$ ધન સંખ્યાઓ છે જેથી $x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n = 1$ $(1)$.
સમાંતર મધ્યક અને સમગુણોત્તર મધ્યકની અસમતા $(AM \ge GM)$ મુજબ:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge (x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n)^{1/n}$.
સમીકરણ $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge (1)^{1/n} = 1$.
તેથી,$x_1 + x_2 + \dots + x_n \ge n$.

(B) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ ધન સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે,જ્યાં વધતી જતી $G.P.$ માટે $r > 1$ છે.
જો મધ્યમ પદને બમણું કરવામાં આવે,તો નવી સંખ્યાઓ $a, 2ar, ar^2$ બને છે.
આ સંખ્યાઓ $A.P.$ માં હોવાથી,મધ્યમ પદ એ બાકીની બે સંખ્યાઓનો સમાંતર મધ્યક છે:
$2(2ar) = a + ar^2$
$4ar = a(1 + r^2)$
$a > 0$ હોવાથી,આપણે $a$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$r^2 - 4r + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
$G.P.$ વધતી જતી હોવાથી,$r > 1$. તેથી,$r = 2 + \sqrt{3}$.

(D) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. પદો $T_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2^{nd}, 5^{th},$ અને $9^{th}$ પદો અનુક્રમે $a+d, a+4d,$ અને $a+8d$ છે.
આ પદો $G.P.$ માં હોવાથી,મધ્યમ પદનો વર્ગ પ્રથમ અને ત્રીજા પદના ગુણાકાર જેટલો થાય:
$(a+4d)^2 = (a+d)(a+8d)$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$a^2 + 8ad + 16d^2 = a^2 + 9ad + 8d^2$
$a^2$ બાદ કરતા અને પદોને ગોઠવતા:
$8d^2 = ad$
$A.P.$ અચળ ન હોવાથી,$d \neq 0$,તેથી આપણે $d$ વડે ભાગી શકીએ:
$a = 8d$
$G.P.$ ના પદો:
$T_2 = a+d = 8d+d = 9d$
$T_5 = a+4d = 8d+4d = 12d$
$T_9 = a+8d = 8d+8d = 16d$
સામાન્ય ગુણોત્તર $r$:
$r = \frac{T_5}{T_2} = \frac{12d}{9d} = \frac{4}{3}$

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ અનુક્રમે $(ca, ab), (ab, bc), (bc, ca)$ વચ્ચેના સમગુણોત્તર મધ્યકો છે.
તેથી,$\alpha^2 = (ca)(ab) = a^2bc$,$\beta^2 = (ab)(bc) = ab^2c$,અને $\gamma^2 = (bc)(ca) = abc^2$.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
આપણે $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ એટલે કે $a^2bc, ab^2c, abc^2$ ની શ્રેણી તપાસવી છે.
દરેક પદને $abc$ વડે ભાગતા,આપણને $a, b, c$ મળે છે.
જેમ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a^2bc, ab^2c, abc^2$ પણ $A.P.$ માં હશે કારણ કે તે $A.P.$ ના દરેક પદને અચળ $abc$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવ્યા છે.

(D) આપેલ છે કે ${a_1 = h_1 = 2}$ અને ${a_{10} = h_{10} = 3}$.
$A.P.$ માટે,${a_{10} = a_1 + 9d = 3}$,તેથી ${2 + 9d = 3}$,જે ${d = \frac{1}{9}}$ આપે છે.
આમ,${a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}}$.
$H.P.$ માટે,તેના વ્યસ્ત પદો $\frac{1}{h_n}$ એ $A.P.$ માં હોય છે. ધારો કે ${H_n = \frac{1}{h_n}}$.
તેથી ${H_1 = \frac{1}{2}}$ અને ${H_{10} = \frac{1}{3}}$.
${H_{10} = H_1 + 9D = \frac{1}{3}}$,તેથી ${9D = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}}$,જે ${D = -\frac{1}{54}}$ આપે છે.
તેથી ${H_7 = H_1 + 6D = \frac{1}{2} + 6(-\frac{1}{54}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{7}{18}}$.
કારણ કે ${h_7 = \frac{1}{H_7}}$,તેથી ${h_7 = \frac{18}{7}}$.
તેથી,${a_4 h_7 = \frac{7}{3} \times \frac{18}{7} = 6}$.

(D) અમે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે $AM \ge GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $AM \ge GM$ દ્વારા,$\frac{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}{3} \ge \sqrt[3]{a_1^3 a_2^3 a_3^3} = a_1 a_2 a_3$,તેથી $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 \ge 3a_1 a_2 a_3$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $AM \ge GM$ દ્વારા,$\frac{a_1/a_2 + a_2/a_3 + a_3/a_1}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \frac{a_3}{a_1}} = 1$,તેથી $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \frac{a_3}{a_1} \ge 3$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $AM \ge HM$ દ્વારા,$(a_1 + a_2 + a_3) \ge \frac{9}{1/a_1 + 1/a_2 + 1/a_3}$,જે સૂચવે છે કે $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right) \ge 9$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: અસમતા $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right)^3 \le 27$ સામાન્ય રીતે ખોટી છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $a_1=a_2=a_3=1$ હોય,તો $(3)(3^3) = 81 \not\le 27$. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચું નથી.

(C) ધારો કે મુસાફરીનું કુલ અંતર $2d$ છે.
મુસાફરીના પ્રથમ અડધા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{v_1}$ છે.
મુસાફરીના બીજા અડધા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v_2}$ છે.
સરેરાશ વેગ $V_{av} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{t_1 + t_2}$.
કિંમતો મૂકતા,$V_{av} = \frac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}} = \frac{2d}{d(\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2})} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(B) અંકગણિત મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,અઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x, y, z$ માટે:
$\frac{x^{2017} + y^{2017} + z^{2017}}{3} \geq \sqrt[3]{x^{2017} y^{2017} z^{2017}}$
$x^{2017} + y^{2017} + z^{2017} \geq 3(xyz)^{2017/3}$.
જો આપણે $x = y = z = 1$ લઈએ,તો $E = 1 + 1 + 1 - 2017 = -2014$ મળે છે.
જો $x = y = z = 0$ લઈએ,તો $E = 0$ મળે છે.
આમ,$x, y, z \geq 0$ માટે $E$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-2014$ છે.

(C) આપેલ છે કે,સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{x_1 x_2} = 18$,તેથી $x_1 x_2 = 18^2 = 324$.
આપેલ છે કે,હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2} = 16\frac{8}{13} = \frac{216}{13}$.
હરાત્મક મધ્યકના સૂત્રમાં $x_1 x_2 = 324$ મૂકતા:
$\frac{2(324)}{x_1 + x_2} = \frac{216}{13} \Rightarrow x_1 + x_2 = \frac{648 \times 13}{216} = 3 \times 13 = 39$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$.
$(x_1 - x_2)^2 = (39)^2 - 4(324) = 1521 - 1296 = 225$.
તેથી,$|x_1 - x_2| = \sqrt{225} = 15$.