Relation between A.P., G.P. Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $\frac{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^n + b^n} = \frac{a+b}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(a^{n+1} + b^{n+1}) = (a+b)(a^n + b^n)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$2a^{n+1} + 2b^{n+1} = a^{n+1} + ab^n + ba^n + b^{n+1}$
પદોને ગોઠવતા:
$a^{n+1} - ab^n - ba^n + b^{n+1} = 0$
અવયવ પાડતા:
$a^n(a - b) - b^n(a - b) = 0$
$(a^n - b^n)(a - b) = 0$
$a \neq b$ હોવાથી,$a^n - b^n = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $a^n = b^n$.
$b^n$ વડે ભાગતા:
$(\frac{a}{b})^n = 1 = (\frac{a}{b})^0$
તેથી,$n = 0$.

(D) આપેલ છે કે $n$ ધન સંખ્યાઓ $x_1, x_2, \dots, x_n$ નો ગુણાકાર $1$ છે,એટલે કે $x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n = 1$.
સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે,સમાંતર મધ્યક હંમેશા ભૂમિતિક મધ્યક કરતા મોટો અથવા તેના બરાબર હોય છે:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}$
આપેલ ગુણાકારની કિંમત મૂકતા:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{1} = 1$
બંને બાજુ $n$ વડે ગુણતા:
$x_1 + x_2 + \dots + x_n \ge n$
તેથી,$n$ ધન સંખ્યાઓનો સરવાળો ક્યારેય $n$ થી ઓછો હોઈ શકે નહીં.

(A) કોઈપણ બે ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a+b}{2}$,સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab}$,અને હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2ab}{a+b}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \times H = \left(\frac{a+b}{2}\right) \times \left(\frac{2ab}{a+b}\right) = ab = G^2$.
આમ,$G^2 = AH$,જે સૂચવે છે કે $G$ એ $A$ અને $H$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.
ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે,હંમેશા $A > G > H$ સાચું છે.

(D) ધારો કે બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a + b}{2}$ છે.
સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab}$ છે.
હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2ab}{a + b}$ છે.
હવે,$G^2$ ની ગણતરી કરતા:
$G^2 = (\sqrt{ab})^2 = ab$.
ત્યારબાદ,$AH$ ની ગણતરી કરતા:
$AH = \left( \frac{a + b}{2} \right) \times \left( \frac{2ab}{a + b} \right) = ab$.
આમ,$G^2$ અને $AH$ બંને $ab$ ની બરાબર હોવાથી,$G^2 = AH$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2b = a + c$ --- $(1)$
આપેલ છે કે $b, c, d$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,$c = \frac{2bd}{b + d}$ --- $(2)$
$(1)$ પરથી,આપણી પાસે $a + c = 2b$ છે. આ કિંમત $(2)$ માંથી મળતા સમીકરણમાં મૂકતા:
$c(b + d) = 2bd$
કારણ કે $2b = a + c$,આપણે $2bd = (a + c)d$ લખી શકીએ.
તેથી,$c(b + d) = (a + c)d$
$bc + cd = ad + cd$
બંને બાજુથી $cd$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$bc = ad$

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પદો $T_p = a + (p - 1)d, T_q = a + (q - 1)d, T_r = a + (r - 1)d, T_s = a + (s - 1)d$ છે.
$T_p, T_q, T_r, T_s$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = \frac{T_q}{T_p} = \frac{T_r}{T_q} = \frac{T_s}{T_r} = \frac{T_q - T_r}{T_p - T_q} = \frac{T_r - T_s}{T_q - T_r}$.
કિંમતો મૂકતા:
$T_q - T_r = (q - r)d$ અને $T_p - T_q = (p - q)d$.
તેથી,$R = \frac{(q - r)d}{(p - q)d} = \frac{q - r}{p - q}$.
તે જ રીતે,$R = \frac{r - s}{q - r}$.
આમ,$\frac{q - r}{p - q} = \frac{r - s}{q - r}$ હોવાથી,$(p - q), (q - r), (r - s)$ એ $G.P.$ માં છે.

(C) અને $b$ નો સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a + b}{2}$ છે.
$a$ અને $b$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab}$ છે.
તેથી,$A - G = \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2}$.
$a = (\sqrt{a})^2$ અને $b = (\sqrt{b})^2$ હોવાથી,$A - G = \frac{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}$.
આને $[\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2}}]^2$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) ધારો કે $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z} = k$.
તેથી $a = k^x, b = k^y, c = k^z$.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
$k$ ના પદોમાં $a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,$(k^y)^2 = k^x \cdot k^z$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $k^{2y} = k^{x+z}$ થાય.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$2y = x + z$ મળે.
આ શરત સૂચવે છે કે $x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a + b}{2}$,તેથી $a + b = 2A$.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab}$,તેથી $ab = G^2$.
જે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $a$ અને $b$ હોય તે $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 2Ax + G^2 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2A \pm \sqrt{(2A)^2 - 4G^2}}{2} = \frac{2A \pm 2\sqrt{A^2 - G^2}}{2} = A \pm \sqrt{A^2 - G^2}$.
કારણ કે $A^2 - G^2 = (A + G)(A - G)$,તેથી સંખ્યાઓ $A \pm \sqrt{(A + G)(A - G)}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,સમાંતર મધ્યક $(A)$ એ ગુણોત્તર મધ્યક $(G)$ કરતા મોટો હોય છે.
$A = \frac{a + b}{2}$ અને $G = \sqrt{ab}$.
$A > G$ હોવાથી,$\frac{a + b}{2} > \sqrt{ab}$ થાય.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $(a + b) > 2\sqrt{ab}$ અથવા $2\sqrt{ab} < (a + b)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે ${b^2}, {a^2}, {c^2}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,${a^2} - {b^2} = {c^2} - {a^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(a - b)(a + b) = (c - a)(c + a)$.
આમ,$a + b, b + c, c + a$ એ $H.P.$ માં છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $b = \frac{a + c}{2} \implies 2b = a + c$ .....$(i)$
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$ .....(ii)
$(i)$ પરથી,$a + c = 2b$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a + c)^2 = 4b^2$ મળે.
(ii) માંથી $b^2 = ac$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,$(a + c)^2 = 4ac$ મળે.
આનું સાદુંરૂપ $a^2 + 2ac + c^2 = 4ac$ થાય,જે $a^2 - 2ac + c^2 = 0$ છે.
આમ,$(a - c)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = c$.
$(i)$ માં $a = c$ મૂકતા,$b = \frac{a + a}{2} = a$ મળે.
તેથી,$a = b = c$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$,જેનો અર્થ છે કે $c = 2b - a$.
$a, b, d$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ad$,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{b^2}{a}$.
આપણે શ્રેણી $a, a - b, d - c$ તપાસવાની છે.
ધારો કે પદો $T_1 = a$,$T_2 = a - b$,અને $T_3 = d - c$ છે.
$c$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T_3 = \frac{b^2}{a} - (2b - a) = \frac{b^2 - 2ab + a^2}{a} = \frac{(a - b)^2}{a}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \frac{a - b}{a}$ અને $\frac{T_3}{T_2} = \frac{(a - b)^2 / a}{a - b} = \frac{a - b}{a}$ તપાસો.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,શ્રેણી $a, a - b, d - c$ એ $G.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $x, 1, z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી મધ્યમ પદ સમાંતર મધ્યક છે: $1 = \frac{x + z}{2}$,જે સૂચવે છે કે $x + z = 2$......$(i)$
આપેલ છે કે $x, 2, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી મધ્યમ પદ સમગુણોત્તર મધ્યક છે: $2^2 = xz$,જે સૂચવે છે કે $xz = 4$......$(ii)$
$x, 4, z$ એ $H.P.$ માં હોવા માટે,મધ્યમ પદ એ $x$ અને $z$ નો હરાત્મક મધ્યક હોવો જોઈએ,જે $\frac{2xz}{x + z}$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ની કિંમતો હરાત્મક મધ્યકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Harmonic Mean} = \frac{2(4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
તેથી,$x, 4, z$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $x = 1 + a + a^2 + \dots = \frac{1}{1-a}$,$y = 1 + b + b^2 + \dots = \frac{1}{1-b}$,અને $z = 1 + c + c^2 + \dots = \frac{1}{1-c}$ જ્યાં $|a|, |b|, |c| < 1$.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
દરેક પદને $1$ માંથી બાદ કરતા,$1-a, 1-b, 1-c$ પણ $A.P.$ માં થશે કારણ કે $(1-a) + (1-c) = 2 - (a+c) = 2 - 2b = 2(1-b)$.
જેથી $1-a, 1-b, 1-c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{1-a}, \frac{1}{1-b}, \frac{1}{1-c}$ એ $H.P.$ માં હશે.
તેથી,$x, y, z$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$ ..... $(i)$
આપેલ છે કે $b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $c^2 = bd$ ..... $(ii)$
આપેલ છે કે $c, d, e$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $d = \frac{2ce}{c + e}$ ..... $(iii)$
$(ii)$ માંથી,$b = \frac{a + c}{2}$ અને $d = \frac{2ce}{c + e}$ મૂકતા:
$c^2 = \left(\frac{a + c}{2}\right) \left(\frac{2ce}{c + e}\right)$
$c^2 = \frac{(a + c)ce}{c + e}$
$c^2(c + e) = (a + c)ce$
$c^3 + c^2e = ace + c^2e$
$c^3 = ace$
$c \neq 0$ હોવાથી,$c$ વડે ભાગતા $c^2 = ae$ મળે.
તેથી,$a, c, e$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ માટે,તેમના સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$,ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ અને હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$(G.M.)^2 = A.M. \times H.M.$
અહીં $A.M. = 27$ અને $H.M. = 12$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$(G.M.)^2 = 27 \times 12$
$(G.M.)^2 = 324$
$G.M. = \sqrt{324} = 18$.

(C) બે સંખ્યાઓ માટે સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$,ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ અને હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$G.M.^2 = A.M. \times H.M.$
અહીં $G.M. = 18$ અને $A.M. = 27$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$(18)^2 = 27 \times H.M.$
$324 = 27 \times H.M.$
$H.M. = \frac{324}{27}$
$H.M. = 12$

(B) આપેલ છે કે $A.M. = 2(G.M.)$.
$\frac{a + b}{2} = 2\sqrt{ab}$.
$\frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 4$.
ધારો કે $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$. તેથી $\frac{a}{b} = x^2$ અને $\frac{b}{a} = \frac{1}{x^2}$.
$\sqrt{ab}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = 4$.
$x + \frac{1}{x} = 4$.
$x^2 - 4x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$\frac{a}{b} = x^2$ હોવાથી,$\frac{a}{b} = (2 \pm \sqrt{3})^2 = 7 \pm 4\sqrt{3}$.
વૈકલ્પિક રીતે,કોમ્પોનેન્ડો અને ડિવિડેન્ડો નિયમ મુજબ:
$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{2+1}{2-1} = 3$.
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt{3}$.
ફરીથી કોમ્પોનેન્ડો અને ડિવિડેન્ડો નિયમ વાપરતા:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
$\frac{a}{b} = \frac{4+2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$.

(C) $A_j$ અને $H_j$ એ $j^{th}$ $A.M.$ અને $H.M.$ દર્શાવે છે,જ્યાં $j = 1, 2, \dots, 9$,જે $2$ અને $3$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવ્યા છે.
$A.M.s$ માટે,શ્રેણી $2, A_1, A_2, \dots, A_9, 3$ એ $11$ પદો સાથે $A.P.$ માં છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{3 - 2}{9 + 1} = \frac{1}{10}$.
તેથી,$A_j = 2 + j \times d = 2 + \frac{j}{10}$.
$H.M.s$ માટે,શ્રેણી $2, H_1, H_2, \dots, H_9, 3$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,$\frac{1}{2}, \frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \dots, \frac{1}{H_9}, \frac{1}{3}$ એ $A.P.$ માં છે.
સામાન્ય તફાવત $D = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{9 + 1} = \frac{-\frac{1}{6}}{10} = -\frac{1}{60}$.
તેથી,$\frac{1}{H_j} = \frac{1}{2} + j \times D = \frac{1}{2} - \frac{j}{60}$.
હવે,$A_j + \frac{6}{H_j}$ ની ગણતરી કરો:
$A_j + 6 \times \frac{1}{H_j} = (2 + \frac{j}{10}) + 6 \times (\frac{1}{2} - \frac{j}{60})$
$= 2 + \frac{j}{10} + 3 - \frac{6j}{60}$
$= 5 + \frac{j}{10} - \frac{j}{10} = 5$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
$2b = a + c$ ......$(i)$
આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $H.P.$ માં છે.
$b^2 = \frac{2a^2c^2}{a^2 + c^2}$
$b^2(a^2 + c^2) = 2a^2c^2$
$b^2((a+c)^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$(i)$ પરથી $a+c = 2b$ મૂકતા:
$b^2(4b^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$4b^4 - 2acb^2 - 2a^2c^2 = 0$
$2b^4 - acb^2 - a^2c^2 = 0$
$(2b^2 + ac)(b^2 - ac) = 0$
$a, b, c$ વાસ્તવિક હોવાથી,$b^2 = ac$ મળે.
જો $b^2 = ac$ હોય,તો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.
$a, b, c$ એ $A.P.$ અને $G.P.$ બંનેમાં હોવાથી,$a = b = c$ થાય.

(D) ધારો કે ચાર સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar, x$ છે.
છેલ્લી ત્રણ સંખ્યાઓ $a, ar, x$ એ $A.P.$ માં છે અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે,તેથી $ar - a = 6$ અને $x - ar = 6$.
આમ,$x = ar + 6$.
$ar = a + 6$ હોવાથી,$x = (a + 6) + 6 = a + 12$.
પ્રથમ અને છેલ્લી સંખ્યા સમાન હોવાથી,$\frac{a}{r} = x = a + 12$.
$ar - a = 6$ પરથી,$a(r - 1) = 6$,તેથી $r - 1 = \frac{6}{a}$,એટલે કે $r = 1 + \frac{6}{a} = \frac{a + 6}{a}$.
$\frac{a}{r} = a + 12$ માં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{a}{(a + 6)/a} = a + 12$
$\frac{a^2}{a + 6} = a + 12$
$a^2 = (a + 12)(a + 6)$
$a^2 = a^2 + 18a + 72$
$18a = -72$
$a = -4$.
પ્રથમ સંખ્યા $\frac{a}{r} = a + 12 = -4 + 12 = 8$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\frac{H.M.}{G.M.} = \frac{12}{13}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $H.M. = \frac{2ab}{a+b}$ અને $G.M. = \sqrt{ab}$.
તેથી,$\frac{2ab}{(a+b)\sqrt{ab}} = \frac{12}{13} \Rightarrow \frac{2\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{12}{13}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{13}{12}$.
યોગ-વિયોગની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{(a+b)+2\sqrt{ab}}{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \frac{13+12}{13-12} = \frac{25}{1}$.
$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = 25$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 5$.
ફરીથી યોગ-વિયોગની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{5+1}{5-1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{a}{b} = \frac{9}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $9:4$ છે,જે આપેલા વિકલ્પોમાં નથી.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે. આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = \frac{9}{1}$,તેથી $a = 9b$.
સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab}$ છે.
હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2ab}{a+b}$ છે.
$a = 9b$ કિંમત મૂકતા:
$G = \sqrt{9b \cdot b} = \sqrt{9b^2} = 3b$.
$H = \frac{2(9b)(b)}{9b + b} = \frac{18b^2}{10b} = \frac{9b}{5}$.
સમગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યકનો ગુણોત્તર $\frac{G}{H} = \frac{3b}{\frac{9b}{5}} = 3b \cdot \frac{5}{9b} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $5:3$ છે.

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $A.P.$,$G.P.$ અને $H.P.$ ના પ્રથમ અને $(2n - 1)^{th}$ પદો છે.
$A.P.$ માટે: $n^{th}$ પદ $a = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $(i)$
$G.P.$ માટે: $n^{th}$ પદ $b = \sqrt{\alpha \beta}$ (ii)
$H.P.$ માટે: $n^{th}$ પદ $c = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ (iii)
$(i)$,(ii) અને (iii) પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a, b, c$ એ $\alpha$ અને $\beta$ ના સમાંતર મધ્યક,સમગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે,$A.M. \ge G.M. \ge H.M.$
તેથી,$a \ge b \ge c$,જે વિકલ્પ $(a)$ સાથે મેળ ખાય છે.
વળી,$ac = \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \left(\frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}\right) = \alpha \beta = b^2$.
તેથી,$ac - b^2 = 0$,જે વિકલ્પ $(c)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) ધારો કે $a$ અને $b$ એ ત્રણ શ્રેણીઓના પ્રથમ અને અંતિમ પદો છે,જેમાં દરેકના $(2n + 1)$ પદો છે.
$A.P.$ નું મધ્યમ પદ $A = \frac{a + b}{2}$ છે.
$G.P.$ નું મધ્યમ પદ $G = \sqrt{ab}$ છે.
$H.P.$ નું મધ્યમ પદ $H = \frac{2ab}{a + b}$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $G^2 = (\sqrt{ab})^2 = ab$ અને $A \times H = \left(\frac{a + b}{2}\right) \times \left(\frac{2ab}{a + b}\right) = ab$.
કારણ કે $G^2 = A \times H$,તેથી મધ્યમ પદો $A, G, H$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
$a + x, b + x, c + x$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,મધ્યમ પદ એ હાર્મોનિક મધ્યક છે:
$b + x = \frac{2(a + x)(c + x)}{(a + x) + (c + x)}$
$(b + x)(a + c + 2x) = 2(ac + x(a + c) + x^2)$
$ab + bc + 2bx + ax + cx + 2x^2 = 2ac + 2x(a + c) + 2x^2$
$ab + bc + 2bx = 2ac + x(a + c)$
$x(2b - a - c) = 2ac - ab - bc$
$ac = b^2$ મૂકતા:
$x(2b - a - c) = 2b^2 - ab - bc = b(2b - a - c)$
જો $2b - a - c \neq 0$ હોય,તો $x = b$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{a + b}{1 - ab}, b, \frac{b + c}{1 - bc}$ એ $A.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $b - \frac{a + b}{1 - ab} = \frac{b + c}{1 - bc} - b$
$\Rightarrow \frac{b(1 - ab) - (a + b)}{1 - ab} = \frac{(b + c) - b(1 - bc)}{1 - bc}$
$\Rightarrow \frac{b - ab^2 - a - b}{1 - ab} = \frac{b + c - b + bc^2}{1 - bc}$
$\Rightarrow \frac{-a(1 + b^2)}{1 - ab} = \frac{c(1 + b^2)}{1 - bc}$
બંને બાજુ $(1 + b^2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{-a}{1 - ab} = \frac{c}{1 - bc}$
$\Rightarrow -a(1 - bc) = c(1 - ab)$
$\Rightarrow -a + abc = c - abc$
$\Rightarrow 2abc = a + c$
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $2b = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ શરત દર્શાવે છે કે $\frac{1}{a}, b, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે,જેનો અર્થ છે કે $a, \frac{1}{b}, c$ એ $H.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે $2(y - a)$ એ $y - x$ અને $y - z$ વચ્ચેનો $H.M.$ છે,તેથી $y - x, 2(y - a), y - z$ એ $H.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{y - x}, \frac{1}{2(y - a)}, \frac{1}{y - z}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$\frac{1}{2(y - a)} - \frac{1}{y - x} = \frac{1}{y - z} - \frac{1}{2(y - a)}$.
$\frac{y - 2a + x}{y - x} = \frac{y - 2a + z}{y - z}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{x - a + y - a}{-(x - a) + (y - a)} = \frac{y - a + z - a}{-(y - a) + (z - a)}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (componendo and dividendo) નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{x - a}{y - a} = \frac{y - a}{z - a}$ મળે છે.
તેથી,$x - a, y - a, z - a$ એ $G.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $A.M.$ અને $H.M.$ નો ગુણોત્તર $m:n$ છે,તેથી $\frac{(a+b)/2}{2ab/(a+b)} = \frac{m}{n}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{(a+b)^2}{4ab} = \frac{m}{n}$ થાય છે.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા,$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{m}{m-n}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m-n}}$.
ફરીથી યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા,$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{m} + \sqrt{m-n}}{\sqrt{m} - \sqrt{m-n}}$.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર મધ્યક $6$ છે,તેથી $\sqrt{ab} = 6$,જેનો અર્થ છે કે $ab = 36$.
આપેલ છે કે સમાંતર મધ્યક $6.5$ છે,તેથી $\frac{a+b}{2} = 6.5$,જેનો અર્થ છે કે $a+b = 13$.
સંખ્યાઓ શોધવા માટે આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ બનાવી શકીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 13x + 36 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 9x - 4x + 36 = 0$.
$x(x - 9) - 4(x - 9) = 0$.
$(x - 4)(x - 9) = 0$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $4$ અને $9$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
વળી,$a, c - b, b - a$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $(c - b)^2 = a(b - a)$.
ધારો કે $a = x - d, b = x, c = x + d$.
તેથી $c - b = d$ અને $b - a = d$.
$G.P.$ ની શરત મુજબ $d^2 = (x - d)(d)$.
$a \ne b \ne c$ હોવાથી $d \ne 0$,તેથી $d = x - d$,જેનો અર્થ છે $x = 2d$.
આમ,$a = d, b = 2d, c = 3d$.
તેથી,$a:b:c = 1:2:3$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$,ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$,અને હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$(G.M.)^2 = (A.M.) \times (H.M.)$
અહીં $A.M. = 9$ અને $H.M. = 36$ આપેલ છે,તેથી:
$(G.M.)^2 = 9 \times 36$
$(G.M.)^2 = 324$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$G.M. = \sqrt{324} = 18$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણી પાસે $H.M. = \frac{2ab}{a + b}$ અને $G.M. = \sqrt{ab}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{H.M.}{G.M.} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow \frac{2ab/(a + b)}{\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow \frac{2\sqrt{ab}}{a + b} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}$.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા:
$\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a + b - 2\sqrt{ab}} = \frac{5 + 4}{5 - 4}$ $\Rightarrow \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = \frac{9}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{3}{1}$.
ફરીથી યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા:
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{3 + 1}{3 - 1}$ $\Rightarrow \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{4}{2} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{a}{b} = 2^2 = 4$.
આમ,$a:b = 4:1$ અથવા $b:a = 1:4$.

(A) આપેલ છે કે $A.M. = G.M. = H.M.$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$A.M. \ge G.M. \ge H.M.$ થાય છે.
સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જો $a = b$ હોય.
વૈકલ્પિક રીતે,$A.M. = G.M.$ પરથી,$\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(a+b)^2}{4} = ab$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(a+b)^2 = 4ab$.
$(a+b)^2 - 4ab = 0$,જેનું સાદું રૂપ $(a-b)^2 = 0$ થાય છે.
તેથી,$a - b = 0$,અથવા $a = b$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
$ \Rightarrow 2b = a + c $
પદો $10^{ax + 10}, 10^{bx + 10}, 10^{cx + 10}$ ધ્યાનમાં લો.
આ પદો $G.P.$ માં હોય તે માટે,મધ્યમ પદનો વર્ગ પ્રથમ અને ત્રીજા પદના ગુણાકાર જેટલો હોવો જોઈએ:
$(10^{bx + 10})^2 = 10^{2(bx + 10)} = 10^{2bx + 20}$
પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો ગુણાકાર: $10^{ax + 10} \times 10^{cx + 10} = 10^{ax + cx + 20} = 10^{(a+c)x + 20}$
કારણ કે $a + c = 2b$,તેથી $10^{(a+c)x + 20} = 10^{2bx + 20}$.
આમ,$(10^{bx + 10})^2 = 10^{ax + 10} \times 10^{cx + 10}$ એ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું છે.
તેથી,આ પદો $x$ ની તમામ કિંમતો માટે $G.P.$ માં છે.

(C) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $(a - d), a, (a + d)$ છે.
તેમના વર્ગો $G.P.$ માં હોવાથી,$(a - d)^2, a^2, (a + d)^2$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(a^2)^2 = (a - d)^2(a + d)^2$.
$a^4 = (a^2 - d^2)^2$.
$a^4 = a^4 - 2a^2d^2 + d^4$.
$d^4 - 2a^2d^2 = 0$.
$d^2(d^2 - 2a^2) = 0$.
જો $d = 0$ હોય,તો સંખ્યાઓ $a, a, a$ છે,જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1$ છે.
જો $d^2 = 2a^2$ હોય,તો $d = \pm \sqrt{2}a$.
આ કિસ્સામાં $r = 3 \pm 2\sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,કુલ $3$ શક્ય સામાન્ય ગુણોત્તર મળે છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ છે.
કારણ કે ${G_1}$ અને ${G_2}$ એ $p$ અને $q$ વચ્ચેના બે સમગુણોત્તર મધ્યકો છે,તેથી શ્રેણી $p, G_1, G_2, q$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ લઈએ. તો $G_1 = pr$,$G_2 = pr^2$,અને $q = pr^3$,તેથી $r = (q/p)^{1/3}$.
આમ,${G_1} = p^{2/3}q^{1/3}$ અને ${G_2} = p^{1/3}q^{2/3}$.
સમાંતર મધ્યક $A = \frac{p+q}{2}$ છે,તેથી $p+q = 2A$.
હવે,$\frac{{G_1^2}}{{{G_2}}} + \frac{{G_2^2}}{{{G_1}}} = \frac{(p^{2/3}q^{1/3})^2}{p^{1/3}q^{2/3}} + \frac{(p^{1/3}q^{2/3})^2}{p^{2/3}q^{1/3}} = p + q$.
$p+q = 2A$ મૂકતા,આપણને કિંમત $2A$ મળે છે.

(D) ધારો કે ઘટતી $A.P.$ ના ત્રણ પદો $a+d, a, a-d$ છે,જ્યાં $d > 0$ છે.
સરવાળો: $(a+d) + a + (a-d) = 27$ $\Rightarrow 3a = 27$ $\Rightarrow a = 9$.
પદો $9+d, 9, 9-d$ છે.
અનુક્રમે $-1, -1, 3$ ઉમેરતા: $(9+d-1), (9-1), (9-d+3) = (8+d), 8, (12-d)$ મળે છે.
આ પદો $G.P.$ માં હોવાથી,વચ્ચેના પદનો વર્ગ બાકીના બે પદોના ગુણાકાર જેટલો થાય:
$8^2 = (8+d)(12-d)$
$64 = 96 - 8d + 12d - d^2$
$d^2 - 4d - 32 = 0$
$(d-8)(d+4) = 0$.
$A.P.$ ઘટતી હોવાથી,$d$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $d = 8$.
સંખ્યાઓ $9+8, 9, 9-8$ એટલે કે $17, 9, 1$ છે.

(A) ધારો કે $a$ અને $b$ બે સંખ્યાઓ છે.
$n$ $A.M.s$ નો સરવાળો $n \times (\text{single } A.M.)$ દ્વારા મળે છે,તેથી ${A_1} + {A_2} = 2 \times \left( \frac{a + b}{2} \right) = a + b$.
$n$ $G.M.s$ નો ગુણાકાર $(\text{single } G.M.)^n$ દ્વારા મળે છે,તેથી ${G_1}{G_2} = (\sqrt{ab})^2 = ab$.
કારણ કે ${H_1}, {H_2}$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $H.M.s$ છે,તેથી શ્રેણી $\frac{1}{a}, \frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \frac{1}{b}$ એ $A.P$ માં છે.
તેથી,$\frac{1}{H_1} + \frac{1}{H_2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{H_1 + H_2}{H_1 H_2} = \frac{a + b}{ab}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{H_1 + H_2}{H_1 H_2} = \frac{A_1 + A_2}{G_1 G_2}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{G_1 G_2}{H_1 H_2} \times \frac{H_1 + H_2}{A_1 + A_2} = 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પદો $T_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_2 = 1 + d$,$T_{10} = 1 + 9d$,અને $T_{34} = 1 + 33d$.
$T_2, T_{10}, T_{34}$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$(T_{10})^2 = T_2 \times T_{34}$ થાય.
$(1 + 9d)^2 = (1 + d)(1 + 33d)$.
$1 + 81d^2 + 18d = 1 + 33d + d + 33d^2$.
$1 + 81d^2 + 18d = 1 + 34d + 33d^2$.
$48d^2 - 16d = 0$.
$16d(3d - 1) = 0$.
આથી $d = 0$ અથવા $d = \frac{1}{3}$ મળે.
સામાન્ય તફાવત શૂન્યતર હોવાથી,જવાબ $\frac{1}{3}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $b - a = c - b$.
ધારો કે પદો $T_1 = 2^{ax + 1}$,$T_2 = 2^{bx + 1}$,અને $T_3 = 2^{cx + 1}$ છે.
આ પદો $G.P.$ માં હોય તે માટે ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$ થવો જોઈએ.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2^{bx + 1}}{2^{ax + 1}} = 2^{(b - a)x}$.
$\frac{T_3}{T_2} = \frac{2^{cx + 1}}{2^{bx + 1}} = 2^{(c - b)x}$.
કારણ કે $b - a = c - b$,તેથી બધા $x \ne 0$ માટે $2^{(b - a)x} = 2^{(c - b)x}$ થાય.
આમ,આ પદો બધા $x \ne 0$ માટે $G.P.$ બનાવે છે.

(B) ધારો કે $h_1, h_2, h_3$ એ શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ થી સામેની બાજુઓ $a, b, c$ પરના વેધ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a h_1 = \frac{1}{2} b h_2 = \frac{1}{2} c h_3$.
તેથી,$h_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$h_2 = \frac{2\Delta}{b}$,અને $h_3 = \frac{2\Delta}{c}$.
આપેલ છે કે $h_1, h_2, h_3$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2h_2 = h_1 + h_3$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2(\frac{2\Delta}{b}) = \frac{2\Delta}{a} + \frac{2\Delta}{c}$ મળે છે.
$2\Delta$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે.

(A) કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$,જેનો અર્થ છે કે $c - b = b - a$.
આપેલ છે કે $b - a, c - b, a$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $(c - b)^2 = (b - a)a$.
$c - b = b - a$ ને $G.P.$ ની શરતમાં મૂકતા,આપણને $(b - a)^2 = (b - a)a$ મળે છે.
$a, b, c$ અસમાન હોવાથી,$b - a \neq 0$,તેથી $(b - a)$ વડે ભાગતા $b - a = a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 2a$.
$b = 2a$ ને $2b = a + c$ માં મૂકતા,આપણને $2(2a) = a + c$ મળે છે,તેથી $4a = a + c$,જે $c = 3a$ આપે છે.
આમ,$a : b : c = a : 2a : 3a = 1 : 2 : 3$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
$a^2, b^2, c^2$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,$\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2} = \frac{1}{c^2} - \frac{1}{b^2}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{a^2 - b^2}{a^2 b^2} = \frac{b^2 - c^2}{b^2 c^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે $\frac{(a-b)(a+b)}{a^2} = \frac{(b-c)(b+c)}{c^2}$.
$a-b = b-c$ હોવાથી,જો $a \neq b$ હોય,તો $(a-b)$ વડે ભાગતા $\frac{a+b}{a^2} = \frac{b+c}{c^2}$ મળે.
$c^2(a+b) = a^2(b+c) \Rightarrow c^2 a + c^2 b = a^2 b + a^2 c$.
$ac(c-a) = b(a^2-c^2) = b(a-c)(a+c)$.
$a \neq c$ હોવાથી,$(c-a)$ વડે ભાગતા $ac = -b(a+c)$ મળે.
$a+c = 2b$ મૂકતા,$ac = -b(2b) = -2b^2$,અથવા $b^2 = \frac{-ac}{2} = (\frac{-a}{2})c$.
આથી સાબિત થાય છે કે $\frac{-a}{2}, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ $a_1$ અને $a_2$ છે.
સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a_1 + a_2}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a_1 + a_2 = 2A$.
ગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{a_1 a_2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $G^2 = a_1 a_2$.
હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2a_1 a_2}{a_1 + a_2}$ છે.
$H$ ના સૂત્રમાં $a_1 + a_2$ અને $a_1 a_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$H = \frac{2(G^2)}{2A} = \frac{G^2}{A}$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતર મધ્યક $(A)$,સમગુણોત્તર મધ્યક $(G)$ અને હરાત્મક મધ્યક $(H)$ વચ્ચેનો સંબંધ $G^2 = AH$ છે.
આપેલ છે કે $H = \frac{72}{5}$ અને $G = 24$.
કિંમતો મૂકતા: $(24)^2 = A \times \frac{72}{5}$.
$576 = A \times \frac{72}{5} \Rightarrow A = 40$.
$A = \frac{a+b}{2} = 40$ હોવાથી,$a+b = 80$ $(i)$.
$G = \sqrt{ab} = 24$ હોવાથી,$ab = 576$ $(ii)$.
$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(a-b)^2 = (80)^2 - 4(576) = 6400 - 2304 = 4096$.
તેથી,$a-b = 64$ $(iii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો ઉકેલ મેળવતા: $2a = 144 \Rightarrow a = 72$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a=72$ મૂકતા: $72 + b = 80 \Rightarrow b = 8$.
મોટી સંખ્યા $72$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{A.M.}{G.M.} = \frac{p}{q}$,જ્યાં $A.M. = \frac{x+y}{2}$ અને $G.M. = \sqrt{xy}$.
તેથી,$\frac{x+y}{2\sqrt{xy}} = \frac{p}{q} \dots (i)$.
યોગ-વિયોગની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x}{y} = \frac{p + \sqrt{p^2 - q^2}}{p - \sqrt{p^2 - q^2}}$ મળે છે.