Relation between A.P., G.P. Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $2a, b, 4c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = 2a + 4c$,જેનું સાદું રૂપ $b = a + 2c$ થાય છે.
આપેલ છે કે $c, a, b$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $a^2 = bc$.
$b = a + 2c$ ને $a^2 = bc$ માં મૂકતા,આપણને $a^2 = c(a + 2c) = ac + 2c^2$ મળે છે.
ગોઠવતા $a^2 - ac - 2c^2 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા: $(a - 2c)(a + c) = 0$.
કારણ કે $a, c \in \mathbb{R}^+$,તેથી $a = 2c$ મળે.
હવે વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $C$ માં $c, a, a+2c$ માં $a=2c$ મૂકતા $c, 2c, 4c$ મળે છે,જે $G.P.$ માં છે.

(B) પ્રથમ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં $a_1 = 2$,$d_1 = 3$,અને $n_1 = 50$ છે. $50$મું પદ $T_{50} = 2 + (50 - 1)3 = 149$ છે.
બીજી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં $a_2 = 3$,$d_2 = 2$,અને $n_2 = 60$ છે. $60$મું પદ $T'_{60} = 3 + (60 - 1)2 = 121$ છે.
સામાન્ય પદો $5, 11, 17, \dots$ છે. આ એક નવી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $A = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $D = \text{lcm}(3, 2) = 6$ છે.
સામાન્ય શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = 5 + (n - 1)6 = 6n - 1$ છે.
સામાન્ય પદો બંને શ્રેણીમાં હોવા જોઈએ,તેથી $T_n \leq 121$.
$6n - 1 \leq 121 \implies 6n \leq 122 \implies n \leq 20.33$.
તેથી,સામાન્ય પદોની સંખ્યા $20$ છે.

(A) ધારો કે સંખ્યાઓ $A = 50$ અને $B = 100$ છે.
સમાંતર મધ્યકો માટે,સામાન્ય તફાવત $d = \frac{B-A}{n+1} = \frac{50}{n+1}$ છે.
તેથી $a_2 = A + 2d = 50 + \frac{100}{n+1} = \frac{50(n+3)}{n+1}$.
સ્વરિત મધ્યકો માટે,$\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,જેમાં પ્રથમ પદ $\frac{1}{50}$ અને અંતિમ પદ $\frac{1}{100}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d' = \frac{\frac{1}{100} - \frac{1}{50}}{n+1} = \frac{-1}{100(n+1)}$ છે.
$\frac{1}{h_{n-1}} = \frac{1}{50} + (n-1)d' = \frac{1}{50} - \frac{n-1}{100(n+1)} = \frac{n+3}{100(n+1)}$.
તેથી $h_{n-1} = \frac{100(n+1)}{n+3}$.
અંતે,$a_2 h_{n-1} = \frac{50(n+3)}{n+1} \times \frac{100(n+1)}{n+3} = 5000$.

(B) ધારો કે $A, G, H$ એ અનુક્રમે $a$ અને $b$ ના સમાંતર,ગુણોત્તર અને હરાત્મક મધ્યક છે.
આપેલ છે કે $A = G + \frac{3}{2}$ અને $G = H + \frac{6}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $G^2 = AH$,તેથી $H = \frac{G^2}{A}$.
બીજા સમીકરણમાં $H$ ની કિંમત મૂકતા: $G = \frac{G^2}{A} + \frac{6}{5} \implies G - \frac{6}{5} = \frac{G^2}{G + 3/2}$.
$(G - 1.2)(G + 1.5) = G^2 \implies G^2 + 1.5G - 1.2G - 1.8 = G^2$.
$0.3G = 1.8 \implies G = 6$.
તેથી $A = 6 + 1.5 = 7.5 = \frac{15}{2}$ અને $H = 6 - 1.2 = 4.8 = \frac{24}{5}$.
$A = \frac{a+b}{2} = \frac{15}{2}$ હોવાથી,$a+b = 15$.
$G = \sqrt{ab} = 6$ હોવાથી,$ab = 36$.
સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ એ $x^2 - 15x + 36 = 0$ ના બીજ છે.
$(x - 12)(x - 3) = 0$,તેથી ${a, b} = {12, 3}$.
$|a^2 - b^2| = |144 - 9| = 135$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a+c = 2b$.
$a+b+c = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$a+c=2b$ મૂકતા $3b = \frac{3}{4}$ મળે,તેથી $b = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $(b^2)^2 = a^2 c^2$,જેનો અર્થ છે કે $ac = \pm b^2 = \pm \frac{1}{16}$.
$a < b < c$ હોવાથી,$ac$ ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $ac = -\frac{1}{16}$.
આપણને $a+c = 2b = \frac{1}{2}$ અને $ac = -\frac{1}{16}$ મળે છે.
$a$ અને $c$ માટેનું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+c)x + ac = 0$ છે,એટલે કે $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{16} = 0$.
$16$ વડે ગુણતા,$16x^2 - 8x - 1 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{32} = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$a < b$ હોવાથી,આપણે નાની કિંમત પસંદ કરીશું: $a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(D) આપેલ છે કે સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$ એ ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ કરતા પાંચ ગણો છે:
$\frac{a + b}{2} = 5\sqrt{ab}$
બંને બાજુ $\sqrt{ab}$ વડે ભાગતા:
$\frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 10$
ધારો કે $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$. તેથી $\frac{a}{b} = x^2$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{x^2 + 1}{x} = 10 \implies x^2 - 10x + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$ શોધતા:
$x = 5 \pm 2\sqrt{6}$
$a > b$ હોવાથી,$x = 5 + 2\sqrt{6}$.
તેથી $\frac{a}{b} = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 49 + 20\sqrt{6}$.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{49 + 20\sqrt{6} + 1}{49 + 20\sqrt{6} - 1} = \frac{50 + 20\sqrt{6}}{48 + 20\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

(A) $G = \sqrt{ab}$
$M = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a + b}{2ab}$
આપેલ છે કે $\frac{1}{M} : G = 4 : 5$,તેથી $\frac{2ab}{(a + b)\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}$
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a + b - 2\sqrt{ab}} = \frac{5 + 4}{5 - 4}$
$\Rightarrow \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = 9$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = 3$
$\Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\sqrt{a} - 3\sqrt{b}$
$\Rightarrow 4\sqrt{b} = 2\sqrt{a}$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b}} = 2$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = 4$
તેથી $a:b$ એ $1:4$ અથવા $4:1$ હોઈ શકે,જેમાંથી વિકલ્પ $1:4$ સાચો છે.

(B) ધારો કે શ્રેણી $a, b, c, d$ છે.
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$ મળે.
$b, c, d$ એ $A.P.$ માં છે અને સામાન્ય તફાવત $6$ છે,તેથી $c - b = 6$ અને $d - c = 6$ મળે.
આમ,$c = b + 6$ અને $d = c + 6 = b + 12$ થાય.
પ્રથમ અને છેલ્લા પદ સમાન હોવાથી,$a = d$,તેથી $a = b + 12$,જેનો અર્થ છે કે $b = a - 12$.
$c = b + 6$ માં $b = a - 12$ મૂકતા,$c = (a - 12) + 6 = a - 6$ મળે.
હવે,$b$ અને $c$ ની કિંમત $G.P.$ ની શરત $b^2 = ac$ માં મૂકતા:
$(a - 12)^2 = a(a - 6)$
$a^2 - 24a + 144 = a^2 - 6a$
$144 = 18a$
$a = 8$.
$d = a$ હોવાથી,છેલ્લું પદ $8$ છે.

(B) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $A.P.$ અચળ ન હોવાથી,$d \neq 0$.
આપેલ છે કે $a = A + 6d$,$b = A + 10d$,અને $c = A + 12d$.
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(A + 10d)^2 = (A + 6d)(A + 12d)$.
$A^2 + 20Ad + 100d^2 = A^2 + 18Ad + 72d^2$.
$2Ad = -28d^2$.
$d \neq 0$ હોવાથી,$2d$ વડે ભાગતા $A = -14d$,અથવા $\frac{A}{d} = -14$ મળે.
હવે,$\frac{a}{c} = \frac{A + 6d}{A + 12d} = \frac{\frac{A}{d} + 6}{\frac{A}{d} + 12}$.
$\frac{A}{d} = -14$ મૂકતા: $\frac{-14 + 6}{-14 + 12} = \frac{-8}{-2} = 4$.

(A) કારણ કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$ થાય.
સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ને $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આ સમીકરણનું બીજ $x = -\frac{b}{a}$ છે.
આ બીજ $dx^2 + 2ex + f = 0$ માટે પણ સામાન્ય હોવાથી,$x = -\frac{b}{a}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$d(-\frac{b}{a})^2 + 2e(-\frac{b}{a}) + f = 0$
$d(\frac{b^2}{a^2}) - \frac{2eb}{a} + f = 0$
$a^2$ વડે ગુણતા,$db^2 - 2eab + fa^2 = 0$ મળે.
$b^2 = ac$ મૂકતા,$dac - 2eab + fa^2 = 0$ મળે.
આખા સમીકરણને $ac$ વડે ભાગતા,$\frac{d}{a} - \frac{2e}{b} + \frac{f}{c} = 0$ મળે,જે દર્શાવે છે કે $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2(\frac{e}{b})$.
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે કે $A.M. = \frac{a+b}{2} = 10 \implies a+b = 20$ $(1)$
આપેલ છે કે $G.M. = \sqrt{ab} = 8 \implies ab = 64$ $(2)$
નિત્યસમ $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a-b)^2 = (20)^2 - 4(64) = 400 - 256 = 144$
તેથી,$a-b = \pm 12$ $(3)$
$(1)$ અને $(3)$ ને ઉકેલતા:
જો $a-b = 12$ હોય,તો $2a = 32 \implies a = 16$ અને $b = 4$.
જો $a-b = -12$ હોય,તો $2a = 8 \implies a = 4$ અને $b = 16$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $4$ અને $16$ છે.

(A) અને $b$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{ab}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ:
$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}} = \sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(a^{n+1}+b^{n+1})^2}{(a^n+b^n)^2} = ab$
$a^{2n+2} + 2a^{n+1}b^{n+1} + b^{2n+2} = ab(a^{2n} + 2a^nb^n + b^{2n})$
$a^{2n+2} + 2a^{n+1}b^{n+1} + b^{2n+2} = a^{2n+1}b + 2a^{n+1}b^{n+1} + ab^{2n+1}$
બંને બાજુથી $2a^{n+1}b^{n+1}$ બાદ કરતા:
$a^{2n+2} + b^{2n+2} = a^{2n+1}b + ab^{2n+1}$
પદોને ગોઠવતા:
$a^{2n+2} - a^{2n+1}b = ab^{2n+1} - b^{2n+2}$
$a^{2n+1}(a - b) = b^{2n+1}(a - b)$
જો $a \neq b$ હોય,તો $(a - b)$ વડે ભાગતા:
$a^{2n+1} = b^{2n+1}$
$(\frac{a}{b})^{2n+1} = 1 = (\frac{a}{b})^0$
$2n + 1 = 0$
$n = -\frac{1}{2}$

(N/A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ = $\sqrt{ab}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ:
$a+b = 6\sqrt{ab}$ --- $(1)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(a+b)^2 = 36ab$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.
$(1)$ માંથી કિંમત મૂકતા:
$(a-b)^2 = 36ab - 4ab = 32ab$
$a-b = \sqrt{32}\sqrt{ab} = 4\sqrt{2}\sqrt{ab}$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2a = (6+4\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$a = (3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$a$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$b = 6\sqrt{ab} - (3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$b = (3-2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{a}{b} = \frac{(3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}}{(3-2\sqrt{2})\sqrt{ab}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$
આમ,સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $(3+2\sqrt{2}):(3-2\sqrt{2})$ છે.

આપેલ છે કે $A$ અને $G$ બે ધન સંખ્યાઓ વચ્ચેના $A.M.$ અને $G.M.$ છે.
ધારો કે આ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$\therefore A.M. = A = \frac{a+b}{2}$ .........$(1)$
$G.M. = G = \sqrt{ab}$ .........$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$a+b = 2A$ .........$(3)$
$ab = G^2$ .........$(4)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.
$(3)$ અને $(4)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(a-b)^2 = (2A)^2 - 4G^2 = 4A^2 - 4G^2 = 4(A^2 - G^2)$
$(a-b)^2 = 4(A+G)(A-G)$
$(a-b) = 2\sqrt{(A+G)(A-G)}$ .........$(5)$
$(3)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$2a = 2A + 2\sqrt{(A+G)(A-G)} \Rightarrow a = A + \sqrt{(A+G)(A-G)}$
$(3)$ માંથી $(5)$ બાદ કરતા:
$2b = 2A - 2\sqrt{(A+G)(A-G)} \Rightarrow b = A - \sqrt{(A+G)(A-G)}$
આમ,તે બે સંખ્યાઓ $A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)}$ છે.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પદો $a_p = a + (p-1)d, a_q = a + (q-1)d, a_r = a + (r-1)d, a_s = a + (s-1)d$ છે.
$a_p, a_q, a_r, a_s$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $k = \frac{a_q}{a_p} = \frac{a_r}{a_q} = \frac{a_s}{a_r}$ છે.
ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_q - a_r}{a_p - a_q} = \frac{a_q(1 - k)}{a_p(1 - k)} = \frac{a_q}{a_p} = k$.
વળી,$a_q - a_r = (q-r)d$ અને $a_p - a_q = (p-q)d$.
તેથી,$k = \frac{(q-r)d}{(p-q)d} = \frac{q-r}{p-q}$.
તે જ રીતે,$\frac{a_r - a_s}{a_q - a_r} = \frac{a_r}{a_q} = k = \frac{r-s}{q-r}$.
બંને ગુણોત્તર $k$ સમાન હોવાથી,$\frac{q-r}{p-q} = \frac{r-s}{q-r},$ જે દર્શાવે છે કે $(p-q), (q-r), (r-s)$ એ $G.P.$ માં છે.

(N/A) ધારો કે $a^{\frac{1}{x}} = b^{\frac{1}{y}} = c^{\frac{1}{z}} = k.$
તેથી $a = k^{x}, b = k^{y},$ અને $c = k^{z}$ $(1).$
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^{2} = ac$ $(2).$
$(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા,આપણને $(k^{y})^{2} = k^{x} \cdot k^{z}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $k^{2y} = k^{x+z}$ થાય છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$2y = x + z$ મળે છે.
$2y = x + z$ હોવાથી,$x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ ધારો.
આપેલ શરત મુજબ,$a + ar + ar^2 = 56 \Rightarrow a(1 + r + r^2) = 56$ ........$(1)$
આ સંખ્યાઓમાંથી $1, 7, 21$ બાદ કરતા,$a-1, ar-7, ar^2-21$ મળે છે,જે $A.P.$ માં છે.
તેથી,$(ar-7) - (a-1) = (ar^2-21) - (ar-7)$
$ar - a - 6 = ar^2 - ar - 14$
$ar^2 - 2ar + a = 8$ $\Rightarrow a(r^2 - 2r + 1) = 8$ $\Rightarrow a(r-1)^2 = 8$ ........$(2)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a(1+r+r^2)}{a(r-1)^2} = \frac{56}{8} = 7$
$1 + r + r^2 = 7(r^2 - 2r + 1)$
$1 + r + r^2 = 7r^2 - 14r + 7$
$6r^2 - 15r + 6 = 0 \Rightarrow 2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r-1)(r-2) = 0$
જો $r=2$ હોય,તો $a(2-1)^2 = 8 \Rightarrow a=8$. સંખ્યાઓ $8, 16, 32$ છે.
જો $r=1/2$ હોય,તો $a(1/2-1)^2 = 8$ $\Rightarrow a(1/4) = 8$ $\Rightarrow a=32$. સંખ્યાઓ $32, 16, 8$ છે.

આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એ $x^{2}-3x+p=0$ ના બીજ છે,તેથી $a+b=3$ અને $ab=p$ $(1)$.
આપેલ છે કે $c$ અને $d$ એ $x^{2}-12x+q=0$ ના બીજ છે,તેથી $c+d=12$ અને $cd=q$ $(2)$.
$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,ધારો કે $a=x, b=xr, c=xr^{2}, d=xr^{3}$.
$(1)$ પરથી,$x+xr=3 \Rightarrow x(1+r)=3$.
$(2)$ પરથી,$xr^{2}+xr^{3}=12 \Rightarrow xr^{2}(1+r)=12$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{xr^{2}(1+r)}{x(1+r)} = \frac{12}{3}$ $\Rightarrow r^{2}=4$ $\Rightarrow r=\pm 2$.
કિસ્સો $I$: જો $r=2$,તો $x(1+2)=3 \Rightarrow x=1$. તેથી $a=1, b=2, c=4, d=8$. એટલે કે $p=ab=2$ અને $q=cd=32$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{32+2}{32-2} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
કિસ્સો $II$: જો $r=-2$,તો $x(1-2)=3 \Rightarrow x=-3$. તેથી $a=-3, b=6, c=-12, d=24$. એટલે કે $p=ab=-18$ અને $q=cd=-288$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{-288-18}{-288+18} = \frac{-306}{-270} = \frac{17}{15}$.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં $(q+p):(q-p)=17:15$ મળે છે.

ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$A.M. = \frac{a+b}{2}$ અને $G.M. = \sqrt{ab}.$
આપેલ શરત મુજબ,
$\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{m}{n}$
$\Rightarrow \frac{(a+b)^{2}}{4ab} = \frac{m^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow (a+b)^{2} = \frac{4abm^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow a+b = \frac{2\sqrt{ab}m}{n} \quad \dots(1)$
નિત્યસમ $(a-b)^{2} = (a+b)^{2} - 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા,
$(a-b)^{2} = \frac{4abm^{2}}{n^{2}} - 4ab = \frac{4ab(m^{2}-n^{2})}{n^{2}}$
$\Rightarrow a-b = \frac{2\sqrt{ab}\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{n} \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$2a = \frac{2\sqrt{ab}}{n}(m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}),$
$\Rightarrow a = \frac{\sqrt{ab}}{n}(m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}).$
$a$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $b = \frac{\sqrt{ab}}{n}(m - \sqrt{m^{2}-n^{2}})$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}}{m - \sqrt{m^{2}-n^{2}}}.$
આમ,$a:b = (m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}) : (m - \sqrt{m^{2}-n^{2}}).$

(N/A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore 2b = a + c$ .......$(1)$
આપેલ છે કે $b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.
$\therefore c^{2} = bd$ .......$(2)$
વળી,$\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore \frac{2}{d} = \frac{1}{c} + \frac{1}{e}$ .......$(3)$
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $a, c, e$ એ $G.P.$ માં છે,એટલે કે $c^{2} = ae.$
$(1)$ પરથી,$b = \frac{a+c}{2}.$
$(2)$ પરથી,$d = \frac{c^{2}}{b}.$
આ કિંમતો $(3)$ માં મૂકતા:
$\frac{2}{\frac{c^{2}}{b}} = \frac{1}{c} + \frac{1}{e}$
$\frac{2b}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{2(\frac{a+c}{2})}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{a+c}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{a+c}{c} = \frac{e+c}{e}$
$(a+c)e = c(e+c)$
$ae + ce = ce + c^{2}$
$c^{2} = ae$
આમ,$a, c, e$ એ $G.P.$ માં છે.

(C) $\frac{1}{16}, a, b$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$a^2 = \frac{b}{16}$,એટલે કે $b = 16a^2$.
$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 6$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + 6$.
$b = 16a^2$ ને $A.P.$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2}{16a^2} = \frac{1}{a} + 6$
$\frac{1}{8a^2} = \frac{1}{a} + 6$
$8a^2$ વડે ગુણતા:
$1 = 8a + 48a^2$
$48a^2 + 8a - 1 = 0$
$(12a - 1)(4a + 1) = 0$
$a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{1}{12}$.
તેથી $b = 16 \times (\frac{1}{12})^2 = 16 \times \frac{1}{144} = \frac{1}{9}$.
અંતે,$72(a + b) = 72(\frac{1}{12} + \frac{1}{9}) = 72(\frac{3 + 4}{36}) = 72(\frac{7}{36}) = 2 \times 7 = 14$.

(B) આપેલ છે કે $x = \frac{1}{1-a}$,$y = \frac{1}{1-b}$,અને $z = \frac{1}{1-c}$.
આથી,$a = 1 - \frac{1}{x}$,$b = 1 - \frac{1}{y}$,અને $c = 1 - \frac{1}{z}$.
$a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$2b = a + c$.
કિંમતો મૂકતા: $2(1 - \frac{1}{y}) = (1 - \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{z})$
$2 - \frac{2}{y} = 2 - (\frac{1}{x} + \frac{1}{z})$
$\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ એ $A.P.$ માં છે.

(C) ધારો કે બે પૂર્ણાંકો $A = 10a+b$ અને $G = 10b+a$ છે,જ્યાં $A$ સમાંતર મધ્યક છે અને $G$ ગુણોત્તર મધ્યક છે.
આપેલ છે કે,$\frac{x+y}{2} = 10a+b$ અને $\sqrt{xy} = 10b+a$.
તેથી,$x+y = 2(10a+b)$ અને $xy = (10b+a)^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$.
કિંમતો મૂકતા,$(x-y)^2 = 4(10a+b)^2 - 4(10b+a)^2$.
$(x-y)^2 = 4[(10a+b)^2 - (10b+a)^2] = 4(10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)$.
$(x-y)^2 = 4(9a-9b)(11a+11b) = 4 \times 9 \times 11(a-b)(a+b) = 396(a-b)(a+b)$.
$(x-y)^2$ પૂર્ણવર્ગ હોવા માટે,$(a-b)(a+b)$ એ $11 \times k^2$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
$a$ અને $b$ અંકો હોવાથી,$a+b \leq 18$ અને $a-b < 10$. એકમાત્ર શક્યતા $a+b=11$ અને $a-b=1$ છે.
$a+b=11$ અને $a-b=1$ ઉકેલતા $2a=12 \Rightarrow a=6$ અને $b=5$ મળે છે.
તેથી,$x+y = 2(10(6)+5) = 2(65) = 130$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, \frac{1}{18}$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b^2 = a \times \frac{1}{18} \implies a = 18b^2$ $(i)$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{a}, 10, \frac{1}{b}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 \times 10 = 20$.
$\frac{a+b}{ab} = 20 \implies a+b = 20ab$ $(ii)$.
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$18b^2 + b = 20(18b^2)b = 360b^3$.
$b > 0$ હોવાથી,$b$ વડે ભાગતા: $18b + 1 = 360b^2 \implies 360b^2 - 18b - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $b = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4(360)(-1)}}{2(360)} = \frac{18 \pm \sqrt{1764}}{720} = \frac{18 \pm 42}{720}$.
$b > 0$ હોવાથી,$b = \frac{60}{720} = \frac{1}{12}$.
તેથી $a = 18 \times (\frac{1}{12})^2 = 18 \times \frac{1}{144} = \frac{1}{8}$.
અંતે,$16a + 12b = 16(\frac{1}{8}) + 12(\frac{1}{12}) = 2 + 1 = 3$.

(B) શ્રેણી $S_1$ એ $a_1 = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 4$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. તેનું સામાન્ય પદ $T_n = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$ છે.
શ્રેણી $S_2$ એ $a_2 = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 5$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. તેનું સામાન્ય પદ $T_m = 1 + (m-1)5 = 5m - 4$ છે.
સામાન્ય પદ માટે,$4n - 1 = 5m - 4$,જેનો અર્થ છે $4n + 3 = 5m$.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $11$ છે ($n=3, m=3$ માટે).
સામાન્ય પદો દ્વારા બનતી નવી શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત એ $d_1$ અને $d_2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે,જે $\text{lcm}(4, 5) = 20$ છે.
$k^{\text{th}}$ સામાન્ય પદ $T_k = 11 + (k-1)20$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k=8$ માટે,$T_8 = 11 + (8-1) \times 20 = 11 + 7 \times 20 = 11 + 140 = 151$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$.
આપેલ છે કે $x, \sqrt{2}y, z$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $(\sqrt{2}y)^2 = xz$,જેનો અર્થ છે કે $2y^2 = xz$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $xz = 2y^2$ મૂકતા: $\frac{2}{y} = \frac{x+z}{xz} = \frac{x+z}{2y^2}$,જેનું સાદું રૂપ $x+z = 4y$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $xy + yz + zx = \frac{3}{\sqrt{2}} xyz$ ને $y(x+z) + xz = \frac{3}{\sqrt{2}} xyz$ તરીકે લખી શકાય.
$x+z = 4y$ અને $xz = 2y^2$ મૂકતા: $y(4y) + 2y^2 = \frac{3}{\sqrt{2}} y(2y^2)$.
$4y^2 + 2y^2 = \frac{3}{\sqrt{2}} (2y^3) \implies 6y^2 = 3\sqrt{2} y^3$.
$y > 0$ હોવાથી,$3y^2$ વડે ભાગતા: $2 = \sqrt{2}y$,તેથી $y = \sqrt{2}$.
પછી $x+z = 4y = 4\sqrt{2}$,તેથી $x+y+z = 5y = 5\sqrt{2}$.
અંતે,$3(x+y+z)^2 = 3(5\sqrt{2})^2 = 3(25 \times 2) = 3(50) = 150$.

(D) ધારો કે $A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે અને $G.P.$ એ $2, p, q, \dots$ છે.
આપેલ છે કે $2, p, q$ એ $A.P.$ ના $7^{\text{th}}, 8^{\text{th}}, 13^{\text{th}}$ પદો છે:
$2 = a + 6d \quad \dots(i)$
$p = a + 7d \quad \dots(ii)$
$q = a + 12d \quad \dots(iii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$p - 2 = d$ મળે.
$(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$q - p = 5d$ મળે.
$q - p = 5(p - 2)$ હોવાથી,$q = 6p - 10$ મળે.
$2, p, q$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$p^2 = 2q$.
$q = 6p - 10$ મૂકતા,$p^2 = 2(6p - 10) \implies p^2 - 12p + 20 = 0$.
$p$ માટે ઉકેલતા,$(p - 10)(p - 2) = 0$,તેથી $p = 10$ અથવા $p = 2$.
જો $p = 2$ હોય,તો $q = 2$ થાય,જે $q \neq 2$ ની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી,$p = 10$.
ત્યારબાદ $d = p - 2 = 8$ અને $a = 2 - 6(8) = -46$.
$G.P.$ એ $2, 10, 50, 250, 1250, \dots$ છે.
$G.P.$ નું $5^{\text{th}}$ પદ $2 \times 5^4 = 1250$ છે.
ધારો કે આ $A.P.$ નું $n^{\text{th}}$ પદ છે: $1250 = a + (n - 1)d$.
$1250 = -46 + (n - 1)8 \implies 1296 = (n - 1)8 \implies n - 1 = 162 \implies n = 163$.

(A) $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2b = a + c$ થાય.
$a, b, c$ નો સમાંતર મધ્યક $8$ હોવાથી,$\frac{a+b+c}{3} = 8$,એટલે કે $a+b+c = 24$.
$a+c = 2b$ મૂકતા,$3b = 24$,તેથી $b = 8$ મળે.
તેથી $a+c = 16$,એટલે કે $c = 16 - a$.
$a+1, b, c+3$ ગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$b^2 = (a+1)(c+3)$ થાય.
$b=8$ અને $c=16-a$ મૂકતા,$64 = (a+1)(19-a)$ મળે.
$64 = 19a - a^2 + 19 - a$,જેનું સાદુંરૂપ $a^2 - 18a + 45 = 0$ થાય.
અવયવ પાડતા,$(a-15)(a-3) = 0$ મળે.
$a > 10$ હોવાથી,$a = 15$ લેતા.
તેથી $c = 16 - 15 = 1$.
સંખ્યાઓ $a=15, b=8, c=1$ છે.
ગુણોત્તર મધ્યકનો ઘન $(abc)^{1/3}$ નો ઘન એટલે $abc = 15 \times 8 \times 1 = 120$ થાય.

(C, A, B) $1.$ Given $A_n = \frac{A_{n-1} H_{n-1}}{2}$,$G_n = \sqrt{A_{n-1} H_{n-1}}$,and $H_n = \frac{2 A_{n-1} H_{n-1}}{A_{n-1} H_{n-1}}$.
Note that $G_n^2 = A_{n-1} H_{n-1} = A_n H_n$. Also,$G_n = \sqrt{A_{n-1} H_{n-1}} = \sqrt{G_{n-1}^2} = G_{n-1}$.
Thus,$G_1 = G_2 = G_3 = \ldots = \sqrt{ab}$.
$2.$ Since $A_n$ is the arithmetic mean of $A_{n-1}$ and $H_{n-1}$,and $A_{n-1} > H_{n-1}$ for $n \geq 2$,we have $A_{n-1} > A_n > H_{n-1}$.
Since $H_{n-1} < H_n < A_n < A_{n-1}$,it follows that $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$.
$3.$ Since $H_n$ is the harmonic mean of $A_{n-1}$ and $H_{n-1}$,and $A_{n-1} > H_{n-1}$,we have $A_{n-1} > H_n > H_{n-1}$.
Since $H_n > H_{n-1}$,it follows that $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$.

(B) આપેલ છે કે $\log _e b_1, \log _e b_2, \ldots, \log _e b_{101}$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $b_1, b_2, \ldots, b_{101}$ એ $G.P.$ માં છે જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
$a_1 = b_1 = a$ અને $a_{51} = b_{51}$ હોવાથી,$a + 50d = a \cdot 2^{50}$,એટલે કે $d = \frac{a(2^{50} - 1)}{50}$.
$G.P.$ ના પ્રથમ $51$ પદોનો સરવાળો $t = a(2^{51} - 1)$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $51$ પદોનો સરવાળો $s = \frac{51}{2}(2a + 50d) = \frac{51}{2}a(2^{50} + 1)$ છે.
સરખામણી કરતા,$s > t$ મળે છે.
$101$ માં પદો માટે: $a_{101} = a(2^{51} - 1)$ અને $b_{101} = a \cdot 2^{100}$ છે.
તેથી,$b_{101} > a_{101}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $AP$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
$b-a, c-b, a$ એ $GP$ માં હોવાથી,$(c-b)^2 = (b-a)a$ થાય.
$AP$ માં,$b-a = c-b = d$ (સામાન્ય તફાવત).
$GP$ ની શરતમાં $c-b = b-a$ મૂકતા:
$(b-a)^2 = (b-a)a$.
જો $b \neq a$ હોય,તો $b-a = a$ મળે,જેનો અર્થ છે $b = 2a$.
$2b = a + c$ માં $b = 2a$ મૂકતા,$2(2a) = a + c$ મળે,તેથી $4a = a + c$,જેનો અર્થ છે $c = 3a$.
આમ,$a: b: c = a: 2a: 3a = 1: 2: 3$.

(B) આપેલ છે કે $x_{1}, x_{2}$ એ $x^{2}-3x+a=0$ ના બીજ છે,તેથી $x_{1}+x_{2}=3$ અને $x_{1}x_{2}=a$.
આપેલ છે કે $x_{3}, x_{4}$ એ $x^{2}-12x+b=0$ ના બીજ છે,તેથી $x_{3}+x_{4}=12$ અને $x_{3}x_{4}=b$.
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમને $A, AR, AR^{2}, AR^{3}$ તરીકે લો.
તેથી $x_{1}+x_{2} = A(1+R) = 3$ અને $x_{3}+x_{4} = AR^{2}(1+R) = 12$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,$R^{2} = 12/3 = 4$ મળે,તેથી $R = 2$ (કારણ કે $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ હોવાથી $R > 0$).
$R=2$ ને $A(1+R)=3$ માં મૂકતા,$A(3)=3$ મળે,તેથી $A=1$.
પદો $1, 2, 4, 8$ છે.
આમ,$a = x_{1}x_{2} = 1 \times 2 = 2$ અને $b = x_{3}x_{4} = 4 \times 8 = 32$.
તેથી,$ab = 2 \times 32 = 64$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a_1$ અને દ્વિતીય પદ $a_2$ છે. પદો ધન હોવાથી,$a_1 > 0$ અને $a_2 > 0$.
$A.P.$ માટે,સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1$. તેથી,$a_n = a_1 + (n - 1)(a_2 - a_1)$.
$G.P.$ માટે,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{a_2}{a_1}$. તેથી,$b_n = a_1 \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{n-1}$.
$n = 3$ માટે,$a_3 = a_1 + 2(a_2 - a_1) = 2a_2 - a_1$.
$n = 3$ માટે,$b_3 = a_1 \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 = \frac{a_2^2}{a_1}$.
$b_3 - a_3 = \frac{a_2^2}{a_1} - (2a_2 - a_1) = \frac{a_2^2 - 2a_1a_2 + a_1^2}{a_1} = \frac{(a_2 - a_1)^2}{a_1}$.
$a_1 > 0$ અને $(a_2 - a_1)^2 \ge 0$ હોવાથી,$b_3 \ge a_3$. જો $a_1 \neq a_2$ હોય,તો $b_3 > a_3$. આમ,બધા $n > 2$ માટે $b_n > a_n$ થાય છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $G.M. = \sqrt{ab} = 10$,તેથી $ab = 100$.
આપેલ છે કે $H.M. = \frac{2ab}{a+b} = 8$.
$H.M.$ ના સમીકરણમાં $ab = 100$ મૂકતા:
$\frac{2(100)}{a+b} = 8$ $\Rightarrow \frac{200}{a+b} = 8$ $\Rightarrow a+b = \frac{200}{8} = 25$.
હવે આપણી પાસે $a+b = 25$ અને $ab = 100$ છે.
$a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ છે.
$x^2 - 25x + 100 = 0$.
$(x-20)(x-5) = 0$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $5$ અને $20$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{x^{n+1}+y^{n+1}}{x^n+y^n} = \sqrt{xy}$.
આથી $x^{n+1} + y^{n+1} = (xy)^{1/2} (x^n + y^n)$.
$x^{n+1} + y^{n+1} = x^{n+1/2} y^{1/2} + x^{1/2} y^{n+1/2}$.
પદોને ગોઠવતા,$x^{n+1} - x^{n+1/2} y^{1/2} = x^{1/2} y^{n+1/2} - y^{n+1}$.
$x^{n+1/2} (x^{1/2} - y^{1/2}) = y^{n+1/2} (x^{1/2} - y^{1/2})$.
જો $x \neq y$ હોય,તો બંને બાજુ $(x^{1/2} - y^{1/2})$ વડે ભાગતા:
$x^{n+1/2} = y^{n+1/2}$.
$(x/y)^{n+1/2} = 1$.
$(x/y)^0 = 1$ હોવાથી,$n + 1/2 = 0$.
તેથી,$n = -1/2$.

(B) અને $b$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{a+b}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{a^{m+1}+b^{m+1}}{a^m+b^m} = \frac{a+b}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$2(a^{m+1} + b^{m+1}) = (a+b)(a^m + b^m)$
$2a^{m+1} + 2b^{m+1} = a^{m+1} + ab^m + ba^m + b^{m+1}$
બંને બાજુથી $a^{m+1} + b^{m+1}$ બાદ કરતા:
$a^{m+1} + b^{m+1} = ab^m + ba^m$
$a^{m+1} - ba^m = ab^m - b^{m+1}$
$a^m(a - b) = b^m(a - b)$
જો $a \neq b$ હોય,તો આપણે $(a - b)$ વડે ભાગી શકીએ:
$a^m = b^m$
$\left(\frac{a}{b}\right)^m = 1$
કારણ કે $1 = (\frac{a}{b})^0$,તેથી $m = 0$.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $x$ છે અને $(2n-1)$-મું પદ $y$ છે.
$a, b, c$ એ $AP, GP, HP$ ના $n$-માં પદો હોવાથી,તેઓ $x$ અને $y$ ના સમાંતર મધ્યક,સમગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$AM \geq GM \geq HM$ થાય.
તેથી,$a \geq b \geq c$.
વળી,$AM, GM$ અને $HM$ વચ્ચેનો સંબંધ $AM \cdot HM = GM^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot c = b^2$ અથવા $ac - b^2 = 0$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a = b - d$ અને $c = b + d$ લો.
$a+b+c=1$ હોવાથી,$(b-d) + b + (b+d) = 1,$ જેનો અર્થ છે કે $3b = 1$ અથવા $b = \frac{1}{3}.$
$a^{2}, 2b^{2}, c^{2}$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$(2b^{2})^{2} = a^{2}c^{2},$ એટલે કે $4b^{4} = (ac)^{2}.$
$a = b-d$ અને $c = b+d$ મૂકતા,$4b^{4} = ((b-d)(b+d))^{2} = (b^{2}-d^{2})^{2}.$
વર્ગમૂળ લેતા,$b^{2}-d^{2} = \pm 2b^{2}.$
કિસ્સો $1: b^{2}-d^{2} = 2b^{2} \Rightarrow d^{2} = -b^{2}$ (વાસ્તવિક $d$ માટે શક્ય નથી).
કિસ્સો $2: b^{2}-d^{2} = -2b^{2} \Rightarrow d^{2} = 3b^{2} = 3(\frac{1}{9}) = \frac{1}{3}.$
$a < b < c$ હોવાથી,$d$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $d = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
હવે,$a^{2}+b^{2}+c^{2} = (b-d)^{2} + b^{2} + (b+d)^{2} = 3b^{2} + 2d^{2}.$
કિંમતો મૂકતા: $3(\frac{1}{9}) + 2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.$
તેથી,$9(a^{2}+b^{2}+c^{2}) = 9(1) = 9.$