જો ત્રણ અસમાન સંખ્યાઓ $p, q, r$ એ $H.P.$ માં હોય અને તેમના વર્ગો $A.P.$ માં હોય,તો ગુણોત્તર $p:q:r$ શું થાય?

ધારો કે $a_0=0$ અને $n \geq 1$ માટે $a_n=3 a_{n-1}+1$ છે. તો,$a_{2010}$ ને $11$ વડે ભાગતા મળતી શેષ કેટલી હશે?

ધારો કે $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ એક શ્રેણી છે જ્યાં $a_{0}=0, a_{1}=0$ અને $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n}+1$ દરેક $n \geq 0$ માટે. તો $a_{25}a_{23}-2a_{25}a_{22}-2a_{23}a_{24}+4a_{22}a_{24}$ ની કિંમત શોધો.

ત્રણ સંખ્યાઓ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે વધતી જતી ભૂમિતિ શ્રેણીમાં છે. જો વચ્ચેની સંખ્યાને બમણી કરવામાં આવે,તો નવી સંખ્યાઓ સામાન્ય તફાવત $d$ સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં હોય છે. જો $G.P.$ નું ચોથું પદ $3r^{2}$ હોય,તો $r^{2}-d$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $I(n) = n^n$ અને $J(n) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)$ તમામ $n > 1, n \in N$ માટે,તો:

$S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots$ $n$ પદો સુધી છે. જો $-p$ પ્રથમ પદ અને $p$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $A.P.$ ના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો $\sqrt{2026 S_{2025}}$ હોય,તો $A.P.$ ના $20$ મા અને $15$ મા પદ વચ્ચેનો તફાવત કેટલો થાય?