નીચેની શ્રેણીમાં $7^{\text{th}}$ પદ શોધો જેનું $n^{\text{th}}$ પદ $a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ છે.

ધારો કે ચાર ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે $b_1 = a_1$,$b_2 = b_1 + a_2$,$b_3 = b_2 + a_3$ અને $b_4 = b_3 + a_4$.
વિધાન-$I$: સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ સમાંતર શ્રેણીમાં પણ નથી અને સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પણ નથી.
વિધાન-$II$: સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

ધારો કે $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ એક શ્રેણી છે જ્યાં $a_{0}=0, a_{1}=0$ અને $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n}+1$ દરેક $n \geq 0$ માટે. તો $a_{25}a_{23}-2a_{25}a_{22}-2a_{23}a_{24}+4a_{22}a_{24}$ ની કિંમત શોધો.

જો $e^{(\cos^{2} x + \cos^{4} x + \cos^{6} x + \dots \infty) \log_{e} 2}$ એ સમીકરણ $t^{2} - 9t + 8 = 0$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે $\frac{2 \sin x}{\sin x + \sqrt{3} \cos x}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S$ એ શ્રેણીના પ્રથમ $9$ પદોનો સરવાળો છે: $(x+ka) + (x^2+(k+2)a) + (x^3+(k+4)a) + (x^4+(k+6)a) + \ldots$ જ્યાં $a \neq 0$ અને $x \neq 1$. જો $S = \frac{x^{10}-x+45a(x-1)}{x-1}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $a, b$ અને $c$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G.P.$ માં છે,જ્યાં $a \ne 0$ અને $0 < r \le \frac{1}{2}$ છે. જો $3a, 7b$ અને $15c$ એ $A.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો હોય,તો આ $A.P.$ નું ચોથું પદ શોધો.